vaciado de tanques 2

8/7/2019 Vaciado de Tanques 2

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Vaciado deVaciado deTanquesTanques


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Pr oblemaPr oblema

Un r ecipiente con una seccin t r ansve r salUn r ecipiente con una seccin t r ansve r salconstante A, se llena con agua hasta laconstante A, se llena con agua hasta la

altu r a H. El agua fluye del tanque a t r avsaltu r a H. El agua fluye del tanque a t r avsde un o r ificio, de seccin t r asve r sal B, ende un o r ificio, de seccin t r asve r sal B, enla base del r ecipiente. Encuent r e la altu r ala base del r ecipiente. Encuent r e la altu r adel agua en cualquie r tiempo y encuent r edel agua en cualquie r tiempo y encuent r eel tiempo pa r a vacia r el tanque.el tiempo pa r a vacia r el tanque.


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sh

A

BB

RecipienteRecipiente


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h + hh

A

B

Desca r ga de aguaDesca r ga de agua


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De donde tenemosDe donde tenemos

Ah ( A ) * ( h ) = dV

s

B ( B ) * ( s ) =dV

( A ) * ( h ) = ( B ) * ( s )


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EntoncesEntonces

Si dividimos ambos lados de esa igualdadSi dividimos ambos lados de esa igualdadpo r po r t tenemos quet tenemos que

A h B ht t

Tomando esta igualdad como un limite

cuandot 0

tenemos queLim A h Lim B h

t 0 t t 0 t


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De donde sacamos queDe donde sacamos que

E n donde el A*( dh / dt ) es negativo debido aE n donde el A*( dh / dt ) es negativo debido a

que el tanque se va descargando o vaciandoque el tanque se va descargando o vaciando

!A dh

dt

B ds

dt

Ambos limites los podemos reconocer comoAmbos limites los podemos reconocer comolas razones de cambio de dos variableslas razones de cambio de dos variables

respecto del tiemporespecto del tiempo


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De donde obtenemos queDe donde obtenemos que

D onde v es la velocidad de salida del agua, por D onde v es la velocidad de salida del agua, por lo cual podemos decir quelo cual podemos decir que

!

B ds

dt Bv

E sto lo hacemos a modo de que podamosE sto lo hacemos a modo de que podamosresolver la ecuacin por separacin de variablesresolver la ecuacin por separacin de variables

A d h

d t v !A d h v d t


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Encont r ando la velocidadEncont r ando la velocidadE s preciso encontrar esa velocidad v lo cual loE s preciso encontrar esa velocidad v lo cual lopodemos hacer por conservacin de la energa,podemos hacer por conservacin de la energa,sabiendo quesabiendo que

m v2

2m g h !v 2 g h

or lo cual podemos decir :Por lo cual podemos decir :

!A dh B 2 g h dt


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Pr ocedemos a integ r a r Pr ocedemos a integ r a r

Y de esto obtenemos queY de esto obtenemos que

d

1

h

h d

B 2 g

At

d d

!2 h B2 g t A

c


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Encont r ando el valo r de cEncont r ando el valo r de cT eniendo el dato de que en un tiempo 0 ( t = 0 ) la alturaT eniendo el dato de que en un tiempo 0 ( t = 0 ) la alturaes igual a H ( h = H ) entonces podemos decir quees igual a H ( h = H ) entonces podemos decir que

2 H c

E ntones conociendo el valor de c ya podemos plantear E ntones conociendo el valor de c ya podemos plantear completa la ecuacin de la siguiente formacompleta la ecuacin de la siguiente forma

!2 h B 2 g t

A2 H


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En cuanto tiempo se vaca elEn cuanto tiempo se vaca el

tanquetanquePara encontrar el tiempo en el cual se vaca elPara encontrar el tiempo en el cual se vaca eltanque hacemos h = 0 y entonces nos quedatanque hacemos h = 0 y entonces nos quedaqueque

!t

A 2H

g B


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P a r a la p r acticaP a r a la p r actica

Tenemos un deposito en fo r ma de cilind r oTenemos un deposito en fo r ma de cilind r or ecto con una altu r a y un r adio con unr ecto con una altu r a y un r adio con uno r ificio de salida en la base del depositoo r ificio de salida en la base del depositocon un r adio decon un r adio de


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GRACIASGRACIAS

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