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CONTROL DE MOTOR DC

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DISEÑO DEL PID

PID Motor DC+

-

Referencia:0-10V

K = constante del SCR

K=20

5

10V

Se desea una respuesta al escalón que presente un error de estadoestacionario a la señal escalón , lo mas cercano a cero, y que genere unsobreimpulso de Mp = 10% = 0.1 con un tiempo de establecimiento de 0.5 s.

2

22

2 2

21

1

ln

ln

ln

0.8261Mp

Mp

Mp e

Mp

:

4 4. .

Para un tiempo de establecimiento de 0.5 segundo:

9.684 frecuencia natural no amortiguada

ss nn ss

n

Luego

tt

Hz

POLOS DESEADOS:

La respuesta del sistema a un escalón para el caso: 0 < < 1 genera raícescomplejas conjugadas:

212

212

12

1

(0.8261)(9.684) 9.684 1 0.8261

8 12.56

n nS j

S j

S j polos deseados

La planta será el motor de CD controlado por armadura, que se muestra acontinuación. En este caso la corriente de campo se mantiene constante(generalmente esto es mucho mas fácil de obtener en la practica que mantenerla corriente de armadura constante)

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Para este caso vamos a deducir su Función de Transferencia.

La ecuación de Kirchhoff para el circuito de armadura es:

( ) ( ) ( ) ( )

Donde ( ) es la fuerza contraelectromotriz del motor:

a a a c

c

L s R I s E s E s

E s

( ) ( )c eE s K s

( ) ( )( ) ..................................(1)ea

a a

E s K sI sL s R

En la parte mecánica de la planta se tiene:

( ) ( ),

:

( ) ( )

:

( )( ) ....................................(2)

e a

at

Js s T s

donde

T s K I s

Luego

Js sI s

K

Luego de las dos ecuaciones el motor será representado así:

Luego aplicando operaciones de funciones de transferencia, se llega lo

siguiente:

Tm

WJ

B

+

Va

-

I+e-

1sLa + Ra

KtsJ + B

Ke

E(s) I(s) w(s)



CONTROL DE MOTOR DC

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22

(1) (2)( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

e

t a a a a

e

t a a a a

t t a

a a t ea a a a e t

a a a

K sJs s E sK L s R L s R

KJs E ssK L s R L s R

K K JLsR R K KE s JL s L s JR s R K K s s

J L JL JL

Luego si reemplazamos los parámetros del motor:

Kt = Ke = 0.8995 Ra = 60.938 La = 1.129 H

J = 0.000689 B = 0.000817

Se llega a lo siguiente:

=> P12 = -27.58 ?Ñ18.53j Polos del Motor

La Función de Transferencia del Motor queda expresada de la siguiente

manera :

( ) 1156.35( ) ( 27.58 18.53 )( 27.58 18.53 )s

E s s j s j

El diagrama completo será :

PID+

-E(s)

K = constante del SCR

K=20

5

( )s1156.35( 27.58 18.53 )( 27.58 18.53 )s j s j

Vo(s)



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DISEÑO DEL PID

El PID tendrá la siguiente forma :Kp + Kds + Ki

sOrdenando :

PID = K(s + a)(s + b)s

donde : a = -A + Bib = -A – Bi

Para utilizar el método del lugar geométrico, usaremos valores aproximados deA y B, de esta manera se tendrá una muestra del probable paso del lugargeométrico por los polos.

Haciendo la simulación en Matlab



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Luego de analizar la grafica del lugar geométrico para diferentes valores de A yB, encontramos los siguientes valores, que se acercan mas:

A = 10B = 38Además, para la constante k se llegó a un valor aproximado de:

K=0.08654

El PID es de la siguiente forma:

PID = K(s + a)(s + b)s

Donde: a = -A –jB = -10 – j38

b = -A + jB = -10 + j38

=>

PID = K(s2 + 2As + A2 + B2)s

Reemplazando:

PID = 0.08654(s2 + 20s +10 2 +382)s

Polos deseados :

-8 12.56j



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PID = 1.7308 + 0.08654s + 133.61s

Después, por simple inspección, se obtienen los valores:

Kp = 1.7308 Kd = 0.08654 Ki = 133.61

Ahora que ya tenemos los valores del PID y la función de transferencia delmotor, hacemos la simulación del sistema completo, en Matlab:

PROGRAMA DEL SISTEMA EN MATLAB

% Parametros del motorKt = 0.8995 ; Ke = 0.8995 ;La = 1.129 ; Ra = 60.938 ;J = 0.000689 ; B = 0.000817 ;% FT del motorn1 = Kt/J*La;numM = n1;d1 = (Ra/La)+(B/J);d2 = ((Ra*B)+(Kt*Ke))/J*La;denM = [1 d1 d2];% Para las constantes del sistema K y KsK = 20;Ks = 5;% Se tiene lo siguiente:numMT = K*Ks*numM;denMT = denM;% Para el diseño del PID se tiene:Kp = 1.7308;Kd = 0.08654;Ki = 133.61;numPID = [Kd Kp Ki];denPID = [1 d1+Kd d2+Kp Ki];% Hallando la FT del PID y del MotornumSM = conv(numPID,numMT);denSM = conv(denPID,denMT);

%El sistema final

[numF,denF]=feedback(numSM,denSM,1,1);

% Aplicando una señal Escalon en la Entradat=0:0.0001:1;step(10*numF,denF,t)grid



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