metodos energeticos

Los conceptos duales de trabajo y energa son de importancia principal en anlisis estructural. Los enfoques alternativos para calcular desplazamientos y formular las relaciones de flexibilidad y rigidez se basan en algunos principios fundamentales de trabajo energa.

ENERGA: Capacidad o potencial de un sistema de fuerzas que acta sobre un cuerpo para hacer trabajo, es decir, para producir el desplazamiento del cuerpo.

TRABAJO: Es la transferencia de energa desde un sistema de fuerzas que acta sobre un cuerpo hasta otro sistema de fuerzas que acta sobre el mismo cuerpo. El producto de una fuerza por el desplazamiento de su punto de aplicacin en la direccin de la fuerza mide el trabajo y la energa.

Posicin Original Posicin

Deformada

FIGURA 1

P

El trabajo se considera positivo si el desplazamiento tiene igual direccin que la fuerza.

P

P b

a

Cos

Sen

FIGURA 2 Trabajo Positivo

Si una fuerza es constante y su punto de aplicacin se desplaza desde a hasta b, el trabajo realizado corresponde a:

CosP W

El trabajo se considera negativo si el desplazamiento es opuesto a la direccin de la fuerza.

P

P b

a

Cos

CosP- W

FIGURA 3 Trabajo Negativo

El trabajo es nulo cuando el desplazamiento no tiene componente en la direccin en la direccin de la fuerza.

P b

a

W = o

FIGURA 4 Trabajo Nulo

Al aplicar un sistema de fuerzas a una estructura elstica se hace trabajo porque los puntos de aplicacin de las cargas se desplazan, la energa interna producida por la deformacin del material compensa el trabajo de las fuerzas. Sino se excede el lmite de fluencia del material, al remover las cargas aplicadas se libera la energa interna, es decir, la energa de deformacin, por tanto, la estructura recupera su posicin original.

El francs B.P.E Clapeyron fue el primero en definir en 1.833 la igualdad entre el trabajo, W, realizado por las fuerzas externas que actan sobre una estructura elstica y la energa de deformacin, U, que ella almacena.

Si un cuerpo es puesto en movimiento, hay energa cintica, y s el cuerpo se deforma, hay energa de deformacin. Despreciando las prdidas de energa, la ley de la conservacin de la energa requiere:

U T W

U T W

Donde: W = Trabajo externo realizado sobre un cuerpo. U = Energa interna almacenada en el cuerpo, debido a deformacin. T = Energa cintica; Energa de movimiento.

Cuando se trabaja slo con sistemas estticos, T es cero, es decir, m2/2 =0, luego:

UW

Esta ecuacin, adems, desprecia cualquier otra forma de trabajo, como la prdida de calor, ruido o algn otro proceso irreversible o no conservador.

Este trabajo ser almacenado completamente en la estructura elstica en la forma de energa de deformacin, siempre que no se pierda trabajo en la forma de energa cintica que cauce vibracin de la estructura, o de energa trmica que produzca una elevacin de su temperatura. En otras palabras, la carga se debe aplicar gradualmente y los esfuerzos no deben exceder el lmite elstico del material. Cuando se descarga gradualmente la estructura se recupera la energa interna, haciendo que la estructura vuelva a recobrar su forma original. Por tanto, el trabajo externo, W, son iguales entre s

TRABAJO EXTERNO

Si una fuerza P es una funcin lineal del desplazamiento a lo largo de su direccin, es decir, P = K, y su valor inicial es nulo, el trabajo que se realiza durante el desplazamiento desde a hasta b es:

0PdW

P = 0 P = K

a b

FIGURA 5 Fuerza en funcin del

desplazamiento

TRABAJO EXTERNO

FIGURA 6 Fuerza - Desplazamiento

P

P1

1 d

TRABAJO EXTERNO

La carga se aplica gradualmente sobre una estructura. Su punto de aplicacin se desplaza alcanzando el desplazamiento un valor cuando la carga crece de cero a P. Mientras se mantenga el principio de superposicin, existir una relacin lineal entre la carga y el desplazamiento como se representa por medio la lnea oa en la Figura 6. El trabajo total realizado por la carga aplicada durante este periodo est dado por:

2

KW

dKPdW

2

00

TRABAJO EXTERNO

Que es igual al rea del tringulo sombreado OAB de la Figura 6.

2

PW

: tenemos,K P Como

En consecuencia, el trabajo hecho es igual a la magnitud promedio de la fuerza (P/2) multiplicada por el desplazamiento total (). Para un sistema de n fuerzas y n desplazamientos, la integracin debe efectuarse para cada uno de los n componentes. Entonces el trabajo total est dado por:

n

1i

T

ii PP W

TRABAJO EXTERNO

Donde [P]T es la traspuesta del vector carga, y [] es el vector de desplazamiento correspondiente, cada uno de los cuales posee n elementos. Para relaciones fuerza desplazamiento lineales tenemos:

Tn

1i

ii P2

1

2

PW

ENERGA DE DEFORMACIN

La energa de deformacin es un concepto fundamental en la mecnica aplicada, y los principios de la energa de deformacin se usan ampliamente a fin de establecer las respuestas de maquinas y estructuras frente a cargas estticas y dinmicas.

FIGURA 7 Diagrama

Esfuerzo-Deformacin unitaria

Energa de

deformacin

unitaria

Energa

complementaria


FIGURA 8


FIGURA 9

P


El trabajo y la energa se expresan en las mismas unidades. En el sistema SI, la unidad de trabajo y energa es el JOULE (J), que es igual a un Newton metro (J = N . m).

Si la fuerza P se retira lentamente de la barra, sta se acortar y recobrar parcial o totalmente su longitud original, lo que depende de si se rebas o no el lmite elstico. As, durante la descarga, parte o toda la energa de deformacin de la barra puede recuperarte en forma de trabajo.


Durante el proceso de carga, el trabajo realizado es igual al rea bajo la curva, rea OABCDO. Cuando la carga se retira, el diagrama sigue la lnea BD si el punto B est ms all del lmite elstico y subsiste un alargamiento permanente OD. De esta manera, la energa recuperada durante la descarga se representa por el tringulo sombreado BCD; esta energa recuperable se denomina energa de deformacin elstica. El rea OABDO representa la energa que se pierde durante el proceso de deformacin permanente de la barra.


Esta energa se conoce, como energa de deformacin inelstica. Supongamos que la carga P que acta sobre la barra se mantiene por debajo de la carga lmite elstica. Mientras la carga permanezca por debajo de este lmite, toda la energa de deformacin se recupera durante la descarga y no permanece nada en la barra. Por lo que, la barra acta como un resorte elstico que almacena y libera energa segn se aplique o retire la carga. Si el material de la barra es elstico y cumple la ley de Hooke, entonces el diagrama carga deformacin conformar una lnea recta. En este caso, la energa de deformacin, U, almacenada en la barra (igual el trabajo total, W, realizado por la carga P)es:

2 W U P


El principio que establece que el trabajo de las cargas externas es igual a la energa de deformacin fue originalmente propuesto por el ingeniero francs B.P.E Clapeyron.

PW

Si la carga no se aplica gradualmente sino constante el trabajo es:

P

P

FIGURA 10


Considerar que a una barra se le aplica una fuerza axial, en la cual la magnitud de F es incrementada gradualmente desde cero hasta un valor lmite O, la deflexin final de la barra resulta ser . Si el material tiene una respuesta elstica lineal, entonces,

2U P


F

F

P

X

x

P

F

FIGURA 11


Suponga que P ya est aplicada a la barra y que ahora se aplica otra fuerza F, de manera que la barra se deflexiona una distancia adicional .

F

P

F+P

P

X

F

A

B

C

D

G E


FIGURA 12


El trabajo hecho por P cuando la barra sufre la deflexin adicional es:

'U P

Aqu el trabajo representa el rea rectangular sombreada en la figura 12. En este, P no cambia de magnitud ya que es causada slo por F. Por tanto, el trabajo es simplemente la magnitud de la carga, P, multiplicada por el desplazamiento, .


Luego, cuando una fuerza P se aplica a la barra, seguida por la aplicacin de la fuerza F, el trabajo total hecho por ambas fuerzas se representa por el rea el triangular ACE. El rea triangular ABG representa el trabajo de P causado por su desplazamiento , el rea triangular BCD representa el trabajo de F, ya que esta fuerza causa un desplazamiento y, por ltimo, el rea rectangular sombrada BDEG representa el trabajo adicional hecho por P cuando se desplaza la distancia causada por F.

ENERGA DE DEFORMACIN EN UN ELEMENTO

L

P

E, A

FIGURA 13

Fuerza Axial

E

L

AP

De la mecnica de slidos


Fuerza Axial

Cuando se aplica gradualmente la fuerza P que causa el desplazamiento , la energa almacenada en el elemento es:

AL2

1LA

2

1U

A2

1U

2U

P

VU 2

1


Fuerza Axial

En la que V = LA es el volumen del elemento y representa el esfuerzo axial.

E

VV

E

2

2

1

2

1U

: tenemosE Como


Fuerza Cortante

y

z

x

y

z

x

y

x

P

P

P

P

FIGURA 14


Fuerza Cortante

Para el caso de una fuerza cortante paralela al plano xy se tiene:

y

zxP

Trabajo debido a la fuerza cortante:

2

2

2

2

zyxU

yzxU

zxU

PU


Fuerza Cortante

Tenemos que el mdulo de cortante es:

G

Luego la energa:

G

VU

zyxG

U

zyxG

U

2

2

2

2

2


Trabajo Total

En el caso general de esfuerzos normales y cortantes (tangenciales), como se indica en la figura, el trabajo especifico de deformacin por aplicacin gradual de la carga es:

yzyzxzxzxyxyzzyyxx

yzyzxzxzxyxyzzyyxx

W

VW

2

1

2

1


FIGURA 15. Componentes de esfuerzos en un elemento


x, y, z son las deformaciones unitarias en la direccin de los ejes respectivos y xy, xz, yz son las deformaciones angulares en la direccin de los planos considerados con los subndices. Por la condicin de equilibrio:

zyyz

zxxz

yxxy


Con los dos casos estudiados para obtener la energa de deformacin, se puede considerar que cualquier estructura consiste en pequeos elementos del tipo que se muestra en la Figura 15 sometido a esfuerzos normales x, y, z y a esfuerzos cortantes, xy, xz, yz con deformaciones resultantes x, y, z, xy, xz, yz en los que los subndices x, y, z se refieren a ejes de coordenadas cartesianas rectangulares.


La energa de deformacin total en una estructura lineal es entonces:

6

12

1

mv

mm dvU

Donde m se refiere al tipo de esfuerzo y a la deformacin correspondiente. Esto quiere decir que la integracin debe llevarse a cabo sobre el volumen de la estructura para cada tipo de esfuerzo por separado.


La expresin para el trabajo especifico de deformacin se obtuvo considerando independientemente los efectos de los esfuerzos normal y cortante y sumndolos posteriormente, basndose en el principio de superposicin de causas y efectos.

La energa de deformacin total se obtiene integrando todo el volumen del cuerpo:

v

udvWW

EXPRESIONES PARA LA ENERGA DE DEFORMACIN

Considrese una barra prismtica en el espacio que cumple la ley de Hooke y que se encuentra sujeta a: Fuerza normal, fuerzas cortantes, momentos flexionantes y torsionantes.

Se supone que se cumple el estado de esfuerzos de Saint-Venant. Cada uno de los efectos se consideran por separado y se aplica el principio de superposicin de causas y efectos.


a. Energa de Deformacin: Fuerza Axial

FIGURA 16

dL



Esfuerzo Normal:

E

AN

zz

z

Por lo tanto, el trabajo unitario:

EW zzzu

22

2



El trabajo total ser:

AdA

AdE

dldvWW

A

v

L

A

zuN

02

2

Finalmente, el trabajo interno total ser:

EA

LNWN

2

2

EA

LNdl

EA

NW

L

oN

22

22



Para el caso de una armadura, donde N es la fuerza en cada barra debido a las cargas aplicadas a la armadura, el trabajo interno total ser:

EA

LNWN

2

2

P


b. Energa de Deformacin: Momento Flexionante

Una viga se encuentra sometida a una accin externa que causar un momento interno Mx en cualquier seccin X a lo largo de la viga:



El esfuerzo debido al momento flexionante

x

xz

x

I

YM

esM

:

El trabajo unitario es:

EW zu

2

2



El trabajo interno total:

A x

xL

Mx

A

z

v

L

uMx

dAEI

YMdxW

dAE

dLdvWW

2

22

0

2

0

2

2



Mx, E, Ix son constantes en una seccin y:

xIdAY2

Por tanto, el trabajo interno total:

L

x

xMx dx

EI

MW

0

2

2



Esta situacin puede aplicarse correctamente slo a miembros inicialmente rectos; es aproximadamente correcto para aquellos que tienen alguna curvatura inicial. Sin embargo, cuando un miembro tiene una curvatura inicial pronunciada, por ejemplo, una relacin de radio de curvatura del eje principal a peralte de la seccin menor de 10, la aplicacin de la flexin, que se ha usado para derivar la ecuacin, puede resultar en un error considerable.


c. Energa de Deformacin: Fuerza Cortante

Se considera la fuerza cortante Fy y por la teora de mecnica de slidos tenemos que el esfuerzo cortante es:

xyy IbQFDonde: Q = Momento esttico by = Ancho de fibra en estudio G = / = Mdulo de cortante



Trabajo Unitario:

GWu

2

2

Trabajo Unitario Total:

v

L

A yx

y

ufy dAbGI

QFdxdvWW

0 22

22

2



A

Ir

ArI x

2

= Radio de Giro de la Seccin

dAbIr

Q

GA

FdxW

A yx

yL

Fy 2222

0 2



Donde Fy, G, A son constantes en una seccin.

dAbIr

QK

A yx 22

2

K se conoce como coeficiente de forma y depende de la forma de la seccin. K vale 1.2 para secciones rectangulares 10/9 para secciones circulares y Aseccin/ Aalma para perfiles laminados en caliente.



Finalmente, la expresin para la energa de deformacin interna total para cortante es:

dxGA

KFW

Ly

Fy 02

2


d. Energa de Deformacin: Momento Torsor

Una barra sujeta a momento torsionante, Mz produce esfuerzos tangenciales, que para secciones estan dados por:

J

rM zz

Donde: J = Momento polar de inercia de la seccin r = Distancia del centro de la seccin al punto en estudio.



Trabajo Unitario:

GW zu

2

2

Trabajo Unitario Total

v

L

A

zuMz dA

GJ

rMdLdvWW

0 2

22

2

En donde Mz, G, J son constantes en una seccin.



A

JdAr 2

Por lo tanto, la energa de la deformacin por momento torsor est dada por:

dLGJ

MW

Lz

Mz 02

2



En muchos casos las secciones no son circulares y se utiliza el momento polar de inercia modificado, Jm. Luego la expresin para la energa de deformacin por momento torsionante es:

dLGJ

MW

L

m

zMz 0

2

2



El momento polar de inercia para una seccin circular slida es:

2

2

4

dc

cJ

d c



Para una seccin circular tubular:

4142

ccJ o

c1

c0



Para una seccin rectangular de dimensiones h y b, donde h > b:

4

4

3

12136.3

3

16

16

1

h

b

h

bc

hcbJ



h/b C

1 0.141

1.2 0.166

1.5 0.196

2.0 0.229

2.5 0.249

3.0 0.263

h/b C

4.0 0.281

5.0 0.291

6.0 0.299

10 0.312

0.333

Valores de C para diferentes relaciones de h/b


e. Energa de Deformacin Total

En el caso general de una barra sujeta a los seis efectos mecnicos se obtiene:

L

m

zL

y

yL

x

xL

yL L

x

GJ

dLM

EI

dLM

EI

dLM

GA

dLFK

GA

dLKF

EA

dLNW

0

2

0

2

0

2

0

2

0 0

22

2222

'

22


Resumen de las Expresiones de la Energa de Deformacin

Tipo de Estructura Accin Energa

Armadura Fuerza Axial

Prtico

Fuerza Axial

Momento Flector

Fuerza Cortante

Momento Torsor

EA

LN

2

2

L

dLEA

N

0

2

2

L

dLEI

M

0

2

2

L

dLAG

KV

0

2

2

L

dLGJ

T

0

2

2

MTODO DEL TRABAJO REAL

Este mtodo utiliza el principio de conservacin de la energa en virtud del cual el trabajo externo realizado por las cargas deber ser igual al trabajo interno de deformacin producida por los esfuerzos causados por las cargas.

El principio del trabajo real se define de la siguiente forma: El trabajo externo hecho sobre un cuerpo linealmente elstico debe ser igual al trabajo interno o energa de deformacin almacenado en el cuerpo.


Al plantear el trabajo es preciso cuidar que las cargas sean compatibles con las deformaciones, de tal manera que:

- Para componentes lineales de deflexin:

- Para componentes rotacionales de deflexin:

12

Winterno Trabajo I

TRP

22

Winterno Trabajo I TRM


El mtodo es limitado en cuanto a su aplicacin. La incgnita de cualquier problema ser o , dependiendo de que se requieren las componentes de deflexin lineal o rotacional. S se aplican simultneamente ms de una P o ms de un M en una estructura, entonces (generalmente) aparecer ms de una incgnita o en el miembro de la izquierda de la ecuacin y es imposible la solucin. En general, en consecuencia, el mtodo puede solamente usarse para encontrar las componentes de deflexin lineal del punto de aplicacin de una fuerza en la direccin de esa fuerza, o para encontrar la rotacin de un punto de aplicacin de un par en el plano de ese par. En la mayor parte de los casos la fuerza o el par deben actuar slo en la estructura.


Sin embargo, s dos fuerzas iguales o dos pares iguales actan simtricamente sobre una estructura simtrica, puede resolverse la ecuacin ya que, por razones de simetra, los dos componentes de deflexin deben ser iguales.

Si el cuerpo linealmente elstico es una viga o un prtico como se muestra en la figura 1, el trabajo total externo es:

32

1

2

12211 TRxPxP


Y el trabajo total interno almacenado es:

Multiplicando por la dimensin b del rea entera bidimensional dA = dxdy; o en general:

4)2

1

2

1( TRxyxyxx

52

1

2

1

2

1

TRbdAXP xyxyxxii


P1 P2

dA

b xy

dx

x y dy

FIGURA 1


La contribucin al trabajo interno de los esfuerzos cortantes xy y de las deformaciones xy, y por la porcin de los esfuerzos normales x y las deformaciones x causada por la fuerza axial en la barra, es pequea y por esta razn no se ha considerado en esta teora. De modo que el lado derecho de la ecuacin (TR-5) se convierte en:

622

1

2

1

0

2

TRdxEI

Mbdxdy

EI

MY

I

MYXP

L

ii


Vemos que poco puede hacerse para efectuar una demostracin algebraica general una demostracin algebraica general del principio del trabajo real, adems de establecer que s los esfuerzos y deformaciones internas son en realidad la verdadera o supuesta respuesta a la aplicacin de un conjunto P-X, el trabajo externo debe ser igual al trabajo interno por la ley de conservacin de trabajo y energa.


Si el cuerpo linealmente elstico es una armadura bidimensional como la que se muestra en la figura 2, el trabajo total externo realizado sobre ella es:

72

1

2

12211 TRXPXP

Y el trabajo total interno almacenado es:

82

1...

2

1

2

1662211 TReFeFeF

O en general:

92

1

2

1

1

TReFXPn

j

jjii


FIGURA 2

P1 X1 P2 X2

F1 1

F6 6


En el caso de las armaduras, sin embargo, en tanto que la suposicin de primer orden de que los desplazamientos externos transversales no cambian la longitud de los miembros sea acertada, la validez de la ecuacin (TR-9) puede comprenderse al observar que el trabajo total hecho por la fuerza resultante igual a cero en cada uno de los cuatro nudos mostrados en la figura 2 es cero, entonces al notar que el trabajo hecho por las fuerzas F actuando en el nudo siempre es negativo.


1002

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

665533

664422

551122

331122

33221111

TRedeParteOtraFedeParteOtraFedeParteOtraF

edeParteFedeparteOtraFedeparteOtraF

edeParteFedeparteOtraFXP

edeParteFedeparteOtraFXP

edeParteFedeParteFedeParteFXP


112

1...

2

1

2

1

2

1

2

16622112211 TReFeFeFXPXP

Este concepto puede aplicarse a la figura 1 pero se tendra que imaginar todava un medio continuo bidimensional ms, que slo un nmero finito de nudos y de barras axialmente cargados.

PRINCIPIO DE LOS DESPLAZAMIENTO VIRTUALES

Fue establecido por Johann Bernoulli en 1717, es la base para el mtodo del trabajo virtual, el ms verstil de los mtodos comunes para calcular deflexiones de estructuras.

La palabra virtual significa estado en esencia o efecto, pero no hecho. Se entiende por desplazamiento hipottico, finito o infinitesimal, de un punto o sistema de puntos de un cuerpo rgido en equilibrio, de naturaleza tal que no se violen las condiciones de equilibrio del cuerpo.

Para demostrar este principio se aplica el principio de superposicin, considerando primero el caso de una translacin y despus el de la rotacin.


FIGURA 2


El cuerpo rgido mostrado en la figura 1, dentro del cual no puede haber movimiento relativo de las partes, se encuentra sujeto y mantenido en equilibrio por el sistema de fuerzas y pares (P, I y M). Loas diferentes fuerzas pueden descomponerse en componentes paralelas a los ejes X y Y, como se muestra en la figura 1, esto para mayor facilidad. Como el cuerpo est en equilibrio se puede escribir:

0

0

0

M

F

F

y

x


Puesto que la translacin es muy pequea se supone que las fuerzas no cambian en direccin o magnitud y que el cuerpo permanece en equilibrio en todo tiempo:

0XFYFM yx

El trabajo hecho por las fuerzas y momentos durante la translacin, Wt, est dado por:

dyFdxFW yxt


Como dx y dy son constantes para todos los puntos se pueden sacar de las sumatorias, quedando:

Puesto que Fx = 0 y Fy = 0, cada una de las sumas es igual a cero.

0 yxt FdyFdxW


Si se supone ahora que el cuerpo rgido, con fuerzas y momentos aplicados gira un pequeo ngulo con respecto al origen, (que puede ser cualquier punto) la componente de desplazamiento de cualquier otro punto paralela al eje X ser y y paralela al eje Y ser x.

Xy

Yx

y

A (x,y) y'

x

y

FIGURA 2 Efecto de Translacin por una Rotacin pequea


Entonces, al rotar el cuerpo un ngulo pequeo, , se producen desplazamientos de todos puntos, cuyos componentes son y y x, por tanto, el trabajo hecho por los fuerzas y momentos durante la rotacin, Wr, es:

xFyFMW yxr

Siendo constante, se reduce a:

0 xFyFMW yxr


Como vemos el trmino entre parntesis es cero puesto que cualquier pequeo desplazamiento del cuerpo rgido puede representarse como la suma de una translacin y una rotacin con respecto a algn punto, y puesto que el trabajo total del sistema F de fuerzas y pares en el caso de cualquier translacin o rotacin se ha demostrado que vale cero, se puede enunciar el principio de los desplazamientos virtuales as:

Dado un cuerpo rgido en equilibrio bajo un sistema de fuerzas, el trabajo total virtual hecho por este sistema de fuerzas durante un desplazamiento virtual es cero


Obsrvese que el trabajo real no es consecuencia de la aplicacin del principio de Bernoulli, ya que este principio trata slo de las relaciones entre los trabajos virtuales realizados por los sistemas de fuerzas virtuales.

PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL

El principio del trabajo virtual se origin cuando Johann Bernoulli escribi en 1717 a Varignon: Si se tiene un sistema de fuerzas en equilibrio, dese cualquier desplazamiento posible e infinitesimal y stas son velocidades virtuales para aplicar la regla: Lo que una mquina gana en potencia, lo pierde en velocidad


Aunque en los problemas no son velocidades, despus se dan los nombres de desplazamientos virtual y de trabajo virtual. El principio del trabajo virtual basado en el principio de velocidades virtuales constituye el mtodo ms verstil disponible para la evaluacin de las deflexiones elsticas de las estructuras. No solamente es posible determinar las deflexiones que resultan de cargas de cualquier tipo, que causan cualquier clase de esfuerzos en una estructura, sino que tambin es posible calcular las deflexiones resultantes de cambios de temperatura, errores de fabricacin o acortamiento del material estructural.


Estas deflexiones pueden ser lineales o angulares en cualquier direccin. Considrese un cuerpo deformable, supngase una placa delgada, en equilibrio bajo la accin de las cargas P y las reacciones R, se puede pensar que dicho cuerpo est formado por un conjunto de elementos, dos de los cuales. Uno interno y otro de borde.

P2

F1 F3

F2

Fp

Fm

Fo

Fn

b) Elemento de

Borde

c) Elemento

Interior


El elemento interior est sometida a fuerzas interelementales en todas las caras. El elemento de la periferia tiene una carga P, actuando sobre una cara y fuerzas interelementales sobre las otras tres. Ambos elementos estn en equilibrio bajo la accin de las fuerzas respectivas y siendo deformable, dichas fuerzas originan fuerzas internas en ellos. Aplicando ahora una accin virtual a la placa que resulte en un desplazamiento virtual del cuerpo entero y una virtual efectuando por las fuerzas externas a cada elemento, dWe, se dividir en dos: 1) Un trabajo virtual translacin y rotacin del elemento

considerado como cuerpo rgido, dWtr 2) Un trabajo virtual de deformacin del elemento o energa

de deformacin del elemento o energa de deformacin virtual interna, dWi, por lo tanto:

iitre dWdWdWdW


Puesto que por el principio de los desplazamientos virtuales dWtr = 0 Al integrar el trabajo efectuado en todos los elementos se llega a:

iiee WdWdWW

En donde We representa el trabajo virtual total de las fuerzas externas e interelementales y Wi representa la energa virtual interna de deformacin.


Considerando ahora dos elementos vecinos, a cada accin de un elemento sobre la cara comn del vecino corresponde una reaccin de ste identifica en magnitud, pero en sentido contrario. Por consiguiente cualquier trabajo producido por las fuerzas interelementales al actuar sobre el borde de un elemento diferencial dado se cancela con el efectuando por el vecino sobre ese borde comn y el valor de We se reduce al trabajo virtual hecho por las cargas P que actan sobre la estructura.


El principio del trabajo virtual se enuncia as:

Si una estructura deformable est en equilibrio bajo un sistema de cargas y permanece en equilibrio al someterla a una accin virtual pequea producida por cualquier causa adicional, el trabajo virtual externo realizado por el sistema de cargas es igual al trabajo virtual interno de deformacin producido por las fuerzas internas debidas a dicho sistema


El mtodo del trabajo virtual. Llamado a veces mtodo de la carga unitaria ficticia, es el de aplicacin ms amplia de entre todos los mtodos empleados para calcular deflexiones. Es aplicable a vigas, prticos y, sobre todo a armaduras. El trabajo virtual se basa en la ley de la conservacin de energa, segn la cual el trabajo hecho por un grupo de cargas externas aplicadas gradualmente a una estructura es igual a la energa elstica interna almacenada en la estructura. Para emplear esta ley en las derivaciones que siguen, es necesario hacer las siguientes suposiciones:

1. Las fuerzas internas y externas estn en equilibrio.

2. El limite elstico del material no se excede. 3. Los apoyos no tienen movimiento


La nica restriccin es que cuando se usa el principio del trabajo virtual en su forma finita, como ser el caso en esta anlisis, debe aplicarse el principio de superposicin a las estructuras consideradas.

P1 P2

A

dx

C1

C2

dA

Y

E.N.

Se considera que cada fibra de la estructura es una barra o elemento estructural. La suma del trabajo interno realizado por la fuerza en cada uno de las barras es igual al trabajo externo desarrollado por las cargas.


Si se quitarn las cargas de la viga y se colocara una carga virtual unitaria en A, se producirn pequeas fuerzas y deformaciones en las barras y aparecera una pequea deflexin en A. Al colocar nuevamente las cargas externas se producirn incrementos en las fuerzas y en las deformaciones, y la carga unitaria en B se desplazara una cantidad adicional . El trabajo interno desarrollado por las fuerzas producidas por la carga unitaria, al desplazarse segn las deformaciones adicionales de las barras, es igual al trabajo externo realizado por la carga unitaria al desplazarse sta la distancia adicional .


M = Momento en cualquier seccin de la viga, debido a las cargas externas m = Momento en cualquier seccin de la viga, debido a la carga unitaria.

1.00

A

Pequea Deflexin


El esfuerzo en un rea diferencial de la seccin transversal de la viga, debido a la carga unitaria es:

dAI

my

Imy

:dAen Total Fuerza

:dAen UnitarioEsfuerzo

Al rea dA corresponde una longitud diferencial dx que se deforma una cantidad: dx cuando las cargas externas se reintroducen a la estructura.


dxEI

Mydx

IMyf

E

fdx

:dx Longitud laen n Deformaci

:Externa Cargas las a debido UnitarioEsfuerzo

La fuerza total en dA debido a la carga unitaria (my/I)dA se desplaza segn esa deformacin, y el trabajo que realiza es como sigue:

dAdxEI

Mmydx

EI

my

I

mydA2

2

dAen Trabajo


El trabajo total efectuando sobre la seccin transversal es igual a la suma de los trabajos efectuados en cada rea dA de la seccin:

dxEI

MmTrabajo

dAyI

dAdxyEI

MmdAdx

EI

Mmy

c

c

c

c

c

c

2

1

2

1

2

1

2

2

22

2

Trabajo


Ahora es posible determinar el trabajo interno realizado en toda la viga, pues es igual a la integral de 0 a L de la expresin anterior:

L

i dxEI

MmW

0

El trabajo externo efectuado por la carga unitaria al desplazarse sta una distancia es Ix, igualando el trabajo externo con el interno, se tiene una expresin para la deflexin en cualquier punto de la viga.

L

ie

dxEI

Mmx

WW

00.1


Si consideramos una estructura deformable de cualquier forma o tamao y le aplicamos una serie de cargas externas P, esto generar cargas internas en puntos de la estructura. Es necesario que las cargas externas e internas queden relacionadas por las ecuaciones de equilibrio. Como consecuencia de esas cargas, ocurrirn desplazamientos externas bajo las cargas P y desplazamientos internos en cada punto de carga interna . En general, esos desplazamientos no tienen que ser elsticos y ellos pueden no estar relacionados con las cargas; sin embargo, los desplazamientos externos e internos deben estar relacionados entre s por la compatibilidad de los desplazamientos.


En consecuencia, la relacin bsica para el mtodo de trabajo virtual es:

Trabajo Virtual Externo = Trabajo Virtual Interno

En general, el principio del trabajo y la energa establece:

P =

Trabajo de las Cargas Externas= Trabajo de las Cargas Internas

Alberto Castigliano, ingeniero de los ferrocarriles italiano, public en 1879 un original y elaborado tratado sobre las estructuras estticamente indeterminadas. En ese libro estaban incluidos los dos teoremas que actualmente se conocen como el Primer y Segundo Teorema de Castigliano. Ambos teoremas haban sido ya presentados por su autor en 1879 en una publicacin cientfica. El segundo teorema o mtodo del trabajo mnimo fue presentado por Castigliano en 1873 como una tesis para recibir su diploma de ingeniero en la Universidad de Turn.

El primer teorema de Castigliano es un mtodo para determinar las deflexiones elsticos de las estructuras. El teorema es aplicable tanto a fuerzas como a momentos, obtenindose en el primer caso la componente de deflexin en la direccin de la fuerza y en el segundo la rotacin en el plano del momento. El primer teorema de Castigliano dice:

La componente de deflexin del punto de aplicacin de una accin sobre una estructura, en la direccin de dicha accin, se puede obtener evaluando la primera derivada parcial de la energa interna de deformacin de la estructura con respecto a la accin aplicada

PRIMER TEOREMA

En otras palabras, la derivada parcial de la energa de deformacin de una estructura con respecto a cualquier carga es igual al desplazamiento correspondiente a esa carga.

PRIMER TEOREMA

P Q

P Q

Se considera que las fuerzas P y Q se aplican gradual y simultneamente y existe una relacin lineal entre estas cargas y las deflexiones resultantes. El trabajo externo realizado, que es igual a la energa interna de deformacin, est dado por:

PRIMER TEOREMA

122

P

CQP

WQ

Si se le agrega ahora al sistema una pequea carga dP con la misma direccin y sentido de la carga original P, se causar una deflexin adicional de la viga a la posicin indicada por la lnea punteada.

A su vez al incrementar a P resulta un trabajo adicional o energa de deformacin almacenada durante la aplicacin de dP es:

PRIMER TEOREMA

22

CdQddP

dPdW QP

P

P+dP Q

dP dQ

Efectuando las multiplicaciones indicadas y despreciando el producto de las dos diferenciales, dicho trabajo se reduce a:

PRIMER TEOREMA

3 CdQdPdW QPEl mismo estado final se podra haber obtenido aplicando desde el principio (P+dP) y Q gradualmente y simultneamente. Es evidente que en tal caso se obtendr de una vez, la posicin deflectada final con todas las cargas aplicadas y en consecuencia el trabajo total externo estara dado por:

4

22

CdQ

QdP

dPPW QPT

Efectuando las multiplicaciones indicadas y despreciando el producto de las dos diferenciales se convierte en:

PRIMER TEOREMA

Pero:

5

22222

C

dQ

QdPdPPW

QQPPPT

872

222

2222222

6

CdWdQdPdPdW

CQddPdPdW

dQ

dPdPdW

QPdQQdPdPPdW

CWWdW

QPP

QPP

QPP

QPQQPPP

T

Reemplazando en (C-7) a dW segn la ecuacin (C-3)

PRIMER TEOREMA

Como Q se mantuvo constante, equivale matemticamente a derivar parcialmente con respecto a P. Por lo tanto, el teorema de Castigliano se puede expresa en general as:

9)-(C

:

dP

dW

Luego

dPdW

dQdPdQdPdPdW

P

P

QPQPP

10)-(C P

WP

Aunque se obtuvo el teorema de Castigliano empleando una viga como ilustracin, podramos utilizando en cualquier otro tipo de estructuras (por ejemplo, una armadura) y cualquier otro tipo de cargas (por ejemplo, cargas en forma de pares). Los requisitos importantes son que la estructura sea elstico lineal y que sea aplicable el principio de superposicin observe tambin que la energa de deformacin debe expresarse como funcin de las cargas (y no como funcin de los desplazamientos), condicin implcita en el teorema mismo, ya que la derivada parcial se toma con respecto a una carga.

PRIMER TEOREMA

El teorema citado aqu es el segundo de dos teoremas presentados por Castigliano, por lo que se conoce apropiadamente como Segundo Teorema de Castigliano. El primero es inverso del segundo, en el sentido de que da las cargas sobre una estructura en trminos de las derivadas parciales de la energa de deformacin con respecto a los desplazamientos.

PRIMER TEOREMA

En general, los otros mtodos para el clculo de deflexiones (viga conjugada y trabajo virtual) son un poco ms sencillos en su aplicacin y ms populares que el primer teorema de Castigliano. Sin embargo, para ciertas estructuras este mtodo es muy til.

Si el signo de la respuesta es negativo quiere decir que la deflexin es opuesta al sentido de la accin con respecto a la cual se tom la derivada. Si se quiere saber la deflexin en un punto donde no hay aplicada ninguna accin, o en una direccin distinta de la accin aplicada, se aplica una accin imaginaria en el sitio y direccin deseada hasta encontrar la derivada parcial de la energa de deformacin; Luego la accin imaginaria se iguala a cero. Generalmente se ahorra tiempo si la derivacin se efecta antes de integrar las expresiones que dan la energa de deformacin. Es ms fcil diferenciar bajo el signo integral, que resulta en:

PRIMER TEOREMA

EA

L

P

ss

EA

Ls

P 2

:Armadura a)

2

P

PRIMER TEOREMA

EI

dx

P

MM

EI

dxM

P 2

:Flexinpor Lineales sDeflexione b)

2

P

GA

dx

P

vv

GA

dxv

P

2

:Cortantepor sDeflexione c)

2

P

GJ

dx

P

TT

GJ

dxT

P 2

:Torsorpor sDeflexione d)

2

P

SEGUNDO TEOREMA

Un cuerpo elstico en equilibrio se le aplica dos sistemas de cargas A y B, como se muestra en la figura.

Pi

i = 1,2, , n

Sistema A. Se aplican las cargas Pi gradualmente

Fj

j = 1,2, , m

Sistema B. Se aplican las cargas Fj gradualmente

Cada uno de los sistemas de carga se encuentra en equilibrio independientemente, al igual que su aplicacin simultnea. Si se aplica primero el sistema A y despus el sistema B, tenemos:

12

1

2

1ijijjii PFPW

En donde los ndices repetidos indican suma, correspondiendo los desplazamiento i a las fuerzas Pi y los j a las fuerzas FJ, respectivamente, indicando ij los desplazamientos de los puntos de la aplicacin de las fuerzas Pi debido a la aplicacin del sistema FJ.

22

1

2

1

111

n

i

iji

m

j

jj

n

i

ii PFPW

El ltimo trmino representa el trabajo del primer sistema de fuerzas debido a los desplazamientos que en sus puntos de aplicacin le produce el segundo sistema de cargas. Con el trmino fuerzas se indican fuerzas concentradas y momentos y el trmino desplazamiento se aplica a desplazamientos lineales y angulares. De manera semejante, si se aplica primero el sistema B y despus el sistema A, se obtiene:

32

1

2

1jijiijj FPFW

Las ecuaciones (1) y (3) son iguales ya que representan el mismo trabajo de deformacin, debido a que no depende del orden de aplicacin de los sistemas de carga. Igualando (1) y (3):

4jijiji FP

El trabajo de las fuerzas de un sistema debido a los desplazamientos que en sus puntos de aplicacin le produce otro sistema de cargas es igual al trabajo de las fuerzas del segundo sistema debido a la aplicacin del primer sistema de fuerzas.

Se conoce tambin con el nombre de teorema de los trabajos recprocos y es un caso particular del teorema de Betti. En un cuerpo elstico acta una fuerza P en un punto 1 y despus una fuerza P en un punto 2, como se muestra en la figura.

P

i = 1,2, , n

Aplicacin de la carga P en el punto 1

A

B

C

D

1

2 P

i = 1,2, , n

Aplicacin de la carga P en el punto 2

A

B

C

D

1

2

Por el teorema de Betti:

2112

2112

PP

En donde 12 es el desplazamiento en 1 cuando P se aplica en 2 y 21 es el desplazamiento en 2 cuando se aplica en 1.

El desplazamiento de un punto 1 en la direccin AB cuando en el punto 2 acta una fuerza P en la direccin CD cuando P se aplica en 1

metodos energeticos

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