planificacion minera (geoestadistica 1)

Jos Delgado Cuantas reservas tenemos ?Cuantos aos durara la explotacin ?Cul es la ley media ? etc

Jos Delgado

Jos Delgado La Geoestadstica

Su punto de partida es asumir una intuicin topo-probabilista (Matheron, 1970). Los fenmenos distribuidos en el espacio, la mineralizacin en un yacimiento mineral por ejemplo, presenta un carcter mixto, un comportamiento catico o aleatorio a escala local, pero a la vez estructural a gran escala

Los trabajos de Kriging en las minas de SudAfrica

Qu es la Geoestadistica?

Es una estadstica aplicada o un conjunto de herramientas para correlacionar variables con el espacio y/o tiempo.

Se define como la aplicacin de la Variable regionalizada (teora de Funciones Aleatorias) al reconocimiento y estimacin de fenmenos naturales (Journel y Huijbregts, 1978)

Simplemente, el estudio de las variables numricas distribuidas en el espacio (Chauvet, 1994), siendo una herramienta til en el estudio de estas variables (Zhang, 1992).

Jos Delgado

Jos Delgado Qu es una variable Regionalizada ?

Es una variable aleatoria donde la localizacion, el espacio y el tiempo son importante ,ella presenta dos aspectos contradictorio

Tiene un aspecto aleatorio Su comportamiento estructurada

Jos Delgado Ejemplos de variables aleatorias

Leyes de los minerales ndices de calidad de un yacimiento Profundidad y espesor de sobrecarga Litologas y alteraciones de manera indicatrizPermeabilidades , porosidadesDensidad de rboles o especies vegetales Densidad de peces En problemas de lluvias En elementos trazas de la geofsica

Jos Delgado Los cinco tipos de mtodos

1.- La geo estadstica lineal

2.-Modelos no estacionarios

3.-Geo estadstica multi variable

4.-Mtodos no lineales

5.-Simulacin condicional

Jos Delgado Dterministicos vs. Go estadisticosDterministicos : Utilizan funciones matemticas para poder hacer las predicciones ;

Go estadsticos (Estocsticos): Asocian funciones matemticas a los anlisis estadsticos para hacer interpolaciones (ex: Krigeage);

Jos Delgado Historia :

Los primeros problemas estudiados Africa del Sur Comienzo de los aos 50

D.G.Krige A estudiado la diferencia entre las leyes reales y las estimadas Estimadas realRegresin Lineal

Grfico3

1.5

2

2.5

3

1.8

2

3

4

2

3

5

6

4

5

6

3

4

5

6

4

6

7

9

4

5

6

7

4

6

8

4

7

9

10

Leyes estimadas

Leyes reales

Hoja1

DistanciaMedida

51

101.3

151.5

201.6

251.8

300.9

352

402.2

452.4

502.1

552

601.9

651.6

702.5

753

802.2

852.3

901.5

952.7

1002.6

1052

1102.4

1153.5

1203

1252.6

1302.5

1353.2

1403.3

1453.2

1503.2

1553

1601.5

1651.4

1703.5

1753.5

1803.6

1853.5

1903.4

1951.8

2003.6

2053.7

Hoja1

Medida

distancias

leyes de cobre

Hoja2

Ley estimadaley real

21.5

22

22.5

23

31.8

32

33

34

42

43

45

56

54

55

56

63

64

65

66

74

76

77

79

84

85

86

87

94

96

98

104

107

109

1010

Hoja2

Leyes estimadas

Leyes reales

Hoja3

Jos Delgado

Cul es la ley del depsito

Cul es la ley de produccin de la siguiente semana

Cul es la ley de mineral en la superficie

Donde se perforar y cuntas perforaciones se necesitarn

Cuando utilizar la Geoestadistica?

Jos Delgado

Herramientas GeoestadsticasVariograma: dice la correlacin entre muestras.El rango de influencia el principio de extensin y anisotropaCovariograma: Dice la relacin entre las variables Correlograma Dice la relacin con un mximo de 1 Estimacin: Tasa la calidad de la estimacinVarianza de estimacin :dice cuan bien o mal es la estimacinVarianza de dispersin que tanto variamos con respecto a un valor referencial Kriging: dice el peso apropiado para ser asignado a cada una de las muestrasJos Delgado

Estimadores GeoestadsticosLa estimacin de reservas se puede dividir en 2 partes:

1)Estimacin global:Interesa estimar la ley media y el tonelaje de todo el yacimiento

2)Estimacin local:Interesa estimar la ley media de unidades o bloques dentro de una zona

Jos Delgado

Jos Delgado La idea de explicar los fenmenos por la correlacin entre las Muestras Cuantificar en funcin de la distancia Leyes Z ( x) Z( x+h) * h * Localizacin x x+h Z(x ) es una variable regionalizada localizada en el punto x

Jos Delgado Primeras ideas :correlacin espacial

Se estudio el valor medio del producto

(Z( x) m)(Z (x+h)-m)

En funcin de la distancia hM es la media general de Z

El problema es que es necesario la existencia y La invariabilidad de m en la regin Necesita una buena estimacin de m

Jos Delgado

Jos Delgado Tipos de muestreos RegularAleatorio Tran-sectAleatorio estratificado GruposContorno

Jos Delgado Una primera toma de muestra instintiva

Jos Delgado

Una segunda aprovechando la informacin anteriorJos Delgado

Jos Delgado

Efecto soporte

Ley corte=22

Grfico2

18.25

13

25

13.25

12.75

22.75

20

14.5

20.75

19.25

21.75

14.25

21

14.25

23

21.5

19.25

22.25

20.25

16

23.25

32.5

23.75

9.25

8.75

Valores estimados

valores reales

nube de puntos

b3

100255518.25

300225513

5002345525

700065513.25

9001285512.75

10202352522.75

302015252520

502015452514.5

702023652520.75

902014852519.25

10403054521.75

304011254514.25

504019454521

704019654514.25

904017854523

1060956521.5

306025256519.25

506012456522.25

706020656520.25

906026856516

10802158523.25

308043258532.5

508020458523.75

7080965859.25

90801285858.75

b3

Valores estimados

valores reales

nube de puntos

Jos Delgado Como estudiar las relaciones espaciales de los datos?

Anlisis Variografico

El anlisis variografico es una de las herramientas mas importante y potente que existen para analizar las fuentes de variabilidad de los procesos .

Podemos estudiar la variabilidad de la variable aleatoria en funcin del tiempo o de la posicin

En el caso de la mina podemos estudiar como varan las leyes

Jos Delgado

Jos Delgado El variograma:es una de las herramientas mas potentes que Existen , dado a que entrega la relacin espacial de los datosMostrando su variabilidad

El variograma

Jos Delgado Informacin estructural aportada por el Variograma

1.-continuidad espacial

2.-Zona de influencia

3.-las anisotropa

4.-Las estructuras anidadas

5.-La no estacionalidad ( derivas tendencias )

Jos Delgado La idea del variograma Estudiar el valor medio de ( Z( x+h)- Z( x))^2

En funcin de la distancia hDistancia h ( h )

Grfico1

0000

0.093680.093680.169750.1311849437

0.606350.606350.218080.1311849437

0.552790.552790.293430.4302171753

1.145791.145790.23080.7179370483

0.919510.919510.303780.8946007754

0.645910.645910.246210.9702707836

2.185422.185420.405630.9936702846

0.667170.667170.303280.9989827222

0.377630.377630.238820.9998765902

3.208853.208850.45530.9999886991

0.9999992189

0.9999999592

0.9999999984

1

1

1

1

1

1

va-te-gau

semivariograma

modelos

a=4.5w=(0-2)0.15

c=0.5

hsphericalexponencialgaussianpower modelhole effect

000000

0.50.08299039780.14173434470.05258034160.45062523130.0303927505

10.16392318240.24329144050.17940980580.50.1178761249

1.50.24074074070.31606027940.31606027940.53135368060.2518146816

20.31138545950.36820143090.41549334230.5547847360.4159253762

2.50.37379972570.40556219860.4689117380.57366850280.5902571071

30.42592592590.43233235840.49084218060.58957382280.753616191

3.50.46570644720.45151401610.49783988030.60336513470.8861429004

40.49108367630.46525827440.49959200610.61557220670.9717258306

4.50.50.47510646580.49993829510.62654444150.9999605788

50.49039780520.48216300330.49999252730.63652505780.9674146185

5.50.46021947870.48721923340.49999927540.64569051640.8780445947

60.40740740740.49084218060.49999994370.65417311540.7427153107

6.50.32990397810.49343813560.49999999650.66207472350.5778788832

70.22565157750.49529821870.49999999980.6694755340.4035746418

7.50.09259259260.49663102650.50.67643986450.2409929278

8-0.07133058980.4975860250.50.68302012840.1098989632

8.5-0.2681755830.49827031130.50.6892596310.0262299724

0

varios-var-teor-

varios-var-teor-

0000

0.093680.093680.169750.3127107212

0.606350.606350.218080.3127107212

0.552790.552790.293430.5276334473

1.145791.145790.23080.6753475326

0.919510.919510.303780.7768698399

0.645910.645910.246210.8466450332

2.185422.185420.405630.8946007754

0.667170.667170.303280.927560243

0.377630.377630.238820.9502129316

3.208853.208850.45530.9657818817

0.9764822541

0.9838365054

0.9888910035

0.9923649058

0.9947524816

0.9963934369

0.9975212478

0.9982963802

0.9988291204

ver-teo-exp

semivariograma

semi-vario

0000

0.093680.093680.169750.1311849437

0.606350.606350.218080.1311849437

0.552790.552790.293430.4302171753

1.145791.145790.23080.7179370483

0.919510.919510.303780.8946007754

0.645910.645910.246210.9702707836

2.185422.185420.405630.9936702846

0.667170.667170.303280.9989827222

0.377630.377630.238820.9998765902

3.208853.208850.45530.9999886991

0.9999992189

0.9999999592

0.9999999984

1

1

1

1

1

1

va-te-gau

semivariograma

covar

0000

0.093680.093680.169751.4787576366

0.606350.606350.218081.4787576366

0.552790.552790.293431.5848931925

1.145791.145790.23081.650475667

0.919510.919510.303781.6986464646

0.645910.645910.246211.7369767322

2.185422.185420.405631.7689360205

0.667170.667170.303281.7964155447

0.377630.377630.238821.820564203

3.208853.208850.45531.8421341401

1.8616455666

1.8794737695

1.8958986837

1.911134866

1.9253505085

1.9386799836

1.9512323996

1.9630976021

1.9743504858

verio-teorico

semivariograma

correlograma

0000

0000.1865234375

0.093680.093680.169750.1865234375

0.606350.606350.218080.3671875

0.552790.552790.293430.5361328125

1.145791.145790.23080.6875

0.919510.919510.303780.8154296875

0.645910.645910.246210.9140625

2.185422.185420.405630.9775390625

0.667170.667170.303281

0.377630.377630.238821

3.208853.208850.45531

1

1

1

1

1

1

1

1

verio-teorico

semivariograma

general relative

0000

0.093680.093680.169750.1865234375

0.606350.606350.218080.1865234375

0.552790.552790.293430.3671875

1.145791.145790.23080.5361328125

0.919510.919510.303780.6875

0.645910.645910.246210.8154296875

2.185422.185420.405630.9140625

0.667170.667170.303280.9775390625

0.377630.377630.238821

3.208853.208850.45531

1

1

1

1

1

1

1

1

1

verio-teorico

semivariograma

gam-m

000

0.315880.315880.49272

0.134390.134390.0423

-0.02383-0.023830.00216

-0.10093-0.10093-0.01011

-0.11218-0.11218-0.00867

-0.01345-0.013450.02978

-0.03544-0.03544-0.01582

-0.11067-0.110670.07524

0.02870.02870.0717

-0.28394-0.283940.35755

covarianzas

000

0.902940.902940.88711

0.436140.436140.3035

-0.11137-0.111370.01633

-0.30102-0.30102-0.12232

-0.46136-0.46136-0.07095

-0.05623-0.056230.22801

-0.10561-0.10561-0.13614

-0.61949-0.619490.44329

0.1670.1670.56791

-0.56471-0.564710.74314

Distance

p

correlograma

000

0.048480.048480.07972

0.32460.32460.13736

0.305360.305360.18913

0.57210.57210.14822

0.513910.513910.20501

0.394740.394740.17921

1.057771.057770.24094

0.462540.462540.19483

0.26990.26990.14238

1.198521.198520.21496

Distance

gama

General Relative

Semivariogramtail:Primaryhead:Primarydirection 1MODELO I

101031.312231.31223

20000NUGET0

31000.09368361.316671.32861ALCANCE400w=(0-2)0.1

42000.60635341.260881.34VARIANZA1

53000.55279251.2341.3264INGREMENTO50

64001.14579261.234231.45885primer valor50

75000.91951221.143181.40227hsphericalexponencialgaussianpower modelhole effect

86000.64591191.113161.321050.000.000.000.000.000.00

97002.18542171.117651.6176550.000.190.310.131.481.01

108000.66717111.065451.2250.000.190.310.131.481.01

119000.37763111.176361.07455100.000.370.530.431.582.00

1210003.2088581.2051.90875150.000.540.680.721.650.98

Semivariogramtail:Primaryhead:Primarydirection 2200.000.690.780.891.700.00

101031.312231.31223250.000.820.850.971.741.03

20000300.000.910.890.991.772.00

31000.09368361.316671.32861350.000.980.931.001.800.96

42000.60635341.260881.34400.001.000.951.001.820.00

53000.55279251.2341.3264450.001.000.971.001.841.06

64001.14579261.234231.45885500.001.000.981.001.862.00

75000.91951221.143181.40227550.001.000.981.001.880.93

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108000.66717111.065451.22700.001.000.991.001.932.00

119000.37763111.176361.07455750.001.001.001.001.940.91

1210003.2088581.2051.90875800.001.001.001.001.950.01

Semivariogramtail:Primaryhead:Primarydirection 3850.001.001.001.001.961.11

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20000

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Covariancetail:Primaryhead:Primarydirection 1

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20000

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Covariancetail:Primaryhead:Primarydirection 2

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9700-0.03544171.117651.617650.00hole effect

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121000-0.2839481.2051.908750.000.00

Covariancetail:Primaryhead:Primarydirection 30.000.00

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200000.000.00

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Correlogramtail:Primaryhead:Primarydirection 10.000.00

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2000000

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Correlogramtail:Primaryhead:Primarydirection 2

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2000000

31000.90294361.316671.328610.281210.43523

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6400-0.30102261.234231.458850.188470.59652

7500-0.46136221.143181.402270.152020.38894

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9700-0.10561171.117651.617650.070971.58665

10800-0.61949111.065451.220.163190.19558

119000.167111.176361.074550.103460.28544

121000-0.5647181.2051.908750.149381.69251

Correlogramtail:Primaryhead:Primarydirection 3

111031.312231.312230.452660.45266

2000000

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General Relattail:Primaryhead:Primarydirection 1

101031.312231.31223

20000

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42000.3246341.260881.34

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101031.312231.31223

20000

31000.04848361.316671.32861

42000.3246341.260881.34

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86000.39474191.113161.32105

97001.05777171.117651.61765

108000.46254111.065451.22

119000.2699111.176361.07455

1210001.1985281.2051.90875


101031.312231.31223

20000

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1210000.21496211.334761.43476

Pairwise Relatail:Primaryhead:Primarydirection 1

101031.312231.31223

20000

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101031.312231.31223

20000

31000.03334361.316671.32861

42000.09051341.260881.34

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86000.14858191.113161.32105

97000.23517171.117651.61765

108000.2026111.065451.22

119000.08911111.176361.07455

1210000.2371381.2051.90875


101031.312231.31223

20000

31000.04606311.337741.43903

42000.07205411.173661.22415

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64000.07436241.1451.22958

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97000.11248231.075221.39391

108000.09645261.051.32423

119000.06841221.081361.38318

1210000.08925211.334761.43476

Variogram ofrithms tail:Primaryhead:Primarydirection 1

101031.312231.31223

20000

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1210000.3790481.2051.90875


101031.312231.31223

20000

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53000.14892251.2341.3264

64000.23079261.234231.45885

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86000.17909191.113161.32105

97000.29108171.117651.61765

108000.25557111.065451.22

119000.09679111.176361.07455

1210000.3790481.2051.90875


101031.312231.31223

20000

31000.04773311.337741.43903

42000.07689411.173661.22415

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64000.07929241.1451.22958

75000.10324311.110321.20613

86000.0924211.042381.1881

97000.12735231.075221.39391

108000.1109261.051.32423

119000.07232221.081361.38318

1210000.10115211.334761.43476

Semimadogramtail:Primaryhead:Primarydirection 1

101031.312231.31223

20000

31000.12264361.316671.32861

42000.25838341.260881.34

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75000.33273221.143181.40227

86000.27237191.113161.32105

97000.48824171.117651.61765

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119000.22182111.176361.07455

1210000.5031281.2051.90875


101031.312231.31223

20000

31000.12264361.316671.32861

42000.25838341.260881.34

53000.2766251.2341.3264

64000.385261.234231.45885

75000.33273221.143181.40227

86000.27237191.113161.32105

97000.48824171.117651.61765

108000.30091111.065451.22

119000.22182111.176361.07455

1210000.5031281.2051.90875


101031.312231.31223

20000

31000.15613311.337741.43903

42000.18061411.173661.22415

53000.19848331.151211.21909

64000.18646241.1451.22958

75000.21629311.110321.20613

86000.18571211.042381.1881

97000.22109231.075221.39391

108000.19365261.051.32423

119000.185221.081361.38318

1210000.22762211.334761.43476

Jos Delgado

Jos Delgado Problemas en la construccin de un variograma

aJos Delgado

Jos Delgado

Jos Delgado VARIANZA DE DISPERSION

Jos Delgado Soporte de la variable regionalizada

Volumen sobre el cual la variable regionalizada esta definidaLos datos : Volumen de las muestras tomadasLey de los bloques :Volumen del bloque de explotacin Ley media de un bloque de volumen V Bloque grandeBloque pequeo

Jos Delgado MEDIA =201DESVIACON ESTANDAR = 166.1

73532545140125175167485540420260128203010570450200337190952602452781802503804052508051560512412043017523012046026040135240351301351601707595203532952045020035100592455890

Jos Delgado MEDIA = 201DESVIACION ESTANDAR = 129

505143882072703281714111052201542631015444155

Jos Delgado

Jos Delgado Los modelos variograficos aceptados

MODELO ESFERICOJos Delgado

MODELO EXPONENCIALJos Delgado

MODELO GAUSSIANOJos Delgado

MODELO POTENCIAJos Delgado

Jos Delgado

EFECTO HOYOJos Delgado

Jos Delgado

Jos Delgado Como saber si el modelo aplicado es bueno ?

Jos Delgado La validacin cruzada

Jos Delgado

EL CONCEPTO DE VARIANZA DE ERRORLEY DEL BLOQUELEY DE UN PUNTO EN EL BLOQUELEY DE UNA MUESTRA ESTIMADOR DE LA LEY DEL BLOQUE Jos Delgado

CONDICION DE INSESGOJos Delgado

DESARROLLO DE UNA EXPRESION PARA LA VARIANZA DE ERROR EN FUNCION DE LA COVARIANZA Y EL VARIOGRAMAJos Delgado

CASO ESTACIONARIO! DEPENDE DE: GEOMETRIA SOPORTE A ESTIMARGEOMETRIA SOPORTE ESTIMADORRELACIONES ENTRE AMBOSVARIABILIDADNO DE LAS LEYES!Jos Delgado

CONCEPTO DE VARIANZA DE DISPERSIONJos Delgado

RELACION DE KRIGETAMAO DE MUESTRA RELACION VOLUMEN-VARIANZA CONTRIBUCION FUNDAMENTAL DE LA GEOSTADISTICA. RELACION DE KRIGE Jos Delgado

Jos Delgado Relacin de aditividad de Krige

KRIGEAGEConsiste en encontrar la mejor estimacin lineal insesgada de un bloque o zona considerando la informacin disponibleAtribuye un peso i a la muestra z(xi)Dichos pesos se calculan de manera de minimizar la varianza del error cometidoDefine el estimador:

MATHERON (ENSMP, 1960)MATHERON CONOCIO EL TRABAJO DE KRIGE.GEORGES MATHERON FORMALIZO LA TEORIA (LES VARIABLE RGIONALISES ET LEUR ESTIMATION)EL KRIGEAGE ES UNA CONSECUENCIA, TAL VEZ NO LA MAS IMPORTANTE DE LA GEOESTADISTICA DE MATHERON. ES LA MAS POPULAR.CONSISTE EN MINIMIZAR LA VARIANZA DE ESTIMACION BAJO LA CONDICION QUE LA SUMA DE LOS PONDERADORS ES UNO. Jos Delgado

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ECUACIONES DE KRIGEAGEHISTORIA, SUD AFRICA , MINAS DE ORO DEL WITSWATERRAND.

XYzy=xJos Delgado

Jos Delgado Las ecuaciones son :

Jos Delgado Krigeage Ordinario

El Krigeage ordinario m no es conocida .El estimador toma la siguiente forma Para que el estimador sea insesgado , se impone la siguiente condicin

Jos Delgado Recurriremos la mtodo de Lagrange para encontrar los mnimos valoresTomar las derivadas parciales con respecto y y igualando a 0Resultando n+1 ecuaciones con n+1 incgnitas

Jos Delgado La varianza mnima de estimacin o varianza del Krigeage esEn su forma matricial es

Jos Delgado El krigeage permite estimar directamente un bloque Zv o un punto Zo ,cambiando el miembro de la derecha.

El krigeage de un bloque es igual al promedio de os krigeage puntuales En el bloque .

Jos Delgado Interpretacin del Krigeage

El Krigeage minimiza la varianza de estimacin terica calculada a partir del variograma.

El Krigeage es el mejor estimador lineal ?

Si, en promedio ( sobre un gran numero de valores estimados)Debido Hiptesis estacionaria es valida Un buen modelo de variograma

Par un punto o un bloque es poco lo que se puede decir

Jos Delgado C0*Sph(h/a)+C

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LA PRECISION DEL KRIGEAGEJos Delgado

EJERCICIOJos Delgado

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SISTEMA DE KRIGEAGEJos Delgado

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CASO EFECTO PEPITA PUROJos Delgado

EN EL CASO ANTERIOR AL SUBER EL EFECTO PEPITA A 12 Y A 22:Jos Delgado

PROPIEDADES DEL KRIGEAGECONSIDERA LA VARIABILIDAD NATURAL, LA GEOMETRIA RELATIVA ENTRE LAS MUESTRAS Y ENTRE ESTAS Y LA GEOMETRIA A ESTIMAR, TAMBIEN LA ULTIMA. NO CONSIDERA LAS LEYES Y ES POR ESTO QUE LA VAR DE KRIGEAGE NO ES CONDICIONAL , EXCEPTO EN EL CASO GAUSSIANOINTERPOLADOR EXACTOVARIANZA DE ERROR MINIMA, PERO ESTO TIENE UN COSTO QUE SE LLAMA ALISAJEJos Delgado

SE ACERCA MAS A LA CONDICION DE INSESGO CONDICIONAL QUE OTROS ESTIMADORESEN EL CASO NORMAL LA PENDIENTE DE LA RECTA DE REGRESION ES:

SEGN EL SISTEMA DE KRIGEAGE p=1 SI MU=0 ES DECIR CUANDO SE CONOCE LA MEDIA DEL YACIMIENTO Jos Delgado

ES IMPORTANTE ENTONCES USAR VARIAS MUESTRAS EN LA ESTIMACION DE TAL MANERA DE CONSIDERAR LA MEDIA DEL YACIMIENTO PARTICULARMENTE SI EL EFECTO PEPITA ES ALTO

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planificacion minera (geoestadistica 1)

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