geoestadistica

Grupo de Ríos y Embaleses, Universidad de Granada

Córdoba, ETSIAM, 22/05/2003

1

Introducción a la Geoestadística

Karl VanderlindenGrupo de Ríos y EmbalsesUniversidad de Granada

2

Contenido

• ¿Qué es la geoestadística?

• ¿Por qué geoestadística?

• Ámbitos de aplicación

• Un poco de historia ...

• ¿Dónde encontrar más información?

• Pasos de un estudio geoestadístico

Introducción a la geoestadística



3

¿Qué es la geoestadística ?• Definición:”Estudio estadístico de fenómenos naturales que se

distribuyen de forma continua en el espacio y/o el tiempo”

• Tradicionalmente: “GEO” = geología (minería)

Ahora: “GEO” = geográfico (SIG)

Definiciones alternativas:⇒ “Estadística aplicada a datos geográficos”

⇒ “Estadística espacial”⇒ “Gestión, tratamiento e interpretación de datos espaciales”

⇒ “Descripción cuantitativa de variables naturales que se distribuyen en el espacio o en el espacio y el tiempo”

(Chilès y Delfiner, 1999)


4

¿Por qué geoestadística? (1)Ejemplo (Webster y Oliver, 2001).• Un agricultor quiere que se le determine el contenido en fósforo del

suelo de su finca.• No quiere el valor medio de cada parcela, sino información más

detallada, de modo que pueda fertilizar solamente donde el suelo resulta deficiente en fósforo.

⇒ toma de muestras de suelo, secar, tamizar, extraer fósforo y medirlo en los extractos.

⇒ costoso, consume mucho tiempo

Contenido en fósforo en todos los puntos de muestreo

El agricultor quiere información continua, en todos los puntos de su finca.




5

¿Por qué geoestadística? (2)• ¿Cómo obtener información en puntos no

muestreados?• ¿Cómo se relacionan los pequeños volúmenes de suelo

de las muestras con los bloques de de tierra que trata el agricultor con su maquinaria (p. ej. 24 m de ancho).

• ¿Cuántas muestras de suelo hay que tomar, y dónde, para que esta información sea fiable.

• Gasto para obtener esta información (muestreo de suelo + análisis)

• Argumentos agronómicos• Argumentos ambientales

Beneficio económico de la aplicación localizada de fósforo (Agricultura de Precisión)

Usar datos dispersos y asequibles para estimar, o predecir, el contenido medio en fósforo en bloques de suelo de 24 x 24 m.


6

¿Por qué geoestadística? (3)Un agricultor (tecnológicamente avanzado) puede

hoy día:• Posicionar su maquinaria en el campo con una

precisión de < 2 m• Puede medir y registrar la producción de los

cultivos continuamente durante la cosecha• Puede regular la cantidad de fertilizante

suministrada según la cantidad requerida • ¿Pero cómo puede obtener la información

sobre el estado nutricional del suelo a un precio razonable?

GEOESTADÍSTICA




7

¿Por qué geoestadística? (4)Igualmente aplicable a:

• Salinidad del suelo• Contaminación por metales pesados• Precipitación• Presión atmosférica• Partículas en el aire• ...

⇒ Todas estas variables ambientales son continuas, pero sólo podemos observarlas en algunos puntos concretos.

⇒ Geoestadística: Estimar, o predecir espacialmente, sin sesgo y con un error mínimo.


8

Ámbitos de aplicación• Minería• Industria Petrolífera• Geología• Meteorología, Climatología• Cartografía de suelos, Edafología• Hidrología y Geohidrología• Silvicultura• Ecología• Patología vegetal• Epidemiología• Entomología• Ciencias Ambientales• Remediación de suelos contaminados• Salud Pública• ...




9

Un poco de historia ... (1)• Mercer y Hall (1911): varianza entre parcelas (producción) disminuye

cuando el tamaño de las parcelas aumenta, hasta un cierto límite.• “Student”: parcelas más cercanas dan resultados más similares

(dependencia espacial, alcance de correlación, efecto pepita).• Fisher (1925): análisis de varianza, reducir los efectos de la variabilidad

espacial.• Youden y Mehlich (1937): escala de variación espacial, variación para

diferentes distancias de separación y diseño de muestreos adicionales.• Kolmogorov (años 30): correlación espacial (y función estructural para

describirla, el variograma), interpolación óptima (kriging).• Matérn (1960): covariograma espacial, silvicultura • Gandin (1965): climatología, evaluación de redes de observatorios.• Años 40-50: Ingenieros de minas de oro de Sudáfrica (H. Sichel y D.G.

Krige) desarrollan un procedimiento empírico basado en la estimación ponderada.


10

Un poco de historia ... (2)

• Años 60: G. Matheron: “La teoría de las variables regionalizadas” (Escuela de Minas de Paris, Fontainebleau, Francia)⇒ poca difusión, muy complicado, base de la geoestadística de hoy día

• Años 70: Aparición de textos en Inglés ( A. Journel, Stanford, y M. David, Montreal). Aplicado principalmente a la minería.

• Años 80: Aplicación a las ciencias del suelo por R. Webster y estudiantes (P. Burrough, A. McBratney, ...)

• 1989: “An Introduction to applied geostatistics” (Isaaks y Srivastava): Texto muy didáctico.

⇒ Amplia difusión y aplicación de la geoestadística




11

¿Dónde encontrar más información ?

Armstrong, M., 1998. Basic Linear Geostatistics. Springer Verlag, Berlin.Chilés, J.P. y P. Delfiner, 1999. Geostatistics. Modeling Spatial Uncertainty. John Wiley & Sons, Nueva York.David, M., 1977. Geostatistical Ore Reserve Estimation. ElsevierScientific Publishing Company, Amsterdam.*Davis, J.C., 1973. Statistics and Data Analysis in Geology. John Wiley & Sons, Nueva York.*Deutsch, C.V. y A.G. Journel, 1998. GSLIB: Geostatistical Software Library and User’s Guide (segunda edición). Oxford University Press, Nueva York.

LIBROS (1)


12


*Goovaerts, P., 1997. Geostatistics for Natural Resources Evaluation. Oxford University Press, Nueva York.*Isaaks, E.H., Srivastava, R.M., 1989. An introduction to applied geostatistics. Oxford University Press, Nueva York.Journel, A.G. y C.J. Huijbregts, 1978. Mining Geostatistics. Academic Press, Londres.*Oliver, M.A. y R. Webster, 1990. Statistical Methods in Soil and Land Resource Survey. Oxford University Press, Oxford.Pannatier, Y., 1996. VARIOWIN: Software for Spatial Data Analysis in 2D. Springer Verlag, Nueva York.

LIBROS (2)




13


*Webster R. y M.A. Oliver, 2001. Geostatistics for Environmental Scientists. John Wiley & Sons, Chichester.Christakos, G., P. Bogaert y M.Serre, 2002. Temporal GIS. Advanced Functions for Field-Based Applications. Springer. Heidelberg.

LIBROS (3)

REVISTAS

Mathematical Geology, Geoderma, European Journal of Soil Sciences, Computers and Geosciences, Water Resources Research, Soil Science Society of America Journal, ...


14


Enlaces www• Ai-geostats: http://www.ai-geostats.org• Geostatistical Analysis Tutor: http://uncert.mines.edu/tutor/• Pierre Goovaerts: http://www-personal.engin.umich.edu/~goovaert/• Workgroup on Pedometrics:

http://www-personal.engin.umich.edu/~goovaert/pedometrics.html.• The Australian Centre for Precision Agriculture:

http://www.usyd.edu.au/su/agric/acpa/

Programas informáticos

Geo-EAS, GSLIB, GSTAT, VARIOWIN, VESPER, R+, SADA, WINGSLIB, GS+, S+, MATLAB, IDRISI, SURFER, ARCGIS GEOSTATISTICAL ANALIST, ...




15

Pasos de un estudio geoestadístico.

1. Análisis exploratorio de los datos

2. Análisis estructural o variografía

3. Interpolación o estimación espacial - krigeado

4. Validación del modelo geoestadístico


16

Análisis exploratorio

Introducción a la geoestadística – Análisis exploratorio

• Primer paso de cualquier análisis -(geo)estadístico o no- de datos.

• “Go beyond the data” o familiarizarse con el conjunto de datos.

• Representar los datos en figuras y diagramas en vez de analizar directamente listados en formato tabular

• Identificar observaciones “sospechosas”• Calcular los estadísticos descriptivos: resumir los datos• Datos geográficos: controlar la posición• Identificar las poblaciones• Caracterizar la función de distribución y proponer alguna

transformación de los datos si no es normal.



17


0 25 50 75 100km

0 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000 3300 Altitud (m)

estaciones de interiorestaciones costeras

Representación espacialLocalización de 160 observatorios meteorológicos de interior (a más de 10 km de la costa) y 31 costeros en Andalucía. El mapa de fondo es el MDE junto con los limites de las 8 provincia.

18

Estadística descriptivaRepresentar la variación ...

El histograma


ETo (mm/año)

1445.01375.01305.01235.01165.01095.01025.0955.0

Núm

ero

40

35

30

25

20

15

10

5

0

ETo interior (mm/año)

1445.01375.01305.01235.01165.01095.01025.0955.0

Núm

ero

40

35

30

25

20

15

10

5

0

ETo costa (mm/año)

1445.01375.01305.01235.01165.01095.01025.0955.0

Núm

ero

40

35

30

25

20

15

10

5

0



19

Estadística descriptivaRepresentar la variación ...¿Qué aprendemos

del histograma?• Estimación de la función de densidad• Tipo de distribución (Normal, log-normal, ...)• Distribución uni-modal, multi-modal• Aparición de valores extremos y outliers• Variabilidad del fenómeno

Histograma bi-modal

Histograma acumulativo


20


Diagramas de “cajas y bigotes” (“Box & Whisker plots”)

0

4

8

12

16

z

-4

-2

0

2

4

ln(z

) cuartil superior (CS)

cuartil inferior (CI)

mediana (M)

Intervalo intercuartilico (IIC)

< CI – 1.5 IIC

> CS + 1.5 IIC




21


Diagramas de “cajas y bigotes” (“Box & Whisker plots”)

Estaciones de interior ↔ Estaciones costeras

DCNVOCSPAGJLJNMYABMZFBEN

ETo

(mm

/mes

)

250

200

150

100

50

0DCNVOCSPAGJLJNMYABMZFBEN

ETo

(mm

/mes

)

250

200

150

100

50

0


22


Tratar datos con una distribución sesgada: transformación logarítmica

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4ln (z)

0

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

Frec

uenc

ia

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9z

0

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

Frec

uenc

ia




23

Estadística descriptivaMedidas de centralización ...

• La media aritmética: ⇒ sensible para valores extremos

• La moda: ⇒ insensible para valores extremos

• La mediana: ⇒ sensible para valores

extremos ⇒ sensible para la ausencia

de datos en la parte central de la distribución

( )µ = E Z u

El valor que aparece con mayor frecuencia

El valor central cuando los datos se ordenan de menor a mayor. El 50 % de los valores son inferiores y el 50 % superiores

( )αα =

= ∑1

1 n

m zn

u


24

Estadística descriptiva Medidas de centralización ...

Distribución simétrica: media = moda = mediana

z

f(z)

0

0.25

0.5

0.75

1

F(z)

función de densidadfunción de distribución

MCI CS




25

Estadística descriptivaMedidas de centralización ...

Distribución asimétrica: (moda – mediana) ≈ 2 × (mediana – media)

z

f(z)

0

0.25

0.5

0.75

1

F(z)

función de densidadfunción de distribución

M CSCI

Mod

a

Med

ia


26

Estadística descriptivaMedidas de dispersión ...

• La varianza: ( )

( ) ( )( )( )( )

( )( ) ( )( )

2

2

2

2 22 2

1 1

1 1n n

var Z u

E Z u E Z u

E Z u

s z u m z u mn nα α

α α

σ

µ

= =

= = − = −

= − = −∑ ∑

⇒ cuantifica la dispersión entorno a la media ⇒ en unidades de medición al cuadrado ⇒ aditivo ⇒ muy sensible para valores extremos ⇒ raíz cuadrada: la desviación típica, s




27


• La varianza: Hay que corregir la fórmula anterior porque no podemos muestrearla población entera, solamente disponemos de una muestra que consiste de un limitado numero de observaciones

( )( )22

1

11

n

s z u mn α

α =

= −− ∑

• Error estándar: ( ) 2s m s n=

• Varianza de estimación: ( )2 2s m s n= ( )2E m µ −

⇒ La desviación típica de medias de muestras de n observaciones

⇒ Cuanto más grande la muestra, más confianza podemos tener en m


28


⇒ Expresa la dispersión en términos relativos⇒ P.ej.: cuando una propiedad ha sido medida en dos zonas

diferentes con valores similares de s, pero diferentes de m.⇒ Medida de la asimetría de distribuciones positivamente sesgadas⇒ Indicador preliminar de posibles problemas para la estimación

local:

• El coeficiente de variación: 100 sCV %m

=

<100 % → sin problemas100-200 % → dificultades con valores extremos>200 % → grandes dificultades con valores extremos

• El Intervalo intercuartilico (IIC):

⇒ En unidades de medición⇒ Insensible para valores extremos




29


⇒ Mide la asimetría de la distribución⇒ CS = 0 → distribución simétrica⇒ CS > 0 → sesgo positivo (la función de densidad muestra una

cola larga por la derecha)⇒ CS < 0 → sesgo negativo (la función de densidad muestra una

cola larga por la izquierda)

• El coeficiente de sesgo (CS):

• Tercer momento entorno a la media:

• El CS se define como:

( )( )33

1

11

n

m z u mn α

α =

= −− ∑

3 3 333

2 2 2

m m mCSsm m m

= = =


30


CS < 0 CS = 0 CS > 0

• El coeficiente de sesgo (CS):

⇒ 0 < CS ≤ 0.5 → no es necesario transformar los datos⇒ 0.5 < CS ≤ 1 →⇒ CS > 1 → ln o log

⇒ Transformar los datos (Webster, 2001)




31


⇒ Mide la forma del pico de la distribución de densidad⇒ CS = 0 → distribución normal⇒ CS > 0 → distribución más puntiaguda que la normal⇒ CS < 0 → distribución menos puntiaguda que la normal

• El coeficiente de curtosis (CC):

• Cuarto momento entorno a la media:

• El CC se define como:

( )( )44

1

11

n

m z u mn α

α =

= −− ∑

( )3 3

2 2 422

3 3 3m mmCCm ss

= − = − = −


32

Descripción bi-variada ⇒ cuando se dispone de observaciones de dos variables en

los mismos puntos, u

• Gráficos de dispersión

• Para distribuciones muy sesgadas se puede necesitar dos gráficospara representar con más detalle los puntos cerca del origen.

• Otra solución: usar una escala logarítmica


0 200 400 600 800 1000 1200 1400Elevation (m)

900

1000

1100

1200

1300

1400

1500

ETo

(mm

yea

r-1)

All stationsY = 1342.3 + 0.00697 X - 0.000234 X2

R2 = 0.628



33

Descripción bi-variada• Coeficiente de correlación:

2

2 2, y 1 1ij

ij ij

i j

s

s sρ ρ= − ≤ ≤


34

Descripción bi-variada• Coeficiente de correlación: deficiencias

• Mide la dependencia lineal

• Sensible para valores extremos

⇒ Requiere un control visual del gráfico de dispersión




35

Descripción bi-variada• Coeficiente de correlación de Spearman

(“Rank correlation coefficient”)

1. Ordenar todas las observaciones de menor a mayor

2. Calcular la correlación entre valores de orden de cada variable


36

Descripción bi-variada• Coeficiente de correlación de Spearman

(“Rank correlation coefficient”)

ρrank > ρ• Relación monótona pero no lineal• Algunos valores extremos

“estropean” una buena correlación

ρrank < ρ• Algunos valores extremos mejoran

artificialmente una mala correlación “estropean” una buena correlación




37

Análisis estructural o variografía

• Cuantificación de la correlación espacial y su estructura

• Cálculo del semivariograma muestral o experimental• Analizarlo e interpretarlo• Ajustar un modelo teórico

Introducción a la geoestadística – Variografía

38

La teoría de las variables regionalizadas (1)

• Las variables espaciales no suelen ser totalmente aleatorias, pero muestran una forma de estructura en su variabilidad espacial:

⇒ Los puntos cercanos en el espacio/tiempo suelen adoptar valores similares

Variable Regionalizada, VR (G. Matheron)

⇒ Geoestadística: “Aplicación de métodos probabilísticos a variables regionalizadas.”

= Variable Aleatoria (VA) que se distribuye espacialmente




39


La teoría de las variables regionalizadas supone que se puede expresar la variación de cualquier variable como la suma de trescomponentes básicos:

• Componente estructural, µ (u): media constante o deriva, funcióndeterminística

• Componente aleatorio, espacialmente correlacionado, δ (u): estocástico, localmente variable y espacialmente dependiente, residuos de µ (u): la variable regionalizada

• “Ruido blanco”, espacialmente independiente, ε (u): error aleatorio residual con N(0,1)

( ) ( ) ( ) ( )Z µ δ ε= + +u u u u


40


(i) (ii) (iii)( ) ( ) ( ) ( )Z m δ ε= + +u u u u




41


El concepto de la Función Aleatoria (FA):


42


Hipótesis de Estacionariedad:

• Suponer estacionariedad para poder tratar los datos en diferentes puntos como si fueran diferentes realizaciones de la propiedad.

• Estacionariedad significa que la función de distribución del proceso aleatorio tiene característicos que son iguales en todos los puntos (primer y segundo momento).




43

La función de autocorrelación

( ) ( ) ( ) ( ) 2C C , con Cρ σ= =h h 0 0

⇒ la covarianza para el paso h =0, C(0), es igual a la varianza, σ2

⇒ sin dimensiones ⇒ bajo condiciones de estacionariedad de

segundo orden:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }C C C 1-γ ρ= − =h 0 h 0 h

( ) ( ) ( ){ }2 2C 1-γ σ σ ρ= − =h h h 0 h0

covarianza, C(h)

semivarianza, γ(h)

varianza, C(0) = σ2

( ) ( ) ( ){ } ( ){ }µ µ = = − − ,i j i jC C E Z Zu u h u u = −i jh u u

( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )22var Z Z E Z Z γ − + = − + =

u u h u u h h


44

⇒ C(h) y γ (h) son continuas en h =0

⇒ C(h): C(0) = σ2 → C(∞) = 0⇒ γ(h): γ(0) = 0 → γ(∞) = σ2

⇒ En la práctica: efecto pepita = error de medición + variación a distancias inferiores al intervalo de muestreo (“nugget variance” o “nugget effect”)

• Autocorrelación: -1 ≤ ρ(h) ≤ 1 y ρ(0) = 1

• Simetría en el espacio: C(h) = C(-h), ρ(h) = ρ(-h) y γ (h) = γ(-h) ⇒ representar solamente la parte derecha de las funciones ( h≥0)

• Continuidad espacial:

en teoría

efecto pepita

0 h0

γ(h)

en la práctica


Características de las funciones de correlación espacial (1)



45


• Monótonamente creciente: la disimilitud aumenta cuando h aumenta

• Meseta y alcance (“sill” y “range”): bajo condiciones de estacionariedad de segundo orden el variograma alcanza un límite superior, la meseta, para un cierto h, el alcance.

alcance

efecto pepita

0 h0

γ(h)

mesetaσ2

dependenciaespacial

independenciaespacial


46





47

¿Cómo calcular el variograma? (1)

• (semi)variograma experimental = (semi)variograma muestral

• se calcula mediante un algoritmo que depende de la configuración espacial de los datos (1D, regular e irregular o 2D, regular e irregular).

( ) ( ) ( ) ( ){ }( )

2

1

1ˆ2

N

z zN α α

α

γ=

= − +∑h

h u u hh

• N(h): número de pares de observaciones separadas por el vector h

• h: vector de separación, determina la distancia entre dos observaciones en una cierta dirección


48

h = 1: (10-7)2+(11-10)2+(13 - 11)2

+(12-13)2+(14-12)2+(12-14)2

+(13-12)2+(10-13)2+(11-10)2

+(9-11)2+(8-9)2 = 39

N(1) = 11

Muestreo regular en una dimensión:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12u

02468

101214

Z

7

10 1113 12

1412 13

10 119 8

( ) ( ) ( ) ( ){ }( )

2

1

1ˆ2

N

z zN α α

α

γ=

= − +∑h

h u u hh

( )ˆ 39 22 1.78γ = =1

h = 2: (11-7)2+(13 - 10)2 +(12-11)2

+(14-13)2+(12-12)2 +(13-14)2

+(10-12)2+(11-13)2 +(9-10)2

+(8-11)2 = 46

N(2) = 10

( )ˆ 46 20 2.30γ = =2





49

Muestreo regular en una dimensión:

12

34

56

1110

98

76

3946

8889

10873

1.782.30

4.895.56

7.716.08

( ) ( ){ }( )

2

1

N

z zα αα=

− +∑h

u u h ( )γ̂ hh N(h)

0 1 2 3 4 5 6h

0

2

4

6

8

γ(h

)



50

¿Cómo calcular el variograma? (4)Muestreo irregular en una dimensión:

u

⇒ agrupar en clases todas las distancias de separación⇒ clase hi = [hi - tol, hi + tol]⇒ como hi se emplea la h media de [hi - tol, hi + tol]⇒ elegir h con cuidado: demasiado grande (variograma demasiado

suavizado) ⇔ demasiado pequeño (variograma errático porque no hay bastante pares de puntos en cada clase de h)

⇒ punto de partida: h = distancia media hasta el punto más cercano y tol = h/2




51

¿Cómo calcular el variograma? (5)Muestreo irregular en dos dimensiones:

⇒ agrupar en clases de h según la direccióny la distancia

x

yy


52

¿Cómo calcular el variograma? (6)Mapas de semivarianza:

Semivarianza normalizada 0 0.5 1 1.5 2 2.5

-150 -100 -50 0 50 100 150

Distancia dirección E-O (km)

-100

-50

0

50

100

Dis

tanc

ia d

irecc

ión

N-S

(km

)

AÑO semivarianzade la variabletransformada

0 100 200 300Distancia dirección X (m)

-200

-100

0

100

200

Dis

tanc

ia d

irecc

ión

Y (m

)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3ETo en AndalucíapH parcela Guadiamar




53

¿Cómo calcular el variograma? (7)Variabilidad anisotrópica:

1. Isotropía: La variación espacial de la variable bajo estudio es igual en todas la direcciones

2. Anisotropía: la semivarianza no depende solamente de h, pero también de la dirección

Anisotropía geométrica Anisotropía zonal⇒ en la práctica una combinación de ambos

0 h0

γ(h)

σ2

dir N-Sdir E-O

0 h0

γ(h)

σ2

dir N-Sdir E-O


54

¿Cómo calcular el variograma? (8)Algunas reglas generales:

⇒N >100 en el caso de isotropía y N > 250 en el caso de anisotropía⇒ “Cuanto más puntos mejor” (el número de observaciones es en muchas

ocasiones restrictivo para la aplicación de geoestadística)⇒El número total de pares de observaciones = N(N-1)/2⇒El número de pares en el que se basa el cálculo de cada punto del

variograma debería ser por lo menos 30 – 50.⇒El paso h máximo del variograma experimental deberia ser inferior a la

mitad de la dimensión máxima de la zona de estudio: hmax ≤ L/2⇒efecto pepita = variabilidad inexplicada. Se debería de incorporar en

cada diseño de muestreo algunas observaciones a pequeñas distancias de otros para obtener información sobre el comportamiento del variograma en la cercanía el origen. Esto permitirá una descripción completa de la variabilidad espacial e incrementará la precisión de la interpolación espacial.




55

Modelar el variograma (1)

⇒Ajustar un variograma teórico al variograma experimental que se ha calculado a partir de los datos

⇒Variograma teórico = función que representa el variograma real del fenómeno.

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250Distancia (km)

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

Sem

ivar

iogr

ama

(mm

2)

ETo anual en Andalucía


56

Modelar el variograma (4)Modelos (o funciones) autorizados

1. Efecto pepita puro:

0 h0

γ(h)

co= σ2

( ) 2ocγ σ= =h

retícula de 256 ×256 celdas




57


2. Modelo lineal con meseta :( ) c

ac

para 0< a

para >aγ

≤ =

h hh

h

a0 h

0

γ(h)

c

Solamente CNSD en 1D !!!


58


3. Modelo esférico :( )

33 12 2

ca a

c

para 0< aEsf

para >a

γ

− ≤ = =

h h hhha

h

⇒ De los más comunes en la edafología

⇒ CNSD en 1, 2 y 3-D

a0 h

0

γ(h

)

c




59


3. Modelo esférico :

( )33 1

2 2c

a a

c

para 0< a

para >a

γ

− ≤ =

h h hh

h

c = 1.0a = 15

c = 1.0a = 25

c = 1.0a = 50


60


4. Modelo exponencial : ( ) 1 0cr r

Exp exp para γ = = − − <

h hh h

a ≈ 3r0 h

0

γ(h)

c

r

γ(h) = 0.95 c ⇒ r = parámetro de distancia⇒ se aproxima asintóticamente a

la meseta

⇒ a (≈ 3r) es el alcance efectivo

⇒ a = h a la cual γ(h) = 0.95 c⇒ variograma de modelos

autoregresivos (Markov)




61

Modelar el variograma (9)Modelos (o funciones) autorizados 4. Modelo exponencial :

co= 0c = 1.0r = 5

co= 0c = 1.0r = 16

co= 1/3c = 2/3r = 5

co= 1/3c = 2/3r = 16


62


5. Modelo gaussiano : ( )2

21 0cr r

Gaus exp para γ = = − − <

h hh h

⇒ r = parámetro de distancia⇒ se aproxima asintóticamente a la

meseta⇒ a (≈ 1.73 r) es el alcance efectivo

⇒ a = h a la cual γ(h) = 0.95 c

⇒ fenómenos muy continuos⇒ se aproxima al origen con gradiente

= 0 → inestabilidad numérica cuando se resuelve el sistema de ecuaciones del krigeado

a ≈ 1.73 r0 h

0

γ(h)

c

r

γ(h) = 0.95 c




63

Modelar el variograma (16)Combinaciones de modelos

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3γ γ γ γ= + +h h h h …

Cuando el semivariograma tiene diferentes escalas de variación → intentar buscar una explicación física

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250Distancia (km)

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

Sem

ivar

iogr

am

a (

mm

2)

ETo anual en Andalucía

Una combinación lineal de modelos CNSD es también un modelo CNSD


64

Modelar el variograma (17)Combinaciones

de modelos

a20 h0

γ(h)

co+c1+c2

co

c2

c1

a1

( )

3 3

1 21 1 2 2

3

1 22 2

1 2

3 1 3 12 2 2 2

3 12 2

o

o

o

c c ca a a a

c c ca a

c c c

1

1 2

2

para 0< a

para a < a

para >a

γ

+ − + − ≤

= + + − ≤

+ +

h h h h h

h hh h

h

Modelo esférico doble




65

Modelar el variograma (19)¿Cómo ajustar un modelo al variograma experimental?

⇒ Uno de los temas más controvertidos de la geoestadística ¿Por qué?

1. La mayoría de los modelos son no-lineales en uno o más parámetros.

2. La fiabilidad de los valores de semivarianza no es igual para todos los h

3. La dispersión en el variograma experimental puede hacer el ajuste automatizado numéricamente inestable

⇒ “ajuste a ojo” ⇔ ajuste por mínimos cuadrados

⇒ programa VARIOWIN : combinación de ambos⇒ Ponderar los valores experimentales del variograma según el

número de pares de observaciones que se han empleado para su cálculo


66

Interpolación o estimación espacial - Krigeado

• Estimación en puntos donde no se dispone de observaciones (nodos de una retícula regular)

• Tener en cuenta la correlación espacial (el semivariograma)• Estimación puntual o en bloques (2, 3 D)• Krigeado simple, krigeado ordinario, krigeado universal, ...• Incorporar toda la información disponible: variables

secundarias, imágenes de satélite, MDE´s: ⇒ geoestadística multivariada

• Co-krigeado, Krigeado simple con media local variable, Krigeado con una deriva externa, ...

Introducción a la geoestadística – Krigeado



67

Introducción (1) Once a map is drawn people tend to accept it as reality

Bert Friesen

Mapa de suelos de Andalucía (1:400000)64 unidades cartográficas

,


68

Introducción (2)

0 2 4 6 8 10

0

2

4

6

8

10

1

2

3

4

5

3

4

2

4

6

?

¿Cómo calcular el valor en el punto rojo?

⇒ Interpolación espacial




69

Introducción (3)

0 2 4 6 8 10

0

2

4

6

8

10

1

2

3

4

5

3

4

2

4

6

?

λ1

λ3

λ5

λ4

λ2

( ) ( )n

o i ii

z z1

λ∗

=

= ∑u u

Estimación o Interpolación espacial

Media ponderada de los datos

⇒ λi = ?


70

Otros métodos de interpolación (1) 1. Polígonos de Thiessen (Voronoi, Dirichlet)

⇒cada predicción se basa en solamente una observación⇒mapa resultante es una superficie que varia de forma discontinua

i ii

V1 si 0 de otra forma

λ∈

=

u




71

1. Polígonos de Thiessen (Voronoi, Dirichlet)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Y

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

Otros métodos de interpolación (2) Introducción a la geoestadística – Krigeado

72

2. Triangulación

⇒ cada predicción se basa en solamente tres observacionen

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )x x x x x x x xx x x x x x x x

01 31 22 32 02 32 21 311

11 31 22 32 12 32 12 31

λ− − − − −

=− − − − −

{ }x x11 12,

{ }x x01 02,

{ }x x31 32,{ }x x21 22,

1λ




73

2. Triangulación

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Y

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6


74

3. Inverso de la distancia

ii i in

ii

d dd

0

1

con 0 y α

αλ α

−

−

=

= > = −

∑u u

• muy popular, sobre todo para α=2• si z(uo) coincide con z(ui) ⇒ z(uo) =z(ui): interpolación exacta• λi disminuye rápidamente cuando di aumenta: localmente sensible• la elección de α es arbitraria• no tiene en cuenta la configuración de los datos• muy rápido• ocurrencia de “manchas” alrededor de los puntos de observación

(“Bull´s-eyes”)




75

3. Inverso de la distancia

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Y

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Y

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

α = 2 α = 0.5


76

plano:

superficie cuadrática:

⇒ ajuste por mínimos cuadrados

4. Regresión polinómica

Otros métodos de interpolación (7)

• regresión múltiple donde las variables independientes son las coordenadas espaciales. Por ej.:

( ) ( ) ε= +, ,z x y f x y

z(x,y) : el valor estimado en el punto {x,y}f : una función de las coordenadas espacialesε : término de error, independiente e idénticamente distribuido (iid)

con media = 0

= + +1 2oz b b x b y

= + + + + +2 21 2 3 4 5oz b b x b y b x b y b xy




77

4. Regresión polinómica

Otros métodos de interpolación (8)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Y

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Y

1234567891011

= + +1 2oz b b x b y = + + +1 2 3oz b b x b y b xy


78

TeoríaKrigeado Ordinario (KO) (1)

( )( )

( )n

iKO o KO i

iZ Z

1λ∗

=

= ∑u

u u

¿Cómo calcular la media ponderada para estimar el valor en el punto uo usando la información disponible en los puntos ui?

0 2 4 6 8 10

0

2

4

6

8

10

1

2

3

4

5

3

4

2

4

6

?

λ1

λ3

λ5

λ4

λ2

•Estimación basada en el conocimiento de las covarianzas (semivariograma) entre los VA en los puntos de observación.

•Regresión múltiple puesto en un contexto espacial: krigeado (según D.G. Krige)




79


( )( )

( )λ∗

=

= ∑1

nKO

KO i ii

Z Zu

u u

Hay que calcular los factores de ponderación de tal modo que se satisfagan dos condiciones:

1. Estimación insesgada:

2. Estimación con varianza del error de estimación mínima:

( ) ( )KOZ ZE 0∗ − = u u

( ) ( )var minimaKOZ Z∗ − = u u

⇒ Interpolación óptima


80


Se supone que la VR, Z(u) es estacionaria, con media µ constante dentro de un área limitado, centrado en u.

1. Estimación insesgada:

( ) ( ) ( )µ = = E EZ Z iu u uLa media del error de estimación es igual a: ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )( )

λ

λ µ µ

µ λ

∗

=

=

=

− = −

= −

= −

∑

∑

∑

1

1

1

E E

1

nKO

KO i ii

nKOi

i

nKOi

i

Z Z Z Zu

u

u

u u u u

u u

u( )

λ=

⇒ =∑1

1n

KOi

i

uLa estimación insesgadarequiere que la suma de los factores de ponderación sea igual a 1




81


2. La varianza del error de estimación es mínima:

varianza de estimación expresada mediante la covarianza:

( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( )

KO KO

KO KO

KO KO

n nn

i j i j i ii j i

Z Z Z Z

Z Z Z Z

Z Z Z Z

22E

2 2

( )

1 1 1

var E

E 2

var var 2var

C C 2 C

σ

λ λ λ

∗ ∗

∗ ∗

∗ ∗

= = =

= − = − = + −

= + −

= − + − − −∑∑ ∑u uu

u u u u

u u u u

u u u u

u u u u u u

varianza de estimación expresada mediante la semivarianza:

( )( )

( ) ( )( )

σ λ γ λ λ γ γ= = =

= − − − − −∑ ∑ ∑( )

2E

1 1 12

n n nKO KO KOi i i j i j

i i j

u u u

u u u u u u


82



Minimizar la varianza de estimación teniendo en cuenta la condición de estimación insesgada: derivada =0

( )( )

λ φ σ φ λ=

= − − ∑2

E1

, 2 1n

KO KOi i

if

u

( )

( )

( )

1

,0

,0

,0

KOi

KOi

n

KOi

f

f

f

λ φ

λ

λ φ

λ

λ φ

φ

∂ =

∂⇒ ∂

= ∂∂ = ∂




83



Sistema de ecuaciones de krigeado ordinario en términos de la semivarianza

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( )

λ γ φ γ

λ γ φ γ

λ

=

=

=

− + = −

⇒

− + = −

=

∑

∑

∑

1 11

1

11

nKOj j

j

nKOj n j n

j

nKOj

j

u

u

u

u u u u u

u u u u u

Cuando se resuelve este sistema de ecuaciones se obtienen los n factores de ponderación, λ i.


84



El valor mínimo de la varianza = varianza de krigeado

( ) ( ) ( )( )

σ λ γ φ=

= − +∑2

1

nKO

KO i ii

u

u u u u




85


Formulación matricial:

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )( )

( )

( )

11 1 1 1

1

1

11 1 0 1

KOn

KOnn n n n

φ

λγ γ γ

λγ γ γφ

− − − = − − −

A bλ

uu u u u u u

uu u u u u uu

⇒ La solución es ... 1

φ−

= ⋅

λA b


86


Resumen:

1

φ−

= ⋅

λA b

( )( )

( )λ∗

=

= ∑1

nKO

KO o i ii

Z Zu

u u

( ) ( ) ( )( )n

KOKO o j i o o

i

2

1σ λ γ φ

=

= − +∑u

u u u u

0 2 4 6 8 10

0

2

4

6

8

10

1

2

3

4

5

3

4

2

4

6

?

λ1

λ3

λ5

λ4

λ2




87

EjemploKrigeado Ordinario (KO) (10)

0 2 4 6 8 10

0

2

4

6

8

10

1

2

3

4

5

3

4

2

4

6

?

λ1

λ3

λ5

λ4

λ2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18h0

2

4

6

8

10

12

γ(h)

( ) 2.5 7.5 Esf10

γ = + hh

i x y z12345

2 2 33 7 49 9 26 5 45 3 6

matriz de los datos:

⇒ Resolver: 1

φ−

⋅ =

λA b


88


0 2 4 6 8 10

0

2

4

6

8

10

1

2

3

4

5

3

4

2

4

6

?

λ1

λ3

λ5

λ4

λ2

i 1 2 3 4 512345

0.0 5.099 9.899 5.000 3.1625.099 0.0 6.325 3.606 4.4729.899 6.325 0.0 5.0 7.2115.0 3.606 5.0 0.0 2.2363.162 4.472 7.211 2.236 0.0

matriz de distancias a partir de la cual se calcula A

i o12345

4.2432.8285.6571.02.0

vector de distancias a partir del cual se calcula b

⇒ Sustituir estas distancias en el semivariograma para obtener A y b


( ) 2.5 7.5 Esf10

γ = + hh



89


i 1 2 3 4 5 6123456

2.5 7.739 9.999 7.656 5.939 1.07.739 2.5 8.667 6.381 7.196 1.09.999 8.667 2.5 7.656 9.206 1.07.656 6.381 7.656 2.5 4.936 1.05.939 7.196 9.206 4.936 2.5 1.01.0 1.0 1.0 1.0 1.0 0.0

=A

i o123456

7.1515.5978.8153.6214.7201.0

=b

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18h0

2

4

6

8

10

12

γ(h)

1

φ−

⋅ =

λA b

⇒ Invertir A


90


i 1 2 3 4 5 6123456

-1

.172 .050 .022 .026 .126 .273

.050 .167 .032 .077 .007 .207

.022 .032 .111 .066 .010 .357

.026 .077 .066 .307 .190 .030

.126 .007 .010 .190 .313 .134

.273 .207 .357 .003 .134 6.873

− −−

= − −− −

− −−

A

( ){ }TAdj1 1− =A A

A




91


i o123456

1

.0175

.2281

.0891

.6437

.1998

.1182

φ−

⋅ = = −

λA b

distancias4.2432.8285.6571.0002.000

1⇒ =∑

φ⇒

0 2 4 6 8 10

0

2

4

6

8

10

1

2

3

4

5

3

4

2

4

6

?

λ1

λ 3

λ5

λ4

λ2


92


i o123456

.0175

.2281

.0891

.6437

.1998

.1182

φ

= −

λ1⇒ =∑

φ⇒

i x y z12345

2 2 33 7 49 9 26 5 45 3 6

( ) ( )λ∗

=

=

= × + × − × + × + ×=

∑5

1,

.0175 3 .2281 4 .0891 2 .6437 4 .1998 6

KOKO i i

i

z z5 5 u

4.560




93


i o123456

.0175

.2281

.0891

.6437

.1998

.1182

φ

= −

λ1⇒ =∑

φ⇒

( ) ( ) ( )( )

σ λ γ φ=

= − +

= × + × − ×+ × + × +=

∑2

1, ,

0175 7.151 .2281 5.597 .0891 8.815.6437 3.621 .1998 4.720 .1182

nKO

KO i i oi

u

5 5 u u 5 5

4.008

i o123456

7.1515.5978.8153.6214.7201.0

=b


94


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

X

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Y

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

X

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Y

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

Interpolación mediante KO puntual

Mapa del error del krigeado = la desviación típica del krigeado




95

Krigeado por bloques

Krigeado Ordinario (KO) (18)

0 2 4 6 8 10X

0

2

4

6

8

10

Y

1

2

3

4

5

3

4

2

4

6

?

λ1

λ3

λ5

λ4

λ2

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( )

1 11

1

11

nKOj j

j

nKOj n j n

j

nKOj

j

λ γ φ γ

λ γ φ γ

λ

=

=

=

− + = −

⇒

− + = −

=

∑

∑

∑

u

u

u

u u B u B

u u B u BB

( ) ( )1 di iγ γ− = −∫B

u B u u uB


96

Krigeado por bloques


1

φ−

= ⋅

λA b

( )( )

( )λ∗

=

= ∑1

nKO

KO i ii

Z Zu

B u

( ) ( ) ( )( )

( )σ λ γ φ γ=

= − + − −∑2

1

nKO

KO i ii

u

B u B B B B

( )

( )

1

1n

γ

γ

− = −

u B

bu B




97

Ejemplo


Interpolación mediante KO por bloques

Mapa del error de krigeado = la desviación típica del krigeado

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Y

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Y0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5


98

Información secundaria ⇒Geoestadística multivariada: tratamiento geoestadístico simultáneo de

dos o más variables correlacionadas⇒Tradicionalmente: co-krigeado, requiere un modelo de co-

regionalización⇒En el caso de información secundaria exhaustiva (se conoce el valor

de la variable secundaria en cada nodo de la retícula) se puedenaplicar varios metodologías o técnicas:

Krigeado dentro de clases o estratos (KDC)Krigeado simple con media local variable (KSml)Krigeado con una deriva externa (KDE)Co-krigeado co-localizado (CKc)




99

Ejemplo: ETo anual en Andalucía

0 200 400 600 800 1000 1200 1400Altitud (m)

900

1000

1100

1200

1300

1400

1500

ET o

(m

m/a

ño)

Todas las estacionesY = 1342.3 + 0.00697 X - 0.000234 X2

R2 = 0.628

0 200 400 600 800 1000 1200 1400Altitud (m)

900

1000

1100

1200

1300

1400

1500

ETo

(mm

/año

)

Estaciones de interiorY= 1394.9 - 0.161 X - 0.000118 X2

R2 = 0.759

Zonas de interior (>20 km de la costa): ETo según ajusteZonas costeras (< 5 km de la costa): ETo media aritméticaZonas intermedias: combinación lineal progresiva

Media local (ml):


Información secundaria

100

Información secundariaEjemplo: ETo anual en Andalucía

Variografía

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250Distancia (km)

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

Sem

ivar

iogr

ama

(mm

2 )

isotrópicodireccional 35ºresidual

ETo anual




101

Ejemplo: ETo mensual en Andalucía

Evolución de la ETo a lo largo del año (KSml)

0 25 50 75 100 km

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

ETo (mm/mes)


Krigeado simple con media local variable

102

Validación del modelo geoestadístico

• Validación cruzada y “Jack-knifing”• Validar el modelo teórico del semivariograma• Validar los parámetros del algoritmo de interpolación• Comparar y evaluar diferentes procedimientos de

interpolación

Introducción a la geoestadística - Validación



103

Validación cruzada (1) • Existen varios parámetros en el Krigeado que se pueden

optimizar antes de interpolar y elaborar el mapa:

1. Los parámetros del semivariograma teórico: efecto pepita, alcance y meseta.

2. Importancia de considerar anisotropía o no3. El mínimo número de puntos vecinos que van a participar

en el krigeado4. El máximo número de puntos vecinos que van a participar

en el krigeado5. El radio del área de búsqueda alrededor del punto u6. El grado del polinomio en KD (K)

• Comparar diferentes tipos de krigeado o compararlos con otros métodos de interpolación.

⇒ Validación cruzada


104

Validación cruzada (2) Existen dos maneras:

1. Retirar cada dato a su vez del conjunto y estimar su valor con los datos que quedan ⇒ comparar los valores estimados con los observados

⇒Evalúa el modelo solamente en los puntos donde disponemos de datos

⇒No disponemos de información sobre la exactitud de la interpolación en otros puntos

2. Eliminar ± 25 % de los datos y calcular el semivariograma y interpolar con el 75 % restante ⇒ compara los valores estimados con los observados

⇒Despilfarro de información⇒Solamente apto para trabajos de investigación




105

Validación cruzada (3) ⇒Comparar los valores estimados con los calculados a través de

diferentes parámetros estadísticos (N = número de datos):

1. El Error Medio (EM):

⇒≈ 0⇒krigeado es un interpolador “exacto”

( ) ( ){ }1

1EMN

i ii

z zN

∗

=

= −∑ u u

2. El Error Medio Cuadrático(EMC):

⇒≈ varianza de krigeado⇒mide la exactitud media de las estimaciones⇒muy sensible para grandes errores

( ) ( ){ }2

1

1EMCN

i ii

z zN

∗

=

= −∑ u u


106



3. Razón de Desviación Medio Cuadrático (RDMC)

⇒≈ 1

( ) ( )1

1EMN

i ii

z zN

∗

=

= −∑ u u4. El Error Medio Absoluto(EMA):

⇒mide la exactitud media de las estimaciones⇒mismas unidades que la variable⇒menos sensible para grandes errores

( ) ( ){ }( )

2

21

1EMCN

i i

i K i

z zN σ

∗

=

−= ∑

u uu




107



5. Error Medio Relativo (EMR):

⇒0<EMR<1⇒no apto si hay observaciones con valores negativos,

iguales a 0 o muy pequeños⇒ Ideal para comparar la precisión de la interpolación para

diferentes variables

6. Coeficiente de correlación

( ) ( )( )1

1EMRN

i i

i i

z zN z

∗

=

−= ∑

u uu


108

Krigeado- ValidaciónEjemplo: ETo anual en Andalucía

EM (mm)

EMA (mm)

REMC (mm)

R (%)

2.4

51.2

66.2

74.4

KO

1.9

41.9

53.5

84.2

KDE

1.4

41.4

52.9

84.9

KSml

0 25 50 75 100km

KO

700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400

ETo anual (mm)

<<

0 25 50 75100 km

KDE

700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400

ETo anual (mm)

<<

0 25 50 75 100 km

KSml

700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400< <

ETo anual (mm)

Introducción a la geoestadística – Validación



109

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