apunte de geoestadistica

7/23/2019 Apunte de geoestadistica

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Apunte de clase

geo-estadistica lineal aplicada

DELGADO VEGA JosDocteur Gologie de lIngnieur

cole Nationale Suprieure des Mines de Paris


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Profesor

JosDelgado Vega: De formacin Ingeniero Civil de Minas es Doctor en alEscuela de Minas de Paris en geologa aplicada , adems tiene dos post-tituloen la escuela de minas de Paris ,el primero como especialista en explotacinde minas a cielo abierto canteras y el segundo como especialista en

geoestadstica Ha realizado diversos trabaos de en el rea de evaluacin dereservas , su investigacin doctoral se !a centrado sobre la modelizacingeo metalrgico y su influencia en la planificacin minera de minas a cieloabierto"

Es profesor ornada completa del departamento Minas de la #niversidad de

$ntofagasta , a dictado curso % a nivel nacional e internacional & de geo

estadstica lineal , no lineal simulacin , estadstica aplicada , planificacinminera a cielo " Don 'os traba( aos en operaciones minas y es expertoen seguridad minera clase $" Email ose"delgado)uantof"cl


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I. TIPO DE !"#O

Estos cursos se dirigen a alumnos de la universidad deAntofagasta que deseen comprender y aprender a utilizar lageoestadsticos lineal , sus dominios de validez y susmecanismos de clculo.

II. O$JETIVO GE%E"ALE#

Brindar los fundamentos de los principales conceptos ytcnicas usados en la geoestadstica lineal .

Analizar las herramienta para la estimacin de recursos yla cuanti!cacin del riesgo asociado a estos.

III. O$JETIVO# E#PEI&IO#" #roveer al alumno con herramientas $sicas para ccaracterizar yacimientos metlicos usando informacin deregistros de sonda%es de e&ploracin." #roveer al alumno con criterios para elegir cul es la tcnica

ms apropiada para descri$ir propiedades de un yacimiento." #roveer al alumno con tcnicas cuantitativas para


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IV. P"OG"A'A DE T"A$AJO

'os principales temas a desarrollarson(ntroduccin

)onceptos $sicos de estadstica#ro$lema que dio origen a la*eoestadstica*eoestadstica, concepto+aria$les aleatorias regionalizadasiptesis de la *eoestadstica

El anlisis estructural+arianza de dispersin+arianza de estimacin-rigeage rdinario-rigeage /imple)o0rigeage

)onclusiones
http://www.monografias.com/trabajos14/geoestadistica/geoestadistica.shtml#INTRO%23INTROhttp://www.monografias.com/trabajos14/geoestadistica/geoestadistica.shtml#PROBL%23PROBLhttp://www.monografias.com/trabajos14/geoestadistica/geoestadistica.shtml#PROBL%23PROBLhttp://www.monografias.com/trabajos14/geoestadistica/geoestadistica.shtml#CONCEP%23CONCEPhttp://www.monografias.com/trabajos14/geoestadistica/geoestadistica.shtml#CONCEP%23CONCEPhttp://www.monografias.com/trabajos14/geoestadistica/geoestadistica.shtml#VARIAB%23VARIABhttp://www.monografias.com/trabajos14/geoestadistica/geoestadistica.shtml#HIPOT%23HIPOThttp://www.monografias.com/trabajos14/geoestadistica/geoestadistica.shtml#HIPOT%23HIPOThttp://www.monografias.com/trabajos14/geoestadistica/geoestadistica.shtml#ANALISIS%23ANALISIShttp://www.monografias.com/trabajos14/geoestadistica/geoestadistica2.shtml#CONCLUhttp://www.monografias.com/trabajos14/geoestadistica/geoestadistica2.shtml#CONCLUhttp://www.monografias.com/trabajos14/geoestadistica/geoestadistica.shtml#ANALISIS%23ANALISIShttp://www.monografias.com/trabajos14/geoestadistica/geoestadistica.shtml#HIPOT%23HIPOThttp://www.monografias.com/trabajos14/geoestadistica/geoestadistica.shtml#HIPOT%23HIPOThttp://www.monografias.com/trabajos14/geoestadistica/geoestadistica.shtml#VARIAB%23VARIABhttp://www.monografias.com/trabajos14/geoestadistica/geoestadistica.shtml#CONCEP%23CONCEPhttp://www.monografias.com/trabajos14/geoestadistica/geoestadistica.shtml#CONCEP%23CONCEPhttp://www.monografias.com/trabajos14/geoestadistica/geoestadistica.shtml#PROBL%23PROBLhttp://www.monografias.com/trabajos14/geoestadistica/geoestadistica.shtml#PROBL%23PROBLhttp://www.monografias.com/trabajos14/geoestadistica/geoestadistica.shtml#INTRO%23INTRO


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V. 'ETODOLOG(A

'a metodologa del curso est orientada a la consecucin delos o$%etivos enunciados y est conformada por1E&posicin de los temas

2alleres en clase3iscusiones

VI. EVAL!AI)%El cali!cativo del curso ser el promedio ponderado de tresprue$as parciales que valen el 45 6 y un e&amen que vale el75 6

+alores de los e&menes

#rue$a 8 ............................... 99 6 #rue$a : . .............................. 99 6 #rue$a 9 ;;;....................... 97 6


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Referencia

PROFESOR M.ALFARO

*+$$'./ E0 1E.E/+$DI/+IC$ 2I0E$2 *

G.MATHERON

*2a t!eorie des varibles regionalise3s et ses aplications

Centre de geoestatisti4ue 5ontainebleau

H!LES JEAN"PA#L $ DELF!NER P!ERRE %&'''(

)1E./+$+I/+IC/ Modeling /patial #ncertainty)

$ 6iley Interscience Publications 7888

EMER* +AV!ER $ ARNA#D M!HEL %,---(

9Estimation et interpolation spatiale m3t!odes d3terministes

et m3t!odes g3ostatisti4ues9 Herm:s /ciences Europe ;


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Referencia

JOFRE D#4ER %,--'(

9Curso de categorizaciAn de reservas9

Diplomado Internacional en geoestadistica aplicada a la evaluaciAn de recursos mineros ;


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Referencia

R!VO!RAD6J. %,--7(G

90otes de classes de cours de g3ostatisti4ue multivariable9"

C5/1,Ecole des Mines de Paris 5ontainebleau ;


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INTRODUCCION


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La *ase de datos


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Analyse conomiquedu pro%et


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Dterministicos vs. Go estadisticos

Dterministicos : Utilizan funciones matemticas

para poder hacer las predicciones ;

Go estadsticos (Estocsticos): socian

funciones matemticas a los anlisis estadsticos

para hacer interpolaciones (e!: "ri#ea#e);

*eneralidades


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*eneralidades

'aestadstica se ocupa de los mtodos cient!cos pararecolectar, organizar, resumir, presentar y analizardatos, as como o$tener conclusiones vlidas y tomar

decisiones razona$les en $ase a dicho anlisis 'ageoestadstica es una rama de la estadstica aplicada

que desarrolla herramientas matemticas para elestudio de varia$les distri$uidas en el espacio,dependientes entre si, llamadas aria*les

regionaliadas.


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$%u es la #eo estadstica&

'atheron : Estudio de la variale re#ionalizada

encilla :Es la aplicaci*n de la estadstica a las

ciencias de la tierra


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*eneralidades

'a geoestadstica pone nfasis en1 El conte&to geolgico de los datos 'a relacin espacial entre los datos 3atos medidos con un soporte volumtrico y precisin

diferentes. 'a geoestadstica es Ftil para1

)uanti!car aspectos geolgicos =Gponerle nFmeros a lageologaH?

Estimacin I /imulacin

)uanti!cacin de la incertidum$re =categorizacin? 3iseJo de muestreo Anlisis de riesgo


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#rincipios Bsicos1 2ra$a%a dentro de restricciones geolgicas =fsicas? Entrega herramientas para cuanti!car y aprovechar la correlaci/n

espacial )onsidera la cercan0a 1 redundanciade la informacin disponi$le al

punto a estimar o simular

Algoritmos para modelamiento geolgico numrico y cuanti!cacin de laincertidum$re

Ko facilita el tra$a%o, pero lo me%ora =si es aplicada correctamente?

'a geoestadstica no hace lo siguiente1


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'as herramientas que son apropiadas en una etapa inicialpueden no serlo ms delante

Algunas herramientas de modelamiento numrico1 Estimacin1

(nverso del cuadrado de la distancia -riging /imple I rdinario -riging de indicadores )o0riging

/imulacin de varia$les continuas1 /imulacin *aussiana /ecuencial /imulacin por Bandas


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*eneralidades


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*eneralidades


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+ ,-,/ E01 DE U

12/3E,0/ '-E2/

12/1E,,-/

E41+/2,-/

DE22/++/

E41+/0,-/

2E56-+-0,-/ 3 6D//

*eneralidades


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*eneralidades


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Nociones fundamentales

Variable regionalizada ( o regionalizacin )Se trata de una !uncin numrica"ue mide unatri#uto"ue presenta una estructura en el espacio$por e%emplo & la le' del co#re en un 'acimiento (

Camo)l campo es el dominio en le cual se e*tiende la

+aria#le regionali,ada -.uera del campo &la+aria#le no interesa o simplemente no estade/nida

*eneralidades

lid d


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!oorte

Se trata del +olumen so#re el cual se considera la

+aria#le regionali,ada -)s importante destacar "uelas propiedades estadsticas de los +alores dependeDe su soporte $e!ecto soporte(

Comositos

0uando los datos originales son testigos de sondagescu'o soporte es +aria#le &una operacin deregulari,acin

*eneralidades

lid d


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"#l inters or la geoestadistica esta basadoen su $abilidad ara modelar la %ariabilidad

esacial de fenmenos de ocurrenciasnatural &ue no ueden

ser totalmente modelados or rocesosdetermin'sticos

*eneralidades

* lid d


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$+a estructura de una variale 2e#ionalizada &

Es una variale aleatoria donde la localizacion7

el espacio 8 el tiempo son importante :

Ella presenta dos aspectos contradictorio

0iene un aspecto aleatorio

9u comportamiento es mas estructurada

*eneralidades

* lid d


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*eneralidades

* lid d


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*eneralidades

* lid d


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)l conocimiento "ue se tiene de un depsito essiempre !ragmentario 1solo se dispone dein!ormacin cualitati+a ' de muestras en las cuales

se mide +arios atri#utos 1 le' de co#re &arsnico oro &potencia de los estratos & densidad de la rocas &tipode litologa

2a densidad del muestreo in3u'e en el conocimientode la 4organi,acin 4 )spacial de los +alores de la+aria#le en estudio &su continuidad ' otrascaractersticas estructurales $anisotropa(

lgunas *roblem+tica general

*eneralidades

* lid d


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*rinciios directores

5-67espeto a los datos

8-6Principio del realismo

9-6Principio de la economa

*eneralidades

* lid d


31/313

,!on siemre nuestros datos e&uirobables- no su.etos a concentraciones/

*eneralidades

* lid d


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*eneralidades

* lid d


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,0ue asa con la funcin de distribucin de losdatos/

*eneralidades

* lid d


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+ipos de muestreos+ipos de muestreos

7egular leatorio :ran6sect

leatorio estrati/cado Grupos 0ontorno

*eneralidades

* lid d


35/313

*eneralidades

* lid d


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*eneralidades


37/313

1re%e discusin de los mtodos tradicionales

de e%aluacin


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Mtodos

Numerosas tcnicas de interpolacin ;

La eleccin de la tcnica depende del tipo de datos

del tipo de superficie que se quiere del tiempo y del

tratamiento que se les quiere dar.

y tambin de la tradicin


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,0ue buscamos con nuestros mtodos/


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realidad ..............................Muestras ...........................Krigeage.................Carte de varianzas

'uestras 8 paneles .. ....0onelae de mineral... ;; 0onelae de metal .........le8es medias


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1uede ser: 1/+-G/+ 12/'ED-/

-/2

"2-GEGE7

E GEE2+:

== ni ii z ,1*

*


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5( M)DI 7I:M):I01Se #asa en losiguiente 4para estimar la le' media

de un con%unto se promedian las le'esde los datos "ue estn dentro delcon%unto;

Su !rmula general1 z zNs!=


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8(Polgonos1)l mtodo se #asa en

4asignar a cada punto del espacio lale' del dato ms pr*imo-Paraestimar una ,ona se ponderan lasle'es de los datos por el rea de

in3uencia s%; Su !rmula es la siguiente1

zs z

ss! !=


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9( IN


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P=2IG=N=

P7=M)DI=

I7IG)G) $se +era despus?

1=

ni

1=

=

=

ni i

i

i

d

d

,1

1

1

[ ]3,1


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47/313

#.emlo


48/313


49/313


50/313


51/313


52/313


53/313


54/313

CO2#NTRIO!

)l mtodo tradicional mediaaritmtica no !unciona #ien enestimaciones locales por"ue"uedan #lo"ues sin in!ormacin-

)l mtodo de los polgonos engeneral es menos adecuado enestimaciones locales por"ue asignala misma le' a todos los #lo"ues deun mismo polgono

CO2#NTRIO!


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CO2#NTRIO!

2os mtodos tradicionales mencionados sonempricos&demasiado geomtricos ' no consideran laestructura del !enmeno minerali,ado $la continuidad

de las le'es ' la posi#le presencia de anisotropas(

Dic?os mtodos presentan una so#re6estimacin delas le'es altas ' una su#6estimacin de las le'es#a%as


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)onceptos generales


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!"VA# TO%ELAJE 2s LE3.

2eniendo los datos de las reservas del yacimientose puede o$tener una curva de 2onela%e vIs la

'ey de corte y la 'ey media. Esto se logra atravs del inventariado de reservas delyacimiento que se encuentran $a%o una ley decorte determinada y calculando la ley media detodos los recursos cuya ley es superior o igual ala ley de corte determinada o$tenindose doscurvas en un mismo gr!co.


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)urva 2onela%e D 'eyedia

)urva 2onela%e D 'ey de)orte2onela%e

'ey 64.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.: 4.; 4.< 4.= 5.4 5.5 5.65.7 5.8 5.9

=44.444.444


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,oncepto de le8es de corte econ*mica de e


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f(X)

#l d l d bl


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#l modelo de blo&ue1

)s un modelamiento tridimensional "ue consiste en discreti,ar+irtualmente el 'acimiento en cientos de paraleleppedos $#lo"ues(&

con caractersticas "ue +an de acuerdo al sistema de e*plotacin autili,ar& la cual permite representar caractersticas ' propiedades del'acimiento


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e &ue deende las dimensiones del modelo de blo&

aractersticas del deposito

ontinuidad espacial

asta a e*plotar-

electi+idad


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onceptos $sicos de estad0stica


65/313

O.3E'*A3


66/313

O.3E'*A3


67/313

O.3E'*A3


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Pensemos en un pas imaginario ' pe"ueo llamado )lic? & donde tresseores de di!erentes corrientes de opiniones discuten & al +er la siguienteestadista de los salarios en dic?o pas

Salarios de Elic>

Media &9&7?,'.@&

Mediana &-----

Moda &----

DesiaciBn es/Cndar ?;@@,@.??

Variana de la 03es/ra 7.,&''E&7

oeficien/e deasi0e/ra ,.','-;97'

Mni0o &----

MCi0o ,-------

3en/a &-


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"epresentaci/n de los datos


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Histograma

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 0,2 0 ,4 0,6 0 ,8 1 1,2 1 ,4 1,6 1 ,8 2 2,2 2 ,4 2,6 2 ,8 3 3,2 3 ,4 3,6 3 ,8 4 4,2 4 ,4 4 ,6 4,8 5

Clase

Frecuenc

ia

/e interpreta pro$a$ilsticamente =pro$a$ilidad de un valor depertenecer a una determinada clase?.Luncin de densidad de pro$a$ilidad1

%ota@ %o olide+os Bue un ?istogra+a no presenta ninguna infor+aci/nreferente a la u*icaci/n espacial de los datos CBue es clae en

"epresentaci/n de los datos

{ }21Pr)(')( $$$ob$%$f ==


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Histograma acumulado

0%

20%

40%

60%

80%

100%

0 0, 2 0, 4 0,6 0 ,8 1 1, 2 1,4 1 ,6 1 ,8 2 2 ,2 2 ,4 2 ,6 2 ,8 3 3, 2 3, 4 3, 6 3, 8 4 4, 2 4, 4 4, 6 4, 8 5

Clase

Frecuenciaacumu

lada

Luncin no decreciente con valoresde frecuencia relativa entre 5 y 8.

3e un gr!co de cumulativopodemos leer directamentepro$a$ilidades


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Estad0stica *sica

medidas de posicin

medidas de dispersin

medidas de forma

media, mediana, moda, mnimo, mximo, rango, deciles,

cuartiles, cuantiles

arian!a, desiaci"n estndar, coeficiente de ariaci"n,

rango intercuartil

coeficiente de asimetra, coeficiente de a#lanamiento

Estad0stica *sica


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edidas de posicin1 edia

ediana

oda, mnimo y m&imo


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P9

ediana oP:

P8

Estad0stica *sica

Estad0stica *sica


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edidas de dispersin1

+arianza

3esviacin estndar


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omentos

Esperana@ =primer momento? es un promedioponderado por las pro$a$ilidades, si e&iste. Kos da una

idea del centro de la distri$ucindonde1EQRS T valor esperado de R

UiT #onderador del dato iDsimo n T nFmero de datos m T media

En el caso continuo1

=

===n

i

i

i

n

ii

'

z'm(

1

1}{

+

+

=== dzzzfzzd%m( )()(}{

Esperana 1 ariana de una aria*le


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aleatoria

/ea V una varia$le aleatoria discreta, y supongamos quetoma valores en el espacio Q5, 8, :, ..S con pro$a$ilidad

Entonces se de!ne la esperanza de V

como

W la varianza

como

{ } )p)& ==Pr

[ ]

=

=&)

)p)&(

[ ] [ ]( )=

=&

2

)

)p&()&*



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aleatoria

'a interpretacin es $astantesencilla

posi$les valores de

V

pro$a$ilidad que lavaria$le tome el

valor 0El valor GpromedioH quepuede asumir la varia$le

3esviacin cuadrtica de los posi$lesvalores de V respecto de su promedio

EXVY

3esviacincuadrticapromedio

[ ]

==

&)

)p)&(

[ ] [ ]( )

=

=&

2

)

)p&()&*



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aleatoria

/ea V una varia$le aleatoria continua con valores en ", ycon funcin de densidad f+$,. /e de!ne la esperanza de V

como

W se de!ne la varianza de Vcomo

[ ] d$$f$&(

= )(

[ ] [ ]( ) d$$f&($&*

= )(2



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aleatoria'a interpretacin para el caso continuo es similar. Enefecto

posi$le valor de V

#ro$a$ilidad de que la varia$lealeatoria V tome un valor en elintervalo X&, & Z d&Y

El valor GpromedioH quepuede asumir la varia$le

3esviacin cuadrtica de los posi$lesvalores de V respecto de su promedioEXVY

3esviacincuadrticapromedio

[ ] d$$f$&(

= )(

[ ] [ ]( ) d$$f&($&*

= )(2


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omentos

'a ariana=segundo momento centrado?. Kos da unaidea de la dispersin de la distri$ucin de la +A R. /ede!ne como la esperanza de la desviacin de Rrespecto de su media al cuadrado1

&}{}%{}{ 2222 === m(m(*ar

omentos


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omentos

En forma discreta, la varianza puede de!nirse como

En forma continua, puede escri$irse como

/e calcula con los dos primeros momentos de R1

=

=

=

n

i

i

n

i

ii

'

mz'

*ar

1

1

2)(

}{

dzzfmzzd%mz*ar )()()()(}{ 22 +

+

==

{ } { }{ } { }{ } { } { }( )

uadradoalrdenPrimerde+omento

2

rdenegundode+omento

222

222

2

)()(

((mm(

m(((*ar

=+=

===


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omentos

#ropiedades de la esperanza1

#ropiedades de la varianza

{ }

{ } { }

{ } { }

{ }

=

+=+=

=

dzzfzgg(

(baba(

(bb(

aa(

)()()(

{ }

{ } { }

{ } { }*arb*ar

*araa*ar

a*ar

=+=

=2

&

d0 i


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's estad0sticas

edidas de forma1 )oe!ciente de asimetra =s0eUness?

#ositivo )ercano a 5 Kegativo

31

3))((n

1

asimetradeeoeficient s

muzn

=

=

Frec.

!x

"

m#

!x"

Frec.

#

m

Frec.

!x"m

#

Estadstica de dos


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Estadstica de dosvaria$les

Anlisis $ivaria$le #ares de$en corresponder a la misma

u$icacin en el espacio =coDlocalizados?Grfico de Dispersin

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3Variable 1

Variable2

)orrelacin


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El coe/ciente de correlacines una medida dela dependencia lineal entre las dos varia$les

)orrelacin

21

21

1

21 ))((1

n

mzmzn

= =

P #l t


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PDq #lot

*r!co PDP1 para comparardos distri$uciones L8 y L:cuantil a cuantil.

Ko se utiliza para compararla relacin par a par que hayentre las varia$les.

Escoger una serie de valoresde pro$a$ilidad

p0, 0 T 8, :, ;, -

*ra!car q8=p0? versus q:=p0?, 0T 8, :, ;, -


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PDq #lot

/i todos los puntos caen en una lnea de 7No, lasdos distri$uciones son e&actamente iguales

/i la lnea esta desplazada de los 7No, las dos

distri$uciones tienen la misma forma perodiferentes medias

/i la inclinacin de la lnea no es 7No, las dosdistri$uciones tienen diferentes varianzas

/i hay un carcter no lineal en el gra!co PDP, lasdistri$uciones tienen diferentes formas en elhistograma

0.35

0.40

$!"


89/313

3istri$ucin Kormal

#ropiedades1 )ompletamente de!nida por su media y

varianza

2iene una descripcin matemtica precisa Lavora$le para enfoques tericos de

estimacin Luncin de densidad de pro$a$ilidad1

2

2

1

e2

1

"!$

=

0 2 4 6 8 10 12 14 160.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

$!"


90/313

3istri$ucin Kormal

Estandarizacin1

3istri$ucin normal estndar K=5,8?

Luncin de distri$ucin acumulada1

corresponde al rea $a%o la curva

=

2

2

e2

1"!$

=

=

&"!$"!'

0 2 4 6 8 10 12 14 160.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

$!"


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3istri$ucin Kormal

(ntervalos de con!anza 4[6 MN6

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

$!"

68%

16% 16%

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

$!"

(5 %

2.5% 2.5%

0 2 4 6 8 10 12 14 160.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30


92/313


93/313

0.30

0.35$!"


94/313

3istri$ucin 'ognormal \na po$lacin es lognormal si los logaritmos de los datos estn

distri$udos como una normal #ropiedades1

En )iencias de la 2ierra es comFn encontrar varia$les cuya

distri$ucin es cercana a una lognormal


95/313

3istri$ucin 'ognormal

0 2 4 6 8 10

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35$!"

0 2 4 6 8 100.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.)

0.8

0.(

1.0

'!"

0 2 4 6 8 100.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

&-todo#araln

)}{Pro)( >

==

y.y-y% o-

==

ygyy%yf

o--

ln1)(')(

+==

== +

2

222

222$

1ln2$ln

%122

mm

emem


96/313


97/313


98/313

3a Distribucin 3og Normal

Valor eserado

Varianza.


99/313

Para Bue sire una ariana de dispersi/n

1 una de esti+aci/n F


100/313

2a idea de la !uncin aleatoria


101/313


102/313


103/313

=os Del#ado


104/313


105/313


106/313


107/313

presentacin de una regionali,acin por una !uncin aleatoionaria o intrnseca es una operacin SBC):I


108/313

Variogra4a


109/313


110/313


111/313


112/313


113/313

n+lisis Variogra4co

)l anlisis +ariogra/co es una de las ?erramientas mas importante 'potente "ue e*isten para anali,ar las !uentes de +aria#ilidad de losprocesos -

Podemos estudiar la +aria#ilidad de la +aria#le aleatoria en !uncindel tiempo o de la posicin

)n el caso de la mina podemos estudiar como +aran las le'es


114/313

+ariograma E&perimentalDde!nicin


115/313

+ariograma 2erico

+ariograma E&perimental

( ) ##

! )%()(' "$$(" +=

( ) =

="$$

!i

!i

$z$z"N

" 2* ))()((2

1)(

+A


116/313

+A


117/313

Es una herramienta que permiteanalizar el comportamiento

espacial de una propiedad ovaria$le so$re una zona dada-nformaci*n estructural aportada por el ario#rama

>.?continuidad espacial

@.?Aona de influencia

B.?las anisotropa

C.?+as estructuras anidadas

.?+a no estacionalidad ( derivas tendencias


118/313

es independiente de la localizacin $

depende del mdulo y de la direccin delvector "

+alor promedio de la diferencia al cuadrado de los valores de la

propiedad en dos puntos separados por una distancia ^"/

+ariograma 2ericoD)aractersticas


119/313

3eteccin decaractersticasque varansegFn ladireccin y ladistancia

( )"$ +

!"$+

"

1"

( )!"$ +

"$ +

( ) ##

! )%()( "$$(" +=

( )$

$

Le Variogra++e


120/313

&&

&

&

&& &

&&

h :h 3istance m.

*orte

*alier 5Variance des dones

*as de corrlation

entre oints

Variogramme e6rimental

Variogramme t$ori&ue

37 e8ect ite


121/313

+ariograma E&perimentalDde!nicin0oordenadas estratigra/cas


122/313

'a correlacin espacial se

de$e calcular dentro de lamisma unidad estratigr!ca

basetope

base

E%emplo /encillo


123/313

E%emplo /encillo


124/313

+ariograma E&perimentalDtolerancia angular


125/313

2olerancia angular


126/313


127/313


128/313


129/313


130/313


131/313

)lculo de variogramase&perimentales


132/313

In,luencia del -aso

e&perimentales

) lculo de variogramase&perimentales


133/313

In,luencia de la tolerancia en el -aso

p


134/313

variograma 'a estructura de corto alcance es la ms importante

#epita de$ido al error de medicin no de$iera modelarse 2amaJo de las celdas del modelo geolgico

'a direccin vertical es tpicamente la me%or informada

#uede tener artefactos producto del espaciamiento dedatos de testigo.

ane%o de derivas verticales y variaciones areales 'a direccin horizontal es en general ms difcil de

estimar

\sar un paso cercano al espaciamiento de los sonda%es 2picas razones de anisotropa horizontalDvertical

)omportamiento discontinuo


135/313

(nterpretacin delnugget eEect

8? +aria$le muy irregular a distancias cortas

+$, y+$0", di!eren mucho

no se apro&ima a cero( ) 2)%()('2

1"$$(" +=

&"



136/313


:? Errores de medicin enlas varia$les

0

0,

1

1,

2

2,

!

!,

01, !

", #

$, %

10, 1

2

1!, 1

1#, 1

&

Distancia

Variograma

Valores

obser'ados

Valores

reales

( ) ( ) ( )$$$obs +=

( ) ( ) 2

+= "" obs

2



137/313


9? presencia de estructuras oausencia de valores en distanciasinferiores a las que se tomaronlas muestras

)omportamiento 'ineal


138/313

)omportamiento lineal

(ndica que paradistancias pequeJas, elvariograma tiene un

comportamiento lineal.


139/313

)omportamiento lineal

'a varia$ilidad de lapropiedad dependerde la pendiente de larecta en el origen

A mayor pendiente,mayor varia$ilidad

A menor pendiente,menor varia$ilidad

0

0,

1

1,

2

2,

!

!,

0 1 2 ! " # $ & % 10 11

Distancia

Variograma

0

0,

1

1,

2

2,

!

0 1 2 ! " # $ & % 10 11

Distancia

Vari

ograma

)omportamiento )uadrtico


140/313

)omportamiento )uadrtico

(ndica que para distanciaspequeJas, el variograma tieneun comportamiento

cuadrtico.


141/313

)omportamiento $rido1

+ariacin ms suave adistancias cortas

+ariacin ms fuerte adistancias grandes

(ndica presencia deestructuras actuando adiferentes escalas

0

1

2

!

"

#

$

&

0 1, ! ", # $, % 10, 12 1!, 1 1#, 1&

Distancia

Variograma

)omportamientoDgrandes distancias


142/313

K 23/ '/ +A


143/313

p

*eneralmente cuando el variogramae&perimental es calculado en distintasdirecciones presenta distintoscomportamientos con la variacin de ladistancia.

Anisotropa *eomtrica

Anisotropa Ronal

Anisotropa $rida


144/313


145/313


146/313

./0 45+

/XP/4+/670 0 +./0./ 45+

*

A%ustar*


147/313

#< P\E AW P\E )K/2


148/313

'/ +A


149/313

9? 2odo variograma es una funcion de!nida positiva condicional

#ara cualquier n2 cualesquiera puntos en el espacio y cualesquiera

valores tales que se tiene que

Esta propiedad permite calcular en forma consistente la varianza de com$inaciones

lineales de funciones aleatorias

n$$$$ ,,,, 321

n ,,,, 321 =

=n

i

i

1

&

( ) &1 1

= =

n

i

n

!

!i!i $$

( )

=ar

+ariograma 2ericoDpropiedades


150/313

7? /i es el variograma de una funcion aleatoria estacionaria o intrnseca entonces

En particular para " su!cientemente grande e&iste una constante c tal que

)riterio para el comportamiento del variograma a grandes distancias

)riterio para detectar un comportamiento no estacionario

( )&

2 =

"

"lim"

( )2

"c"



151/313

N? )om$inacion lineal de variogramas

/i son modelos de variograma y

son valores positivos entonces

#ermite modelarIa%ustar las estructuras im$ricadas =nested structures?

#ermite modelar la anisotropa zonal

( ) ( ) ( ) ( )""""N

,,,,321

N,,,, 321

( ) ( )""n

ii i

== 1


152/313


153/313

Por de/nicin


154/313

7ecordemos

2*)%(**)( ((*ar

=

2))((

=

mi$i(

)(* i$

i

i =

=== i i imii$(ii$i(( ))(()((*)(


155/313

)()%( !$i$

!

!i

i

i$i*ar =

)()%( !$i$C

!

!i

i

i$i*ar =


156/313

)()%()*( !$i$!ii$i*ar*ar ==


157/313

2a +arian,a es negati+a esto se produce por"ue la !uncin utili,ada

no esta de/nida positi+amente

!i

))1(322)89&(312)89&(212)&(23

)&(22

)&(21

( +++++

19&

):9&29&29&&&&(

=+++=


158/313


2)


159/313

Z T

0

0)

1

1)

2

2)

!

!)

"

")

0 1)! 2)# !)% )2 #) $)& %)1 10)" 11)$ 1! 1")! 1)# 1#)%

0

0)

1

1)

2

0 1)! 2)# !)% )2 #) $)& %)1 10)" 11)$ 1! 1")! 1)# 1#)%

0

0)

1

1)

2

2)

0 1)! 2)# !)% )2 #) $)& %)1 10)" 11)$ 1! 1")! 1)# 1#)%


160/313

+./0 ./

45+

odelos de +ariograma


161/313

odelos de variograma isotrpicosms comunes1

8.Dodelos con meseta

odelo Efecto #epita #uro

odelo Esfrico

odelo E&ponencial

odelo *aussiano

odelo )F$ico

odelo /eno )ardinal

:.Dodelo sin meseta

odelo #otencia




162/313

Este modelo representa aun fenmenocompletamente aleatorio,en el cual no haycorrelacin espacial

Ko importa cun cerca seencuentren los valores delas varia$les, siempresern no correlacionados

==&&&

"sic"si"

odelo Esfricoodelo Esfrico


163/313

)omportamiento lineal en el origen

#endiente igual a

Es uno de los modelos devariograma ms utilizados

eseta c y alcance a

=a"sic

a"si

a

"

a

"c

"

3

3

2

1

2

3

ac $:91

odelo E&ponencial

odelo E&ponencial


164/313

Meseta s que alcanza asintticamente

Alcance aparente igual a a

3lcance practico al 45 6 de la meseta


165/313

eseta es c que alcanza asintticamente


166/313

eseta ) ylcance a

)omportamiento cuadrtico en el origen

+

=

a"sic

a"sia

"

a

"

a

"

a

"

c

"

;

;

:

:

3

3

2

2

;:9&:93;:98;

Distancia

Variograma

odelo /eno )ardinalodelo /eno )ardinal


167/313

eseta c que alcanza asintticamente

Alcacne aparente igual a a

lcance e&perimental igual a 7a

)omportamiento cuadrtico en el origen

/e utiliza para representar fenmenoscontinuos con periodicidades

( )

( )

= a"

8a"

c" $

seno

1

Distancia

Variograma

odelo #otencia

odelo #otencia


168/313

s se denomina factor de escala

El comportamiento en el origen

depende del valor de p


169/313

A%ALI#I# DE

VA"IA%A DE EHTE%#I)%

3VA"IA%A DE E#TI'AI)%.

84M

Introducci/n

Efecto de #oporte


170/313

Este captulo trata so$re el efecto de soporte deuna varia$le regionalizada =es decir, su forma fsica y

volumen? en su histograma y su variograma.

En un e%ercicio introductorio, se calcula las

estadsticas $sicas para dos tamaJos de soporte1

$loques de 8m`8m y $loques de :m`:m y se gra!ca

los histogramas resultantes.

85

Introducci/n

Efecto de #oporte


171/313

A continuacin se entrega las frmulas para el

clculo de la varianza de un punto en un $loque y la

de un soporte v, pequeJo, en otro de soporte + =de

mayor tamaJo?. #osteriormente, se prue$a la relacin

de aditividad de -rige.

Linalmente, veremos cmo el variograma

regularizado se relaciona con el variograma a soporte

puntual. \n e%ercicio ilustra el efecto que la

regularizacin tiene en el variograma.

88

El soporte de una aria*leregionaliada

En muchas situaciones prcticas una varia$le


172/313

En muchas situaciones prcticas una varia$le

regionalizada se mide como el promedio en undeterminado volumen o super!cie en lugar de un

punto. El volumen $sico so$re el cual se mide una

varia$le regionalizada se conoce como su soporte.

8:


\n cam$io de soporte da lugar a una nueva


173/313

\n cam$io de soporte da lugar a una nueva

varia$le regionalizada que est relacionada con laanterior, pero que tiene caractersticas estructurales

diferentes. #or e%emplo las leyes medidas en testigos

de : pulgadas =es decir, en un dimetro de N5 mm?

tienen una mayor varianza que las leyes medidas en

testigos de mayor dimetro, o en $loques o muestras

a granel.

89

El pro$lema que se plantea es el de sa$er cmo



174/313

El pro$lema que se plantea es el de sa$er cmo

una varia$le se relaciona con la otra. En otraspala$ras, bqu podemos decir so$re la ley de los

$loques conocidas las leyes de las muestras_

'a respuesta se dar en dos etapas. En primer

lugar se considera la dispersin de los valores como

una funcin de soporte. W luego vemos cmo se

relacionan sus variogramas.

87

#ara ilustrar el efecto de soporte tomemos los



175/313

#ara ilustrar el efecto de soporte, tomemos los

datos que se presentan en las !guras 8a y 8$,siguientes.

En el caso de la !gura 8a, se trata de las leyes de

47 $loques de 8m ` 8m de soporte. En tanto que en la

!gura 8$, se presenta las leyes medias de 84 $loques

de :m ` :m de soporte, o$tenidos promediando 7

$loques adyacentes de los $loques de 8m ` 8m desoporte, conforme se muestra en las !guras 8a y 8$ .

8N



176/313

Ligura 8$1 'eyes de 84 $loques de:m ` :m de soporte

Ligura 8a1 'eyes de 47 $loques de8m ` 8m de soporte

84



177/313

Ligura :1 'eyes de 47 $loques de 8m `8m de soporte

8



178/313

Ligura 91 'eyes de 84 $loques de :m `:m de soporte

8[

)omo era de esperarse las medias de am$os



179/313

)omo era de esperarse, las medias de am$os

con%untos de datos son las mismas, pero las varianzasno lo son.

'a varianza para los $loques de :m ` :m vale

844:5, valor que es $astante ms pequeJa que la

varianza de los $loques de 8m ` 8m, que vale :777.

8M

/i los valores fueran estadsticamente



180/313

/i los valores fueran estadsticamente

independientes, la varianza del soporte ms grandesera un cuarto de la varianza del soporte ms

pequeJo. Esto no ocurre en este caso de$ido a que

hay una alta correlacin entre los datos.

8[5

+eamos ahora qu sucede con la forma del



181/313

+eamos ahora qu sucede con la forma del

histograma en cada una de las dos situaciones.

8[8



182/313

Ligura N1 istograma de leyes de84 $loques de :m ` :m desoporte

Ligura 71 istograma leyes de 47$loques de 8m ` 8m de soporte

8[:

'as !guras 7 y N muestran que la forma de los



183/313

'as !guras 7 y N muestran que la forma de los

histogramas ha cam$iado tam$in. El histograma delos $loques de :m ` :m es menos disperso y ms

simtrico que el histograma de los $loques de 8m `

8m.D

Aunque las medias de am$as distri$uciones son

idnticas, la varianza del soporte mayor es mucho

ms pequeJa y su histograma es ms simtrico que el

de soporte menor.

8[9

'as consecuencias de este cam$io son muy



184/313

y

importantes en minera1 slo aquellos $loques queposeen una ley so$re un valor de corte sern

e&trados de manera renta$le.

'uego, es vital poder predecir la proporcin de

mineral so$re un valor de corte.

8[7

#or e%emplo, si se utiliza el mtodo de los polgonos



185/313

% p , p g

en la estimacin de reservas, el valor de la muestradentro del polgono se tomar como el valor estimado

para todo el polgono.

Esto conlleva a igualar el histograma de los valores

de las muestras con el histograma de los valores de

los $loques y, por lo tanto, a graves errores en la

estimacin de las reservas recupera$les de$ido a quelos histogramas son $astante diferentes, como puede

verse comparando las !guras 7 y N.

8[N

La ariana de un punto dentro de unolu+en

Ahora veremos la forma de evaluar la varianza de


186/313

$loques dado el variograma de las muestras.

/in perdida de generalidad, los soportes sern

llamados y V. /i los datos estuvieran en 9D3, stos

corresponderan a volFmenes, si estuvieran en :D3,

corresponderan a reas, y en 8D3, podran tratarse de

lneas =testigos?, o $ien, adimensionales1 puntos.

8[4


En nuestro modelo, la varia$le en estudio se


187/313

considera como una realizacin z=&? de una funcinaleatoria R=&?.

VC

8[


/i todos los valores dentro del volumen +


188/313

estuvieran disponi$les, sera posi$le encontrar lamedia de este volumen, as como la varianza de los

valores dentro de este volumen.

'a media es V

C

8[[

1( )*

*m z $ d$

*=


3el mismo modo, la varianza de los valores dentro


189/313

del volumen + queda dada por

Aqu 5 indica un punto, es

decir algo con volumen cero.

VC

8[M

2 21(&< ) ( ) %**

? * z $ m d$*

=

/i de%amos que la realizacin vare, la varianza de



190/313

z=&? dentro de + se o$tiene como el valor esperado des:=5^+? so$re todas las realizaciones posi$les.

/e puede demostrar que esta variacin est

relacionada con el variograma por la frmula.

8M5

2 2(& $ ) (& $ )%* ( ? * =

( )22

1& < ( )* $ y d$dy*

=

Esta integral corresponde al promedio o$tenido de



191/313

la variacin de & e y de forma independiente en todoel volumen +. #or consiguiente, esta varianza

denotada por =+, +?, corresponde a

En la prctica =+, +? se calcula al discretizar el

$loque + en tantos puntos como se desee.

8M8

( )2 & < ( , )* * * =

Variana de dentro de V

)onsideremos ahora una nueva funcin aleatoria


192/313

de!nida como el promedio espacial dentro de unvolumen v.

8M:


El o$%etivo es el de encontrar la dispersin de esta


193/313

nueva varia$le Rv=&? mientras se mueve dentro de unvolumen de +, mayor.

8M9


2picamente v podra representar un tramo de

tstigo mientras que + podra ser un $loque o $ien v


194/313

y

8M7

tstigo, mientras que + podra ser un $loque, o $ien v

podra ser una unidad de seleccin minera y + podra

ser todo el depsito.

( )

1( ) ( )*

v $ $ y dy

v=

1( )*

*m z $ d$

*=

2 21( $ ) ( ) %v **

? v * z $ m d$*

=


2 21( $ ) ( ) %v * ( z $ m d$ =


195/313

Esta es igual a

o sea

8MN

( $ ) ( ) %v **

v * ( z $ m d$*

=

2

2 2

1 1

( $ ) ( ) ( )* * vvv * $ y d$dy $ y d$ dy* v =

2 ( $ ) ( , ) ( , )v * * * v v =

'a com$inacin de los resultados de las ecuaciones

"elaci/n de aditiidad de rige


196/313

y

entrega como resultado la llamada relacin

aditividad o relacin de -rige.

8M4

2 (& < ) ( , )* * * =

2 2 2( < ) ( , ) ( , ) (& < ) (& < )v * * * v v * v = =

2 ( < ) ( , ) ( , )v * * * v v =

Esto puede generalizarse a tres volFmenes



197/313

cualquiera1 v, + y +C, donde

#or e%emplo, v podra ser un tramo de testigo de unsonda%e, + un $loque y +C un gran panel o todo el

depsito. En este caso la frmula podra interpretarse

como Gla varianza de un tramo de testigo en el

depsito es igual a la varianza del testigo en el

$loque, ms la varianza de un $loque en el depsitoH.

8M

2 2 2( < ') ( < ) ( < ')v * v * * * = +

' =v * *


2 (& $ ) ( , )* * * =


198/313

8M[

2 ( $ ) ( , ) ( , )v * * * v v =

2 2 2( $ ) (& $ ) (& $ )v * * v =

2 2 2(& $ ) (& $ ) ( $ )* v v * = +

2 2 2( $ ) ( $ ) ( $ )v * v * * * = +

Ahora, compro$emos e&perimentalmente lo



199/313

planteado con los datos del e%ercicio en revisin.

En este caso v corresponder a los $loques de 8m &

8m mientras que + corresponder a los $loques de

:m & :m.

8MM

emos visto que



200/313

El valor de puede ser calculado en forma

e&perimental como la varianza de los cuatro $loques

pequeJos =v? por cada cada $loque grande =+?, lo que

da 85[:7.

y que

:55

2 21 1( < ') 2;>>>$v * = =

2 2

2 2( < ') 1??2&$* * = =

2 ( < )v *


Es fcil compro$ar que este valor es igual a :777


201/313

3e hecho, esto es cierto para todos los casos en

que los $loques pequeJos =v? cu$ren e&actamente el

tamaJo del siguiente $loque

844:5, y que por tanto satisface la relacin deaditividad.

:58

2 ( $ ) ( , ) ( , )v * * * v v =

2

( $ ) 2;>>> 1??2& 1&82>v * = =

A%ALI#I# DE


202/313

VA"IA%A DE EHTE%#I)%

3

VA"IA%A DE E#TI'AI)%.

:5:

Del +odelado de la estructura espaciala la esti+aci/n

2res preguntas de inters fundamental en


203/313

*eoestadstica1)onocido el variograma calculado a partir de las

muestras, nos preguntamos1

b)mo calcular la varianza del error de estimacin

de un punto, un $loque, o dominio, mediante una

com$inacin lineal de los valores de las muestras_

b)mo calcular la varianza de dispersin de un

soporte de mayor que el soporte de las muestras_ b)mo calcular el variograma de la varia$le

regularizada a un soporte myor_

:59

Dos +odelos de funciones aleatoriasC&.A.

Luncin Aleatoria estacionaria de orden :


204/313

'a esperanza y la covarianza e&isten y son

estacionarias1

:57

( )( $ m =

( ) ( ) ( ),Cov $ $ " C " + =

( ) ( )&C *ar $ =


L.A. estacionaria de orden : =continuacin?


205/313

'a covarianza es simtrica

3esigualdad de /chUarz

'a varianza de una com$inacin lineal cualquiera

:5N

( ) ( )C " C "=

( ) ( )&C " C

( ) ( )1 1 1

n n n

i i i ! i !

i i !

*ar $ C $ $ = = =

=


Luncin Aleatoria intrnseca


206/313

los incrementos XR=&Zh? R=&?Y son estacionarias

de orden : y de esperanza nula E XR=&Zh? R=&?YT

5 +ariograma

en el

origen

:54

( ) ( ) ( )1

2" *ar $ " $ = +

( ) ( ) ( )( )21

2

" ( $ " $ = +

( ) &" =


Luncin Aleatoria intrnseca =continuacin?


207/313

'a varianza de una com$inacin lineal autorizada

con

:5

( ) ( )1 1 1

n n n

i i i ! i !

i i !

*ar $ $ $ = = =

=

1

( )n

i i

i

= .

1

&n

i

i

=

=

o+paraci/n entre estacionaria eintr0nseca

\na funcin aleatoria estacionaria es igualmente


208/313

intrnseca si su variograma tiene meseta

'a varianza estacionaria

regula la dispersin de la varia$le alrededor de la

media constante

:5[

( ) ( ) ( ){ }2

&C *ar $ ( $ m = =

( )m ( $ =


A cada covarianza est asociado un variograma


209/313

+ariograma )ovarianza

:5M

( ) ( ) ( )&" C C " =


/i el variograma tiene meseta, la funcin( )"


210/313

aleatoria es estacionaria, de covarianza )=h? talque1

/i el variograma no tiene meseta, lacovarianza correspondiente no e&iste. El

variograma es una herramienta estructural ms

general que la covarianza.

:85

( ) ( ) ( )&" C C " =

( )"


\na funcin aleatoria estacionaria es tam$in


211/313

intrnseca pero una funcin aleatoria intrnseca noes necesariamente estacionaria.

:88

R=+? estimada por R=v? =o viceversa?

Variana de esti+aci/n


212/313

)aso de una L.A. estacionaria de esperanza m y de

covarianza )=h?

:8:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )22

( * v ( * m v m =

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2 2

2 o ,( * v ( * m ( v m C * v = +

( ) ( ) ( ) ( )( )2 ,*ar * *ar v Cov * v+

( ) ( ) 22( ( * v =


)lculo de la varianza de R=+?


213/313

:89

( ) ( ),*ar * C * * =

( ) ( )( )2

1

**ar * ( $ m d$

*

=

( ) ( )( ) ( )( )1 1

* **ar * ( $ m d$ t m dt

* *

=

( ) ( )( ) ( )( )21

* **ar * ( $ m t m d$ dt

*

=

( ) ( )2

1

* *

*ar * C $ t d$ dt

*

=

)lculo de la covarianza entre R=+? y R=v?



214/313

:87

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 1

,* v

Cov * v ( $ m d$ t m dt * v

=

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1

,* v

Cov * v ( $ m t m d$ dt *v

=

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1

,* v

Cov * v ( $ m t m d$ dt *v

=

( ) ( )( ) ( )1

, * vCov * v C $ t d$ dt *v= ( ) ( )( ) ( ), ,Cov * v C * v=

R=+? estimada por R=v?



215/313

En variograma, caso de una L.A. intrnseca

:8N

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2

2 ,( * v *ar * *ar v Cov * v = +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

, , 2 ,( * v C * * C v v C * v = +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2 , , ,( * v * v * * v v =

Estimacin de R=+? a travs de una com$inacin



216/313

lineal de muestras puntualescon

+arianza del error de estimacin

:84

( )* ( )i ii

* = . 1ii

=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2

* * *2 ,( * * *ar * *ar * Cov * * = +

+arianza del estimador R`=+?



217/313

)ovarianza entre R=+? y R`=+?

:8

( ) ( )*1 1

n n

i ! i !

i !

*ar * C $ $ = =

=

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )*1

1,

n

i i*

i

Cov * * ( t m dt $ m*

=

=

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )*1

1,

n

i i*

i

Cov * * ( $ m t m dt *

=

=

( ) ( )( ) ( )*1

, ,n

i i

i

Cov * * C $ * =

=

Estimacin de R=+? por la media de n muestras



218/313

+arianza del error de estimacin

+arianza del error de estimacin =con variogramas?

:8[

( )*1

( )n

i i

i

* =

= .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

*

1 1 1

, 2 ,n n n

i ! i ! i i

i ! i

( * * C * * C $ $ C $ * = = =

= +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

*

1 1 1

2 , ,n n n

i i i ! i !

i i !

( * * $ * * * $ $ = = =

=

'a varianza del error de estimacin depende de1



219/313

el soporte + de la varia$le a estimar, el soporte v de la varia$le medida,

de la posicin relativa de + y v

y de la estructura espacial

Ko depende ni de R=+? ni de R=v?, lo que permite

optimizar la malla de e&ploracin.

:8M

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

, , ,( * v * v * * v v =


220/313

45+ @A.

comportamiento espacial en con!unto

-

+ariograma )ruzado

/i R, W son funciones aleatorias estacionarias o intrnsecas, el variogramacruzado de ellas se de!ne como 1


221/313

#ara su estimacin se utiliza el variograma cruzado e&perimental

))%()(())()('(2

1)( "$-$-"$$("

- ++=

( )

))()(())()((

2

1)(* !i

"$$

!i- $y$y$z$z

"N

"!i

= =

+ariograma )ruzadoDpropiedades

8? ( ) && =


222/313

8?

:?

9? )l +ariograma cru,ado es una !uncin simtrica

7?


223/313

El modelo de variograma cruzado no puede ser escogido independientemente decada uno de los variogramas individuales

)onsecuencias1

El producto de cada uno de los sill de los variogramas individuales es mayor queel cuadrado del sill del variograma cruzado

( ) ( ) ( )""" -- 2

-- ??? 2

+ariograma )ruzadoDpropiedades

7? odelo lineal de coregionalizacin


224/313

modelos de variogramas

#ermite modelar en forma consistente el variograma cruzado y losvariogramas individuales

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )"'"'"'"

"v"v"v"

"u"u"u"

mm-

mm-

mm

+++=

+++=

+++=

2211

2211

2211

&>!u &>!v &2 > !!! 'vu

m!! ,,1, =


225/313

45+ ./ B@646/

46.4.

Modelando el comportamiento

espacial de %acies

%

Lunciones (ndicadoras

'a funcin indicadora de la facies%se de!ne como


226/313

/i se considera la facies %como un con%unto aleatorioentonces su funcin indicadora esuna funcin aleatoria que puede ser estacionaria o no.

En lo sucesivo asumiremos que la funcin indicadora de%es estacionaria

( )

=

nosi

%$si

$%

&

1

1

( ) ( ) ( )( ) 2112

1$"$(" %%% +=


#ropiedades


227/313

8?

:?

)l sill de +ariogramas de !unciones indicadoras no puede ser ma'ora5.N

9?


228/313

En particular

0onsecuencia 1

\n variograma con comportamiento en el origen de laforma

no puede ser el variograma de una funcin indicadora

( ) ( ) ( )2121 """" %%% ++

( ) ( )""%%

22

1>p" p


N?


229/313

1

2

( ) )( %"$y%$@"%

+=

Distancia

Variograma

Otras medidas e6erimentales ara medir la %ariabilidad9continuidad esa

:;< !emi%ariograma =

)(

2)(

)(*2

1)(

"N

iyiz"N

"


230/313

=;< !emi%ariograma cruzado

>;< Co%ariograma

?;< Correlograma

=1

)(2i

"N

=

=

)(

1

)')('()(*2

1)(

"N

i

iyiyiziz"N

"zy

=

=

)(

1

)()(

1)(

"N

i

ym$miyi$"N

"C

y$

"C"

)(

)( =

@;< !emi%ariograma general relati%o2)

2(

1)()(

ym$m

"".#

+=


231/313

A;< !emi%ariograma relati%o de are.a

B;< !emi%ariograma de logaritmo

;< !emimadograma

= =)(

1

2))ln()(ln()(*2

1)(

"N

i

iyi$"N

"L

=

=

)(

1)(*2

1)(

"N

i

iyi$"N

"M

= +

=

)(

1 2)2

)((

2)(

)(*2

1)(

"N

i iyi$iyi$

"N"@#


232/313


233/313


234/313


235/313

Estrategia de'odela+iento

"E&@HaierE+er1

Anisotrop0as C:

EKe+plo de aKuste


236/313

b)ul es el modelotridimensional_

)m18&(esf>29e#139&)(este += /)m1&&(esf:>9e#139&)(norte += /

)m8&(esf;29e#139&)(ertical += /

Anisotrop0as C;

'odelo tridi+ensional


237/313

Z 5.8:esf=?

Z 5.8[esf=?

Z 5.8[esf=?

Veri,caci/n1 la suma de las mesetas vale

5.89 Z 5.7: Z 5.8: Z 5.8[ =5.[N =meseta total

)m18&(esf>29e#139&)(este += /

)m1&&(esf129&)m1&&(esf>29e#139&)(norte ++= /

)m8&(esf189&)m8&(esf129&)m8&(esf>29e#139&)(ertical +++= /

)m8&,,(esf189&)m8&,m1&&,(esf129&

)m8&,m1&&,m18&(esf>29e#139&)(

+++= /


238/313

Relacin de rigen

arianza de un punto en un volumen


239/313

i todos los valores de z(!) en el interior de el

olumen estuvieran disponile nosotros podramos

calcular

E


240/313

/ desi#na un puntoEl muestreo puntual es soporte de volumen nulo

= * * d$m$z*

*A? 22 %)(1

)$(


241/313

i ahora nosotros estudiramos todas las realizaciones

De A (!)

Esta es la llamada varianza de un punto en un volumen,onocida como varianza de dispersi*n de un punto en el

olumen

e puede demostrar


242/313

Esta es la funci*n leatoria 7 media espacial de la funcion

leatoria A (8) sore el volumen v (!)

8

= )( )(1

)($v*

dyyv

$

d$$z*

m** = )(

1

= * *v d$m$z*

*v? 22 %)(1

)$(

+a varianza de dispersi*n de v en


243/313

Esta es i#ual a

sea

= * *v d$m$z*

(*v }%)(1

{)$( 22

=* vv*

d$dyy$v

d$dyy$*

*v )(1

)(1

)$(22

2

),(),()$(2 vv***v =

2elaci*n de aditividad de "ri#e


244/313

),()$(2 ***v =

),(),()$(2 vv***v =

)$()$()$( 222 vA*A*v =

)$()$()$( 222 *vvA*A +=

)$()$()$( 222 ***v*v +=


245/313

Varianza de blo&ue - %arianza de disersi


246/313


247/313


248/313


249/313


250/313


251/313


252/313


253/313

0omo entender


254/313


255/313


256/313


257/313


258/313


259/313

/i pensamos que conocimos todas las realizaciones deR=& ?


260/313

2endremos la varianza de un punto en un volumenllamada

Varianza de disersin de un unto en un%olumen


261/313


262/313


263/313


264/313


265/313

3iscusin de varianza de dispersin y e&tensin

'a varianza de dispersin es el promedio de las varianzas dee&tensin


266/313

'a varianza de dispersin es el promedio de las varianzas dee&tensin)uando v toma todas las posiciones posi$le en +

a varianza de estimacin disminuye cuando la muestra v devieneas representativa del dominio + a estimar

a varianza de estimacin disminuye cuando el variograma es mas regularla varia$le es mas continua ?


267/313


268/313


269/313


270/313


271/313

Plan de tra#a%o


272/313

Plan de tra#a%o


273/313

Verdader

a Es/i0ada

i I %"I(, %"0(, %I"0I(,

1 5 6 1 0 1

2 ) 6 1 4 1

3 6 4 4 1 1

4 2 4 4 ( 1

5 5 5 0 0 0

s*m+ 25 25 10 14 4

s*m+5 5 5 2 2.8 0.8


274/313


275/313


276/313


277/313


278/313


279/313


280/313


281/313


282/313


283/313


284/313


285/313


286/313


287/313


288/313


289/313


290/313

i


291/313

rigeage

riging

rigea.e-

rigea.e1 interpolador de la geoestadstica& "ue


292/313

g . p g & "s utili,a los anlisis estructural-

Inicialmente& Mat?eron denomin a esta tcnica

rigeage$en !rancs( "ue en ingles se con+ierteen riging' en espaol se escri#e rigea.e-)ste trmino "ue tiene su origen en el apellido deD-G- >rige& reconociendo de esta !orma su aporte-

)l rigea%e es una tcnica de estimacin


293/313

)l rigea%e es una tcnica de estimacin"ue proporciona el me%or estimador linealimparcial $C2B)& en ingles& Cest 2inearBn#iased )stimator(& $Sc?aug et al-&5HH90?ristensen et al-&5HH9 #aso+ et al-&5HHJ(&

dems proporciona una error de

estimacin conocido como %arianza deE i . d d d l d l d
http://www.monografias.com/trabajos/adolmodin/adolmodin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/adolmodin/adolmodin.shtml


294/313

es ac co oc do co oErigea.e"ue depende del modelode+ariograma o#tenido ' de laslocali,aciones de los datos originales

$rmstrong ' 0arignan& 5HHK ournel 'Lui%#regts& 5HK Da+id& 5HKK #aso+ etal-& 5HHJ(- )sto #rinda la posi#ilidad de?acer anlisis so#re la calidadde lasestimaciones $eerts ' Cierens& 5HH9Laas& 5HH8(-

)n trminos mineros& el pro#lema de
http://www.monografias.com/trabajos/adolmodin/adolmodin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/conge/conge.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/conge/conge.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/adolmodin/adolmodin.shtml


295/313

& prigea%e consiste en encontrar la me%orestimacin lineal posi#le del contenidomineral de un panel& teniendo en cuenta lain!ormacin disponi#le& mediciones "ue?an sido o#tenidas tanto en el interiorcomo e*ternamente al panel "ue se desea

estimar-

)l rigea%e consiste en e!ectuar unaponderacin es decir atri#uir un peso a


296/313

g %ponderacin& es decir& atri#uir un peso acada +alor o#ser+ado& los pesos soncalculados de manera "ue minimice la

+arian,a de estimacin resultante&teniendo en cuenta las caractersticasgeomtricas del pro#lema $Mat?eron&5HKJ(- l minimi,ar la +arian,a deestimacin se garanti,a el uso ptimo de lain!ormacin disponi#le $O?ang& 5HH(-

2a geoestadstica e*ige como primera etapa' !undamental el conocimiento del


297/313

g g p p' !undamental el conocimiento delcomportamiento estructural de lain!ormacin& es decir& se de#e contar

adems& con el modelo de semi+ariogramaterico "ue re3e%e /elmente lascaractersticas de +aria#ilidad ' correlacinespacial de la in!ormacin disponi#le&discutido anteriormente-

)n el caso minero& particularmente& por la!orma en "ue se presenta la in!ormacin&de estar condicionada en una direccin
http://www.monografias.com/trabajos15/direccion/direccion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/direccion/direccion.shtml


298/313

por di+ersos parmetros $7i+oirard 'Gui#lin& 5HHK(& se de#e o#tener modelos

de +ariogramas +erticales ' ?ori,ontales&el primero& "ue caracteri,a la correlacinespacial en esta direccin& es decir atra+s de los estratos& ' el segundo en los

estratos& o#tenindose un modelocon%unto para la estimacin de #lo"ues$Pan ' ri& 5HH9 rmstrong ' 0arignan&5HHK(-

2os #lo"ues a estimar son de/nidos condimensiones con+enientes a la unidad de
http://www.monografias.com/trabajos15/direccion/direccion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/adolmodin/adolmodin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/adolmodin/adolmodin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/direccion/direccion.shtml


299/313

"dimensiones con+enientes a la unidad deseleccinminera& teniendo en cuenta elespaciamiento entre muestras ' el alcance

estructural& es decir& la distancia ?asta la cuallas muestras se encuentran correlacionadasespacialmente- 2as ecuaciones del rigea%e seo#tienen entonces de acuerdo las ?iptesisde

la geoestadstica "ue de#en ser asumidas '+eri/cadas como 'a se indic-

:eniendo en cuenta las ?iptesis de lageoestadstica se pueden o#tener las
http://www.monografias.com/trabajos5/selpe/selpe.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/hipotesis/hipotesis.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/hipotesis/hipotesis.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos5/selpe/selpe.shtml


300/313

pgeoestadstica se pueden o#tener lasecuaciones del rigea%e para los siguientescasos1 !uncin aleatoria estacionaria de

esperan,a nula o conocida& mtodo conocidocomo >rigea%e Simple& para una !uncinaleatoria estacionaria de esperan,adesconocida& ' una !uncin aleatoria

intrnseca& mtodo conocido para los dosltimos casos como >rigea%e =rdinario-

)*isten cuatro >rigeage un +aria#le

5-6>rigeage Simple 1


301/313

g g pmedia

conocida

8-6>rigeage ordinario 1 rigeage de la media 1


302/313

Utilizar el onderador de 3agrange ara minimizar

2inimizar la %arianza


303/313

#ntrega un sistema de ecuacionesllamadas sistema del rigeage

-rigeage/ea

V V


304/313

V VV

d d-..

R`0 =&? T j R =V? Z j R =V?

a?Esta$lecer /istema -rigeage.

8.D Es un estimador lineal

R`0 =&? T j R =V? Z j R =V?

:.D Es insesgadok XR`=&?Y T k XR =&?Y

X = ? = ?Y


305/313

k XR`=&? D R =&?Y T 5

k Xj R =V? Z j R =V? D R =V?Y T 5

j m Z j m m T 5

j Z j T 8

9.D +arianza de estimacin =+arianza del error?Blue1 Best 'inear un$iased estimate+A< =R` R ? +A< =j R j R R ?


306/313

+A< =R` D R? T +A< =j R Z j R D R?

+A< =R? T D ji j% =Vi D V%?

+A< = Ri? T DXZ j j D j j D j j D j j Z j j Z j j D j j Z j j

Z j j Y

T Dj D j D j D : j j Z :j j

Z : j j

i T5

:

#ero j T 8

T j j : j j Z : j


307/313

T Dj D j D D : j j Z : j Z : j

ji j% =Vi V%? : ji =Vi D V? =V DV?

T +A< XR` D RY : = ji 8?

T D j =5? : j j =:d? D j =5? Z :j =d?

Z : j =d? : =j Z j D 8?

: : :

i T8

%T 8 i T8

I T D: =j Z j D8? T 5

j Z j T 8


308/313

I j T D: j =5? : j =:d? Z : =d?

: T 5j =5? Z j =:d? Z T =d?

I j T D: j =:d? : j =5? Z : =d? : T 5j =:d? Z j =5? Z T =d?

j =:d? Z T =d?


309/313

j =:d? Z T =d?

j Z j T 8

j T j T


310/313

T =d? D j =:d?

T =d? =8I:? =:d?

rigeage untual F2inimizar la %arianza


311/313

)ste es el sistema de >rigeage

rigeage *untual

Varianza del Erigeage


312/313

rigeage de blo&ue


313/313

apunte de geoestadistica

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