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Planeamiento de Minado

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Planeamiento de Minado

El planeamiento de minado es establecer cual volumen de mineral, con que ubicacin y en que momento extraerlo, con la finalidad de mantener una produccin continua mensual.

Es conocido que el planeamiento se realiza a corto, mediano y largo plazo, en donde a corto plazo se entiende un planeamiento para un mes y unos pocos meses mas, a mediano plazo se considera desde un trimestres hasta un ao, a largo plazo desde el primer ao hasta la culminacin de las reservas.

El planeamiento a mediano y largo plazo generalmente involucra utilizar reservas probadas y probables, el solo hecho de utilizar reservas probables, el planeamiento a mediano y largo plazo presenta cierta incertidumbre de cumplimiento, siendo necesario su revisin peridica.

PLANEAMIENTO A LARGO PLAZO

El planeamiento a largo plazo es el primer plan que se realiza desde el inicio de las operaciones, y su alcance comprende la extraccin de la totalidad de las reservas. Esta extraccin debe ser expresada en produccin por aos, describiendo la secuencia de extraccin, el volumen y ubicacin. Estos planes estan relacionados a la capacidad anual de procesamiento del mineral que se cuenta predefinida en planta.

Fig. 1: Plan de Minado a Largo Plazo

En la Fig. 1 se observa una seccin con leyes de bloques de mineral y pits anidados para cada uno de los 7 aos de produccin. en la Fig. N 2 se observa otra seccin con bloques de mineral y pits tambin anidados para cada uno de los aos de produccin.

Fig. 2: Plan de Minado a Largo Plazo

Procedimiento de clculo del plan de minado a largo plazo

Por el gran volumen de informacin que se procesa en un plan de minado a largo plazo, es necesario utilizar las opciones de variantes de los software de diseo de pits. Sin bien la mayora de software disponibles en el mercado se utilizan para obtener un pit ptimo, sabemos que ste se presenta para la condicin establecida de un precio, un costo y una recuperacin en un cierto momento de trabajo. Tambin este software en su bsqueda del ptimo pit para ese momento, pasa por calcular y determinar los pits para diferentes condiciones de precios o costos, estos pits por lo general son concentricos o anidados y los objetivos en cada pit son de maximizar el beneficio. En primera intensin se podra asumir que son los pits que uno desea extraer en cada ao de produccin, sin embargo esta idea no es compartida por todos, debido al hecho de que los pits anidados son calculados maximizando el beneficio, estaran orientadose a extrae principalmente las zonas de mayor ley, con lo cual se estara extrayendo la crema y solo las partes ricas del tajo final. Esto es cierto, sin embargo, se debe considerar dos aspectos importantes, 1) El plan de minado es a largo plazo, y se presenta como una gua haca donde se orientarn las operaciones, 2) Este plan estar sujeto a mejoras y variaciones cuando se realicen los planes de minado a corto y mediano plazo, siempre que se respete el pit ptimo final.

PLANEAMIENTO DE MINADO A MEDIANO PLAZO

El planeamiento de minado a mediano plazo, se realiza para perodos trimestrales hasta llegar a un ao de produccin proyectada. Los resultados de este planeamiento debe mantener relacin con la geometra del planeamiento del ao definido en el Largo Plazo. Con informacin del modelo de bloques se definen slidos (o volmenes) geomtricos por bancos que contengan ley, tonelaje de mineral y tonelaje de desmonte. El tamao de estos slidos es muy variable y depende de la continuidad y calidad de la mineralizacin. Definido el lugar a donde llegar para encontrar el mineral de inters, la geometra de los slidos o volmenes deben mantener como prioritarios las facilidades de acceso de los equipos en las operaciones mineras, y cumplir con los objetivos de produccin de mineral.

Fig. 3: Plan de Minado a Mediano Plazo

PLANEAMIENTO DE MINADO A CORTO PLAZO

El planeamiento de minado a corto plazo, se realiza para perodos mensuales, con informacin del modelo de bloques se definen slidos (o volumenes) geomtricos por bancos, el tamao y forma de estos volmenes se adecuan a la calidad del mineral, es decir tonelaje de mineral, ley, tonelaje de desmonte. Como es de suponer el planeamiento a corto plazo no es un proceso optimal, an no se ha creado un algoritmo que permita conseguir la optimalidad matemtica y tcnica de un planeamiento, es claro que el objetivo ser de conseguir la mxima rentabilidad con mnimo costo, sin embargo la tcnica aplicable pasa actualmente por anlisis de multi opciones de extraccin de mineral, consistente en una realizar una combinatoria de volmenes de extraccin, hasta lograr una secuencia de extraccin de mineral que permita cumplir con la produccin del mes y con las condiciones de operatividad minera.

Fig. 4: Plan de Minado a Corto Plazo

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Estimacin de RecursosUna de las etapas mas importantes para evaluar un depsito o parte de un depsito de minerales


Estimacin de Recursos

Experiencia en:

En Per: Tintaya, Cerro Verde, Antamina, Andaychagua, Cerro de Pasco, Toromocho, Cobriza, Cemento Lima, La Arena, La Granja, Huilacoyo, Picomachay, Tentadora, Seductora, Cochavara, Clarita, Sacalla.

En el Exterior: Carpatia (Australia), Calcatreu (Argentina), Maqui Maqui (Bolivia).

La Estimacin de Recursos es una de las etapas mas importantes para evaluar un depsito o parte de un depsito de minerales.

La estimacin de recursos interviene inmediatamente despues que se cuenta con la informacin de campo y con informacin de taladros. Es un actividad permanente durante las operaciones mineras, la calidad y certeza de la estimacin es parte fundamental para el logro de las metas de produccin.

Por ello el tipo de tcnica de estimacin y el procedimiento que se aplique, debe demostrar confiabilidad y certeza durante los procesos de verificacin, conciliacin y reconciliacin.

La estimacin de recursos se realiza contando con dos elementos fundamentales: (1) resultados de ensayes de muestras, provenientes de las distintas formas, tales como sondajes diamantinos (ddh), sondajes de aire reversa (rcd), taladros de voladura para produccin (bhd), canaletas, trincheras, etc. Que aseguren la correcta aplicacin de las tecnologas de muestreo y tratamiento de la muestra, evitando todas las formas de sesgo posible. (2) la interpretacin geolgica, debidamente ingresada a medios digitales.

La evaluacin de recursos se desarrolla de manera distinta para cuerpos, vetas angostas y mantos (con fuerte o suave buzamiento). En todos los casos es necesario la aplicacin de reglas y estndares de estimacin establecidas en la base terica y prctica de la geoestadstica.

En Geoestadstica.com contamos con muchos aos de experiencia para efectuar estimaciones de recursos con resultados confiables, acompaado de una excelente presentacin que facilitar la toma de decisiones en la evaluacin de proyectos y en las operaciones mineras. Nuestros resultados pueden ser tambin refrendados por Personal Calificado (Qualify Person), certificado por organismos de reconocimiento internacionalmente.

En adicin a los servicios de un informe tcnico consitente, y a requerimiento del cliente, podemos validar los resultados de recursos con intervencin de Personal Calificado (Qualify Person), certificado por organismos de reconocimiento internacional.

Al margen de otras recomendaciones importantes, consideramos tener presente las siguientes consideraciones para el clculo de recursos:

1. Las leyes de metal deben contar con un registro, acompaado de la interpretacin geolgica y los cores fsicos guardados y protegidos.

2. Los logueos y los resultados de anlisis qumicos deben estar registrados en medios magnticos.

3. Se recomienda aplicar los estndares internacionales en el anlisis, registro y proteccin de las muestras, ante una eventual necesidad de financiamiento bancario. Acceda a la primera parte del Cdigo Jorc aqu.4. Para los clculos de estimacion de recursos aplicar software seguro y de preferencia bancable, por ejemplo: Vulcan, Mine Sight, Gemscom, Data Mine, etc.

5. Encargar la revisin de la estimacin de los recursos a terceros, a fin de asegurar los resultados.

6. Asegrese usted que las variables de clculo utilizadas en el software de estimacin fueron correctamente aplicadas, acorde a los lineamientos y parmetros establecidos por la geoestadstica. El uso de criterios de clculo sin sustento previo puede ocasionar riesgos de baja precisin en los resultados.

7. Evaluar y verificar si la precisin de la estimacin encontrada, guarda relacin con el tipo de mineralizacin del depsito y con los indicadores encontrados en el variograma.

8. Asegurese de visualizar a tres dimensiones el modelo de recursos y la informacin geolgica para mejor interpretacin de los resultados.

9. Que los resultados de estimacin de recursos sean exportable al software de clculo de "reservas" minables.

10. Considere usted que los solo los recursos medidos e indicados podrn participar en los siguientes procesos de evaluacin econmica del depsito, los recursos inferidos no podrn formar parte en la evaluacin ni estar comprendidos como parte de reservas probadas y probables.

Fig. 1

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CONCEPTOS DE GEOESTADSTICA

GEOESTADISTICA: Conceptos e Hiptesis

Georges Matheron, creador de la teora geoestadsticaQu es la Geoestadstica? (*)

Con el objetivo de obtener una mayor precisin en la estimacin de las reservas minerales, surge la Geoestadstica. Su punto de partida corresponde al encontrar en la naturaleza informacin aleatoria desde un punto de vista local, sin embargo en esta misma naturaleza se encuentra a nivel global una funcin matemtica que describe el comportamiento de la aletoriedad en cada lugar.

La medicin de la aleatoriedad local es expresada con conceptos e indicadores probabilsticos, definiendose para todo el escenario geogrfico una funcin probabilstica funcin aleatoria FA, que represente este comportamiento en cada lugar.

Asi podemos definir en un punto (x) de la naturaleza el comportamiento aleatorio de una variable Z, con (VA)Z(x), en dos puntos x e y se tendrn dos VA: Z(x) y Z(y) que sern diferentes, pero no sern independientes por que existe una correlacin entre ellas, que es empresada por FA.

En la naturaleza encontramos muchas variables que mantienen un caracterstica en base a la gnesis de su ocurrencia, por ejemplo la presencia de un elemento qumico o metal como el oro, al analizar su presencia debajo de la superficie, podemos determinar la orientacin del flujo mineralizante, tambin determinar que tan aleatoria es su presencia en los centros del depsito o en los bordes, y as otras interpretaciones que van de la mano con la interpretacin geolgica.

Durante el proceso de construccin de la FA se asume, como hiptesis, que todo el depsito tiene el mismo comportamiento en forma estacionaria en todos su dimensin, de esta forma se simplifica la construccin a una sola FA que se utilizar como instrumento de aplicacin de estimador de Kriging.

A diferencia de otros mtodos de interpolacin, como por ejemplo, el inverso de la distancia, el Kriging, utiliza en la estimacin las caractersticas de variabilidad y correlacin espacial del fenmeno estudiado, por lo que su uso implica un anlisis previo de la informacin, con el objetivo de definir o extraer de esta informacin inicial un modelo que represente su continuidad espacial, una vez logrado esto, estamos en condiciones de obtener a travs del Kriging el mejor valor posible en cada localizacin o bloque a estimar, acompaadas de la varianza Kriging como medida del error de la estimacin realizada [Armstrong y Carignan,1997].

De acuerdo a los acontecimientos ms importantes hasta el Vigsimo Simposium Internacional de la Aplicacin de la Computacin y la Matemtica en la industria Mineral, APCOM 87, la evolucin de la Geoestadstica se ha dividido en algunas generaciones [Matheron, y Kleingeld,1987], las cuales son:

La Geoestadstica Lineal 1945-1965, la ciencia, ahora llamada Geoestadstica, tuvo su comienzo en los trabajos de H.S. Sichel en 1947 y 1949, en la aplicacin de la distribucin lognormal en minas de oro, seguido por la ahora famosa contribucin de D.G. Krige en la aplicacin del anlisis de regresin entre muestras y bloques de mena, los cuales fijaron la base de la Geoestadstica Lineal, adems de la introduccin de la teora de funciones aleatorias por B. Matern en el estudio de la variacin espacial de un campo forestal. La generacin de la Geoestadstica Lineal culmina en el trabajo de G. Matheron en su tesis doctoral de 1965 titulada: "Las variables regionalizadas y su estimacin".

La Geoestadstica No Lineal 1966-1974, la segunda generacin vio el establecimiento de la escuela de Fontainebleau, en Mayo de 1968, fue creado el Centro de Geoestadstica, en la atmsfera tranquila de Fontainebleau segn Matheron (1987). Importantes contribuciones fueron hechas en este perodo por los autores M. David, A.G. Journel, Ch. J. Hiujbregts, P. Delfiner, P. Chauvet y J.P. Chiles. Muchos otros autores tambin contribuyeron en el campo de la Geoestadstica durante este perodo, lo que se evidencia en la gran cantidad de artculos publicados en esta poca.

La tercera generacin 1974-1987, estuvo dedicada a resolver problemas ms complejos asociados con la seleccin y combinacin de bloques de mena, Matheron introduce el modelo de Kriging Disyuntivo, la primera aplicacin prctica del Kriging Disyuntivo Gaussiano fue desarrollada por A. Marchal en 1975. Numerosas actividades relacionadas con el cambio de soporte, la funcin de transferencia, parametrizacin de reservas, selectividad de la distribucin, la simulacin, el estudio de casos multivariados ocurrieron durante este perodo. En 1980 W.J.Kleingeld, propuso el problema de extrema asimetra distribuidos en porciones discretas del yacimiento, lo cual culmina con el desarrollo de la aproximacin generalizada de modelos isofactoriales discretos. Estos modelos fueron puestos en prctica por Ch. Lantujoul y Ch. Lujaunie, para el caso general; y por W.J. Kleingeld por el Binomio Negativo o Modelos de Mosaico. Durante este perodo, fue tambin desarrollado por A.G.Jounel el Kriging de Indicadores y una forma especial de Kriging Disyuntivo. El desarrollo de modelos genticos de yacimientos fue acometido por J.Rivoirard.

En la actualidad, los mtodos Geoestadsticos han sido extendidos a los ms diversos campos de la Ciencias de la Tierra. El desarrollo de la informtica moderna ha propiciado condiciones para su divulgacin y su aplicacin a un grupo cada vez mayor de problemas, pueden encontrarse en el mercado informtico programas profesionales que ofrecen opciones para la aplicacin de estas tcnicas.

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Teora Geoestadstica: Objetivo del Kriging

El objetivo del kriging es interpolar la ley a partir de muestras que lo rodean, asignando pesos a cada muestra que redusca al mnimo la varianza de estimacin. En otras palabras, se interpola la ley con la mxima precisin posible.

La precisin de la estimacin (interpolacin) depende de varios factores:

11. Del nmero de muestras y de la calidad de la data en cada punto

12. De la posicin de las muestras con respecto al punto a estimar

13. De la distancia entre las muestras y con el punto a estimar

14. De la continuidad espacial de los valores de las muestras

Para poder llegar a la definicin del kriging, es necesario dejar claro la definicin de la varianza de estimacin. A continuacin se presenta la deduccin de las varianza de estimacin simulando las ocurrencias de una funcin aleatoria con resultados de anlisis qumicos al interior de un bloque.

timacin de RecursosUna de las etapas mas importantes para evaluar un depsito o parte de un depsito de minerales


Teora Geoestadstica: Funcin Aleatoria

FUNCIONES ALEATORIAS

Un valor observado en cada punto de x es considerado como el resultado z(x) de un variable aleatoria Z(x), se debe comprender que cada uno de los puntos z(x), sean estos cuantificados o no, son representados por la variable aleatoria Z(x).

La totalidad de variables aleatorias Z(x) localizados en cada punto x, conforman una funcin aleatoria FA. (que es sinnimo de un proceso estocstico). La funcin aleatoria reproduce la misma relacin de una de sus ocurrencias como variable aleatoria. La funcin aleatoria esta caracterizada por una distribucin finita multidimensional de variables aleatorias. Por ejemplo la unin de la distribucin de todas las variables aleatorias Z(x1), Z(x2), Z(x3).... Z(xk), para todos los k y para todos los puntos x1, x2,..., xk conformara una funcin aleatoria (F.A.), lo cual sera imposible hacer algo prctico, a menos que estemos preparados para hacer supuestos a estas distribuciones.

Hiptesis intrnseca de estacionariedad

En estadstica es comn asumir la estacionariedad de las variables, por ejemplo los indicadores estadsticos y distribuciones de frecuencia son invariables a la traslacin, de la misma forma una funcin aleatoria estacionaria es homognea y auto repetitiva en el espacio. Es decir para todo incremento h, la distribucin probabilstica de Z(x1), Z(x2), Z(x3),...., Z(xk) es la misma a h metros de distancia Z(x1+h), Z(x2+h), Z(x3+h),...., Z(xk+h). Esto hace posible realizar una inferencia estadstica sobre una ocurrencia particular de las variables.

En el estricto sentido la estacionariedad requiere que todos los momentos (estadsticos) sean invariables en la traslacin, pero esto no puede ser verificado a partir de data experimental, usualmente solo podemos contar con dos momentos que son la media y la covarianza para que sean constantes. A esto llamamos estacionariedad de segundo orden. En otras palabras, reconocemos y dejamos establecido que el valor esperado (o promedio) de Z(x) debe ser constante para todos los puntos x.

E(Z(x)) = m(x) = m

En "segundo" lugar la funcin covarianza de los valores existentes entre cualquiera de dos puntos x y x+h depende del vector h, pero no del punto x. Es decir:

E(Z(x).Z(x+h)) - m2 = C(h)

No se necesita hacer asumciones sobre la varianza, por que sta se orienta a ser igual a la covarianza C(h), para una distancia de h=0.

En la prctica a menudo la aplicacin de asumciones no satisface, claro que cuando se observa que hay una tendencia marcada de una mineralizacin no se puede asumir el valor promedio como constante. Otra rama de la geoestadstica fue desarrollado para tomar en cuenta la no estacionariedad en las variables regionalizadas. Esta fuera de nuestro tema, los interesados pueden consultar a Matheron (1973) o Delfines (1976).

Por el momento podemos considerar casos en donde el valor promedio se mantiene constante. Sin embargo, aun cuando esto es cierto, la covarianza no esta presente. Un ejemplo prctico particular de esto fue descrito por Krige (1978) para leyes de oro en Sudfrica. En ambas investigaciones terico y prctico, es conveniente plantear esta hiptesis. A esto se debe por que Matheron (1963 - 1965) desarroll la "hiptesis intrinseca", en donde se asume que para incrementos en la funcin aleatoria hay presencia de estacionariedad en la ley promedio y tambien en la varianza de incrementos Z(x+h) - Z(x) y es independiente del punto x.

E(Z(x)) = E(Z(x+h))

E(Z(x+h) - Z(x)) = 0

Var (Z(x+h) - Z(x)) = 2Gama(h)

La funcin Gama(h) se denomina semi-variograma (variograma para simplificar). Es la herramienta bsica para la interpretacin de la estructura de un fenmeno o para la estimacin. Las variables regionalizadas que son estacionarias siempre satisfacen la hiptesis intrnseca, veremos que si la variable regionalizada es estacionaria, existir equivalencia entre el variograma Gama(h) y la covarianza C(h). La mayora de los estimadores utilizados en las ciencias de la tierra, son combinaciones lineales de datos. Es cierto que para el mtodo del inverso de la distancia, el mtodo poligonal o para otro mtodo de medias mviles, no habra forma de determinar la varianza que parecera cero, por ello es importante calcular la varianza en furncin del variograma o cavarianza. En contraste con el caso estacionario, cuando trabajamos con variables intrnsecas las operaciones son solo definidas por incrementos. Veremos que la varianza de una combinacin lineal puede ser calculada solamente si la suma de los pesos es cero, utilizando el indicador de la funcin aleatoria en base a incrementos dentro del rango del modelo del variograma disponible.

Funcin espacial de la covarianza

Las propiedades bsicas de la covarianza espacial y su relacin con el variograma para funciones aleatorias estacionarias, son las siguiente:

C(0) = varianza

C(h) = C(-h)

|C(h)| < = C(0)

La relacin bsica entre el variograma y la respectiva covarianza es la siguiente:

Es decir:

El variograma en la prctica indica (en cada uno de sus puntos) el valor esperado de la diferencia entre las muestras distanciadas en h metros. Este instrumento servir de soporte para la medicin de la probabilidad de acercarse a la realidad al realizar la estimacin de la ley en un depsito de mineral.

Teora Geoestadstica: Variografa - Interpretacin - Modelamiento

DEFINICIN

Como se explic en la formulacin terica, el variograma de una funcin intrnseca aleatoria esta expresado por:

En donde Z(x+h) y Z(x) son los valores de leyes en el punto x+h y x respectivamente, considerando que las variables estacionarias e intrnsicas, el promedio de Z(x+h) - Z(x) es cero, el variograma resulta ser el promedio de las diferencias.

Expresado en trminos numricos para aplicacin prctica, tenemos:

Los puntos x y x+h se debe entender que pueden estar en un espacio de n dimensiones como n=1, 2 3. En todos los casos es necesario determinar gama(h) en todas las direcciones posibles para identificar la orientacin del comportamiento de la mineralizacin.

Si bien la expresin matematica indica que el variograma es funcin de h, en donde h es la distancia entre pares de muestras, esto significa que la funcin se crear en base al valor promedio de la diferencia de pares de muestras que se encuentren distanciados a h metros.

VARIOGRAMA A 1 DIMENSIN

Por ejemplo para el caso de clculo del variograma en una direccin se tiene en el siguiente ejemplo, Fig. 1, leyes distanciadas cada dos metros. En la Fig. 2 se describe el clculo de cada punto del variograma para distancias h=2m, h=4m, h=6m, etc.

Fig. 1

Fig. 2

VARIOGRAMA A DOS DIMENSIONES

Para el clculo del variograma a dos dimensiones es necesario precisar la direccin de clculo, esta direccin se indica en base a un rango de ngulo que debern formar los pares de muestras. Cualquier otro par de muestras que no cumplen con el rango de orientacin no formar parte del clculo del variograma. Por ejemplo en el grfico siguiente se presentan muestras en X e Y.

Fig. 3

En la Fig. 3 se observa que el clculo del variograma se realizar para la direccin N80E considerando un ngulo de tolerancia de +/- 15, que indica que los pares de muestras que se encuentren que intervienen en el clculo deben una orientacin entre N65E y N95E.

Como el variograma es una funcin de "h", se debe indicar su primer valor, en este caso se fijar en 6 m, el siguiente valor 12 m, el tercer valor 18 m, y as sucesivamente.

La forma de clculo del variograma en esta direccin se presenta como sigue (Fig. 4)

Fig. 4

Estos nueve resultados generan el grfico del variograma, que servir para interpretar su comportamiento en la direccin calculada, para otras direcciones se debern volver a realizar lo clculos tomando pares de muestras que tengan la orientacin deseada.

Para un clculo a tres dimensiones el rango del ngulo de orientacin de los pares se definir en un cono teniendo como orientacin principal el eje del cono.

Para un depsito a tres dimensiones se recomienda calcular los variogramas en todas las direcciones a fin de encontrar la direccin preferencial de la mineralizacin y las anisotropas

ELECCIN DEL MEJOR VARIOGRAMA

Una vez calculado el variograma en todas las direcciones posibles, se seleccionan los mejores que tengan caractersticas que reflejen el mejor comportamiento de correlacin espacial entre las muestras. Entre las formas que adoptan los variogramas, se pueden definir las que se indican en la Fig. N 5:

Fig. 5

Los tipos de Variograma 1, 3 y 5 tienen una misma caracterstica, no tienen correlacin espacial entre las muestras, por lo tanto la estimacin de leyes puede ser realizada con cualquiera de los mtodos de estimacin tradicionales (icd, triangulacin, poligonacin, etc.). Esto indica que no ser posible medir la precisin de la estimacin. Sin embargo es importante destacar que la informacin del variograma sobre el nivel de aleatoriedad (alto, medio o baja) permite determinar el nivel de precisin que se obtendra al aplicar los mtodos tradicionales.

Los tipos de Variograma 2, 4, y 6, definitivamente indican ventaja superior en la estimacin de leyes con kriging, la diferencia entre ellas se encuentra en la diferencia de precisin de la estimacin. Por ejemplo para baja aleatoriedad indicado con el variogama 6, la varianza de estimacin o el error relativo de estimacin ser menor que el que se obtenga con los variogramas 2 y 4.

Otros aspectos importantes para elegir los variogramas mas representativos del comportamiento de la mineralizacin son el nmero de pares utilizados para determinar cada punto del variograma y la altura o valores de la meseta del variograma. La meseta es la lnea horizontal mxima que indica el lmite en promedio del variograma.

Por lo general los primeros puntos del variograma deben tener alto nmero de pares, a mayor nmero de pares en cada punto del variograma el valor de ste ser mas representativo.

Una meseta mas baja en un variograma con respecto a otro, indica que la varianza o error relativo en la estimacin de leyes ser menor, por lo tanto la estimacin ser mas precisa.

MODELOS AUTORIZADOS PARA EL MODELAMIENTO

Para el modelamiento de un variograma experimental se deben aplicar frmulas o modelos matemticos autorizados, estos modelos matemticos tienen la caracterstica de ser una funcin siempre positiva para cualquier valor de |h|. A continuacin presentamos los modelos autorizados siguientes:

Efecto de Pepita (Co): Corresponde a un fenmeno netamente aleatorio, sin correlacin entre valores, y sin importar que tan prximos se encuentren ellos. Se aplica por lo general en el origen para h=0. En la prctica se obtiene al inferir y determinar en que punto cruza el variograma experimental con el eje vertical.

La interpretacin del trmino "efecto de pepita" se aproxima a imaginar leyes de alto y bajo valor distantes pocos milmetros o centmetros, al aplicar la frmula del variogram las diferencias entre ellas generan un alto valor del variograma a una distancia h de casi cero metros.

Modelo Esfrico: Corresponde a un comportamiento del variograma de crecimiento gradual similar a la figura N xx. La expresin matemtica es:

para valores de h < a

para valores de h >= a

en donde "a" es el alcance, que es la distancia "h" en donde el variograma alcanza la meseta.

Modelo Exponencial: Corresponde a un comportamiento del variograma de crecimiento muy gradual similar a la figura N yy. La expresin matemtica es:

en donde "a" es el alcance que equivale en este modelo a un tercio de la distancia que se alcanza a la meseta.

Modelo Potencial: Corresponde a la expresin matemtica

en donde el exponente "n" puede adoptar valores entre cero y 2, reproduciendo lo indicado en la figura adjunta. (el signo "^n" se debe interpretar como potencia "n")

Tambien se tienen definidos los modelos Gausiano, Cbico, funcin Seno. Sin embargo los tres primeros modelos descritos son los mas utilizados para el modelamiento, ya sean estos en forma independiente o combinados entre si.

MODELAMIENTO DEL VARIOGRAMA

El modelamiento del variograma se realiza una vez que se eligieron los variogramas representativos del depsito para las direcciones principales.

El modelamiento consiste en elegir el variograma experimental mas representativo de acuerdo a las caractersticas mencionadas en el punto anterior. Una vez elegido, el variograma experimental suele presentar algunas formas similares a los tipos N 2, 4, y 6.

En el modelamiento corresponde aplicar modelos matemticos "autorizados" para encontrar la frmula que representen los variogramas experimentales. As por ejemplo en la Fig. N 8 se observa un variograma experimental superpuesto con el modelo autorizado que mas se le aproxima. El modelo autorizado aplicado es el "exponencial", el modelo final encontrado es el que indica para Gama(h). En donde el Efecto de Pepita Co = 0.02

Modelo de variograma de dos componentes"Dist.Prom" es el promedio de las distancias de los pares de muestras utilizados en el clculo del variograma

Modelo de variograma de tres componentes

En este variograma experimental fue necesario aplicar tres componentes en el modelo

Esta figura presenta un variograma ajustado con tres componentes, el primer componente "efecto de pepita" Co, el segundo componente esfrico, y tambin el tercer componente esfrico.

Teora Geoestadstica: Varianza Geoestadstica

Supongamos que extraemos un gran nmero de muestras y cubrimos todos los espacios de un bloque de volumen V, asumimos de cada una de las muestras extraemos una infinitsima parte para analizarla. Los resultados suministrarn una ley media de las siguientes caractersticas:

que en la prctica indica el valor promedio de las leyes de todos los puntos con ley z(x) que pueden encontrarse al interior del volmen V. (por ejemplo los puntos blancos del siguiente grfico, pero saturando todo el volmen V).

Fig. 1

Expresado en forma discreta tenemos.

As con todos esos valores analizados en el volumen V, la varianza ser:

Aqu el 0 indica un punto, con un volumen casi cero. Si de esta poblacin de muestras tomamos otra ley analizada de la misma muestra, es decir del mismo punto (considerar que dos anlisis qumicos de cada fraccin de una muestra, nunca proporciona el mismo resultado, salvo que sea coincidencia), tendremos otra poblacin de datos. Si continuamos tomando otra y otra ley de cada muestra tendremos una poblacin de datos para cada punto, la varianza de esta poblacin de datos se define como:

Es decir como la esperanza de la varianza. Se puede demostrar que las varianzas estan relacionadas al variograma por la frmula:

Esta integral es el promedio que se obtiene variando x e y independientemente a traves del volumen V. Expresado en variograma promedio, se tiene:

En el lmite, la varianza de un punto al interior de un volmen V, puede ser expresado por el variograma promedio entre los puntos que se encuentran al interior del volmen V, como se indica en el siguiente grfico.

=====>

Fig. 2

En la prctica se calcula discretizando el bloque V.

VARIANZA DE v DENTRO DE V

Ahora consideremos una nueva funcin aleatoria definida como el promedio espacial de un volumen v dentro un volumen V

Fig. 3

El objetivo es encontrar la dispersin de esta nueva variable Zv(x) como si se moviera en todo el volumen V. En la prctiva v podra significar un pedazo de taladro y V podra ser un bloque. La varianza de v dentro de V se expresa por y se da por:

Expandiendolo resulta:

Teora Geoestadstica: Kriging

DEDUCCIN DE LA FORMULA DE KRIGE

Para deducir la frmula del kriging planteamos el problema siguiente: Tenemos N valores de muestras z(x1), z(x2),...., z(xN) en nuestro depsito y queremos estimar una funcin lineal de nuestra variable Z(x). Por ejemplo deseamos estimar los valores en un punto particular Z(xo), o el promedio en cierta regin. Para poder definir y escribir todos los casos separadamente, expresamos el valor a ser estimado con:

El volumen V sera el depsito total, o el block de mineral, o podra ser un pequeo y simple punto. Podra ser incluso un volumen irregular. Para estimar Z(V) consideramos un promedio pesado de la data.

en donde son los pesos. El astersco indicar el valor estimado para diferenciarlo del valor real desconocido en el terreno. El problema se traduce en encontrar los mejores valores para los pesos que se utilizarn en la ponderacin. Es aqu en donde se aplicar el modelo geoestadstico. Consideraremos la variable regionalizada.

Los pesos a encontrar deben estar sujetos a:

1. No ocasionar sesgo en la estimacin

2.- La varianza o error de estimacin debe ser mnimo:

El No sesgo de los ponderadores

Asumiendo que la variable aleatoria Z(x) es estacionaria con valor promedio m. Significa que para cualquier zona se mantendr la media m y tambin ser la media de cualquier bloque.

La estimacin de un punto se realizar asignando pesos a las muestras que se encuentran alrededor del punto a estimar, definiendose una combinacin lineal siguiente:

La media del error de estimacin de [Z*v - Zv] puede expresarse en trminos de covarianza o variograma.

A fin de asegurar el no sesgo del interpolador, el valor esperado debe ser cero, por lo tanto m=0 o la suma de los pesos debe ser igual 1.

Varianza mnima en la estimacin

La varianza del error [Z*v - Zv] se puede expresar en terminos de la covarianza y del variograma.

en donde:

es el promedio del variograma entre los puntos de las muestras y los puntos discretizados al interior del volumen V, como se indica en el siguiente grfico.

es el variograma promedio entre los puntos discretizados al interior del volmen V y si mismos, como se indica en el siguiente grfico.

A fin de minimizar la varianza de estimacin bajo condiciones que la suma de los pesos deben ser igual a 1, introducimos el multiplicador de Lagrange "u" en la expresin de la varianza a ser minimizada. Si la suma de los pesos debe ser 1.0, podemos adicionar el trmino "u" en la forma que se indica de tal manera que la expresin no cambia en valor.

La derivada parcial de la cantidad es por lo tanto cero, esto permite extender a N+1 las ecuaciones lineales que se denominan sistema de ecuaciones lineales para el kriging. Un poco mas abajo mostraremos los detalles de deduccin matemtica de esta expresin.

Cuando escribimos el sistema de ecuaciones lineales en trminos del modelo del variograma resulta.

La mnima varianza de estimacin denominada varianza de kriging, se expresa por:

Teora Geoestadstica: Kriging

DERIVACIN PRACTICA DEL SISTEMA DE ECUACIONES DEL KRIGING

Considerando que Z*v es la ley estimada de un bloque y Zv es la ley verdadera del mismo bloque, tenemos las siguientes expresiones:

Como condicin de no sesgo en la estimacin:

La varianza del error [Z*v - Zv] es la varianza de estimacin del bloque, el cual debe ser el mnimo posible, entonces se debe encontrar el error mnimo de estimacin, el error se expresa de la siguiente forma:

Desarrollando tenemos:

Llevando las covarianzas a variogramas, se tiene:

Para aplicar el teorema de Lagrage se plantea la siguiente ecuacin:

En donde la variable adicionada al final no altera la expresin por ser igual a cero.

Para obtener el valor de los coeficientes que me me suministre el valor mnimo de la expresin, derivamos con respecto a los coeficientes para cada uno de los valores de i = 1, 2, ... , N.

A modo de ejemplo consideraremos 4 muestras, y determinaremos el valor de los 4 coeficientes, que vienen a ser los ponderadores o pesos de las muestras.

Considerando:

Desarrollaremos la anterior expresin:

Considerando que:

Se obtiene:

Derivando con respecto a se obtiene:

de aqu se obtiene:

continuando la derivacin para , , se obtiene:

y derivando con respecto a "u", se obtiene:

La solucin de estas cinco ecuaciones lineales, determinar el valor de los coeficientes, Si consideramos que tenemos leyes conocidas z(1), z(2), z(3) y z(4) para este ejemplo de clculo, la ley estimada z*se determinar de forma siguiente:

Con una varianza de kriging:

Estimacin de recursosGeoestadistica.com

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Quines somos Servicios Cursos y Talleres Contctenos Cdigo de Australasia para Informar sobre Recursos Minerales y Reservas de Mina (el Cdigo JORC)

Preparado por el Comit Conjunto de Reservas de Mina de "The Australasian Institute of Mining and Metallurgy, Australian Institute of Geoscientists, and The Minerals Council of Australia (JORC)"

El Cdigo original de 1999 se puso en vigor en el mes de Septiembre de 1999. Esta traduccin al espaol fue publicada en el mes de Mayo de 2001.

Esta traduccin del Cdigo JORC se basa en una versin preparada por el personal de BHP Escondida y ha sido revisada por especialistas afluentes en espaol en Australia. En trminos generales, el significado de palabras particulares y frases corresponde a los americanismos en Chile. En cualquier disputa sobre la interpretacin, la versin del lenguaje ingles toma precedencia.

This translation of the JORC Code is based on a version prepared by thestaff of BHP Escondida and reviewed by specialists fluent in Spanish in Australia. In general, the meaning of individual words and phrases conforms with South American (Chilean) usage. In any dispute over interpretation, the English language version takes precedence.

Cdigo de Australasia para Informar sobre Recursos Minerales y Reservas de Mina (Cdigo JORC)

Nota: Solo se presentar el prembulo, para mayor informacin, favor escrbanos.

PREMBULO

15. El Cdigo australiano para Informar sobre Recursos Minerales y Reservas de Mina (el "Cdigo JORC" o "el Cdigo"), establece estndares mnimos, recomendaciones y normas para la Informacin Pblica de resultados de exploraciones, Recursos Minerales y Reservas de Mena en Australia. Este ha sido redactado por el Comit Conjunto de Reservas de Mena de "The Institute of Mining and Metallurgy, Australian Institute of Geoscientists y Minerals Council of Australia". El Comit Conjunto de Reservas de Mena se constituy en 1971 y public varios informes haciendo recomendaciones sobre la clasificacin e Informacin Pblica de Reservas de Mena antes de la primera divulgacin del Cdigo JORC en 1989.

16. En esta edicin del Cdigo JORC, las normas que previamente se separaron del Cdigo, se han colocado despus de las clusulas respectivas del Cdigo con el fin de proporcionar mayor ayuda y gua para los lectores. Estas normas se presentan con sangra y en un tipo letra en cursiva ms pequea. No forman parte del cdigo pero deben considerarse persuasivas al interpretar el Cdigo. Se ha aplicado la misma sangra y tipo de letra en cursiva al Apndice 1 - "El Cdigo JORC y las Bolsas de Valores de Australia" y a la Tabla 1 - "Lista de Verificacin de Criterios de Evaluacin e Informacin" para recalcar que estas dos secciones son normas, y que esta ltima no es una lista obligatoria de criterios de evaluacin e informacin. Adems en esta edicin del Cdigo, se ha marcado la primera de una mencin particularmente significativa, despus de la clusula 2 de trminos que se definen en el Cdigo con un superndice 'D10', y se han destacado las definiciones correspondientes en negritas. Por ejemplo, la Persona Competente'D10' significa que este trmino se define en la clusula 10.

17. El Instituto de Minera y Metalurgia de Australasia y el Instituto Australiano de Geocientficos han adoptado el cdigo y por lo tanto es obligatorio para los miembros de esas organizaciones. Es respaldado por el Consejo de Minerales de Australia y el Instituto de Valores de Australia como un aporte a las mejores prcticas. Las reglas para que las acciones sean cotizadas en la Bolsa de Valores de Australia y en la Bolsa de Valores de Nueva Zelanda incorporan el Cdigo. Ver Anexo 1.

18. Los principales principios que rigen la operacin y aplicacin del Cdigo JORC son, transparencia, relevancia y competencia. La "Transparencia" requiere que el lector de un Informe Pblico D5 reciba suficiente informacin, cuya presentacin sea clara y no ambigua, con el fin de entender el informe y no ser pervertido. La "Materialidad" exige que el Informe Pblico contenga toda la informacin relevante que los inversionistas y sus asesores profesionales podran necesitar razonablemente, y razonablemente esperaran encontrar en el informe, con el fin de hacer un juicio razonado y equilibrado con respecto a la mineralizacin que se est informando. "Competencia" requiere que el Informe Pblico se base en trabajo que es de responsabilidad de una persona debidamente calificada y con experiencia que est sujeta y regida por un cdigo de tica profesional que puede ser aplicado.

19. El Cdigo es la norma mnima requerida para Informacin Pblica. El comit tambin recomienda que se adopte como una norma mnima para otros informes. La referencia que se hace en el Cdigo a un Informe Pblico o Informacin Pblica es la referencia a un informe o informacin sobre resultados de exploracin, Recursos Minerales 020 o Reservas de Mena 029, preparado con el objeto de informar a los inversionistas o inversionistas potenciales y a sus asesores. Esto incluye un informe o informacin preparada para satisfacer los requisitos reguladores. Se alienta a las Compaas para que en sus Informes Pblicos entreguen la informacin ms amplia posible. Los Informes Pblicos incluyen pero no se limitan a las Memorias Anuales de la compaa, informes trimestrales y otros informes a las Bolsas de Valores de Australia o Nueva Zelanda, o que exija la ley de sociedades. Se recomienda que el Cdigo se aplique a los siguientes informes si han sido preparados para el objetivo descrito en la Clusula 5: estados ambientales; Memornda de Informacin; Informes de Expertos y documentos tcnicos con respecto a la informacin sobre resultados de exploracin, Recursos Minerales o Reservas de Mena. El trmino "requisitos reglamentarios" tal como se usa en la clusula 5 no tiene la intencin de cubrir informes que deben presentar las compaas a agencias gubernamentales que se puedan necesitar para efectos de inventario o planificacin del Gobierno Estatal o el Gobierno Federal. Si los informes preparados para dichos efectos posteriormente quedan disponibles para el pblico, normalmente no se consideraran Informes Pblicos en trminos del Cdigo JORC (ver tambin las normas sobre Clusulas 20 y 37. Se reconoce que puede haber situaciones en que una Persona Competente'D10' prepare documentacin para efectos internos de la compaa o efectos similares nopblicos que no cumple con el Cdigo JORC. En dichas circunstancias, la documentacin debera incluir una declaracin en el sentido de que no cumple con el Cdigo JORC. Esto restringir la probabilidad de que se use documentacin que no cumpla con las normas, como base para Informes Pblicos, ya que la clusula 8 exige que los Informes Pblicos reflejen en forma justa los Recursos Minerales y/o estimaciones de Reservas de Mena y la documentacin de respaldo preparada por una Persona Competente (ver clusula 8, y tambin Apndice 1 con respecto a requisitos de bolsas de valores sobre Informacin Pblica). Aunque se han hecho todos los esfuerzos dentro del Cdigo y Normas para inc luir la mayor parte de las situaciones que podran presentarse en la Informacin Pblica de resultados de exploracin, Recursos Minerales y Reservas de Mena, inevitablemente habr ocasiones en que existan dudas en cuanto al procedimiento apropiado que debe seguirse. En dichos casos, los usuarios del cdigo y aquellos que preparan informes bajo el Cdigo deben guiarse por su intencin, presentar a travs de las normas pertinentes para Informacin Pblica y asegurar que dicha informacin contenga toda aqulla que los inversionistas y sus asesores profesionales razonablemente requeriran y razonablemente esperaran encontrar en el informe con el objeto de hacer un juicio razonado y equilibrado con respecto a la mineralizacin que se est informando.

20. El Cdigo es aplicable a todos los Minerales slidos, incluyendo diamantes, otras piedras preciosas y carbn, para los cuales las Bolsas de Valores de Australia y Nueva Zelanda requieren Informacin Pblica sobre resultados de exploracin, Recursos Minerales y Reservas de Mina.

21. El Comit conjunto reconoce que de tiempo en tiempo ser necesario revisar nuevamente el Cdigo.

EJEMPLO DE CLCULO DE LA LEY DE TAJEOGeoestadistica.com

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Kriging en vetas: ejemplo de clculo de la ley de un Tajeo

Breve Explicacin Terico / Prctica:

Si visualizamos una veta con tajeos delimitados por galeras y chimeneas como indica la figura 1, podemos extraer un tajeo y mostrarlo como indica la figura 2, en donde se observan las dimensiones del tajeo, las leyes y la potencia que se presentan en las galeras y tambin se presentan en las chimeneas (asumiremos que las chimeneas tienen sus leyes y potencias definidas).

Fig. 1: Tajeos en una vetaFig. 2: Un Tajeo de mineral con Leyes y Potencias

Las variables que intervienen para la estimacin de la ley del tajeo son:

22. Ley (z), potencia (p) y coordenadas x de cada una de las canaletas de las galeras A1 y A2. (Fig. 3)

23. Ley (z), potencia (p) y coordenadas x de cada una de las canaletas de las chimeneas A3 y A4. (Fig. 3)

24. Variograma de "ley x potencia" (z * p)

25. Dimensiones del tajeo (Lx en la direcci horizontal y Ly en la direccin vertical) con sus coordenadas de ubicacin.

Para la estimacin de la ley de cada tajeo se utilizan los valores del producto (ley x potencia), y tambin se debe estimar la potencia promedio por tajo, con estos dos valores se determina la ley promedio (del elemento metlico de inters).

Fig. 3: Identificacin de Variables de Clculo

Para los clculos, considerar que en adicin al manejo de coordenadas de las muestras, se debe tomar en cuenta que las galeras y chimeneas estarn representadas por puntos en linea, mientras el tajeo estar representado por puntos en el plano del tajeo.

Es importante destacar que la estimacin puede ser realizada, en primera forma utilizando cada una de las muestras que se encuentran en las galeras y chimeneas, en segunda forma puede ser realizada utilizando las leyes y potencias promedios de las galeras.

En la primera forma en el clculo podran intervenir al rededor de 200 muestras, que requiere plantear y solucionar un sistema de 200 ecuaciones de krigeage, mientras en la segunda forma se requerira solo de 5 ecuasiones de krigeage. En los casos prcticos de gran cantidad de tajeos, se podra realizar una comparacin de los resultados de ambas formas de clculo y tomar decisiones sobre la precisin obtenida en la estimacin.

Para este ejemplo y por fines didcticos se mostrar el procedimiento con la segunda forma de clculo, de esta forma se requerir seguir los siguientes pasos:

26. Calcular el variograma experimental y aplicar la modelizacin de ste con alguno(s) de los modelos autorizados, tales como: esfrico, exponencial, lineal, gausiano, etc.

27. Se deber tomar en cuenta las anisotropas encontradas y debern ser aplicadas al modelo del variograma.

28. Clculo de la ley media ponderada para cada galera y cada chimenea, nombraremos z1 y z2 a las leyes promedio de las galeras, z3, z4 a las leyes promedio de las chimeneas. Fig. 3.

29. Nombraremos l1 y l2 a las longitudes de las galeras, l3 y l4 a las longitudes de las chimeneas.

30. Se asume que las leyes promedio zi se distribuyen uniformemente en los li metros de cada galera o chimenea (i).

31. Considerando el punto 3 vlido, no se requerir trabajar con el producto ley x potencia.

32. Para propsitos de clculo de los gamas promedio, se considerar al tajeo representado por puntos (Fig. 3).

Para determinar el modelo del variograma, se debe calcular el variograma experimental, en lo posible por tajeo y con todas las leyes del tajeo.

Fig. 4: Variograma Experimental y Modelo Exponencial

En el grfico adjunto, se muestra el variograma experimental con el modelo de variograma exponencial siguiente:

Cada punto del variogram experimental es la medida de la discrepancia promedio entre leyes distanciada a "h" metros (en el grfico el eje horizontal Range). En cierta forma, el variograma es un indicador de como se incrementan las discrepancias entre las muestras a medida que se van distanciando entre si. cuando el valor de "h" crece. El modelo matemtico ajustado se utilizar para el procedimiento de clculo del krigeage.

Para explicacin sobre variografa, de click aqu.

Para los clculos, se considerar que las galeras y chimeneas estarn representadas por una lnea de puntos, mientras el tajeo estar representado por puntos que representen la figura plana del tajeo.

Es muy importante destacar que la estimacin puede ser realizada, en primera forma, utilizando cada una de las muestras que se encuentran en las galeras y chimeneas, y en segunda forma puede ser realizada utilizando las leyes y potencias promedios de las galeras.

La explicacin de la estimacin se realizar aplicando el mtodo del krigeage ordinario, para ello debemos conocer el significado de cada una de las variables de la siguiente formulacin matemtica que se aplicar:

Fig. 5: Ley del tajeo (t) a estimar

Fig. 6: Sistema de Ecuaciones Krigeage

Fig. 7: Sistema de Ecuaciones de Krigeage (expandido)

En donde los smbolos son los pesos para cada ley zj, los ij son el promedio de aplicar el variograma entre las geometras (i) y (j) que corresponden a cada una de las galeras, chimeneas y tajeo, como se explica a continuacin:

Con la frmula del modelo del variograma (figura 4) y la indicacin grfica de la Fig. 6, se calcula el 1,1 entre los puntos de la galera (1) y los mismos puntos de esta galera (1).

Luego se calcular el 1,2, que es el promedio del variograma entre los puntos de la galera (1) y la galera (2), de la misma forma se contina con 1,3, 1,4.

A continuacin se calcula el 1,t, 2,t,..., hasta el 4,t. Tambin se calcula el t,t.

Fig. 8: Descripcin Geomtrica de forma de clculo de los gama(i,j)

Este texto es para quienes desean mayor explicacin sobre el clculo de los gama(i,j).

Como ejemplo para el clculo del gama(2,3), se tomar un primer punto de la galera (2) y el otro extremo de "h" se ubicar en un primer punto de la chimenea (3), se calcula la distancia absoluta (por diferencia de coordenadas) y esta distancia se reemplaza en la frmula del modelo del variograma (figura 4), se calcula el valor que da la frmula y se registra como un primer valor.

A continuacin se vuelve a tomar el primer punto de la galera (2), y en el otro extremo de "h" se ubica el segundo punto de la chimenea (3), se calcula la distancia entre estos dos nuevos puntos, esta distancia al reemplazar en la frmula de la figura 4, originar otro valor que se debe sumar al anterior resultado. Hasta aqu tenemos 2 clculos.

Luego se sigue la misma forma de clculo, siempre fijando un extremo en el primer punto de la galera (2) y moviendose el otro extremo de "h" a todos los puntos de la chimenea (3). Para cada distancia "h" entre dos puntos, se seguirn acumulando los valores de gama(h) y tambin se seguirn contabilizando los clculos realizados.

Una vez barrido todos los puntos de la chimenea (3), se mover el primer extremo del vector "h" a un se gundo punto de la galera (2), el otro extremo del vector "h" barrer de la misma forma anterior todos los puntos de la chimenea (3). Se continuar acumulando los valores de gama(h) calculados y el nmero de clculos realizados.

Si la galera (2) estuviera definido por 70 puntos y la chimenea (3) estuviera definido por 50 puntos, al final de estos clculos se habr realizado una interaccin entre los 70 puntos de la galera (2) y 50 puntos de la chimenea (3), originando (50 x 70) 3,500 clculos de variogramas, que deben ser sumados y promediados por el nmero de clculos.

Con este procedimiento obtendramos gama(2,3), es decir el variograma promedio entre la galera (2) y la chimenea (3). El mismo procedimiento se aplica para todos los gama(i,j).

Para el clculo de los gama(i,t), es decir gama(1,t), gama(2,t)......, gama(4,t), se considerar que el tajeo "t" esta conformado por puntos, tal como indica la figura N 3, la cantidad de puntos a definir al interior de "t" depende del nivel de precisin de la estimacin.

Hasta aqu hemos terminado los clculos de los gama(i,j) y gama(i,t), y tenemos definido el sistema de ecuaciones de krigeage, quedando solo las incognitas "lamda" ( ?) , que se resuelven aplicando cualquiera de los procedimientos conocidos, y si estas ecuaciones son numerosa, aplicando cualquiera de las rutinas de solucin de ecuaciones lineales difundidas en la web.

La presente explicacin continuar con la definicin de la varianza, varianza relativa, como utilizarla y como mejorarla. Antes de terminar este punto, es importante destacar que estos procedimientos de clculo son aplicables mediante casi todos los software especializados y que cuenten con mdulos de clculos geoestadsticos, sin embargo es necesario conocer como identificar y asignar los correctos valores geoestadisticos en los menus o pantallas que guian el proceso de estimacin de recursos

Ejemplo de clculo de la ley de un tajeo

1. Varianza geoestadstica2. Frmula del Kriging3. Ecuaciones del KrigingEJEMPLO DE CLCULO DE LA LEY DEL BLOQUE

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Kriging en Cuerpos: ejemplo de clculo de la ley de un bloque

Breve Explicacin Terico / Prctica:

Si visualizamos una veta con tajeos delimitados por galeras y chimeneas como indica la figura 1, podemos extraer un tajeo y mostrarlo como indica la figura 2, en donde se observan las dimensiones del tajeo, las leyes y la potencia (asumiremos que las chimeneas tienen sus leyes y potencias definidas).

Una matriz de bloques (a 3D) que encierra a un cuerpo mineralizado, es conocido como "Modelo de Bloques" , normalmente este modelo esta cortado por la superficie topogrfica, perforado por taladros con muestras de leyes de inters. Si realizamos, en cierta seccin vertical, la extraccin de una tajada de bloques de esa matriz y mostramos los taladros cercanos a esa seccin observamos la Fig. N 1.

Las leyes de los taladros, normalmente deben tener una longitud regular (igual), se acostumbr compositarlos a una longitud igual a la altura del banco de operaciones del tajo. Sin embargo considero que el clculo de compositos debe orientarse a mantener una igualdad en la longitud de todas las muestras, y no necesariamente a la longitud del banco de operaciones.

Con esta informacin regular se procede al clculo del variograma, en lo posible, en todas las direcciones de una esfera, buscando las mas representativas y que guarden relacin con las ocurrencias de campo y las interpretaciones de los gelogos con experiencia en el terreno.

Fig. 1: Seccin de Bloques con taladros

La variografa, es uno de los instrumentos mas importantes e la Geoestadstica, por ello es recomendable realizar clculos de variogramas en todas las direcciones posibles del depsito.

Por lo general el clculo parte en la direccin de azimuth cero, para este azimuth se debe calcular los variogramas para los buzamientos que van desde 80 hasta -90 variando la direccin de clculo cada 15.

Habiendo culminado los clculos para este azimuth cero, se cambia la direccin a 15 de azimuth y se calculan los variogramas para los mismo buzamientos. As sucesivamente se vara la direccin del azimuth desde 00 hasta 165.

Estas direcciones debern ser tomadas como sugerencia, el mismo que podr variar de acuerdo a las caractersticas del depsito y de acuerdo al nmero de muestras disponibles.

En base a los resultados del variograma, se determinarn los radios de influencia en las direcciones preferenciales as como las anisotropas de correlacin entre las muestras.

Para la construccin del elipsoide de la figura 3, se encontraron variogramas experimentales (figura 2) con alcances distintos en direcciones perpendiculares entre ellas. Esto indica la presencia de anisotropa que es muy comn en casi todos los depsitos.

Fig. 2: Variograma Experimental y Modelo de Variograma

Para determinar el modelo del variograma, se debe calcular el variograma experimental, que debe ser determinado en todas las direcciones posibles del depsito.

En el grfico adjunto, se muestra el variograma experimental con el modelo de variograma exponencial siguiente:

Cada punto del variogram experimental es la medida de la discrepancia promedio entre leyes distanciada a "h" metros (en el grfico el eje horizontal Range).

En cierta forma, el variograma, es un indicador de como se incrementan las discrepancias entre las muestras a medida que se van distanciando entre si. cuando el valor de "h" crece.

El modelo matemtico que se ajusta al variograma experimental se aplicar en el krigeage.

Luego de encontrar la direccin preferencial de mineralizacin mediante los variogramas experimentales, se aplica la modelizacin (figura 2) con las frmulas autorizadas como: esfrico, exponencial, lineal, gausiano, etc. En forma similar se debe aplicar la modelizacin en las direcciones perpendiculares a la direccin preferencial.

Este anlisis permitir encontrar las anisotropias en la mineralizacin del depsito y determinar los radios de influencia de las leyes en las direcciones principales.

Para la estimacin de la ley de un bloque, es necesario que las muestras se encuentren "regularizadas", es decir que mantengan la misma longitud, esto se logra con los procedimientos de "clculo de compsitos" que encuentra los valores de leyes en muestras de igual longitur.

Con las muestras regularizadas, se coloca al centro del elipsoide cada uno de los elementos del Modelo de Bloques, de tal forma que la estimacin se realice individualmente para cada uno, tomando como dato de clculo toda informacin que se encuentren al interior del elipsoide.

Para mejor explicacin del clculo de la ley de un bloque, se tomar la figura 3, en donde asumiremos que el elipsoide presenta una radio mayor de 30 metros y radios menores perpendiculares de 15 metros. Con estos distancias, del conjunto de muestras de los taladros hemos seleccionado 4 muestras que caen al interior del elipsoide.

Fig. 3: Elipsoide de influencia, con block a estimar

Este elipsoide se utilizar para cada bloque a estimar, es decir navegar por todo el modelo de bloques construido para el depsito.Las coordenadas centrales del elipsoide y del bloque debern se coincidentes.

Las muestras se ubican en 3D segn las coordenadas de su punto medio. Los valores de las leyes de las muestras se representan porz(i). Para este ejemplo, tenemos 4 muestras y un volumen a estimar de 10x10x10 m3.

Para propsitos de clculo se entender que el bloque esta representado por una malla de puntos en su interior de 4x4x4 puntos.

Al utilizar cuatro muestras, se asignar a cada una un peso "lamda" ( ?), este peso depende de la distancia de la muestra al bloque, o tambin depende si existen algunas otras muestras intermedias que ocasionan apantallamiento. El objetivo del krigeage es determinar los valores de los ( ?), una vez conocido recin se podr calcular la ley del bloque mediante la expresin de la figura N 4.

Fig. 4: Ley del bloque (V) a estimar

Conocido los valores de los pesos el clculo de la ley estimada se obtiene como indica la frmula de la fig. 5.

Para determinar el peso de cada muestra se aplicar, para esta explicacin, el krigeage ordinario, su aplicacin requiere conocer el significado de cada una de las variables de la siguiente formulacin matemtica que se aplicar:

Fig. 6: Sistema de Ecuaciones Krigeage

Fig. 7: Sistema de Ecuaciones de Krigeage (expandido)

En donde los smbolos "lamda" ( ?) son los pesos para cada ley (j), los "gama i j " son el promedio de aplicar el variograma entre las geometras (i) y (j) que corresponden a cada una de las galeras, chimeneas y tajeo, como se explica a continuacin:

Con la frmula del modelo del variograma (figura 3) y la indicacin grfica de la Fig. 4, entre el punto (1) y el mismo punto (1) se calcula el gama(1,1).

Luego se calcular el gama(1,2), que es el valor del gama(h) entre los puntos (1) y (2), de la misma forma se contina con gama(1,3),..., y gama(4,4).

A continuacin se calcula el gama(1,v), gama (2,v),..., hasta el gama (4,v). Tambien se calcula el gama (v,v).

Fig. 8: Descripcin Geomtrica de forma de clculo de los gama(i,j)

Con la frmula del modelo del variograma (figura 4) y la indicacin grfica de la Fig. 6, se calcula el gama(1,1) entre los puntos de la galera (1) y los mismos puntos de esta galera (1).

Luego se calcular el gama(1,2), que es el promedio del variograma entre los puntos de la galera (1) y la galera (2), de la misma forma se contina con gama(1,3),..., y gama(4,4).

A continuacin se calcula el gama(1,V), gama (2,V),..., hasta el gama (4,V). Tambien se calcula el gama (V,V).

Este texto es para quienes desean mayor explicacin sobre el clculo de los gama(i,j)

Por ejemplo para el clculo del gama(2,3), se tomar el punto (2) y el otro extremo de "h" se ubicar en el punto (3), se calcula la distancia absoluta (por diferencia de coordenadas) y esta distancia se reemplaza en la frmula del modelo del variograma (figura 2), se calcula el valor que da la frmula y se registra como un primer valor. Se debe entender que este valor es igual a gama(3,2).

A continuacin se vuelve a tomar el punto (2), y en el otro extremo de "h" se ubica el punto (3), se calcula la distancia entre estos dos nuevos puntos, esta distancia al reemplazar en la frmula de la figura 2, originar otro valor que se debe sumar al anterior resultado.

Luego se sigue la misma forma de clculo, para todas las posibles interacciones entre la 4 muestras, hasta completar de calcular todos los gama(i,j).

Para el clculo de los gama(i,v), es decir gama(1,v), gama(2,v)......, gama(4,v), se considerar que el bloque "v" esta conformado por puntos en su interior con una distribucin interna de 4 puntos en el eje x, 4 puntos en el eje y, cuatro puntos en el eje z, totalizando en su interior 64 puntos.

Esto significa que para calcular el gama(1,v), el punto (1) tendr que interactuar con los 64 puntos que representa al volumen.

Hasta aqu hemos terminado los clculos de los gama(i,j) y gama(i,V), y tenemos definido el sistema de ecuaciones de krigeage, quedando solo las incognitas "lamda" ( ?) , que se resuelven aplicando cualquiera de los procedimientos conocidos, y si estas ecuaciones son numerosa, aplicando cualquiera de las rutinas de solucin de ecuaciones lineales difundidas en la web.

Antes de terminar este punto, es importante destacar que estos procedimientos de clculo son aplicables mediante casi todos los software especializados y que cuenten con mdulos de clculos geoestadsticos, sin embargo es necesario conocer como identificar y asignar los correctos valores geoestadisticos en los menus o pantallas que guian el proceso de estimacin de recursos

CALCULO DE RESERVAS

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Clculo de Reservas


Concepto de Clculo de Reservas

Los recursos clasificados en medidos, indicados e inferidos mantienen esta calificacin en base a la precisin de la estimacion que depende de la cantidad de muestras y la proximidad de las mismas utilizadas en la estimacin de recursos, sin embargo esta clasificacin de recursos mantienen una relacin directa con las reservas probadas y probables, pero aqu es muy importante precisar que la calificacin de reservas depende ms de la facilidad de extraccin del mineral.

De esta manera se entiende con facilidad que no todos los recursos medidos e indicados podrn convertirse en reservas probadas o probables. Es aqui en donde se destaca que las reservas (probadas o probables) se definen por anlisis de costos, precios y recuperacin metalrgica.

Las reservas constituyen el activo valorizado de mineral que puede ser extraido econmicamente, para llegar a estos resultados es necesario:

33. Anlisis y clculo de costos de produccin

34. Determinacin de la Recuperacin Metalrgica

35. Determinar el precio mas confiable y seguro del metal

36. Determinar el tiempo de proyeccin de estas variables

37. Determinacin de los accesos y volmenes de extraccin del mineral

El conocimiento y control de estas variables permiten definir con mayor certeza la ley de corte (cut off) requerida para el trabajo cotidiano de las operaciones mineras.

En la siguiente expresin el lado izquierdo indica las variables: tonelaje (T), recuperacin metalrgica (R), precio del metal a vender (P) y el lado derecho la suma de, costos (Ci). En toda operaci minera el lado izquierdo debe ser mayor que el lado derecho.

Sin embargo al igualar estas expresiones se determina la condicin que debe cumplir la ley de corte o cut-off, en donde la ley de corte subir en valor directamente proporcional al alza de los costos, tambin la ley de corte subir en valor cuando la recuperacin metarlgica o el precio disminuyan en valor.

En trminos simples la ley de corte indica la mnima ley de mineral que debe ser enviada a la planta de tratamiento.

Con esta ley de corte podemos identificar los cuerpos o zonas mineralizadas de inters, sin embargo es necesario que este volumen de mineral identificado pueda pagar su extraccin, tanto en minera subterranea como en minera superficial, este concepto es de igual significado.

En minera subterranea, si luego de la estimacin de recursos, encontramos que algunos tajeos tienen ley mayor a la ley de corte, sin embargo se encuentran muy alejados de la planta metalrgica, no formar parte de las reservas (hasta encontrar algna forma que redusca los costos de extraccin o minado).

De forma similar en minera superficial, los recursos pueden indicar volumenes con leyes superiores a la ley de corte, pero si estos se encuentran en profundidad que no puede pagar el desbroce y extraccin, no formarn parte de las reservas.

La ley de corte puede indicar tambin la ley de corte equivalente (conformado por la ley mnima de cada uno de los metales presentes en el mineral de inters).

Otra de las principales preocupaciones de las empresas constituyen encontrar la diferenciacin entre las leyes de corte operativa, empresarial y corporativa, que algunas veces pasan por un mayor anlisis de depreciacin de activos, costos de refinanciamiento y su influencia en el tonelaje de recursos y reservas.

El control anlisis y control comparativo de la ley de corte, costos y reservas permiten preveer y proyectar el desarrollo sostenido de las operaciones mineras.

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Clculo de Reservas


Clculo de Reservas en Minas Subterrneas

Criterios para el Clculo de Reservas en Minera Subterrnea

Partiendo del clculo de recursos, con el cual se puede determinar la cantidad de metal presente en cada punto posible de extraccin, es posible valorizar cada uno de los volmenes con recursos estimados. Si tenemos tajeos de vetas en mina subterranea con tonelajes y leyes de metal, stas recibirn un valor de acuerdo al contenido de metal, precio y recuperacin metalrgica.

El siguiente paso es iniciar en forma virtual la extraccin de estos tajeos siempre y cuando paguen el proceso de minado hasta colocarlo en la planta de tratamiento. Si bien la ley de corte es un importante clasificador de zonas de explotacin, en minera subterranea tambin es importante determinar el tonelaje suficiente que pueda pagar cada tajeo en los desarrollos que se requieren para su extraccin.

Para poder calcular las reservas, es necesario realizar el diseo de la mina subterranea, este diseo debe suministrar seguridad durante la extraccin del mineral de cada tajeo considerando aspectos y consideraciones netamente operativas, como por ejemplo:

38. Certeza de la estimacin clasficado en Reservas Probadas y Reservas Probables

39. Distancia de la planta que permita costos de transporte de mineral incluidos en la Ley de Corte

40. Consideraciones de distancia, accesibilidad, transporte y acarreo

41. Condiciones de trabajo (seguridad, ventilacin, etc)

En el grfico N 1 se observa, a manera de ejemplo, un conjunto de tajeos con "recursos estimados" y calificados de la forma siguiente: (A) Medidas, (B) Indicadas, (C) Inferidas. Realizando una evaluacin de cada tajeo y la factibilidad de su extraccin, se determina que de los recursos medidos (A) se extraen econmicamente los tajeos A1 al A10 conformando las "reservas probadas". De los recursos indicados (B) se determina que solo pueden ser extraidos econmicamente los tajeos B1 al B4 conformando las "reservas probables".

Se observan tajeos con recursos medidos (A) y recursos indicados (B) que no podrn ser extraidos, por posible falta de algunas de las condiciones de operatividad (2), (3) (4), indicadas en prrafos anteriores.

Tambin se observa a los recursos inferidos que no son tomados en cuenta en la evaluacin de reservas para extraccin.

Fig. 1

Hoy en da con el conocimiento de las operaciones y aplicando intensivamente software de diseo podemos determinar con mayor rapidez y certeza, no solo cuales son los tajeos que se debe extraer econmicamente, sino tambin la secuencia de extraccin (plan de minado) a corto, mediano y largo plazo, plasmando en tres dimensiones el modelo geolgico del yacimiento, las rutas de acceso y como quedarn la mina al final de sus operaciones.

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Clculo de Reservas


Clculo de Reservas en Minera Superficial

Criterios para el Clculo de Reservas en Minera Superficial

Para calcular las reservas en minera superficial, es necesario realizar el diseo de la mina a tajo abierto, el diseo se sustenta en lograr identificar los bloques estimados con ley superior a la ley de corte (cut off) y al mismo tiempo su extraccin pague el esteril o desmonte que se encuentra sobre ellos.

Fig. 1

Entre las consideraciones mas importantes que se deben tener en cuenta para el diseo de una mina a cielo abierto, se presentan las siguientes:

42. Modelo de bloques con valores de ley y certeza de la estimacin de bloques de mineral

43. Recursos clasificados en medidos, indicados e inferidos

44. Modelo topogrfico del terreno, en una extensin suficiente para la extensin de los taludes del tajo

45. Altura del banco de explotacin y gradiente de los taludes en direcciones

46. Recuperacin metalrgica, Costos de Mina y de Planta, Precios de los metales a explotar

Fig. 2Fig. 3

Con esta informacin se procede a calcular el diseo ptimo del tajo mediante cualquiera de los software disponibles en el mercado que garantice la optimalidad del clculo.

El diseo ptimo es nico, por ser una funcin matemtica, sin embargo constituye un diseo por lo general no aplicable en 100%, debido a que muchas veces presenta contornos no compatibles con la operacin de los equipos de minado. Para ello, es necesario introducir ajustes en el diseo aplicando criterios operativos, si bien estos ajustes alejarn en un pequeo porcentaje el diseo ptimo matemtico, estaremos logrando un ptimo tcnico operativo para el proceso de produccin.

Fig. 4Fig. 5

Una vez obtenido el "diseo ptimo tcnico" de la mina a cielo abierto (Fig. 4), se procede a calcular el tonelaje de mineral que se encuentra en su interior (Fig. N 5), el mineral dentro del pit es calificado como reservas. Aquellos recursos que fueron calificados como "recursos medidos" y que se encuentran al interior del diseo, reciben el calificativo de "reservas probadas". Aquellos recursos que fueron calificados como "recursos indicados" y que se encuentran al interior del diseo, reciben el calificativo de "reservas probables". Los recursos inferidos no son tomados en cuenta para el clculo del diseo del pit y tampoco como contribucin en los tonelajes de reservas.

DISEO DE MINAS

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Diseo de MinasDiseo de Minas para su empresa


Optimalidad en el Diseo de Minas

Experiencia en:

En Per: Tintaya, Cerro Verde, Antamina, Andaychagua, Cerro de Pasco, Toromocho, Cobriza, La Arena, La Granja, Huilacoyo, Picomachay, Tentadora, Seductora, Cochavara, Clarita, Sacalla. Maqui Maqui.

El diseo de una mina es la concepcin de como debe quedar la mina al final de la extraccin de sus reservas, para iniciar el diseo es necesario contar con leyes de corte (cut off) que se aplicarn para todo el depsito o para cada una de las partes del depsito.

Para iniciar el diseo de una mina, ya sea subterranea o superficial, es necesario contar previamente con toda la informacin de recursos, es necesario establecer las condiciones y formas de acceso para la extraccin de mineral, as como las condiciones y restricciones de seguridad y medio ambiente durante las operaciones.

Con esta informacin se realiza una proyeccin de extraccin de los recursos de las formas mas econmicas posibles, planteandose un gran nmero de opciones de extraccin de mineral a traves del tiempo hasta que se culmine con la extraccin de la mxima cantidad de recursos disponible y con la mxima rentabilidad de inversin.

Observando el Grfico N 1, para un depsito con recursos, encontraremos un tonelaje de minado (t) que proporcionar una rentabilidad (r), a cualquiera de los puntos que se encuentran debajo de la curva le corresponde a un (t) que suministra una rentabilidad (r). La nuve de puntos debajo de la curva es infinita, es decir las posibilidades de optencin de rentabilidad de acuerdo al tonelaje (t) tambin es infinita, sin embargo para fines prcticos se debe evaluar el diseo ptimo en los tonelajes que generan rentabilidades mximas (por ejemplo en los puntos a, b, c, d, e, f, g, etc.). Para lograr encontrar la mxima rentabilidad, entre (c) y (f) se aplican modelos matemticos de optimizacin apoyados por software desarrollados para este fin.

Fig. 1: Rentabilidad vs tonelaje de minado

Es importante mencionar que la rentabilidad es tambin funcin de N variables que intervienen en todo el proceso de clculo del cash flow.

El hecho de conocer mas opciones de optimalidad nos permite obtener la curva que nos expresa el resultado de la sensibilidad de la rentabilidad para todo proyecto nuevo de inversin o proyecto de ampliacin de operaciones.

Para determinar si en un depsito se debe aplicar minado subterraneo o superficial, se recomienda desarrollar previamente un estudio de minado a cielo abierto, incluso cuando se trata de una veta con potencia importante y poco recubrimiento. Si queda sin explotar un importante tonelaje de recursos, se pasa a etapa de comparacin de rentabilidades con minado subterraneo o a minado aplicando ambos mtodos.(Fig. N 2).

Fig. 2: Minado superficial y subterraneo

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Diseo de Minas en Vetas

En el diseo de una mina subterranea en vetas, se requiere tener evaluado el volumen de mineral existente en cada frente de trabajo, se requiere establecer la secuencia de extraccin del mineral hasta el final de la vida de la mina, se detallan las formas de explotacin en cada zona de trabajo, las rutas de acceso, las rutas de ventilacion, la forma de extraccin del mineral desde cada frente de produccin y las condiciones de seguridad de las operaciones de minado.

El minado subterraneo en Per se orienta en su mayora de los casos a vetas angostas, y en menores casos a estructuras con potencia aproximada de 20 o 50 metros. Es menos frecuente la presencia de mantos mineralizados a profundidad.

Una de las variables importantes que inciden directamente en los costos y por lo tanto en los resultados del diseo es el ancho de minado, toda variacin del ancho de minado en los frentes de los tajeos de explotacin ocasionar variacin en la ley y en el tonelaje de recursos y reservas.

Fig. 1: Tajeos subterraneosFig. 2: Minado subterraneo y superficial

En la fig. N 1 se observan tajeos de los cuales aquellos con nomenclatura A y B sern extraidos por su proximidad con las rutas de acceso (1, 2, 3). El mineral de los tajeos C no pagarn la extraccin, por lo tanto el diseo de la mina esta definido por la opcin mas rentable de secuencia de minado que engloba un tonelaje total de reservas.

Dependiendo de la cantidad de tajeos, el procedimiento para determinar el diseo en una mina subterranea, requiere el registro de cada tajeo con su particular identificacin de calidad, cantidad de mineral, costo de extraccin y recuperacin metalrgica.

Luego de este registro e identificacin de tajeos se procede a plantear todas las opciones factibles de extraccin de mineral de los tajeos, los mismos que pueden requerir extraccin simultanea de dos o mas tajeos para cumplir objetivos de mezclas de mineral para fines de mejor recuperacin metalurgica.

Para mediana minera, por lo general se presentan varias vetas a explotar simultaneamente, en cada veta se disponde de decenas de tajeos con tonelaje y leyes estimadas. El uso intensivo de herramientas de cmputo con algoritmos que permitan administrar la informacin de las combinaciones posibles para los procesos de clculo que sirvan para encontrar el diseo de mina mas rentable, forma parte de la disciplina de la ingeniera de software minero para alcanzar la optimalidad de la relacin costo / beneficio.

Esto significa plantear un gran nmero de posibilidades para la extraccin de la mayor cantidad de mineral de recursos posible, evaluando y ajustando en cada tajo la variacin de los costos operativos mina y su influencia en el cut off, identificando con claridad los tajeos que presentan leyes marginales muy cercanas al cut off, por tratarse de mineral con slidas espectativas econmicas ante eventuales alzas de precios de los metales.

La presentacin de los resultados del diseo de minas en vetas, consta de planos descriptivos con cuadros de reservas (tonelajes y leyes) con identificacin de tajeos a extraer relacionado a un cronograma de trabajo hasta el agotamiento de las reservas. Dentro de este cronograma tambin se presenta las fechas y duracin de construccin de accesos, preparacin de la mina, rutas de ventilacin y construcciones para ventilacin, seguridad y contingencia.

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Diseo de Mina a Tajo Abierto (Open Pits)

El diseo de una mina a tajo abierto ( cielo abierto) es una de las actividades ms importantes en el estudio tcnico econmico de un proyecto minero, pues no solo nos proporcionar las reservas econmicas a explotar, sino la forma de la mina al final de su vida en cada banco de explotacin, la pendiente de los taludes en diferentes niveles, el tonelaje de material estril a extraer, la ubicacin del tonelaje y ley que suministrar la mayor rentabilidad.

Fig.1: Secuencia para llegar a reservas

Consideramos importante en esta parte introducir el concepto de optimalidad que involucra el aplicar un algoritmo de diseo de minas mediante alguno de los software disponibles en el mercado. Es tambin importante mencionar la histrica trayectoria de investigacin en varios pases para lograr el software que obtenga, en primer lugar el diseo ptimo matemtico del tajo abierto, y en segundo lugar que presente versatilidad y flexibilidad en la aplicacin en depsitos de gran dimensin y complejidad.

Para entender la magnitud de la complejidad de clculo en el diseo ptimo de una mina a cielo abierto, se muestra en el grfico N 3

Fig. 3: Tajo con bloques seleccionadosEn este diseo de tajo abierto, se observan bloques de 10 x 10 x 10 m3, la magnitud del modelo de bloques se encuentra en el orden de 180 x 120 x 80 (1,728,000 bloques) limitado en la parte superior por una topografa.

En el grfico se observan bloques seleccionados encima de la topografa del tajo diseado y debajo de sta se observan los bloques que no son posibles de extraer, ya sea por que estar ms profundos o de menor ley, que no pagan su extraccin.

Para el diseo ptimo del tajo abierto es necesario que el algoritmo a aplicar seleccione los bloques con ley que puedan pagar la extraccin del material esteril que la recubre, respetando las condiciones de estabilidad de los taludes indicados.

Se podr entender que la combinatoria de seleccin de bloques de mineral con bloques con material estril requiere de un software comprobado, validado y reconocido y aceptado internacionalmente por las principales entidades que financian proyectos mineros.

Un software de alta versatilidad presenta como resultado en un solo proceso de clculo varios diseos de minas, cada uno diferenciado del parmetro (Pit (i)), que esta en funcin de los costos de mina, planta, precios del metal y recuperacin.

Fig. 4: Diseos de tajos con bloques de reservasConsiderando las variables que intervienen en el clculo del cut-off, se entiende que es posible disear pits anidados que estan en funcin de las variables que determinan el cut-off. Por lo tanto Cada Pit es funcin del, precio (P) del metal, recuperacin (R), tonelaje (T), ley del metal (L) y costos (C).

Los software disponibles actualmente en el mercado pueden suministrar en un solo proceso decenas de pits, simulando un anlisis de sensibilidad para variaciones del parmetro tcnico econmico, indicando tambin el diseo ptimo para las condiciones actuales de costos y precios.

En la figura 4 se presentan tajos generados mediante la variacin de parmetros tales como el Costo (mina + planta), Precio del metal, Recuperacin Metalrgica, Tonelaje de Mineral y ley del metal.

Estos parmetros en conjunto generan el cut off o ley de corte, entonces cada tajo que pueda generarse mantiene una relacin directa y proporcional con el cut off

Fig. 5: Diseos de tajos para diferentes parmetrosEn el grfico 5, se muestra como incrementando el valor del precio del metal se puede lograr que se vuelva econmico las profundidades de un pit. Lgicamente esta relacionado a la presencia de buena ley y a la relacin estril mineral.

Si observamos un depsito con recursos, podremos realizar un gran nmero de diseos que generarn un tonelaje de minado y una rentabilidad, segn la Fig. 6 podremos encontrar un tonelaje (t) que proporcionar una rentabilidad (r), para cualquiera de los puntos que se encuentran debajo de la curva

Fig. 6: Curva de Optimalidad de la Rentabilidad

Si evaluamos la rentabilidad de un proyecto que tiene como mximo 120 millones de toneladas, la rentabilidad puede partir desde valores muy bajos (para mnimos tonelajes) como indica la curva, y se va incrementando gradualmente hasta un mximo, luego del cual la rentabilidad ir decreciendo.

Es interesante imaginar que los puntos debajo de la curva tambin son relaciones que pueden presentarse entre valores de tonelaje y la rentabilidad, estos puntos debajo de la curva definitivamente no constituyen valores ptimos para cada tonelaje total a producir en el proyecto. Probablemente estos valores debajo de la curva podran ser utilizados en los casos que no se apliquen criterios de optimalidad ocasionando prdidas en el proyecto por mala concepcin.

La cantidad de puntos existente debajo de la curva es muy grande. Los diseos ptimos de tajos abiertos que se pueden encontrar con un software especializado se ubican en el borde superior de la curva (puntos a, b, c, d, e, f, g, etc.), de los cuales para cierta condicin de las variables que intervienen en un determinado momento, encontrariamos el ptimo entre los puntos (e) y (g).

El hecho de conocer la mayor cantidad de opciones de optimalidad para distintos valores del parmetro Pit(i) nos permite definir un espectro de opciones de pits ptimos que contribuyen a definir mejor el horizonte de trabajo principalmente en perodos de inestabilidad de los precios y costos.

En todo proyecto que involucra inversin y riesgo es necesario contar con un anlisis de sensibilidad de los retornos de inversin acorde a las fluctuaciones de precios y costos.

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Algoritmos de Diseo de Minas

Bsqueda del ptimo

La Mineria al igual que en otros procesos industriales requiere de un anlisis profundo de la forma de explotacin de los minerales, una de las etapas cruciales que definen la rentabilidad o no de un proyecto minero a cielo abierto corresponde al diseo final ptimo del tajo abierto.

La tecnologa de procesamiento de informacin en base a modelos matemticos de optimizacin, ha sido desarrollada durante muchos aos por los principales centros de investigacin de pases desarrollados con importante influencia en inversiones mineras de gran magnitud.

Es as que podemos recopilar importantes esfuerzos cientficos desarrollados en Estados Unidos, Inglaterra, Rusia, Francia, Blgica, etc. con miras a encontrar la frmula o el algoritmo matemtico mas eficiente y flexible para conseguir un diseo ptimo matemtico de una mina a cielo abierto.

Entre los algoritmos mas importantes podemos destacar:

47. Cono Movil o Mtodo de Incrementos (USA)

48. Algoritmo de Korobov (Ruso)

49. Programacin Dinmica (Lerchs y Grossman) (Ingls y USA)

50. Grafos de Lerchs y Grossman (Ingls y USA)

51. Bosque Subcompactado de Ren Vallet (Belga)

52. Parametrizacin de Reservas Minables de Mathern (Francia)

Casi todos estos mtodos o algortmos descritos, logran obtener o llegar con bastante aproximacin al ptimo matemtico (a excepcin del Cono Movil), pero la diferencia se encuentra en la flexibilidad para el procesamiento y velocidad para converger en el ptimo matemtico, que como se sabe es nico.

Ejemplo Figurativo Simple: Para lograr transmitir en forma simple el mensaje sobre el significado de optimizacin de un tajo, y saber por que se llama ptimo, que hace el software que optimiza y por que utilizarlo, podemos imaginar un modelo de bloques (figurativamente) del tamao de una caja de cartn de unos 30 cm de alto x 60 cm de ancho y 88 cm de largo. Los "bloques de mineral" los colocaremos al interior de esta caja de cartn, tomando para ello cajas pequeas de fsforo cerillos (de 1 cm de alto x 3 cm de ancho x 4 cm de largo) distribuidas en forma ordenada. Asumiremos en este modelo simulado que la topografa es horizontal.

En total podriamos colocar 30 x 20 x 22 cajas de fsforo (simulando 30 bloques en direccin de la cota, 20 bloques en direccin norte, 22 bloques en direccin este), esto significa que se requeriran 13,200 cajas al interior del model simulado. Si a 5,000 cajas de fosforo ubicados con cierta aleatoriedad en profundidad le cargamos con monedas de valores diferentes entre 1$ y 5$ (obtendremos bloques que simulan la valorizacin del metal dentro de cada uno).

A este conjunto de cajas con valores positivos, las rodeamos hasta llenar el modelo con bloques que contengan un material estril pesado y con valor negativo por que su extraccin cuesta, de esta manera tendremos un modelo de bloques que simula a los depsitos de mineral.

El objetivo en este conjunto de cajas de fosforo es extraer los bloques (tanto con valor positivo o negativo) que en conjunto

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