estadística compleja

TRABAJO COLABORATIVO 1

ESTADÍSTICA COMPLEJA

Curso 301014A

Andreina Cicatá c.c. 1057585106

Yesenia Andrea Puerta c.c. 1.056.776.726

Juan Carlos Rodríguez Colmenares c.c. 1057570484

Zulma Ivonne Bernal Cely c.c. 1057590802

Tutor: Díber Albeiro Váquiro Plazas

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS SOCIALES, ARTES Y HUMANIDADES

18 DE ABRIL DE 2013

INTRODUCCIÓN

En el desarrollo de este primer trabajo colaborativo, encontraremos 8 problemas de probabilidad

estadística los cuales resolveremos por medio de distintos métodos probabilísticos. De acuerdo al

problema planteado elegiremos el método correcto para su desarrollo. En el capítulo 1

estudiamos los experimentos aleatorios, espacios muestrales y eventos, en el capítulo 2 las

técnicas de conteo y en el capítulo 3 las propiedades básicas de la probabilidad. Teniendo los

anteriores conocimientos nos dispondremos a solucionar los problemas planteados.

OBJETIVOS

Identificar y comprender los conocimientos estudiados en la primera unidad académica

del curso académico

Aplicar en la práctica los conocimientos adquiridos a lo largo de la primera unidad

Realizar ejercicios de probabilidad estadística tales como: experimentos aleatorios y de

espacio muestral, eventos o sucesos, técnicas de conteo, axiomas de probabilidad,

probabilidad condicional y teorema de Bayes.

Elegir correctamente el método probabilístico a utilizar para el desarrollo de un problema

específico.

1. Michael y Robert son dos turistas ingleses que han viajado al Perú a conocer una de las

siete maravillas del mundo. Después de visitar Macchu Picchu, ellos deciden ir a disfrutar

de las comidas típicas que se ofrecen en el restaurante El último Inca. A Carlos, el sobrino

del dueño, se le ha encomendado la tarea de observar que platos típicos comerán los dos

turistas. La lista de platos es la siguiente: Trucha con papas fritas, Milanesa de alpaca, Cuy

con papas, Guiso de alpaca. Suponiendo que cada turista pedirá solo un plato, responda a

las siguientes preguntas acerca de lo observado por Carlos.

a) ¿Cuál es el espacio muestral del experimento?

b) En qué consiste el evento:

A: Los dos turistas comen el mismo plato.

B: Los dos turistas comen platos diferentes

C: Ninguno de los dos come trucha con papas fritas

c) Describa y liste los elementos de los conjuntos que corresponden a los siguientes eventos:

A´ =

B´ C´ =

A C =

A B C =

(A B´) C ´ =

(A´ B´) (A´ C) =

Tema: Experimentos aleatorios y espacio Muestral

a) ¿Cuál es el espacio muestral del experimento?

P1= Trucha con papas fritas

P2= Milanesa de alpaca

P3= Cuy con papas

P4 = Guiso de alpaca

El espacio muestral equivale a todas las combinaciones posibles:

S= {[P1; P1], [P1; P2], [P1; P3], [P1; P4], [P2; P1], [P2; P2], [P2; P3], [P2; P4], [P3; P1],

[P3; P2], [P3; P3], [P3; P4], [P4; P1], [P4; P2], [P4; P3], [P4; P4]}

b) En qué consiste el evento:

A: Los dos turistas comen el mismo plato.

En este caso se repiten los eventos

A= {[P1; P1], [P2; P2], [P3; P3], [P4; P4]}

B: Los dos turistas comen platos diferentes

No hay repeticiones

B= {[P1; P2], [P1; P3], [P1; P4], [P2; P1], [P2; P3], [P2; P4], [P3; P1] [P3; P2], [P3; P4],

[P4; P1], [P4; P2], [P4; P3]}

C: Ninguno de los dos come trucha con papas fritas

Sacamos el evento P1

C= {[P2; P2], [P2; P3], [P2; P4], [P3; P2], [P3; P3], [P3; P4], [P4; P2] [P4; P3], [P4; P4]}

c) Describa y liste los elementos de los conjuntos que corresponden a los siguientes eventos:

A´ = {[P1; P2], [P1; P3], [P1; P4], [P2; P1], [P2; P3] [P2; P4], [P3; P1], [P3; P2], [P3; P4]} [P4;

P1], [P4; P2] [P4; P3]}

B´ C´ = {[P1; P1]}

A C = {[P1; P1], [P2; P2], [P2; P3], [P2; P4], [P3; P2] [P3; P3], [P3; P4], [P4; P2], [P4; P3]}

[P4; P4]}

A B C = Ø

(A B´) C ´ = {[P1; P1], [P1; P2], [P1; P3], [P1; P4], [P2; P1], [P2; P2], [P3; P1], [P3; P3], [P4;

P1], [P4; P4]}

(A´ B´) (A´ C) = {[P2; P3], [P2; P4], [P3; P2], [P3; P4], [P4; P2], [P4; P3]}

2. Una línea de ferrocarril tiene 25 estaciones. ¿Cuántos billetes diferentes habrá que

imprimir si cada billete lleva impresas las estaciones de origen y destino?

Tema: Técnicas de conteo: Permutaciones

Solución: Se debe realizar una permutación, ya que el orden de las estaciones de origen y destino

importa.

Utilizamos la siguiente fórmula:

Número de elementos = n

Estaciones = r

Remplazamos la fórmula:

nPr = Pn/r = n (n-1) (n-2)... (n-r+1)=n!/((n-r)!)

nPn = n (n-1) (n-2)... 3.2.1= n!

25 P 2= 25 !(25−2 ) !

=25 !23 !

=25.24=600

Respuesta: 600 billetes

3. a) A partir de 5 matemáticos y 7 físicos hay que constituir una comisión de 2 matemáticos y 3 físicos. De cuántas formas podrá hacerse, si:

• Todos son elegibles;

• Un físico particular ha de estar en esa comisión;

• Dos matemáticos concretos no pueden estar juntos;

Tema: Técnicas de conteo: Combinaciones

Solución: Se aplica la fórmula de las combinaciones:

•Todos son elegibles;

5 C 2=( 52 ) 5 !

3 ! x 2!=5 x 4

2x 1=10

7 C 3=( 73 ) 7 !

4 ! x 3 !=7 x6 x5

3 x2 x1=35

Nc= 10 * 35 = 350 comisiones posibles

•Un físico particular ha de estar en esa comisión;

5 C 2=( 52 ) 5 !

3 ! x 2!=5 x 4

2x 1=10

6 C 2=( 62 ) 6 !

4 ! x 2 !=6 x5

2 x 1=15


•Dos matemáticos concretos no pueden estar juntos

5 C 2=( 52 ) 5 !

3 ! x 2!=5 x 4

2 x 1=10−1=9

7 C 3=( 73 ) 7 !

4 ! x 3 !=7 x6 x5

3 x2 x1=35


b) El muy conocido BALOTO electrónico es un juego de azar que consiste en acertar en 6 números de 45 posibles para ganar el premio mayor. Calcule cuántos boletos de juego debe usted comprar para asegurar que tendrá el boleto ganador. La empresa del BALOTO asegura también que usted puede ganar un monto determinado si acierta 3, 4 o 5 veces, calcule también cuántos boletos debe comprar para asegurar 3, 4 y 5 aciertos.

Baloto con 3 aciertos

C= n !r ! (n−r )!

= 45 !3 ! .42

=45.44 .433.2 .1

=851406

=14.190


C= n !r ! (n−r )!

= 45 !4 ! .41

=45.44 .43 .424.3 .2.1

=357588024

=148.995


C= n !r ! (n−r )!

= 45 !5 ! .40

=45.44 .43 .42 .415.4 .3 .2.1

=146611080120

=1.221.759

4. Se hace una encuesta en un grupo de 120 personas, preguntando si les gusta leer y ver la

televisión. Los resultados son: A 32 personas les gusta leer y ver la tele; A 92 personas les

gusta leer. A 47 personas les gusta ver la tele. Si elegimos al azar una de esas personas:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que no le guste ver la tele?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer, sabiendo que le gusta ver la tele?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer?

Tema: Eventos o sucesos

Solución: Completamos la información que hace falta, para posteriormente aplicar las fórmulas

concernientes a las distintas configuraciones de los conjuntos.

Información completa:

Les gusta la tele: 47

Les gusta leer: 92

Les gusta ver la tele y leer: 32

No les gusta la tele: 73

No les gusta leer: 28

No les gusta la tele ni leer: 13

Les gusta la tele pero no leer: 15

Les gusta leer pero no la tele: 60

Total: 120

a. ¿Cuál es la probabilidad de que no le guste ver la tele?

Sucesos:

Les gusta la tele: A

Les gusta leer: B

Utilizamos la fórmula: P (no A)

Reemplazamos:

73120

=0,60

Respuesta: 60% de probabilidad

b. ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer, sabiendo que le gusta ver la tele?

Utilizamos la fórmula: P (A∩B) / P (A)

Reemplazamos:

32120

÷47

120=0,68


c. ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer?

Utilizamos la fórmula: P (A)

92120

=0,76


5. En una cadena de televisión se hizo una encuesta a 2500 personas para saber la audiencia

de un debate y de una película que se emitieron en horas distintas: 2100 vieron la película,

1500 vieron el debate y 350 no vieron ninguno de los dos programas. Si elegimos al azar a

uno de los encuestados:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que viera la película y el debate?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que viera la película, sabiendo que no vio el debate?

c. Sabiendo que vio la película, ¿cuál es la probabilidad de que viera el debate?

Tema: Eventos o sucesos

Solución: Completamos la información que hace falta, para posteriormente aplicar las fórmulas

concernientes a las distintas configuraciones de los conjuntos.

Información completa:

Vieron la película: 2100

Vieron el debate: 1500

Vieron la película y el debate: 1450

No vieron ni la película ni el debate: 350

Vieron la película pero no el debate: 650

Vieron el debate pero no la película: 50

No vieron la película: 400

No vieron el debate: 1000

Total: 2500

a. ¿Cuál es la probabilidad de que viera la película y el debate?

Sucesos: Vio la película: A Vio el debate: B

Utilizamos la fórmula: P (A∩B)

Reemplazamos:

14502500

=0,58


b. ¿Cuál es la probabilidad de que viera la película, sabiendo que no vio el debate?

Utilizamos la fórmula: P ( A )−P ( A ∩B )

P (no B)

Reemplazamos:

21002500

−14502500

÷10002500

=0,65


c. Sabiendo que vio la película, ¿cuál es la probabilidad de que viera el debate?

Utilizamos la fórmula:

P (B ∩ A)P( A )

14502500

÷21002500

=0,69


6. Para parejas casadas que viven en cierta ciudad, la probabilidad de que el esposo vote en

las próximas elecciones es de 0.31. La probabilidad de que su esposa vote es de 0.23 y la

probabilidad de que ambos voten es de 0.19

a. ¿Cuál es la probabilidad de que vote la esposa, dado que el esposo vota?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que si la esposa vota, el esposo vote?

Tema: Probabilidad condicional

Solución: Completar la información, para posteriormente llevar a cabo las operaciones.

Información:

Probabilidad de voto del esposo: 0.31

Probabilidad de voto de la esposa: 0.23

Probabilidad de voto de ambos: 0.19

Sucesos:

Voto del esposo: A

Voto de la esposa: B

a. ¿Cuál es la probabilidad de que vote la esposa, dado que el esposo vota?

Utilizamos la fórmula: P = (A∩B) / (A)

0,19 ÷ 0,31 = 0,61


b. ¿Cuál es la probabilidad de que si la esposa vota, el esposo vote?

Utilizamos la fórmula: P = (A∩B) / (B)

0,19 ÷ 0,23 = 0,82


7. A una rata se le permite escoja al azar uno de 5 laberintos diferentes. Si las

probabilidades de que pase por cada uno de los diferentes laberintos en 3 minutos son 10%,

10%, 20%, 30% y 50% respectivamente y la rata escapa en 3 minutos, ¿Cuál es la

probabilidad de que haya escogido el segundo laberinto?

Tema: Teorema de Bayes

Solución: Aplicamos el Teorema de Bayes:

Información:

Eventos Laberinto Porcentaje Probabilidad

A 1 10% 0,2

B 2 10% 0,2

C 3 20% 0,2

D 4 30% 0,2

E 5 50% 0,2

X= La rata escapa

Entonces, debemos hallar: P (B/X)

Utilizamos la fórmula:

P ( A ) . P( XA )+P (B ) . P( X

B )+P (C ) . P( XC )+P ( D ) . P ( X

D )+ P ( E ) . P( XE )

Reemplazamos:

0,2 . 0 ,1+0,2.0 , 1+0,2 .0 , 2+0,2 . 0 ,3+0,2 .0 ,5=0,24

Ahora tomamos el evento que nos interesa:

P (B/X) = 0,2 x 0,1 / 0, 24= 0,083

Respuesta: La probabilidad de que haya escogido el laberinto 2 es de 8,3%

8. Se supone que una cierta prueba detecta cáncer con probabilidad del 80% entre gente

que padece cáncer, y no detecta el 20% restante. Si una persona no padece cáncer la prueba

indicará este hecho un 90% de las veces e indicará que tiene cáncer un 10% de ellas.

Suponiendo que el 5% de la gente de la Población de prueba padece cáncer y la prueba de

una persona determinada, seleccionada al azar índica que tiene cáncer, ¿Cuál es la

probabilidad de que efectivamente padezca dicha enfermedad?

Tema: Teorema de Bayes

Solución: Aplicamos el Teorema de Bayes

Eventos:

C: Tiene cáncer.

N: No tiene cáncer.

D: Prueba indica que tiene cáncer.

P (D/C) = 0.80

P No (D/C) = 0,20

P (D/N) = 0.10

P No (D/N)= 0,90

P(C) = 0.05

P(N) = 0.95

Hay que buscar P(C/D)

Aplicamos la formula

P (C ) . P( DC )÷ P (C ) . P( D

C )+P ( N ) . P( DN )

Reemplazamos:

(0.05⋅0.80)/(0.05⋅0.80+0.95⋅0.10)=(0.04)/(0.135) = 0,296

P (C / D)= 29,6% Probabilidad de que padezca cáncer

CONCLUSIONES

Se logra comprender el contenido de los elementos concernientes a la primera unidad

académica del curso.

Se aplican en la práctica los conocimientos adquiridos a lo largo de la primera unidad.

Se lleva a cabo la realización de los ejercicios de probabilidad estadística tales como:

experimentos aleatorios y de espacio muestral, eventos o sucesos, técnicas de conteo,

probabilidad condicional y teorema de Bayes.

La aplicación correcta de los ejercicios nos permite tener mayores herramientas en

nuestro campo laboral, social e individual, con la finalidad de desenvolvernos con más

tranquilidad y seguridad.

BIBLIOGRAFÍA

MORALES ROBAYO, Adriana. (2010). Módulo de estadística compleja. Universidad nacional

abierta y a distancia. Unad.

estadística compleja

Education