335APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE VACIADO DE TANQUES Muchos problemas fsicos dependen de alguna manera de la geometra. Uno de ellos eslasalidadelquidodeuntanqueatravsdeunorificiosituadoalfondodelmismo.La forma geomtrica del recipiente determina el comportamiento fsico del agua. Considere un recipiente lleno de agua hasta una altura h. Suponga que el agua fluye a travs de un orificio de seccin transversal a, el cual est ubicado en la base del tanque. Se desea establecer la altura de lquido en el tanque en cualquier instante t y el tiempo que este demora en vaciarse. Seah(t)laalturadelquidoeneltanqueencualquierinstantetyV(t)elvolumende agua del tanque en ese instante. La velocidadv del agua que sale a travs del orificio es: v= h g 2(1) dondegeslagravedad.Laecuacin(1)representalavelocidadqueunagotadeagua adquirira al caer libremente desde la superficie del agua hasta el agujero. En condiciones reales, hay que tomar en cuenta la contraccin que sufre un chorro de agua en un orificio, por lo que se tendr v=c h g 2(2) donde c es el coeficiente de descarga comprendido entre 0 y 1( 0 < c < 1). Segn la Ley de Torricelli, la razn con la que el agua sale por el agujero (variacin del volumen de lquido en el tanque respecto del tiempo) se puede expresar como el rea a del orificio de salida por la velocidad vdel agua drenada, esto es adtdV = v (3) sustituyendo la ecuacin (2) en la ecuacin (3)

dtdV=h g 2 c a (4) SiA(h)denotaelreadelaseccintransversalhorizontaldeltanquealaalturah, aplicando el mtodo del volumen por secciones transversales se obtiene V = h0dh ) h ( Aderivando respecto de t y aplicando el teorema fundamental del clculo OBSERVACIN Cuando el valor del coeficiente de descarga c no se indica, se asume que c = 1 336UNIDADESYNOTACIONES

dtdh) h ( AdtdV=(5) Comparando las ecuaciones(3)y(5) dtdh) h ( A= h g 2 c a (6)

ElemetoNotacin Unidades Altura h (t) cm mt pies VolumenV (t) cm3 mt3pies3 TiempotsegsegsegGravedadg981 cm/seg29,81 mt/seg2 32 pies/seg2 rea del orificio de salida a cm2cm2 pies2 rea de la seccin Transversal A(h)cm2 cm2 pies2

Coef. de descargac SinUnidades Seanhlaalturadelquidoeneltanqueencualquierinstantet,aelreadel orificio de salida el cual esta ubicado al fondo del tanque, g la gravedad, C el coeficiente de descarga y A(h) el rea de la seccin transversal del tanque.La ecuacin diferencial asociada al problema de vaciado del tanque es dtdh) h ( A= h g 2 c a Estaesunaecuacindiferencialdevariablesseparables,lacualalresolverse sujeta a la condicin de conocer la altura inicial h0 para el tiempo t = 0, permite obtener la ley de variacin de la altura de lquido en el tanque en funcin del tiempo. Si, adems, hay aporte de lquido al tanque, la ecuacin diferencial es dtdh) h ( A= Qh g 2 c a 337 10 pies 20 pies h Fig.1 EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN, A PROBLEMAS DE VACIADO DE TANQUES 1. Un cilindro recto circular de 10 pies de radio y 20 pies de altura, est lleno con agua. Tiene un pequeo orificio en el fondo de una pulgada de dimetro Cundo se vaciar todo el tanque? SOLUCIN: La ecuacin diferencial asociada alosproblemas deVaciado de tanques esA(h) dh = a ch g 2 dt(1) El dimetro del orificio por donde fluyeel aguafueradel tanqueesde 1 pulgada, por lotantoel radioes1/2 pulgada. Comolasdimensiones deltanque estn dadas en pie, utilizando la equivalencia de 1 pulgada = 121 pies y puesto que elreadelorificio desalida esel readeuna circunferencia( ( )2radio t ), resulta que el rea a delorificio de salida es a = 2241|.|

\|t =576t pie2

El coeficientededescargac noest dadopor lotantose asumec = 1 y la gravedadesg= 32 pies/seg2 Para determinar A(h), que es elrea de la seccin transversal del tanque en funcin delaalturah,obsrveseenlaFig.1quelasseccionestransversalesdeltanqueson circunferencias de radio constanter = 10 pies. Por lo tanto, el rea de la seccin transversal es la misma, independientemente de la altura h a la cual se efecte el corte. As, A(h) = 2) 10 ( t= t 100pies2 Sustituyendo a, c, g, y A(h) en la ecuacin (1) t 100dh= 576th 64dt =h5768 t multiplicando por t1 y simplificando 100 dh= dt h721(2) 338Laecuacin(2)eslaecuacindiferencialasociadaalproblema;lamismadebe resolverse sujeta a la condicin que para el tiempo t0 = 0 seg, la altura inicial es h0 = 20 pies, pues en el enunciado se dice que el tanque esta totalmente lleno. Laecuacindiferencial(2)esunaecuacindiferencialdevariablesseparables.Para separar las variables, la ecuacin (2), se multiplica por el factorh72h7200 dh=dt integrando dhh17200 =dt (3) Ambas integrales son inmediatas dhh1 = 2 / 1h dh=2 / 1h 2= 2 h+ k1 dt= t + k2 sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin (3) 14400h=t+ k (4) Para determinar elvalordelaconstantekdeintegracin,seusala condicin inicial, estoes,se sustituyeenlaecuacin(4) t = 0 seg y h = 20pies,resultandok = 1440020 . Este valor obtenido para k se sustituye en la ecuacin (4) 14400 h=t 14400 20multiplicando por 144001 y elevando al cuadrado h(t) =22014400t|.|

\|+ (5) La ecuacin (5) es la ley de variacin de la altura de lquido en el tanque en cualquier instante t Para determinar el tiempo que demora en vaciarse el tanque, es decir, el tiempo para el cual deja de haber lquido en el tanque, se debe sustituir h = 0 en la ecuacin (5) t= 1440020= 64398,75 Luego el tanque se vaca en un tiempo t = 64398,75 seg , es decir, 17 h 53 min 19 seg 339 2.Untanquetienelaformadeuncubode12piesdearista.Debidoaunpequeo orificio situado en el fondo del tanque, de 2 pulgadas cuadradas de rea, presenta un escape.Sieltanqueestinicialmentellenohastalastrescuartaspartesdesu capacidad, determine: a) Cundo estar a la mitad de su capacidad? b) Cundo estar vaco? SOLUCIN: a) Laecuacin diferencialasociadaalos problemas devaciado de tanques es A(h) dh= a c dt h g 2 (1)

Comolasdimensionesdel tanque estn dadasenpie,y puestoque1pulg= 1/12pies,entonces haciendolaconversin, el rea orificio de salida ser a = 2 pulg2= 2(1/144) pies2=1/72 pies2 Elcoeficiente de descarga es c = 1 y la gravedadg = 32 pies/seg2 Como puede observarse en la Fig,1 las secciones transversales del tanque van a ser cuadrados de lados constantes e iguales a 12 pies, independientemente de la altura a la cual se efecta el corte, por lo tanto, el rea de las seccin transversal serA(h) = 144 pies2

Ya que las secciones transversales son de rea constante y puesto que el tanque est inicialmente lleno hasta 3/4 de su capacidad, resulta que la altura inicial ser igual a 3/4 de la altura total. As, como la altura total del tanque esht= 12 pies, entonces la altura inicial es h0 = 3/4 ht= 9 pies. Sustituyendo A(h), a, c y g en la ecuacin (1) 144 dh= h 64721 dt= h728 dt simplificando 144dh=91h dt(2) La ecuacin (2) es la ecuacin diferencial asociada al problema de vaciado de tanque planteado y debe resolverse sujeta a la condicin h(0) = 9 pies. La ecuacin (2) es una ecuacin diferencialdevariablesseparables.Parasepararlas variables se multiplica la ecuacin (2) por el factorh9dhh1296 =dt integrando12 pies12 pies 12 piesh l = 12 pies Fig.1340 1296hdh =dt(3) Ambas integrales son inmediatas hdh= 21hdh= 2 h + k1 dt=t + k2 sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin (3) 2592 h =t + k (4) Paradeterminarelvalordelaconstantekdeintegracinseusalacondicininicial h(0)=9,estoes,sesustituyeenlaecuacin(4) t= 0segyh= 9pies, resultandok = 7776. Este valor obtenido para k se sustituye en la ecuacin (4) -2592 h =t7776 multiplicando por 25921 y elevando al cuadrado h(t) =232592t|.|

\|+ (5) La ecuacin (5) es la ley de variacin de la altura del lquido en el tanque en cualquier instante t Se quiere determinar el tiempo para el cual el volumen de lquido en el tanque es igual a la mitad de su capacidad; es decir, cuandola alturadelquidoeneltanqueesigual a 6 pies.Para ello, se sustituyeh = 6 pies en la ecuacin (5) 6 = 232592t|.|

\|+ elevando a la 1/2 6 = 32592t+ Multiplicando por ( 1 ) 32592t= 6sumando 3 y multiplicando por 2592 t=2592( 3 6) = 7776- 6350,4 = 1425,6 De aqu que, debe transcurrir un tiempo t = 1425,6 seg = 23 min45 seg, para que el tanque se vace hasta la mitad de su capacidad. 341Para determinar el tiempo que demora en vaciarse el tanque, es decir, el tiempo para quelaalturadelquidoeneltanqueseacero,sesustituyeh=0enlaecuacin(5)yse busca t 232592t|.|

\|+ =0 elevando a 1/2 32592t+ =0 multiplicando por ( 2592 )t 7776 = 0 despejando t t=7776 seg Luego,debentranscurrir7776seg,esdecir,2horas9min36seg,paraqueel tanque se vace totalmente. 3.Un tanque en forma de cono circular recto , de altura H radio R, vrtice por debajo dela base, esttotalmentellenoconagua.Determineeltiempodevaciadototal si H = 12 pies, R = 5 pies, a = 1 pulg2 y c = 0,6 SOLUCIN: Laecuacindiferencial asociadaalos problemas de vaciado de tanque esA(h) dh = a ch g 2dt (1) El rea de orificio de salida es a = 1 pulg2 perocomolasdimensionesdeltanqueestn dadas en pies, hay que realizar la conversin.

Puesto que 1 pulg=1/12pies, entoncesa = 1 pulg2 = 2pies121|.|

\|= 2pies1441

El coeficiente de descarga esc = 0,6yla gravedades g = 32 pies/seg2 SegnpuedeobservarseenlaFig.1,lasseccionestransversalesdeltanqueson circunferenciascuyoradiovaradependiendodelaalturaacualseefectelaseccin transversal.Seahlaalturaalacualseefectaelcorteyrelradiodelacircunferencia.El rea de la seccin transversal es variable y est dada por A(h) =t r2 (2) Paraexpresarrenfuncindeh,debehacerseunaabstraccin,enelsentidode visualizareltanque,nocomounslido,sinocomounafiguraplana.Observandoeltanque de frente como una figura plana se ve tal y como semuestra Fig. 2 R = 5 pies r r H = 12pies h Fig. 1342Si se ubican losejes coordenadosdetalformaqueelvrtice delconocoincidaconel origendelsistemadecoordenadas,entonces se tiene una figura simtrica respecto del eje y, tal y como se muestra en la Fig. 2

Por simetra, ser suficiente trabajar con uno de los tringulo Porsemejanzadetringulos(verFig.3)setieneentonceslasiguienterelacinde proporcin125hr=despejando r r = h125(3) sustituyendo la ecuacin (3) en la ecuacin (2) A(h) =t 2h125|.|

\|= 2h14425 t Sustituyendo A(h), a, c y g en la ecuacin(1)2h14425 t dh=1441 |.|

\|106h 64 dt multiplicando por 144 25t h2 dh=524hdt(4) La ecuacin (4) es la ecuacin diferencial asociada al vaciado de tanque planteado en este problema y debe resolverse sujeta a la condicin inicial que para el tiempo t = 0 seg, la altura es h = 12 pies, esto es h(0) = 12 La ecuacin (4) es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las variables se multiplica por el factorh 245hh241252t dh=dt altura

5 pies5 pies

r 12 pies h radio Fig. 2 5 r 12 h

Fig.3343integrando tdhhh241252=dt (5) Ambas integrales son inmediatas dhhh2 =dh h h2 / 1 2=dh h2 / 3=2 / 5h52 + k1 dt=t + k2 sustituyendo los resultados de as integrales en la ecuacin (5) |.|

\||.|

\| t2 / 5h5224125=t+k efectuando operaciones

2 / 5h1225 t=t+k(6) Paradeterminarelvalordelaconstantekdeintegracinseusalacondicininicial h(0) = 12, estoes, sesustituyeenlaecuacin (6)t= 0seg yh= 12pies, resultando k =( )2 / 5121225 t . Este valor obtenido para k se sustituye en la ecuacin (6)

2 / 5h1225 t=t ( )2 / 5121225 t (7) multiplicando por ||.|

\|t2512 y elevando a la 2/5 h(t)= ( )5 / 22 / 512 t2512||.|

\|+t (8) Laecuacin(8)eslaleydevariacindedelaalturadellquidoeneltanqueen cualquier instante t El tiempodevaciadototal se obtiene cuandolaalturadelquidoenel tanque es h = 0 pies. Sustituyendo este valor en la ecuacin (7) 0=t ( )2 / 5121225 tdespejando t t=( )2 / 5121225 t = 3264,83 seg De aqu que, el tanque demora en vaciarse3264,83 seg, es decir, 54 min 25 seg

344R Rr R h x Fig. 1 4.UnatazahemisfricaderadioRestllenadeagua.Sihayunpequeoorificiode radio r en el fondo de la superficie convexa, determine el tiempo de vaciado SOLUCIN: Laecuacindiferencialasociada a los problemas de vaciado de tanques es: A(h) dh =a ch g 2dt (1) Como el radio de la taza hemisfrica es R y el tanque se encuentra lleno entonces la altura inicial de lquido en el tanque es R, tal y como puede observarseen la Fig. 1, es decir, h(0) = R. El orificio de salida tieneradio r, por lo tanto, el rea del orificio de salida esa = 2r t Sea c el coeficiente de descarga y g la gravedad. Lasseccionestransversalesdeltanquehemisfrico,soncircunferenciasderadio variable, segn la altura donde se realice la seccin transversal. Sea x el radio variable de la seccin transversal. Por ser circunferencia, el rea es A(h) = 2x t (2) Se debe establecer una relacin entre el radio x y la altura h, de tal forma que el rea de la seccin transversal quede expresada en funcin de la altura h. Observandoeltanquede frente comounafigura plana y ubicndolo en un sistemade coordenadas cartesianas rectangulares como se muestra en laFig. 2. Puestoquela Fig.2resultanteessimtricarespecto del ejey,ser suficientetrabajarconla mitad de la figura. El tringulo que se forma, tiene como base el radio .x, ..altura.. ( R h ).e.. hipotenusa R .

Aplicando el Teorema de Pitgoras al tringulo de la Fig. 3 R2 =x2 +( R h )2 R R h x Fig 3altura R R hR Rx h

radio Fig. 2345desarrollando R2=x2+R2- 2 R h+h2 simplificando x2 = 2 R h h2(3)sustituyendo la ecuacin (3) en la ecuacin (2) A(h) =t ( 2 R h h2 ) (4) Ahora se sustituyen A(h) y a en la ecuacin (1) t ( 2 R h h2 )dh= 2r tch g 2dt(5) La ecuacin (5) es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las variables se multiplica la ecuacin (5) por el factorh g 2 c r12t h g 2 c r12( 2 R h h2 ) dh=dt (6) Apartirde la ecuacin diferencial (5) y sabiendo que para el tiempo t = 0 la altura es h = R, se debe determinar el tiempo de vaciado tv, esto es el tiempo para el cual la altura de lquido en el tanque es cero. Se plantea as, el problema de valor de frontera===0 ) t ( hR ) 0 ( hdt dhh g 2 c rh h R 2v22 Integrando la ecuacin diferencial(6)deforma definida: eltiempovara entre t= 0 yt = tv(tv tiempo a determinar) la altura vara entre h = Ryh = 0

||.|

\|0R22dhhh h R 2g 2 c r1 =vt0dt (7) Resolviendo las integrales definidas ||.|

\|0R2dhhh h R 2=||.|

\|R02dhhh h R 2 = 2 R R02 / 1dh h +R02 / 3dh h346=/R02 / 33h R 4 +/R02 / 55h 2 =3R 42 / 5 +5R 22 / 5 =15R 142 / 5 vt0dt= t /vt0=tv

sustituyendo los resultados de las integrales en al ecuacin(7)

||.|

\|||.|

\|15R 14g 2 c r12 / 52=tv

Por lo tanto, el tiempo que demora en vaciarse el tanqueest = g 2Rc r 15R 1422 5.Untanquedeaguatienelaformaqueseobtienealhacergirarlacurvay=x4/3 alrededordelejey.Siendolas11:27delamaanaseretirauntapnqueestenel fondoyenesemomentolaprofundidaddelaguaeneltanquees12pies.Unahora ms tarde la profundidad del agua a descendido a la mitad. Determine a) A qu hora estar vaco el tanque? b) A qu hora quedara en el tanque 25% del volumen de lquido inicial? SOLUCIN: a) Lacurva y=x4/3quesehacegirar alrededor delejeyparagenerarel tanque tiene su vrtice enel origen. Cuandola variabley toma el valor de la mxima profundidadde lquido en el tanque, esto es, y = 12,la variablexque representa el radio de giro toma el valor x= (12)3/4 = 6,45. En la Fig. 1 se muestrala formaaproximadadel tanque La ecuacin diferencialasociada aunproblema de vaciado de tanque es A(h)dh= a ch g 2dt (1) Elcoeficientededescargaesc=1ylagravedadesg=32pies/seg2.Elreaadel orificio de salidadebe determinarse. Lasseccionestransversalessoncircunferenciasderadiovariabler.Porlotanto,el rea de las secciones transversales es A(h) =t r2 (2) 6,45mt 12mt

h rFig. 1347 altura 6,45 r 12

h radio Fig. 2Elradiordebeexpresarseenfuncindelaalturah.Paraellodebeobservarseel tanquecomounafiguraplana, vistadesdeelfrente. LaFig. 2muestralacurva planay=x4/3 Observe en la Fig. 2 que el punto P(r, h)pertenece alacurvay=x4/3;esto quieredecir que lascoordenadas del puntoPsatisfacen la ecuacin de la curva.

Sustituyendo x= r,y = h h = r4/3 Despejando r r = h3/4(3) sustituyendo la ecuacin (3) en laecuacin(2) A(h)= t h 3/2

Unavezqueelreadelaseccintransversaldeltanquehaquedadoexpresadaen funcin de la altura, se sustituyenA(h), c y g

en la ecuacin (1) 2 / 3h tdh= a h 64dt (4) La ecuacin (4) es la ecuacin diferencial asociada al problema de vaciado planteado ydeberesolversesujetaadoscondiciones:laprimeracondicinesqueparaeltiempot=0seg,laalturaesh=12pies;lasegundacondicinesqueluegodeunade iniciado el proceso de vaciado,es decir, para t = 3600 seg, la altura de lquido en el tanque ha descendido a la mitad, esto es, h = 6 pies. Por lo tanto, lo que debe resolverse es el problema de valor de frontera == = t6 ) 3600 ( h12 ) 0 ( hdt h a 8 dh h2 / 3 La ecuacin (4) es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las variables se multiplica la ecuacin (4) por el factorh 81h 641 = dhhh82 / 3||.|

\|t =a dt(5) integrando definidamente; el tiempo vara entre t = 0 segy t = 3600 seg; la altura vara entreh = 12 piesyh = 6 pies y = x4/3P (r,h)348 ||.|

\|t6122 / 3dhhh8 =a36000dt (6) Resolviendo las integrales ||.|

\|6122 / 3dhhh = 126dh h =/12622h=( ) ( )262122 2+ =72+ 18 = 54 36000dt=t/3600o = 3600 sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin (6) ) 54 (8 t=3600 a multiplicando por36001 36001|.|

\| t427=a simplificando a =16003 t

Estevalorqueseobtuvoparaa(readelorificiodesalida)sesustituyeenla ecuacin (5) dhhh82 / 3||.|

\|t =16003 t dt multiplicando port 31600ysimplificando dh h3200 =dt (7) Se pide determinar el tiempo tv que demora en vaciarse el tanque, es decir, el tiempo paraelcuallaalturadelquidoeneltanquesehacecero.Paraellosedeberesolverel problema de valor de frontera === 0 ) t ( h12 ) 0 ( hdt dh h3200v 349 La ecuacin diferencial (7) se integra de forma definida: el tiempo vara entre t = 0 segy t = tv; la altura vara entre h = 12 piesy h = 0 pies 012dh h3200 =vt0dt(8) Resolviendo las integrales defindas 012dh h =120dh h =/12022h= 72 vt0dt=t/vt0=tv sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin (8) tv == |.|

\| ) 72 (3200 4800 De aqu se tiene que,el tanque demora en vaciarset= 4800 seg, loque equivale a 1 hora y 20 min. Si el proceso de vaciado se inicio a las 11:27 am, entonces para saber a que horaeltanqueestarvaco,debesumarseeltiempodevaciadotv alas11:27.Luego,el tanque estar vaco a las 12:47 pm. b)Parasaberaquehoraquedaeneltanqueel25%desucapacidad,sedebe comenzar por establecer cual es la altura de lquido en el tanque cuando resta el 25% de su capacidad. Como se conoce la altura inicial de lquido en el tanque, el volumen total se determina por el mtodo del volumen por secciones transversales V =dh ) h ( A0h0= t1203/2 dh h = /1202 / 55h 2 t =5) 12 ( 22 / 5t luego el 25% del volumen total es 25% V=10025 ||.|

\|t5) 12 ( 22 / 5 =10) 12 (2 / 5t Conocido el volumen cuando resta el 25% de lquido en el tanque, utilizando el mismo mtodoporseccionestransversales,sepodrdeterminarcualeslaalturadelquidoenel tanque en este caso 35025% V = % 25h0dh ) h ( Asustituyendo A(h) y25% V

10) 12 (2 / 5t=t% 25h02 / 3dh h (9) Resolviendo la integral definida t% 25h02 / 3dh h=/% 25h02 / 55h 2 t =2 / 5% 25) h (52 t sustituyendo el resultado de la integral en la ecuacin (9) 10) 12 (2 / 5t = 2 / 5% 25) h (52 t multiplicando por t 25 2 / 5% 25) h (=4) 12 (2 / 5 elevando a2/5 % 25h=5 / 2) 4 (12 = 6,89 Unavezconseguidalaalturadelquidoeneltanquecuandoquedael25%del volumentotal,seprocedeabuscareltiempoquedemoraenllegaraesaaltura.Paraello debe resolverse el problema de valor de frontera === 5 / 2% 25) 4 (12) t ( h12 ) 0 ( hdt dh h3200 La ecuacin diferencial (7) se integra de forma definida: el tiempo vara entre t = 0 segy t = t25%; la altura vara entre h = 12 piesy h = 5 / 2) 4 (12pies 351 5 / 2) 4 (1212dh h3200 =% 25t0dt(10) Resolviendo las integrales defindas 5 / 2) 4 (1212dh h =125 / 2) 4 (12dh h =/125 / 2) 4 (1222h = 72+25 / 2) 4 (1221||.|

\|= 72+23,75 = 48,25 % 25t0dt=t/% 25t0=t25% sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin (8) t25% == |.|

\| ) 25 , 48 (3200 3216,66 De aqu se tiene que,el tanque demora t= 3216,66 seg en vaciarse hasta el 25% de su capacidad inicial, loque equivale a 53 min y 36 seg. Si el proceso de vaciado se inicio a las 11:27 am, entonces para saber a que hora el tanque tendr slo el 25% de su capacidad, hay que agregar a las 11:27 los 53 min y 36 seg. Luego tendra el 25% de su capacidad a las12:20:36 pm 6.Eltanquequesemuestraenlafiguraesttotalmentellenodelquido.Seiniciael procesodevaciado,porunaperforacincircularderea1cm2ubicadaenlabase inferiordeldepsito.Sisehaestablecidoelcoeficientededescargac=0,447yla gravedad es g = 10m/seg2

2 mt 8 mt

rh

4 mt

1 mt Fig. 1 352 Determine: a) Tiempo que debe transcurrir para que quede en el tanque un contenido equivalente al 18,75% de su capacidad b) Tiempo de vaciado total del tanque SOLUCIN: La ecuacin diferencial asociadaa los problemas de vaciado de tanques es A(h)dh= a ch g 2dt(1) El rea del orificio de salida es a = 1 cm2, pero como las dimensiones del tanque estn enmetrosdebeefectuarse laconversin. Puestoque1 cm = 0,01 mt = 10 2 mt, entoncesa = 1 cm2 = (1 cm )2 = ( 10 - 2 mt)2 = 10 - 4 mt2. Enelenunciadodelproblemadanelcoeficientededescargac = 447.10 - 3 yla gravedad g = 10mt/seg2 SegnpuedeobservarseenlaFig.1,lasseccionestransversalessonrectngulos, dos de los lados paralelos de longitud constante e igual a 8 y los otros dos lados de longitud variable r. El rea de la seccin transversal es entonces A(h) = 8 r (2) Debeexpresarselalongitudrenfuncindelaalturah.Paraellosiseobservael tanquedefrente,comounafiguraenunplana,ubicadaenunsistemadecoordenadas cartesianas rectangulares, se ver como lo muestra la siguiente Fig. 2 ObsrvesequeelpuntoP(r,h)pertenecea larecta que pasa por los puntos (1, 0) y (2, 4). Lapendiente la recta esm = 1 20 4 =4 La ecuacin de la recta que pasa por el punto (1, 0) (o (2, 4)) y tiene pendiente 4 es L:y = 4 ( x 1 ) YaqueelpuntoP (r,h)pertenecealarectaL entonces satisface la ecuacin de dicha recta, por lo tanto sustituyendo x = r , y = h h = 4 ( r 1 ) despejando r r = 4h + 1 (3) Sustituyendolaecuacin(3)enlaecuacin(2),setieneelreadelasecciones transversales en funcin de la altura h y2 mt(2,4) P(r,h) r 4mt h

(1,0)x 1mt Fig. 2353A(h) = 8 |.|

\|+ 14h = 2 ( h + 4 ) Ahora se sustituyen A(h), a, c y g en la ecuacin (1) 2 ( h + 4 ) dh = 10 4 . 447 . 10 3h 20dt simplificando 2 ( h + 4 ) dh = 447. 10 7 20 h1/2dt (4) La ecuacin diferencial (4) es una ecuacin diferencial de variables separables y debe resolversesujetaalacondicindequelaalturainicialdelquidoeneltanquees4mt,es decir, h(0) = 4. Parasepararlas variables, laecuacin(4 )debe multiplicarsepor el factor 2 / 17h 20 44710dhh4 h20 44710 . 22 / 17||.|

\| += dt integrando ||.|

\| + dhh4 h20 44710 . 22 / 17 =dt (5) Ambas integrales son inmediatas ||.|

\| +dhh4 h2 / 1 =dh h2 / 1 +4 dh h2 / 1 =2 / 3h32 + 8 h1/2 + k1 dt= t + k2 sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin (5)

20 44710 . 27 |.|

\|+2 / 1 2 / 3h 8 h32 = t + k(6) Paradeterminarelvalordelaconstantekdeintegracinseusalacondicininicial h(0) = 4, esto es, se sustituye en la ecuacin (6)t = 0 segyh = 4 mt,k = 20 44710 . 27 |.|

\|+ ) 4 ( 8 4322 / 1 2 / 3

= 20 44710 . 27 41/2 |.|

\|+ 8 432 =20 44710 . 47 |.|

\|332 = 20 134110 . 1287este valor obtenido para k se sustituye en la ecuacin (6) 20 44710 . 27 |.|

\|+2 / 1 2 / 3h 8 h32 = t20 134110 . 1287354despejando t t =20 44710 . 27|.|

\| 2 / 1 2 / 3h 8 h32364(7) La ecuacin (7) representa la relacin funcional entre altura y tiempo. Yaquesedebedeterminareltiempoquedebetranscurrirparaqueeneltanque quede solo el 18,75% del volumen total de lquido, para usar la ecuacin (7) ser necesario conocer la altura de lquido en el tanque, cuando en este queda el 18,75% del volumen total. Se comienza por determinar el volumen total de lquido en el tanque. Como el tanque seencuentralleno,laalturatotaldelquidoeneltanquecoincideconlaalturainicial. Aplicando el mtodo de las secciones transversales para hallar el volumen total V = 0h0dh ) h ( A=+40dh ) 4 h ( 2=2 40dh h+8 40dh= h2 /40 + 8h /40 =16 + 32=48 As,elvolumentotaldelquidoeneltanqueesV=48mt3.Luego,el18,75%del volumen total es 18,75%V=100) 48 ( ) 75 , 18 ( = 100900 = 9 Ahora, usando la misma ecuacin anterior para calcular volumen, se puede establecer cual ser la altura h1 del lquido en el tanque, si se sabe que el volumen es 19,75% V = 9 mt3

18,75% V = 1h0dh ) h ( Asustituyendo los datos 9 =dh ) 4 h ( 21h0+=( h2 + 8h ) /1h0 = ( h1 )2 +8 h1 se tiene entonces una ecuacin de segundo grado en h1 ( h1 )2 +8 h1 9 = 0 Resolviendo la ecuacin de segundo grado ) 1 ( 2) 9 ( ) 1 ( 4 ) 8 ( 8h21 ==2100 8 = 210 8 355de donde resulta h = 9yh = 1 Ya que h debe ser positivo, pues representa una altura, el valor h = 9se descarta, por lo tanto, la altura de lquido en el tanque cuando el volumen es de 18,75% del volumen totalesh = 1 mt. Luego, para determinar el tiempo que demora en vaciarse el tanque hasta 18,75% del volumen total, ser suficiente con sustituir h = 1 mt en la ecuacin (7)t =20 44710 . 27|.|

\| 832364 = 126727,1934As, el tanque demora en vaciarse hasta el 18,75 % del volumen totalt = 126727,1934 seg = 35 horas 12 min 7 seg = 1 da 11 horas 12 min 7 seg . b)Para determinar el tiempo de vaciado total del tanque, es decir, cuando la altura de lquido en el tanque es cero, se sustituye h = 0 en la ecuacin (7) tv = 20 44710 . 27|.|

\|364 = 20 134110 . 1287= 213435,273 As, el tanque demora en vaciarse totalmentet = 213435,273 seg = 59 hora 17 min 15 seg = 2 das 11 horas 17 min 15 seg 7.Eltanquequesemuestraenlafiguraseencuentrallenoenun100%:Ellquido escapa por un orificio de 5 cm2 de rea, situado en el fondo del tanque. Determine a) Tiempo de vaciado total b) Tiempo para que el volumen de lquido en el tanque descienda 5 mt SOLUCIN: 4 mt 8 mt M 12 mtL h 3 mt 2mtFig 1356 La ecuacin diferencial asociadaa losproblemas de vaciado de tanques es A(h) dh = a ch g 2 dt (1) Elcoeficiente de descarga esc = 1; la gravedad esg = 9,81 mt/seg2 El rea del orificio desalidaest dado encm2,pero comolasdimensionesdeltanqueestn dadasenmt, debe realizarsela conversin a una sola unidad, Asa = 5 cm2 =5 . 10 4 mt2 SegnsemuestraenlaFig.1,lasseccionestransversalesdeltanqueson rectngulos,cuyoladosvaranenfuncindelaalturaalacualseefectelaseccin transversal,seanLyMlaslongitudesdeloslados.Entonceselreadelaseccin transversal esA(h) =L M (2) Se deben expresar ambos lados ( L y M ) en funcin de la altura. Siseobservaeltanqueporunadesuscarasyseconsideraunafiguraplana, ubicndolaenunsistemadecoordenadascartesianasrectangulares,seobtieneloquese muestra en la Fig. 2.

Comopuedeobservarse laFig. 2 essimtrica respecto aleje y, por lotanto, afindeestablecerla relacin entre L y h se trabaja con la mitad del trapecio que se forma, como se muestra en la Fig.3 Se puede obtener la relacin entre L y h, a travs de la recta que pasa por los puntos (3/2, 0)y(4, 12), recta a la cual pertenece el punto (L/2, h). Sin embargo, se mostrar otro procedimiento, el cual nos conduce a la misma relacin. ObservequelaFig3.seformaconunrectnguloyuntringulo.Considreseel tringulo. En la Fig. 4 seindican las dimensiones de los lados de dicho tringulo. Si se aplica semejanza de tringulosa los dos tringulos de la Fig. 4 y 12 mt h

3 mt x L 8 mt Fig 2 y 4 mt

12 mtL / 2 h 3/2 mtx Fig 3357 4 23 = 25 mt 232L 12 mt h mt Fig.4

2 1 = 1 mt 2M 1mt 12 mt h mt Fig.7

( )h232L =( )1225 simplificando h3 L = 125 despejando L L = 125 h + 3(3) Ahora debe visualizarse el tanque respecto de una de las dos caras no paralelas a la anterior. La figura plana que se observa, resultaigual a la de la Fig. 2, lo que vara son las dimensiones de las aristas, tal y como se muestra en la Fig. 5

Comopuedeobservarse laFig. 5 essimtrica respecto al eje y, porlotanto, afindeestablecerla relacin entre M y h se trabaja con la mitad del trapecio que se forma Se puede obtener la relacin entre m y h, a travs de la recta que pasa por los puntos (3/2, 0)y(4, 12), recta a la cual pertenece el punto (L/2, h). Sin embargo, se mostrar otro procedimiento, el cual nos conduce a la misma relacin. ObservequelaFig6.seformaconunrectnguloyuntringulo.Considreseel tringulo. En la Fig. 7 se indican las dimensiones de los lados de dicho tringulo. Si se aplica semejanza de tringulosa los dos tringulos de la Fig. 7

( )h12M =121 simplificando h 22 M = 121 despejando M M = 61 h + 2(4) y 12 mt h

2 mt x

M 4 mt Fig 5y 2 mt

12 mtM / 2 h 1 mtxFig 6 358 Las ecuaciones (3) y (4) se sustituyen en la ecuacin (2), resultando que el rea de la seccin transversal del tanque en funcin de la altura es A(h) =|.|

\|+ |.|

\|+ 2 h613 h125= ( ) ( )7212 h 36 h 5 + += 72432 h 96 h 52+ + Sustituyendo A(h), a, c y gen la ecuacin (1) dh72432 h 96 h 52||.|

\|+ + = 5 . 10 4h 62 , 19dt (5)

La ecuacin (5) es la ecuacin diferencial asociada al problema y debe resolverse sujeta a la condicin h(0) = 12, es decir, para el tiempo t = 0 seg la altura es h = 12 mt La ecuacin (5) es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las variables se debe multiplicar dicha ecuacin por el factorh 62 , 19 10 . 514 h 62 , 19 10 . 514 dh72432 h 96 h 52||.|

\|+ + = dt efectuando las operaciones dh ) h 432 h 96 h 5 (62 , 19 36102121233+ + = dt (6) A partir de la ecuacin (6) debe determinarse el tiempo de vaciado total del tanque, es decir, el tiempo para el cual la altura de lquido en el tanque es h = 0 mt. Para ello se integra deformadefinidalaecuacin (6): eltiempovaradet = 0 segat = tv; la altura varade h = 12 mt a h = 0 mt + + 0122121233dh ) h 432 h 96 h 5 (62 , 19 3610=vt0dt (7) Resolviendo las integrales definidas + +012212123dh ) h 432 h 96 h 5 (= 512023dh h 96 12021dh h 432 12021dh h=/120212325h 864 h 64 h 2||.|

\|

=212325) 12 ( 864 ) 12 ( 64 ) 12 ( 2 359=6651,075101vt0dt =t/vt0 tv sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin (7) 62 , 19 36103 (6651,075101)=tv resolviendotv =41709,9673 Luego,el tanque demora en vaciarse totalmente un tiempo t= 41709,9673 seg= 11 horas 35 min 10 seg b)Ahora debe determinarse el tiempo t1que demora en descender 5 mts la cantidad de lquido en el tanque,con respecto a la altura inicial que es12 mt, esdecir, tiempo paraque la altura del lquido en el tanque seat = 7 mt. Para ello,se integra la ecuacin (6) en forma definida: el tiempo t vara de t = 0 seg a t = t1; la altura vara de h = 12 mtah = 7 mt + + 7122121233dh ) h 432 h 96 h 5 (62 , 19 3610=1t0dt(8) Resolviendo las integrales definidas + +712212123dh ) h 432 h 96 h 5 (= 512723dh h 96 12721dh h 432 12721dh h=/127212325h 864 h 64 h 2||.|

\| =212325) 12 ( 864 ) 12 ( 64 ) 12 ( 2 212325) 7 ( 864 ) 7 ( 64 ) 7 ( 2+ + + =6651,075101+3730,509349=-2920,565752 1t0dt =t/1t0 t1 360sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin (8) 62 , 19 36103(-2920,565752 )=t1 resolviendo t1 =18315, 34004 Luego,el tanque demora en vaciarse totalmente un tiempo t= 18315, 34004seg= 5 horas 5 min 15 seg 8.Setieneuntanqueenformadeparaboloideconelejeverticalhaciaabajocuya dimensiones son 2 mt de dimetro y altura 3 mt. El tanque inicialmente esta lleno en su totalidadyelliquidoescapaporunorificiode20cm2dereasituadoalfondodel tanque. Determine a)Cuntotiempodebetranscurrirparaquequedeeneltanqueslounterciodesu capacidad inicial b) Calcular el tiempo que tarda en vaciarse totalmente SOLUCIN: a) La ecuacin diferencialasociada alosproblemas de vaciado de tanques es A(h) dh= ac dh h g 2 (1) Las dimensionesdel tanque estnadas en metros dadas enmetro, por lo que el rea del orificio de salidatambindebe quedarexpresado en metro a= 2 cm2= 2 ( 10 2 mt )2 = 2 . 10 4 mt2 El coeficiente de descarga es c = 1 y lagravedad es g = 9,81 mt/seg2 Como puede observarseenlaFig. 1, lassecciones transversalesdeltanquesoncircunferencias cuyo radio rvaradeacuerdo conlaalturaalacualseefecteelcorteAs, el rea de las secciones transversales es A(h) =t r2(2) Debeestablecerseunarelacinentreelradiovariablerdelascircunferenciasyla altura h. Para ello, debe visualizarse el tanque de frente como una figura plana. Ubicndolo enunsistemadecoordenadascartesianasrectangulares,severcomosemuestraenla Fig. 2 r 3mt h

2mt Fig. 1361 Laecuacindelacurvaquegira alrededor del ejeypara generar el tanque noest dadaexplcitamenteporloque debe determinarse. La ecuacin ordinaria de la parbola de vrtice (x0, y0),eje eleje y, abrehacia abajo ydondepesladistanciaentreel vrticeyelfoco es ( x x0 )2 = - 4 p ( y y0) Elvrticedela parbolaque semuestraen laFig. 2esel punto(0, 3) ypasa por los punto (1, 0) y( 1, 0). Sustituyendoen la ecuacin ordinaria de la parbola las coordenadas del vrtice y las coordenadas de uno cualquiera de los dos puntos pordonde pasa( 1 0 )2=- 4 p ( 0 3 ) 12 p=1 p =121 De aqu que,la ecuacin de la parbola que se gira alrededor del eje y para generar el paraboloide de la Fig. 1 esx2= ) 3 y (31 (3) El punto P(r, h), segn se muestra en la Fig. 2, es un punto de la parbola.Por lo tato satisface la ecuacin de la misma. Sustituyendo x = r , y = h en la ecuacin (3) r2 =) 3 h (31 (4) sustituyendo la ecuacin (4) en la ecuacin (2) A(h)= ) 3 h (3t = ) h 3 (3t(5) La ecuacin (5) representa el rea de las secciones transversales (circunferencias de radio variable) en funcin de la altura. Sustituyendo A(h), a, c y g en la ecuacin (1) ) h 3 (3t dh= 2 . 10 4 h 62 , 19dt(6) La ecuacin (6) es la ecuacin diferencial asociada al problema de vaciado planteado, la mismadeberesolversesujetaalacondicin inicialh(0)=3, esdecir, paraeltiempot = 0 seg la altura es h = 3 mts (tanque totalmente lleno). altura 3 mt r

h 1 mtradio

Fig. 2 P(r, h)362La ecuacin (6) es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las variables se multiplica la ecuacin (6) por el factor2 / 14h 62 , 19 210||.|

\| t2 / 14hh 362 , 19 610 dh=dt integrando ||.|

\| t dhhh 362 , 19 . 6102 / 14=dt (7) Ambas integrales son inmediatas =||.|

\| dh h dh h 3 dhhh 32 / 1 2 / 12 / 1 = 6 h1/2 32h3/2 +k1 dt=t+k2 sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin (7)

62 , 19 . 6104t ( 6 h1/2 32h3/2 )=t + k (8) Paradeterminarelvalordelaconstantekdeintegracin,seusalacondicininicial h(0) = 3, esto es, se sustituye t = 0 segyh = 3 mten la ecuacin (8)k = 62 , 19 . 6104t( 6 (3)1/2 32(3)3/2 )= 62 , 19 . 6104t( 43 ) este valor obtenido para k se sustituye en la ecuacin (8) 62 , 19 . 6104t( 6 h1/2 32h3/2 )=t62 , 19 . 6104t( 43 ) despejando t t = 62 , 19 . 6104t ( 43 )62 , 19 . 6104t( 6 h1/2 32h3/2 ) sacando factor comn62 , 19 . 6104t t = 62 , 19 . 6104t ( 43 -6 h1/2 + 32h3/2 ) (9) Laecuacin(9)establecelarelacinfuncionalentretiempoyalturadelquidoenel tanque,esdecir,apartirdeestaecuacinconociendounadeterminadaalturasepuede establecereltiempoquedemoraenalcanzarse;tambinsepuededeterminarlaalturade lquido en el tanque para un tiempo dado. 363 Se debe ahora establecer el tiempo que debe transcurrir para que quede en el tanque unterciodevolumentotal.Secomienzapordeterminarelvolumentotaldelquidoenel tanque.Paraelloseutilizaelmtododelclculodevolumenatravsdelassecciones transversales, esto es V = 0h0dh ) h ( A =t30dh ) h 3 (3 =

t 3030dh h dh 33= h t/30 3t

2h2/30 =3 t 23 t=23 t As, el volumen total de lquido en el tanque es V = 23 t mt 3; un tercio del volumen total es V31 = 2t Sabiendo que un tercio del volumen total es 2t yusando la ecuacin del volumen por secciones transversales, es posible determinar la altura h1 dellquido en el tanque, para ese volumen V31 = 1h0dh ) h ( A = t1h0dh ) h 3 (3 = ||.|

\|t2hh 332 peroV31= 2t , entonces2t=||.|

\|t2hh 332 multiplicando port6 resulta3 = 6 h h2 .As se obtiene la ecuacin de segundo gradoh2 6 h + 3 = 0 resolviendoh =224 6212 36 6 = h = 224 6 + = 5,44 h = 224 6 = 0,55 Elvalordehsuperioralaalturamximadebedescartarse.Porlotanto,cuandoel volumendelquidoeneltanqueesunterciodelvolumentotallaalturadelquidoenel tanque es h = 0,55 mt. Ahora para saber el tiempo t1 que demora en llegar a ese volumen, se sustituye h = 0,55 en la ecuacin (9) 364t1=62 , 19 . 6104t ( 43 -6 ( 0,55 )1/2 + 32( 0,55 )3/2 ) = 1182,086 ( 6,9282 4,4497 + 0,2719 ) = 1182,086(2.7504) = 3251, 1378Luego,debetranscurriruntiempot=3251,2093seg,estoes54min11seg,para que en el tanque quede un tercio del volumen total b) Para establecer el tiempo de vaciado total tv , esto es el tiempo para el cual la altura del lquido en el tanque es cero, se sustituye h = 0 en la ecuacin (9) tv =62 , 19 . 6104t(43 )=1182,086( 6,9282)= 8189,7329 Luego,eltanquesevacatotalmenteenun tiempo t= 8189,7429 seg, es decir, en2 horas16 min30 seg 9. Un depsito en forma de cono circular recto invertido y truncado con 2 mt de radio menor, 4 mt de radio mayor y 8 mt de altura, est lleno en un 90% de su capacidad. Sisu contenido se escapapor un orificio de 10 cm2 de rea, ubicado al fondo del tanque, ysabiendoqueelcoeficientededescargasehaestablecidoen0,75,determineel tiempo que tardar en vaciarse totalmente SOLUCIN: a) Laecuacin diferencialasociada alos problemas de vaciado de tanques es A(h) dh = a ch g 2dt (1) Lasdimensiones deltanqueestn dadasenmt, por lo que el rea a delorificio desalidatambindebe expresarseenmt a = 10 cm2 = 10 ( 10 2 mt )2=10 3 mt2 Elcoeficientededescarga es c = 0,75 ylagravedades g = 9,81 mt/seg2 Las secciones transversalesdel tanque son circunferencias de radio variable r, segnpuedeverse en la Fig. 1, el cual varadependiendodelaalturadondese haga el corte transversal. Entonceselreade lassecciones transversales es: A(h) =t r2 (2) donde r debe expresarse en funcin de h. 4 mt

r

2mt 8 mt

h Fig.1 365Para poder expresar el radio r en funcin de la altura h se debe visualizar el tanquede frente,comounafiguraplanayubicarlaenunsistemadecoordenadascartesianas rectangulares, tal y como se muestra en la Fig. 2 Observe, en la Fig. 2,queelpuntoP(r, h)pertenece ala recta quepasapor los puntos (2, 0)y(4, 8). Lapendiente deesa recta es m = 2 40 8 = 4 Para escribir la ecuacin de la recta se usa cualquiera de los dos puntos Luego, la ecuacin de la recta que pasa por los puntos (2, 0 ) y (4,8) es y = 4( x 2 ) el punto P(r, h) es un punto de la recta, entonces sustituyendo x = r, y = h h = 4 ( r 2 ) despejando r r =24h+ (3) sustituyendo la ecuacin (3) en la ecuacin (2)A(h) =t224h|.|

\|+(4) Laecuacin(4)representaelreadelasseccionestransversalesdeltanque,en funcin de la altura h. Sustituyendo A(h), a, c y g en la ecuacin (1) t224h|.|

\|+dh=10 375 . 10 2 h 62 , 19

dt (5) La ecuacin (5) es la ecuacin diferencial asociada al sistema, la cual debe resolverse sujeta al a condicin de que al tiempo t = 0 segel volumen inicial es 90% del volumen total. Comolaecuacindiferencial(5)relacionalasvariablestiempotyalturah,esnecesario determinarlaalturainicialdelquidoeneltanque,estoes,laalturacuandoeltanqueest lleno al 90% de su capacidad. Sedebedeterminarprimeroelvolumentotaldeltanque.Paraelloseusaelmtodo del volumen por secciones transversales, segn el cual, el volumen viene dada como 4 mt

(4,8) r P (r, h) 8 mt

h

(2, 0) 2 mtFig. 2 366V = h0dh ) h ( A=|.|

\|+ t802dh 24h= dh 4 h16h802||.|

\|+ + t= /802 3h 42h48h||.|

\|+ + t= |.|

\|+ + t 32 3248512 =t3224 Como el volumen total esV =t3224 mt3 , entoncesel volumen inicial de lquido en el tanqueesV0=90%V=t5336.UnavezconocidoelvolumeninicialV0,laalturainicial puededeterminarseutilizandolaecuacinquepermiteobtenerelvolumenapartirdelrea de las secciones transversales. As se tendr V0 = 0h0dh ) h ( Asustituyendo V0 y A(h) t5336 =|.|

\|+ t0h02dh 24h

Comopuedenhaberobservadoanteriormente,alresolverlaintegraldefinidase obtieneunaecuacindetercergrado,lacualpuedenotenerracesenteras,porlotanto sera necesario contar con una calculadora para poder determinar las races del polinomio. Aefectodeevitarestetipodecomplicaciones,laintegraldefinidapuederesolverse efectuando un cambio de variable Sea ( )= =+ = == = + =du 4 dh 2 u 4 h24hu entonces h h Si2 u entonces 0 h Si24hu00 entonces t5336=|.|

\|+ t0h02dh 24h =+t240h22du u 4= /240h23u34+t =

|.|

\|+ t3302 24h34 de aqu resulta que367t5336 =

|.|

\|+ t3302 24h34 multiplicando port 43 |.|

\|43|.|

\|5336=8 24h30 |.|

\|+sumando 8 y elevando a 1/3 24h8525203 / 1+ = |.|

\|+restando 2 y multiplicando por 4

= 252524 h30= 6,77 Unavezobtenidalaalturainicial,seprocedearesolverlaecuacindiferencial(5) sujetaalacondicininicialh(0) = 6,77, esto es, parael tiempot = 0seg,laalturaesh0=6,77mt.Sedeseadeterminareltiempodevaciadotvtotaldeltanque,esdecir,el tiempo tv para el cual la altura de lquido en el tanque es h = 0.

Se plantea entonces resolver el problema de valor de frontera == = |.|

\|+ t0 ) t ( h77 , 6 ) 0 ( hdt h 62 , 19 10 . 75 dh 24hv52

Laecuacindiferencialaresolveresunaecuacindevariablesseparables.Para separar las variables se multiplica la ecuacin por el factor ||.|

\|h 62 , 19 75105 dt dhh24h62 , 19 75102 / 125=|.|

\|+t(6)integrandolaecuacin(6)deformadefinida:eltiempotvaraentret=0segyt=tv;la altura h vara entre h = 8 mty h = 0

=|.|

\|+tvt0082 / 125dt dhh24h62 , 19 7510 (7) 368 10 mt 4mt 8mt h rFig. 1Resolviendo las integrales definidas =|.|

\|+082 / 12dhh24h=||.|

\|+ +802 / 12dhh4 h16h||.|

\|+ + 802 / 1 2 / 12 / 3dh h 4 h16h = 2 / 1 2 / 12 / 3) 8 ( 4 ) 8 (16) 8 ( = ( ) |.|

\|+ + 84116882 / 1 = 8 2 vt0dt= t/vt0 = tv sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin (7) ( ) 8 262 , 19 7510t5vt = = 5515, 5375 El tanque demora un tiempo t = 5515, 5375seg, equivalente a 1 hora 31 min 56 seg, en vaciarse totalmente. 10.El da 15 de julio de 2006, a las 2,25 pm,se pone a vaciar un tanque cilndrico con eje horizontal, el cual est inicialmente lleno en un 100%. La longitud del tanque es de 10 mt, el radio 4 mt. Si el agua fluye por un orificio de rea 2 cm2 , situado en el fondo del tanque y se ha establecido el coeficiente de descarga en 0,6, determine que da y a que hora el taque se vaca totalmente. SOLUCIN:

369 La ecuacin diferencial asociada a los problemas de vaciado de tanques es A(h) dh = acdt h g 2(1)

Elreadelorificiodesalidaesa=2cm2.Comolasdimensionesdeltanqueestn dadas en metros, debe efectuarse la conversin a mt, del rea del orificio de salida a = 2 cm2 = 2 (10 2 mt )2=2 . 10 4 mt2 El coeficiente de descarga es 0,6 y la gravedad 9,81 mt/seg2 Si se observa en la Fig. 1, las secciones transversales son rectngulos de largo 10 mt yancho variable, dependiendo de la altura a la cual se efecte el corte transversal. Sea r la longitud del lado variable, entonces el rea de las secciones transversales es A(h) = 10 r (2) La longitud r debe expresarse en funcin de la altura h. Para ello se debe, efectuando una abstraccin del slido que es el tanque,visualizar el tanque de frente y representarlo en unsistemadecoordenadascartesianasrectangularescomounafiguraplanacomose muestra en la Fig. 2 De acuerdo con la Fig. 2, lacurvaplana que resultaesuna circunferenciade centro en (0, 4) yradio 4, la cual tienepor ecuacin x2+( y 4 )2=16 desarrollando y simplificando x2+y2 8 y=0 Como puede observarse en la Fig.2 el puntp P(r, h) es un punto de laCircunferencia, es decir, las coordenadasdel punto satisfacen la ecuacin. Sustituyendo en la ecuacinde la circunferenciax = r,y = h r2+h2 8h= 0 despejando r r=2h h 8 (3)sustituyendo la ecuacin (3) en la ecuacin (2) A(h) = 10 2h h 8 Sustituyendo A(h), a, c y g en la ecuacin (1) altura 8 h r radio 4mtFig. 2P (r, h)x2 +y 28 y = 0370 10 2h h 8 dh= 2 . 10 4 6 . 10 1 h 62 , 19dt simplificando 10 2h h 8 dh = 12 . 10 5 h 62 , 19dt (4) Laecuacin(4)eslaecuacindiferencialasociadaalproblema,lacualdebe resolverse sujeta a la condicin inicialh(0) = 8, es decir, para el tiempo t = 0 seg, la altura de lquido en el tanque es doble del radio del cilindro h =8 mt La ecuacin (4) es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las variables se multiplica la ecuacin (4) por el factor2 / 15h 62 , 19 1210 62 , 19 12106hh h 82dh=dt integrando

62 , 19 12106 dhhh h 82=dt (5) Ambas integrales son inmediatas dhhh h 82 = dh h 8 = ( ) dh h 8=) h 8 ( d h 8 =2 / 3) h 8 (32 + k1 dt= t + k2 sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin (5)

62 , 19 12106 |.|

\| 2 / 3) h 8 (32=t+ k (6) Para determinar el valor de k se usa la condicin inicialh(0) = 8, es decir, se sustituye t=0segyh=8mtenlaecuacin(6),resultandok=0.Estevalorobtenidoparakse sustituye en la ecuacin (6) t = 62 , 19 12106|.|

\| 2 / 3) h 8 (32 efectuando las operaciones y simplificando t= 62 , 19 18106

2 / 3) h 8 ( (7) La ecuacin (7) representa laley de variacin de la altura hen funcin del tiempo t 371 8 mt 8 mt h r Fig. 1 Para saber cuando se vaca totalmente el tanque, es decir, cuando la altura de lquido en el tanque es h = 0 mt, se sustituye este valor de h en la ecuacin (7) tv = 62 , 19 18106

2 / 3) 8 (=62 , 1951218106 = 283800,3808 Deaququeeltanquedemoraenvaciarseuntiempot=283800,3808seg,loque equivale a 78 horas 50 min. Pero 78 horas equivale a 3 das y 6 horas. Luego, el tanque se vacidespusde3das,6horasy50mindeiniciadoelprocesodevaciado,elcual comenz el da 15 de julio de 2006 a las 2:25 pm. Por lo tanto el tanque termin de vaciarse el da 18 de julio de 2006a la 9:15 pm 11. Un tanque en forma semiesfrica de 8 mt de radio est totalmente lleno de agua. Se retirauntapnqueestenelfondo,justoalas4:27pm.Unahoradespusla profundidad del agua en el tanque ha descendido 1 mt. Determine: a) A qu hora el tanque estar vaco? b) A qu hora quedar en el tanque 31,25% del volumen inicial. SOLUCIN: a) La ecuacin diferencial asociada a los problemas de vaciado de tanque es: A(h)dh= a cdt h g 2(1) El coeficiente de descargaes c = 1 y la gravedad es g = 9,81 mt/seg2 Elreaadel orificodesalidase desconoce; debe determinarse. Las secciones transversales del tanque, tal y comopuedeobservarse en la Fig. 1, soncircunferenciasderadior variable, dependiendodelaalturaala cual se efecte el corte transversal. Comolassecciones transversales son circunferencias de radior, el rea es A(h) =t r2 (2) El radiordeberexpresarse en funcin de la altura h. Siseobservaeltanquedefrente,comounafiguraplana,yserepresentaenun sistema de coordenadas cartesianas rectangulares,el resultado se muestra en la Fig. 2 372 Observe que de la semicircunferenciase puede extraer un tringulo rectngulotal que los catetos miden ry( 8 h ) ylahipotenusa8 (ya que va desde el centro de la semicircunferencia a un punto de la ella). Aplicando el Teorema de Pitgoras al tringulo de la Fig. 3 ( 8 )2=( 8 h )2+r2 desarrollando 64=6416 h+h2+r2 simplificando y despejando r2 r2=16 hh2(3) Sustituyendo la ecuacin (3) en la ecuacin (2) A(h) = t ( 16 hh2 ) Sustituyendo A(h), c y g en la ecuacin (1) t ( 16 hh2 )dh= a2 / 1h 62 , 19 dt (4) La ecuacin (4) es la ecuacin diferencial asociada al problema de vaciado; sta debe resolverse sujeta a dos condiciones: para el tiempo t = 0 seg la altura es h = 8mtypara el tiempo t = 4000 seg la altura es h = 7 mt. Por lo tanto, se debe resolver el problema de valor de frontera == = t7 ) 3600 ( h8 ) 0 ( hdt h 62 , 19 a dh ) h h 16 (2 / 1 2 La ecuacin (4) es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las variables se multiplica la ecuacin (4) por el factor2 / 1h62 , 191

2 / 1h62 , 19t( 16 h h2 )dh=adt (5) Laecuacin(5)seintegradeformadefinida:laalturahvara entreh = 8 mtyh = 7 mt ; el tiempo t vara entre t = 0 seg y t = 3600seg 8mt r 8 h

8 mt

h Fig. 2 8 8 h r Fig.3 373

62 , 19t 782 / 3 2 / 1dh ) h h 16 (=a36000dt(6) Resolviendo las integrales definidas 782 / 3 2 / 1dh ) h h 16 ( = 872 / 3 2 / 1dh ) h h 16 (=/872 / 5 2 / 3h52h332|.|

\|+ =2 / 5 2 / 3 2 / 5 2 / 3) 7 (52) 7 (332) 8 (52) 8 (332 + + =23,259

36000dt =t/36000 = 3600 sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin(6) 62 , 19t(23,259 )=3600a despejando a a=62 , 19 3600259 , 23 t =4,58 . 10 3 este valor del rea del orificio de salida se sustituye en la ecuacin (5) 2 / 1h62 , 19t( 16 h h2 )dh= 4,58 . 10 3 dt multiplicando por 58 , 4103

62 , 19 58 , 4103 t h 1/2 ( 16 h h2 )dh =dt(7) A fin de determinar el tiempo tv que demora en vaciarse el tanque, es decir, el tiempo que demora para que la altura de lquido en el tanque sea cero, se integra la ecuacin (7) en forma definida: la altura h vara entre h = 8 mtyh = 0 mt; eltiempo t vara de t = 0 sega t = tv seg 62 , 19 58 , 4103 t082 / 3 2 / 1dh ) h h 16 ( =vt0dt (8) Resolviendo las integrales definidas 374082 / 3 2 / 1dh ) h h 16 (= 802 / 3 2 / 1dh ) h h 16 (= /802 / 5 2 / 3h52h332|.|

\|+ =2 / 5 2 / 3) 8 (52) 8 (332+ = 168,952 vt0dt=t/vt0 =tv sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin(8) tv =62 , 19 58 , 4103 t ( 168,952 )=26163, 64395 Luego, el tanque demora en vaciarse26163,64395seg, loqueequivalea7 horas 16min4seg.Sicomenzavaciarsealas4horas27mindelatardeentoncesestartotalmentevaco alas 7 horas 43 min 4 seg de la noche. b)Ahoradebedeterminarseaquehoraquedareneltanque31,25%delvolumen total.Paraobtenerelvolumentotalseusaelmtododeobtencindelvolumenporlas secciones transversalesV = 0h0dh ) h ( A =dh ) h h 16 (280 t =/8032)3hh 8 ( t= |.|

\| t3512512 = t31024 Assetieneque,elvolumentotaldelquidoeneltanqueesV=t31024mt3.El 31,25% del volumen total es 31,25% V =|.|

\|10025 , 31|.|

\|t31024 =t3320 Ahora,usandonuevamenteelmtododelasseccionestransversalesparacalcular volumen,sepuededeterminaraalturah1delquidoeneltanquecuandoenestequeda 31,25% del volumen total 31,25%V=1h0dh ) h ( Asustituyendo A(h) y 31,25% V 375t3320 =1h0dh ) h ( A= dh ) h h 16 (21h0 t= /1h032)3hh 8 ( t=)3hh 8 (3121 tmultiplicando por |.|

\|t3 0 320 h 24 h131= + resolviendolaecuacindetercergradoenh,resultah1=4(lasotrasdossolucionesse descartan , puesto que, una es mayor que la altura del tanque y la otra es negativa) Conociendo la altura de lquido en el tanque cuando queda 31,25% del volumen total, sepuededeterminareltiempoquedemoraenllegaraesevolumen.Paraello,laecuacin diferencial (7) se integra de forma definida: el tiempo t vara entre t = 0 segy t = t1: la altura h vara entre h = 8 mtyh = 4 mt 62 , 19 58 , 4103 t482 / 3 2 / 1dh ) h h 16 ( =1t0dt (9) Resolviendo las integrales definidas 482 / 3 2 / 1dh ) h h 16 (= 842 / 3 2 / 1dh ) h h 16 (= /842 / 5 2 / 3h52h332|.|

\|+ =2 / 5 2 / 3 2 / 5 2 / 3) 4 (52) 4 (332) 8 (52) 8 (332 + + = 96,4191t0dt=t/1t0 =t1 sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin(8) t1 =62 , 19 58 , 4103 t ( 96,419 )=14931,29638 Luego, el tanque demora14931,29638seg enalcanzar 31,25% del volumen total,loqueequivalea4 horas 8 min 51 seg. Sicomenzavaciarse a las4 horas 27 min de la tardeentoncesalcanzarel31,35%delvolumentotalalas8horas35min51segdela noche. 37612. El tanque que se muestra en la Fig. 1 est lleno de agua en un 100%: Comienza a vaciarse por un orificio situado en su base inferior de A cm2 de rea. Si transcurrida 1hora6minutos40segundoselnivellibredelquidohadescendido5mtyel coeficiente de descarga se ha establecido en 0,8. Determine: a) rea del orificio de salida b) Tiempo de vaciado total SOLUCIN: La ecuacin diferencial asociada a los problemas de vaciado de tanques es A(h) dh= a cdt h g 2 (1) El coeficiente de descarga es c = 0,8 = 8 . 10 1 y la gravedad es g = 9,81 mt/seg2 El rea del orificio de salida es a = A cm2; haciendo la conversin a metros, que son las unidades en las que estn dadas las dimensiones del tanque resultaa = A cm2 = A ( 10 2 mt )2=A . 10 4 mt2 DelaFig.2puedededucirsequelasseccionestransversalesdeltanqueson cuadradosdeladovariableL,elcualvaradependiendodelaalturaalacualseefecteel corte transversal. El rea de las seccin transversal del tanque viene dado como A(h) = L2 (2)

4mt 4 mt

Lmt 9 mt

h

2mt 2 mt Fig.1 377Sedebeestablecerunarelacinentreelladoxdelcuadradoylaalturah.Paraello, visualizandoeltanquedefrenteyubicandolafiguraenunsistemadecoordenadas rectangulares, se observa como se muestra en la Fig. 2 Observe enlaFig.(2)queelpuntodecoordenadas P( ) h ,2Les un puntodela rectaque pasa por los puntos (1, 0)y(2, 9). La pendiente de la recta esm=1 20 9 = 9 y la ecuacin de la recta es y=9( x1 ) El punto P( ) h ,2L satisfacelaecuacin delarecta. Sustituyendoenlarecta x = 2L y = h h =9 (2L - 1 )despejando L L =|.|

\|+ 19h2 (3) sustituyendo la ecuacin (3) en la ecuacin (2) A(h)=4 219h|.|

\|+ Si ahora se sustituyen A(h), a, c y g en la ecuacin (1) 4 219h|.|

\|+ dh= A . 10 4 8 . 10 1 dt h 62 , 192 / 1(4) La ecuacin (4) es la ecuacin diferencial asociada al problema de vaciado de tanques ydeberesolversesujetaadoscondiciones:paraeltiempot=0seg,laalturaesh=9mt; paraeltiempode1hora6min40seg(t=4000seg)laalturadellquidoeneltanque descendi 5 mt, es decir, h = 4 mt Lo que queda planteado entonces es un problema de valor de frontera== = |.|

\|+ 4 ) 4000 ( h9 ) 0 ( hdt h 62 , 19 10 . 8 10 . A dh 19h42 / 1 1 42 y 2 mt

(2, 9) 9 mt P (x,y) h (1,0)x 1mt

2LFig. 2 378La ecuacin diferencial (4) es una ecuacin de variables separables. Para separar las variables se multiplica la ecuacin (4) por el factor2 / 1h62 , 19 810 dh99 hh62 , 19 21022 / 1|.|

\| +=A. 10 4 dt (5) Integrando la ecuacin (5) de forma definida. La altura h vara de h = 9 mta h = 4 mt; el tiempo t vara de t = 0 seg a t = 4000 seg

|.|

\| +4922 / 1dh99 hh62 , 19 210 =A 10 - 4 40000dt(6) Resolviendo las integrales definidas |.|

\| +4922 / 1dh99 hh=|.|

\| +9422 / 1dh99 hh= ||.|

\|+ +9422 / 1dh8181 h 18 hh= ( )+ + 942 / 1 2 / 1 2 / 3dh h 81 h 18 h811 =/942 / 1 2 / 32 / 5h 162 h 125h 2811||.|

\|+ + =||.|

\| + + 2 / 1 2 / 32 / 52 / 1 2 / 32 / 5) 4 ( 162 ) 4 ( 125) 4 ( 2) 9 ( 162 ) 9 ( 125) 9 ( 2811 =|.|

\| + + 324 96564486 3245486811= |.|

\|+ 3905422811= 405237240000dt =t/40000= 4000 sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin (6) |.|

\|||.|

\|405237262 , 19 210 =4000A . 10 4despejando AA . 10 4 =62 , 19 10 . 32410 . 23724 = 62 , 19 10 . 815933 = 1,652 . 10 3

379As se tiene que, el rea del orificio de salida es A = 1,652 . 10 3 m2

Sustituyendo el valor A en la ecuacin(5) dh99 hh62 , 19 21022 / 1|.|

\| +=1,65210 3 dt multiplicando por 652 , 1103, efectuando las operaciones y simplificando ( )dh h 81 h 18 h4263 , 1185102 / 1 2 / 1 2 / 34+ + =dt(7) b)Paraobtenereltiempodevaciado,esdecir,eltiempoparaelcuallaalturade lquido eneltanquees cero, seintegralaecuacin (7)deforma definida: laalturahvarade h = 9 mtah = 0 mt: eltiempo tvara det = 0 seg a t = tv ( )dh h 81 h 18 h463 , 118510092 / 1 2 / 1 2 / 35+ + =vt0dt(8) resolviendo las integrales definidas ( ) dh h 81 h 18 h092 / 1 2 / 1 2 / 3+ +=( ) dh h 81 h 18 h902 / 1 2 / 1 2 / 3+ + =/902 / 1 2 / 32 / 5h 162 h 125h 2||.|

\|+ + = ||.|

\|+ + 2 / 1 2 / 32 / 5) 9 ( 162 ) 9 ( 125) 9 ( 2 = |.|

\|+ + 486 3245486=54536vt0dt=t/vt0 =tv sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin (8) ||.|

\|4263 , 1185104|.|

\|54536 =tv efectuando las operaciones tv = 7652,943 Luego, el tanque demora en vaciarse totalmentet= 7652,943seg , es decir, 2horas 7 min 33 seg.