metodos energetios

7/25/2019 METODOS ENERGETIOS

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Transformada de Laplace

Se define la transformada de Laplace (L) mediante la expresin:

para los s R , para los cuales la integral converge, y donde f ( t ) es la funcin original, F( s )es la funcin transformada y e st es el ncleo de la transformacinLas propiedades !ue se utili"ar#n en este tra$a%o de aplicacin ser#n, &onsiderando el siguiente

par de transformadas de Laplace con sus correspondientes regiones de convergencia:

f ( t ) 'F ( s ) ( s ) pg ( t ) '* ( s ) ( s ) !

Propiedad de linealidad:+ara , - &

f ( t ). - g (t ) ' F ( s ). - * ( s ) ( s ) m#x ( p, !)

Propiedad de la derivada:Sea F(s) la transformacin de la funcin f(t) para los nmerosreales (s p)

La transformada de Laplace provee un m/todo para resolver ecuacionesdiferenciales lineales con coeficientes constantes al transformarlas, a trav/s de la propiedadanteriormente descripta, en el pro$lema sencillo de resolver una ecuacin alge$raica lineal0na ve" 1ec1a la transformacin, se desarrollan manipulaciones alge$raicas y finalmente seaplica la transformacin de Laplace inversa para o$tener el resultado del pro$lema planteado2n la aplicacin de este informe se utili"a el desarrollo de 3eaviside de la transformada deLaplace, el cual consiste en, luego de o$tener una solucin de la forma 4 ( s )5 ( + ( s )) donde+ y 6 son polinomios en s, se(6 ( s )) determina la solucin y ( t )5 L( 7) 8 4 ( s )9 , expresando primero 4(s) en t/rminosde fracciones parciales y luego antitransformando


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7 ;?2S @2&A?;&=S

Los sistemas mec#nicos de traslacin pueden ser usados para modelar muc1as situaciones einvolucran tres elementos $#sicos: masas, resortes y amortiguadores, cuyas unidades demedida son, respectivamente, Bg (Cilogramos), ?Dm (?eEton por metro) y ?sDm (?eEtons ysegundos por metro) Las varia$les asociadas son el despla"amiento x(t) (medido en metros) yla fuer"a F(t) (medida en ?eEtons) +odemos ver en la Figura 7, una representacin de los treselementos $#sicos nom$rados anteriormente:

Figura 7: 2lementos componentes de un sistema mec#nico de traslacinSuponiendo !ue estamos tratando con resortes y amortiguadores ideales (esto es,

suponiendo !ue se comportan linealmente), las relaciones entre las fuer"as y losdespla"amientos en el tiempo t son

0sando estas relaciones llegamos a las ecuaciones del sistema, las !ue pueden ser anali"adasutili"ando las t/cnicas de la transformada de Laplace

G2F>R@=&;H? 2? ;*=S

&onsideremos una viga delgada de longitud L y sea y(x) su despla"amiento transversal, a unadistancia x medida desde uno de los extremos, de la posicin original de$ido a la carga 2n lafigura 7 esta ilustrada esta situacin, con el despla"amiento medido 1acia arri$a 2ntonces, dela teorIa elemental de las vigas, tenemos

Gonde J(x) es la fuer"a transversal por unidad de longitud, considerando la direccinpositiva 1acia a$a%o y 2; es la rigide" de flexin de la viga (2 es el modulo de elasticidad de4oung e ; es el momento de inercia de a viga alrededor de su e%e central) Se supone !ue laviga tiene propiedades uniformes de elasticidad y una seccin transversal uniforme en toda silongitud, asi !ue tanto 2 como ; se toman como constantesLa ecuacin 7) se escri$e algunas veces como

Gonde y(x) es su despla"amiento transversal medido 1acia a$a%o y no 1acia arri$a como en

(7)2n los casos cuando la carga es uniforme a lo largo de toda la longitud de la viga, estoes, J(x)5 constante,


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(7) se puede resolver f#cilmente con las t/cnicas normales del c#lculo integral Sinem$argo, cuando la carga no es uniforme, los m/todos de la transformada de Laplacetienen una venta%a importante, ya !ue 1aciendo uso de las funciones unitarias3eaviside y de las funciones impulso, el pro$lema de resolver (7)

independientemente para varias secciones de la viga puede evitarse=plicando la transformada de Laplace en todo(7) se tiene

2;8sK 4(s) s y(o) s y7 (M) sy (M) y (M)9 5 J(s)

Mtodo de Lagrange

2l m/todo de La*range es un m/todo para tra$a%ar con funciones de varias varia$les, las cualesse !uieren maximi"ar o minimi"ar 2l m/todo toma un pro$lema con n varia$les su%eto a ciertasrestricciones y lo convierte en un pro$lema con n.7 varia$les sin restricciones, la funcin sinrestricciones es llamada funcin Lagrangiana, la cual contiene una constante no especificada,conocida como multiplicador de La*range, esta constante no tiene restricciones de signo 2lm/todo consiste en introducir el multiplicador de La*range como coeficiente en la restriccin!ue se desea eliminar y poner est# en la funcin !ue se est# tra$a%ando

2n los pro$lemas de optimi"acin, los multiplicadores de Lagrange, nom$rados asI en 1onoraNosep1 Louis Lagrange, son un m/todo para tra$a%ar con funciones de varias varia$les !ue nosinteresa maximi"ar o minimi"ar, y est# su%eta a ciertas restricciones 2ste m/todo reduce el

pro$lema restringido en n varia$les en uno sin restricciones de n . 7 varia$les cuyas ecuacionespueden ser resueltas

2ste m/todo introduce una nueva varia$le escalar desconocida, el multiplicador de Lagrange,para cada restriccin y forma una com$inacin lineal involucrando los multiplicadores comocoeficientes Su demostracin involucra derivadas parciales, o $ien usando diferenciales totales,

o sus parientes cercanos, la regla de la cadena 2l fin es, usando alguna funcin implIcita,encontrar las condiciones para !ue la derivada con respecto a las varia$les independientes deunafuncinsea igual a cero
http://www.ecured.cu/Joseph_Louis_Lagrangehttp://www.ecured.cu/Joseph_Louis_Lagrangehttp://www.ecured.cu/Funci%C3%B3nhttp://www.ecured.cu/Funci%C3%B3nhttp://www.ecured.cu/Funci%C3%B3nhttp://www.ecured.cu/Joseph_Louis_Lagrange


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2n vigas y marcos se puede 1acer un tra"ado tentativo de la curva el#stica considerando lascurvaturas !ue se producen por flexin y las restricciones de los apoyos =ntes de tra"ar undiagrama de momentos se de$e definir una convencin de momentos positivos o negativossegn la concavidad !ue estos produ"can en el elemento 2n elementos 1ori"ontales se puedeasumir la siguiente convencin, !ue coincide con di$u%ar los momentos para el lado !ue

producen traccin

+ara los elementos verticales se puede adoptar cual!uier convencin Se sugiere !ue siempre sedi$u%en los diagramas de momento por el lado de traccin y de esta manera se sa$e como es laconcavidad

&lases de curvaturas en apoyos y en %untas:=rticulacin: Tiene 7 grado de li$ertad li$re, correspondiente a la rotacinRodillo: Tiene dos formas de moverse, rotacin y despla"amiento paralelo a la superficieLas rotaciones tienen la misma convencin !ue los momentos en las ecuaciones est#ticas,

positivo en el sentido contrario a las manecillas del relo%


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=poyo con rodillos sin giro: un solo grado de li$ertad de despla"amiento vertical

2mpotramiento: 2l despla"amiento y el giro son nulos

&onexin rIgida entre elementos:+or el e!uili$rio en la unin, si uno de loselementos termina con momento negativo enese extremo el otro tam$i/n tendr# momento

negativo en ese extremo =sociando losmomentos con las deflexiones tendrIamos !uesi las tracciones en uno de los elementos sonen la cara exterior, en el otro tam$i/n lo ser#n

por lo tanto las concavidades de am$os de$enser similares, o am$as para afuera o am$as

para adentro

@arcos: 2n estas estructuras se cumple !ue la concavidad en los elementos !ue se conectan enun nudo de$e ser la misma:


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igasGe$ido a la continuidad de la viga en los apoyos, la rotacin por am$os lados de$e ser la misma:


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=rticulacin interna: 2n este caso las pendientes a la salida de la articulacin pueden serdiferentes ya !ue no 1ay rigide" en la unin y un elemento puede rotar con respecto alotro


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