Departamento de Matemáticas. IES Pedro Floriani

:

baxb x a =⇔= :: 0>a y 0≠a ;

i l i a b x ba x = “ ifi l i l i bb = ”

A.- DEFINICIÓN DE LA OPERACIÓN LOGARITMO

log ; con

es dec r:“ ogar tmo en base de ” es cuando

Cuando no se espec ca a base debemos entender que es dec ma ; es dec r, 10 log log

1. Aplicando la definición, calcula los siguientes logaritmos: (a) log10000 = 16 = 27

(e) log (g) log = 2 5 3 3(b) log5 125 = 81 125

4(f) log 3 32 = (h) log 3 = 3(c) log3

1 = 64 4

27 (i) log8 4 = (d) log 0,1=

2. Demuestra cada una de las propiedades de la operación logaritmo.

01 = a , l i a si iti

di i

1=a a

xa x a =

yx aaa · +=

yx y

x aaa −=

xnx a n

a =

xxx am n

a m n

a m n

==

a

x x

b

b a =

B.- PROPIEDADES DE LA OPERACIÓN LOGARITMO:

log con base de ogar tmos empre pos va y

st nta de cero

log

log

y x log log log

log log log

·log log

·log log log

log

log log

3. Desarrolla las siguientes expresiones lo máximo posible: · 2n m x ·y ·(m + n ) 1

(a) log = (d) log = (f) log 2 3

= p m ·n y x

2 2 2(b) log m 2·n =

(e) log m − n = (g) log 3·

22

x x + y = (c) log( m + n )· m 3 = m ·n

(h) log 2 2 = 4. Reduce las siguientes expresiones a un solo bloque:

1 log g =(a) 2 log a + 3log b − 1 log c = (c) log 2 − log π + 1 log l − 22 b b 2 b b

1 log( m − n ) − 1 log( m + n ) =(b) log x − log y + log z = (d) 2b b b 3

5. Sabiendo que: log2 = ,0 3010 y log3 = ,0 4771 . Halla sin calculadora los siguientes logaritmos:

(a) log32 = (d) log ,0 144 = 7 2(b) log144 = (e) log ( 81 ,0 ) =

(c) log 250 =

6. Halla con la calculadora:

l 5 ll 12 2

5 =−=−==NOTA: e log se ha a así: 699 ,0 3010 ,0 log 10 log 10

log log

(a) 3 + 5,2 8 = (d) log3 10457 =

(b) 5 3597 = (c) log ,0 00325 =

7. Resuelve las siguientes ecuaciones: x(a) 3log x − log 32 = log 2 (e) 2 log x − log( x − ) 16 = 2

(b) 2 log x = log( x + )5 (f) log( x − ) 16 + log( x + )5 = 2 2

2 x x(c) 2 log x = 3 + log 10 (g) log 2 + log(11 − ) = 2

(d) 2 log2 x − 9 log x + 10 = 0 log(5 − x ) (h) log( x + )1 = log(5x − ) 13 − log( x − )3

(hacer el cambio de variable: tx =log )

�

Ejercicios de Logaritmos

Ejercicio 1.­ Encontrar el valor de x en las siguientes expresiones:

1 5a) logx 25 = 2 b) logx 243 = 3 c) logx 4 = d) logx 32 =

2 21 1

e) logx 4 = − f) log2 4 = x g) log2 0,5 = x h) logx 64= −6

23 1

i) logx 1000 = 3 j) log10 0,001 = x k) logx

√125 = l) log2 = x

2 8

Ejercicio 2.­ Calcular el valor de las siguientes expresiones:

6 4 4√

64 · 42 27 ·√

243 625 ·√

25 343 ·√

75

a) log2 3c)log5 d)log725

√512

b)log3 35√

729 125 7−5· ·

Ejercicio 3.­ Resolver las siguientes ecuaciones logarıtmicas:

1 xa)log

√3x + 4 +

2log(5x + 1) = 1 + log 3 b)2 log x = 3 + log

c)(x2 − 5x + 9) log 2 + log 125 = 34

10d)2 log x− log(x− 16) = 2

x 81e)4 log x− log(x2

5) = log 5 f) 4 log

3+ log = 2 log x−

4 xg) log(x− 1)− log

√5 + x = log

√5− x h) 3 log x− log 32 = log

2

Ejercicio 4.­ Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:

4a)3x2−2x = 1 b)23x−1 =√

2 c)3x+1 + 3x + 3x−1 = 39 d)3x + 32−x = 10e)52x+1 − 5x+2 = 2500 f)9x − 6 · 3x+1 + 81 = 0 g)24x − 22x − 12 = 0

Ejercicio 5.­ Resolver los siguientes sistemas:

a)log x + log y = 1x

y= 5 b)

log x + log y = 1x− y = 9

�c)

log x− log y = 1x− y = 2

�� �

d)log x + log y = 3log x− log y = 1

e)2 log x− 3 log y = 53 log x + log y = 2

f)

g) 2x + 5y = 92x−1 + 5y+1 = 9

�h)

log x + log y = 1x2 − y2 = 21

�i)

2x + 2y = 102x−y = 4

�log(x + y)− log(x− y) = log 52x

2y = 2

�

Soluciones 1.-

a) 5=x b) 3

5

3=x c) 16=x d) 4=x e) 16

1=x f) 2=x g) 1−=x h) 2=x i) 10=x j) 3−=x k) 5=x l) 3−=x

Soluciones 2.-

a) 3−=x b) 4

15−=x c) 2

3=x d) 2

21=x

Soluciones 3.- a) 7=x b) , 100=x c) 3=x , 2=x d) 80=x , 20=x e) 2=x , 1=x f) 0=x , 2=x g) 4=x h) 4=x

Soluciones 4.-

a) 0=x , 2=x b) 12

5=x c) 2=x d) 0=x , 2=x e) 2=x f) 2=x 9) 1=x

Soluciones 5.-

a) 25=x , 2=y b) 10=x , 1=y c) 9

20=x , 9

2=y d) 100=x , 10=y e) 10=x , 10

1=y

f) 3=x , 1=y g) 3=x , 0=y h) 15=x , 2=y i) 3=x , 2=y