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HOMOTECIA Nº 8 – Año 12 Viernes, 1° de Agosto de 2014 1

La matemática. Pocas asignaturas como esta, son víctimas de innumerables prejuicios y concepciones particulares. La mayoría de los discentes evidencian con frecuencia su poco interés en desarrollar destrezas matemáticas y en algunos casos hasta se incomodan cuando se acerca el momento de asistir “por obligación” a las horas de clase de la misma. Entonces, si esto es ya una tradición o generalidad en el medio educativo, ¿qué hace que una persona se entusiasme por la matemática, algo para lo que supuestamente la mayoría no es buena, pero un entusiasmo tal que lo acerca a la enseñanza de la matemática y lo hace decidir formarse como docente de matemática? En la actualidad, realmente en Venezuela es crítica la situación en cuanto al número de aspirantes que solicitan ingresar a los institutos universitarios para la formación docente, en áreas como matemática, física y química. Es alarmante que a pesar del flujo de egresados en las mismas sea continuo, su número no alcanza y queda bastante alejado en cuanto a satisfacer la demanda que a nivel nacional existe de este personal. Creemos que dos factores inciden sobre este particular. El primero que aun siendo sumamente importante, no está en manos de los institutos universitarios de formación docente el resolverlo. Nos referimos a la carencia de una sustanciosa remuneración que permita al docente llevar una vida sin contratiempos económicos, aspecto que queda sujeto a políticas gubernamentales en cuanto a la proporción del presupuesto nacional dispuesto para educación, pero es una condición social que aleja a las personas de esta profesión. El segundo tiene que ver con la cultura escolar alrededor de estas asignaturas. En cuanto a la matemática, cierto es que algunas personas tienen un talento especial para la misma pero a otros les cuesta mayor trabajo entenderla; aun así, la matemática por naturaleza está en todo lo que nos rodea y es interna a cada ser humano, por lo que la experiencia de acercarse a ella y apreciarla puede ser muy interesante aun la persona no alcance un nivel muy avanzado de entendimiento. Un docente de matemática en ejercicio tiene que considerar que tras él, debe venir una necesaria generación de relevo por lo que una de las funciones de su magisterio es incentivar a sus discípulos a que lo sigan. Esto hace ver que atraer futuros candidatos a ser docentes de matemática, depende del ambiente que el docente de matemática en ejercicio cree en el entorno áulico. Posiblemente todo problema relacionado con el rendimiento escolar en matemática tenga solución con la implementación de una adecuada estrategia didáctica o de evaluación, pero esta no va a surgir porque el docente es muy inteligente, sabe y domina el conocimiento matemático, es experto en estrategias generales de didáctica y evaluación. Cuando se discute sobre enseñanza de la matemática, esta se centra en las diversas aproximaciones didácticas con que se busca enseñar. En los últimos años se han propuesto diversos modelos y metodologías para lograr que los estudiantes mejoren su aprendizaje en esta área; los docentes inician los cursos con entusiasmo, buenas ideas y deseosos de encontrarse con estudiantes receptivos, pero al final todo llega hasta ahí por deficiencias en la gerencia de aula; es decir la pedagogía implícita en el hecho educativo. Puede afirmarse que, hasta ahora, el deber-ser de todo docente, incluido el de matemática, se identifica con una situación de compromiso social, que tiene que ver con la inclusión del ciudadano, mejorando el ambiente en el salón de clase y en la institución, de tal manera que aprender matemática se haga ameno y como tal, tenga más adeptos.

KARL FEUERBACH (1800 - 1834)

Nació el 30 de mayo de 1800 en Jena; y murió el 12 de marzo de 1834, en Erlangen, ambas localidades en

Alemania.

Geómetra que descubrió el círculo de nueve puntos inscrito a un triángulo.

Karl Wilhelm Feuerbach. La madre de Karl Feuerbach fue Eva

Guillermina María Troster (1774-1852), descrita por familiares como

persona de una rara bondad y dulzura; y su padre fue Paul Johann

Anselm Ritter von Feuerbach (1775-1833), un profesor de derecho

en la Universidad de Jena, quien escribió el Código Penal bávaro. Eva

y Paul tuvieron once hijos, los ocho primeros fueron varones y niñas

las últimas tres. Tres de los ocho niños murieron siendo infantes, el

resto de los hijos crecieron hasta hacerse adultos. De estos ocho

hijos, cinco hijos lograron doctorados, tres se convirtieron en

profesores, siendo el más famoso el filósofo (que no fue profesor)

Ludwig Andreas Feuerbach (1804-1872), quien fue uno de los

críticos muy influyentes de la religión y por lo tanto de gran

importancia para Marx y el marxismo. Los demás fueron José

Anselm Feuerbach (1798-1851), filólogo y arqueólogo, Eduard

Augusto Feuerbach (1803-1843), profesor de derecho en la

Universidad de Erlangen y Friedrich Heinrich Feuerbach (1806-

1880), un orientador.

Paul Feuerbach tenía dieciséis años de edad cuando se fue de su

casa, contra los deseos de su padre, a estudiar filosofía e historia en

la Universidad de Jena. Él se convirtió en un exitoso abogado y

finalmente fue capaz de hacer las paces con su padre, quien lo

perdonó, después de muchas súplicas, escaparse y desobedecerle.

El 16 de noviembre de 1802, Paul le escribió a su padre describiendo

a su hijo Karl (el protagonista de esta biografía) que ya alcanzaba los

30 meses de nacido en este tiempo (léase referencia [3], también

citado en referencia [4]):

(CONTINÚA EN LA SIGUIENTE PÁGINA)

RReefflleexxiioonneess Sin las matemáticas o, por lo menos, sin el conocimiento fundamental del cálculo que se apropia del conocimiento de la forma y de la magnitud como condiciones necesarias, la educación del hombre es una obra incompleta. El desarrollo del hombre y de la humanidad queda detenido allende sus límites naturales. Sin las matemáticas, se paralizan las fuerzas del espíritu, porque las matemáticas son tan inseparables del espíritu humano como la moral y el alma humana.

Federico Froebel, citado por Hortensia Cuéllar Pérez, en FROEBEL. La educación del hombre. (2006, p. 82).


(VIENE DE LA PÁGINA ANTERIOR)

... mi hijo menor Karl es un joven saludable, mofletudo sonrosado, un jovenzuelo rollizo, quien corre alegremente alrededor y piensa

poco en las cosas, excepto en la comida.

La familia se mudaba de una ciudad a otra obligada por la fama de Paul Feuerbach. Estaban en Jena cuando Karl nació, pero pronto se trasladaron

a Kiel. En el invierno de 1804 Paul escribe en una carta (léase referencia [3]) que acababa de irse con su esposa y sus tres hijos desde Kiel a

Landshut en Baviera. Hicieron el viaje en un carro descapotable con tiempo helado. Más tarde se mudaron de Landshut de Munich (65 km más

allá) y, en 1814, desde Munich a Bamberg (más de 200 km al norte de Munich). Karl y su hermano Anselm estaban asistiendo a un gimnasio (liceo)

en Munich cuando su padre se mudó a Bamberg y se quedaron en Munich para completar sus estudios. Ambos muchachos entraron en la

Universidad de Erlangen en 1817 donde estaban los estudiantes brillantes. De hecho la fama de Paul Feuerbach había sido reconocida por el Rey

Maximilian Joseph quien lo hace noble en 1808 y le otorga educación universitaria gratuita para todos sus hijos. En 1819 Paul Feuerbach fue

nombrado Presidente de la corte de Apelaciones en Ansbach. Escribió una carta en diciembre de ese año en la que describe con orgullo las

capacidades excepcionales de su hijo Karl en matemáticas y física y sus logros en la Universidad de Erlangen. Claramente Paul, proveniente de una

familia con tradición en el derecho, habría gustado que sus hijos siguieran la “profesión familiar” pero él escribe que aunque Karl ha pensado en la

profesión de leyes, sin embargo, su intención en ese momento era para convertirse en un ingeniero del ejército.

Después de permanecer tres años estudiando en la Universidad de Erlangen, Karl Feuerbach se trasladó a la Universidad de Friburgo de Brisgovia

en 1820. Esta acción le permitió estudiar como discípulo de Karl Heribert Ignatius Buzengeiger (1771-1835) con quien ya lo había hecho en

Ansbach antes de recibir un nombramiento en la Universidad de Friburgo el año anterior; de hecho, este movimiento fue tan fructífero como

Feuerbach había esperado. El padre de Feuerbach, sin embargo, aunque como uno puede imaginar muy orgulloso de los logros de su hijo, estaba

preocupado de que Karl podría encontrar problemas en Baviera, puesto que él no era un bávaro por nacimiento. Por otra parte, como protestante

era probable que sufriera discriminación en la Baviera predominantemente romana católica. Estos temores parecían sin fundamento, ya que

cuando a la edad de veintidós Karl Feuerbach recibió su doctorado, fue nombrado para una Cátedra de matemáticas en el gimnasio en Erlangen y

había publicado un trabajo matemático sumamente importante: “Eigenschaft einiger merkwurdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und

mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figuren”.

Su vida, sin embargo, no fue todo lo feliz que pudiera esperarse y no está claro si las desgracias que se sucedieron fueron simplemente eso o si

ellas fueron motivadas por los enemigos políticos de su padre. Al parecer, no hay dudas de que como estudiante de Feuerbach fue, como muchos

hombres jóvenes, un poco rebelde. Se había unido a una organización con fines políticos (otros muchos estudiantes hicieron lo mismo), pero él

también se había comportado de manera irresponsable al incurrir en deudas a pesar de la acaudalada familia de la cual provenía. Un día mientras

se dirigía hacia el gimnasio en Erlangen donde enseñaba, fue detenido. Unos veinte jóvenes, todos miembros de la misma organización estudiantil,

habían sido acorralados y detenidos simultáneamente. Feuerbach y los otros diecinueve fueron encarcelados en la Torre Nueva de Munich. Una

descripción de lo que sucedió después de esto se encuentra en una carta que su padre escribió el 1° de julio de 1827 (referencia [3]) y es narrado

en la referencia [4]:

... semanas y meses permaneció inactivo y no se le permitió recibir cartas o visitantes. Karl se obsesionó con la idea de que sólo su

muerte podía liberar a sus 19 compañeros. Intentó suicidarse dos veces. Una noche fue encontrado inconsciente por pérdida de

sangre después de haberse cortado las venas de sus pies. Fue trasladado a un hospital. Luego hizo un segundo intento de suicidio

saltando por una ventana. Se salvó de morir porque aterrizó en un banco de nieve profundo pero quedo permanentemente lisiado

como consecuencia del accidente. Escribe el padre amargamente el hecho de que no fue vigilado estrechamente, particularmente si

se estaba al tanto de que estuvo al borde de un colapso mental cuando fue arrestado.

No pasó mucho tiempo después de su intento de suicidio para que Karl Feuerbach fuera liberado bajo la condición de lo asistiera Friedrich Wilhelm

Thiersch (1784-1860), un erudito clásico y pedagogo y amigo de la familia de Feuerbach, quien le había sido maestro de Karl cuando asistía al

gimnasio en Munich. Esta versión permitió Feuerbach esperar el juicio fuera de prisión y, de hecho el juicio finalmente siguió adelante sólo para

dar lugar a la liberación y reivindicación total de todas las partes interesadas (uno de los hombres había muerto en la cárcel y sólo había que

declarar a los otros 19 “no culpables”). Feuerbach había venido realizando una investigación sobre matemática mientras permanecía en la cárcel y

una vez liberado, todo lo que deseaba era estar con sus hermanos, hermanas y padre en Ansbach mientras continuaba con la citada investigación.

Durante un año consideró que su estado mental no era lo suficientemente fuerte para reanudar la enseñanza y cuando lo hizo fue en el gimnasio

de Hof. Este nombramiento como profesor de matemáticas había sido arreglado por el Rey Maximilian Joseph quien hizo denodados esfuerzos

para ayudar a todos los hombres jóvenes que habían sido encarcelados. Sin embargo, Feuerbach no estaba contento en Hof, porque de esa

manera perdía la vida tranquila que tenía con su familia en Ansbach. Su estado mental se deterioró y dos de sus hermanos se trasladaron a Hof

para ayudarlo a ir a Erlangen a recibir tratamiento médico. Parte de la razón para elegir Erlangen era conocer que Feuerbach había sido feliz en ese

sitio. Tuvo una recuperación rápida, lo que hacía parecer que ya podía reanudar sus labores de enseñanza, lo que hizo en el año 1828 en el

gimnasio de Erlangen. Sin embargo, no estaba realmente en suficiente buen estado mental como muestran los eventos que se sucedieron luego,

referidos en [4]:

(CONTINÚA EN LA SIGUIENTE PÁGINA)


(VIENE DE LA PÁGINA ANTERIOR)

... un día apareció en clase con una espada desenvainada y amenazó con cortarle la cabeza de todos los estudiantes de la clase que

no pudieran resolver las ecuaciones que había escrito en la pizarra. Después de este episodio se le consideró incapacitado

permanentemente. Gradualmente se aisló más de la realidad. Se dejó crecer el cabello, la barba y las uñas; miraba fijamente a los

ocasionales visitantes sin ningún signo de emoción; y su conversación consistía solamente en murmullos de tonos bajos sin

significados o expresión.

Luego de este episodio sólo vivió seis años más y este tiempo lo pasó en Erlangen viviendo como un ermitaño.

La fama de Feuerbach como geómetra es por haber descubierto el círculo de nueve puntos de un triángulo. Este a veces es llamado el círculo de

Euler pero es una atribución incorrecta. Feuerbach también demostró que el círculo de nueve puntos es inscrito al triángulo y que tres círculos

circunscritos rodean al triángulo. Estos resultados aparecen en su papel de trabajo de 1822, y es en virtud de este artículo en el que se basa la fama

de Feuerbach. Él escribió en este papel de trabajo lo siguiente:

El círculo que pasa por las bases de las alturas de un triángulo toca a los cuatro círculos que son tangentes a los tres lados del

triángulo; internamente es tangente al círculo inscrito y externamente tangente a cada uno de los círculos que tocan externamente

los lados del triángulo.

El círculo de nueve puntos que aquí se describe también había sido descrito en trabajos de Brianchon y Poncelet un año antes que el papel de

Feuerbach apareciera. Sin embargo John Sturgeon Mackay hace notar en la referencia [5] lo que Feuerbach dio:

... la primera enunciación de esa interesante propiedad del círculo de nueve puntos.

Es decir que “es internamente tangente al círculo inscrito y externamente tangente a cada uno de los círculos que tocan los lados del triángulo

externamente”. El punto donde el círculo inscrito y en el círculo de nueve puntos toca, ahora se llama el punto de Feuerbach.

Feuerbach comprometió aún más su investigación matemática. Envió una nota desde Ansbach a la revista Isis (fechada 22 de octubre de 1826)

titulada: Einleitung zu dem Werke Analysis der dreyeckigen Pyramide durch die Methode der Coordinaten und Projectionen. Ein Beytrag zu der

analytischen Geometrie von Dr. Karl Wilhelm Feuerbach, Prof. d. Math. (Introducción al análisis de la Pirámide triangular, por medio de los métodos

de coordenadas y proyecciones. Un estudio de geometría analítica por Dr. Karl Wilhelm Feuerbach, profesor de matemáticas). Esta nota anunciaba

resultados que debían aparecer completos en una publicación posterior y efectivamente se hizo en un folleto de 48 páginas: Grundriss zu

analytischen Untersuchungen der dreyeckigen Pyramide (Fundamentos de la teoría analítica de la Pirámide triangular) publicado en 1827. Esta es

la segunda gran obra de Feuerbach y fue estudiada cuidadosamente por Moritz Cantor quien descubrió que en este trabajo Feuerbach introduce

las coordenadas homogéneas. Por lo tanto debe ser considerado como el co-inventor de las coordenadas homogéneas desde Möbius, en su obra

Der barycentrische Calcul, también publicada en 1827, donde introdujo las coordenadas homogéneas en geometría analítica.

Referencias.-

1. L Guggenbuhl, Biography in Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990).

http://www.encyclopedia.com/doc/1G2-2830901415.html

Libros:

2. M Cantor, Karl Wilhelm Feuerbach, Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie der Wissenschaften25 (1910).

3. L Feuerbach, Anselm Ritter von Feuerbach's Biographischer Nachlass (Weber, Leipzig, 1853).

Artículos:

4. L Guggenbuhl, Karl Wilhelm Feuerbach, Mathematician, The Scientific Monthly 81 (1955), 71-76.

5. J S Mackay, History of the nine point circle, Proc. Edinburgh Math. Soc. 11 (1892), 19-57.

Versión en español por R. Ascanio H. del artículo en inglés de J. J. O’Connor y E. F. Robertson sobre “Karl Feuerbach ” (Noviembre 2010).

Fuente: MacTutor History of Mathematics. [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Feuerbach.html]


Aportes al conocimiento

RRaazzoonnaammiieennttoo NNuumméérriiccoo:: EEjjeerrcciicciiooss ((SSeerriiee GG))

A continuación, seguimos con la publicación sucesiva de una serie de ejercicios resueltos con la finalidad de mostrar representaciones de razonamientos numéricos que posiblemente se suceden cuando un estudiante es retado con algún tipo de situación problemática, contextualizada a la matemática.

Ejercicio No

1:

El abuelo de Juan fue niño la sexta parte de su vida y adolescente una doceava parte. Seguidamente estudió pregrado y postgrado universitario

una séptima parte. Pasado esto, cinco años más tarde obtuvo un Doctorado en Educación. Siendo ya Doctor, siguió trabajando un tiempo

equivalente a la mitad de lo que ha vivido hasta ahora y ya han pasado cuatro años desde que decidió jubilarse. ¿Qué edad tiene el abuelo de

Juan?

Razonamiento:

La información que se tiene:

“Fue niño la sexta parte de su vida”: 6

x

“Adolescente una doceava parte”: 12

x

“Estudió pregrado y postgrado una séptima parte”: 7

x

“Pasado esto, cinco años más tarde obtuvo un Doctorado en Educación”: 5

“Siendo ya Doctor, siguió trabajando un tiempo equivalente a la mitad de lo que ha vivido hasta ahora”: 2

x

“ya han pasado cuatro años desde que decidió jubilarse”: 4 Edad del abuelo de Juan: x

La solución se obtiene resolviendo la siguiente ecuación:

xxxxx =+++++ 42

57126

Luego:

849

756

7569

7569

7568475

8475675

84336424201271484

3364242012714

==

=−=−

−=−=+

=+++++

=+++++

x

x

x

xx

xx

xxxxx

xxxxx

El abuelo de Juan tiene actualmente 84 años de edad.


Ejercicio N

o 2:

Dos niñas jugaban y el collar de cuentas de una de ellas se rompió. Una sexta parte cayó al piso. Una quinta parte quedó sobre la mesa del

comedor. Una de las niñas recogió una tercera parte. La otra recogió una décima parte. Si seis cuentas quedaron entrelazadas, ¿Cuántas cuentas

son en total?

Razonamiento:

La información que se tiene:

“Una sexta parte cayó al piso”: 6

x

“Una quinta parte quedó sobre la mesa del comedor”: 5

x

“Una de las niñas recogió una tercera parte”: 3

x

“La otra recogió una décima parte”: 10

x

“Seis cuentas quedaron entrelazadas”: 6

Número total de cuentas: x

La respuesta la da la resolución de la siguiente ecuación:

306

180

6180

2430180

301803106530

18031065

610356

=

=

=−=

=++++

=++++

=++++

x

x

x

xx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

El número total de cuentas es 30.

En el próximo número, la siguiente serie.


VVeerrssiióónn Del libro ““HHiissttoorriiaa yy FFiilloossooffííaa ddee llaass MMaatteemmááttiiccaass””.. Autor: Ángel Ruiz Zúñiga.

(Vigésima Cuarta Entrega)

ÁNGEL RUIZ ZÚÑIGA, matemático, filósofo y educador nacido en San José, Costa Rica. Campo de investigación: educación matemática, historia y filosofía de las

matemáticas, filosofía política y desarrollo social, sociología e historia de las ciencias y la tecnología, problemas de la educación superior, y asuntos de la paz

mundial y el progreso humano. Autor de numerosos libros y artículos académicos, expositor y conferencista en más de un centenar de congresos internacionales,

y organizador constante de eventos científicos internacionales y nacionales, ha sido, también, consultor y asesor en asuntos científicos, académicos, universitarios

y políticos durante muchos años dentro y fuera de Costa Rica.

Continuación.-

Séptima Parte: FILOSOFÍA Y FUNDAMENTOS DE LAS MATEMÁTICAS.-

Capítulo XXIV: Racionalismo y Matemáticas en la Modernidad.-

En Europa, después de la caída definitiva de Roma y después de los siglos de oscurantismo medieval, las ideas van a tener impresas un sesgo teológico: la premisa antigua del mundo explicable a través de la matemática se transformó en la idea de la creación (por Dios) de la naturaleza con un orden interior matemático. Esto sería un telón de fondo relevante para muchas de las reflexiones que se dieron en torno a la naturaleza de las matemáticas. Pero vayamos a la filosofía de las matemáticas, eso sí, desde un punto de vista general.

24.1 Un panorama general.-

Ya hemos visto cómo para la ciencia, en especial la física, el siglo XVII fue decisivo en los aspectos metodológicos. Fue un momento clave que afirmó un énfasis en la indagación empírica y, también, en una comprensión cuantitativa y matemática de la realidad, todo en ruptura con premisas ideológicas o filosóficas que habían sido dominantes en la Edad Media. En la filosofía, en el siglo XVII también puede decirse que los asuntos de método fueron dominantes. Hay, claro está, una relación entre los asuntos metodológicos en la ciencia y en la filosofía.

El número de tratados sobre lógica no aumentó con relación al siglo precedente, pero en definitiva el espíritu cambió: para empezar, aparece Descartes con su Discurso del Método, que logró inspirar grandes tratados acerca del pensamiento y de la noción de verdad.

Del siglo XI al XV la historia del pensamiento va a conservar o enfatizar su interés en los problemas teológicos que ya venía discutiendo la Patrística. Es la época de la Escolástica. Aquí hay una relación ente fe y razón, pues la Escolástica va a tratar problemas filosóficos que surgen con ocasión de cuestiones religiosas y teológicas. Puesto de otra manera: los dogmas del cristianismo se buscaron explicar a partir de una explicación racional.

¿Cómo resumir intelectualmente lo que fue la Escolástica? Una específica unidad teológica y filosófica que buscaba integrar la fe cristiana y las concepciones platónicas y aristotélicas de la Antigüedad. Sin embargo, la filosofía medieval o escolástica se construyó en un mundo controlado con mano dura por la Iglesia Católica. Por eso, el pensamiento de esta época estuvo aprisionado por preceptos religiosos, el dogma dominante y por los hombres que lo defendían. Pero, debe subrayarse: usando la hoguera si lo juzgaban necesario para asegurar sus posiciones. Con toda claridad: la Escolástica no fue la expresión de un pensamiento libre. Lo que de creativo pudiera aparecer debe entenderse en un contexto histórico tremendamente oscuro para la evolución de la humanidad y su progreso; un escenario histórico que aparece como resultado de la decadencia del mundo antiguo en Occidente.

En la Edad Media.-

Los tres problemas capitales de la filosofía de la Edad Media se refirieron a: la creación, los universales y la razón. Para el interés de nuestro libro, tal vez lo más significativo de mencionar es la disputa en torno a los universales, que estuvo presente en toda la época escolástica. Los universales son los géneros y las especies y se oponen a los individuos; la cuestión radicaba en saber qué tipo de realidad corresponde a estos universales. Los objetos que se presentan a nuestros sentidos son individuos: este hombre, ese árbol. Los conceptos con que pensamos esos mismos objetos son universales: el hombre, el árbol. Se plantea, pues, el problema de saber en qué medida nuestros conocimientos se refieren a la realidad. Russell lo interpreta así:


"Hasta cierto punto, la teoría de los universales es muy sencilla. En el lenguaje hay nombres propios y adjetivos. Los nombres propios se aplican a cosas o personas, cada uno de los cuales es la única cosa o persona a la cual se aplica el nombre en cuestión. El Sol, la Luna, España, Napoleón son únicos; no son un número de ejemplos de cosas a los que se aplican estos nombres. Por otro lado, las palabras como gato, perro, hombre se aplican a muchas cosas diferentes. El problema de los universales trata del significado de tales palabras, y también de adjetivos como blanco, duro, redondo, etc. [Russell, Bertrand: Historia de la filosofía occidental, Tomo I, p. 184].

Bajo el influjo de la época renacentista y de la escolástica se constituye el descubrimiento de la "razón matemática'', en nuestra opinión uno de los fundamentos del Racionalismo moderno. Durante el siglo XVI y el XVII se construyen los grandes sistemas racionalistas en la física y en la filosofía. En la física con Galileo y Newton. En la filosofía, podemos decir que con Descartes, Spinoza y Leibniz. Pero empecemos con el Empirismo.

El Empirismo.-

Desde el siglo XVI y hasta el XVIII se desarrolló en Inglaterra una filosofía con caracteres propios, definidos y distintos: el Empirismo. Esta aproximación exhibía una preocupación menor por las cuestiones rigurosamente metafísicas y más por la teoría del conocimiento y, también, por otra parte, por la filosofía del Estado. Metodológicamente, frente al Racionalismo apriorístico y matemático la filosofía inglesa afirmó un empirismo sensualista que subraya la experiencia sensible en la construcción del conocimiento.

El empirismo tuvo un papel relevante en la constitución intelectual del mundo moderno. Sin duda, el rescate y la ampliación de las tradiciones que enfatizaban la experiencia sensorial y la confrontación práctica en el conocimiento fueron esenciales para el devenir de la ciencia y la configuración de una nueva sociedad.

Lo más importante con las ideas empiristas de ese siglo fueron: una crítica de la facultad de conocer (que en algunos casos fue llevada hasta el escepticismo), la tolerancia, los principios liberales y, como reacción práctica contra el escepticismo metafísico, una filosofía del "sentido común”. También, la moral utilitaria y el pragmatismo forman parte de este escenario intelectual.

El siglo XVII.-

El siglo XVII fue un momento decisivo para la historia del pensamiento y de la sociedad. En su justa proporción, además del Empirismo, el mismo pensamiento escolástico, el método cartesiano y la contraposición "continental'' al Empirismo inglés, deben interpretarse bien para comprender mejor el pensamiento del siglo XVII.

Podemos decir que la Modernidad de Descartes, en buena parte, consistió en la utilización del modelo matemático en la filosofía: las matemáticas van a constituir la certeza de su método. El modelo matemático con Descartes adquiere un alcance que se puede juzgar como revolucionario: inaugura una racionalidad que trata de colocarse por encima de las limitaciones del Empirismo y de una metodología e ideología dominantes basadas en convenciones verbales y en la autoridad.

Antes de Descartes, por ejemplo en la tradición platónica y aristotélica, las ideas o esencias estaban fuera del ser humano. Con Descartes, la idea verdadera va a ser innata, inmanente al ser humano; es más: procede del interior del hombre mismo, aunque, ya con precisión, de su pensamiento. Si se quiere, hay una humanización de las ideas. De hecho, puesto todo en contexto histórico, ésta es una dimensión muy progresiva del Racionalismo.

La filosofía que elaboró Descartes abandonó el terreno de la teología filosofante de la Edad Media para dar paso a un nuevo concepto del individuo: un ser pensante por naturaleza, pero, también, se enfrentó al empirismo sensualista británico simultáneamente. En el mismo sentido, el pensador "moderno'' de esta época no es ya un escolástico, pero le resultará difícil y hasta "peligroso'' abandonar la importancia del concepto de Dios para la justificación y veracidad de su pensamiento.

¿Teología en la Modernidad? Bueno, así fue. La Europa del siglo XVII era aún profundamente religiosa, por lo que era difícil establecer ningún sistema importante que no hiciera de Dios garantía de la verdad, ya fuese por su bondad, como sucede en Descartes, o ya sea por necesidad lógica, como sucede en Spinoza o Leibniz.

Sin embargo, las cosas cambiaron radicalmente, a pesar del ropaje religioso. La idea de Dios fundada en los dogmas y la teología de la Escolástica va a ser suplantada por la idea de la importancia de la razón humana y la naturaleza. Dios pasa a ser, apenas, una condición necesaria para la conquista de la verdad dentro del nuevo método.

Durante el siglo XVII debemos señalar tres elementos relevantes: Descartes y la implantación de su método, con el uso del modelo matemático y la noción de ideas innatas; Spinoza y su sistema metafísico a partir de la definición constructiva de los geómetras; Leibniz y la búsqueda de un método de combinatoria algebraica en el pensamiento para todas las ciencias. Y, con Leibniz también, para las matemáticas, una asociación estrecha entre matemáticas y lógica, que sería retomada a finales del siglo XIX en los planes de fundamentación de las matemáticas.

Es evidente que no sólo en la especulación pura vamos a encontrar substrato para la acción del pensamiento. Como hemos reseñado ya, el siglo XVII fue relevante por la revolución científica y matemática. Estas circunstancias no estuvieron desligadas de filosofía y metafísica. También, no está de más subrayar que tanto Descartes como Leibniz contribuyeron sustancial y directamente a esta revolución que luego incluirá geometría de coordenadas y cálculo infinitesimal. La filosofía de la Modernidad está íntimamente ligada a la revolución matemática y científica de los siglos XVII y XVIII.

El Racionalismo.-

Nos repetimos: para los grandes pensadores racionalistas del siglo XVII, el método de las matemáticas resultaba el mejor y más seguro camino para buscar y para enseñar la verdad. Es decir, había que introducir en la investigación y la exposición de las ciencias, el método de demostración de las conclusiones por medio de definiciones, postulados, axiomas; todo inmerso en un edificio de rigor racional. Las definiciones, en efecto, son vistas como explicaciones de los términos y nombres que designan las cosas que serán tratadas. Se trata de los postulados y los axiomas o nociones comunes al espíritu: proposiciones tan claras y distintas que nadie que haya comprendido correctamente las palabras puede negarse a darles su verdad.

El método geométrico-axiomático fue tomado por Descartes y Spinoza como fundamento para asentar el conocimiento.

No obstante, como analizaremos después, ese método es el de la geometría clásica griega, que no es más que uno de los componentes de las disciplinas matemáticas, como pudimos apreciar en la parte histórica de este libro.


Más aún, algo decisivo, se coloca la fuente de la verdad en la mente, por eso las matemáticas son vistas como la clave, y no la observación, la experiencia sensorial, la indagación empírica. El mundo aquí sigue siendo geométrico, y se accede a él por la introspección. No se puede negar aquí la influencia de la ideología o filosofía racionalista de los antiguos griegos.

Vamos ahora a considerar con algún detalle las ideas de Descartes y Leibniz y trazaremos apenas unos trazos de Spinoza. Luego, finalmente, iremos a estudiar algunas de las ideas de Kant, ya en el siglo XVIII. El conjunto de las ideas por estudiar nos permitirá describir los rasgos fundamentales de la filosofía de las matemáticas previa al siglo XIX y a la época que más nos interesa entrar, aquella que se suele denominar la de los "fundamentos de las matemáticas'', entre el último tercio del siglo XIX y el primero del siglo XX.

Como usted sabe, los dos primeros filósofos los hemos encontrado varias veces a lo largo de este libro, debido a sus importantes contribuciones matemáticas. Sus aportes metodológicos, especialmente en el caso de Descartes, ya los hemos reseñado. Y nadie podría dudar de su trabajo revolucionario tanto en las matemáticas como en la visión mecanicista que aportó. Sin embargo, ahora necesitamos ir a la reflexión más general, la filosófica, para realizar una valoración más profunda, y con un énfasis (o vocación) más bien en ideas que luego serán relevantes.

24.2 Descartes.-

Nadie se atrevería a dudar del papel jugado por Descartes en las matemáticas: la geometría analítica, cuya paternidad también debe dársele a Fermat, resultó esencial para la constitución del Cálculo y, por ende, de la matemática moderna. Pero Descartes fue, sobre todo, un filósofo que tuvo mucha proyección, y en cuyo pensamiento se nota una profunda influencia de las matemáticas y de las ideas que sobre ésta se tienen en su tiempo. Vayamos ahora a estudiar los aspectos generales de su método.

El método en la filosofía.-

Descartes afirmaba la posibilidad de establecer un método que nos pueda conducir a un conocimiento profundamente nuevo de la verdad de las cosas. Este se basaba en el "método de los matemáticos”. ¿Cuál es ese método? Ya veremos. En su Discurso del método dice:

"Encontraba placer sobre todo con las matemáticas, a causa de la certeza y evidencia de sus razones; pero yo no notaba aún su verdadero uso y... me extrañaba de que, siendo sus cimientos tan firmes y tan sólidos, no se hubiera construido sobre ellos nada más levantado”. [Descartes, R.: Discurso del método, p. 18].

DESCARTES, ESTAMPILLA.

Esto es lo central.

Para Descartes, las ideas que surgen de la experiencia sensible no expresan la verdadera naturaleza de las cosas. Los sentidos siempre nos pueden engañar. Por eso propuso ir a las ideas internas, innatas, que no admiten duda. Estas ideas innatas, sin embargo, van a traer consigo el descubrimiento de verdades garantizadas, solo que por medio de Dios. Critica a los empiristas por no salirse de los sentidos. Afirmaba Descartes: "... en el sentido (...) la idea de Dios y del alma no han estado nunca”. Esos filósofos a los que critica "...no elevan nunca su espíritu más allá de las cosas sensibles... y todo lo que no es imaginable les parece no ser inteligible”. [Descartes, R.: Discurso del método, p. 50].

Descartes intentará reducir los datos de la experiencia a las ideas claras de la razón, de la mente. Y para eso propuso acudir a lo que cree son las matemáticas. ¿Por qué? Para él, los matemáticos han establecido ya que existen medios para demostrar cómo un movimiento engendra una verdad de otra; es decir, nuestra razón logra justificar la naturaleza, su verdad, puesto que comprendemos sus leyes.

¿Qué es verdadero? ¿Cómo establecer que una idea o proposición o teoría sea verdadera? Se requieren criterios de verdad. Podría ser la recurrencia a la experiencia sensorial, como en el Empirismo. Pero no. ¿Qué planteaba Descartes? Decía que el criterio de verdad se establece a partir de las ideas claras y distintas que están en el espíritu y la aplicación de su método. ¿Cómo se logra el conocimiento de la verdad? La primera regla:

"1) ... no aceptar nunca ninguna cosa como verdadera si yo no la conociera ser tan evidentemente, es decir, evitar cuidadosamente la Precipitación y la Prevención; y no incluir en mis juicios nada más que lo que se presente tan clara y distintamente a mi espíritu que no tuviese ninguna ocasión de ponerlo en duda”.'[Descartes, R.: Discurso del método, p. 30].

Entonces, para Descartes existen proposiciones cuya verdad se impone al espíritu, como, por ejemplo, el llamado cogito: "Yo pienso, luego existo”. Hay una razón que permite determinar lo verdadero de lo falso sin salirse de sí mismo, se logra concebir ideas sin necesidad de recurrir al cuerpo sensorial.

¿Cómo es eso? Descartes dice que esa mirada del espíritu sobre las nociones que le son inmediatamente presentes es la intuición. Pero: ¿cómo afirmar aquí la certeza? Esta no podrá engañarnos siempre que sea clara y distinta. Entonces: la verdad nos es dada y debemos comprobarla en nosotros mismos. Repetimos: la verdadera experiencia es interior y no exterior al espíritu. Aquí está la clave.

En Descartes, al considerarse ideas complejas, se debía partir primero de las ideas simples, para constituir de nuevo las ideas complejas. Este tipo de deducción lleva en sí dos momentos principales: el análisis y la síntesis. Recuérdese cómo en matemáticas a veces se parte de los resultados por demostrar, y por medio de la deducción se trata de llegar a proposiciones más simples que se saben verdaderas. Un método clásico de demostración.

El análisis de Descartes se apoya en la enumeración de todos los objetos conocidos o desconocidos, que se designan mediante símbolos.

Todo lo anterior se expresa precisamente en la segunda regla de su método:

"2)... dividir cada una de las dificultades que examinaría en tantas parcelas como se pudiera y fuera requerido para resolverlas mejor”.

Y la tercera:

"3)... conducir ordenadamente mis pensamientos comenzando por los objetos más sencillos y más fáciles de conocer, para ascender, poco a poco, como por grados, hasta el conocimiento de los más complejos; e incluso suponiendo un orden entre los que naturalmente no se preceden unos a otros”. [Descartes, R.: Discurso del método, p. 30].


¿Qué es el análisis? Su objeto es investigar en una verdad o una realidad particular los principios de los cuales se deriva, los principios de donde se deduciría por síntesis.

Aquí se define la naturaleza de la deducción en Descartes, con toda precisión. La intuición es la única manera de conocer. Es preciso entonces, que la deducción sea una intuición continua, es preciso que pasemos de una intuición a otra nueva por la intuición de su relación.

La cuarta regla de su método es:

"... hacer en todo enumeraciones tan completas y revisiones tan generales que estuviera seguro de no omitir nada”. [Descartes, R.: Discurso del método, p. 30].

Sólo la intuición intelectual capta los vínculos necesarios entre los términos para guiar el progreso de la inferencia. Por eso, la enumeración, dentro del análisis, desempeña una segunda función en el proceso deductivo, que consiste en controlar la continuidad en la cadena de los razonamientos. Bajo este método, la totalidad de nuestros conocimientos exige que éstos se sigan unos a otros, de la misma manera en que se siguen los términos conocidos de los desconocidos en una ecuación matemática.

Así, pues, tenemos que la reducción del conocimiento a verdades innatas es similar a una forma axiomática. La teoría del conocimiento de Descartes está basada en principios tan claros y distintos que no necesitan explicación: su veracidad está garantizada por Dios, que crea todas las cosas, las esencias y las existencias, "las verdades eternas'' que gobiernan el universo y regulan nuestra razón.

Para Descartes:

"... nuestras ideas o nociones siendo cosas reales y que provienen de Dios en todo aquello en que son claras y distintas, no pueden ser en esto sino verdaderas''. [Descartes, R.: Discurso del método, p. 51].

Más aún: era preciso, por necesidad,

"que hubiese algún otro más perfecto del cual yo dependiera y del cual yo hubiese adquirido todo lo que yo tenía”. [Descartes, R.: Discurso del método, p. 48]

El llamado cogito cartesiano: "pienso, luego existo'', es el principio y modelo para establecer una evidencia indudable. Es la coincidencia entre el acto de pensar y el yo. "Veo muy claramente que para pensar hay que ser'', concluye Descartes.

El mundo en Descartes.-

¿Cómo analiza el mundo? Con un método semejante. El mundo está determinado en Descartes por la extensión. Además de la Sustancia Infinita que es Dios, aparecen las dos sustancias finitas: la sustancia pensante (el hombre) y la sustancia externa (el mundo).

Según Descartes, los cuerpos existen en cuanto extensos y la idea clara de la extensión es concebida en nuestro entendimiento, con la misma certeza que en las matemáticas. Además: donde hay extensión hay materia.

De hecho, Descartes recurre a las extensiones geométricas para identificarlas con la materia física. Las cosas materiales (las figuras, los tamaños y los movimientos) se diversifican entre sí en el entendimiento según las reglas y principios de la geometría y la mecánica. Ya retomaremos esto.

Para Descartes su método es un instrumento de aplicación universal. Todos los conocimientos especiales pueden generarse a partir de éste. Bien señala Cassirer:

"Lo mismo que todos los números brotan de una operación exactamente determinada, que es la numeración, todos los conocimientos especiales se obtienen y solo pueden obtenerse por medio del 'método'; y así como aquí el camino conduce a lo limitado, aunque la dirección del progreso aparece trazada de antemano de un modo preciso e inequívoco, así también, sin cerrarnos a la plenitud infinita de la experiencia, debemos aspirar a dominarla por medio de un plan y un bosquejo fijo y predeterminado del pensamiento”. [Cassirer, E.: El problema del conocimiento, p. 476].

¿Y la experiencia sensorial? Descartes no niega la intervención de la experiencia, solo que ésta aparece en un plano diferente: la dirección viene establecida por el método. Se contrapone al Empirismo, pero no para eliminar la experiencia, sino para ponerla en otra posición.

Matemáticas y metafísica.-

Uno de los problemas con el enfoque de Descartes con esta metodología matematizante es que se introducen premisas metafísicas aparte del reduccionismo axiomático. Como un todo, sin embargo, el énfasis en el valor de la matemática resulta muy importante, debido al relevante papel de las matemáticas en la construcción del conocimiento moderno.

¿Juegan las matemáticas y la metafísica papeles importantes en la definición del método cartesiano? Sí, sin duda. Las matemáticas, el álgebra y la geometría, definen un modelo epistemológico que enfatiza la deducción. Una primera característica. Pero, además, la metafísica sirve para justificar la aplicación o introducción de los conceptos matemáticos en la realidad. Descartes usa la metafísica para darle validez a su método y para, dentro de su esquema epistemológico deductivo, justificar la verdad de sus axiomas y primeros principios. Si abstraemos la metafísica, tenemos simplemente el modelo de las matemáticas, tal y como era concebido por él.

Si se le "perdonan'' a Descartes sus extrapolaciones y la presencia metafísica, su método, como valoración del espacio y posibilidades de las matemáticas, aporta considerablemente a la definición de la ciencia moderna. Es necesario reconocer -lo que en la tradición empírico-positivista no ha sido el caso normalmente- el valor epistemológico de las ideas cartesianas.

Hay que colocarse en el escenario histórico que vivió este filósofo y matemático. Descartes devuelve a la razón humana un papel que los escolásticos habían reducido a la interpretación del verbo divino. No es éste ya mero receptor, sino que actúa de manera activa, aunque el fundamento sea mental y no esencialmente empírico. Descartes se separa del "apriorismo'' escolástico, aunque, ya en análisis profundo, contribuye a edificar un apriorismo de nuevo tipo.


Es nuestra opinión que las tendencias dominantes en la filosofía de las matemáticas han sido heredadas de este tipo de apriorismos que en la Modernidad se vieron apuntaladas por este esquema cartesiano.

Existen en Descartes ideas que encierran contradicción. Bien señala Russell:

"Hay en Descartes un dualismo no resuelto entre lo que lo aprendió de la ciencia contemporánea y el escolasticismo que le enseñaron en La Flèche. Esto le llevó a contradicciones, pero también le hizo más rico en ideas fructíferas de lo que hubiera podido haber sido un filósofo completamente lógico”. [Russell, B.: Historia de la filosofía occidental, Vol. II, p. 190].

Incluso, a pesar del valor que le daba a las matemáticas, y lo que entendía era su método, Descartes consideraba a las matemáticas como un método más que una ciencia. Mason informa:

"Descartes no se sentía atraído por la antigua idea pitagórica de que las consideraciones matemáticas determinaban la estructura del universo, la idea de que los perfectos cuerpos celestes deben poseer la forma perfecta de la esfera y de que sus movimientos deben ser circulares y uniformes. Para Descartes son consideraciones mecánicas las que determinan la forma y movimiento de los cuerpos celestes y ciertamente, de todas las operaciones de la naturaleza. Consideraba a las matemáticas como un instrumento metodológico, sintiendo muy poca simpatía por la actitud de los matemáticos puros. 'Nada hay más fútil que ocuparse de meros números y figuras imaginarias', escribía. Como Bacon, consideraba que los proyectos utilizados constituían un fin importante de la ciencia”. [Mason, Stephen F.: Historia de las ciencias. La Revolución Científica de los siglos XVI y XVII. Madrid, p. 60].

Es necesario, como decíamos arriba, saber extraer las premisas metafísicas e inútiles, de las ideas originales y valiosas que han servido para progresar en la aventura del conocimiento y la ciencia.

Resumiendo: Descartes configuró buena parte de la aproximación racionalista en la epistemología, con base en una traslación de los criterios de verdad de la correspondencia con el ser (Aristóteles y escolásticos) a los de rigor, claridad y distinción de las ideas. Es decir, bastaba el análisis de las ideas en sí mismas (reduciéndolas a nociones más simples) para saber acerca de su verdad y falsedad. El recurso a la experiencia empírica, por otro lado, estaba descartado. Y, finalmente, su filosofía asumió y apuntaló una visión axiomática de las matemáticas.

Todas estas ideas apuntalan, también, la afirmación de que existe un mundo fuera de los sentidos y sus percepciones, que es más importante. Para el Racionalismo las matemáticas son una palanca decisiva. Esto lo consigna, por ejemplo, Russell:

"Creo que la matemática es la fuente principal de la fe en la verdad eterna y exacta y en un mundo suprasensible e inteligible. La geometría trata de círculos exactos, pero ningún objeto sensible es exactamente circular; por muy cuidadosamente que manejemos el compás, siempre habrá imperfecciones e irregularidades. Esto sugiere la idea de que todo el razonamiento exacto comprende objetos ideales, en contraposición a los sensibles; es natural seguir adelante y argüir después que el pensamiento es más noble que los sentidos y los objetos de la idea más reales que los que percibimos por los sentidos. Las doctrinas místicas respecto a la relación del tiempo con la eternidad también se apoyaron en las matemáticas puras, porque los objetos, como los números, si son reales, son eternos y no colocados en el tiempo. Estos objetos eternos pueden ser concebidos como pensamientos de Dios. De allí se deriva la doctrina de Platón de que Dios es un geómetra, y la de sir James Jeans de que Dios ama la aritmética. La religión racionalista en contraposición a la apocalíptica ha sido completamente dominada desde Pitágoras y, sobre todo, desde Platón, por las matemáticas y sus métodos”. [Russell, Bertrand: Historia de la filosofía occidental, Tomo I, p. 56].

Hemos reseñado la influencia de las matemáticas en la filosofía, más bien una visión de éstas sobre la filosofía; ahora vamos a algunas de sus ideas precisas sobre las matemáticas.

Sobre las matemáticas.-

Para Descartes la matemática era la esencia de la ciencia.

Como ya lo hemos mencionado, Aristóteles afirmaba tres postulados en las ciencias deductivas o demostrativas: el postulado de la deductividad, el de la evidencia, y el de la realidad.

El primero afirma que una ciencia demostrativa se basa en un número de principios; entre ellos hay conceptos primitivos y verdades primitivas. Los conceptos se deben definir por medio de los conceptos primitivos y las verdades deducidas lógicamente de las verdades primitivas.

El de la evidencia señala que los conceptos primitivos deben ser tan claros que no se requiera ninguna definición; igual con los axiomas, son tan evidentes que los aceptamos como verdaderos sin demostración.

El postulado de la realidad exige que tanto los conceptos como las verdades se deben dirigir a entidades de la realidad.

Del modelo aristotélico, Descartes afirmaba la deducción y la axiomática, pero también la intuición.

Para Descartes, los conceptos de la matemática fueron puestos por Dios, son innatos. Es este el puente entre la deducción y la intuición. Los primeros principios fueron puestos por Dios y son absolutamente intuitivos, el resto en matemáticas es deductivo, aunque la deducción requiere de una intuición particular.

A pesar del valor que le otorgaba a las matemáticas, Descartes señalaba que el silogismo lógico no bastaba para producir la ciencia o para asegurar el razonamiento matemático. Dice en su Regla XIV:

"... puesto que las formas del silogismo no sirven para nada en cuanto a percibir la verdad, no será inútil al lector, tras haberlas rechazado completamente, el percatarse de que todo conocimiento que no se adquiere por la intuición pura y simple de un objeto aislado, se adquiere por comparación entre sí de dos o más objetos”.

Buscaba un fundamento mayor; si se quiere, una certeza mayor. Esto es interesante. Lo que Descartes añade es ese reclamo de una intuición. Y no solo la divina como en las ideas innatas, sino una intuición aplicada a un objeto intermedio. Por ejemplo, dice en su Quinta meditación:

"Cuando imagino un triángulo, si bien puede ser que no haya en lugar alguno del mundo, salvo en mi pensamiento, semejante figura, y que no la haya habido jamás, no por ello deja de haber cierta naturaleza, forma o esencia determinada de esta figura, la cual es inmutable y eterna, que yo no la he inventado y que no depende de modo alguno de mi espíritu; según aparece del hecho de que se puedan demostrar propiedades diversas de tal triángulo, a saber, que sus tres ángulos son iguales a dos rectos, que el ángulo mayor se apoya en el lado mayor, y otras semejantes, las cuales, quiéralo yo o no, reconozco ahora muy clara y evidentemente que están en él, por más que anteriormente no haya pensado en ellas de modo alguno... ''.


Descartes, establecía la necesidad de una "contemplación'' de un objeto individual a la hora de realizar las conclusiones matemáticas. Es decir, el razonamiento matemático no está desprovisto de un objeto, que en su caso, como señala Beth, es del mismo tipo que emerge al referirse a un triángulo, "la esencia del triángulo''. Este objeto individual, es necesario en tanto la intuición necesita objetos particulares para actuar.

Aquí es necesario establecer una conclusión, que nos servirá para distinguir el pensamiento de Descartes. La intervención de la intuición en el razonamiento matemático establece una óptica diferente a la de la simple "deducibilidad'' lógica. Lo que conecta el edifico piramidal y axiomático es un conjunto de intuiciones y no la silogística. Se trata de un intuicionismo a priori que luego Kant va a continuar.

El postulado de la experiencia, ya puede usted concluirlo, no se afirma aquí, puesto que Descartes no le reconoció valor.

Una matemática universal.-

Descartes afirmaba, también, la idea de una matemática universal: un ideal esencial que resulta determinante para la ciencia y el conocimiento. Esta mathesis refiere a una combinación de álgebra, geometría y lógica. Como señala Cassirer:

"La lógica y la teoría de las magnitudes deben combinarse y unirse, para crear el nuevo concepto de la matemática universal. Esta nueva ciencia toma de la lógica el ideal de la construcción rigurosamente deductiva y el postulado de los primeros fundamentos 'evidentes' de la argumentación, al paso que determina el contenido que a estos fundamentos debe darse tomando como modelo la geometría y el álgebra”. [Cassirer, E.: El problema del conocimiento, p. 454].

Esta matemática universal tendrá un alcance diferente con relación a que se considere el conjunto de la obra filosófica o cosmológica de Descartes o solo la parte estrictamente matemática. Brunschvicg dice:

"Queda por conocer cuál es exactamente, tomándolo en sí mismo, el alcance de esta matemática universal (...); la respuesta será diferente, según se considere la obra de Descartes en la filosofía general, es decir, la extensión del método matemático a la universalidad de problemas cosmológicos, o que se detenga únicamente a la obra que Descartes realiza en el dominio propio de la matemática por la reducción de los problemas de la geometría a los problemas del álgebra”.' [Brunschvicg, Leon: Les etapes de la philosophie mathematique, p. 107].

Se puede afirmar que la mathesis universalis cartesiana se reduce a una extensión de los métodos geométricos a los problemas de las ciencias.

La palanca teórica que utiliza es la redefinición del espacio en términos de extensión y proporción, como señala Gerd Buchdahl:

"El tema de que la extensión y comparaciones entre extensiones es la materia propia de la ciencia, ha sido previamente abordado más ampliamente en Regulae XII y XIV”.' [Buchdahl, Gerd: Metaphysics and the Philosophy of Science, p. 85].

Más aún:

"... es siempre el criterio general de la relación y la proporción el que sirve de punto de partida y de criterio de unidad. Por tanto, una ciencia pura de las 'relaciones' y 'proporciones' -independientemente de la propia peculiaridad de los objetos en que se expresen y tomen cuerpo- y la meta primera a que tiende el método”. [Cassirer, E.: El problema del conocimiento, p. 454].

El establecimiento de proporciones es la base de la medición espacial; es esto lo que quiere decir cuando se refiere a la extensión.

Para Descartes, la extensión es un elemento constitutivo de la esencia de la matemática universal, pero también lo es el "orden'', y, con relación al espacio, también la "dimensión'. La matemática universal de Descartes toma como punto de partida las ideas "claras y distintas'' de extensión y orden.

La reducción cartesiana a la extensión, sin embargo, no es una observación empírica. Se trata de una premisa metafísica frente al mundo. A través del cristal de lo "extenso'' el mundo va a poder ser desentrañado teóricamente por las reglas de la geometría. Se trata de hacer encajar el esquema a priori de las reglas geométricas. Este es un método clásico escolástico:

"... de sostener que un tratamiento científico exitoso de la naturaleza presupone su ser considerado bajo el aspecto de la extensión, Descartes se introduce en la aserción que la naturaleza (material) es esencialmente equivalente a la extensión, y que esto sólo nos justifica para postular la existencia de la ciencia genuina”. [Buchdahl, Gerd: Metaphysics and the Philosophy of Science, p. 89-90].

La mathesis universalis busca encerrar el conocimiento del mundo en un esquema matematizante. Se trata de englobar la ciencia a partir de lo deductivo matemático.

El mecanicismo cartesiano elevado a cosmología universal es geométrico; es espacial, el movimiento no es fundamental. Esta aproximación va a poseer una gran influencia en el pensamiento occidental.

Su contraposición epistemológica a una metodología empírica de aproximación a lo real influyó extraordinariamente en los siglos pasados. La traslación de los criterios de verdad de la correspondencia con el ser (Aristóteles y escolásticos) a los de rigor, claridad y distinción de las ideas, fue esencial en la construcción del Racionalismo moderno. Y en lo que nos interesa más en este libro, la participación de Descartes en la configuración de la reflexión moderna sobre la matemática no es nada despreciable.

Ahora bien, tanto para las matemáticas como para la ciencia en general, el énfasis racional y axiomático representa una debilidad. Aquí no hay heurística, no hay influjo de la experiencia ni de la práctica sensorial. El modelo de la geometría griega clásica es lo que se ha asumido como paradigma y premisa. Y, si se quiere, se ha asumido buena parte de la herencia de la tradición pitagórico-platónica sobre el papel de las matemáticas como recinto de verdad, certeza, perfección al margen de lo empírico y sensorial. Hay intuición pero es totalmente a priori. En las matemáticas no sería tan problemático como en las ciencias físicas en las que la heurística y la experiencia sensible son los factores decisivos.


24.3 Spinoza.-

BARUCH SPINOZA

Baruch Spinoza desarrolló hasta sus extremos el principio en el que se inspiró la filosofía cartesiana. Adoptó en sus escritos la terminología de Descartes y planteó reformar el entendimiento y hacerlo apto para conocer las cosas "como es debido”.

El encadenamiento de las propiedades derivadas es el encadenamiento causal en lo que tiene de claro y distinto. Como Descartes, afirmaba el papel de las matemáticas: es decir, la geometría. La demostración geométrica tiene valor, por lo tanto, porque representa la verdad deduciéndose y explicándose sin ningún préstamo de las formas específicamente humanas de la conciencia y de la inteligencia; está en que un orden puramente racional, inalterable por el hombre e inviolable por su querer, manifiesta la producción de los seres por el Ser, así como la unión de los espíritus con Dios. Es decir, el método deductivo, su orden, su racionalidad, son el camino que nos asegura la verdad. De nuevo, esto es Racionalismo puro. Aquí no hay heurística, ni experiencia empírica, ni intuición sensorial, etc.

La verdad de una idea está en la manera cómo esta idea es idea y en cómo se dice en su forma, y esto depende únicamente de la naturaleza y de la potencia del intelecto. La cuestión de saber cómo llegamos a formar ideas de cuerpos, nos lleva a considerar las cosas según sus "diferencias, conveniencias y oposiciones”.

Será el trabajo de la razón elevarlas a su verdad a partir del método geométrico. Spinoza trata de plantear una matemática de lo real o de lo concreto. Así, tener una idea verdadera de la elipse es representarse un plano cortando un cono desde cierto ángulo; tener una idea verdadera de un círculo es representarse que una recta de longitud fija gira sobre un plano alrededor de uno de sus extremos, tener una idea verdadera de la palabra es representarse que órganos humanos, dispuestos de cierto modo, imprimen tales movimientos al aire, etc.

Aquí encontramos, entonces, cierto constructivismo geométrico, que posteriormente retomará Kant.

Spinoza no ve otro medio para el hombre de avanzar con certeza en el estudio de las cosas, más que de la manera en que lo hacen los geómetras en el estudio de las figuras y de los sólidos. Intentará que toda certeza se parezca lo más posible a un tratado geométrico, por el orden, el rigor y la claridad de sus demostraciones.

24.4 Leibniz.-

Leibniz aportó ideas diferentes a Descartes y Spinoza. Le tocó vivir varias décadas después de esos filósofos, y mucha agua había corrido ya bajo el puente. Y, además, las matemáticas y las ciencias de su época ya no eran las mismas de antes.

Leibniz no asumió el típico desdén de la Escolástica que caracterizó a los pensadores del Renacimiento y aún se conservó, al menos externamente, en los primeros racionalistas. Usó las ideas aristotélicas, se dedicó intensamente a la matemática y a la nueva ciencia natural, e hizo progresar las matemáticas de un modo extraordinario. Leibniz fue uno de los fundadores de la nueva matemática, que emerge con el cálculo diferencial e integral. Como usted sabe, su notación resultó más útil que la que Newton desarrolló.

Leibniz partió de la situación filosófica que dejaron Descartes y Spinoza. Leibniz fue tal vez el primer idealista en sentido estricto; en Descartes, el idealismo estaba aún impregnado de realismo y de ideas escolásticas, y Spinoza no era propiamente idealista, aunque sí lo sea el marco teórico de su tiempo.

LEIBNIZ, ESTAMPILLA. Para Descartes, como hemos visto, el mundo físico era extensión, y, por eso, algo quieto. La idea de fuerza le era ajena, pues le parecía confusa y oscura e incapaz de traducirse en conceptos geométricos. Descartes creía que la cantidad de movimiento permanece constante. Leibniz afirma que la constante es la fuerza viva, le parece absurda esa física estática, geométrica. Un movimiento para él, no es un simple cambio de posición, sino algo real, producido por una fuerza. Este concepto de la fuerza es lo fundamental de la física y de la metafísica de Leibniz. La idea de la naturaleza estática e inerte de Descartes se sustituye por una idea dinámica. Frente a la física de la extensión, se establece una física de la energía. Leibniz tiene que llegar a una nueva idea de la sustancia. La sustancia metafísica del mundo es para Leibniz la de las mónadas. Las mónadas son sustancias simples, sin partes, que entran a formar los compuestos. Son los elementos de las cosas. La mónada es fuerza, o mejor, fuerza de representación. Cada mónada representa o refleja el universo entero activamente.

Leibniz afirmaba, como buen racionalista, el pensamiento contra la percepción de "los ingleses'' y, frente al ser sensible, lo pensado como la esencia de la verdad.

El sistema monadológico presenta la percepción de las cosas como una categoría ontológica, pues hace referencia a los estados transitorios del proceso de "autodespliegue de la mónada'', y no al resultado de recoger y elaborar los datos proporcionados por los sentidos.

Dos principios.-

Leibniz quería construir un sistema absolutamente racional, es decir, un sistema que lógicamente debe hacer imposible la aparición de las paradojas o contradicciones propias de la filosofía clásica.

En esa dirección, Leibniz distingue dos grandes principios en los que se fundamentan todos nuestros razonamientos: el de "contradicción'' y el de "razón suficiente''.

El primero es aquel "... en virtud del cual juzgamos falso lo que encierra contradicción, y verdadero lo que es opuesto a, o contradictorio con, lo falso''. [Leibniz, G.: Monadología, p. 31].

Este primer principio de contradicción, también es llamado de identidad. Señala que toda proposición idéntica, es decir, aquella en la que la noción del predicado está contenida en el sujeto, es verdadera, y su contradictoria falsa. Por ejemplo, la proposición: "A es A'' es una proposición necesariamente verdadera; además, es verdadera en todos los mundos posibles, puesto que negarla supone caer en contradicción. No es posible que A sea y no sea a la vez.


El principio de contradicción permite, entonces, juzgar como falso lo que encierra contradicción. Gracias a este principio podemos reconocer si una proposición es falsa o es verdadera; esto es importante: nunca podrá ser las dos cosas al mismo tiempo.

El segundo principio:

"... en virtud del cual consideramos que no puede encontrarse ningún hecho verdadero o existente, ni ninguna enunciación verdadera sin que haya una razón suficiente para que sea así y no de otro modo. A pesar de que esas razones muy a menudo no pueden ser conocidas por nosotros''. [Leibniz, G.: Monadología, p. 32].

El principio de razón suficiente es complementario al de contradicción. Se aplica preferentemente a los enunciados de hecho, que se refieren a los entes existentes, sean posibles o actuales.

Este principio de razón suficiente fundamenta toda verdad porque nos permite establecer cual es la condición (razón) de verdad de una proposición. Pero, ya en sentido estricto, el principio de razón se aplica a las proposiciones contingentes, es decir, a las que no excluyen la posibilidad de sus contrarios y enuncian hechos, posibles o actuales (se puede atribuir predicados opuestos al sujeto). La simple atribución de un predicado al sujeto de la proposición contingente no la hace ni verdadera ni falsa; se requiere, entonces de una razón suficiente para que sea de una forma u otra.

Todos nuestros razonamientos, según Leibniz, se basan en estos dos principios: la matemática en el principio de no-contradicción; por el otro, la física en el principio de razón suficiente.

Verdades.-

Con relación a las proposiciones verdaderas, Leibniz hace una distinción entre verdades: razonamiento y verdades de hecho.

Las verdades de razón (razonamientos) son las necesarias y su verdad se fundamenta en el principio de contradicción.

Las verdades de hecho son las contingentes (empíricas) y su verdad se fundamenta en el principio de razón suficiente.

"Hay dos clases de verdades: las de razonamiento y las de hecho. Las verdades de razonamiento son necesarias y su opuesto es imposible, y las de hecho son contingentes y su opuesto es posible''. [Leibniz, G.: Monadología, p. 21].

La verdad de una proposición de razonamiento puede establecerse por análisis (es verdadera si no es contradictoria); es decir, puede establecerse a priori, pero la verdad de una proposición de hecho exige un análisis infinito de causas. Podemos conocer la verdad de una proposición de hecho solamente a posteriori. Las verdades necesarias o son evidentes o pueden reducirse por análisis a otras que lo son. En un sistema deductivo, analizar es demostrar y esto consistiría en verificar una proposición mediante su reducción a otra ya verificada del sistema a que pertenece. ¿Las matemáticas? Por supuesto.

"Cuando una verdad es necesaria, se puede encontrar su razón por medio del análisis, resolviéndola en ideas y verdades más simples hasta que se llega a las primitivas.

Así es como, entre los matemáticos, los teoremas de especulación y los cánones de práctica son reducidos mediante el análisis a las definiciones, axiomas y postulados.

Por último, hay ideas simples de las que no es posible dar definición; también hay axiomas y postulados o, en una palabra, principios primitivos que no podrían ser probados y no tienen necesidad de ello; y estos son las enunciaciones idénticas, cuyo opuesto contiene una contradicción expresa''. [Leibniz, G.: Monadología, p. 32].

Las definiciones, los axiomas y los postulados son los principios primitivos de un sistema deductivo. Los principios primitivos serían entonces proposiciones evidentes por sí mismas, y como tales se conocen por simple intuición (son indemostrables). La evidencia de los axiomas se fundamenta en la comprensión de sus términos, solo las proposiciones idénticas pueden ser llamadas propiamente axiomas pues serían intuitivas (indemostrables).

Leibniz distingue entre axiomas universales y axiomas particulares. Los primeros son axiomas de identidad, es decir, se basan en el principio de contradicción y los segundos son los axiomas reducidos a identidad, es decir, deben ser demostrados. Otra vez las matemáticas.

Para Leibniz, el proceso de conocimiento racional parte de las ideas, de las verdades innatas, es decir, de aquellos principios que pueden ser derivados de la mente a partir de ella misma.

Se opone a la idea de la mente como una tábula rasa, en blanco, que se llena solo a partir de la experiencia. Para Leibniz, el espíritu humano contiene ideas innatas necesarias eternas (como las de la Aritmética y la Geometría) principios innatos ontológicos (como, precisamente, los principios de contradicción y razón suficiente). Las verdades innatas son para él, entonces, aquellas que la mente obtiene de sí misma porque las contiene en sí misma (así por ejemplo las proposiciones lógicas o matemáticas).

En Descartes y Leibniz los criterios de verdad descansan en el tratamiento de las ideas de una forma que encuentra origen en el método de las matemáticas, y no en la contrastación empírica. La razón, usada "apropiadamente'', es la que da valor a las proposiciones del conocimiento. La reducción axiomática exige darle verdad a principios y a los axiomas, esto es lo que obliga a la intervención de la metafísica y, en mitad de un mundo todavía escolástico, a la acción divina. Filosóficamente, Spinoza y Leibniz apuntalan el Racionalismo, y la sobreestimación del papel de la razón en el conocimiento.

Sobre las matemáticas.-

Epistemológicamente, las proposiciones de la matemática son verdades porque son "verdades de razón'', lo que quiere decir, que su negación es lógicamente imposible. Las verdades de la matemática no se refieren al mundo, en donde se exige una relación práctica "material'' con lo real independiente a la conciencia subjetiva, no son "verdades de hecho''.


Las leyes de la matemática y la naturaleza poseen una armonía preestablecida por designio divino. Para Leibniz existía también la conexión divina.

Él pensaba que el conocimiento era innato.

Se colocó, también, en el marco del modelo aristotélico pero no sólo no tomó en consideración un objeto real o la experiencia, sino que tampoco la intuición cartesiana. El postulado de la deductibilidad y la axiomática era lo decisivo.

En la matemática, entonces, de lo que se trata es de la reducción a axiomas "primitivos'' o "idénticos'':

"Por lo demás, hace ya mucho tiempo que he dicho pública y particularmente que tendría importancia demostrar todos nuestros axiomas secundarios, de los que nos valemos ordinariamente, reduciéndolos a axiomas primitivos, o inmediatos e indemostrables, que son aquellos a los que últimamente y en otros lugares he llamado idénticos''. [Leibniz, G. citado por Beth. E. W. en el libro: Piaget, Jean y Beth, E.W.: Epistemología matemática y psicología, p. 51] .

Leibniz estableció con gran precisión el plan general de su proyecto. El programa de Leibniz lo reseña Beth así:

"1) La construcción de una teoría (a la que llamaremos lógica pura) que comprende el conjunto de todas las identidades lógicas; en esta construcción se observarían estrictamente los preceptos de la metodología aristotélica.

2) La definición de los conceptos específicamente matemáticos por medio de los conceptos de la lógica pura.

3) La demostración de los axiomas específicamente matemáticos a partir del conjunto de las identidades lógicas y de las definiciones de los distintos conceptos específicamente matemáticos. La necesidad de alcanzar un nivel especialmente elevado de rigor y de lucidez lleva consigo otro paso previo más, también previsto por Leibniz, que es el siguiente:

4) La construcción de un lenguaje formalizado capaz de servir de medio de expresión para la lógica pura''. [Beth. E. W. en: Piaget, Jean y Beth, E.W.: Epistemología matemática y psicología, p. 53].

Leibniz funde la lógica con la matemática de un plumazo: las reglas lógicas de la no-contradicción, las leyes de la identidad y del tercero excluido..., son las que dan la base de la epistemología matemática leibniziana.

Leibniz proporciona una teoría de la verdad matemática capaz de ser funcional.

Para Leibniz, es, además, necesario buscar una simbolización de los pensamientos; lenguaje que permita luego a través de un cálculo mecánico resolver las discusiones entre los hombres.

Leibniz, por eso, a diferencia de Descartes y Pascal, va a proporcionar un avance a la lógica formal, ayudándola a salir del estrecho marco en la que la había sumergido la escolástica. La construcción de un "Calculus ratiocinator'' fue un proyecto que intentó por lo menos en tres ocasiones, en búsqueda de dar una forma más algebraica a la lógica aristotélica. Señala Bourbaki: "... unas veces conserva la notación AB”.

24.5 Kant.-

Frente a la tradición del Racionalismo continental europeo, la tradición empirista británica tuvo su importancia en la concepción de la reflexión matemática logicista y formalista. Hume cuestionó el valor de las leyes matemáticas de la ciencia, su intemporalidad e inevitabilidad. Negó la deducción como palanca creadora de conocimiento. Para él no había verdad ni en los axiomas ni en los teoremas. Con la navaja de que nada existe aparte de lo que nos es dado inmediatamente en la sensación, Hume fue más allá que Berkeley, desestimando la existencia de un yo permanente aparte de la sucesión de nuestras percepciones internas.

El escepticismo de Hume por la vía del empirismo sensualista, puso en cuestión la posibilidad del conocimiento. Para el Racionalismo, el renacimiento del escepticismo obligaba a buscar respuestas. La búsqueda de ellas ha sido una preocupación constante en la historia de la epistemología moderna.

Para Immanuel Kant no era posible conocer el mundo en sí, el noúmeno, pero sí conocerlo a través de las categorías subjetivas, y, con toda certeza, era entonces posible conocer lo que es puesto por el sujeto. La matemática, decía, se refiere a la forma de la sensibilidad pura y, por tanto, es posible según Kant dar respuesta al escepticismo de Hume. Existe un conocimiento sintético a priori, del que forma parte la matemática y las partes más generales de la física teórica, la relación causa-efecto, etc.

Si Hume se hubiera dado cuenta de esto, según Kant, no hubiera realizado afirmaciones tan destructivas frente a la "Filosofía pura''. La demostración de la verdad de la matemática y la física teórica no se realizaba entonces a través de la experiencia, sino por la vía interior, por intuiciones subjetivas espacio-temporales.

KANT

El papel del sujeto.-

Para Kant, el orden, la racionalidad, que creemos encontrar en lo externo, están dados por lo interno, por el sujeto. La reacción frente al escepticismo no es la afirmación de la realidad exterior y de los mecanismos experimentales del conocimiento, sino la afirmación del sujeto.

Kant, que no deja de sufrir el impacto del empirismo británico, no niega la experiencia. Comienza la Introducción de su Crítica de la Razón Pura así:

"No se puede negar que todos nuestros conocimientos comienzan con la experiencia, porque, en efecto, cómo habría de ejercitarse la facultad de conocer, si no fuera por los objetos que, excitando nuestros sentidos de una parte, producen por sí mismos representaciones, y de otra, impulsan nuestra inteligencia a compararlas entre sí, enlazarlas o separarlas, y de esta suerte componer la materia informe de las impresiones sensibles para formar ese conocimiento de las cosas que se llama experiencia? En el tiempo, pues, ninguno de nuestros conocimientos precede a la experiencia, y todos comienzan en ella''. [Kant, M.: Crítica de la Razón Pura, p. 147].


Pero añade que eso no es todo:

"... pues bien, podría suceder que nuestro conocimiento empírico fuera una composición de lo que recibimos por las impresiones y de lo que aplicamos por nuestra propia facultad de conocer (simplemente excitada por la impresión sensible)''. [Kant, M.: Crítica de la Razón Pura, p. 147].

El conocimiento a priori es aquel independiente de la experiencia. La experiencia sólo se entiende a través de una estructura interior espacio-temporal. Para Kant las leyes de la matemática no son ni parte de lo real exterior ni están puestas por Dios, están en la base de los mecanismos humanos para racionalizar y organizar las sensaciones. El mundo de la ciencia es el de impresiones sensoriales que son arregladas y controladas por la mente en relación con categorías espacio temporales, de causa-efecto, substancia que trae el sujeto. El mundo de lo a priori es decisivo en Kant, y en éste lo sintético a priori: "La vida o muerte de la Metafísica depende de la respuesta a ¿cómo son posibles los juicios sintéticos a priori? ''. [Kant, M.: Crítica de la Razón Pura, p. 160].

En Kant, a diferencia de Leibniz, la matemática no se coloca prioritariamente en el terreno de la derivación de principios lógicos. No es analítica. La matemática es sintética porque exige la intervención de la intuición (espacio-temporal), y a priori en la medida de que es independiente de la experiencia y no exige una actividad sensible inmediata. Nos dice en Prolegómenos:

"Encontramos que todos los conocimientos matemáticos tienen esa propiedad: que deben presentar sus conceptos de antemano en la intuición y, ciertamente a priori; por lo tanto, en una intuición tal, que no es empírica, sino intuición pura, sin cuyo medio no puede dar ni un solo paso''. [Kant, M.: Prolegómenos, pp. 77-78].

Construcción e intuición.-

Las proposiciones matemáticas describen el espacio-tiempo. Pero, además, la descripción del espacio tiempo requiere en Kant la actividad de la construcción. Es necesario darle un objeto a priori a cada concepto matemático. Esta construcción debe hacerse tomando en cuenta el espacio-tiempo perceptual. Es decir, no es construcción aquella que no es susceptible de ser perceptible, realizable. Una esfera de tres dimensiones puede ser perceptible, una de 20 no. Kant introduce la constructibilidad como la posibilidad teórica a priori de una construcción en el espacio perceptible, de la experiencia.

Esta idea sería importante si replanteada se pudiese conectar con una interpretación de la naturaleza de la matemática no subjetiva, que buscase en la construcción de un modelo teórico de lo perceptible la justificación de las teorías matemáticas, asumiendo siempre la experiencia como instrumento último de sanción. Una tal interpretación tendría que considerar la respuesta de: ¿cómo es el espacio-tiempo "perceptible'' para poder construir a priori objetos para los conceptos matemáticos? La solución podría entonces buscarse en el conjunto de resultados y modelos existentes de las ciencias naturales y las posibilidades abiertas por ellos.

La noción de Kant de construcción va unida a la de intuición; hacer matemáticas es construir en la intuición. Kant apunta a la intervención de un objeto en las conexiones deductivas, y llama intuición a la capacidad o condición que hace posible eso. No se trata de correspondencia entre la producción del sujeto y la realidad, sino que es una parte de esa misma producción interior. Kant en esto se adhiere a la corriente que aparece por lo menos con Descartes en el mundo moderno.

Los principales filósofos occidentales abordaron el problema del "objeto matemático''. Locke llamaba a la "esencia del triángulo'' cartesiana el "triángulo general''. Berkeley introdujo la necesidad de una "idea abstracta del triángulo'' por la necesidad de conclusiones universales. Incluso Hume se refirió al asunto. Pero es Kant quien lo formuló de una manera precisa en la Crítica de la Razón Pura:

"... sólo las matemáticas contienen demostraciones, pues extraen sus conocimientos no de conceptos, sino de su construcción que cabe presentar a priori como correspondientes a ellos (...) demostraciones que, como indica la expresión, proceden en la intuición del objeto (...). Así pues, para construir un concepto se requiere una intuición no empírica, que es, por consiguiente, en cuanto intuición, un objeto individual, pero que, pese a ello, ha de expresar en la noción, por ser construcción de un concepto (de una noción universal), la validez universal de todas las intuiciones posibles que se incluyan bajo tal concepto''. [Kant, M. citado por Beth. E. W. en: Piaget, Jean y Beth, E.W.: Epistemología matemática y psicología, p. 19].

Kant no desestimaba la intuición en la matemática, señalaba que los axiomas son construcciones intuitivas, y que todas las cadenas deductivas están hechas a través de la intuición. No se trata de un cálculo frío y abstracto, en el que todo se saca de los conceptos en sí, sino que la intuición está presente, el sujeto interviene y aporta. No son puramente deducciones, son construcciones. El razonamiento matemático no puede asimilarse a elementos formales, con definiciones arbitrarias, abstractas, de las que se extraen consecuencias. A la manera del geómetra que forma en su mente la imagen de un triángulo y sobre ella construye resultados, verdades, concibe Kant la construcción matemática.

Esa intuición es la que establece los límites de la matemática; la transgresión de la intuición conduce entonces fuera de la verdad: "... el principio supremo de todos los juicios sintéticos es que todo objeto se encuentra sometido a las condiciones necesarias de la unidad sintética de la multiplicidad de la intuición en una experiencia posible''. [Beth. E. W. en: Piaget, Jean; Beth, E.W.: Epistemología matemática y psicología, p. 23].

El énfasis en la intuición subjetiva es lo determinante en la visión que Kant posee sobre la naturaleza de la matemática. Esto lo contrapone a la aproximación leibniziana.

Kant y Descartes.-

Existe una conexión importante entre Kant y Descartes en cuanto ambos se refieren a la necesidad de la intuición. Pero aparte de la diferencia de que para el primero el razonamiento formal es útil y en el segundo no, existe una gran distancia entre ambos. Para Descartes hay una convivencia entre lo deductivo, axiomático, y lo intuitivo; esto último aparece sobre todo en la aprehensión de los primeros principios. Para Kant además de la necesidad de un objeto en el proceso del razonamiento matemático, se establece la necesidad de la construcción susceptible de ser en cierta medida perceptible. Esto lo resume Beth así:

"... Descartes y Kant están de acuerdo en colocar, junto al razonamiento formal o silogístico, un tipo nuevo de razonamiento al que se llamará razonamiento intuitivo a constructivo, y que la descripción que encontramos en Kant, bastante detallada, concuerda en lo esencial con las más sumarias indicaciones que da Descartes. Advirtamos, sin embargo, que sigue existiendo una diferencia entre las concepciones de uno y otro: para Kant, el razonamiento intuitivo no se aplica más que en las matemáticas, mientras que el formal conserva todo su valor para la filosofía; mas para Descartes, el razonamiento formal está desprovisto de todo valor''. [Beth E.W. en Piaget, Jean, y Beth, E. W.: Epistemología matemática y psicología, p. 25].

Lo central es la intuición; y, más aún, se trata de un replanteo de las nociones de deducción y de verdad. En Descartes la intuición está conectada a nociones innatas puestas por la mano divina; en Kant apunta al sujeto. La intuición en Descartes es de un orden espiritual y abstracto, en Kant es con precisión: espacio-temporal. En Kant, lo que se afirma del modelo aristotélico es la evidencia de los axiomas y de todas las posiciones matemáticas, así como la exhibición de un objeto para ellas. Ahora bien, este objeto no se busca en la realidad independiente del sujeto, porque se piensa que no es posible en el mundo de la experiencia dar respuesta al escepticismo.

La respuesta de Kant es racionalista pero a diferencia de Leibniz no apuntala los aspectos deductivos, axiomáticos y formales del conocimiento.


Ahora bien: ¿qué le sucede a la geometría cuando no hay un espacio sensible como fundamento o los objetos para aplicar la intuición son tan abstractos que se pierden en el vacío? ¿Dónde queda la construcción de las matemáticas si no hay intuición?

Balance.-

La concepción kantiana sobre la naturaleza de la matemática se colocó en una dirección diferente (dentro del Racionalismo) a la que, como veremos, el logicismo y el formalismo irán a establecer. Mientras que para este último la matemática no tiene objeto, no posee una referencia (más que a lo sumo en los "trazos sobre el papel''), está libre de contenido y es formal, en Kant se establece una incidencia sobre una realidad-objeto conectada en cierta forma con la naturaleza. No llega Kant a buscarla en la naturaleza misma, o en el orden material de la relación sujeto-objeto, pero busca un contenido separado de la metálica evidencia lógica o la estricta manipulación deductiva o calculatoria.

Kant no dio una respuesta racional satisfactoria a la crítica escéptica, y no se salió del gran esquema del conocimiento a priori de la realidad; pero adoptó una aproximación metodológica diferente de aquella que se basa en una reducción de las matemáticas a proposiciones "idénticas''.

Con las ideas sobre la matemática de Descartes, Leibniz y Kant es posible tener una primera visión de la reflexión moderna sobre las matemáticas.

En realidad, lo que nos interesa subrayar ahora, es que durante los siglos XVII y XVIII se acuñaron las principales ideas que serían reproducidas o ampliadas mutatis mutandis en el siglo XIX y XX. Aquí ya es posible detectar la existencia de una buena dosis de racionalismo (que hace de la mente productora privilegiada de verdades absolutas y eternas), absolutismo e infalibilismo, y de sobreestimación de la axiomática. Sin embargo, nuevos elementos en el desarrollo de las matemáticas se encargarían de proporcionar más carbón para la chimenea de este tipo de esquemas sobre la naturaleza de las matemáticas.

24.6 Biografías.-

ROGER BACON

Roger Bacon nació en el año 1214 en Ilchester, Somerset, Inglaterra. De joven estudió geometría, aritmética, astronomía y música. En 1241, se graduó de la Universidad de París. Después de graduarse inició a impartir clases acerca de las ideas de Aristóteles en la Universidad de París. De 1247 a 1257, estudió en Oxford, en donde se vio influenciado por el trabajo de Grosseteste e inició sus investigaciones en idiomas, matemáticas, ópticas y ciencias.

En 1257, al encontrarse mal de salud, dejó la universidad e ingresó a la Orden de los Franciscanos desde donde le escribió al Papa Clemente IV en 1266 pidiéndole su autorización para crear una enciclopedia de todas las ciencias, coordinada por un grupo de la iglesia. Después de que la iglesia se negara a tal petición Bacon escribió tres libros en que desarrollaba estas nuevas ciencias.

En 1278, fue encarcelado por los Franciscanos al ser “sospechoso” en su forma de enseñar. Después de permanecer diez años en prisión, regresó a Oxford y escribió una pequeña obra acerca de teología un poco antes de su muerte en el año 1294.

24.7 Síntesis, análisis, investigación.-

1. Investigue qué es la Patrística. Escriba una síntesis de una página.

2. Describa las principales características de la Escolástica.

3. Investigue qué es, en filosofía, el empirismo y quiénes fueron sus principales figuras antes del siglo XX.

4. Comente el papel que se le asignó a Dios en las ideas racionalistas que emergieron después de la Edad Media.

5. ¿Cuál es el criterio de verdad en el conocimiento que propuso Descartes?

6. ¿Qué papel juegan las ideas claras y distintas, innatas, en la epistemología de Descartes?

7. Comente la relación entre matemáticas y metafísica en Descartes.

8. ¿Cuáles son los tres postulados de Aristóteles para las ciencias demostrativas?

9. Explique el significado de la intuición en Descartes para asegurar verdades y realizar las deducciones en las matemáticas.

10. ¿Qué es la mathesis universalis de Descartes?

11. Comente la relación entre las ideas de Descartes y las de Platón sobre las matemáticas y su aplicación en el mundo.

12. Investigue en un libro o diccionario de filosofía qué es el idealismo. Dé una breve explicación, no más de una página.

13. Explique los dos principios que Leibniz consideraba necesarios para el conocimiento.

14. Explique los dos tipos de verdades que señala Leibniz.

15. Explique cómo era el sistema deductivo para Leibniz.

16. Comente la relación entre Descartes y Leibniz con relación a los criterios de verdad.

17. ¿Qué son las matemáticas para Leibniz?

18. ¿Cuál es el papel de la intuición en Leibniz?

19. Investigue en un diccionario filosófico qué es el noúmeno para Kant.

20. Investigue la diferencia entre analítico y sintético en Kant. Use bibliografía adicional. Explique por qué para Kant la matemática es sintética a priori.

21. Explique y comente el papel de la intuición para Kant en las matemáticas.

22. Explique la relación entre Descartes y Kant en su visión de las matemáticas.


23. Lea el siguiente texto de Bertrand Russell:

"La influencia de la geometría en la filosofía y el método científico ha sido profunda. La geometría, tal como fue establecida por los griegos, comienza con axiomas que son (o creían serlo) evidentes en sí mismos. Luego avanza la geometría por razonamientos deductivos hasta los teoremas que no son, ni mucho menos, evidentes en sí. Los axiomas y teoremas se tienen por ciertos en el espacio real, y éste es algo dado por la experiencia. Así parecía ser posible descubrir cosas del mundo real, descubriendo primero lo que es evidente en sí, y después haciendo uso de la deducción. Esta idea influyó en Platón, Kant y en la mayoría de los filósofos intermedios. Cuando dice la Declaración de la Independencia que 'estas verdades las consideramos como evidentes en sí', se rige por Euclides. La doctrina del siglo XVIII de los derechos naturales es una búsqueda de axiomas euclidianos en el campo de la política (evidente por sí mismo, sustituido por Franklin, en lugar de lo 'sagrado e innegables', de Jefferson). La forma de 'los principios' de Newton, a pesar de su materia reconocidamente empírica, está dominada del todo por Euclides. La teología, en sus exactas formas escolásticas, se nutre de la misma fuente; la religión personal se deriva del éxtasis; la teología, de las matemáticas, y ambas se encuentran en Pitágoras.'' [Russell, Bertrand: Historia de la filosofía occidental, Tomo I, p. 56]

Explique a qué características de las matemáticas juzga Russell como factores de influencia sobre la filosofía.

24. Lea cuidadosamente el siguiente texto de Poincaré.

"Los axiomas geométricos no son, por lo tanto, ni juicios sintéticos a priori ni hechos experimentales.

Son convenciones: nuestra elección entre todas las convenciones posibles es guiada por los hechos experimentales, pero permanece libre, y sólo responde a la necesidad de evitar toda contradicción. Por ello es que los postulados pueden permanecer rigurosamente válidos, aun cuando las leyes experimentales que han determinado su adopción sólo son aproximadas.'' [Poincaré, Henri: Filosofía de la ciencia, p. 185]

Explique las ideas de este autor.

25. Vamos a comentar el siguiente texto:

"Hay poco del verdadero espíritu filosófico en Aquino. No se dispone a seguir, como el Sócrates platónico, adonde quiera que su argumento le pueda llevar. No se empeña en una investigación cuyo resultado sea imposible conocer de antemano. Antes de empezar a filosofar ya conoce la verdad; está declarada en la fe católica. Si puede encontrar argumentos aparentemente racionales para algunas partes de la fe, tanto mejor; si no puede, sólo precisa volver a la revelación. El descubrimiento de argumentos para una conclusión dada de antemano no es filosofía, sino una defensa especial. No puedo, consiguientemente, admitir que merezca ser colocado en el mismo plano de los mejores filósofos de Grecia o de los tiempos modernos.'' [Russell, Bertrand: Historia de la Filosofía Occidental, Tomo II: La Filosofía Moderna, p. 83.]

Explique las principales críticas que hace Russell a los aportes de Aquino. Comente los argumentos esgrimidos. Puede usar otros textos adicionales.

26. Estudie el siguiente texto de Poincaré.

"La posibilidad misma de la ciencia matemática parece una contradicción insoluble. Si esta ciencia no es deductiva más que en apariencia, ¿de dónde proviene ese rigor perfecto que nadie piensa poner en duda? Si, por el contrario, todas las proposiciones que enuncia pueden deducirse unas de otras por las reglas de la lógica formal, ¿cómo no se reduce la matemática a una inmensa tautología? El silogismo no puede enseñarnos nada esencialmente nuevo y, si todo debiera proceder del principio de identidad, también todo debería poder llevarnos de nuevo a él. ¿Se admitirá entonces que los enunciados de todos esos teoremas que llenan tantos volúmenes, no sean más que maneras complicadas de decir que A es A.

Sin duda, se puede remontar hasta los axiomas que están en el origen de todos los razonamientos. Si se juzga que no se los puede reducir al principio de contradicción, ni tampoco se quiere ver en ellos hechos experimentales que no podrían participar de la necesidad matemática, se tiene todavía el recurso de clasificarlos entre los juicios sintéticos a priori. Pero esto no es resolver la dificultad, es sólo denominarla de otro modo; y aun cuando la naturaleza de los juicios sintéticos no tuviera ya misterio para nosotros, la contradicción se habría hecho vaga, por el hecho de alejarse; y el razonamiento silogístico seguirá siendo incapaz de agregar nada a los datos que se le dieron; esos datos se reducen a algunos axiomas, y no debería encontrarse otra cosa en las conclusiones.'' [Poincaré, Henri: Filosofía de la ciencia, p. 235]

Comente las ideas de este texto con relación a las ideas de los filósofos estudiados en este capítulo.

Continuará en el próximo número…


Fuente: Monografias.com > Fisica

Universos de materia y antimateria Enviado por Enrique Álvarez Vita 18-01-2014

En el presente ensayo proponemos un modelo físico en el que las partículas y antipartículas del vacío cuántico, que a su vez contendrían subniveles de vacío cuántico, polarizarían las cargas eléctricas y de color de leptones y quarks, en una secuencia infinita convergente, incluyendo la gravedad, lo que permitiría su incorporación a las demás fuerzas fundamentales de la naturaleza. En una perspectiva filosófica, el modelo permite sustentar la posible existencia de un universo que sería un vacío neutralizado, de carácter nouménico, que se manifestaría como dualidad fenoménica en infinitos universos de materia y antimateria de naturaleza fractal, contenidos unos dentro de otros, conformando una sola realidad. Tratándose de un ensayo, no es nuestra intención hacer una exposición técnica con todos los aspectos matemáticos del modelo propuesto. Sin embargo, creemos conveniente introducir algunas ecuaciones básicas no tensoriales y gráficas que sustentan nuestra tesis. No obstante, si su comprensión presenta alguna dificultad, bastará con entender los conceptos fundamentales que son fácilmente asimilables.

En las últimas décadas, los físicos se han abocado a la ardua tarea de unificar las fuerzas o interacciones fundamentales de la naturaleza: la fuerza de gravedad, la electromagnética, y las fuerzas nucleares débil y fuerte. Con Maxwel se dio el primer paso al unificar la electricidad con el magnetismo en una sola teoría, el electromagnetismo. Posteriormente Glashow, Salam y Weinberg unificaron el electromagnetismo a la fuerza débil, la llamada fuerza electro débil. La teoría cuántica de campos es una de las más exitosas creadas por el intelecto humano. La concordancia entre los cálculos teóricos y la observación experimental es de una precisión extraordinaria, una parte en 10

11 lo que ha permitido notables

aplicaciones en el campo de la tecnología. Para alcanzar este singular éxito, tuvo que superar grandes dificultades a nivel teórico, debido a la presencia de cantidades infinitas que amenazaba con sumergir a la teoría en el caos. En este breve ensayo, queremos hacer un esbozo de un modelo teórico de carácter científico desarrollado por nosotros, que conduciría a la posibilidad de integrar la gravedad a las demás fuerzas de la naturaleza; expondremos apenas algunos conceptos fundamentales y haremos un enfoque desde una perspectiva filosófica basada en el modelo propuesto, de la naturaleza del universo.

Introduciéndonos en el tema, existen en la naturaleza dos tipos de partículas: los fermiones, de espín fraccionario que conforman la materia, y los bosones, de espín entero, que son los responsables de transmitir las fuerzas fundamentales de la naturaleza. En el grupo de los fermiones, los quarks son partículas elementales que conforman los hadrones, que son partículas compuestas que, al igual que los quarks, reaccionan ante la fuerza fuerte, es decir, aquella fuerza que mantiene unidos a los quarks y al núcleo del átomo, neutralizando la repulsión electrostática de los protones que tienen carga positiva, y por tanto, tienden a separarse. Los hadrones a su vez se presentan en dos variedades: los mesones, constituidos por dos quarks, y los bariones, integrados por tres quarks, como los protones y neutrones que conforman el núcleo atómico. Los quarks junto con los electrones, que son leptones, es decir, partículas que no reaccionan ante la fuerza fuerte, son considerados partículas puntuales sin estructura interna. Los físicos llegaron a esta conclusión debido a la naturaleza repulsiva de la fuerza electrostática que haría despedazar las partículas, lo cual no sucede.

Esta particularidad, sin embargo, crea un serio problema al momento de calcular la energía del campo electrostático de la partícula. Un simple cálculo muestra que la energía disminuye en razón inversamente proporcional a la distancia al centro de la partícula. Como la partícula es puntual, a medida que la distancia se aproxima al centro, la energía se dispara hacia el infinito. Enfrentarse al infinito ha sido una experiencia dura para matemáticos y físicos, y no digamos para filósofos y teólogos. Ahora bien, la teoría especial de la relatividad establece que la masa y la energía son equivalentes, como se expresa en la ecuación E = mc2, donde E es la energía, m la masa y c la velocidad de la luz en el vacío. En consecuencia, si la energía se dispara al infinito, debe ocurrir lo mismo con la masa, haciendo que la partícula se torne infinitamente pesada. De hecho, no ocurre así, ya que al medir la masa del electrón se obtienen valores muy pequeños. Algo anda mal en la teoría.

Para superar el problema, los físicos optaron por modificar la escala de medida, ignorando el infinito que surgía en los cálculos y estableciendo como nuevo marco de referencia el valor medido experimentalmente. Es lo que se conoce con el nombre de renormalización. A partir de los valores obtenidos experimentalmente, los físicos prosiguieron con sus cálculos, obteniendo resultados con una exactitud asombrosa. Prácticamente todos los avances de la ciencia y tecnología contemporáneas, se debe a la extraordinaria precisión de los cálculos y la concordancia con los experimentos de la mecánica cuántica de campos. Los diagramas de Feynman, notable físico y premio Nobel, constituyen una herramienta importante para el análisis de los procesos cuánticos. No obstante, a nivel conceptual, el problema subsiste. Algunos físicos, como el propio Feynman, que calificó la renormalización como un proceso chiflado, Hawking y Davis, y filósofos como Miró Quesada, entre otros, consideran que la renormalización carece de sólidos fundamentos matemáticos. El delta de Dirac, por ejemplo, que no es propiamente una función matemática, sirvió de base para la renormalización. Dirac inclusive, se refería a ella como el proceso de barrer los infinitos debajo de la alfombra. En la teoría de supercuerdas y la teoría M, la más reciente de las teorías de cuerdas que incluye diez dimensiones espaciales y una temporal, se considera al electrón y demás partículas como cuerdas vibrantes a escalas de longitud de Planck, magnitud extremadamente pequeña, y no como una partícula puntual según el modelo estándar de la física, no obstante dentro de la comunidad científica esta teoría es considerada especulativa por las dificultades técnicas de su comprobación experimental. En la gravedad cuántica de bucles el espacio tiempo está cuantizado y se fija un límite mínimo para el espacio y el tiempo, que serían la distancia y el tiempo de Planck, se trata de un modelo sobre la gravedad cuántica y no de unificación de las fuerzas fundamentales de la naturaleza.


A fin de proporcionar a la teoría cuántica un fundamento conceptual consistente, considerando al electrón como partícula puntual sin estructura interna, elaboramos un modelo matemático basado en las propiedades del vacío cuántico, que serían la clave de la solución al problema. El aporte original de la tesis propuesta, es postular la existencia de subniveles de energía del vacío cuántico, lo cual permitiría incorporar la gravedad a las demás fuerzas fundamentales de la naturaleza, lo que tendría implicancias no sólo científicas sino filosóficas, como veremos más adelante. El electrón atrae positrones virtuales y repele electrones virtuales, lo que atenúa su carga eléctrica, fenómeno conocido como polarización cuántica o apantallamiento del electrón. Según nuestro modelo, esta capa de positrones virtuales atrae electrones virtuales y repele positrones virtuales de un segundo nivel de energía del vacío cuántico, aumentando la carga eléctrica del electrón, de acuerdo a una determinada ley en función de la distancia. Este proceso continuaría indefinidamente en una serie matemática infinita convergente de naturaleza fractal, que produciría una polarización del campo electro gravitatorio a distancias muy cortas, neutralizando el campo a una distancia nula del electrón. La energía de cada nivel se calcula por la integral definida entre dos puntos de la energía del nivel anterior, siendo la energía neta la sumatoria de estas integrales. Nuestros cálculos nos conducen de manera natural a valores finitos para la energía. A nivel de partículas elementales, el campo gravitatorio es extremadamente débil, de manera que, a fin de simplificar los cálculos y trabajar con escalares, podemos utilizar la ecuación de Newton para la gravedad en lugar de la ecuación tensorial de Einstein, puesto que tratándose de masas muy pequeñas, para efectos del cálculo de fuerzas ambos modelos conducen prácticamente al mismo resultado.


Se ha comprobado experimentalmente que el electrón atrae positrones virtuales y repele electrones virtuales presentes en el vacío cuántico, que atenúan la intensidad del campo electrostático, produciendo un efecto de apantallamiento o polarización cuántica. Lo contrario sucede con la fuerza gravitatoria, que como consecuencia de la repulsión entre materia y antimateria, efecto que más adelante, atrae electrones virtuales y repele positrones virtuales, lo que refuerza la intensidad del campo gravitatorio. No obstante, siendo la fuerza electrostática mucho más intensa que la gravitatoria, los positrones virtuales serán atraídos y los electrones virtuales repelidos, produciéndose un apantallamiento electro gravitatorio.

Es decir, la energía potencial de nivel n entre los puntos a y b se obtiene por la integral definida entre dichos puntos de la energía potencial de nivel n – 1.


Ahora bien, la ecuación nos da la diferencia de energía potencial electro gravitatoria entre dos puntos situados a distancias a y b del electrón. Podemos asignar un valor al potencial en un punto a una distancia r de la partícula, para lo cual es necesario elegir otro punto de referencia arbitrario al que se le asigna el llamado potencial cero. Para satisfacer esta condición, dicho punto debe hallarse a una distancia infinita.

Este resultado nos conduce a un valor finito para el potencial a una distancia nula del electrón, a diferencia de la física clásica que arroja un valor infinito.

Ahora bien, como mencionamos anteriormente, en mecánica relativista masa y energía son equivalentes. Eso implica que cualquier sistema físico con energía debería presentar una cierta inercia, de modo que al tratar de mover el electrón éste arrastraría a su campo electro gravitatorio generando así una inercia, que sería vista como una masa efectiva.


El modelo propuesto implica que los positrones virtuales en cada nivel producen asimismo fotones virtuales que generan energías negativas que polarizan la energía originada por los fotones virtuales del electrón, evitando la energía infinita como consecuencia de la autoinducción de estos fotones, proceso que ocurriría con todos los fermiones y sus respectivas antipartículas y bosones virtuales.

Este resultado es consecuente con el hecho de que el electrón no estalle bajo los efectos de su propia carga eléctrica repulsiva, al neutralizarse la intensidad del campo electro gravitatorio a una distancia nula de la partícula. Cabe señalar que para superar este inconveniente, los físicos propusieron que el electrón es una partícula puntual sin estructura interna. Pero esta hipótesis implica que la energía potencial electro gravitatorio se torna infinita. Esta relación es fundamental porque la carga eléctrica del electrón atrae antipartículas o positrones virtuales del vacío cuántico que polarizan no solo la carga eléctrica sino también la gravedad, como veremos más adelante.

Desarrollando en serie la ecuación tenemos:


Según el modelo estándar de la física de partículas, el neutrino fue concebido inicialmente como un fermión sin masa ni carga eléctrica. Experimentos posteriores demostraron que el neutrino poseería una masa muy pequeña.

Con velocidades cercanas a la luz y la disminución del campo eléctrico a cortas distancias debido al factor exponencial, los neutrinos son prácticamente insensibles a la acción de la fuerza electrostática y en consecuencia casi no interactúan con la materia. El efecto acumulado de las fuerzas repulsivas entre las cargas de los neutrinos podría ser el origen de la energía oscura y la expansión acelerada del universo, teniendo en cuenta la alta densidad de los neutrinos en la fase inicial de la expansión y el incremento y posterior disminución de estas fuerzas con la distancia, como muestra la figura. De acuerdo al modelo propuesto, la ausencia de una carga fractal convergente superior a la fuerza gravitatoria en el neutrino implicaría una energía o masa infinitas.


El significado físico de este resultado de signo negativo es que existe un sumidero en el fluido electro gravitatorio en las proximidades del electrón, como consecuencia de la polarización cuántica, a diferencia del modelo clásico donde no hay ni fuentes ni sumideros y por tanto la energía no se disipa y tiende a infinito a medida que la distancia tiende a cero.

Según la relatividad general, la gravedad es un efecto de la curvatura espaciotemporal generada por la masa y la energía.

De manera que de acuerdo a nuestro modelo, las antipartículas virtuales no solo polarizan la fuerza gravitatoria sino también el tiempo en las ecuaciones de campo de Einstein en su teoría general de la relatividad. En consecuencia, la presencia de positrones, cuyo tiempo fluye del pasado hacia el futuro, pero en sentido opuesto al de los electrones, polariza también el tiempo, contrarrestando el retardo temporal por efecto de la gravedad.

Es una de las consecuencias importantes del modelo propuesto. Lo mismo ocurre con los demás leptones y quarks.


En el caso de estos últimos, las cargas de color atraen sus respectivas partículas virtuales anti color, polarizando también la gravedad. La fuerza fuerte se cancela a nivel del núcleo atómico y las electromagnéticas a nivel atómico y molecular por la neutralización de las cargas de los protones y electrones, con excepción de ciertos materiales y cuerpos masivos con campos electromagnéticos débiles. A diferencia de las otras fuerzas, las tenues fuerzas gravitatorias no se cancelan entre sí y su efecto acumulativo las convierten en la fuerza dominante a nivel del cosmos. Nuestros cálculos demuestran que el apantallamiento gravitatorio se puede generalizar a cualquier masa, la gravedad se polariza bajo los efectos cuánticos fractales de las antipartículas virtuales, el infinito queda atrapado y la gravedad capturada.

Proponemos asimismo, que las cargas electrostáticas, cromodinámicas y gravitatorias, pueden representarse por medio de vectores complejos cuyo producto escalar determina la atracción, repulsión o inexistencia de ambas. En nuestro trabajo "Introducción al análisis de vectores y tensores complejos" ofrecemos una exposición más detallada sobre el tema, que incluye derivadas e integrales de vectores complejos, operaciones de gradiente, divergencia y rotacional, derivadas covariantes y contravariantes de tensores complejos, etc. Básicamente, todas las operaciones del análisis de vectores y tensores reales son válidas para los vectores y tensores complejos, teniendo en cuenta que estos últimos son el producto de vectores y tensores reales por un escalar complejo. Los vectores complejos definen un campo vectorial de n dimensiones.


Es decir, la suma de dos vectores complejos es la suma vectorial de sus componentes reales por un lado y la suma vectorial de sus componentes imaginarias por otro, de manera que estas resultantes constituyen las componentes real e imaginaria de un nuevo vector complejo que es la resultante de esta suma, cuyo argumento es el siguiente:

Al igual que los vectores reales, los vectores imaginarios conforman un espacio euclidiano n-dimensional, en el que cada vector direccional imaginario conforma con su respectivo vector direccional real un plano vectorial complejo. Los vectores complejos están definidos por la suma de sus correspondientes vectores reales e imaginarios. Los vectores complejos determinan un espacio vectorial complejo. Lo mismo ocurre con los escalares complejos y sus respectivas coordenadas reales e imaginarias.

Los bariones poseen tres quarks cuyas cargas están representadas por los colores rojo, azul y verde (o rojo, azul y amarillo), cuya suma da blanco. Estas cargas cambian constantemente de color.


La suma de los tres vectores es nula, al igual que la suma de los tres colores da blanco, así como la suma de dos vectores es igual al tercero con el signo contrario, del mismo modo que la suma de dos colores es igual al anticolor del otro color. La analogía de la representación vectorial de las cargas con las propiedades cromáticas de los quarks en la cromodinámica cuántica es completa, constituyendo una descripción satisfactoria de sus propiedades físicas.

La proximidad de dos nucleones, protones o neutrones, en un átomo, produce una ligera asimetría en cada nucleón, dando lugar a un pequeño vector resultante que se complementa con un antivector de otro nucleón, o su respectivo anticolor, que es la fuerza residual fuerte que une a los protones a través de los neutrones, neutralizando su carga repulsiva eléctrica, como se ilustra en la figura.

Esto da como resultado un empaquetamiento cúbico de los nucleones en un átomo, que es la que justifica la presencia de neutrones que hacen posible la unión de los protones, como se muestra por ejemplo en la figura que representa al átomo de berilio, el isótopo más estable de cuatro protones y cinco neutrones, en el que los protones están representados por las esferas oscuras y los neutrones por las claras:

Resulta interesante comprobar que las cargas unitarias de las fuerzas fundamentales de la naturaleza pueden representarse en un campo vectorial complejo de cuatro dimensiones, como se ilustra en la figura, en el que las cargas de color de los quarks están representadas en el plano determinado por los vectores direccionales i, j, la carga electrostática por k y la carga gravitatoria por li. La gravedad, la única fuerza que no ha sido unificada hasta el día de hoy, poseería una carga imaginaria, así como el campo gravitatorio y la masa gravitatoria mi, a diferencia de la masa inercial m que sería de carácter real, concepto no contemplado por la física actual.


Según el modelo expuesto, el vacío cuántico estaría conformado por diferentes subniveles en los que las partículas y antipartículas virtuales ejercerían una acción polarizadora sobre la carga de la partícula real, que puede ser un electrón o un positrón. Este proceso continuaría indefinidamente hasta el infinito. La energía total del sistema es nula. Puesto que el tiempo del positrón fluye del pasado hacia el futuro pero en sentido opuesto al del electrón, la suma total del tiempo es también nula, así como del espacio, conservando la simetría CPT. Esta propiedad se aplicaría a todas las partículas fundamentales de la naturaleza, es decir, a los leptones y quarks, con sus respectivas antipartículas. Podemos representar este proceso en el siguiente diagrama:

Las dos áreas clara y oscura del círculo grande representan el electrón y el positrón, en cuyo centro hay un círculo menor que representa el vacío cuántico con positrones y electrones virtuales, que interactúan con el electrón y el positrón polarizando sus respectivas cargas eléctricas. Este círculo menor contiene a su vez otro círculo más pequeño que representa el primer nivel de vacío cuántico con sus respectivos electrones y positrones virtuales que interactúan con los positrones y electrones virtuales del vacío cuántico polarizando también sus respectivas cargas eléctricas. Este proceso continuaría indefinidamente hasta el infinito. La energía total del sistema es nula. Puesto que el tiempo del positrón fluye del pasado hacia el futuro pero en sentido opuesto al del electrón, la suma total del tiempo es también nula, así como del espacio, conservando la simetría CPT. Esta propiedad se aplicaría a todas las partículas fundamentales de la naturaleza, tanto fermiones como bosones, es decir, a los leptones y quarks, con sus respectivas antipartículas, así como bosones y antibosones.


Ahora bien, si en el vacío cuántico hay tantas partículas como antipartículas virtuales, conservando el principio de simetría, es razonable concluir que podría existir un universo de antimateria que no observamos, pero que interaccionaría con el nuestro por el principio de incertidumbre de Heisenberg a través del vacío cuántico, que sería la frontera natural entre ambos universos. A escalas de Planck, los mantendría unidos, polarizando las fuerzas fundamentales de la naturaleza, incluida la gravedad. Si bien se observa únicamente la presencia de materia en el universo, los científicos no se explican a dónde fue parar la antimateria y el por qué de esta asimetría. Se ha especulado que en el big bang existía cien mil millones de antipartículas por cada cien mil millones más una de partículas, y que al enfriarse el universo se aniquilaron la materia y la antimateria, quedando un pequeño saldo de materia que es el que se observa en el universo. Esta hipótesis se basa en la suposición de que la violación de la simetría especular entre partículas y antipartículas en el mesón neutro K, se aplicaría también en la fase de unificación de las fuerzas en el big

bang. Proponemos que la violación de la simetría especular se daría también en el universo de antimateria, conservándose una simetría perfecta global entre ambos universos. En consecuencia, podríamos hablar de un universo de materia y antimateria, siendo su energía total nula, así como el espacio y el tiempo. Por consiguiente, el universo en su totalidad sería un vacío neutro, que denominamos neutro vacío como un concepto, resultado de la neutralización de las propiedades antagónicas del mundo fenoménico, sin espacio ni tiempo, ni materia, ni energía, cuya dinámica, según nuestra tesis, se manifestaría como materia, energía, espacio y tiempo, y a la vez antimateria, antienergía, antiespacio y antitiempo. El círculo menor de la figura que representa el vacío cuántico, podría simbolizar la unión de los círculos pequeños del yin y el yang.

No es nuestra intención establecer una conexión entre el modelo propuesto y el taoísmo, apenas señalar cierta similitud, pues nuestra interpretación no corresponde a la concepción tradicional del taoísmo. Hawking fue muy despectivo al referirse a la obra del físico y budista Fritjof Capra, "El tao de la física", que establece analogías entre los descubrimientos de la física moderna y las enseñanzas del taoísmo, el budismo y el hinduismo, línea también seguida por el astrofísico vietnamita Trinh Xuan Thuan. En la filosofía occidental ocurre lo mismo. Hegel y Heidegger, por ejemplo, ignoraron por completo el aporte filosófico del Oriente, dentro de su visión eurocéntrica, que persiste hasta el día de hoy, no obstante la influencia del pensamiento oriental en filósofos occidentales, como el budismo en Schopenhauer, por ejemplo. Es innegable que el taoísmo y el budismo representan un intento de interpretación de la realidad, y que el Oriente ha priorizado esta búsqueda a través de un proceso de interiorización y meditación, a diferencia de Occidente que lo ha hecho a través de la razón y la exploración de la naturaleza. La afirmación de que la filosofía como tal surgió en Grecia y en consecuencia no pueden calificarse como filosofía las concepciones del Oriente, incluidas las del mundo andino, es una interpretación coherente desde una perspectiva occidental, pero que actualmente es objeto de debate.

Ahora bien, hemos visto que una partícula elemental real como el electrón, se polariza por acción de las partículas virtuales de diferentes niveles de energía del vacío cuántico. Estas partículas virtuales, a su vez, deben polarizarse del mismo modo que las partículas reales, a fin de no generar energías infinitas ni estallar bajo los efectos de su propia carga repulsiva. En consecuencia, cada partícula virtual de los diferentes subniveles del vacío cuántico sigue las mismas leyes de las partículas reales y están determinadas por las mismas ecuaciones. Teniendo en cuenta esta particularidad y siendo estos subniveles una secuencia infinita, cabría preguntarse si es posible que la partícula real sea a su vez una partícula virtual de un primer nivel de vacío cuántico de otra partícula real, de modo análogo al modelo del universo holográfico, que a su vez es una partícula virtual de otra real y así hasta el infinito, de manera que el diagrama esté incluido en otro mayor y así sucesivamente. Del modelo propuesto, se puede inferir la posible existencia de un universo de antimateria y de universos de materia y antimateria dentro de otros universos en una secuencia infinita de la cual el nuestro sería apenas un eslabón en la cadena de multiuniversos. Así por ejemplo, en el diagrama, nuestro universo estaría representado por una de las áreas, que contendría a su vez un microuniverso de materia y antimateria. Del mismo modo, nuestro universo con el universo de antimateria, estarían contenidos en un macrouniverso de materia y antimateria.

El problema del infinito ha sido abordado por diferentes pensadores a lo largo de la historia. El matemático Cantor hizo notables contribuciones al descubrir los números transfinitos que vienen a ser categorías diferentes de infinitos. Así, el número de infinitos decimales que contienen los números irracionales es mayor que el de los números racionales. Cuando hablamos de universos fractales contenidos unos dentro de otros en una secuencia infinita, conectados a través de subniveles de vacío cuántico, no estamos estableciendo necesariamente jerarquías de universos en cuanto a sus dimensiones, sino universos paralelos de materia y antimateria entrelazados por diferentes niveles de vacío cuántico. Una analogía nos puede servir de referencia. Si observamos el interior de un cilindro, veremos en perspectiva que los círculos son más pequeños a medida que se alejan de nosotros, pero en realidad son del mismo tamaño.

Ahora bien, si nuestra partícula que consideramos real, es a su vez una partícula virtual con relación a otra real, que a su vez es virtual respecto a otra real, y así sucesivamente hasta el infinito, debemos asumir que las partículas de estos superniveles ejercen una influencia acumulada sobre nuestra partícula, del mismo modo que las partículas virtuales de los subniveles cuánticos.


Una vez más, se pueden encontrar ciertas analogías con antiguas tradiciones orientales, en la cosmogonía tántrica por ejemplo, desde una

cosmovisión teísta. Uno de los principios del taoísmo, establece que cada yin y yang contiene a su vez un yin y yang, que a su vez contienen

otro yin y yang, y así sucesivamente. El movimiento raeliano, que se hizo conocido al afirmar que habían realizado la primera clonación humana,

sostiene la existencia de universos dentro de otros en una secuencia infinita, desde una perspectiva atea. El símil del movimiento planetario y el

modelo atómico de Bohr llevó a pensar a muchos que los átomos y moléculas era un microcosmos semejante al macrocosmos de planetas y

galaxias, pero son realidades distintas gobernadas por leyes diferentes, la relatividad general y la mecánica cuántica. La teoría de los universos

paralelos, realidades alternativas, los multiversos, ha sido planteada por la ciencia moderna y es uno de los argumentos de Hawking para refutar el

principio antrópico fuerte y el diseño inteligente en su libro "El gran diseño", que trata de dar una explicación al ajuste fino de las constantes de la

naturaleza que hacen posible la existencia de seres inteligentes como nosotros, sin recurrir a una intervención divina. No obstante, recientemente

el físico Michio Kaku, uno de los creadores de la teoría de cuerdas, afirma haber elaborado una teoría que aportaría una prueba definitiva de la

existencia de Dios, basado en el "semi–radio primitivo de taquiones", hipotéticas partículas super lumínicas. Según Kaku, nuestro universo sería un

plano regido por reglas creadas por una inteligencia y no determinadas por azares universales.

Se plantea ahora la siguiente pregunta: ¿Es el neutro vacío una realidad metafísica que trasciende el mundo fenoménico o una propiedad de la

naturaleza misma que poseería una dualidad, el yin y el yang, el taita inti y la pachamama de la cosmogonía andina, para referirnos a algo cercano

a nuestra realidad? La respuesta desde una perspectiva inmanente es que el neutrovacío es una propiedad intrínseca de la naturaleza,

consecuencia de la coexistencia de universos de materia y antimateria. Desde el punto de vista kantiano sería el noúmeno, de carácter

trascendente. Con relación a la perspectiva inmanente, podemos encontrar una analogía en las matemáticas. El número cero se obtiene a partir de

la suma de dos cantidades iguales de signo contrario, una positiva y otra negativa. Matemáticamente, el cero existe como número e inclusive se

realizan operaciones con él. No se trata pues, de una cantidad que no existe y por tanto deba ser excluido del campo de las matemáticas, posee

más bien ciertas propiedades que lo distinguen de los demás números, a diferencia, por ejemplo, del conjunto vacío.

Conviene hacer sin embargo una reflexión sobre este aspecto. Hemos señalado que en el modelo estándar de la física cuántica, así como en

modelos alternativos como la teoría de supercuerdas, la teoría M y la mecánica cuántica de bucles, existe un límite en el tiempo y el espacio, que

son el tiempo y la longitud de Planck respectivamente, más allá del cual no se puede definir la realidad. En nuestro modelo nosotros nos basamos

en el concepto de límite matemático para la distancia cuando ésta tiende a cero, que no es lo mismo que el límite físico de la longitud de Planck. En

el caso de una partícula elemental como el electrón, o cualquier otra partícula elemental, cuando el radio tiende a cero y en consecuencia el

espacio y el tiempo, el efecto acumulativo de la antimateria y materia virtuales neutraliza la carga del electrón. En ese punto singular no existe el

espacio, ni tiempo, ni materia, ni energía, no obstante se manifiesta en el mundo fenoménico con estas características que son las que

observamos. Y esta particularidad se daría en todo el universo, que en esencia sería vacío, lo nouménico según Kant, manifestado en lo

fenoménico, así como en la totalidad de todos los universos de materia y antimateria. La materia prima, en potencia, y la materia segunda, en acto,

según Tomás de Aquino. Entramos en el terreno filosófico. Lo noménico y fenoménico coexistirían como aspectos de la misma realidad, como una

sola entidad, no existirían el uno sin el otro, lo trascendente e inmanente se requerirían mutuamente.

Los conceptos de cero e infinito están estrechamente vinculados con lo expresado anteriormente.

Desde una perspectiva teológica, sería el lugar recóndito de Dios de las religiones monoteístas o el Parabrahman del hinduismo. Desde una

perspectiva inmanente, como señalamos anteriormente, se trataría de una propiedad intrínseca de la naturaleza, despojada de lo trascendente, en

cuyo caso la física iría más allá del límite de Planck. Independiente de ello, sostenemos que lo nouménico y lo fenoménico son inseparables y

pertenecen a la misma realidad, y que las matemáticas nos conduce a ello, más allá del límite de Planck. Nuestra intención es mostrar una posible

convergencia entre la filosofía y la ciencia.


Debemos reflexionar también sobre el hecho de que nosotros mismos, nuestra propia consciencia, la vida, el nacimiento, la muerte, son una manifestación del mundo fenoménico, así como toda forma de materia, energía y tiempo. El llamado mundo espiritual, las experiencias religiosas y místicas, los fenómenos paranormales, los estados de consciencia en las prácticas de meditación, el despertar de los chacras en el yoga, serían todos manifestaciones del mundo fenoménico. En nuestro caso por ejemplo, hemos tenido experiencias místicas que podrían calificarse de extraordinarias, semejantes a las descritas por algunos místicos, pero que sin embargo son independientes de nuestra posición filosófica. Según algunas escuelas budistas, estamos inmersos en la "rueda de la vida", un mundo ilusorio que conlleva al sufrimiento, su objetivo es liberarnos de las ataduras del dualismo fenoménico extinguiendo el ego para alcanzar el nirvana, el shunyata o vacuidad, que es la ausencia de existencia real. Pero en el vacío absoluto no hay conciencia, no existe un observador ni nada que pueda ser observado, ni experimentado.

Cabe señalar que Hawking postula que la energía neta del universo es nula, puesto que la energía positiva de la materia y la energía negativa gravitatoria se cancelan entre sí, pero no se trataría de un vacío absoluto, que no estaría permitido por el principio de incertidumbre de Heisenberg, sino de un vacío cuántico con un estado de energía mínima que originaría el efecto Casimir, cuyas fluctuaciones, que consisten en partículas y campos que aparecen y desaparecen de la existencia, darían origen a la creación de una inmensa cantidad de universos posibles,

unos sin recurrir a una intervención divina o a un diseño inteligente para explicar el ajuste fino de las constantes de la naturaleza, puesto que nuestro universo estaría dentro de un rango de probabilidades de universos con estas características. Hawking se basa en la teoría general de la relatividad para afirmar que la energía gravitatoria del universo es nula. Según el modelo propuesto por nosotros, la teoría de Einstein se modificaría a escalas de Planck y la energía gravitatoria convergería a la energía intrínseca de la masa, que es positiva, como señalamos anteriormente, de manera que por el principio de simetría, existiría un universo de antimateria que se cancelaría con el de materia en un vacío absoluto. Lo mismo ocurriría con el vacío cuántico, que contendría un microuniverso de antimateria, el cual se manifestaría como un estado de energía mínima a través del principio de incertidumbre de Heisenberg, dando origen a una multiplicidad de universos, en un proceso de creación continua que contendría una infinidad de universos contenidos unos dentro de otros, como se ilustra en el diagrama anterior.

San Agustín plantea que con la creación se crea también el tiempo, siendo Dios un ser atemporal que se manifiesta en su propia creación. En el islamismo, la Tierra y los cielos eran una sola entidad conectada y homogénea, que posteriormente se formaron o separaron uno del otro.

En este contexto, cabe mencionar que con los experimentos del gran colisionador de hadrones, el CERN, un superacelerador de partículas, los científicos intentan recrear las condiciones iniciales del big bang y encontrar el bosón de Higgs - objetivo realizado recientemente - una hipotética partícula del modelo estándar de la física, más conocida como la partícula de o partícula divina, que sería el origen de toda la masa del universo. Pero, ¿qué condiciones se dieron para que las fluctuaciones del vacío cuántico, como sostiene Hawking, dieran origen al universo y en qué momento se dieron? Para que estas condiciones se den tiene necesariamente que haber sido el resultado de un proceso, lo que conduce a una secuencia infinita de acontecimientos previos a la creación del universo y al inicio del big bang, lo que nos lleva a la conclusión de que existe un proceso de transformaciones que darían lugar a la creación de infinitos universos.

Otro aspecto a considerar es el tiempo cíclico, simbolizado en la antigüedad por el Uroburos, la serpiente que se muerde la cola, el eterno retorno. El tiempo lineal aparece con el cristianismo, con un comienzo y fin del universo, la caída del hombre y la salvación de Cristo, como un evento único e irrepetible. Existen teólogos que plantean la posibilidad, frente a los descubrimientos de la ciencia que nos muestran un universo de proporciones colosales, donde la Tierra no es más que una insignificante partícula de polvo perdida en la inmensidad del cosmos, que la caída del hombre debe interpretarse como un acontecimiento que se daría en todo el universo y en consecuencia la salvación también debería darse en todos los confines del universo. Hawking plantea la posible existencia de un tiempo imaginario en sentido matemático, circular, sin fronteras, sin comienzo ni fin, al igual que el espacio lo es en la relatividad general, considerando al universo como un tejido espaciotemporal curvo y cerrado, y un tiempo real en el que se daría el big bang, dando lugar a lo que él define como un universo autocontenido, que haría innecesaria la intervención divina. La idea de un tiempo circular no se contrapone con el modelo propuesto, si bien quedaría en el terreno especulativo. No obstante, la concepción de un tiempo infinito, plantea el problema de la imposibilidad de llegar al tiempo presente a través de un proceso de causa y efecto cuyo origen se encuentra en el pasado. Debemos entonces partir de una realidad concreta, donde el origen es el presente, e invertir el sentido del tiempo aplicando la causalidad hacia el pasado, en un proceso infinito, trátese de un tiempo lineal o circular. Siendo un proceso infinito, el presente es a su vez el pasado de un tiempo futuro infinito, en el que el pasado y el futuro convergen en un origen común que es la realidad ontológica del tiempo presente. Desde esta perspectiva, no habría un comienzo en el pasado ni un fin en el futuro, lo nouménico sería atemporal.


Curiosidades

¿Avala la Historia el Diluvio Universal? Existen pruebas arqueológicas de que hacia el año 3000 a.C. se produjeron varias inundaciones en

Mesopotamia. (Google /)

Fuente: notitarde.com 21/04/2014

EEUU., 21 abril 2014.- Existen pruebas arqueológicas de que hacia el año 3000 a.C. se produjeron varias inundaciones en Mesopotamia, aunque éstas fueron de carácter local.

Sin embargo, si los ríos Tigris y Éufrates se hubieran desbordado al mismo tiempo, se habría producido una enorme inundación cuya extensión habría alcanzado las tierras bajas del delta, suficiente para que los habitantes de la zona interpretaran que toda la tierra había quedado anegada bajo las aguas.

Los sumerios, una civilización de la baja Mesopotamia cuya época de esplendor se sitúa entre el 3000 y el 2000 a.C., ya citan en sus crónicas una gran inundación, confirmada también por las pruebas halladas en las excavaciones arqueológicas realizadas en la ciudad mesopotámica de Ur entre 1922 y 1929.

Uno de los relatos más antiguos que narra también un diluvio universal es la epopeya babilónica de Gilgamesh, que data del 2600 a.C. Son muchas las culturas que recogen esta leyenda del diluvio universal, como la egipcia, la siria, la mitología griega y, por supuesto, la Biblia hebrea, con la historia del Arca de Noé, que ha sido buscada infructuosamente en el Monte Ararat, donde habría “encallado” según el Génesis.

En cualquier caso, no se ha encontrado ninguna evidencia geológica de una inundación capaz de cubrir todo el globo terráqueo.


CRONICAS COLONIALES.

Primera relación de Borburata FUENTE: Notitarde.Com> La Costa 16/05/2014

ESCENA MARINERA DE LA ÉPOCA DE LA CONQUISTA ESPAÑOLA.

El licenciado Juan Peréz de Tolosa fue nombrado Gobernador y Capitán General de la Provincia de Venezuela para sustituir los Welser, y a partir del año 1545 será el primer mandatario español en estos territorios. La Relación de las Tierras y Provincias de la Gobernación de Venezuela, año 1546, se escribe para informar al rey del estado en que se había hallado la Gobernación, los puntos geográficos remarcables, y sobre todo, las comunidades indígenas que habían sobrevivido al gobierno alemán: lo cual resultará la primera información escrita sobre estas tierras venezolanas, de gran utilidad.

He aquí de seguidas que aparece por vez primera en un documento oficial de la Corona, el nombre de Borburata como un puerto de la región que nos hemos propuesto conocer. Recordemos el año: 1546. Copiemos a letra. “Desde Maracapana la costa abajo, en el medio Coro y Maracapana, que son cincuenta leguas de cada una de estas partes, está un puerto que llaman Burburata: tiene una salina, de la cual se proveen los indios de aquella costa por rescate y contratación, y seis leguas de tierra adentro está una laguna de agua dulce, en las sierras, que se llama la laguna Tacarigua: esta laguna tiene doce leguas de largo y seis en ancho; tiene algunas islas, las cuales están pobladas, estos indios tratan oro, es gente pacífica; fuera de la laguna, a dos y a tres y a cuatro y a diez y a quince leguas, hay indios en mediana cantidad, de nación Caracas y otras naciones: esta gente tratan algún oro y ropas de hamacas, habitan en sierra ásperas; es gente belicosa y guerrera… Se están estos indios sin dar la obediencia a Su Majestad. Algunas veces vienen con barcos de la isla de Cubagua a rescatar con ellos y en tiempo que hacían esclavos, los asaltaban…” Juan Pérez de Tolosa, además de gobernar y administrar justicia, describe la geografía, y sus opiniones se convierten en valiosos testimonios de lugares entonces desconocidos.

“Desde el puerto de Borburata a la ciudad de Coro puede haber cincuenta leguas: está toda la costa despoblada que no hay en toda ella cien indios: esta costa de Sotavento y barlovento solía estar poblada por indios de nación Caquetíos: tenían medianos pueblos y mucha caza y pesca y ropa de hamacas: es gente muy pulida y limpia y muy amigos de los españoles: se ha despoblado y perdido a causa de Ambrosio Alfinger, primer gobernador de esta provincia, no repartió los dichos indios y pueblos a los españoles; porque estando repartidos se hubieran sustentado, por el provecho que se le sigue. Los que han gobernado han consentido tomar los dichos indios de la costa y llevarlos a las entradas y descubrimientos, y de esta manera han venido los dichos indios en disminución, y los que han quedado son muy pocos, y por huir de los españoles por los malos tratamientos recibidos, se andan por los montes”.

Juan Pérez de Tolosa dejó una imagen de buen gobernante, que cinco siglos transcurridos no han podido desvirtuar.


La fascinante historia de Naia, el esqueleto hallado en

un cenote1 mexicano FUENTE: BBCMUNDO TOMADO DE: Notitarde.com>Curiosidades>15/05/2014

NAIA TENÍA ALREDEDOR DE 15 AÑOS CUANDO SE CAYÓ EN UN HOYO HACE UNOS 12.000 AÑOS (GOOGLE )

EEUU., 15 mayo 2014.- Naia tenía alrededor de 15 años cuando se cayó en un hoyo hace unos 12.000 años, en lo que hoy forma un cenote en la península de Yucatán, México.

Desde entonces, los restos de su esqueleto casi completo permanecieron ocultos en una fascinante cueva subacuática.

Pero la increíble historia de Naia, tal es el nombre griego que le pusieron quienes la encontraron, comenzó a revelarse cuando un grupo de buzos exploradores la encontró en 2007 en su tumba sumergida.

Su hallazgo es muy importante para comprender mejor los orígenes de los primeros pobladores del hemisferio occidental y su relación con los indígenas contemporáneos.

Naia, que quiere decir ninfa del agua, fue hallada rodeada de varios animales ya extinguidos a más de 40 metros bajo el nivel del mar en Hoyo Negro, un profundo cenote en el sistema de cuevas Sac Actun.

Así nació el proyecto Hoyo Negro, dirigido por el Instituto Nacional de Antropología e Historia mexicano (INAH) con el apoyo de la Sociedad Geográfica Nacional de Estados Unidos.

"Este descubrimiento es extremadamente significativo", dijo Pilar Luna, directora de arquología subacuática del INAH.

"No solo echan luz sobre los orígenes de los modernos americanos, claramente demuestran el potencial paleontológico de la península de Yucatán y la importancia de conservar el patrimonio único de México".

Oscuridad

"No teníamos ni idea de lo que íbamos a encontrar cuando entramos inicialmente en la cueva, que es lo fascinante de bucear en una cueva", dijo Alberto Nava, parte del equipo de buceadores que descubrió Hoyo Negro.

"Descendimos en una piscina de agua clara y cristalina, un cenote, ubicado a 8 kilómetros del Caribe", relata Nava.

Y tras recorrer un túnel subacuático de alrededor de 1,5 kilómetros, los espeleólogos llegaron a la cueva del tamaño de una "cancha profesional de baloncesto", según describen los científicos.

"En el momento en que entramos en este sitio, supimos que era un lugar increíble. El suelo desapareció debajo de nosotros y no llegábamos a ver el otro lado”.

"Apuntamos con nuestras luces hacia abajo y hacia los lados, y todo lo que podíamos ver era oscuridad".

"Sentimos como si nuestras poderosas linternas submarinas fueran absorbidas por este vacío, así que lo llamamos Hoyo Negro", contó Nava.

1 Un cenote, del maya ts'ono'ot: caverna con agua, es una dolina inundada de origen kárstico que se encuentra en algunas cavernas profundas, como consecuencia de

haberse derrumbado el techo de una o varias cuevas. Ahí se juntan las aguas subterráneas, formando un estanque más o menos profundo. Una dolina (palabra de origen esloveno que significa valle o depresión), alude a un tipo especial de depresión geológica característico de los relieves kársticos. Kárstico es una palabra derivada de la alemana Karst y la cual hace referencia a la región de Carso en Eslovenia. Los relieves kársticos son una forma de relieve originada por meteorización química de determinadas rocas, como la caliza, dolomía, yeso, etc., compuestas por minerales solubles en agua. Existen varios tipos de cenotes: a cielo abierto, semiabiertos y subterráneos o en gruta. Esta clasificación está directamente relacionada con la edad del cenote, siendo los cenotes maduros aquellos que se encuentran completamente abiertos y los más jóvenes los que todavía conservan su cúpula intacta. Como otras muchas estructuras geomorfológicas, los cenotes son estructuras transitorias, que finalmente pueden terminar rellenos y desecados, pasando a formar parte de lo que se conoce como un paleokarst, término general que se utiliza para señalar las características del karst antiguo que se ha fosilizado o conservado, lleno de sedimentos petrificados. (Wikipedia).


Estudiando a Naia

En base a una combinación de datación directa por radiocarbono e indirecta por el método de uranio-torio, los científicos pudieron determinar que el de Naia es uno de los esqueletos más antiguos descubiertos en el continente.

Pero además es el más completo de más de 12.000 años, ya que incluye todos los huesos principales del cuerpo, el cráneo intacto y varios dientes.

Gracias a eso, la tarea de desentrañar la historia de la joven a partir de su ADN dio sus frutos en el laboratorio.

Esta es la primera vez que los investigadores pudieron vincular un esqueleto con las características faciales y del cráneo de un poblador americano primitivo o paleoamericano con el ADN relacionado con los cazadores-recolectores que cruzaron el puente terrestre de Bering desde el noreste de Asia hace entre 26.000 y 18.000 años.

Pero la forma del cráneo de Naia es diferente de los indígenas americanos modernos. Esas formas han llevado a que los científicos creyeran en el pasado que esos pueblos provenían de una población separada que pudo haber llegado desde tan lejos como la Polinesia.

Sin embargo, el análisis genético encontró un vínculo entre Naia y los indígenas modernos, algo que apoya la teoría de que ambos provienen de una población que "evolucionó en el lugar" en América.

De acuerdo con James Chatters, autor principal del estudio, "esta expedición produjo una de las más convincentes evidencias hasta la fecha de un vínculo entre los paleoamericanos, los primeros pobladores de América tras la última glaciación, e indígenas americanos modernos".

"Lo que esto sugiere es que las diferencias entre los dos son resultado de la evolución in situ, en lugar de migraciones separadas de distintos orígenes del Viejo Mundo".

Los científicos han debatido desde hace tiempo sobre el origen de los primeros pobladores del continente Americano.

La teoría más aceptada –y varios análisis genéticos apoyan esta visión– sugiere que los inmigrantes originales cruzaron un puente terrestre que conectó alguna vez el noreste de Asia con lo que hoy es Alaska.

Los análisis genéticos independientes realizados en tres laboratorios distintos llegaron al mismo resultado: el linaje genético de Naia sólo es compartido por indígenas americanos.

"Pudimos identificar su linaje genético con una alta certeza", dijo Ripan Malhi, del Instituto de Biología Genómica de la Universidad de Illinois, uno de los laboratorios implicados en el estudio.

"Esto muestra que los actuales indígenas americanos y los restos de esta antigua joven que analizamos provienen de la misma población de cuando América comenzaba a poblarse".

Los laboratorios de Brian Kemp de la Universidad Estatal de Washington y de Deborah Bolnick en la Universidad de Texas también extrajeron y analizaron AND mitocondrial de los dientes de Naia.

"Naia es uno de los pocos esqueletos encontrados en América que datan de hace 12.000 a 13.000 años, así que nos gustaría secuenciar su genoma entero", dijo Kemp.

"Nuestro siguiente paso se enfocará en intentar secuenciar el ADN nuclear de Naia, determinar la edad y la genética de los otros esqueletos de animales de la cueva y reconstruir el entorno en el que ellos y Naia vivieron", adelantó Chatters.

La investigación fue un esfuerzo internacional que involucró a científicos, buceadores y técnicos de más de diez instituciones.


Ciencia y Tecnología TOMADO DE: El carabobeño.com

DDeessccuubbrreenn uunn rreemmoottoo ppllaanneettaa qquuee ppooddrrííaa aallbbeerrggaarr vviiddaa

FUENTE: BBC Mundo 02/06/2014

DESCUBREN UN REMOTO PLANETA QUE PODRÍA ALBERGAR VIDA. (ES.WIKIPEDIA.ORG)

Redacción Internacional, 2 junio 2014.- Científicos en Estados Unidos anunciaron el descubrimiento de un nuevo planeta rocoso, en un distante sistema solar, que potencialmente podría albegar vida.

Conocido como Kepler-10c, tiene 17 veces la masa de la Tierra y un diámetro de más del doble que nuestro planeta.

Ha sido apodado como una Mega-Tierra.

Los astrónomos dijeron estar sorprendidos de que el pesado y muy denso planeta haya permanecido sólido, sin perder su atmósfera o convertirse en una bola gigante de gas como Júpiter.

Su amplio tamaño también implicar que tiene una mayor superficie en la que potencialmente podría desarrollarse alguna forma de vida.

Se cree que Kepler-10c podría tener el doble de edad de la Tierra, esto es unos 11.000 millones de años.

Descubren dos planetas que orbitan la estrella de Kapteyn, cercana al Sol

FUENTE: EFE 3 junio 2014 LOS DATOS FUERON OBTENIDOS A TRAVÉS DEL OBSERVATORIO CHILENO DE LA SILLA

(FOTO ARCHIVO) Un equipo científico ha descubierto dos planetas que orbitan la estrella de Kapteyn, cercana al Sol, y uno de ellos podría tener condiciones para albergar agua, según publica la revista "Monthly Notices of the Royal Astronomical Sociey".

El grupo de científicos internacionales, encabezado por astrónomos de la Universidad Queen Mary de Londres, llevó a cabo sus estudios a partir de datos obtenidos por un espectrómetro del observatorio chileno de La Silla, señala un artículo de la revista, que sacará el estudio completo del hallazgo en julio.

Según los expertos, uno de los planetas puede tener condiciones para albergar vida pues orbita la estrella a la distancia adecuada, lo que permitiría mantener agua en su superficie.

Descubierta a finales del siglo XIX por el astrónomo holandés Jacobus Kapteyn, la estrella que lleva su nombre pertenece al halo galáctico, una nube de estrellas que orbitan nuestra galaxia.

La estrella Kapteyn puede ser vista en la constelación austral de Pictor con telescopios de aficionados.

En sus estudios, los astrónomos utilizaron un espectrómetro para medir los diminutos cambios en el movimiento de la estrella, lo que les permitió localizar los planetas y conocer sus propiedades, como la masa y los periodos de tiempo de sus respectivas órbitas.

Según los científicos, se trata del planeta Kapteyn b, que tiene una masa cinco veces más grande que la de la Tierra y orbita la estrella cada 48 días, por lo que es suficientemente cálido como para albergar agua en estado líquido en su superficie.

El otro es el planeta Kapteyn c, cuya órbita dura 121 días y es demasiado frío como para mantener agua líquida.

Hasta el momento, según el estudio, son pocas las propiedades conocidas, más allá de la masa aproximada, la distancia y los períodos de órbita, pero los astrónomos confían en poder utilizar nuevas tecnologías para establecer si tienen agua.

Kapteyn es la vigésimo-quinta estrella más cercana al Sol y está a sólo 13 años luz de la Tierra.

Los astrónomos estiman que los planetas se habrían formado hace unos 11.500 millones de años, por lo que serían 2,5 veces más viejos que la Tierra.

"Esto te hace pensar qué tipo de vida pudo haber evolucionado en esos planetas durante tanto tiempo", señaló el autor principal del artículo, Guillem Anglada-Escude, de la Escuela de Física y Astronomía de la Universidad de Queen Mary.


BENO ECKMANN

Nació el 31 de marzo de 1917 en Berna; y murió el 25 de noviembre de 2008, en Zúrich, ambas ciudades en Suiza.

Imágenes obtenidas de:

Varias de las fotos incluidas acá, realizadas por:

PAUL HALMOS y INDIRA CHATTERJI

Beno Eckmann fue criado en Berna donde asistió al gimnasio obteniendo su Diploma en 1935. Luego entró en el Eidgenössische Technische Hochschule Zürich, donde fue alumno de varios destacados matemáticos. Eckmann aprecia mucho la importancia de este aspecto en su desarrollo matemático al escribir (Leer en referencia [1]):

Yo creo que lo mejor que puede pasarle a un matemático universitario es tener un buen maestro o buenos estudiantes; fui

afortunado de tener ambas cosas. Con respecto a los buenos maestros ciertamente basta si menciono algunos nombres: Heinz

Hopf, Plancherel, Pólya, Bernays. Como estudiante asistí a sus cursos y seminarios, y fui introducido de manera inusualmente

personal al mundo de las matemáticas.

Eckmann obtuvo su grado de maestría en la Eidgenössische Technische Hochschule Zürich (ETH) en 1939. Se le designó asistente de Plancherel mientras trabajaba para su doctorado bajo la tutoría Hopf. Eckmann explica cómo estos dos constituyeron una base notable para su carrera (Leer en referencia [1]):

Como asistente de Plancherel tuve la oportunidad de trabajar, e incluso dar conferencias, en diferentes campos, incluyendo el

análisis. Bajo la tutoría maravillosa de Heinz Hopf entonces comencé mi trabajo de tesis doctoral. Era característico de las visiones

de Hopf sobre nuestra ciencia que esto significó no sólo aprender topología algebraica - entonces un campo muy joven – sino

también familiarizarme con la teoría de grupos, la geometría diferencial y álgebra en el sentido de lo "abstracto" de la escuela de

Emmy Noether. La combinación de estos campos, considerados en aquel momento ampliamente distanciado unos de otros, seguió

siendo un reto constante durante todo mi trabajo posterior...

En 1941 Eckmann recibió su Doctorado de Ciencias en Matemática (equivalente a un Ph. D.) de la ETH de Zúrich. Presentó una tesis que fue considerada absolutamente excepcional, incluso comparada con los exigentes altos estándares que tenía la institución; y Eckmann fue galardonado con el Premio Kern y la Medalla de Plata por su trabajo. Después de la concesión del doctorado permaneció en Zúrich como docente hasta 1942 cuando fue nombrado conferencista en la Universidad de Lausana.

La persona más importante en influir a Eckmann durante sus años en la Universidad de Lausana fue Georges de Rham, quien era profesor extraordinario cuando Eckmann llegó y se convirtió en profesor a tiempo completo en 1943. Eckmann escribe:

Mi primer cargo universitario fue en Lausana de 1942-1948 donde estreché lazos de amistad y estímulo con Georges de Rham.

Mientras permaneció en Lausana, Eckmann visitó el Instituto para Estudios Avanzados de Princeton. Fue allí en enero de 1947 y permaneció en este lugar casi todo el año, volviendo a Lausana en septiembre. Esto le dio:

... la posibilidad de de concentrarse en sus investigaciones y conocer a muchos matemáticos de renombre, quienes habían sido difíciles de contactar previamente debido a la guerra.

En 1948, a Eckmann, quien ya había sido ascendido a Profesor Extraordinario en Lausana, se le ofreció un cargo de Profesor a Tiempo Completo en el Eidgenössische Technische Hochschule Zürich. Era una oportunidad que sin duda él no iba a dejar pasar y le alegraba estar de vuelta; allí permaneció como profesor hasta retirarse en 1984. Él, sin embargo, hizo tuvo muchas participaciones como Profesor Visitante en otras instituciones. Por ejemplo, fue profesor visitante en la Universidad de Michigan durante el verano de 1950, la Universidad de Illinois durante el invierno de 1952, la Universidad de California en Berkeley durante el verano de 1955 y en la Scuola Normale Superiore de Pisa en la primavera de 1958.


Un cambio importante en las tareas de Eckmann en Zúrich se produjo en 1964. En ese año el Forschungsinstitut für Mathematik (Instituto de investigaciones Matemáticas) fue fundado en Zurich. Eckmann fue nombrado director de este Instituto y ocupó este cargo hasta que su retiro en 1984. Él escribió que el Instituto fue:

... diseñado especialmente con el propósito de invitar a los visitantes a cooperar con los miembros del Departamento y sus

estudiantes. El Instituto se convirtió rápidamente en un conocido centro internacional de investigación en matemáticas. No hace

falta decirlo, fue de gran beneficio para mí...

En abril de 1977 se celebró un coloquio en Zúrich para celebrar el cumpleaños sesenta de Eckmann. Saunders Mac Lane habló en el coloquio sobre las contribuciones de Eckmann a la fundamentación de la Álgebra Homológica y la Teoría de la Categoría. Peter Hilton, quien había sido amigo personal de Eckmann por muchos años, habló en detalle de la investigación de Eckmann en topología: continuas soluciones de sistemas de ecuaciones lineales, una prueba de la Teoría de Grupos de Hurwitz-Radon, complejos con operadores, espacios con puntos medios, tipo de homotopía simple. Los detalles de estas contribuciones de investigación se pueden leer en la referencia [2].

Hilton describió las contribuciones de Eckmann a las matemáticas con los siguientes calificativos:

... unificación, clarifidad y profundidad.

Eckmann, (leer en referencia [1]), expresó su agradecimiento a Peter Hilton por sus colaboraciones durante muchos años:

Estoy profundamente agradecido, no sólo por su estímulo y compartir tantas ideas conmigo, sino también por su amistad...

No sólo colaboró Eckman con Peter Hilton. Más bien colaborar era lo que más le gustaba hacer y muchos de sus trabajos de investigación fueron realizados en estas colaboraciones, algunas con sus propios estudiantes.

Finally we should comment on other roles which Eckmann held and honours which he has received. He was Secretary to the International Mathematical Union from 1956 to 1961, President of the Swiss Mathematical Society in 1961-62, and a member of the research Council of the Swiss National Science Foundation from 1964 to 1984. He received honorary degrees from Fribourg in 1964, Lausanne Polytechnique in 1969, and the Israel Institute of Technology in 1983. He was also awarded the Prix Mondial Nessim Habif from the University of Geneva in 1967.

Finalmente, se debe comentar sobre otras funciones que Eckmann realizó y honores que él recibió recibido. Fue Secretario de la Unión Matemática Internacional de 1956 a 1961, Presidente de la Sociedad Matemática Suiza entre 1961 y 19-62, y miembro del Concejo de Investigación de la Fundación de Ciencia Nacional de Suiza de 1964 a 1984. Él recibió los grados honorarios de Friburgo en 1964, el Politécnico de Lausana en 1969, y Instituto Israelí de Tecnología en 1983. También se le otorgó el Premio Habif Nessin Mondial de la Universidad de Ginebra en 1967.

Referencias.-

Libros:

1. M. A. Knus, G. Mislin y U. Stammbach (eds.), Beno Eckmann Selecta (Berlin, 1987).

Artículos:

2. P. Hilton, Some contributions of Beno Eckmann to the development of topology and related fields, Enseignement Math. (2) 23 (3-4)

(1977), 191-207. Versión en español por R. Ascanio H. del artículo en inglés de J. J. O’Connor y E. F. Robertson sobre “Beno Eckmann” (Septiembre 2001). Fuente: MacTutor History of Mathematics. [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Eckmann.html]

homotecia no. 8-12 agosto 2014 - ucservicio.bc.uc.edu.ve/homotecia/2014/8-2014.pdf · condiciones...

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