problemas de vaciado de tanques

Prof. Melba Rodriguez

1

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE

PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE VACIADO DE TANQUES

Muchos problemas fsicos dependen de alguna manera de la geometra. Uno de ellos es la salida de lquido de un tanque a travs de un orificio situado al fondo del mismo. La forma geomtrica del recipiente determina el comportamiento fsico del agua. Considere un recipiente lleno de agua hasta una altura h. Suponga que el agua fluye a travs de un orificio de seccin transversal a, el cual est ubicado en la base del tanque. Se desea establecer la altura de lquido en el tanque en cualquier instante t y el tiempo que este demora en vaciarse. Sea h(t) la altura de lquido en el tanque en cualquier instante t y V(t) el volumen de

agua del tanque en ese instante. La velocidad v del agua que sale a travs del orificio es:

v = hg2 (1)

donde g es la gravedad. La ecuacin (1) representa la velocidad que una gota de agua adquirira al caer libremente desde la superficie del agua hasta el agujero. En condiciones reales, hay que tomar en cuenta la contraccin que sufre un chorro de agua en un orificio, por lo que se tendr

v = c hg2 (2)

donde c es el coeficiente de descarga comprendido entre 0 y 1 ( 0 < c < 1).

Segn la Ley de Torricelli, la razn con la que el agua sale por el agujero (variacin del volumen de lquido en el tanque respecto del tiempo) se puede expresar como el rea a del

orificio de salida por la velocidad v del agua drenada, esto es

adt

dV= v (3)

sustituyendo la ecuacin (2) en la ecuacin (3)

dt

dV = hg2ca (4)

Si A(h) denota el rea de la seccin transversal horizontal del tanque a la altura h, aplicando el mtodo del volumen por secciones transversales se obtiene

V = h

0

dh)h(A

derivando respecto de t y aplicando el teorema fundamental del clculo

OBSERVACIN Cuando el valor del coeficiente de descarga c no se indica, se asume que c = 1


2

UNIDADES Y NOTACIONES

dt

dh)h(A

dt

dV= (5)

Comparando las ecuaciones (3) y (5)

dt

dh)h(A = hg2ca (6)

Elemeto Notacin Unidades Altura h (t) cm mt pies Volumen V (t) cm3 mt3 pies3

Tiempo t seg seg seg Gravedad g 981 cm/seg2 9,81 mt/seg2 32 pies/seg2

rea del orificio de salida

a cm2 cm2 pies2

rea de la seccin Transversal

A(h) cm2 cm2 pies2

Coef. de descarga c Sin Unidades

Sean h la altura de lquido en el tanque en cualquier instante t, a el rea del orificio de salida el cual esta ubicado al fondo del tanque, g la gravedad, C el coeficiente de descarga y A(h) el rea de la seccin transversal del tanque. La ecuacin diferencial asociada al problema de vaciado del tanque es

dt

dh)h(A = hg2ca

Esta es una ecuacin diferencial de variables separables, la cual al resolverse sujeta a la condicin de conocer la altura inicial h0 para el tiempo t = 0, permite obtener la ley de variacin de la altura de lquido en el tanque en funcin del tiempo.

Si, adems, hay aporte de lquido al tanque, la ecuacin diferencial es

dt

dh)h(A = Q hg2ca


3

10 pies

20 pies h

Fig.1

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN, A PROBLEMAS DE

VACIADO DE TANQUES

1. Un cilindro recto circular de 10 pies de radio y 20 pies de altura, est lleno con agua. Tiene un pequeo orificio en el fondo de una pulgada de dimetro Cundo se vaciar todo el tanque? SOLUCIN: La ecuacin diferencial asociada a los problemas de Vaciado de tanques es

A(h) dh = a c hg2 dt (1)

El dimetro del orificio por donde fluye el agua fuera del tanque es de 1 pulgada, por lo tanto el radio es 1/2 pulgada. Como las dimensiones del tanque estn dadas

en pie, utilizando la equivalencia de 1 pulgada = 12

1 pies

y puesto que el rea del orificio de salida es el rea de

una circunferencia ( ( )2radio ), resulta que el rea a del orificio de salida es

a = 2

24

1

=

576

pie2

El coeficiente de descarga c no est dado por lo tanto se asume c = 1 y la gravedad es g = 32 pies/seg2

Para determinar A(h), que es el rea de la seccin transversal del tanque en funcin de la altura h , obsrvese en la Fig. 1 que las secciones transversales del tanque son circunferencias de radio constante r = 10 pies. Por lo tanto, el rea de la seccin transversal es la misma, independientemente de la altura h a la cual se efecte el corte. As,

A(h) = 2)10( = 100 pies2

Sustituyendo a, c, g, y A(h) en la ecuacin (1)

100 dh = 576

h64 dt = h

576

8

multiplicando por

1 y simplificando

100 dh = dth72

1 (2)


4

La ecuacin (2) es la ecuacin diferencial asociada al problema; la misma debe resolverse sujeta a la condicin que para el tiempo t0 = 0 seg, la altura inicial es h0 = 20 pies, pues en el enunciado se dice que el tanque esta totalmente lleno.

La ecuacin diferencial (2) es una ecuacin diferencial de variables separables. Para

separar las variables, la ecuacin (2), se multiplica por el factor h

72

h

7200 dh = dt

integrando

dhh

17200 = dt (3)

Ambas integrales son inmediatas

dhh

1 = 2/1h dh = 2/1h2 = 2 h + k1 dt = t + k2

sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin (3)

14400 h = t + k (4)

Para determinar el valor de la constante k de integracin, se usa la condicin inicial, esto es, se sustituye en la ecuacin (4) t = 0 seg y h = 20 pies, resultando

k = 14400 20 . Este valor obtenido para k se sustituye en la ecuacin (4)

14400 h = t 14400 20

multiplicando por 14400

1 y elevando al cuadrado

h(t) =2

2014400

t

+ (5)

La ecuacin (5) es la ley de variacin de la altura de lquido en el tanque en cualquier instante t Para determinar el tiempo que demora en vaciarse el tanque, es decir, el tiempo para el cual deja de haber lquido en el tanque, se debe sustituir h = 0 en la ecuacin (5)

t = 14400 20 = 64398,75

Luego el tanque se vaca en un tiempo t = 64398,75 seg , es decir, 17 h 53 min 19 seg


5

3. Un tanque en forma de cono circular recto , de altura H radio R, vrtice por debajo de la base, est totalmente lleno con agua. Determine el tiempo de vaciado total si H = 12 pies, R = 5 pies, a = 1 pulg2 y c = 0,6 SOLUCIN: La ecuacin diferencial asociada a los problemas de vaciado de tanque es


El rea de orificio de salida es a = 1 pulg2 pero como las dimensiones del tanque estn dadas en pies, hay que realizar la conversin. Puesto que 1 pulg = 1/12 pies, entonces

a = 1 pulg2 = 2

pies12

1

= 2pies

144

1

El coeficiente de descarga es c = 0,6 y la gravedad es g = 32 pies/seg2 Segn puede observarse en la Fig. 1, las secciones transversales del tanque son circunferencias cuyo radio vara dependiendo de la altura a cual se efecte la seccin transversal. Sea h la altura a la cual se efecta el corte y r el radio de la circunferencia. El rea de la seccin transversal es variable y est dada por A(h) = r2 (2) Para expresar r en funcin de h, debe hacerse una abstraccin, en el sentido de visualizar el tanque, no como un slido, sino como una figura plana. Observando el tanque de frente como una figura plana se ve tal y como se muestra Fig. 2 Si se ubican los ejes coordenados de tal forma que el vrtice del cono coincida con el origen del sistema de coordenadas, entonces se tiene una figura simtrica respecto del eje y, tal y como se muestra en la Fig. 2

R = 5 pies r r H = 12 pies h

Fig. 1

altura 5 pies 5 pies r 12 pies

h

radio

Fig. 2

5 r 12 h

Fig.3


6

Por simetra, ser suficiente trabajar con uno de los tringulo Por semejanza de tringulos (ver Fig. 3) se tiene entonces la siguiente relacin de

proporcin

12

5

h

r=

despejando r

r = h12

5 (3)


A(h) = 2

h12

5

= 2h

144

25

Sustituyendo A(h), a, c y g en la ecuacin (1)

2h144

25 dh =

144

1

10

6h64 dt


25 h2 dh = 5

24h dt (4)

La ecuacin (4) es la ecuacin diferencial asociada al vaciado de tanque planteado en este problema y debe resolverse sujeta a la condicin inicial que para el tiempo t = 0 seg, la altura es h = 12 pies, esto es h(0) = 12 La ecuacin (4) es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las

variables se multiplica por el factor h24

5

h

h

24

125 2 dh = dt

integrando

dhhh241252

= dt (5) Ambas integrales son inmediatas

dhhh2

= dhhh 2/12 = dhh 2/3 = 2/5h52 + k1 dt = t + k2

sustituyendo los resultados de as integrales en la ecuacin (5)

2/5h

5

2

24

125 = t + k


7

R Rr R h x

Fig. 1

efectuando operaciones

2/5h12

25 = t + k (6)

Para determinar el valor de la constante k de integracin se usa la condicin inicial h(0) = 12, esto es, se sustituye en la ecuacin (6) t = 0 seg y h = 12 pies, resultando

k = ( ) 2/51212

25 . Este valor obtenido para k se sustituye en la ecuacin (6)

2/5h12

25 = t ( ) 2/512

12

25 (7)

multiplicando por

25

12 y elevando a la 2/5

h(t) = ( )5/2

2/512t25

12

+

(8)

La ecuacin (8) es la ley de variacin de de la altura del lquido en el tanque en

cualquier instante t El tiempo de vaciado total se obtiene cuando la altura de lquido en el tanque es h = 0 pies. Sustituyendo este valor en la ecuacin (7)

0 = t ( ) 2/51212

25

despejando t

t = ( ) 2/51212

25 = 3264,83 seg

De aqu que, el tanque demora en vaciarse 3264,83 seg, es decir, 54 min 25 seg 4. Una taza hemisfrica de radio R est llena de agua. Si hay un pequeo orificio de radio r en el fondo de la superficie convexa, determine el tiempo de vaciado SOLUCIN: La ecuacin diferencial asociada a los problemas de vaciado de tanques es:


Como el radio de la taza hemisfrica es R y el tanque se encuentra lleno entonces la altura inicial de lquido en el tanque es R, tal y como puede observarse en la Fig. 1, es decir, h(0) = R. El orificio de salida tiene radio r, por lo

tanto, el rea del orificio de salida es a = 2r


8

Sea c el coeficiente de descarga y g la gravedad. Las secciones transversales del tanque hemisfrico, son circunferencias de radio variable, segn la altura donde se realice la seccin transversal. Sea x el radio variable de la seccin transversal. Por ser circunferencia, el rea es

A(h) = 2x (2)

Se debe establecer una relacin entre el radio x y la altura h, de tal forma que el rea de la seccin transversal quede expresada en funcin de la altura h. Observando el tanque de frente como una figura plana y ubicndolo en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares como se muestra en la Fig. 2. Puesto que la Fig.2 resultante es simtrica respecto del eje y, ser suficiente trabajar con la mitad de la figura. El tringulo que se forma, tiene como base el radio .x, ..altura.. ( R h ) .e.. hipotenusa R . Aplicando el Teorema de Pitgoras al tringulo de la Fig. 3

R2 = x2 + ( R h )2

desarrollando R2 = x2 + R2 - 2 R h + h2

simplificando x2 = 2 R h h2 (3) sustituyendo la ecuacin (3) en la ecuacin (2) A(h) = ( 2 R h h2 ) (4) Ahora se sustituyen A(h) y a en la ecuacin (1)

( 2 R h h2 ) dh = 2r c hg2 dt (5)

La ecuacin (5) es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las

variables se multiplica la ecuacin (5) por el factor hg2cr

12

hg2cr

12

( 2 R h h2 ) dh = dt (6)

A partir de la ecuacin diferencial (5) y sabiendo que para el tiempo t = 0 la altura es h = R, se debe determinar el tiempo de vaciado tv, esto es el tiempo para el cual la altura de lquido en el tanque es cero.

R R h x

Fig. 3

altura R R h R R x h radio

Fig. 2


9

Se plantea as, el problema de valor de frontera

=

=

=

0)t(h

R)0(h

dtdhhg2cr

hhR2

v

2

2

Integrando la ecuacin diferencial (6) de forma definida: el tiempo vara entre t = 0 y t = tv (tv tiempo a determinar) la altura vara entre h = R y h = 0

0

R

2

2dh

h

hhR2

g2cr

1 =

vt

0

dt (7)

Resolviendo las integrales definidas

0

R

2dh

h

hhR2 =

R

0

2dh

h

hhR2 = 2 R

R

0

2/1 dhh + R

0

2/3 dhh

= /R

0

2/3

3

hR4 + /

R

0

2/5

5

h2 =

3

R4 2/5 +

5

R2 2/5 =

15

R14 2/5

vt

0

dt = t /vt

0

= tv

sustituyendo los resultados de las integrales en al ecuacin (7)

15

R14

g2cr

1 2/5

2 = tv

Por lo tanto, el tiempo que demora en vaciarse el tanque es t = g2

R

cr15

R142

2

5. Un tanque de agua tiene la forma que se obtiene al hacer girar la curva y = x4/3 alrededor del eje y. Siendo las 11:27 de la maana se retira un tapn que est en el fondo y en ese momento la profundidad del agua en el tanque es 12 pies. Una hora ms tarde la profundidad del agua a descendido a la mitad. Determine a) A qu hora estar vaco el tanque? b) A qu hora quedara en el tanque 25% del volumen de lquido inicial? SOLUCIN:


10

altura 6,45

r 12 h radio

Fig. 2

a) La curva y = x4/3 que se hace girar alrededor del eje y para generar el tanque tiene su vrtice en el origen. Cuando la variable y toma el valor de la mxima profundidad de lquido en el tanque, esto es, y = 12, la variable x que representa el radio de giro toma el valor x = (12)3/4 = 6,45. En la Fig. 1 se muestra la forma aproximada del tanque La ecuacin diferencial asociada a un problema de vaciado de tanque es


El coeficiente de descarga es c = 1 y la gravedad es g = 32 pies/seg2. El rea a del orificio de salida debe determinarse. Las secciones transversales son circunferencias de radio variable r. Por lo tanto, el rea de las secciones transversales es A(h) = r2 (2) El radio r debe expresarse en funcin de la altura h. Para ello debe observarse el tanque como una figura plana, vista desde el frente. La Fig. 2 muestra la curva plana y = x4/3

Observe en la Fig. 2 que el punto P(r, h) pertenece a la curva y = x4/3; esto quiere decir que las coordenadas del punto P satisfacen la ecuacin de la curva. Sustituyendo x= r, y = h h = r4/3 Despejando r r = h3/4 (3) sustituyendo la ecuacin (3) en la ecuacin (2) A(h) = h 3/2

Una vez que el rea de la seccin transversal del tanque ha quedado expresada en

funcin de la altura, se sustituyen A(h), c y g en la ecuacin (1)

2/3h dh = a h64 dt (4)

6,45 mt 12 mt h r Fig. 1

y = x4/3

P (r,h)


11

La ecuacin (4) es la ecuacin diferencial asociada al problema de vaciado planteado y debe resolverse sujeta a dos condiciones: la primera condicin es que para el tiempo t = 0 seg, la altura es h = 12 pies; la segunda condicin es que luego de una de iniciado el proceso de vaciado, es decir, para t = 3600 seg, la altura de lquido en el tanque ha descendido a la mitad, esto es, h = 6 pies. Por lo tanto, lo que debe resolverse es el problema de valor de frontera

=

=

=

6)3600(h

12)0(h

dtha8dhh 2/3


variables se multiplica la ecuacin (4) por el factor h8

1

h64

1=

dhh

h

8

2/3

= a dt (5)

integrando definidamente; el tiempo vara entre t = 0 seg y t = 3600 seg; la altura vara entre h = 12 pies y h = 6 pies

6

12

2/3dh

h

h

8 = a

3600

0

dt (6)

Resolviendo las integrales

6

12

2/3dh

h

h =

12

6

dhh = /12

6

2

2

h =

( ) ( )2

6

2

12 22+ = 72 + 18 = 54

3600

0

dt = t /3600

o

= 3600


)54(8

= 3600 a


1

3600

1

4

27 = a

simplificando


12

a = 1600

3

Este valor que se obtuvo para a (rea del orificio de salida) se sustituye en la ecuacin (5)

dhh

h

8

2/3

=

1600

3 dt

multiplicando por 3

1600 y simplificando

dhh3

200 = dt (7)

Se pide determinar el tiempo tv que demora en vaciarse el tanque, es decir, el tiempo para el cual la altura de lquido en el tanque se hace cero. Para ello se debe resolver el problema de valor de frontera

=

=

=

0)t(h

12)0(h

dtdhh3

200

v

La ecuacin diferencial (7) se integra de forma definida: el tiempo vara entre t = 0 seg y t = tv; la altura vara entre h = 12 pies y h = 0 pies

0

12

dhh3

200 =

vt

0

dt (8)

Resolviendo las integrales defindas

0

12

dhh = 12

0

dhh = /12

0

2

2

h = 72

vt

0

dt = t /vt

0

= tv


tv = =

)72(

3

200 4800


13

De aqu se tiene que, el tanque demora en vaciarse t = 4800 seg, lo que equivale a 1 hora y 20 min. Si el proceso de vaciado se inicio a las 11:27 am, entonces para saber a que hora el tanque estar vaco, debe sumarse el tiempo de vaciado tv a las 11:27. Luego, el tanque estar vaco a las 12:47 pm. b) Para saber a que hora queda en el tanque el 25% de su capacidad, se debe comenzar por establecer cual es la altura de lquido en el tanque cuando resta el 25% de su capacidad. Como se conoce la altura inicial de lquido en el tanque, el volumen total se determina por el mtodo del volumen por secciones transversales

V = dh)h(A

0h

0 =

12

0

3/2 dhh = /12

0

2/5

5

h2 =

5

)12(2 2/5

luego el 25% del volumen total es

25% V = 100

25

5

)12(2 2/5 =

10

)12( 2/5

Conocido el volumen cuando resta el 25% de lquido en el tanque, utilizando el mismo mtodo por secciones transversales, se podr determinar cual es la altura de lquido en el tanque en este caso

25% V = %25h

0

dh)h(A

sustituyendo A(h) y 25% V

10

)12( 2/5 =

%25h

0

2/3 dhh (9)

Resolviendo la integral definida

%25h

0

2/3 dhh = /%25h

0

2/5

5

h2 = 2/5%25 )h(5

2

sustituyendo el resultado de la integral en la ecuacin (9)

10

)12( 2/5 = 2/5%25 )h(5

2

multiplicando por 2

5


14

2/5%25 )h( = 4

)12( 2/5

elevando a 2/5

%25h = 5/2)4(

12 = 6,89

Una vez conseguida la altura de lquido en el tanque cuando queda el 25% del volumen total, se procede a buscar el tiempo que demora en llegar a esa altura. Para ello debe resolverse el problema de valor de frontera

=

=

=

5/2%25 )4(

12)t(h

12)0(h

dtdhh3

200

La ecuacin diferencial (7) se integra de forma definida: el tiempo vara entre t = 0 seg

y t = t25%; la altura vara entre h = 12 pies y h = 5/2)4(

12 pies

5/2)4(

12

12

dhh3

200 =

%25t

0

dt (10)

Resolviendo las integrales defindas

5/2)4(

12

12

dhh = 12

5/2)4(

12

dhh = /12

5/2)4(

12

2

2

h

= 72 +

2

5/2)4(

12

2

1

= 72 + 23,75 = 48,25

%25t

0

dt = t /%25t

0

= t25%


t25% = =

)25,48(

3

200 3216,66


15

De aqu se tiene que, el tanque demora t = 3216,66 seg en vaciarse hasta el 25% de su capacidad inicial, lo que equivale a 53 min y 36 seg. Si el proceso de vaciado se inicio a las 11:27 am, entonces para saber a que hora el tanque tendr slo el 25% de su capacidad, hay que agregar a las 11:27 los 53 min y 36 seg. Luego tendra el 25% de su capacidad a las 12:20:36 pm 6. El tanque que se muestra en la figura est totalmente lleno de lquido. Se inicia el proceso de vaciado, por una perforacin circular de rea 1 cm2 ubicada en la base inferior del depsito. Si se ha establecido el coeficiente de descarga c = 0,447 y la gravedad es g = 10 m/seg2

Determine: a) Tiempo que debe transcurrir para que quede en el tanque un contenido equivalente al 18,75% de su capacidad b) Tiempo de vaciado total del tanque SOLUCIN: La ecuacin diferencial asociada a los problemas de vaciado de tanques es


El rea del orificio de salida es a = 1 cm2, pero como las dimensiones del tanque estn en metros debe efectuarse la conversin. Puesto que 1 cm = 0,01 mt = 10 2 mt, entonces a = 1 cm2 = (1 cm )2 = ( 10 - 2 mt)2 = 10 - 4 mt2. En el enunciado del problema dan el coeficiente de descarga c = 447.10 - 3 y la gravedad g = 10mt/seg2 Segn puede observarse en la Fig. 1, las secciones transversales son rectngulos, dos de los lados paralelos de longitud constante e igual a 8 y los otros dos lados de longitud variable r. El rea de la seccin transversal es entonces A(h) = 8 r (2) Debe expresarse la longitud r en funcin de la altura h. Para ello si se observa el tanque de frente, como una figura en un plana, ubicada en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, se ver como lo muestra la siguiente Fig. 2

2 mt 8 mt r h 4 mt 1 mt

Fig. 1


16

Obsrvese que el punto P(r,h) pertenece a la recta que pasa por los puntos (1, 0) y (2, 4). La pendiente la recta es

m = 12

04

= 4

La ecuacin de la recta que pasa por el punto (1, 0) (o (2, 4)) y tiene pendiente 4 es L: y = 4 ( x 1 ) Ya que el punto P (r, h) pertenece a la recta L entonces satisface la ecuacin de dicha recta, por lo tanto sustituyendo x = r , y = h

h = 4 ( r 1 ) despejando r

r = 4

h + 1 (3)

Sustituyendo la ecuacin (3) en la ecuacin (2), se tiene el rea de la secciones transversales en funcin de la altura h

A(h) = 8

+ 1

4

h = 2 ( h + 4 )

Ahora se sustituyen A(h), a, c y g en la ecuacin (1)

2 ( h + 4 ) dh = 10 4 . 447 . 10 3 h20 dt

simplificando

2 ( h + 4 ) dh = 447 . 10 7 20 h1/2 dt (4)

La ecuacin diferencial (4) es una ecuacin diferencial de variables separables y debe resolverse sujeta a la condicin de que la altura inicial de lquido en el tanque es 4 mt, es decir, h(0) = 4. Para separar las variables, la ecuacin (4 ) debe multiplicarse por el factor

2/1

7

h20447

10

dhh

4h

20447

10.22/1

7

+ = dt

integrando

+ dhh 4h2044710.2 2/17


+ dhh 4h 2/1 = dhh 2/1 + 4 dhh 2/1 = 2/3h32 + 8 h1/2 + k1

dt = t + k2

y 2 mt (2,4) P(r,h) r 4 mt h (1,0) x 1mt Fig. 2


17


20447

10.2 7

+ 2/12/3 h8h

3

2 = t + k (6)

Para determinar el valor de la constante k de integracin se usa la condicin inicial h(0) = 4, esto es, se sustituye en la ecuacin (6) t = 0 seg y h = 4 mt,

k = 20447

10.2 7

+ )4(84

3

2 2/12/3

= 20447

10.2 7 41/2

+ 84

3

2

= 20447

10.4 7

3

32 =

201341

10.128 7

este valor obtenido para k se sustituye en la ecuacin (6)

20447

10.2 7

+ 2/12/3 h8h

3

2 = t 201341

10.128 7

despejando t

t =20447

10.2 7

2/12/3 h8h

3

2

3

64 (7)

La ecuacin (7) representa la relacin funcional entre altura y tiempo. Ya que se debe determinar el tiempo que debe transcurrir para que en el tanque quede solo el 18,75% del volumen total de lquido, para usar la ecuacin (7) ser necesario conocer la altura de lquido en el tanque, cuando en este queda el 18,75% del volumen total. Se comienza por determinar el volumen total de lquido en el tanque. Como el tanque se encuentra lleno, la altura total de lquido en el tanque coincide con la altura inicial. Aplicando el mtodo de las secciones transversales para hallar el volumen total

V = 0h

0

dh)h(A = +4

0

dh)4h(2 = 2 4

0

dhh + 8 4

0

dh

= h2 /4

0

+ 8h /4

0

= 16 + 32 = 48

As, el volumen total de lquido en el tanque es V = 48 mt3. Luego, el 18,75% del volumen total es

18,75% V = 100

)48()75,18( =

100

900 = 9


18

Ahora, usando la misma ecuacin anterior para calcular volumen, se puede establecer cual ser la altura h1 del lquido en el tanque, si se sabe que el volumen es 19,75% V = 9 mt

3

18,75% V = 1h

0

dh)h(A

sustituyendo los datos

9 = dh)4h(2

1h

0 + = ( h2 + 8h ) /

1h

0

= ( h1 )2 + 8 h1

se tiene entonces una ecuacin de segundo grado en h1 ( h1 )

2 + 8 h1 9 = 0

Resolviendo la ecuacin de segundo grado

)1(2

)9()1(4)8(8h

2

1

= = 2

1008 =

2

108

de donde resulta h = 9 y h = 1 Ya que h debe ser positivo, pues representa una altura, el valor h = 9 se descarta, por lo tanto, la altura de lquido en el tanque cuando el volumen es de 18,75% del volumen total es h = 1 mt. Luego, para determinar el tiempo que demora en vaciarse el tanque hasta 18,75% del volumen total, ser suficiente con sustituir h = 1 mt en la ecuacin (7)

t =20447

10.2 7

8

3

2

3

64 = 126727,1934

As, el tanque demora en vaciarse hasta el 18,75 % del volumen total t = 126727,1934 seg = 35 horas 12 min 7 seg = 1 da 11 horas 12 min 7 seg

. b) Para determinar el tiempo de vaciado total del tanque, es decir, cuando la altura de lquido en el tanque es cero, se sustituye h = 0 en la ecuacin (7)

tv = 20447

10.2 7

3

64 =

201341

10.128 7= 213435,273

As, el tanque demora en vaciarse totalmente t = 213435,273 seg = 59 hora 17 min 15 seg = 2 das 11 horas 17 min 15 seg

8. Se tiene un tanque en forma de paraboloide con el eje vertical hacia abajo cuya dimensiones son 2 mt de dimetro y altura 3 mt. El tanque inicialmente esta lleno en su totalidad y el liquido escapa por un orificio de 20 cm2 de rea situado al fondo del tanque. Determine


19

a) Cunto tiempo debe transcurrir para que quede en el tanque slo un tercio de su capacidad inicial b) Calcular el tiempo que tarda en vaciarse totalmente SOLUCIN: a) La ecuacin diferencial asociada a los problemas de vaciado de tanques es

A(h) dh = a c dhhg2 (1)

Las dimensiones del tanque estn adas en metros dadas en metro, por lo que el rea del orificio de salida tambin debe quedar expresado en metro a = 2 cm2 = 2 ( 10 2 mt )2 = 2 . 10 4 mt2 El coeficiente de descarga es c = 1 y la gravedad es g = 9,81 mt/seg2 Como puede observarse en la Fig. 1, las secciones transversales del tanque son circunferencias cuyo radio r vara de acuerdo con la altura a la cual se efecte el corte As, el rea de las secciones transversales es A(h) = r2 (2)

Debe establecerse una relacin entre el radio variable r de las circunferencias y la

altura h. Para ello, debe visualizarse el tanque de frente como una figura plana. Ubicndolo en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, se ver como se muestra en la Fig. 2

La ecuacin de la curva que gira alrededor del eje y para generar el tanque no est dada explcitamente por lo que debe determinarse. La ecuacin ordinaria de la parbola de vrtice (x0, y0), eje el eje y, abre hacia abajo y donde p es la distancia entre el vrtice y el foco es ( x x0 )

2 = - 4 p ( y y0)

El vrtice de la parbola que se muestra en la Fig. 2 es el punto (0, 3) y pasa por los punto (1, 0) y ( 1, 0).

r 3 mt h 2 mt

Fig. 1

altura 3 mt r h 1 mt radio

Fig. 2

P(r, h)


20

Sustituyendo en la ecuacin ordinaria de la parbola las coordenadas del vrtice y las coordenadas de uno cualquiera de los dos puntos por donde pasa

( 1 0 )2 = - 4 p ( 0 3 ) 12 p = 1 p = 12

1

De aqu que, la ecuacin de la parbola que se gira alrededor del eje y para generar el paraboloide de la Fig. 1 es

x2 = )3y(3

1 (3)

El punto P(r, h), segn se muestra en la Fig. 2, es un punto de la parbola. Por lo tato satisface la ecuacin de la misma. Sustituyendo x = r , y = h en la ecuacin (3)

r2 = )3h(3

1 (4)


A(h) = )3h(3

= )h3(3

(5)

La ecuacin (5) representa el rea de las secciones transversales (circunferencias de radio variable) en funcin de la altura. Sustituyendo A(h), a, c y g en la ecuacin (1)

)h3(3

dh = 2 . 10 4 h62,19 dt (6)

La ecuacin (6) es la ecuacin diferencial asociada al problema de vaciado planteado, la misma debe resolverse sujeta a la condicin inicial h(0) = 3, es decir, para el tiempo t = 0 seg la altura es h = 3 mts (tanque totalmente lleno). La ecuacin (6) es una ecuacin diferencial de variables separables. Para separar las

variables se multiplica la ecuacin (6) por el factor 2/1

4

h62,192

10

2/1

4

h

h3

62,196

10 dh = dt

integrando

dhh h362,19.6 10 2/14


= dhhdhh3dhh h3 2/12/12/1 = 6 h1/2 32 h3/2 + k1


21

dt = t + k2 sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuacin (7)

62,19.6

104 ( 6 h1/2

3

2 h3/2 ) = t + k (8)

Para determinar el valor de la constante k de integracin, se usa la condicin inicial h(0) = 3, esto es, se sustituye t = 0 seg y h = 3 mt en la ecuacin (8)

k = 62,19.6

104 ( 6 (3)1/2

3

2 (3)3/2 ) =

62,19.6

104 ( 4 3 )

este valor obtenido para k se sustituye en la ecuacin (8)

62,19.6

104 ( 6 h1/2

3

2 h3/2 ) = t

62,19.6

104 ( 4 3 )

despejando t

t = 62,19.6

104 ( 4 3 )

62,19.6

104 ( 6 h1/2

3

2 h3/2 )

sacando factor comn 62,19.6

104

t = 62,19.6

104 ( 4 3 - 6 h1/2 +

3

2 h3/2 ) (9)

La ecuacin (9) establece la relacin funcional entre tiempo y altura de lquido en el tanque, es decir, a partir de esta ecuacin conociendo una determinada altura se puede establecer el tiempo que demora en alcanzarse; tambin se puede determinar la altura de lquido en el tanque para un tiempo dado. Se debe ahora establecer el tiempo que debe transcurrir para que quede en el tanque un tercio de volumen total. Se comienza por determinar el volumen total de lquido en el tanque. Para ello se utiliza el mtodo del clculo de volumen a travs de las secciones transversales, esto es

V = 0h

0

dh)h(A = 3

0

dh)h3(3

=

3

0

3

0

dhhdh33

= h /3

0

3

2

h2 /3

0

= 3 2

3 =

2

3


22

As, el volumen total de lquido en el tanque es V = 2

3 mt 3; un tercio del volumen

total es V3

1 =

2

Sabiendo que un tercio del volumen total es 2

y usando la ecuacin del volumen por

secciones transversales, es posible determinar la altura h1 del lquido en el tanque, para ese volumen

V3

1 =

1h

0

dh)h(A = 1h

0

dh)h3(3

=

2

hh3

3

2

pero V3

1=

2

, entonces

2

=

2

hh3

3

2

multiplicando por

6 resulta 3 = 6 h h2 . As se obtiene la ecuacin de segundo grado

h2 6 h + 3 = 0 resolviendo

h = 2

246

2

12366 =

h =

2

246 + = 5,44 h =

2

246 = 0,55

El valor de h superior a la altura mxima debe descartarse. Por lo tanto, cuando el volumen de lquido en el tanque es un tercio del volumen total la altura de lquido en el tanque es h = 0,55 mt. Ahora para saber el tiempo t1 que demora en llegar a ese volumen, se sustituye h = 0,55 en la ecuacin (9)

t1 =62,19.6

104 ( 4 3 - 6 ( 0,55 )1/2 +

3

2 ( 0,55 )3/2 )

= 1182,086 ( 6,9282 4,4497 + 0,2719 ) = 1182,086 (2.7504) = 3251, 1378 Luego, debe transcurrir un tiempo t = 3251, 2093 seg, esto es 54 min 11 seg, para que en el tanque quede un tercio del volumen total b) Para establecer el tiempo de vaciado total tv , esto es el tiempo para el cual la altura del lquido en el tanque es cero, se sustituye h = 0 en la ecuacin (9)

tv = 62,19.6

104(4 3 ) = 1182,086 ( 6,9282) = 8189,7329

Luego, el tanque se vaca totalmente en un tiempo t = 8189,7429 seg, es decir, en 2 horas 16 min 30 seg


23

8 mt 8 mt h r

Fig. 1

11. Un tanque en forma semiesfrica de 8 mt de radio est totalmente lleno de agua. Se retira un tapn que est en el fondo, justo a las 4:27 pm. Una hora despus la profundidad del agua en el tanque ha descendido 1 mt. Determine: a) A qu hora el tanque estar vaco? b) A qu hora quedar en el tanque 31,25% del volumen inicial. SOLUCIN: a) La ecuacin diferencial asociada a los problemas de vaciado de tanque es:

A(h) dh = a c dthg2 (1)

El coeficiente de descarga es c = 1 y la gravedad es g = 9,81 mt/seg2

El rea a del orifico de salida se desconoce; debe determinarse. Las secciones transversales del tanque, tal y como puede observarse en la Fig. 1, son circunferencias de radio r variable, dependiendo de la altura a la cual se efecte el corte transversal. Como las secciones transversales son circunferencias de radio r, el rea es A(h) = r2 (2) El radio r deber expresarse en funcin de la altura h.

Si se observa el tanque de frente, como una figura plana, y se representa en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, el resultado se muestra en la Fig. 2 Observe que de la semicircunferencia se puede extraer un tringulo rectngulo tal que los catetos miden r y ( 8 h ) y la hipotenusa 8 (ya que va desde el centro de la semicircunferencia a un punto de la ella).

8 mt r 8 h 8 mt h

Fig. 2

8 8 h r Fig.3


24

Aplicando el Teorema de Pitgoras al tringulo de la Fig. 3

( 8 )2 = ( 8 h )2 + r2

desarrollando 64 = 64 16 h + h2 + r2

simplificando y despejando r2 r2 = 16 h h2 (3) Sustituyendo la ecuacin (3) en la ecuacin (2)

A(h) = ( 16 h h2 )

Sustituyendo A(h), c y g en la ecuacin (1)

( 16 h h2 ) dh = a 2/1h62,19 dt (4) La ecuacin (4) es la ecuacin diferencial asociada al problema de vaciado; sta debe resolverse sujeta a dos condiciones: para el tiempo t = 0 seg la altura es h = 8mt y para el tiempo t = 4000 seg la altura es h = 7 mt. Por lo tanto, se debe resolver el problema de valor de frontera

=

=

=

7)3600(h

8)0(h

dth62,19adh)hh16( 2/12


variables se multiplica la ecuacin (4) por el factor 2/1h62,19

1

2/1h62,19

( 16 h h2 ) dh = a dt (5)

La ecuacin (5) se integra de forma definida: la altura h vara entre h = 8 mt y h = 7 mt ; el tiempo t vara entre t = 0 seg y t = 3600seg

62,19

7

8

2/32/1 dh)hh16( = a 3600

0

dt (6)


7

8

2/32/1 dh)hh16( = 8

7

2/32/1 dh)hh16( = /8

7

2/52/3 h5

2h

3

32

+


25

= 2/52/32/52/3 )7(5

2)7(

3

32)8(

5

2)8(

3

32++ = 23,259

3600

0

dt = t /3600

0

= 3600


62,19

(23,259 ) = 3600 a

despejando a

a = 62,193600

259,23 = 4,58 . 10 3

este valor del rea del orificio de salida se sustituye en la ecuacin (5)

2/1h62,19

( 16 h h2 ) dh = 4,58 . 10 3 dt

multiplicando por 58,4

103

62,1958,4

103 h 1/2 ( 16 h h2 ) dh = dt (7)

A fin de determinar el tiempo tv que demora en vaciarse el tanque, es decir, el tiempo que demora para que la altura de lquido en el tanque sea cero, se integra la ecuacin (7) en forma definida: la altura h vara entre h = 8 mt y h = 0 mt; el tiempo t vara de t = 0 seg a t = tv seg

62,1958,4

103

0

8

2/32/1 dh)hh16( = vt

0

dt (8)


0

8

2/32/1 dh)hh16( = 8

0

2/32/1 dh)hh16( = /8

0

2/52/3 h5

2h

3

32

+

= 2/52/3 )8(5

2)8(

3

32+ = 168,952

vt

0

dt = t /vt

0

= tv


26


tv = 62,1958,4

103 ( 168,952 ) = 26163, 64395

Luego, el tanque demora en vaciarse 26163,64395 seg, lo que equivale a 7 horas

16 min 4 seg. Si comenz a vaciarse a las 4 horas 27 min de la tarde entonces estar totalmente vaco a las 7 horas 43 min 4 seg de la noche.

b) Ahora debe determinarse a que hora quedar en el tanque 31,25% del volumen

total. Para obtener el volumen total se usa el mtodo de obtencin del volumen por las secciones transversales

V = 0h

0

dh)h(A = dh)hh16( 2

8

0

= /8

0

32 )

3

hh8(

=

3

512512 =

3

1024

As se tiene que, el volumen total de lquido en el tanque es V = 3

1024 mt3. El

31,25% del volumen total es

31,25% V =

100

25,31

3

1024 =

3

320

Ahora, usando nuevamente el mtodo de las secciones transversales para calcular volumen, se puede determinar a altura h1 de lquido en el tanque cuando en este queda 31,25% del volumen total

31,25% V = 1h

0

dh)h(A

sustituyendo A(h) y 31,25% V

3

320 =

1h

0

dh)h(A = dh)hh16( 2

1h

0

= /1h

0

32 )

3

hh8( = )

3

hh8(

312

1

multiplicando por

3

0320h24h 13

1 =+ resolviendo la ecuacin de tercer grado en h, resulta h1 = 4 (las otras dos soluciones se descartan , puesto que, una es mayor que la altura del tanque y la otra es negativa)


27

Conociendo la altura de lquido en el tanque cuando queda 31,25% del volumen total, se puede determinar el tiempo que demora en llegar a ese volumen. Para ello, la ecuacin diferencial (7) se integra de forma definida: el tiempo t vara entre t = 0 seg y t = t1: la altura h vara entre h = 8 mt y h = 4 mt

62,1958,4

103

4

8

2/32/1 dh)hh16( = 1t

0

dt (9)


4

8

2/32/1 dh)hh16( = 8

4

2/32/1 dh)hh16( = /8

4

2/52/3 h5

2h

3

32

+

= 2/52/32/52/3 )4(5

2)4(

3

32)8(

5

2)8(

3

32++ = 96,419

1t

0

dt = t /1t

0

= t1


t1 = 62,1958,4

103 ( 96,419 ) = 14931,29638

Luego, el tanque demora 14931,29638 seg en alcanzar 31,25% del volumen total, lo que equivale a 4 horas 8 min 51 seg. Si comenz a vaciarse a las 4 horas 27 min de la tarde entonces alcanzar el 31,35% del volumen total a las 8 horas 35 min 51 seg de la noche.


28

EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN

A PROBLEMAS DE VACIADO DE TANQUES 1, El tanque que se obtiene al hacer girar la curva y = x4 alrededor del eje y, con un radio mximo de 2 mt se encuentra totalmente lleno. Se inicia un proceso de vaciado por un orificio de 2 cm de radio y se asume un coeficiente de descarga de 0,8. Determine: a) Tiempo de Vaciado total. b) Tiempo que debe transcurrir para que quede en el tanque el 25% del volumen inicial R: a) 3 h 8 min 8 seg b) 1 h 53 min 28 seg 2. Un tanque en forma de cono circular recto invertido de 4 mt de radio y 10 mt de altura est lleno en un 80% de su capacidad. Se comienza a escapar su contenido por un orificio de 10 cm2 de rea, ubicado en su vrtice. Si se ha establecido el coeficiente de descarga en 0,75 determine: a) Tiempo que demora en vaciarse totalmente b) Tiempo que debe transcurrir para que quede en el tanque el 20% del volumen inicial R: a) 5 h 18 min 59 seg b) 3 h 55 min 50 seg 3. Justo a las 8:45 de la maana del da sbado 29 de julio de 2006, se comienza el proceso de vaciado del tanque que se muestra en la figura Si se sabe que el lquido escapa por un orificio situado en la base del tanque de 10 cm2 de rea, determine a) A qu hora estar totalmente vaco el tanque? b) A qu hora quedar en el tanque 50% del volumen total? R: a) 11:17:4 am del mismo sbado b) 9:31:31 am del mismo sbado 4. Un tanque en forma de paraleleppedo de altura 32 mt y base cuadrada de 6mt est lleno en un 50% de su capacidad. Si se vaca por un orificio ubicado en el fondo del tanque, al cabo de 20 min el nivel de lquido ha bajado 6 mt. Determine. a) rea del orificio de salida b) Tiempo para el cual el nivel del lquido ha bajado 4 mt c) Tiempo de vaciado total

3 mt 5 mt 3 mt 5 mt 2 mt


29

R: a) a = 35 .10 4 mt2 b) 41 min 29 seg c) 5 h 9 min 37 seg 5. Un tanque cilndrico, con eje vertical, altura 20 mt y radio 4mt est leno de agua en un 80% de su capacidad. Comienza a vaciarse por una llave de descarga ubicada en el fondo y al cabo de 12 horas de proceso el nivel del lquido ha descendido 5 mt. Determine: a) rea del orificio de salida b) Tiempo para el cual el contenido es 1/4 del contenido inicial. c) Tiempo de vaciado total R: a) 0,02154 mt2 b) 35 min 7 seg c) 1h 10 min 14 seg 6. Se tiene un tanque en forma esfrica, de radio 3 mt, el cual est inicialmente lleno de agua en un 100%. El lquido escapa por un orificio situado al fondo del tanque de 3 cm2 de rea. Determine: a) Tiempo de vaciado total b) Tiempo para el cual queda en el tanque un volumen igual al 50% del volumen inicial. R: a) 15 h 26 min 33 seg b) 5h 53 min 27 seg 7. Calcule el tiempo de vaciado total del tanque que se indica en la figura, sabiendo que est totalmente lleno y que el rea del orificio de salida es de 5 cm2 R: 5 h 33 min 40 seg 8. Un tanque de agua tiene la forma que se obtiene al hacer girar, alrededor del eje y, la curva y = x2. Justo a la 1:12 pm se retira un tapn que est en el fondo del tanque, cuando la profundidad es de 16 pies. Dos horas ms tarde la profundidad del agua es 9 pies. Determine: a) Area del orificio de salida a) A qu hora estar el tanque vaco? b) A qu hora quedar en el tanque el 25% del volumen inicial? R: a) 0,00242 pies2 b) 4:39:34 pm c) 3:26:17 pm 9. Un tanque en forma de cilindro con eje horizontal, de 8 mt de longitud y 3 mt de radio se encuentra lleno en su totalidad. Justo a 12:25 pm se quita un tapn por donde comienza a salir el lquido. Si transcurridas 2 horas 15 min la altura de lquido en el tanque es 3,6 mt y se ha establecido como coeficiente de descarga c = 0,5, determine: a) El rea del orificio de salida b) A qu hora est totalmente vaciado el tanque? c) A que hora la altura de lquido en el tanque es de 2 mt? R: a) 0,0022 mt2 b) 9:18:49 pm c) 5:15:34 pm

4 m 8 m

12 m

problemas de vaciado de tanques

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