INTERPOLACIÓN En este capítulo estudiaremos el importantísimo tema de la interpolación de datos. Veremos dos tipos de interpolación: la interpolación polinomial y la interpolación segmentaria (splines).Comencemos dando la definición general.

Definición. Dados 1+n puntos que corresponden a los datos:

y los cuales se representan gráficamente como puntos en el plano cartesiano,

Si existe una función )(xf definida en el intervalo [ ]nxx ,0 (donde suponemos

que nxxx <<< 10 ), tal que ii yxf =)( para ni ,,2,1,0 = , entonces a )(xf se le llama una función de interpolación de los datos, cuando es usada para

aproximar valores dentro del intervalo [ ]nxx ,0 , y se le llama función de extrapolación de los datos, cuando está definida y es usada para aproximar valores fuera del intervalo.

Evidentemente pueden existir varios tipos de funciones que interpolen los mismos datos; por ejemplo, funciones trigonométricas, funciones exponenciales, funciones polinomiales, combinaciones de éstas, etc. El tipo de interpolación que uno elige, depende generalmente de la naturaleza de los datos que se están manejando, así como de los valores intermedios que se están esperando.

Un tipo muy importante es la interpolación por funciones polinomiales. Puesto que evidentemente pueden existir una infinidad de funciones polinomiales de interpolación para una misma tabla de datos, se hace una petición extra para que el polinomio de interpolación , sea único.Definición. Un polinomio de interpolación es una función polinomial que además de interpolar los datos, es el de menor grado posible.Caso n=0 Tenemos los datos:

En este caso, tenemos que 0)( yxf = (polinomio constante) es el

polinomio de menor grado tal que 00 )( yxf = , por lo tanto, es el polinomio de interpolación. Caso n=1 Tenemos los datos:

En este caso, el polinomio de interpolación es la función lineal que une a los dos puntos dados. Por lo tanto, tenemos que

)()( 001

010 xx

xx

yyyxf −

−−+=

es el polinomio de interpolación. La siguiente gráfica representa este caso:

Observación. Vemos que en el polinomio de interpolación del caso n=1 se encuentra como

primer término, 0y , que es el polinomio de interpolación del caso n=0.Continuemos:Caso n=2Tenemos los datos:

Para este caso, el polinomio de interpolación va a ser un polinomio de grado 2. Tomando en cuenta la observación anterior, intuímos que el polinomio de interpolación será como sigue:

término cuadrático

Por lo tanto, planteamos el polinomio de interpolación como sigue:

))(()()( 102010 xxxxbxxbbxf −−+−+=

Si asignamos 0xx = , se anulan los valores de 1b y 2b , quedándonos el resultado:

00)( bxf =

Como se debe cumplir que 00 )( yxf = , entonces:

00 by =

Si asignamos 1xx = , el valor de 2b queda anulado, resultando lo siguiente:

)()( 01101 xxbbxf −+=

Como se debe cumplir que 11)( yxf = y ya sabemos que 00 by = ,

entonces )( 01101 xxbby −+= , de lo cual obtenemos el valor para 1b :

101

01 bxx

yy =−−

Asignando 2xx = , vamos a obtener :

))(()()( 1202202102 xxxxbxxbbxf −−+−+=

Como se debe cumplir que 22)( yxf = , y ya sabemos que 00 by = y

101

01 bxx

yy =−−

, sustituímos estos datos para después despejar el valor de 2b :

))(()( 120220201

0102 xxxxbxx

xx

yyyy −−+−

−−+=

De lo cual podemos hacer un despeje parcial para lograr la siguiente igualdad :

)(

)(

02212

0201

0102

xxbxx

xxxx

yyyy

−=−

−−−−−

Ahora en el numerador del miembro izquierdo de la igualdad, le

sumamos un cero ( )11 yy +− , de tal manera que no se altere la igualdad:

A continuación, aplicamos un poco de álgebra para así obtener los siguientes resultados:

Y finalmente despejando a 2b vamos a obtener :

02

01

01

12

12

2 xx

xx

yy

xx

yy

b−

−−−

−−

=

Por lo tanto, el polinomio de interpolación para este caso es:

Observación. Vemos que efectivamente el polinomio de interpolación contiene al del caso anterior, más un término extra que es de un grado mayor, pero además vemos que cada uno de los coeficientes del polinomio de interpolación, se forman a base de cocientes de diferencias de cocientes de diferencias, etc. Esto da lugar a la definición de diferencias divididas finitas de Newton, como sigue:

DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS DE NEWTONLas diferencias divididas finitas de Newton, se define de la siguiente manera:

ji

jiji xx

xfxfxxf

−−

=)()(

],[

ki

kjjikji xx

xxfxxfxxxf

−−

=],[],[

],,[

•••

0

011011

],,[],,[],,,,[

xx

xxfxxfxxxxf

n

nnnn −

−= −−

A manera de ejemplo citemos el siguiente caso específico :

03

0121230123

],,[],,[],,,[

xx

xxxfxxxfxxxxf

−−=

donde a su vez:

13

1223123

],[],[],,[

xx

xxfxxfxxxf

−−=

y

012

0112012

],[],[],,[

xx

xxfxxfxxxf

−−=

Y donde a su vez:

23

2323

)()(],[

xx

xfxfxxf

−−=

etc. Podemos ahora definir nuestro primer tipo de polinomio de interpolación.

POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON CON DIFERENCIAS DIVIDIDAS

Dados 1+n datos:

- El polinomio de interpolación de Newton se define de la siguiente manera:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )110102010 −−−−++−−+−+= nn xxxxxxbxxxxbxxbbxf

donde :

( )00 xfb =],[ 011 xxfb =

[ ]0122 ,, xxxfb =

[ ]0,, xxfb nn

=

Para calcular los coeficientes nbbb ,,, 10 , es conveniente construir una tabla de diferencias divididas como la siguiente :

Obsérvese que los coeficientes del polinomio de interpolación de Newton, se encuentran en la parte superior de la tabla de diferencias divididas.

Ejemplo 1. Calcular la tabla de diferencias divididas finitas con los siguientes datos :

Y utilizar la información de dicha tabla, para construir el polinomio de interpolación de Newton. Solución. Procedemos como sigue:

Por lo tanto el polinomio de interpolación de Newton es :

)2)(1)(2(3.0)1)(2(25.0)2(24)( −++−++−++= xxxxxxxf Ejemplo 2. Calcular la tabla de diferencias divididas finitas con los siguientes datos :

Y usar la información en la tabla, para construir el polinomio de interpolación de Newton.

Solución. Procedemos como sigue:

Por lo tanto el polinomio de interpolación de Newton nos queda :

))(2)(3(20238.0)2)(3(66667.1)3(35)( xxxxxxxf ++−++−++= Antes de ver el siguiente tipo de polinomio de interpolación, veamos como el imponer la restricción del grado mínimo, implica la unicidad del polinomio de interpolación. TEOREMA .

Si nxxx ,,, 10 son números reales distintos, entonces para valores

arbitrarios nyyy ,,, 10 existe un polinomio único ( )xfn , de a lo más grado

n, y tal que:

( ) iin yxf = para toda ni ,,2,1,0 = DEMOSTRACIÓN. En realidad, no probaremos formalmente la existencia de un polinomio de interpolación, aunque informalmente aceptamos que dada cualquier tabla de datos, el polinomio de Newton siempre existe.Probemos la unicidad del polinomio de interpolación.

Supongamos que ( )xgn es otro polinomio de interpolación de a lo más grado n,

Sea ( ) ( ) ( )xgxfxh nnn −=

( ) ( ) ( ) 0=−=−=∴ iiininin yyxgxfxh para todo ni ,2,1,0 =

Por lo tanto, ( )xhn tiene 1+n raíces distintas, y es un polinomio de grado a lo

más n, esto solamente es posible si ( ) 0=xhn .

( ) ( )xgxf nn =∴ Que es lo que queríamos probar. Sin embargo, aunque el polinomio de interpolación es único, pueden existir diversas formas de encontrarlo. Una, es mediante el polinomio de Newton, otra mediante el polinomio de Lagrange.

POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE Nuevamente tenemos los datos :

El polinomio de interpolación de Lagrange se plantea como sigue:

)()()()( 1100 xlyxlyxlyxP nn+++=

Donde los polinomios )(xli se llaman los polinomios de Lagrange, correspondientes a la tabla de datos.

Como se debe satisfacer que 00 )( yxP = , esto se cumple si 1)( 00 =xl y 0)( 0 =xli para toda 0≠i .

Como se debe satisfacer que 11)( yxP = , esto se cumple si 1)( 11 =xl y 0)( 1 =xli para toda 1≠i .

Y así sucesivamente, veremos finalmente que la condición ( ) nnn yxP =

se cumple si ( ) 1=nn xl y ( ) 0=ni xl para toda ni ≠ .Esto nos sugiere como plantear los polinomios de Lagrange. Para ser

más claros, analicemos detenidamente el polinomio )(0 xl . De acuerdo al análisis anterior vemos que deben cumplirse las siguientes

condiciones para )(0 xl :

1)( 00 =xl y 0)(0 =jxl , para toda 0≠j

Por lo tanto, planteamos )(0 xl como sigue:

( ) ( ) ( ) ( )no xxxxxxcxl −−−= 21 Con esto se cumple la segunda condición sobre )(0 xl . La constante c se determinará para hacer que se cumpla la primera condición:

( ) ( ) ( ) ( )nxxxxxxcxl −−−=⇒= 0201000 11

( )( ) ( )nxxxxxxc

−−−=⇒

02010

1

Por lo tanto el polinomio )(0 xl queda definido como:

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )n

n

xxxxxx

xxxxxxxl

−−−−−−=02010

210

Análogamente se puede deducir que:

( )∏∏

≠

≠

−

−=

jiij

jii

j xx

xx

xl)(

)(

, para nj ,,1=

Ejemplo 1 Calcular el polinomio de Lagrange usando los siguientes datos:

Solución. Tenemos que:

)()()()()( 3321100 xlyxlyxlyxlyxf +++=

)(3)(2)()(2)( 3210 xlxlxlxlxf −++−= donde:

48

)7)(5)(3(

)6)(4)(2(

)7)(5)(3()(0 −

−−−=−−−

−−−= xxxxxxxl

16

)7)(5)(1(

)4)(2)(2(

)7)(5)(1()(1

−−−=−−

−−−= xxxxxxxl

16

)7)(3)(1(

)2)(2)(4(

)7)(3)(1()(2 −

−−−=−

−−−= xxxxxxxl

48

)5)(3)(1(

)2)(4)(6(

)5)(3)(1()(3

−−−=−−−= xxxxxxxl

Sustituyendo arriba, el polinomio de Lagrange queda definido como sigue:

−−−−

−−−−

−−−+

−−−=

16

)5)(3)(1(

8

)7)(3)(1(

16

)7)(5)(1(

24

)7)(5)(3()(

xxxxxxxxxxxxxf

Ejemplo 2. Calcular el polinomio de Lagrange usando los siguientes datos:

Solución. Tenemos que:

)()()()()( 3321100 xlyxlyxlyxlyxf +++=

)(2)(3)()()( 3210 xlxlxlxlxf −+−= donde:

48

)4)(2(

)6)(4)(2(

)4)(2)(0()(0 −

−−=−−−

−−−= xxxxxxxl

16

)4)(2)(2(

)4)(2)(2(

)4)(2)(2()(1

−−+=−−

−−+= xxxxxxxl

16

)4)(2(

)2)(2)(4(

)4)(0)(2()(2 −

−+=−

−−+= xxxxxxxl

48

)2)(2(

)2)(4)(6(

)2)(0)(2()(3

−+=−−+= xxxxxxxl

Sustituyendo arriba, el polinomio de Lagrange queda como sigue:

−+−

−−++

−−+−

−−−=

24

)2)(2(

16

)4)(2(3

16

)4)(2)(2(

48

)4)(2()(

xxxxxxxxxxxxxf

En el capítulo de integración numérica, usaremos nuevamente a los polinomios de Lagrange. INTERPOLACIÓN DE SPLINES Terminamos este capítulo, estudiando un tipo de interpolación que ha demostrado poseer una gran finura, y que inclusive es usado para el diseño por computadora, por ejemplo, de tipos de letra. Esta interpolación se llama interpolación segmentaria o interpolación por splines. La idea central es que en vez de usar un solo polinomio para interpolar los datos, podemos usar segmentos de polinomios y unirlos adecuadamente para formar nuestra interpolación.Cabe mencionar que entre todas, las splines cúbicas han resultado ser las más adecuadas para aplicaciones como la mencionada anteriormente. Así pues, podemos decir de manera informal, que una funcion spline está formada por varios polinomios, cada uno definido en un intervalo y que se unen entre si bajo ciertas condiciones de continuidad.

Definición. (Splines de grado k) Dada nuestra tabla de datos,

donde suponemos que nxxx <<< 10 , y dado k un número entero positivo, una función de interpolación spline de grado k, para

la tabla de datos, es una función )(xs tal que :

i) ii yxs =)( , para toda ni ,,1,0 = .

ii) ( )xs es un polinomio de grado k≤ en cada subintervalo [ ]ii xx ,1− .

iii ) ( )xs tiene derivada contínua hasta de orden 1−k en [ ]nxx ,0 . FUNCIONES SPLINES DE GRADO 1 Dados los 1+n puntos

Una función spline de grado 1 que interpole los datos es simplemente unir cada uno de los puntos mediante segmentos de recta, como sigue:

Claramente esta función cumple con las condiciones de la spline de grado 1. Así, tenemos que para ested caso:

( ) [ ]( ) [ ]

( ) [ ]

∈

∈∈

=

− nnn xxxsixs

xxxsxs

xxxsixs

xs

,

,

,

)(

1

212

101

donde:

i) ( )xs j es un polinomio de grado menor o igual que 1

ii) ( )xs tiene derivada continua de orden k-1=0.

iii) ( ) jj yxs = , para nj ,,1,0 = .Por lo tanto, la spline de grado 1 queda definida como :

( )

[ ]( ) [ ][ ]( ) [ ]

[ ]( ) [ ]

∈−+

∈−+∈−+

=

−−−− nnnnnn xxxsixxxxfy

xxxsixxxxfy

xxxsixxxxfy

xs

,,

,,

,,

1111

211121

100010

donde ],[ ji xxf es la diferencia dividida de Newton. FUNCIONES SPLINES DE GRADO 2 Para aclarar bien la idea, veamos un ejemplo concreto, consideremos los siguientes datos :

Y procedamos a calcular la interpolación por splines de grado 2.Primero que nada, vemos que se forman tres intervalos :

[ ][ ][ ]9,7

7,5.4

5.4,3

En cada uno de estos intervalos, debemos definir una función polinomial de grado 2, como sigue:

( )[ ][ ]

[ ]

∈++∈++∈++

=9,7

7,5.4

5.4,3

332

3

222

2

112

1

xsicxbxa

xsicxbxa

xsicxbxa

xs

Primero, hacemos que la spline pase por los puntos de la tabla de datos. Es decir, se debe cumplir que:

5.0)9(,5.2)7(,1)5.4(,5.2)3( ==== ssss

Así, se forman las siguientes ecuaciones:

5.2395.2)3( 111 =++⇒= cbas

=++=++

⇒=15.4)5.4(

15.4)5.4(1)5.4(

2222

1112

cba

cbas

=++=++

⇒=5.2749

5.27495.2)7(

333

222

cba

cbas

5.09815.0)9( 333 =++⇒= cbas

Hasta aquí, tenemos un total de 6 ecuaciones vs. 9 incógnitas.El siguiente paso es manejar la existencia de las derivadas contínuas. En el caso de las splines de grado 2, necesitamos que la spline tenga derivada contínua de orden k-1=1, es decir, primera derivada continua.Calculamos primero la primera derivada:

( )[ ][ ]

[ ]

∈+∈+∈+

=′9,72

7,5.42

5.4,32

33

22

11

xsibxa

xsibxa

xsibxa

xs

Vemos que esta derivada está formada por segmentos de rectas, que pudieran presentar discontinuidad en los cambios de intervalo. Es decir, las posibles discontinuidades son 5.4=x y 7=x . Por lo

tanto para que ( )xs′ sea contínua, se debe cumplir que:

( ) ( ) 2211 5.425.42 baba +=+o lo que es lo mismo,

2211 99 baba +=+ También debe cumplirse que:

( ) ( ) 3322 7272 baba +=+o lo que es lo mismo,

3322 1414 baba +=+ Así, tenemos un total de 8 ecuaciones vs. 9 incognitas; esto nos da un grado de libertad para elegir alguna de las incógnitas. Elegimos

por simple conveniencia 01 =a . De esta forma, tenemos un total de 8 ecuaciones vs. 8 incógnitas. Estas son las siguientes:

3322

221

333

333

222

222

11

11

1414

9

5.0981

5.2749

5.2749

15.425.20

15.4

5.23

baba

bab

cba

cba

cba

cba

cb

cb

+=++=

=++=++=++

=++=+

=+

Este sistema de ecuaciones tiene la siguiente forma matricial:

=

−−−−

0

0

5.0

5.2

5.2

1

1

5.2

0114011400

00001901

198100000

174900000

000174900

00015.425.2000

00000015.4

00000013

3

3

3

2

2

2

1

1

c

b

a

c

b

a

c

b

Usando Mathematica se obtiene la siguiente solución:

3.91

6.24

6.1

46.18

76.6

64.0

5.5

1

3

3

3

2

2

2

1

1

−==

−==

−===

−=

c

b

a

c

b

a

c

b

Sustituyendo estos valores (junto con 01 =a ), obtenemos la función spline cuadrática que interpola la tabla de datos dada:

( )[ ][ ]

[ ]

∈−+−∈+−∈+−

=9,73.916.246.1

7,5.446.1876.664.0

5.4,35.5

2

2

xsixx

xsixx

xsix

xs

La gráfica que se muestra a continuación, contiene tanto los puntos iniciales de la tabla de datos, así como la spline cuadrática. Esta gráfica se generó usando Mathematica.

3 4.5 7 9

-1

1

2

3

4

5

El siguiente caso, que es el más importante en las aplicaciones, sigue exactamente los mismos pasos del ejemplo que acabamos de resolver, solamente que en vez de trabajar con polinomios cuadráticos, lo hace con polinomios cúbicos. FUNCIONES SPLINES CUBICAS Para hacer más firme el entendimiento, escribimos la definición correspondiente a este caso (k=3).

Dados los 1+n datos:

Una spline cúbica que interpola estos datos, es una función )(xs definida como sigue :

( )

( ) [ ]( ) [ ]

( ) [ ]

∈

∈∈

=

−− nnn xxxsixs

xxxsixs

xxxsixs

xs

,

,

,

11

211

100

donde cada ( )xsi es un polinomio cúbico; ( ) iii yxs = , para toda ni ,,1,0 = y tal que ( )xs tiene primera y segunda derivadas

contínuas en [ ]nxx ,0 . Ejemplo 1.Interpolar los siguientes datos mediante una spline cúbica :

Solución.Definimos un polinomio cúbico en cada uno de los intervalos que se forman:

( ) [ ][ ]

∈+++∈+++

=5,3

3,2

222

23

2

112

13

1

xsidxcxbxa

xsidxcxbxaxs

A continuación, hacemos que se cumpla la condición de que la spline debe pasar por los puntos dados en la tabla. Así, tenemos que:

( ) 124812 1111 −=+++⇒−= dcbas

( ) 2392723 1111 =+++⇒= dcbas

( ) 752512575 2222 −=+++⇒−= dcbas

Ahora calculamos la primera derivada de ( )xs :

( ) [ ][ ]

∈++∈++

=′5,323

3,223

222

2

112

1

xsicxbxa

xsicxbxaxs

Al igual que en el caso de las splines cuadráticas, se presentan ecuaciones que pueden presentar discontinuidad en los cambios de intervalo; las posibles discontinuidades son los puntos donde se cambia de intervalo, en este caso 3=x . Para evitar esta discontinuidad, evaluamos 3=x en los dos polinomios e igualamos:

( ) ( ) ( ) ( ) 222

2112

1 32333233 cbacba ++=++ o lo que es lo mismo:

222111 627627 cbacba ++=++ Análogamenete procedemos con la segunda derivada :

( ) [ ][ ]

∈+∈+

=′′5,326

3,226

22

11

xsibxa

xsibxaxs

Para lograr que ( )xs ′′ sea continua :

( ) ( ) 2211 236236 baba +=+

2211 218218 baba +=+∴ En este punto contamos con 6 ecuaciones y 8 incognitas, por lo tanto tenemos 2 grados de libertad; en general, se agregan las siguientes 2 condiciones:

( )( ) 0

00

=′′=′′

nxs

xs

De lo cual vamos a obtener :

( ) ( ) 022602 11 =+⇒=′′ bas

0212 11 =+∴ ba

( ) ( ) 025605 22 =+⇒=′′ bas

0230 22 =+∴ ba

Con lo cual, hemos completado un juego de 8 ecuaciones vs. 8 incógnitas, el cual es el siguiente:

0230

0212

218218

627627

7525125

23927

23927

1248

22

11

2211

222111

2222

2222

1111

1111

=+=+

+=+++=++

−=+++=+++

=+++−=+++

ba

ba

baba

cbacba

dcba

dcba

dcba

dcba

Cuya forma matricial es la siguiente :

−

−

=

−−−−−

0

0

0

0

7

2

2

1

002300000

000000212

0021800218

0162701627

15251250000

139270000

000013927

00001248

2

2

2

2

1

1

1

1

d

c

b

a

d

c

b

a

Usando Mathematica, obtenemos la siguiente solución:

125.50

875.39

375.9

625.0

5.0

75.10

5.7

25.1

2

2

2

2

1

1

1

1

−==

−===

−==

−=

d

c

b

a

d

c

b

a

Sustituyendo estos valores en nuestra función inicial, vemos que la spline cúbica para la tabla de datos dada, queda definida como sigue:

( ) [ ][ ]

∈−+−∈+−+−

=5,3125.50875.39375.9625.0

3,25.075.105.725.123

23

xsixxx

xsixxxxs

Mostramos la gráfica correspondiente a este ejercicio, creada tambien en Mathematica.

Obsérvese la finura con la que se unen los polinomios cúbicos que conforman a la spline. Prácticamente ni se nota que se trata de dos polinomios diferentes!. Esto es debido a las condiciones que se impusieron sobre las derivadas de la función. Esta finura casi artística, es la que permite aplicar las splines cúbicas, para cuestiones como el diseño de letras por computadoras, o bien a problemas de aplicación donde la interpolación que se necesita es de un caracter bastante delicado, como podría tratarse de datos médicos sobre algún tipo de enfermedad.

Ejemplo 2.Interpolar los siguientes datos utilizando splines cúbicas:

Solución.Nuevamente, definimos un polinomio cúbico en cada uno de los intervalos:

[ ][ ][ ]

∈+++∈+++

−∈+++=

4,2

2,1

1,1

)(

332

33

3

222

23

2

112

13

1

xsidcxbxa

xsidxcxbxa

xsidxcxbxa

xs

Despues, hacemos que la spline pase por los puntos dados en la tabla. Así, tenemos que:

1)1( −=−s implica que,11111 −=+−+− dcba

1)1( =s implica que, 11111 =+++ dcba

12222 =+++ dcba5)2( =s implica que,

5248 2222 =+++ dcba

5248 3333 =+++ dcba

Y finalmente 2)4( −=s implica que,

241664 3333 −=+++ dcba

Enseguida, calculamos la primera derivada:

[ ][ ][ ]

∈++∈++

−∈++=′

4,223

2,123

1,123

)(

332

3

222

2

1112

1

xsicxbxa

xsicxbxa

xsicxbxa

xs

Vemos entonces, que las posibles discontinuidades de )(xs′ son 1=x y 2=x . Por lo tanto, para hacer que )(xs′ sea contínua,

igualamos las ecuaciones correspondientes en ambos valores :

222111 2323 cbacba ++=++

333222 412412 cbacba ++=++ Ahora procedemos a calcular la segunda derivada:

[ ][ ][ ]

∈+∈+

−∈+=′′

4,226

2,126

1,126

)(

33

22

11

xsibxa

xsibxa

xsibxa

xs

Nuevamente, las posibles discontinuidades son 1=x y 2=x . Por lo

tanto, para que )(xs ′′ sea contínua , se igualan las ecuaciones en ambos valores :

22112211 332626 babababa +=+→+=+

33223322 66212212 babababa +=+→+=+ Finalmente, se agregan las condiciones de que la doble derivada se anule en los puntos inicial y final de la tabla. En este caso,

030260)1( 1111 =+−→=+−→=−′′ babas

01202240)4( 3333 =+→=+→=′′ babas

Con esto tenemos un juego de doce ecuaciones vs. doce incógnitas:

11111 −=+−+− dcba

11111 =+++ dcba

12222 =+++ dcba

5248 2222 =+++ dcba

5248 3333 =+++ dcba

241664 3333 −=+++ dcba

222111 2323 cbacba ++=++

333222 412412 cbacba ++=++

2211 33 baba +=+

3322 66 baba +=+03 11 =+− ba

012 33 =+ ba

Este sistema tiene la siguiente forma matricial:

−

−

=

−−−

−−−−−

−−−

−−

0

0

0

0

0

0

2

5

5

1

1

1

0011200000000

000000000013

001600160000

000000130013

01412014120000

000001230123

14166400000000

124800000000

000012480000

000011110000

000000001111

000000001111

3

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

1

d

c

b

a

d

c

b

a

d

c

b

a

Usando Mathematica, obtenemos la solución :

140

511 =a

, 10

212 −=a

, 35

243 =a

140

1531 =b

, 35

2972 =b

, 35

2883 −=b

140

891 =c

, 70

4732 −=c

, 70

18673 =c

40

1531 −=d

, 35

482 =d

, 35

7323 −=d

Por lo tanto, la spline cúbica es:

[ ][ ][ ]

∈−+−∈+−+−

−∈−++=

4,2

2,1

1,1

)(

35732

7018672

352883

3524

3548

704732

352973

1021

40153

140892

1401533

14051

xsixxx

xsixxx

xsixxx

xs

Finalmente, mostramos la gráfica correspondiente (creada en Mathematica): EJERCICIOS NOTA: CUANDO SEA NECESARIO, REDONDEA A CINCO DECIMALES.1. Calcula el polinomio de interpolación de Newton para los siguientes datos:

i) 8.74.235.0

4122

−−

y

x

ii) 129603

5.12.19.06.03.0

−−−y

x

Soluciones:

)1)(2)(2(4625.0)2)(2(925.0)2(875.05.0)() −+−++−−−+= xxxxxxxfi)9.0)(6.0)(3.0(18519.185)6.0)(3.0(50)3.0(103)() −−−+−−−−+−= xxxxxxxfii

)2.1)(9.0)(6.0)(3.0(53088.447 −−−−− xxxx

2. Calcula el polinomio de Lagrange para los siguientes datos:

i) 9.857.254.356.1

5321

−−−−

y

x

ii) 033529

4215.05.1

−−−−−

y

x

-1 1 2 4

-2

2

4

6

8

Soluciones:

++−−

+−−+

−+−+=

80

)5)(2)(1(57.2

45

)5)(3)(1(54.3

36

)5)(3)(2(56.1)()

xxxxxxxxxxpi

−−+−−

144

)3)(2)(1(9.8

xxx

−++−+−

++−+=

875.7

)4)(2)(1)(5.1(2

125.3

)4)(2)(1)(5.0(9)()

xxxxxxxxxpii

−+−+++

+++++

5.4

)4)(1)(5.0)(5.1(33

25.56

)4)(2)(5.0)(5.1(5

xxxxxxxx

3. Calcula las splines cúbicas para los siguientes datos:

i) 20540

312

−−−

y

x

ii) 406420

7325

−−−

y

x

Soluciones:

[ ][ ]

∈+−+−−∈+−+

=3,1125.8125.16375.3375.0

1,25.725.145.125.0)()

23

23

xsixxx

xsixxxxsi

[ ][ ]

[ ]

∈+−+−−∈−−+

−−∈−−−−=

7,3

3,2

2,5

)()

263860

789105112

52620933

1578299

13158012

3945156192

263022573

78901241

7895860

78947032

526753

5265

xsixxx

xsixxx

xsixxx

xsii

http://es.wikipedia.org/wiki/Splinehttp://dmaii.etsii.upm.es/~azarzo/downloads/Splines.pdfhttps://www.google.co.ve/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&cad=rja&ved=0CDQQFjAB&url=http%3A%2F%2Fudomatematica.files.wordpress.com%2F2010%2F02%2Finterpolacion.doc&ei=_hpsUuSjJsvKkAfa1oGgAQ&usg=AFQjCNGUR_GkdM7LzPrfNS2fC6IWvI37pw&sig2=ITj9zRWFcs0CFcjLbQhfvw&bvm=bv.55123115,d.eW0