objeto de estudio unidad i

Instituto Tecnolgico de Aguascalientes Educacin a Distancia

Investigacin de Operaciones II Pgina 1 de 39

INSTITUTO TECNOLGICO DE AGUASCALIENTES DIVISIN DE EDUCACIN A DISTANCIA

Profesor: M.C. Marcela Rodrguez Gonzlez. Aguascalientes, Ags, Enero 2012

Investigacin de

Operaciones

Objeto de Estudio

Unidad I. Modelos de

decisin.



Modelos de decisin

INTRODUCCIN

Tipos de modelos de decisin El proceso de toma de decisiones

CASO: PIZZERA ASHLEY

Anlisis preliminar del caso de la Pizzera Ashley

TIPOS DE DECISIONES

Toma de decisiones bajo certidumbre Toma de decisiones utilizando datos

previos Toma de decisiones sin datos previos

TERMINOLOGA DE MODELOS DE TOMA DE DECISIONES

Decisiones alternativas Los estados de la naturaleza Resultados rboles de decisin

TOMA DE DECISIONES SIN DATOS PREVIOS

Modelo de decisin del pesimista Modelo de decisin del optimista Modelo de decisin de minimizacin

del arrepentimiento Modelo de decisin de maximizacin

del pago promedio

Modelo de probabilidad subjetivas Una advertencia con respecto a los

modelos de decisin TOMA DE DECISIONES UTILIZANDO DATOS PREVIOS

Comparacin de los anlisis bayesiano y clsico para la toma de decisiones

Anlisis bayesiano Uno de rboles de decisin para

problemas con datos previos El valor de la informacin perfecta El valor de la informacin de prueba Aplicacin a la Pizzera Ashley Uso de rboles de decisin para

anlisis bayesiano



INTRODUCCIN

Como cualquier ser humano, todos los das tomamos muchas

decisiones. La mayora de stas son relativamente carentes de importancia y

se hacen en forma habitual. En ocasiones, tomamos decisiones importantes

que pueden tener efectos inmediatos y/o a largo plazo sobre nuestras vidas.

Esas decisiones, tales como a qu escuela escribirnos, si continuar estudiando

o comenzar a trabajar, qu oferta de trabajo aceptar, si debemos rentar o

comprar, o si su compaa debe aceptar una proposicin de fusin, son

decisiones importantes para las cuales preferiramos dar la respuesta correcta.

Con frecuencia, estas decisiones se hacen con base en emociones o intuicin,

pero, es esto apropiado?

En este captulo se analiza el proceso de toma de decisiones y se

presentan modelos que posiblemente pueden utilizarse para mejorarlo. Sin

importar si en la actualidad usted usa o no estos modelos para tomar

decisiones, aun as proporcionan un estndar contra el cual se pueden

comparar las decisiones que usted tome.

Es importante comprender lo que estos modelos pueden o no pueden

hacer. En primer lugar, estos modelos proporcionan una estructura para

examinar el proceso de toma de decisiones. En algunas situaciones no hay

necesidad de justificar por qu se tom un decisin. Sin embargo, en un

mundo donde la mayora de los administradores no son propietarios de los

negocios que administran, se vuelve necesario emplear un proceso justificable

para la forma de decisiones.

En segundo lugar, estos modelos pueden utilizarse para evitar decisiones

arbitrarias o inconsistentes que no se basen en todos los datos disponibles. Por

desgracia, muchas veces tomamos decisiones que caen en esta categora sin

darnos cuenta que lo estamos haciendo. Estos modelos no nos dicen qu

decisiones tomar, ms bien, nos indican cmo proceder para tomarlas o cmo

analizar decisiones pasadas.

Por ltimo, y aun si utilizramos estos modelos en todas las decisiones,

no podramos asegurar que el resultado fuera siempre favorable. En otras

palabras, las buenas decisiones no garantizan buenos resultados. Por ejemplo,

considere dos estudiantes universitarios que comparten una habitacin y se

enfrentan a la misma decisin en una feria regional. Se realiza un juego de azar

que paga $ 100 por una apuesta de $ 10 y las probabilidades de perder son de

10 a 1. El primer estudiante paga sus $ 10 y gana el premio de $ 100. El

segundo estudiante paga sus $ 10 y pierde. Ambos tomaron la misma decisin,

que la mayora de las personas consideran buenas, aun as obtuvieron



resultados distintos. Por ello, tomar una buena decisin no siempre da como

resultado algo favorable.

En trminos ms realistas, considere el precio del oro a granel. En 1978

el oro se venda en menos de $ 200 la onza y muchas personas consideraban

que nunca superara el nivel de $ 200. Ahora, suponga que usted haba

comprado 100 onzas cuando costaba $ 100 la onza y que, a principios de

1979, subi a ms de $ 200. Despus de analizar el mercado del oro usted

tom la decisin de vender y alcanzar una buena utilidad de $ 10,000. Sin

embargo, hacia finales de 1980, el precio del oro era de ms de $ 600 la onza.

El hecho de que usted vendi a $ 200 la onza y perdi la oportunidad de

lograr $ 40,000 adicionales hace que su decisin se convierta en mala?

Nosotros afirmaramos que no es as. Su decisin fue buena en un momento,

pero el resultado fue desfavorable.

Aunque los buenos procedimientos de toma de decisiones pueden

producir malos resultados, lo que de hecho sucede, esperaramos que el uso

de decisiones mejores que el promedio se reflejara en resultados mejores que

el promedio. Un administrador exitoso ser el que tome buenas decisiones en

forma consistente.

Tipos de modelos de decisin

En este texto se ha analizado el uso de modelos de toma de decisiones

en la administracin. Ya se ha visto que es posible emplear modelos como la

programacin de enteros, de metas o lineal para determinar un curso de accin

que conduzca a una utilidad mxima o a un costo mnimo, sujeto a esto a cirta

clase de restricciones. En todas estas situaciones se ha supuesto que se

conocan con certidumbre los parmetros o coeficientes. Es decir, los modelos

que hemos utilizado eran determinsticos y el resultado de cualquier curso de

accin no estara sujeto a ninguna incertidumbre.

Sin embargo, no todos los modelos de toma de decisiones son

determinsticos. En muchos casos, los parmetros del modelo varan debido a

incertidumbres. En el captulo 1 se hizo referencia a los modelos de este tipo

como modelos estocsticos. En este captulo, se analizarn algunos modelos

estocsticos de toma de decisiones. Este tipo de modelos puede dividirse en

trminos amplios en dos categoras, dependiendo de si la decisin se tomarn

utilizando datos previos relacionados con la ocurrencia de sucesos, o si no se

usar ese tipo de datos. Se analizarn diversos modelos de decisin para

ambos tipos y se tendr cuidado en analizar las circunstancias en las que un

modelo determinado de decisin es apropiado, puesto que elegir el modelo

correcto es una parte importante de cualquier decisin.

Antes de comenzar a analizar los modelos, vale la pena comentar el

proceso mismo de toma de decisiones para comprender mejor cundo



resultado apropiado utilizar los modelos que se analizan ms adelante en el

captulo.

El proceso de toma de decisiones

Una decisin puede definirse como el proceso de elegir la solucin para

un problema, siempre y cuando existan al menos dos soluciones alternativas.

Es evidente que deben llevarse a cabo varias acciones antes de tomar una

decisin. Estas actividades pueden resumirse de la siguiente manera (donde

T.D. = quien toma las decisiones):

Etapa 1. El T.D. se da cuenta que existe un problema

Etapa 2. El T.D. recopila datos acerca del problema

Etapa 3. El T.D. elabora un modelo que describe el problema

Etapa 4. El T.D. utiliza el modelo para generar soluciones alternativas para el

problema

Etapa 5. El T.D. elige entre las soluciones alternativas.

No se analiza la etapa 1 en detalle porque se refiere a la forma en que

una persona podra identificar y percibir un problema, y eso est fuera del

alcance de este texto. Baste decir que una vez que una persona encargada de

tomar decisiones se ha dado cuenta que existe un problema, el siguiente paso

es recopilar ms informacin acerca de ste. Esta informacin adicional puede

ser tanto cuantitativa como cualitativa y sirve para ayudar al T.D. a pasar a la

etapa 3, en la que se elabora un modelo que describe el problema. Como se

comentaba en el captulo 1, un modelo es una versin simplificada de la

realizad que conserva las caractersticas importantes del problema. La

elaboracin de modelos ayuda al T.D. a comprender las partes clave de

problemas complejos que, de otra manera, estaran fuera de la comprensin

humana. Utilizando el modelo, que tambin puede ser cuantitativo o cualitativo,

el T.D. pasa a la etapa 4 y genera soluciones alternativas para el problema.

Esto puede hacerse a travs de lluvia de ideas, tcnicas matemticas, u otros

mtodos. Desde el punto de vista conductual, tener demasiadas soluciones

alternativas puede ser peor que tener muy pocas, puesto que la enorme

magnitud del proceso de seleccin que se produce en la etapa 5 puede

abrumar al T.D. Es en la etapa 5 en la que los modelos cuantitativos pueden

diferir en mayor medida de los cualitativos. Los modelos cuantitativos pueden

explicar todas las soluciones alternativas posibles con la intencin de encontrar



la mejor u ptima, los modelos cualitativos pueden tratar de encontrar cualquier

solucin satisfactoria. Este ltimo enfoque, que se conoce como satisficing

(que es una combinacin de palabras que en ingls significan satisfacer y

suficiente y qu en castellano podra ser satisfaciente, toma en consideracin

los aspectos conductuales de la forma de decisiones y con frecuencia se utiliza

en los casos en los que puede no haber recursos disponibles o en lo que los

costos de encontrar la solucin ptima resulten prohibitivos.

Este proceso de toma de decisiones en 5 etapas puede relacionarse con

las primeras 3 etapas del proceso de resolucin de problemas de CA/IO que se

coment en el captulo1. Esas primeras tres etapas eran:

1. Identificacin, observacin y planteamiento del problema

2. Construccin del modelo

3. Generacin de la solucin

Las etapas 1 y 2 del proceso de toma de decisiones se relacionan con la etapa

1 del proceso de resolucin de problemas, la etapa 3 del proceso de toma de

decisiones se relaciona con la etapa 2 del proceso de resolucin de problemas.

Por ltimo, las etapas 4 y 5 del proceso de toma de decisiones corresponden a

la etapa 3 del proceso de resolucin de problemas.

En este captulo se utilizan enfoques tanto cuantitativos como

cualitativos. Se emplear el concepto de satisfaciente para restringir el

nmero de alternativas y despus se usarn mtodos cuantitativos para elegir

una de stas.

CASO

Pizzera Ashley

Ashley Washington h atenido mucho xito con su toma novedosa de fabricar y

vender pizzas a estudiantes del State Collage. Al mezclar los principales

ingredientes de las pizzas y hornearlas por anticipado, ha podido hacer que el

tiempo de espera de sus clientes sea muy breve en comparacin con el de

restaurantes de la competencia. Aunque a los estudiantes les gusta mucho su

mtodo, y ha vendido una gran cantidad de pizzas, en ocasiones Ashley se ha

visto obligado a tirar un gran nmero de pizzas horneadas con anticipacin

debido a que la demanda fue inferior a lo que haba anticipado. Por esta razn,

est buscando una poltica que pueda utilizar para decidir cuntas pizzas debe

hornear con el objeto de maximizar las utilidades.



Ashley ha reducido sus alternativas a slo 4 posibilidades: hornear 150, 160,

170 o 180 pizzas. Ha estudiado los patrones previos de demanda para

determinar el nmero de pizzas que se solicitaron por da, en los ltimos 100

das. Ha encontrado lo siguiente ( y se ha redondeado el nmero de pizzas al

mltiplo de 10 ms cercano)

Nmero de pizzas que se solicitan 150 160 170 180

Nmero de das 20 40 25 15

Ashley ha determinado que muy pocas veces ha tenido una demanda inferior a

150 pizzas o mayor a 180; por eso redujo las alternativas a las cuatro

cantidades mencionadas por da. Este es un ejemplo del uso de poltica

satisfaciente para reducir el nmero de alternativas.

Ashley ha determinado que gana $2 por cada pizza que vende y pierde $1 por

cada pizza que no vende. Con esta informacin es posible construir una tabla

de utilidades para cada una de las polticas de nmero de pizzas por hornear y

por cada nivel de ventas (vase la tabla 12-1) En esta tabla, si la demanda de

pizzas es superior al nmero que se ha horneado se asume que el cliente no

espera y se pierden las utilidades que hubieran podido obtenerse.

Para ilustrar los clculos de la tabla 12-1, considere el caso en el que se

hornearon previamente 160 pizzas pero se vendieron slo 150. En esta

situacin, la utilidad bruta sera $2 x 150 = $ 300, habiendo perdido $ 10 por las

pizzas que no se vendieron, y por ello, se obtendra una utilidad neta de $ 290.

Es posible utilizar la tabla 12-1 para determinar el nmero de pizzas que deben

hornearse previamente para maximizar las utilidades de la pizzera.

Antes de decidir cul es la poltica ptima, Ashley tambin est considerando

mudar su pizzera a un nuevo local. Ha concluido que existen slo tres

alternativas de entre las que puede escoger. Estas son: permanecer en donde

est, mudarse a Baxter Street, cerca de los nuevos dormitorios, o mudarse a

Epps Brigde Road, en donde se rumora que se construir un nuevo complejo

de departamentos pensado para estudiantes. Su decisin se ver influenciada

por acciones externas sobre las cuales no tiene control. Estas acciones

externas son las decisiones que otras personas tomarn. Adems del nuevo

complejo de departamentos que se rumora se construir, existe tambin la

duda de si la administracin de la universidad cerrar los 1,800 dormitorios

existentes y enviar esos estudiantes a los nuevos dormitorios de Baxter

Street. Con la ayuda de un asesor financiero. Ashley ha pronosticado el valor

actual de cada una de las decisiones, tomando en cuenta las dos acciones

externas ( que se consideran mutuamente incluyentes), junto con la posibilidad



de que no ocurra ninguna de las dos acciones. Estos valores se muestran en la

tabla 12-2.

Puesto que esta decisin sobre ubicacin se tomar slo una vez, no existen

datos previos que puedan utilizarse para auxiliar en la decisin. Sin embargo,

de alguna manera Ashley debe tomar una decisin

Anlisis preliminar del caso de la Pizzera Ashley

En este caso, nos enfrentamos a dos decisiones que Ashley Washington con

respecto a la operacin de su restaurante de pizzas, los cuales son ejemplos

de tipos de decisiones que deben tomarse cotidianamente en los negocios. La

primera decisin, que se refiere al nmero de pizzas que han de hornearse con

anticipacin, es del tipo de las que deben tomarse todos los das que la

pizzera opera. En consecuencia, existen datos previos que pueden utilizarse

para ayudar a tomar esa decisin sobre poltica, estos datos previos pueden

emplearse para calcular probabilidades, las cuales se generan a partir de datos

existentes y pueden utilizarse para determinar una decisin sobre poltica que

proporcione el mximo de utilidades. Recuerde que la probabilidad es una

forma de evaluar la posibilidad de que ocurra un evento. Si p es la probabilidad

de que ocurra un evento, entonces 0 p 1. Conforme ms cercana est p a

1, es ms probable que ocurra el evento.

La segunda decisin es del tipo de las que no tienen informacin previa

disponible. Las decisiones de este tipo se toman slo una vez. Deben basarse

en los resultados posibles que han de ocurrir y en la forma en que stos

afectan a quien toma las decisiones. Para tomar esas decisiones, el T.D puede

utilizar criterios de toma de decisiones que no tomen en cuenta las

probabilidades. Por otro lado. El T.D podra utilizar probabilidades subjetivas

para determinar una decisin. Las probabilidades subjetivas las genera cada

individuo que toma decisiones, sin el uso de datos previos.

TABLA 12-1. Tabla de utilidades para la Pizzera Ashley

Nmero de pizzas que se hornean con anticipacin

Demanda de pizzas

150

160

170

180

150 300 300 300 300 160 290 320 320 320 170 280 310 340 340 180 270 300 330 360



TABLA 12-2. Valores presentes de la decisin de ubicacin

Decisin

Accin externa

Ninguna

Cerrar los antiguos dormitorios

Construir nuevos departamentos

No mudarse +$100,000 +$50,000 +$20,000 Baxter St. +$40,000 +$150,000 +$25,000 Epps Bridge Rd. -$20,000 +$20,000 +$200,000

TIPOS DE DECISIONES

En esencia existen tres tipos principales de decisiones.

1. decisiones bajo certidumbre

2. decisiones en las que pueden usarse datos previos para calcular

probabilidades que se emplean en la toma de decisiones

3. Decisiones para las cuales existen datos previos que permiten

calcular probabilidades

Se analizara cada tipo de decisin y se darn las condiciones bajo las cuales

ocurre cada uno de esos tipos.

Toma de decisiones bajo certidumbre

En los casos en que existe slo un resultado para una decisin se estn

tomando decisiones bajo certidumbre. Ejemplos de eso son la programacin

lineal y la programacin en enteros. En ambos casos, si se decide que un

grupo de variables sea positivo (es decir, si se toma una decisin) no hay duda

con respecto a cul ser la utilidad asociada con esa decisin. No nos interesa

este tipo de decisiones puesto que se les dedico mucha atencin en captulos

anteriores. Ms bien orientaremos la atencin a situaciones en las que no se

conoce con seguridad el resultado asociado con la decisin; es decir, es

posible producir ms de un resultado para una sola decisin.

Toma de decisiones utilizando datos previos

En los casos en los que debe tomarse una decisin en forma repetida y se

tienen muchos resultados posible, y las circunstancias que rodean a la decisin

son siempre iguales, se tiene lo que podra denominarse decisiones utilizando

datos previos. Dado que es posible valerse de la experiencia pasada para



desarrollar probabilidades con respecto a la ocurrencia de cada resultado, en

este tipo de toma de decisiones se utilizan modelos basados en probabilidades.

Son tres las condiciones necesarias para este tipo de toma de decisiones:

1. las decisiones se toman bajo las mimas condiciones

2. existe ms de un resultado para cada decisin

3. existe experiencia anterior que puede utilizarse para obtener

probabilidades para cada resultado

Si cualquiera de estas condiciones no se cumple, entonces no se considera

que es una decisin con base en datos previos. Se contemplar un solo

modelo cuantitativo de toma de decisiones para emplearlo en la toma de

decisiones empleando datos previos.

Toma de decisiones sin datos previos

En los casos en los que una decisin no se toma en forma repetida, o no existe

experiencia pasada que puede utilizarse para calcular probabilidades, o las

circunstancias que rodean la decisin cambian de un momento a otro, se

considera que la decisin se toma sin datos previos. Se le domina as debido a

que la misma decisin se toma slo una vez, y como tal, no existe experiencia

pasada disponible que ayud en el proceso de toma de decisiones.

Para este tipo de problema de decisin es posible emplear dos mtodos.

Pueden utilizarse slo los resultados de cada decisin para determinar cul es

la decisin que mejor se ajusta a nuestra opinin de los factores externos que

rodean el problema. Por otro lado, puede decidirse utilizar estimaciones

subjetivas (que no se basan en datos previos), conocidas como probabilidades

subjetivas, para determinar una decisin.

TERMINOLOGA DE MODELOS DE TOMA DE DECISIONES

Al igual que con cualquier tipo de modelo, los modelos de toma de decisiones

tienen una terminologa propia. Esta terminologa describe las tres partes

esencial de una decisin:

decisiones alternativas

1. las decisiones alternativas de entre las cuales el T.D. puede elegir

estados de la naturaleza

2. los estados de la naturaleza, o acciones externas que enfrenta la persona encargada de tomar las decisiones



resultado 3. el resultado que se obtiene por el uso de una alternativa determinada cuando se presenta cierto estado de la naturaleza

rboles de decisin

Se analizan estas tres partes en forma separada, antes de continuar con los diversos modelos de toma de decisiones. Se analiza tambin el uso de los rboles de decisin como medio para estructurar estas tres partes esenciales de una decisin

Decisiones alternativas

satisfaciente

Cuando un T.D enfrenta un problema que requiere una decisin, una de las acciones que debe emprender antes de llegar a una decisin, es determinar las alternativas sobre las cuales se basar la decisin final. En el caso de la Pizzera Ashley, Ashley tiene cuatro alternativas relacionadas con el nmero de pizzas que debe hornear con anticipacin (150, 160, 170, o 180 pizzas). Tambin tiene tres alternativas con respecto a la ubicacin (no mudarse, Baxter Street o Epps Bridge). Este caso ilustra el hecho de que no hacer cosa alguna es tambin una alternativa que quien toma las decisiones debe considerar. Observe tambin que slo se consideran alternativas en vedad viables. La consideracin de slo alternativas verdaderamente viables es una forma de caracterstica de satisfaciente que se mencion antes

Los estados de la naturaleza

Una persona que toma decisiones y que enfrenta una situacin de

decisin en la que pueden producirse resultados mltiples a partir de una

estrategia determinada, enfrenta estados de la naturaleza mltiples o acciones

externas mltiples. Los estados de la naturaleza son las circunstancias que

afectan el resultado de la decisin pero que estn fuera del control del T.D.

Tambin se les denomina acciones externas porque son situaciones que le son

externas.

En el caso de la Pizzera Ashley, en la cual se va a tomar una decisin

con respecto a cuntas pizzas deben hornearse, lo resultados de la naturaleza

se refieren a los niveles de demanda para las pizzas. Es decir, Ashley no

puede controlar el nmero de pizzas que le solicitarn una noche determinada,



aun as, este nivel de demanda tendr efectos sobre las utilidades que obtenga

por cualquier decisin que tome.

Con respecto a la decisin sobre la ubicacin, de nuevo Ashley enfrenta

tres estados de la naturaleza sobre los cuales no tiene control. Estos estados

de la naturaleza estn influidos por las decisiones que alguna otra persona

tomar con respecto a los antiguos dormitorios y los nuevos departamentos.

Las decisiones tendrn un efecto inevitable sobre el valor presente de las

utilidades y esto sin importar qu decisin tome Ashley con respecto a la

ubicacin.

El concepto primordial que debe recordarse acerca de los estados de la

naturaleza, es que se trata de condiciones externas que tienen efecto sobre los

resultados que se obtienen de diversas decisiones alternativas. De nuevo, y al

igual que en la seleccin de alternativas, es importante considerar slo

condiciones del medio ambiente que tengan un efecto significativo sobre los

resultados.

Resultados

tabla de pagos

Para cada combinacin de estrategia y estado de la naturaleza habr un resultado. Este resultado puede expresarse en trminos de utilidades (como en el caso del problema de elegir el nmero de pizzas que deben hornearse), puede expresarse en trminos de valores presentes (como en el caso de la decisin sobre la ubicacin), o puede expresarse en trminos de alguna medida no monetaria. Para determinar los resultados es necesario considerar todas las posibles combinaciones de decisiones y de estados de la naturaleza para determinar el resultado que se obtendra si se utiliza una alternativa dada y si ocurre un estado especfico de la naturaleza. Por ejemplo, en el problema de la ubicacin de la pizzera, si Ashley decidiera no mudarse y se cerraran los antiguos dormitorios, se calcul que el resultado sera de $ 50,000. En esa situacin, dado que haba tres alternativas y tres estados de la naturaleza, existen 3 x 3 = 9 resultados que deben calcularse. En general, si existen k alternativas y n estados de la naturaleza, ser necesario calcular (k x n) resultados. Con bastante frecuencia los resultados tambin se denominan pagos y una tabla de resultados se denomina tabla de pagos



rboles de decisin

Una forma clara y sencilla de estructurar el proceso de toma de

decisiones es por medio de un rbol de decisin. El rbol de decisin est

formado de nodos de accin, nodos de probabilidad y ramas. En nuestro rbol

de decisin los nodos de accin se denotarn con un cuadro () y

representarn aquello lugares del proceso de toma de decisiones en los que se

toma una decisin. Los modos de probabilidad se denotarn por medio de un

crculo () e indicarn aquellas partes del proceso de toma de decisiones en las

que ocurre algn estado de la naturaleza. Las ramas se utilizarn para denotar

las decisiones o los estados de la naturaleza. Tambin pueden anotarse

probabilidades sobre las ramas para denotar la probabilidad de que ocurra un

estado determinado de la naturaleza. Por ltimo, se colocan los pagos al final

de las ramas terminales del estado de la naturaleza para mostrar el resultado

que se obtendra al tomar una decisin particular, y que despus ocurra un

estado especfico de la naturaleza. Como ejemplo de rbol de decisin,

considere el caso de un profesor universitario que est tratando de decidir si

debe llevar o no un paraguas a su trabajo el da de hoy. La decisin de llevar el

paraguas se muestra como un nodo de accin en la figura 12-1.

Al final de cada una de las ramas que parten de un nodo de accin

habr un nodo de probabilidad u otro nodo de accin. Los posibles estados de

la naturaleza comenzarn en los nodos de probabilidad. Tambin se muestran

en la figura 12-1 los posibles estados de la naturaleza para la decisin del

profesor. En este caso, hemos anotado tambin sobre la rama de probabilidad

las probabilidades de que haya lluvia o est despejado de acuerdo con la

oficina meteorolgica local.

Ahora, si combinamos los nodos de accin y los nodos de probabilidad

con los pagos para cada combinacin tenemos un rbol de decisin. El

profesor ha determinado los diversos pagos asociados con las cuatro posibles

combinaciones de decisiones y de estados de la naturaleza. Estos pagos se

colocan al final de las ramas terminales de probabilidad. El profesor ha decidido

los siguientes pagos:

llevar el paraguas y que no llueva -1

llevar paraguas y que llueva +20

no llevar paraguas y que no llueva +5

no llevar paraguas y que llueva -40

Utilizando estos pagos es posible construir un rbol final de decisin.

Este rbol se muestra en la figura 12-2.



llevar paraguas

no llevar paraguas

lluvia (0.6)

despejado (0.4)

Empleando la terminologa de alternativas, estados de la naturaleza,

resultados, y los rboles de decisin, ahora se analizarn modelos para la toma

de decisiones, tanto usando datos previos como sin utilizarlos.

TOMA DE DECISIONES SIN DATOS PREVIOS

En esta seccin se analiza un conjunto de modelos de decisin que

pueden usarse sin datos previos. No es posible decir que uno de estos

modelos es ms correcto que cualquier otro. Lo apropiado de cada modelo

depende de la opinin del T.D., y de si ste desea o no utilizar probabilidades

subjetivas. Al analizar cada modelo describiremos bajo qu circunstancias sera

apropiado, y se usar el problema de ubicacin de la Pizzera Ashley como

aplicacin del modelo. En los primeros tres modelos no se utilizaran

probabilidades subjetivas para tomar una decisin, en tanto que en los ltimos

s se hace.

nodo de nodo de accin probabilidad

FIGURA 12-1. Nodos de accin y de probabilidad

accin probabilidad

FIGURA 12-2. rbol de decisin para la decisin sobre el paraguas.

Ramas

llevar paraguas

no llevar paraguas

lluvia (0.6)

lluvia (0.6)

+5

despejado (0.4)

despejado (0.4)

-40

-1

+20



Modelo de decisin del pesimista

La persona que toma decisiones y que es pesimista con respecto a los

estados de la naturaleza o considera, debido a inseguridad econmica, que

debe evitar prdidas altas aun a riesgo de posiblemente perder altas utilidades,

se inclinar a utilizar el modelo de decisin que se conoce como modelo de

decisin del pesimista. El principal concepto en el que se basa este modelo es

evitar prdidas elevadas a inaceptables.

Para implantar este concepto de evitar prdidas se determina el menor

resultado para cada estrategia y despus se elige la que tenga el mayor de

estos resultados menores. Dado que estamos maximizando los resultados

mnimos, este modelo se conoce tambin como el del criterio maximn. El

procedimiento puede describirse como sigue:

Paso 1. Determinar el resultado de menor valor para cada alternativa y

registrarlo en una lista.

Paso 2. De la lista de resultados elegir el valor mximo. La alternativa asociada

con este resultado mximo es la estrategia que debe utilizarse.

Como ejemplo del uso del modelo de decisin del pesimista,

considrese el resultado para la decisin de ubicacin de la Pizzera Ashley

(Tabla 12-3). Si aplicamos ahora el paso 1 del modelo de decisin del

pesimista a este problema podemos listar los resultados mnimos (pagos) y el

estado de la naturaleza asociado con cada uno de esos resultados mnimos

(tabla 12-4).

Si despus aplicamos el paso 2 del modelo maximizamos los valores de

la tabla 12-4 y encontramos que la alternativa que se elige es la A2 (mudarse a

Baxter Street), que da un pago mnimo de $ 25,000. (Esta es la alternativa

marcada con asterisco en la tabla 12-4) Es decir, si Ashley elige la estrategia

de mudarse a Baxter Street, entonces el menor pago que podra esperar sera

de $ 25,000. Si eligiera cualquiera de las otras dos alternativas el pago podra

ser menor que esto.



Es fcil observar por qu este modelo se denomin modelo de decisin

del pesimista. Se supone que suceder lo peor y despus se busca hacer lo

mejor bajo esta consideracin.

TABLA 12-3. Tabla de pagos para el problema de la ubicacin (de la tabla 12-2)

Alternativa

Estados de la naturaleza

Sin

Cambio (N1)

Se cierran los antiguos dormitorios

(N2)

Se construyen nuevos

departamentos (N3)

Permanecer en la ubicacin actual (A1)

+$100,000

+$50,000

+$20,000

Mudarse a Baxter Street (A2) +$40,000 +$150,000 +$25,000 Mudarse a Epps Bridge Road (A3)

-$20,000

+$20,000

+$200,000

TABLA 12-4. Pagos mnimos para el problema de ubicacin

Alternativa

Pago mnimo

A1 $ 20,000 (N3)

A2* $ 25,000 (N3)

A3 -$20,000 (N1)

En otras palabras, consideramos que el medio ambiente es hostil y

trabajamos sobre esa base.

Otra razn por la que podra decidirse utilizar este modelo es el conjunto

de circunstancias que rodean la decisin. En algunos casos no es posible

financias algunos de los resultados que pudieran ocurrir. Por ello, se realiza la

decisin de tal manera que se eviten resultados ruinosos. Por ejemplo, aunque

la estrategia de Baxter Street tiene un pago mnimo de $ 25,000, el pago

mnimo de Epps Bridge Road tiene una prdida de $ 20,000. Si la Pizzera

Ashley no puede permitir prdidas como sta, sera necesario evitar esa

posibilidad al no elegir esta estrategia.

En la figura 12-3, se ha planteado el problema de la Pizzera Ashley en

un rbol de decisin. En este caso existen tres ramas de decisin que

corresponden a no mudarse , mudarse a Baxter Street y mudarse a Epps

Bridge Road. Por cada rama de decisin existen tres ramas de estados de la

naturaleza asociados con un nodo de probabilidad. Esos corresponden a no

mudarse, cerrar los dormitorios y construir nuevos departamentos. Por ltimo,



sin cambio

Mudarse a Epps Bridge Road

Mudarse a Baxter Street

sin cambio

cierran los dormitorios



Se construyen departamentos

se construyen departamentos

se construyen departamentos

para cada combinacin de accin y alternativa existe un pago que se ha

colocado en el extremo final de cada una de las ramas terminales.

Para elaborar la tabla de pago mnimo para el modelo de decisin del

pesimista, todo lo que se necesita hacer es elegir el pago mnimo asociado con

cada rama de decisin.

Modelo de decisin del optimista

El T.D. que considera que el medio ambiente es propicio ser optimista

con respecto al resultado, en vez de ser pesimista. Bajo este supuesto, el T.D.

determinar el mayor pago para cada alternativa y despus elige el mximo de

stos.

accin probabilidad

FIGURA 12-3. rbol de decisin para el problema de Ashley con respecto a mudarse.

$50,000

no mudarse

sin cambio

$20,000

$40,000

$150,000

$200,000

$25,000

$100,000

$20,000

-$20,000



El procedimiento para aplicar el modelo de decisin optimista es el

mismo que se utiliz para el modelo de decisin pesimista, pero con una

excepcin importante. El paso 1 se modificara como sigue:

Paso 1. Para cada alternativa, determine el resultado con el mayor valor

y antelo en una lista.

Paso 2. De a lista de resultados, elija el valor mximo, la alternativa

asociada con este resultado mximo es la estrategia que debe seguirse.

Como ejemplo del uso del modelo de decisin del optimista considrese

de nuevo el problema de la Pizzera Ashley acerca de decidir si debe mudarse

o no. Si se aplica este modelo de decisin a ese problema, el paso 1 produce la

lista que se muestra en la tabla 12-5.

Si despus se aplica el paso 2 del modelo de decisin del optimista, se

maximizan los valores de la tabla 12-5 y se encuentra que la alternativa elegida

es la A3 (mudarse a Epps Bridge Road) con un pago de $200,000, Es decir, si

Ashley elige la alternativa de mudarse a Epps Bridge Road, entonces el pago

mximo que podra esperar es $ 200,000. Si seleccionara cualquiera otra

alternativa el pago sera en definitiva inferior a este valor.

TABLA 12-5. Pagos mximos

Alternativa

Pago mximos

A1 +$100,000 (N1)

A2 +$150,000 (N2)

A3* +$200,000 (N3)

Este modelo de decisin se conoce como modelo del optimista porque el

T.D. tiene una opinin optimista acerca del medio ambiente. Quien toma las

decisiones podra tambin decidir utilizar este modelo en una situacin en la

que la cantidad de dinero que puede perderse (pago negativo) es pequea en

comparacin con la utilidad que puede alcanzarse. En estos casos, se supone

que quien toma las decisiones puede permitirse las prdidas que podran

ocurrir si se utiliza el modelo del optimista. En nuestro ejemplo, podra haberse

elegido la alternativa A3 debido a la magnitud del rendimiento $ 200,000 que

era grande en comparacin con la prdida que pudiera haber ocurrido por

elegir esa alternativa, $20,000. El T.D. consider que $ 20,000 no era una

prdida potencial grande al considerar el pago.



Al igual que con el modelo de decisin del pesimista, resulta fcil utilizar

un rbol de decisin en este modelo. El nico cambio consiste en que, en vez

de hacer una lista de los pagos mnimos para cada rama de decisin, se hace

una lista de los pagos mximos.

Modelos de decisin de minimizacin del arrepentimiento.

prdida de oportunidad

Otro modelo de decisin que representa una opinin bastante pesimista del medio ambiente es el de la minimizacin del arrepentimiento, tambin conocido como minimizacin de las prdidas de oportunidad. Para comprender este modelo de decisin es necesario definir una prdida de oportunidad. Para un estado de la naturaleza determinado existen siempre una o ms alternativas que producen el mayor pago. Si se elige una estrategia que d como resultado un pago inferior al mximo para ese estado de la naturaleza en particular, entonces se incurre en una prdida de oportunidad que es igual a la diferencia entre el pago ms alto y el pago que se da con la estrategia elegida, y se siente arrepentimiento. En otras palabras, para un estado determinado de la naturaleza.

prdida de oportunidad = pago mximo pago por la alternativa seleccionada (12.1)

Las prdidas de oportunidad son la cantidad que se pierde cuando la alternativa que se eligi no era la mejor. Si la decisin conduce al pago ms alto para un estado de la naturaleza particular, no hay prdida de oportunidad y no se siente arrepentimiento. Como ejemplo del modelo de prdida de oportunidad o de arrepentimiento considrese el primer estado de la naturaleza (no cambiarse) para el problema de ubicacin de la Pizzera Ashley. Esta columna de la tabla de pagos se muestra en la tabla 12.6

TABLA 12-6 Pagos del primer estado de la naturaleza

Alternativa

Sin cambio (N1)

A1 +$100,000

A2 +$40,000

A3 -$20,000

Usando los valores de la tabla 12-6 se determina que el mximo pago es $ 100,00 y ocurre para A1 (no mudarse). Tomando este valor y la ecuacin (12.1) puede calcularse



-

=

tabla de arrepentimientos

la prdida de oportunidad para cada alternativa (vase tabla 12-7). Utilizando el mismo procedimiento puede calcularse la prdida de oportunidad para el segundo y tercer estados de la naturaleza. Cuando se anotan en una tabla combinada los valores de oportunidad para todos los estados de la naturaleza se tiene una tabla de arrepentimientos. Una tabla de este tipo para el problema de la pizzera Ashley se muestra en la tabla 12-8. Se busca evitar valores grandes de arrepentimiento puesto que estn asociados con prdidas grandes de oportunidad. Esta clase de toma de decisiones es similar al modelo de decisin del pesimista, excepto que aqu se busca minimizar las prdidas mximas de oportunidad. Es posible plantear un procedimiento paso a paso para el modelo de decisin de minimizacin del arrepentimiento de la siguiente manera:

TABLA 12-7 Clculo de la prdida de oportunidad para N1.

Alternativa

Pago mximo

Pago de la alternativa

Prdida de oportunidad

A1 $100,000 $100,000 0 A2 $100,000 $40,000 $60,000 A3 $100,000 -$20,000 $120,000

TABLA 12-8 Tabla de arrepentimiento

Alternativa

Estado de la naturaleza

Sin cambio (N1)

Cerrar los Antiguos Dormitorios (N2)

Construir nuevos departamentos (N3)

No mudarse (A1) 0 $100,000 $180,000 Mudarse a Baxter Street (A2)

$60,000

0

$175,000

Mudarse a Epps Bridge Road (A3)

$120,000

$130,000

0

Paso 1. Para cada estado de la naturaleza:

a. Determine el pago ms alto

b. Calcule las prdidas para cada alternativa, utilizando la ecuacin (12.1).

c. Coloque estos valores de prdida de oportunidad en una tabla de

arrepentimiento.

Paso 2. Para cada alternativa de la tabla de arrepentimientos, determine la

prdida mxima de oportunidad y coloque este valor en una lista

Paso 3. Utilizando la lista del paso 2, determine la mnima de las prdidas

mximas de utilidad. La alternativa correspondiente es la que debe elegirse.



Si se utiliza este procedimiento paso a paso para generar la tabla de

arrepentimiento de la tabla 12-8, se llega en el paso 2 a la lista de valores

mximos de prdida de oportunidad que se muestran en la tabla 12-9.

Utilizando el paso 3, se elige entonces la alternativa A3 (mudarse a Epps

Bridge Rosad) puesto que es el menor valor de la lista de prdidas mximas

de oportunidad con el valor de $130,000. Esta alternativa est marcada con un

asterisco en la tabla 12-9.

En este modelo de decisin quien toma las decisiones busca evitar prdidas

elevadas de oportunidad a travs de un anlisis minimx de la tabla de

arrepentimientos. Al hacer esto, quien toma las decisiones minimiza la

diferencia mxima que puede ocurrir entre la mejor alternativa para un estado

determinado de la naturaleza y cada uno de los resultados. Al elegir una

alternativa quien toma las decisiones se asegura de minimizar el

arrepentimiento mximo o prdida de oportunidad.

TABLA 12.9 Valores del arrepentimiento mximo

Alternativa

Mxima prdida de oportunidad

A1 $180,000 (N3) A2 $175,000 (N3) A3* $130,000 (N2)

Modelo de decisin de maximizacin del pago promedio

En los casos en los que quien toma las decisiones se enfrenta a alternativas

mltiples en las que cada alternativa tiene a su vez resultados mltiples, es una

prctica comn encontrar el pago promedio para cada estrategia y elegir

despus la alternativa que tenga el mayor pago promedio. En este modelo de

decisin, si existen n resultados para cada alternativa con

Oij = pago para la i-sima alternativa dado el j-simo estado de la

naturaleza, y

Vi = pago promedio para la i-sima alternativa

Entonces



(12.2)

Por ejemplo, en el problema del cambio de ubicacin de la Pizzera Ashley el

pago promedio para la primera alternativa est dado por

V1 = (1000,000+ 50,000 + 20,000)/3 = $ 56,667 (AI)

en tanto que

V2 = (40,000 + 150,000 + 25,000)/3 = $71,667 (A2)

y

V3 = (-20,000 + 20,000 + 200,000)/3 = $66,667 (A3)

Utilizando estos valores, quien toma las decisiones elabora una lista de valores

promedio a la que se realiz en los tres modelos anteriores de decisiones. En

este caso, esa lista se muestra en la tabla 12-10. Cuando se maximizan estos

pagos promedio se elige la estrategia A2 (mudarse a Baxter Street). Esta

alternativa aparece sealada con un asterisco en la tabla 12-10.

TABLA 12-10 Pagos promedio

Alternativa

Pagos promedio

A1 $56,667

A2* $71,667

A3 $66,667

En seguida se presenta una descripcin detallada del modelo de

decisin del pago promedio mximo:

Paso 1. Para cada alternativa, calcule el pago promedio para todos los

estados de la naturaleza y coloque estos valores en una lista.

Paso 2. Determine el mayor valor de la lista de pagos promedio. La

alternativa que corresponde a este pago es la que debe seleccionarse.

Desde un punto de vista intuitivo no parecera que el modelo de decisin

del pago promedio mximo dependa de probabilidades. Sin embargo, al tomar

los promedios de los resultados para cada decisin estamos diciendo en forma

implcita que los resultados son igualmente probables. En trminos de

probabilidades, la probabilidad de que ocurra cada resultado es igual 1/n en

donde n es el nmero de resultados. En otras palabras, si pi = probabilidad del i-

simo resultado, entonces p1 = p2 = = pn = 1/n.



Despus pueden utilizarse estas probabilidades para calcular el valor

monetario esperado (VME) para cada decisin. El VME se basa en el concepto

de valor esperado de la teora de la probabilidad. Si existen digamos, n

resultados para un experimento en donde cada resultado tiene un rendimiento

rj y una probabilidad de ocurrencia de pj, entonces el valor esperado de ese

experimento est dado por

(12.3)

Donde

(12.4)

Por ejemplo, si lanzramos un solo dado con la misma probabilidad de

ocurrencia para cada uno de los seis lados y el rendimiento fuera igual al

nmero que se obtuvo, entonces el valor esperado de ese experimento sera:

Valor esperado = ( ) (1) + (( ) (2) + ( )(3) + ( )(4) + ( )(5) + ( )(6)

= 3

Si el rendimiento est dado en trminos de dinero entonces el valor

esperado se convierte en el valor monetario esperado.

En el caso de probabilidades igualmente posibles,

(12.5)

valor esperado =

=====

= 1

VME =



Esta es la misma frmula dada en la ecuacin (12.2), lo cual demuestra

que el modelo de decisin de pago promedio mximo es lo mismo que utilizar

un enfoque de VME mximo con probabilidades iguales.

Modelo de probabilidades subjetivas.

utilidad

Aunque no siempre es posible hacer uso de datos previos para calcular probabilidades para la ocurrencia de diversos resultados, pueden utilizarse probabilidades subjetivas. Estas probabilidades se basan en una multitud de experiencias anteriores, que quien toma las decisiones puede emplear para asignar probabilidades a los resultados. Las probabilidades subjetivas son el concepto bsico sobre el cual se basan las apuestas. Cada apostador asigna una probabilidad diferente a los diversos resultados de una carrera o de algn otro juego de azar y despus evala los resultados para decidir cmo se debe apostar. Muchos aspectos intervienen en la forma en que el apostador asigna probabilidades, incluyendo el nmero de acciones, el peso que el apostador asigna a cada opcin y las experiencias pasadas con respecto al evento. En los negocios, es ocurrencia de diversos resultados con base en un juicio personal respecto a las condiciones del mercado, a las acciones futuras de un competidor, a la importancia del producto que se considera, etc. En algunas ocasiones la intuicin o una corazonada conduce a una persona que toma decisiones a asignar probabilidades por razones que no pueda definir. Una vez que se asignan las probabilidades subjetivas, quien toma las decisiones debe decidir si es adecuado utilizar valores monetarios para los pagos (tanto positivos como negativos) en el clculo de los valores esperados. En otras palabras, existe una relacin lineal entre el dinero implicado y la utilidad que logra quien toma las decisiones con cada resultado? En este caso, la utilidad se refiere a las consecuencias no monetarias de la ocurrencia de un resultado. Para comprender mejor este concepto considere la situacin que enfrenta Gene Van Etten, un laborioso estudiante universitario que trabaj todo el verano para pagar los $3,000 que necesita para pagar los gastos de su siguiente ao escolar. Gene ha ganado tambin otros $1,000 que planea destinar a la adquisicin de un automvil. Gene piensa que necesita otros $1,000 para comprar el MG que desea por lo que ha decidido apostar en una quiniela local de futbol. Ha investigado la quiniela y ha determinado que con una apuesta de $1,000 en el juego semiprofesional



de esta semana entre los Winemucca Road Runners y los Waynesville Critters, podra ganar $1,000 si elige el equipo ganador. Tambin descubri que con una apuesta de $4,000, podra ganar $6,000. En la primera apuesta terminara con $3,000 o $5,000, en tanto que con la segunda apuesta tendra nada o $10,000. La decisin que debe tomar Gene es en qu apuesta debe invertir. Si Gene utiliza un clculo directo de valor esperado y piensa que tiene una probabilidad del 50% de ganar cualquier apuesta, para la Apuesta 1 el VME es (0.5) (5 000) + (0.5) (3000) = $4,000. De manera similar, para la Apuesta 2, el VME es (0.5) (10,000) + (0.5) (0) = $5,000. Por ello, si Gene utiliza el valor monetario como criterio de decisin que es evidente que elegira la Apuesta 2, puesto que su VME es ms alto. Pero, qu sucede con las consecuencias no monetarias? Si Gene participa en la Apuesta 1 obtendr dinero suficiente para comprar un automvil o perder los $1,000. Si participara en la Apuesta 2, tendr mucho ms dinero si gana, pero si pierde no podr ir a la escuela ese ao. Si se le pidiera a Gene asignar cierta clase de valores de utilidad a cada uno de esos resultados en una escala del 1 al 10 (cualquier escala es til), podra asignar los siguientes valores: Resultado Valor de la

utilidad

Tener $ 5,000 (Apuesta 1) 8 Tener $ 3,000 (Apuesta 1) 4 Tener $10,000 (Apuesta 2) 9 No asistir a la escuela (Apuesta 2) 1

Si Gene calculara los valores no monetarios esperados de las Apuestas 1 y 2, encontrara que el valor utilitario esperado (VUE) de la Apuesta de es (0.5) (8) + (0.5) (4) = 6 y el VUE de la Apuesta es (0.5) (9) + (0.5) (1) = 5. Utilizando el VUE, Gene elegira la Apuesta 1. Este tipo de razonamientos se ajusta al concepto de la persona racional que busca en forma constante maximizar su utilidad esperada. Si aplicamos el anlisis utilitario esperado a la Pizzera Ashley y a la decisin con respecto a mudarse necesitaramos pedirle a Ashley dos tipos de informacin. En primer lugar, debemos saber si los dlares que aparecen en la tabla de pagos (tabla 12-3) representan en realidad todas las consecuencias de cada decisin, tanto monetarias como no monetarias. Si no es as, entonces, sera necesario elaborar una tabla de valores de utilidad para Ashley. Puede hacerse esto igual que en el ejemplo anterior a travs de diversos mtodos estructurados. En segundo lugar, deberamos pedir a Ashley una estimacin de la



probabilidad de ocurrencia de cada resultado. (No analizaremos aqu el clculo de las utilidades y de las probabilidades subjetivas, pero el lector interesado puede encontrar anlisis ms detallados en las referencias que se listan al final del captulo.) Despus podramos utilizar el valor superado para elegir una alternativa. Supongamos que Ashley est satisfecha con los valores monetarios de la tabla de pagos como representacin de las consecuencias de cada decisin. Estima que existe una probabilidad 0.4 de que no haya acciones externas (resultado 1), una probabilidad 0.3 de que se cierren los antiguos dormitorios (resultado 2) y una probabilidad 0.3 de que se construyan los nuevos departamentos (resultado 3). Ahora, es posible calcular los valores utilitarios esperados para cada decisin: A1: VUE1 = (0.4) (100,000) + (0.3)(50,000) + (0.3) (20,000) = $ 61,000 A2: VUE2 = (0.4) (40,000) + (0.3)(150,000) + (0.3)(25,000) = $ 68,500 A3 : VUE3 = (0,4) (-20,000) + (0.3)(20,000) + (0.3)(200,000) = $ 58,000

Utilizando el mtodo de la probabilidad subjetiva, Ashley eligira la alternativa A2 (mudarse a Baxter Street). Si usamos un rbol de decisin para representar esto el rbol se asemejara al que aparece en la figura 12-3, excepto que ahora incluimos probabilidades en cada rama de resultados (fig. 12-4). Esas probabilidades slo se multiplican por el resultado que aparece al final de cada rama y se suman para todos los resultados de cada una de las ramas de estrategias con el objeto de calcular el valor esperado (VME o VUE) para cada alternativa. Como ejemplo de los clculos de valor esperado utilizando un rbol de decisin considrese la rama A1 (no mudarse). En esta rama si multiplicamos los resultados que aparecen al final de cada una de las ramas de estados de la naturaleza por las probabilidades de la rama y despus sumamos, se obtiene

(0.4) (100,000) + (0.3) (50,000) + (0.3) (20,000) = $61,000

lo cual es el mismo VUE que se calcul antes para A1, solo que ahora utilizamos el rbol de decisin en los clculos. Obsrvese que el VUE sera exactamente el mismo para el mtodo del pago promedio mximo, si se reemplazan las probabilidades subjetivas por probabilidades igualmente posibles. En este caso, la probabilidad de cada rama sera 0.3333, puesto que existen tres resultados para cada rama de decisin.



mudarse a Baxter Street (A2)

mudarse a Epps Bridge Road (A3)

(N1) sin cambio (0.4) (N2) cierran

dormitorios (0.3)

(N1) sin cambio (0.4)

(N1) sin cambio (0.4) (N2) cierran

dormitorios (0.3)

(N2) cierran

dormitorios (0.3)

(N3) se construyen

departamentos (0.3)

(N3) se construyen

departamentos (0.3)

(N3) se construyen

departamentos (0.3)

FIGURA 12-4 rbol de decisin para el problema de mudarse

Una advertencia con respecto a los modelos de decisin

En esta seccin se han analizado modelos de decisin basados en

probabilidades y otros que no se basan en ellas para situaciones en las que no

existe experiencia previa. Debe observarse que es necesario tener cuidado al

utilizar estos modelos porque resulta muy fcil crear problemas en los que

pueden ocurrir resultados poco realistas. En el caso de los modelos que no se

basan en probabilidades (modelo del pesimista, del optimista y de minimizacin

del arrepentimiento), en cada uno de ellos es posible desarrollar un problema

en el que el empleo del modelo conduzca a decisiones muy deficientes. Por

ejemplo, considere el problema que se muestra en la tabla 12-11.

Si en esa tabla se toma lo peor que pueda suceder para cada

alternativa, A1 y A2, y se hace una lista, se obtiene la tabla 12-12. Utilizando el

modelo de decisin del pesimista, elegiramos entonces la alternativa A2

puesto que 0 es mayor que -10. Hemos ignorado por completo el hecho de que

existe un pago positivo de $400,000.

no mudarse (A1)

$ 50,000

$ 20,000

$ 40,000

$ 150,000

$ 25,000

$ -20,000

$ 20,000

$ 200,000

$ 100,000



Este ejemplo tal vez parezca

exagerado, pero sirve para sealar el

tipo de resultados que pueden

obtenerse cuando no se considera toda la informacin existente al tomar una

decisin. Hay otros modelos que no se basan en probabilidades en que se

pretende incorporar el grado de optimismo de quien toma las decisiones; pero

el hecho de que estos modelos no toman en consideracin la naturaleza

probabilstica del medio ambiente los deja expuestos a crticas.

Por otro lado, tambin debemos estar conscientes de los problemas que

pueden presentarse al utilizar el mtodo VME para tomar decisiones sin

considerar las consecuencias no monetarias. Como se vio en el ejemplo del

estudiante universitario que estaba considerando dos alternativas de apuestas,

elegir siempre la alternativa que tiene el mayor VME puede conducir a

consecuencias desastrosas. Y, como se observaba en el ejemplo del pago

promedio mximo, el valor esperado o promedio que se calcula puede no

ocurrir en realidad. En el ejemplo del estudiante universitario, el VME ms alto

era $5,000 y, sin embargo, los dos resultados eran $10,000 y $0. Slo cuando

se combinan las consecuencias monetarias y no monetarias en una escala de

utilidad es posible confiar en el uso del valor esperado como criterio de decisin

cuando no existen datos previos y se utilizan probabilidades subjetivas.

TOMA DE DECISIONES UTILIZANDO DATOS PREVIOS

En los casos en que debe repetirse varias veces una decisin bajo

condiciones similares y existe experiencia anterior que puede utilizarse para

tomar estas decisiones, la situacin se conoce como toma de decisiones

utilizando datos previos. En el caso de la Pizzera Ashley, el problema de

determinar cuntas pizzas hornear es un ejemplo de toma de decisiones

utilizando datos previos. En esa situacin, supusimos que habra una demanda

de 150, 160, 170 o 180 cada noche, pero no es posible saber con anticipacin

cul ser esa demanda en una noche determinada. Se tiene experiencia

anterior que puede ayudarnos a tomar la decisin y suponemos que las

condiciones que rodean a la decisin sern las mismas todas las noches. En

las ocasiones en las que las condiciones pueden diferir (por ejemplo, despus

TABLA 12-11 Desventajas del modelo del

Pesimista

Alternativa

Estado de naturaleza

N1

N2

A1 -10 400,000

A2 0 0

TABLA 12-12 Pagos mnimos para el

Modelo del pesimista

Alternativa

Pago mnimo

A1 -10

A2* 0



de un juego de futbol o durante una tormenta de nieve) no sera apropiado

utilizar el enfoque anterior basado slo en la experiencia previa con la demanda

diaria.

Nmero de pizzas que se solicitan 150 160 170 180

Nmero de das 20 40 25 15

Utilizando estos datos deseamos tomar decisiones con respecto al

nmero de pizzas que deben hornearse cada noche. Existen dos mtodos para

analizar los datos para la toma de decisiones, el clsico y el bayesiano.

Consideraremos ambos tipos de anlisis, pero haremos hincapi en el mtodo

bayesiano para la toma de decisiones.

Comparacin de los anlisis bayesianos y clsico para la toma de

decisiones.

Cuando existen datos previos disponibles para auxiliarse en la toma de

decisiones, es posible utilizar dos tipos de anlisis. Se les define en forma

amplia como anlisis bayesiano y anlisis clsico. En el anlisis bayesiano se

combinan los datos previos (o probabilidades subjetivas) con datos muestrales

o de prueba, utilizando la frmula desarrollada por el ministro ingls Thomas

Bayes.

En el anlisis clsico se utilizan los datos previos para elaborar una regla

de decisin y despus se corre una prueba o se toma una muestra. La decisin

se toma con base en el resultado de la prueba o muestra. Este es el tipo de

anlisis que por lo general se ensea en los cursos introductorios de

estadstica bajo el nombre de pruebas de hiptesis. Por ejemplo, en el caso de

la Pizzera Ashley, puede determinarse la demanda esperada por medio del

siguiente clculo:

Demanda esperada = (0.2)(150) + (0.4)(160) + (0.25)(170 + (0.15)(180)

= 163.5

Con base en la demanda esperada, Ashley podra esperar que la

demanda excediera, en promedio, las 160 pizzas por noches. Para probar esta

expectativa, puede utilizarse el anlisis clsico.

Para usar este anlisis clsico, primero plantearamos la siguiente

hiptesis nula, utilizando el valor esperado que se calcul con los datos

previos.

Ho = 160



Esta hiptesis nula dice que los datos previos indican que la demanda

promedio a largo plazo, o media , ser mayor o igual a 160 pizzas. Utilizando

los datos previos se plantea una hiptesis alternativa de que la demanda es

menor de 160 pizzas.

H1 : 160

(o que la demanda media es inferior a 160 pizzas.)

Para tomar una decisin tomaras una muestra de los valores de la

demanda para cierto nmero de noches. Con base en esta muestra podramos

aceptar la hiptesis nula y asegurar que la demanda media de Ashley es de

160 o ms pizzas por noche. Por otro lado, la muestra podra conducirnos a

rechazar la hiptesis nula y a afirmar que, despus de todo, la demanda

promedio en realidad no es de 160 o ms pizzas.

En el anlisis bayesiano se elabora una matriz de decisin que contiene

las consecuencias monetarias de diversas decisiones. Con esta matriz de

decisin, en el anlisis bayesiano se realiza primero un anlisis previo

utilizando los datos anteriores. A esto le sigue un segundo anlisis o

preposterior, en el cual se determina si resultara til llevar a cabo pruebas o

muestras adicionales. Si el anlisis preposterior muestra que las pruebas o las

muestras sera econmicamente tiles, entonces se llevan a cabo. Si se toma

una muestra o se lleva a cabo una prueba, se utilizan los resultados para

modificar las probabilidades previas con el objeto de determinar las

probabilidades posteriores o despus de la prueba. Estas probabilidades

posteriores combinan tanto los datos previos como los resultados de la prueba

o muestra.

Al comparar el anlisis clsico con el bayesiano, se observa que en el

primero siempre se procede a realizar una prueba o a recolectar una muestra,

pero en el anlisis bayesiano slo se hace esto despus de que un anlisis

preposterior de los datos haya mostrado que pruebas o muestras adicionales

seran econmicamente valiosas. Esta decisin de probar o muestrear, o no

hacerlo, combinada con la modificacin de las probabilidades con base en las

pruebas, es lo que da al anlisis bayesiano ventajas con respecto al anlisis

clsico, ya que permite una toma de decisiones ms econmica.

En el resto del captulo se presenta una introduccin al anlisis

bayesiano y se aplica este anlisis al caso de la Pizzera Ashley.

Anlisis bayesiano

Para comenzar un anlisis bayesiano del caso de la Pizzera Ashley, en

primer lugar necesitamos una matriz de decisin que muestre las



consecuencias econmicas de diversas decisiones. Para hacer esto,

ampliaramos la tabla de utilidades 12-1 para convertirla en la tabla de

utilidades 12-13. Esta tabla ampliada incluye los pagos para cada estado de la

naturaleza y cada alternativa, y la porcin de tiempo en que ocurri cada

estado de la naturaleza. Esta fraccin se encuentra dividiendo el nmero de

das de cada estado de la naturaleza entre el nmero total de das para todos

ellos. Se estudiaron 20 + 40 + 25 + 15 = 100 das, por ello, para el primer

estado de la naturaleza, la fraccin es 20/100 = 0.20. Estas fracciones son

equivalentes a probabilidades, dado que su suma es igual a uno y reflejan la

proporcin de tiempo que ocurri cada estado de la naturaleza. Consideramos

que se observar la misma proporcin en el futuro.

TABLA 12-13 Tabla de utilidades

Nmero de pizzas que se hornean con anticipacin

Nmero de pizzas que se solicitan

150

160

170

180

150 300 300 300 300 160 290 320 320 320 170 280 310 340 340 180 270 300 330 360

Fraccin de tiempo

0.20

0.40

0.25

0.15

Utilizando esta informacin, si existen n estados de la naturaleza, es

posible calcular el VME para cada alternativa, por medio de la frmula que

sigue:

Donde 0ij = pago utilizando la i-sima alternativa si ocurre

El j-simo estado de la naturaleza

pj = probabilidad de que ocurra el j-simo estado de la naturaleza

VME1 = valor monetario esperado para la i-sima alternativa

VME1 =



Si se aplica este modelo de decisin al problema de la Pizzera Ashley,

con respecto a cuntas pizzas hornear con anticipacin, se tienen los

siguientes clculos:

VME1 = (0.20)(300) + (040)(300) + (0.25)(300) + (0.15)(300) = $ 300.00

VME2 = (0.20)(290) + (040)(320) + (0.25)(320) + (0.15)(320) = $ 314.00

VME3 = (0.20)(280) + (040)(310) + (0.25)(340) + (0.15)(340) = $ 316.00

VME4 = (0.20)(270) + (040)(300) + (0.25)(330) + (0.15)(360) = $ 310.50

Despus, se anotan estos valores monetarios esperados en una lista a

partir de la cual se determina el mximo (ver la tabla 12-14). Se encuentra que

el VME es $316 y ocurre para una decisin de hornear 180 pizzas. La

interpretacin de este valor es que si Ashley horneara 170 pizzas cada noche,

entonces su utilidad promedio a largo plazo sera de $316 por noche.

Obsrvese que en ningn momento ocurrira este valor en realidad, es un valor

promedio para una gran cantidad de aplicaciones de la alternativa bajo

condiciones similares. Esta alternativa est marcada con un asterisco en la

tabla 12-14.

Enseguida se presenta un procedimiento paso a paso para el modelo de

decisin VME.

Paso 1. Calcular las probabilidades, pj, para la ocurrencia de cada

estado de la naturaleza.

Paso 2. Calcular el VME para todas las alternativas utilizando la

ecuacin (12-6) y anotar estos valores en una lista.

Paso 3. Utilizar la lista de VMEs calculada en el paso 2 para determinar

el valor mximo. La alternativa que corresponde al VME mximo en la decisin

que debe tomarse.



FIGURA 12.5. rbol de decisin para el horneado previo de pizzas.

Demanda de 160 pizzas (0.4)








Demanda de

170 pizzas (0.25)

Demanda de

170 pizzas (0.25)

Demanda de

170 pizzas (0.25)

Demanda de

170 pizzas (0.25)

Esta es la porcin a priori de un analstica bayesiano.

TABLA 12-14 Valores monetarios esperados.

Alternativa

VME

150 (A1) $ 300.00 160 (A2) 314.00 170 (A3) 316.00* 180 (A4) 310.40

Hornear 180 piezas

Hornear 170 piezas

Hornear 160 piezas

Hornear 150 piezas

$316

$314

$300

$280

$310

$340

$340

$270

$300

$330

$360

$310.50

$300

$300

$290

$320

$320

$320

$300

$300







Uso de rboles de decisin para problemas con datos previos.

Al igual que con los problemas de decisin en los que no existen datos

previos disponibles, es posible (y en muchas ocasiones aconsejable) utilizar

rboles de decisin para determinar cul es la decisin correcta. En el caso de

los problemas en que existen datos previos, se construye un rbol de decisin

de la misma forma en que se hizo para otros tipos de problemas, la nica

diferencia es que se incluyen las probabilidades calculadas en las ramas de

probabilidad y estas probabilidades se utilizan para calcular los VME. En el

caso de la decisin de la pizzera con respecto a cuntas pizzas hornear con

anticipacin, habr cuatro ramas de decisin que corresponden a hornear, 150,

160, 170 o 180 pizzas. Al final de cada rama de decisin habr un nodo de

probabilidad que tiene cuatro estados de la naturaleza que corresponden a la

demanda de 150, 160, 170 y 180 pizzas. En cada rama de estado de la

naturaleza habr tambin una probabilidad de que ocurra ese estado y al final

de cada una de las ramas de estado de la naturaleza habr un resultado o

utilidad para cada decisin y estado de la naturaleza. El rbol de decisin para

la Pizzera Ashley se muestra en la figura 12-5.

Utilizando los valores de las utilidades y las probabilidades para cada

rama de estado de la naturaleza, se calcula el VME para cada nodo de

probabilidad utilizando la ecuacin (12.6). Es fcil hacer esto multiplicando

cada probabilidad por la utilidad correspondiente y sumando todos estos

productos para cada nodo de probabilidad. Los VME estn anotados por

debajo de cada nodo de probabilidad y el VME mximo est anotado bajo el

punto de decisin. La decisin a la que corresponde el VME es el nmero

mximo, a largo plazo, de pizzas que deben hornearse; 170 pizzas, en este

caso las que arrojan utilidades diarias de $316.

Este problema se denomina comnmente problema del vendedor de

diarios. El nombre proviene de la situacin de un vendedor de diarios que

intenta decidir cuntos debe comprar cada da para vender. El concepto es

exactamente el mismo que decidir el nmero de pizzas que deben hornearse

con anticipacin.

El valor de la informacin perfecta

Con frecuencia surge la siguiente pregunta: cunto estara dispuesta a

pagar la persona que toma las decisiones para obtener informacin adicional

sobre cules sern las circunstancias reales? Antes de poder responder esta

pregunta necesitamos conocer el valor de la informacin misma. Si la

informacin es perfecta, es decir, si la informacin nos dice exactamente qu

es lo que va a ocurrir, resulta bastante sencillo responder la pregunta. Se

considera el aspecto de la informacin imperfecta en una seccin posterior.



Si sabemos con exactitud cul estado de la naturaleza ocurrir, es fcil

determinar la alternativa que debe elegirse. Se elegira la alternativa que

produce el mayor pago para cada estado de la naturaleza. En el problema de la

Pizzera Ashley, para un nmero determinado de demanda de pizzas,

elegiramos hornear con anticipacin el nmero de pizzas que maximizara las

utilidades netas. Por ejemplo, para la situacin en la que supiramos que

habra una demanda de 160 pizzas, las utilidades mximas ocurriran si se

hornearan 160 pizzas, y esa utilidad sera $320. Si calculramos esto para

cada uno de los estados de la naturaleza se generara la lista que aparece en

la tabla 12-15.

TABLA 12-15 Pagos mximos

Pizzas que se solicitan (estados de la naturaleza)

Decisin con pago mximo

Pago

150 150 $300 160 160 $320 170 170 $340 180 180 $360

Puesto que cada estado de la naturaleza ocurre slo durante una fraccin del

tiempo, es posible calcular el valor monetario esperado para el caso de la

informacin perfecta utilizando los pagos mximos y las probabilidades para

cada estado de la naturaleza. En el caso que se muestra en la tabla 12-15, el

valor monetario esperado de la informacin perfecta (VME1p) se calcula de la

siguiente manera

VME1p = (0.2)(300) + (0.4)(320) + (0.25)(340) + (0.15)(360)

VME1p = $ 327

Por ello, si conociramos con anticipacin qu estado de la naturaleza

ocurrir y si eligiramos cada vez la decisin que arrojara las mximas

utilidades, la utilidad promedio a largo plazo que obtendramos sera $327. En

general, esto se plantea de la siguiente manera

(12.7)

VME1P =



donde Oij = la mxima utilidad para cada estado de la naturaleza

pj = la probabilidad de cada estado de la naturaleza

Para calcular el valor de la informacin perfecta, lo nico que se hace es

calcular la diferencia entre el valor monetario esperado para la informacin

perfecta y ese mismo valor monetario esperado sin informacin perfecta:

VPI = VME1p - VME1p

(12.8)

donde VIP = valor de la informacin perfecta

VME1p = VME para la informacin perfecta

VME* = VME mximo sin informacin perfecta

En el caso de la pizzera, VME1p = $327 y VME* = $316, POR LO QUE

vip = 327 - $316 = $11. Puede verse a partir de esto que Ashley estara

dispuesta a pagar hasta $11 por da para conocer con anticipacin

exactamente cuntas pizzas se requerirn cada da. Si la informacin no es

perfecta, o el costo de la informacin es mayor de $11, entonces podra

arreglrselas mejor sin conocer la informacin en forma anticipada.

El valor de la informacin de prueba

En la seccin anterior presentamos el clculo del valor de la informacin

perfecta. Sin embargo, en trminos prcticos, por lo general la informacin

proviene del algn procedimiento imperfecto de prueba. Con esto quiere

hacerse notar que la informacin de la prueba no siempre pronostica en forma

correcta el estado de la naturaleza que ocurrir. Por ejemplo, un meteorlogo

podra, con base en alguna prueba, pronosticar lluvia y, aun as, este estado de

la naturaleza podra ocurrir slo el 70% de las veces que se hace esta

prediccin.

Debido a esta imperfeccin en el poder predictivo de la prueba, el

clculo del valor de la informacin de prueba es algo ms complejo que para la

informacin perfecta. Para comprender el procedimiento que se utiliza para

realizar estos clculos, sea



P (N|R) = la probabilidad de que ocurra en realidad el

evento N, dado que el resultado de la prueba fue R

Dado que la prueba es imperfecta, P (N|R) 1. Por ejemplo, si un

meteorlogo est en lo correcto el 70% de las veces, entonces P (N|R) = 0.7,

donde N = llueve y R = se pronostic lluvia.

Sin embargo, por lo general se desconocen los valores de P (N|R) (lo

cual se lee probabilidad de N dado R) puesto que estos valores slo se

conocen despus de haber utilizado la prueba las suficientes veces para

recopilar datos que permitan calcular probabilidades. Por lo general se conoce

lo opuesto, es decir, la probabilidad de que ocurra el resultado de la prueba

dado el resulta correspondiente. Esta probabilidad es P (N|R) , y puede

calcularse utilizando datos histricos para determinar la forma en que se

hubiera comportado la prueba si se hubiera utilizado.

Por desgracia, la probabilidad P (R|N) no es la probabilidad de

prueba P (N|R) que necesitamos, puesto que se calcul despus de conocer el

resultado. Para calcular P (N|R) se usa un resultado bien conocido de la

probabilidad, denominado ley de Bayes. Este resultado dice que

P (N|R) = P (R|N)P(N)

P(R)

(12.9)

Por lo general, dos de los valores que aparecen en esta frmula pueden

obtenerse a partir de datos de prueba, y el tercero calcularse a partir de los

otros dos. Resulta fcil calcular a partir de datos previos la probabilidad de que

la prueba sea exacta, dado que se conoce el resultado real, P (R|N), la

probabilidad de que ocurra un resultado particular sin importar cul sea la

prueba, P (N). P(N) tambin puede ser una probabilidad subjetiva basada en

la experiencia que tenga en esas situaciones quien toma las decisiones. Esta

ltima probabilidad, (P(N), se conoce como probabilidad a priori puesto que se

calcula antes de cualquier prueba, mientras que las otras son probabilidades

condicionales.

La tercera probabilidad que aparece en la ley de Bayes, P(R), es la

probabilidad de que ocurra el resultado de prueba R. Esta probabilidad puede

calcularse por medio del siguiente resultado de la teora probabilstica:

P(R) = P(R|N)P(N) + P(R|N) P(N)

(12.10)

en donde N significa no N o negacin de N. Puesto que N incluye todos los

eventos que no sean N, P(N) pueden ser sumas de diversos valores. Los



valores de P(R|N) y P(N) puede calcularse al mismo tiempo que se obtienen

P(R|N) y P(N).

Combinando (12.9) y (12.19) se llega a una versin modificada de la ley

Bayes:

P(N|R) = P(R|N)P(N)

P(R|N)P(N) + P(R|N)P(N)

(12.11)

El resultado final, (P(N|R), probabilidad de que ocurra el suceso N dado

el resultado del procedimiento de prueba. Una vez que se conocen los valores

de la probabilidad a posteriori, es posible emplearlos para llevar a cabo el

anlisis posterior con el objeto de determinar si debe llevarse a cabo una

prueba o un muestreo.



Biliografa:

Mckeown y Davis. Modelos Cuantitativos para Administracin, Editorial Iberoamericana. 1986.

objeto de estudio unidad i

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