informe vaciado de tanques

"Año de la Diversificación Productiva y del Fortalecimiento de la Educación"

“UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ”

ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL DE INGENIERÍA QUÍMICA AMBIENTAL E INGENIERIA

QUIMICA DE GAS NATURAL Y ENERGIA

CATEDRA: ECUACIONES DIFERENCIALES

CATEDRÁTICO:

Ms. Ing. David USCAMAYTA VERASTEGUI

“APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER

ORDEN A PROBLEMAS DE VACIADO DE TANQUES (SEMIESFERA)”

INTEGRANTES:

HUALLULLO I.Q.G.N.E JIMENEZ CHUQUIMANTARY, JIMMY I.Q.G.N.E ROBLES DEL CARPIO JACKELINE I.Q.A SIMEON NUÑEZ YOSELYN TITO

ECUACIONES DIFERENCIALES

TOVAR MEDINA MILAGROS ZAMUDIO CHAVEZ VALERY

HUANCAYO-2015

MODULO DE VACIADO DE TANQUE

SEMIESFERICO

VACIADO DE TANQUES Página 2


RESUMEN

El presente trabajo tiene como título: Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales

ordinarias de primer orden a problemas de vaciado de tanques (esfera)

Partió del siguiente problema: ¿Se pueden obtener modelos matemáticos de formas

variadas de la aplicación al vaciado de tanques de las ecuaciones diferenciales en un

módulo diseñado por los alumnos de la Facultad de Ingeniería Química de la

Universidad Nacional del Centro del Perú?

Para ello será necesario primero responder:

¿Cuáles son los procedimientos correctos para determinar las variables y

constantes adecuadas para obtener modelos matemáticos de formas variadas de

la aplicación al vaciado de tanques de las ecuaciones diferenciales en un módulo

diseñado por los alumnos de la Facultad de Ingeniería Química de la universidad

nacional del centro del Perú?

¿Cuáles son las condiciones para obtener modelos matemáticos de formas

variadas de la aplicación al vaciado de tanques de las ecuaciones diferenciales en

un módulo diseñado por los alumnos de la Facultad de Ingeniería Química de la


Para poder cumplir con la meta de responder y solucionar el problema se tiene como

objetivo principal Determinar los parámetros adecuados para obtener modelos

matemáticos de formas variadas de la aplicación al vaciado de tanques de las

ecuaciones diferenciales en un módulo diseñado por los alumnos de la Facultad de

Ingeniería Química de la Universidad Nacional del Centro del Perú.

Con respecto al método que se utilizara para poder lograr solucionar el problema

mencionado anteriormente se deberá seguir un procedimiento experimental que esta

adjuntado posteriormente que ayudara a obtener algunos datos que servían para

poder llegar a la meta esperada.



I. INTRODUCCIÓN

Muchos problemas físicos dependen de alguna manera de la geometría. Uno de ellos

es la salida de líquido de un tanque a través de un orificio situado al fondo del mismo.

La forma geométrica del recipiente determina el comportamiento físico del agua.

Las ecuaciones formuladas en este informe necesitan ser resueltas, sujetas a

condiciones obtenidas del problema para determinar la incógnita o incógnitas

involucradas.

Los procedimientos usados pueden producir una solución exacta o, en casos donde

soluciones exactas no se pueden obtener, soluciones aproximadas. Frecuentemente

para elaborar los cálculos numéricos se recurre al uso de la informática. El proceso de

obtener soluciones a menudo conduce a preguntas de naturaleza puramente

matemática que propician y propiciaron el avance de las susodichas matemáticas.

El presente trabajo tiene como título “obtención de los modelos matemáticos de

formas variadas sobre vaciado de tanque de una esfera en un módulo diseñado por

alumnos de la facultad de ingeniería química de la universidad nacional del centro del

Perú”

De la presente investigación se tiene poco marco referencial, la metodología usada

tiene un tipo de investigación: experimental, desarrollando un módulo el cual nos

permita conocer casi exactamente el tiempo que transcurre desde un punto de

referencia en el cual se llena la esfera con agua y sale por un orificio abajo del mismo.



II. FORMULACION DEL PROBLEMA

2.1. PREGUNTA GENERAL

-¿Se pueden obtener modelos matemáticos de formas variadas de la aplicación al

vaciado de tanques de las ecuaciones diferenciales en un módulo diseñado por

los alumnos de la Facultad de Ingeniería Química de la Universidad Nacional del

Centro del Perú?

2.2. PREGUNTAS ESPECÍFICAS

-¿Cuáles son los procedimientos correctos para determinar las variables y



diseñado por los alumnos de la Facultad de Ingeniería Química de la universidad

nacional del centro del Perú?

-¿Cuáles son las condiciones para obtener modelos matemáticos de formas




III. OBJETIVOS

III.1 OBJETIVO GENERAL

-Determinar los parámetros adecuados para obtener modelos matemáticos de

formas variadas de la aplicación al vaciado de tanques de las ecuaciones

diferenciales en un módulo diseñado por los alumnos de la Facultad de Ingeniería

Química de la Universidad Nacional del Centro del Perú.



III.2 OBJETIVO ESECIFICO

-Conocer los procedimientos correctos para determinar las variables y constantes

adecuadas para obtener modelos matemáticos de formas variadas de la

aplicación al vaciado de tanques de las ecuaciones diferenciales en un módulo

diseñado por los alumnos de la Facultad de Ingeniería Química de la Universidad

Nacional del Centro del Perú

-Determinar las condiciones para obtener modelos matemáticos de formas



Universidad Nacional del Centro del Perú.

IV. LUGAR DE EJECUCION DEL PROBLEMA

En la facultad de Ingeniería Química de la “UNIVERSIDAD NACIONAL DEL

CENTRO DEL PERU”.

V. JUSTIFICACION

Debido los a que cotidianamente se puede observar tanques de vaciado se tiene

la necesidad de obtener modelos matemáticos de formas variadas de la aplicación

al vaciado de tanques de las ecuaciones diferenciales en un módulo diseñado por

los alumnos de la Facultad de Ingeniería Química de la Universidad Nacional del

Centro del Perú

Para poder obtener modelos matemáticos se piensa determinar los parámetros

adecuados de formas variadas de la aplicación al vaciado de tanques de las

ecuaciones diferenciales en un módulo diseñado por los alumnos de la Facultad de

Ingeniería Química de la Universidad Nacional del Centro del Perú

También para obtener un buen modelo matemático de vaciado de tanques se debe

Conocer los procedimientos correctos para determinar las variables y constantes

adecuadas para obtener modelos matemáticos de formas variadas de la



aplicación al vaciado de tanques que en el caso del trabajo se usara como

parámetro al tiempo que tendrá que variar de acuerdo a la altura.

VI. MARCO TEORICO

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE

PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE VACIADO DE TANQUES

Muchos problemas físicos dependen de alguna manera de la geometría. Uno

de ellos es la salida de líquido de un tanque a través de un orificio situado al

fondo del mismo. La forma geométrica del recipiente determina el

comportamiento físico del agua.

Considere un recipiente lleno de agua hasta una altura h. Suponga que el agua

fluye a través de un orificio de sección transversal “a”, el cual está ubicado en

la base del tanque. Se desea establecer la altura de líquido en el tanque en

cualquier instante t y el tiempo que este demora en vaciarse.

Sea h(t) la altura de líquido en el tanque en cualquier instante t y V(t) el

volumen de agua del tanque en ese instante. La velocidad v del agua que sale

a través del orificio es:

v=√2gh(1)

Donde g es la gravedad. La ecuación (1) representa la velocidad que una gota

de agua adquiriría al caer libremente desde la superficie del agua hasta el

agujero.

En condiciones reales, hay que tomar en cuenta la contracción que sufre un

chorro de agua en un orificio, por lo que se tendrá

v=c √2 gh(2)

Donde c es el coeficiente de descarga comprendido entre 0 y 1 ( 0 < c < 1).

COEFICIENTES DE VACIADO DE TANQUE



el coeficiente de descarga es adimensional y practicamente de valor constante

para cualquier diámetro de un mismo modelo. Los fabricantes suelen facilitar el

coeficiente de descarga de la válvula en posición totalmente abierta, es decir

máxima descarga.

Contra máyor es el valor del coeficiente, a una misma diferencia de altura del

embalse, más caudal y por lo tanto más rápido podrá desembalsarse el

depósito a través de la válvula.

Las válvulas de cono fijo, son válvulas de descarga, y como tales vienen

caracterizadas por el coeficiente de descarga en vez del coeficiente de caudal.

Su valor está entre C=0,75 y C=0,85.

Teoricamente, para cada diametro en particular podríamos encontrar la

equivalencia entre los coeficiente de descarga y de caudal.

COEFICIENTE DE VELOCIDAD: “ Cv ”

Experimentalmente se ha comprobado que la velocidad media de un chorro de

un orificio de pared delgada, es un poco menor que la ideal, debido a la

viscosidad del fluido y otros factores tales como la tensión superficial. En la

práctica se tiene:

Donde:

Cv: es el coeficiente de velocidad

g: es la gravedad

El valor numérico de Cv para el agua y líquidos de viscosidad similar es

ligeramente menor que la unidad, y tiene su valor mínimo para cargas bajas y

diámetros pequeños; para un diámetro de ¾ de pulgada y una carga de un pie,

Smith y Walker encontraron que su valor es de 0.954. Conforme aumentan el

diámetro o la carga, el coeficiente aumenta. Para un diámetro de 2.5 pulg. y

una carga de 60 pie, los mismos experimentadores obtuvieron un valor de



0.993. Sus datos indican que, para un diámetro dado el incremento de la carga

es pequeño (Russell, 1.959, p 140)

Un análisis experimental de un chorro que escapa de un orificio al aire libre

muestra que la velocidad de las partículas próximas a su superficie exterior es

algo mas baja que la de las partículas que están mas cerca del centro del

chorro. Las partículas exteriores antes de pasar por el orificio, se mueven a lo

largo o en la proximidad de la cara posterior de la placa del orificio y llegan a su

arista con una velocidad menor que aquellas partículas que llegan en una

dirección más normal al plano del orificio. Su arrastre por viscosidad sobre las

partículas mas centrales tiene el efecto de disminuir la velocidad promedio en

la sección contraída. Un orificio más grande con la misma carga, produce un

chorro en el que todavía hay una variación de velocidad, pero en donde la

acción retardante de las partículas exteriores no se extiende la misma distancia

proporcional en el chorro, y la velocidad promedio en la sección contraída se

aumenta. Con diámetro constante, un incremento en la carga causa un

incremento general en la velocidad del chorro, y el arrastre por viscosidad de

las partículas exteriores tiene un menor efecto, debido a la mayor inercia de las

partículas internas.

COEFICIENTE DE CONTRACCIÓN: “ Cc “

Es la relación entre el área contraída y la del orificio. Su valor numérico para

un fluido determinado varía con el diámetro del orificio y la carga.

El coeficiente de contracción disminuye con un diámetro mayor y con un

incremento en la carga. Para el agua, Smith y Walker obtuvieron valores que

variaban desde 0.688, para un orificio de ¾ de plg con un pie de carga, hasta

0.613 para un orificio de 2.5 plg con una carga de 60 pie (Russell, 1959, p

140).

Con cargas bajas y bajas velocidades del movimiento que las acompañe, el

movimiento lateral de las partículas a lo largo de la parte trasera de la placa del

orificio es correspondientemente pequeño, y el cambio en dirección de las

partículas al pasar por la arista se lleva a cabo rápidamente, reduciendo la

cantidad de contracción. El incremento en la carga tiende a acelerar el



movimiento lateral con la parte trasera de la placa y aumenta la cantidad de la

contracción. Al aumentar el tamaño del orificio, es probable que el mayor

espacio radial permita que el movimiento lateral continúe más allá de la arista

del orificio, con un aumento en la cantidad de la contracción.

COEFICIENTE DE DESCARGA: “ Cd “

El volumen del fluido, Q, que escurre del orificio por segundo, puede calcularse

como el producto de a´, el área real de la sección contraída por la velocidad

real media que pasa por esa sección, y por consiguiente se puede escribir la

siguiente ecuación:

en donde, representa la descarga ideal que habría ocurrido si no

estuvieran presentes la fricción y la contracción. Para el caso de Cd, éste es el

coeficiente por el cual el valor ideal de descarga es multiplicado para obtener el

valor real, y se conoce como coeficiente de descarga. Numéricamente es

igual al producto de los otros dos coeficientes.

El coeficiente de descarga, variará con la carga y el diámetro del orificio. Sus

valores para el agua han sido determinados por varios experimentadores.

En 1908 H. J. Bilton publicó en The Engineer (Londres) una relación

sobre experimentos con orificios circulares de pared delgada y aristas afiladas

o agudas de los cuales aparecería que, para diámetros hasta de 2.5 plg., cada

tamaño de orificio tiene una carga crítica arriba de la cual c es constante. Los

valores de c y la carga crítica, tal como se determinaron por este investigador,

aparecen en la tabla 1.

Judd y King encontraron poco cambio en c para un diámetro dado si la carga

fuera mayor de cuatro pies. ver tabla 2.

En Civil Engineering, Julio, 1940, Medaugh y Johnson describen sus

experimentos en orificios que varían desde 0.25 hasta 2.0 plg de diámetro,



variando la carga desde 0.8 hasta 120 pies. Sus valores son ligeramente más

pequeños que los de Bilton, Judd y King, y considerablemente más pequeños

que los de Smith y Walker. No encontraron constancia en el valor de C más

allá de una cierta carga crítica, aunque para cargas superiores a 4 pies el

coeficiente disminuyó muy lentamente. (Russell, 1959, p. 141). Ver Tabla 3.

TABLA 1. COEFICIENTES DE DESCARGA ( Por Bilton)

Carga

en

Diámetro del orificio en plg.

plg 0,25 0,50 0,75 1,0 1,50 2,0 2,50

3 0,680 0,657 0,646 0,640

6 0,699 0,643 0,632 0,626 0,61

8

0,612 0,610

9 0,660 0,637 0,623 0,619 0,61

2

0,606 0,604

12 0,653 0,630 0,618 0,612 0,60

6

0,601 0,600

17 0,645 0,625 0,614 0,608 0,60

8

0,599 0,598

18 0,643 0,623 0,613

22 0,638 0,621

45 0,628

TABLA 2. COEFICIENTES DE DESCARGA (De Judd y King)

Diámetro en plg Valor de C

3/4 0,6111

1 0,6097

3/2 0,6085

2 0,6083

TABLA 3. COEFICIENTES DE DESCARGA

(De Medaugh y Jonhson)

Carga en

pies

Diámetro del orificio en plg

0,25 0,50 0,75 1,00 2,00 4,00



0,8 0,647 0,627 0,616 0,609 0,603 0,601

1,4 0,635 0,619 0,610 0,605 0,601 0,599

2,0 0,629 0,615 0,607 0,603 0,600 0,599

4,0 0,621 0,609 0,603 0,600 0,598 0,597

6,0 0,617 0,607 0,601 0,599 0,596 0,596

8,0 0,614 0,605 0,600 0,598 0,596 0,595

10,0 0,613 0,604 0,599 0,597 0,595 0,595

12,0 0,612 0,603 0,599 0,597 0,595 0,595

14,0 0,611 0,603 0,598 0,596 0,595 0,594

16,0 0,610 0,602 0,598 0,596 0,595 0,594

20,0 0,609 0,602 0,598 0,596 0,595 0,594

25,0 0,608 0,608 0,601 0,597 0,595 0,594

30,0 0,607 0,600 0,597 0,595 0,594 0,594

40,0 0,606 0,600 0,596 0,595 0,594 0,593

50,0 0,605 0,599 0,596 0,595 0,594 0,593

60,0 0,605 0,599 0,596 0,594 0,593 0,593

80,0 0,604 0,598 0,595 0,594 0,593 0,593

100,0 0,604 0,598 0,595 0,594 0,593 0,593

120,0 0,603 0,598 0,595 0,594 0,593 0,592

LEY DE TORRICELLI

Según la Ley de Torricelli, la razón con la que el agua sale por el agujero

(variación del volumen de líquido en el tanque respecto del tiempo) se puede

expresar como el área “a” del orificio de salida por la velocidad v del agua

drenada, esto es:

dvdt

=−av (3)

sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación (3)

dvdt

=−ac √2 gh(4)

Si A(h) denota el área de la sección transversal horizontal del tanque a la altura

h, aplicando el método del volumen por secciones transversales se obtiene:



v=∫0

h

A (h )dh

derivando respecto de t y aplicando el teorema fundamental del cálculo

dvdt

=A (h ) dhdt

(5)

Comparando las ecuaciones (3) y (5)

A (h ) dhdt

=−ac √2gh

Sean h la altura de líquido en el tanque en cualquier instante t, “a” el área del

orificio de salida el cual esta ubicado al fondo del tanque, g la gravedad, C el

coeficiente de descarga y A(h) el área de la sección transversal del tanque. La

ecuación diferencial asociada al problema de vaciado del tanque es

A (h ) dhdt

=−ac √2gh

Esta es una ecuación diferencial de variables separables, la cual al resolverse

sujeta a la condición de conocer la altura inicial h0 para el tiempo t = 0, permite

obtener la ley de variación de la altura de líquido en el tanque en función del

tiempo.

UNIDADES Y NOTACIONES

ELEMENTO NOTACION UNIDADES

Altura h(t) Cm m pies

Volumen V(t) cm3 m3 pies3

Gravedad G 981cm /seg2 9.81cm / seg2 32 pies /seg2

Tiempo T seg seg seg

Area de Orificio A cm2 cm2 pies2

Area de la seccion

transversal

A(h) cm2 cm2 pies2

Coefieciente de

descarga

C Sin unidades



VII. METODOLGIA

En la realización de esta investigación fue utilizado un enfoque cuantitativo que

también es conocido como matemático, en el cual su principal característica es la

utilización de números y la interpretación de un modulo, todo ayudado por la

ecuaciones diferenciales.

7.1 PROCEDIMIENTO METODOLOGICO

En el transcurso y realización de la presente investigación se utilizó un enfoque

metodológico basado en métodos y técnicas cuantitativas en su totalidad. Se

aplicaron como instrumento un modulo, que tiene por supuesto un periodo de

prueba, donde se registraron tiempos experimentales para poder comparar con los

datos teóricos que se obtendrán a partir del modelo matemático.

VIII. TIPO DE INVESTIGACION

Investigación experimental

IX. PROCEDIMIENTO

Se tiene en cuenta la forma y figura del tanque, en nuestro caso semiesférico:



A (h ) dhdt

=−a v dondev=k √2 ghdondek sedeterminara experimentalmente

donde k es el coeficiente de descarga comprendido entre 0 y 1 ( 0 < k < 1) y la

gravedad es g = 9,81 mt/seg2

a=area de salidadel liquido

h=alturarelatiade la semiesfera

Las secciones transversales del tanque, tal y como puede observarse en la Fig. 1, son circunferencias de radio r variable, dependiendo de la altura a la cual se efectúe el corte transversal.

Como las secciones transversales son circunferencias de radio r, el área esA (h )=π r2

El radio r deberá expresarse en función de la altura h.Si se observa el tanque de frente, como una figura plana, y se representa en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, el resultado se muestra a continuación.

Observe que de la semicircunferencia se puede extraer un triángulo rectángulo tal que los catetos miden r y ( 8 – h ) y la hipotenusa 8 (ya que va desde el centro de la semicircunferencia a un punto de la ella).



Aplicando el Teorema de Pitágoras al triángulo de la Figura anterior.R2= (R−h )2+x2

Desarrollando y reemplazando:R2=R2−2R h+h2❑+x2

102=102−20h+h2❑+x2

x2=20h−h2 Donde x= r entonces :

r2=20h−h2Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (2)A(h) = π (20 h – h2 )

Sustituyendo en el siguiente modelo matemático:

d vdt

=π (20h−h2) d hdt

=−ka√2g h12

π (20h−h2 ) d hdt

=−ka √2 gh12

π (20h−h2 )

h12

dh=−ka √2 gdt

π (20h−h2 )

h12

dh+ka√2gdt=c

Integrando ambas ecuaciones:

∫ π (20h−h2)

h12

d h+∫ka√2g dt=c



( 40h32

3−2h

52

5 )π+ka√2 g t=cEvaluando en las condiciones iniciales:

t=0 y h=R

( 40 R32

3−2R

52

5 )π+ka √2 g0=c

14 R52

15=c

Entonces el modelo matemático será lo siguiente:

40 π h32

3−2 π h

52

5+ka √2 g t=14 π 10

52

15

t=

14 π 1052

15−40π h

32

3+2π h

52

5ka√2g

VALORES OBTENIDOS EXPERIMENTALMENTE (6 PRUEBAS):

TABLA 1 CORRIDA N° 01

t(s) h (cm) h(m) K49 9 0.09 1.9883524884 8 0.08 0.86470958

120.02 7 0.07 0.43504483158 6 0.06 0.22711656199 5 0.05 0.11733475235 4 0.04 0.06057376269 3 0.03 0.03035407283 2 0.02 0.01611014307 1 0.01 0.01016075320 0 0 0.00927228

Kprom 0.37590292


t(s) h(cm) h(m) k46 9 0.09 2.1181605279 8 0.08 0.91945106

60.02 7 0.07 0.8684306698 6 0.06 0.36425973

192 5 0.05 0.12144527216 4 0.04 0.06538115256 3 0.03 0.03153516282 2 0.02 0.01613859292 1 0.01 0.0102279319 0 0 0.00927228



kprom 0.45243023


t(s) h(cm) h(m) k45 9 0.09 2.1652760378 8 0.08 0.93124154

120 7 0.07 0.43511708153 6 0.06 0.23443683

180.09 5 0.05 0.12917339213 4 0.04 0.06621862250 3 0.03 0.0321217279 2 0.02 0.01622516292 1 0.01 0.0102279317 0 0 0.00927228

kprom 0.40293105




t(s) h(cm) h(m) k33 9 0.09 2.9533900272 8 0.08 1.00886215

120.25 7 0.07 0.43421562180.01 6 0.06 0.19972779

214 5 0.05 0.10943202252 4 0.04 0.05688688266 3 0.03 0.03061638276 2 0.02 0.01631361303 1 0.01 0.01017801318 0 0 0.00927228

kprom 0.48288948


t(s) h(cm) h(m) k35 9 0.09 2.7845084572 8 0.08 1.00886215

105 7 0.07 0.4970603146 6 0.06 0.24552756

180.03 5 0.05 0.12921491202 4 0.04 0.06950214252 3 0.03 0.03192308279 2 0.02 0.01622516301 1 0.01 0.01018681316 0 0 0.00927228

kprom 0.48022828




t(s) h(cm) h(m) k49 9 0.09 1.9883524870 8 0.08 1.03769267

122 7 0.07 0.42800884154 6 0.06 0.23293475191 5 0.05 0.12205708224 4 0.04 0.06325759253 3 0.03 0.03182495279 2 0.02 0.01622516303 1 0.01 0.01017801317 0 0 0.00927228

kprom 0.39398038

Kpromedio = 0.43139372=0.43

ANALISIS DE ERROR:

%error = (VT−VE)VT

∗100

TEORICO PRACTICO %Error

0.92 0.37 59.7%

0.92 0.45 51.08%

0.93 0.40 56.52%

0.93 0.48 47.82%

0.93 0.48 47.82%

0.92 0.39 57.6%



53.42%

X. CONCLUSIONES

Conocimos los procedimientos correctos para determinar las variables y



diseñado por los alumnos de la Facultad de Ingeniería Química de la Universidad

Nacional del Centro del Perú.

Determinamos las condiciones para obtener modelos matemáticos de formas



Universidad Nacional del Centro del Perú.

XI. REFERENCIA BIBLIOGRAFICA .

http://campus.usal.es/~modelosmatematicos/ModelosMatematicos/index_files/

Trabajo%20Ec%20Diferenciales%20en%20Ingenieria.pdf

http://www.ing.uc.edu.ve/~jpaez/MA3B06/contenidos/

contenido_ma3b06_tema3_5.pdf


http://www.ing.uc.edu.ve/~jpaez/MA3B06/contenidos/contenido_ma3b06_tema3_5.pdf

http://www.ing.uc.edu.ve/~jpaez/MA3B06/contenidos/contenido_ma3b06_tema3_5.pdf

http://campus.usal.es/~modelosmatematicos/ModelosMatematicos/index_files/Trabajo%20Ec%20Diferenciales%20en%20Ingenieria.pdf

http://campus.usal.es/~modelosmatematicos/ModelosMatematicos/index_files/Trabajo%20Ec%20Diferenciales%20en%20Ingenieria.pdf

informe vaciado de tanques

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