Índice general

1. Números Complejos 61.1. La Inevitabilidad de los Números Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2. Recapitulación de las propiedades elementales . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.1. Campo “no ordenado” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.2. Raíz cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.3. Representación geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.4. Conjugación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.5. Interpretación geométrica de las operaciones . . . . . . . . . . . . 191.2.6. Representación de C con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.2.7. Fórmula de De Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2.8. Raíces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3. Importancia y Singularidad de los Números Complejos . . . . . . . . . . 25

1.3.1. El caso de R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.3.2. Los cuaternios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.3.3. Factorización de polinomios reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.4. Teorema Fundamental del Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.4.1. Prefiguración de algunas ideas sobre las transformaciones complejas 301.4.2. Demostración elemental del Teorema Fundamental del Algebra . . 32

2. Transformaciones del Plano Complejo 35

2.1. El Grupo Afín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.1.1. Traslación. Rotación. Homotecia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.1.2. El Grupo Afín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2. Transformaciones de Möbius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2.1. Inversión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2.2. La esfera de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.2.3. Transformaciones de Möbius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.2.4. Invariancia de círculos, ángulos y razón cruzada. . . . . . . . . . . 492.2.5. Introducción a las funciones Racionales . . . . . . . . . . . . . . . 53

1

2.3. Análisis geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.3.1. z2 como transformación del plano. Duplicación y preservación de

ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.3.2. Raíz cuadrada. Otras potencias y raíces. . . . . . . . . . . . . . . 682.3.3. Polinomios y funciones Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.3.4. Función de Zhukovsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2.4. La exponencial y las funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . 832.4.1. Función Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.4.2. Transformación del Plano bajo la función exponencial . . . . . . . 862.4.3. Función Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

2.4.4. Funciones trigonométricas e hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . 892.4.5. Función coseno y su inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3. Derivación de Funciones Complejas 933.1. Función derivable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.1.1. Ejemplos de funciones derivables y no derivables. . . . . . . . . . 933.1.2. Una función es derivable si, y sólo si, lo es como función real y su

derivada es C -lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.1.3. Derivación respecto a z y a z conjugada . . . . . . . . . . . . . . . 973.1.4. Determinante jacobiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.1.5. Interpretación en Mecánica de Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.2. Teorema complejo de la función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.2.1. Teorema complejo como corolario del real . . . . . . . . . . . . . . 1023.2.2. Función armónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.2.3. Derivabilidad de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . . 103

4. Integración de Funciones Complejas 105

4.1. Integral Compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.1.1. La integración compleja como integral de línea . . . . . . . . . . . 1054.1.2. Propiedades elementales de las integrales de línea complejas. . . . 107

4.2. Teorema de la Primitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.2.1. Ejemplos de funciones “integrables” y “no integrables” . . . . . . 1094.2.2. “Integrabilidad” de las potencias positivas y no negativas de z ...sal-

vo una. Comparación con las integrales de línea reales: camposconservativos y diferenciales exactas. . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.3. Teorema de Cauchy para el rectángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.4. Integración de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.4.1. El Teorema del Residuo (primera versión) . . . . . . . . . . . . . 1174.4.2. Cálculo de Integrales reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

2

A. Teorema (Bolzano-Weierstrass): 121

B. Teorema Fundamental del Algebra 122

C. Geometría real con notación compleja 124

D. Fracciones Parciales 127

E. Geometría hiperbólica 130

3

Introducción

Estas notas son una primera versión escrita del curso de Variable Compleja I queimparte el Dr. Santiago López de Medrano en la Facultad de Ciencias de la UNAM. Setrata de un enfoque que pone especial énfasis en el análisis geométrico de los distintosconceptos y resultados de las funciones de variable compleja, con la intención de que elalumno pueda interpretarlos intuitivamente y compararlos recurrentemente con el casode funciones de variable real. El objetivo de este trabajo es proporcionar a los estudiantesde las carreras de matemáticas, física, actuaría y ciencias de la computación un materialde apoyo a su participación en el propio curso, aunque creemos que será de utilidad engeneral para todos aquellos que quieran acercarse al estudio de las funciones de variablecompleja. Se presupone que los alumnos han tomado las cuatro asignaturas de CálculoDiferencial e Integral que forman parte del tronco común de dichas carreras.No obstante que esta primera versión escrita trata de reunir las ideas surgidas durante

varios semestres, hay dos cosas que son indudables: una, que difícilmente puede recogerseen un papel el mundo de ideas que afloran en los cursos de Santiago. La otra, quenaturalmente que este material habrá de verse enriquecido al calor de las discusiones delos nuevos grupos en que sea expuesto. En todo caso, nos daremos por bien servidos silogramos contribuir con este trabajo a que esto suceda.En el curso de Variable Compleja II, con la introducción de nuevos conceptos y resulta-

dos podrán verse desde otra óptica muchas de las ideas que aquí se plantean, abordándoseentonces nuevas versiones de varios resultados que aquí aparecen. Diversas aplicaciones enFísica y Matemáticas dan cuenta de la importancia de toda esta problemática (Mecánicade Fluidos, Fractales, etc).La estructura del trabajo es a grandes rasgos la siguiente. Dentro del primer capí-

tulo abordamos el origen histórico de los números complejos, de cómo fue la cúbica laresponsable de ello con su caso irreducible. Se define el campo de los números complejosy se discute por qué no es un campo ordenado. Una recapitulación de las propiedadeselementales, la interpretación geométrica de las operaciones y la representación de C conmatrices. En la tercera sección de este capítulo se analiza la imposibilidad de extenderel campo de los números complejos a espacios de dimensión mayor que dos. En general,se observa que se trata de un campo realmente muy interesante e importante, que mu-chos problemas en R adquieren un mejor panorama vistos desde C. Que tal y como loexpresó el matemático francés Jacques-Salomón Hadamard "...el camino más corto entredos resultados sobre los números reales pasa frecuentemente por los complejos".

4

Al final de este capítulo se demuestra de manera elemental el Teorema Fundamentaldel Algebra. Una demostración más rigurosa puede consultarse en el Apéndice B.En el Capítulo II se aborda ya en forma el estudio de las funciones de variable

compleja. Como indicábamos más arriba, éste estará atravesado de principio a fin porel análisis geométrico: imágenes directas e inversas de puntos, rectas, círculos, mallas derectas horizontales y verticales, visión global sobre cómo es transformado todo el planopor la función, de si hay o no conservación de ángulos, simetrías, etc.La primera parte está dedicada al estudio de traslaciones, rotaciones, homotecias,

el grupo afín, las transformaciones de Möbius, la razón cruzada. Luego se examina de-tenidamente la función z2, para pasar más adelante a analizar los polinomios, su com-portamiento cuando z tiende a infinito, etc. y las funciones racionales. Se trabaja conla función de Zhukovsky, lo cual ayudará mas adelante a entender nuevas funciones quepueden ser vistas como composiciones que la incluyen. Finalmente, concluimos el capítulocon el estudio de las funciones exponencial y logaritmo.El Capítulo III está dedicado a entender el concepto de derivada, qué implicaciones

tiene que una función compleja sea derivable. Se da una breve interpretación de ella desdela óptica de la Mecánica de Fluidos y en la segunda parte nos detenemos a analizar elTeorema Complejo de la Función Inversa.Para concluir esta primera parte del curso de Variable, se estudia en el Capítulo

IV la integral compleja y sus principales propiedades. Se discute una primera versióndel Teorma de Cauchy y también del Teorema del Residuo, para el cual se anexa, en elApéndice D, una bonita demostración de que toda función racional puede descomponersecomo la suma de fracciones parciales. Y ya para finalizar, estudiamos algunas integralesreales de difícil solución, abordándolas con la herramienta desarrollada.

Marzo de 2003

5

Capítulo 1

Números Complejos

1.1. La Inevitabilidad de los Números Complejos

Hacia mediados del siglo XVI, apareció una publicación de Jerónimo Cardano (1501-1576), Ars Magna, en la que se presenta una solución de la ecuación cúbica.En realidad hay una controversia sobre quién descubrió esta solución. Cardano pre-

sionó a Niccolo Tartaglia (Niccolo Fontana de Brescia (1500-1557)) para que le revelara elmétodo de solución de la cúbica que éste había encontrado. Tartaglia se lo dió pidiéndoleque guardara el secreto. Según Carl B. Boyer en su libro Historia de la Matemática (capí-tulo XV), fue Scipione del Ferro (1465-1526) profesor de matemáticas en Bolonia, una delas más antiguas de las universidades medievales y una escuela con una gran tradiciónmatemática, quien descubriera la solución pero que sólo revelaría antes de su muerte auno de sus alumnos Antonio María Fior..Alguna noticia sobre la existencia de una solución algebraica de la ecuación cúbica

debió filtrarse, al parecer, y Tartaglia nos dice que al tener conocimiento de la posibilidadde resolverla, se le ocurrió dedicarse intensamente a descubrir el método por sí mismo. Yafuera independientemente o sobre la base de alguna sugerencia, lo cierto es que Tartagliaconsiguió aprender, hacia el año 1541, a resolver ecuaciones cúbicas. Cuando se extendióesta noticia, se organizó un desafío matemático entre Fior y Tartaglia".1

La ecuación de segundo grado x2+px+q = 0 fue resuelta desde la antigüedad, cuya

solución es conocida por la fórmula x = −p2±q

p2

4− q.

Cuando el discriminanteD = p2

4−q resultaba negativo, se decía que no había solución,

aparentemente no había razón para considerar a los números complejos. Lo interesanteestá en que fue la ecuación cúbica la que llevó a los matemáticos a comprender dichosnúmeros y que a raíz de la publicación de Ars Magna se dio un gran avance en lainvestigación algebraica en distintas direcciones.

1Carl B. Boyer [1968].

6

El método de del Ferro-Tartaglia-Cardano se expresa en términos modernos comosigue:

Seax3 + bx2 + cx+ d = 0

se reduce la ecuación general de la cúbica con un cambio de variable x := x− b3, para

obtener la forma x3 + px+ q = 0 donde p = c− b2

3y q = 2 b

3

27− cb

3+ d

Sea p 6= 0vamos a considerar dos incógnitas, s y t, tales que x = s+ t,sustituimos en la cúbica y desarrollamos:(s+ t)3 + p(s+ t) + q = 0,s3 + 3s2t+ 3st2 + t3 + ps+ pt+ q = 0,Observamos que si s3 + t3 = −q y 3st = −p (o bien st = −p

3) entonces tendríamos

que x sería solución.Resolvemos el siguiente sistema:s3 + t3 = −q.........(1)st = −p

3............(2)

despejamos t en (2) y sustituimos en (1):s3 + (− p

3s)3 = −q,

33(s3)2 + 33s3q − p3 = 0,y si hacemos s3 = α obtenemos 33α2 + 33αq − p3 = 0entonces las soluciones para α2 + qα− p3

27= 0 y los posibles valores para s3 son :

α = −q2±r

q2

22+

p3

27

También se puede obtener una cuadrática en términos de t3 y tendremos dos valoresposibles:

β = −q2∓r

q2

22+

p3

27

Por las condiciones del sistema tenemos que :

s =

µ− q2+q

q2

22+ p3

27

¶13

y t =µ− q2−q

q2

22+ p3

27

¶13

Por tanto

x =

Ã−q2+

rq2

22+

p3

27

! 13

+

Ã−q2−r

q2

22+

p3

27

!13

Esta es la solución de del Ferro-Tartaglia-Cardano.

7

Cuando en la fórmula el discriminante q2

22+ p3

27resultaba negativo, ya no se podía

admitir que no hubiera solución, porque una ecuación cúbica siempre tiene al menos unaraíz real.En el caso de tener tres raíces reales distintas la fórmula conduce inevitablemente a

raíces cuadradas de números negativos. Tartaglia llamó a este caso "irreducible", porqueno había método algebraico que lo resolviera. Cardano había resuelto ecuaciones de se-gundo grado con raíces complejas, pero las despreció por "inútiles".2

"El primer trabajo que tomó seriamente a los números complejos y logró la necesariareconciliación fue Rafael Bombelli (1526-1572). Bombelli resolvió el álgebra formal de

los números complejos, con el particular objeto de reducir expresiones¡a+ b

√−1¢ 13 a la

forma c+ d√−1. Su método le permitió mostrar la realidad de algunas expresiones que

resultan de la fórmula de Cardano. Por ejemplo:La solución de

x3 = 15x+ 4es

x =¡2 + 11

√−1¢ 13 +

¡2− 11

√−1¢ 13

de acuerdo con la fórmula. Por otro lado, por inspección directa podemos observarque x = 4 es una solución. Bombelli tuvo la corazonada que las dos partes de x en lafórmula de Cardano eran de la forma 2+n

√−1, 2−n

√−1, y encontró elevando al cubo

estas expresiones (usando¡√−1¢2= −1) que verdaderamente¡

2 + 11√−1¢ 13 = 2 +

√−1¡

2− 11√−1¢ 13 = 2−

√−1

por esto la fórmula de Cardano también da x = 4 ".3

Bombelli, aunque no comprendiera del todo los números complejos, estaba poniendode manifiesto que para resolver problemas reales se necesitaba de una aritmética compleja.Veamos cómo en el caso “irreducible” esto es más claro.Si un polinomio de tercer grado tiene tres raíces reales distintas entonces el discrimi-

nante q2

22+ p3

27es negativo.

Si tenemos un polinomio con sus tres raíces reales distintas, la gráfica sería esencial-mente así:

2Morris Kline [1972].3John Stillwell [1989].

8

52.50-2.5-5

50

25

0

-25

-50

x

y

x

y

Analicemos este caso con p < 0 y q ≥ 0 :f(x) = x3 + px+ q,f 0(x) = 3x2 + p,f 00(x) = 6x,f 0(x) = 0, en x = −

p−p3, y x =

p−p3

La función alcanza un máximo local en x = −p−p3y un mínimo local en x =

p−p3

. Cuando x se va a ∞ , los valores de la función se van a ∞ y cuando x se va a −∞entonces f(x) → −∞, y si cumple que tiene sus tres raíces reales distintas entonces losvalores de la función en los puntos críticos, (f(−

p−p3) y f(

p−p3) ), tienen signo distinto:

f(−p−p3) = −2

3pp−p3+ q > 0,

f(p−p3) = 2

3pp−p3+ q < 0 si |q| <

¯23pp−p3

¯por tanto f(−

p−p3)f(

p−p3) es negativo, pero ¿Quién es este producto?

f(−p−p3)f(

p−p3) = (q − 2

3pp−p3)(q + 2

3pp−p3) = q2 + 22 p

3

33=

= 22³¡

q2

¢2+¡p3

¢3´< 0

Por tanto ³q2

´2+³p3

´3< 0

Ejemplo con q > 0 :

52.50-2.5-5

50

25

0

-25

x

y

x

y

9

Ahora si q < 0, todo sigue igual si |q| <¯23pp−p3

¯y tenemos nuevamente que el

discriminante es negativo:Ejemplo:

52.50-2.5-5

25

0

-25

-50

x

y

x

y

Si tuviéramos que |q| >¯23pp−p3

¯, donde q > 0 o bien q < 0, entonces la gráfica de

la cúbica está por arriba del eje X o por debajo según el valor de q y en ambos casosexiste una raíz real. Observemos cómo aquí el discriminante es positivo.Por ejemplo:

x3 − 6x+ 25

52.50-2.5-5

100

75

50

25

0

-25

-50

x

y

x

y

x3 − 6x− 25

10

52.50-2.5-5

50

25

0

-25

-50

-75

-100

x

y

x

y

Si alguno de los valores de la función en los puntos críticos (f(−p−p3) o f(

p−p3))

es cero entonces tendremos una raíz múltiple.Ahora si p > 0 :f 0(x) = 3x2 + p > 0, tenemos una función creciente, y de nueva cuenta tenemos sólo

una raíz real.Ejemplo:x3 + 4x+ 10

52.50-2.5-5

150

100

50

0

-50

-100

x

y

x

y

x3 + 4x− 10

52.50-2.5-5

100

50

0

-50

-100

-150

x

y

x

y

Finalmente el caso f(x) = x3

11

52.50-2.5-5

100

50

0

-50

-100

x

y

x

y

Lo que tenemos es que la única posibilidad para que tengamos tres soluciones distintasreales es cuando

f(

rp

3)f(−

rp

3) < 0.

Lo interesante para nosotros es que teniendo una ecuación cúbica con coeficientesreales p y q, con raíces reales y queremos resolverla, en algún momento tenemos quepasar por C.Se demuestra en la Teoría de Galois sobre las ecuaciones algebraicas que este problema

no es exclusivo de la fórmula de del Ferro-Tartaglia-Cardano, sino algo más intrínseco:cualquier procedimiento general para resolver la ecuación de tercer grado usando, a partirde los coeficientes, las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y extracciónde raíces, debe pasar en el caso irreducible por los números complejos.

¿Se puede factorizar x4 + a4?

Otro ejemplo que muestra de nueva cuenta la necesidad de los números complejos pararesolver problemas reales, es el trabajo que realizó Jean Bernoulli al integrar algunasfunciones racionales por el método de fracciones simples, llegando a preguntarse si sepodía expresar un polinomio de coeficientes reales como producto de factores de primery segundo grado con coeficientes reales.Durante el siglo XVIII se seguía desarrollando la teoría de los números complejos

por diversos matemáticos. Leibniz y Jean Bernoulli encontraron muchas integrales defunciones racionales por el método de fracciones simples."Bernoulli afirmó en las Acta Eruditorum de 1702 que la integral de cualquier función

racional no implicaba más funciones trascendentes que las trigonométricas y la logarít-mica.Como el denominador de una función racional es un polinomio en x de grado n, lavalidez de esa afirmación dependía de si cualquier polinomio con coeficientes reales podía

12

expresarse como producto de factores de primer y segundo grado con coeficientes reales.En su artículo de las Acta de 1702, Leibniz opinaba que ello no era posible y daba elejemplo x4 + a4. Señalaba que

x4 + a4 =¡x2 − a2

√−1¢ ¡

x2 + a2√−1¢=

=³x+ a

p√−1´³

x− ap√−1´³

x+ ap−√−1´³

x− ap−√−1´

y, según él, para ningún par de esos cuatro factores se verificaba que su productofuese un factor cuadrático con coeficientes reales. Si hubiese sido capaz de expresar la raízcuadrada de

√−1 y de −

√−1 como números complejos ordinarios, se hubiese apercibido

de su error. Nicolaus Bernoulli (1687-1759), un sobrino de Jacques y Jean, indicó en lasActa Eruditorum de 1719 que:

x4 + a4 = (x2 + a2)2 − 2a2x2 =

¡x2 +

√2ax+ a2

¢ ¡x2 −

√2ax+ a2

¢de donde se sigue que la función 1

x4 + a4se puede integrar en términos de funciones

trigonométricas y de la logarítmica".4

1.2. Recapitulación de las propiedades elementales

Vamos a recordar ahora la construcción y las propiedades elementales de los númeroscomplejos.

1.2.1. Campo “no ordenado”

Si consideramos a R2 y definimos para las parejas ordenadas, z := (x, y), de númerosreales una multiplicación:

z1z2 = (x1, y1)(x2, y2) := (x1x2 − y1y2, x1y2 + x2y1)y para la suma tenemos:z1 + z2 = (x1, y1) + (x2, y2) := (x1 + x2, y1 + y2)obtenemos que se cumple:1.Ley asociativa: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)

(z1z2)z3 = z1(z2z3)2.Ley conmutativa: z1 + z2 = z2 + z1

z1z2 = z2z13.Ley distributiva: z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3Existe el elemento cero como 0 := (0, 0) y el elemento unidad 1 := (1, 0);El inverso aditivo de z := (x, y), es −z := (−x,−y) y si z 6= 0 tenemos el inverso

multiplicativo

4Morris Kline [1972].

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z−1 :=

µx

x2 + y2,−y

x2 + y2

¶A este campo se le llama el campo de los números complejos y lo denotamos CSi hacemos la correspondencia

x→ (x, 0)

deR→ C

vemos que el campo de los reales, R, está metido en C, porque se sigue cumpliendoque :

(x1, 0)(x2, 0) = (x1x2, 0)

(x1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0)

Lo que estamos haciendo es identificar el número real x con el número complejo (x, 0),por esta identificación se dice que C es una extensión de R. Ahora definimos

i := (0, 1)

donde (0, 1) ∈ C, es claro que i2 = (0, 1)(0, 1) = −1 , a este número i se le llamaunidad imaginaria de C.Por tanto, todo número

z := (x, y) ∈ Ctiene una única representación

(x, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0)

esto esz = x+ iy con x, y ∈ R

Se le llama la parte real de z al valor x:

Re z := x

y la parte imaginaria de z al valor y :

Im z := y

(Obsérvese que la parte imaginaria de un número complejo es el número real y y noel imaginario yi.)El número z es real si Im z = 0 y es imaginario puro si Re z = 0.En el campo de los números complejos no hay un orden, es decir, que no hay un

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orden compatible con las operaciones: (α > 0, β > 0 ⇒ α + β > 0 y αβ > 0). El ordenusual en los números reales cumple con estas condiciones, pero no C, por tanto, no esposible extender ese orden o construir ningún otro. El hecho fundamental es que tenemosen C un número cuyo cuadrado es negativo (i2 = −1) lo cual no es compatible con laexistencia de un tal orden. (El lector podrá fácilmente convertir esta observación en unademostración). Sin embargo C tiene muchas otras propiedades muy especiales, que notienen los campos ordenados.

1.2.2. Raíz cuadrada

Las raíces cuadradas de cualquier número complejo pueden obtenerse de manera di-recta.Sea w = α+ iβ ∈ C, queremos encontrar un z = x+ iy tal que z2 = w, o sea que(x+ iy)2 = α+ iβ, lo que equivale a x2 − y2 + i2xy = α+ iβ.Esto nos da un sistema de ecuaciones a resolver:

x2 − y2 = α

2xy = β

Éste puede resolverse directamente despejando y de la segunda ecuación y substi-tuyendo en la primera. Otra forma de hacerlo es como sigue:Observemos que (x2 + y2)2 = (x2 − y2)2 + 4x2y2 = α2 + β2.Por tanto:

x2 + y2 =

qα2 + β2.

Luego x2 = −y2 +pα2 + β2 = α− x2 +

pα2 + β2,

x2 =α+

pα2 + β2

2.

Como y2 = x2 − α,

y2 =−α+

pα2 + β2

2.

Para encontrar x y y basta tomar otra vez raíces cuadradas. No hay ningún problemaen el procedimiento porque todos los números a los que hay que extraer raíz cuadradason reales no negativos.Está claro que no podemos tomar arbitrariamente las diversas combinaciones de las

raíces cuadradas de las expresiones anteriores, porque se debe cumplir que el producto

15

xy tenga el signo de β, dándonos únicamente dos raíces simétricas, es decir, z y −z (yno cuatro, lo cual sería muy extraño).

Tomando ese cuidado, la solución general se puede escribir así:√w = ±

µqα+√

α2+β2

2+ i β

|β|

q−α+√

α2+β2

2

¶si β 6= 0

√w = ±√α si α ≥ 0 y β = 0√w = ±i

√−α si α < 0 y β = 0

No sólo podemos obtener raíces cuadradas, sino también resolver cualquier ecuaciónde segundo grado con coeficientes complejos: Si tuviéramos un polinomio cuadráticoz2 + cz + d ∈ C, y lo transformamos completando el cuadrado en

¡z + 1

2c¢2+ d − 1

4c2,

es fácil ver cómo mediante el cálculo de la raíz cuadrada se determinan los ceros de estepolinomio. Entonces, por la fórmula usual, vemos que todo polinomio de grado 2 concoeficientes complejos tiene raíces complejas.

1.2.3. Representación geométrica

El hecho de poder identificar a C con R2 es muy importante porque nos permitiráhacer mucho análisis y mucha geometría. El número complejo z = x + iy se interpretageométricamente (diagrama de Argand ó plano-z) como el punto (x, y) en el plano xy.Dos números complejos son iguales si sus respectivas partes reales e imaginarias son

iguales, de modo que sus puntos representativos en el plano coinciden.

420-2-4

4

2

0

-2

-4

x

y

x

y

1.2.4. Conjugación

La conjugación compleja es la transformación que manda z = x + iy en z = x − iy.Geométricamente tenemos una reflexión con respecto al eje real.

16

420-2-4

4

2

0

-2

-4

x

y

x

y

Si z = x+ iy entonces zz = x2+y2, y como este valor es no negativo, podemos sacarleraíz cuadrada. Así, se define el módulo o valor absoluto de cualquier número complejocomo:

|z| =px2 + y2 ∈ R+∪ {0}

Y es igual a la distancia del punto z al origen del plano xy.Propiedades del módulo:a) |z| ≥ 0; si |z| = 0 entonces z = 0b) zz = |z|2c) |z| = |z|d) |−z| = |z|e) |zw| = |z| |w|f) Si w 6= 0 entonces

¯zw

¯= |z|

|w|g) |Re z| ≤ |z||Im z| ≤ |z|

h) |z + w| ≤ |z|+ |w| (Desigualdad del triángulo)Si z 6= 0, observemos que z−1 = z

|z|2 . Luego z−1 está en la misma dirección que z con

módulo 1|z| .

En particular, z−1 = z si |z| = 1.Y algunas de las propiedades de la conjugación son:a) z + w = z + wb) (−z) = −zc) zw = z w

d) Si w 6= 0⇒¡zw

¢= z

w

e) z = zf) z + z = 2Re zz − z = 2i Im z

Las propiedades a) y c) de la conjugación nos expresan que ésta es un automorfismo

17

del campo de los complejos, es decir, una transformación invertible del campo C ensí mismo que preserva todas las operaciones. En otras palabras, es una simetría de laestructura algebraica de C y se deriva del hecho de que i y−i , ambas raíces del polinomiox2 + 1, tienen exactamente las mismas propiedades.

Para un complejo z distinto de 0 , el ángulo θ medido de la parte positiva del ejereal al radio vector determinado por z es llamado el argumento de z y es denotado porarg z.

420-2-4

4

2

0

-2

-4

x

y

x

y

De donde se satisface que:tan θ = y

x, cos θ = x

|z| , senθ =y|z|

Se considera orientación positiva del ángulo la señalada por la flecha (sentido levó-giro).5

El ángulo que satisaface las relaciones anteriores, queda unívocamente definido salvopor un múltiplo de 2π.De modo que siempre es posible expresar un número complejo distinto de cero en

forma polar:

z = |z| (cos θ + isenθ)

Más adelante veremos que esta expresión nos ayuda a visualizar geométricamente lamultiplicación de complejos, pero analicemos un poco la forma polar (trigonométrica).En primer lugar si z = 0 el módulo es 0, mientras que el argumento carece de sentido,podemos darle el valor que queramos. En segundo lugar si z 6= 0 el argumento de z no estátan bien definido, sin embargo ya no tenemos tantas opciones. θ = arg z es un conjunto,una colección de números, es una clase de equivalencia módulo 2π, es un número tal quesi le sumo 2π es el mismo, no cambia.Escoger θ dentro de ciertos límites a veces es conveniente, por ejemplo si z 6= 0 existe

uno, sólo uno de los valores del argumento para el rango comprendido entre −π y π, aeste valor se le denomina valor principal del argumento, algunos libros lo denotan θ =Argz.

5Sentido contrario a las manecillas del reloj.

18

Pero también existen desventajas, por ejemplo:si −π < θ ≤ π y a cada número complejo 6= 0 le asociamos su argumento tendríamos

una discontinuidad en el argumento.Si tomáramos una sucesión en el semiplano inferior que converja al −1, por ejemplo,

los argumentos van decreciendo tendiendo a −π, aunque arg(−1) = π.

2.51.250-1.25-2.5

2.5

1.25

0

-1.25

-2.5

x

y

x

y

Eso sucedería con cualquier punto en el eje real negativo, por lo que la función arg zes discontinua en todo el intervalo (−∞,0).Para visualizar la discontinuidad de salto, grafiquemos {(t, arg(t)) : t ∈ R}, con-

siderando que z(t) = cos 2πt+ isen2πt (es decir, que al variar la t en intervalos unitariosle damos la vuelta completa a una circunferencia y vamos tomando el argumento en cadapunto del recorrido).

43210

2.5

1.25

0

-1.25

-2.5

t

arg(z(t))

t

arg(z(t))

Así, todo número complejo tiene su módulo r = |z| y su argumento (módulo 2π).Ejemplo 1.1 1 + i =

√2(cos π

4+ isenπ

4)

1.2.5. Interpretación geométrica de las operaciones

Suma

19

Si representamos z1 y z2 por vectores en el plano complejo, la suma z1+ z2 y la restaz1 − z2 son, lo mismo que en R2. Las diagonales del paralelogramo generado por z1 y z2.

suma

Y también se cumple la desigualdad del triángulo:

|(|z1|− |z2|)| ≤ |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|

Multiplicación

Si los números complejos z1 y z2 son expresados en coordenadas polares:

z1 = r1(cos θ1 + isenθ1)

z2 = r2(cos θ2 + isenθ2)

la multiplicación nos da:

z1z2 = r1r2 [(cos θ1 cos θ2 − senθ1senθ2) + i(senθ1 cos θ2 + senθ2 cos θ1)]

z1z2 = r1r2 [cos(θ1 + θ2) + isen(θ1 + θ2)]

y la división :

z1z2=

r1r2[cos(θ1 − θ2) + isen(θ1 − θ2)] r2 6= 0

es decir, que al multiplicar dos números complejos se multiplican sus módulos y sesuman sus argumentos, y al dividir se dividen los módulos y se restan los argumentos.

20

multiplicación

En particular si la multiplicación de z1 es con un z2 cuyo módulo es 1, tenemos unarotación del vector z1 alrededor del origen en sentido levógiro de un ángulo θ2.

Ejemplo 1.2 El producto zi = (x+ iy)i = xi− y = −y + ixarg(zi) = arg z + arg i = arg z + π

2

|zi| = |z| |i| = |z| 1 = |z|

es decir, nos resulta un vector ortogonal a z, con su mismo módulo (girado en sentidopositivo).Una construcción geométrica del producto es la siguiente:Dados los puntos 0, 1, z1, z2, construimos un triángulo con vértices 0, 1 y z1 :

21

Y luego por semejanza construimos otro triángulo obteniendo el punto z1z2

multiplicación

El triángulo con vértices 0, 1, z1 es semejante al triángulo con vértices 0, z2, z1z2.Tenemos que α = arg(z1z2) − arg(z2) es igual al α0 = arg z1 y sus lados adyacentes

son proporcionales|z1|1= |z1z2|

|z2| .

1.2.6. Representación de C con matrices

Cada número complejo lo podemos pensar como una transformación del plano. Esuna transformación lineal y como tal le podemos asociar una matriz, sea α = a + ib

22

entonces

α · (x, y) = (a+ ib)(x+ iy) = (ax− by, ay + bx) =Mα

µxy

¶.

Donde Mα =

µa −bb a

¶Así, a cada complejo α le hacemos corresponder una matriz Mα :

α = a+ ib→Mα =

µa −bb a

¶Y todas las operaciones con complejos corresponden a operaciones con matrices:Mα+β =Mα +Mβ

Mα·β =MαMβ

Mα =

µa b−b a

¶|α|2 = det

µa −bb a

¶Dicho de otra manera, podemos establecer una correspondencia entre los números

complejos y las transformaciones del plano; para un algebrista los complejos son unconjunto con ciertas operaciones, etc., y para un geómetra serán transformaciones delplano. Así, tenemos otra representación de los números complejos en términos de objetosmás familiares como las matrices.

1.2.7. Fórmula de De Moivre

Observemos que z2 = zz es el número que tiene por módulo |z|2 y argumento 2θ.De modo que

z2 = |z|2 (cos 2θ + isen2θ)

Y en general si n ∈ N

zn = |z|n (cosnθ + isen nθ)

para |z| = 1, obtenemos (cos θ + isenθ)n = (cosnθ + isen nθ) que es la Fórmula deDe Moivre.

Se puede ver que si el exponente es entero, no hay problema pues z0 = 1 y si esnegativo z−1 = |z|−1 (cos(−θ) + isen(−θ))Apartir de la Fórmula de De Moivre se pueden deducir diversas identidades trigonométri-

cas, como por ejemplo cos 3ϕ = cos3 ϕ− 3 cosϕsen2ϕ.

1.2.8. Raíces

23

Si existe un número ξ ∈ C tal que ξn = z (n ∈ N), se dice que ξ es una raíz enésimade z, ξ = z

1n

Si z = 0, se tiene que ξ = 0Si z 6= 0, tenemos:sean z = r(cosϕ+ isenϕ) y ξ = s(cos θ + isenθ) entonces resolviendo esta ecuación:

sn(cosnθ + isen nθ) = r(cosϕ+ isenϕ)

se tiene:

s = r1n

θ =ϕ

n+2kπ

n

ξ = r1n

µcos

µϕ

n+2kπ

n

¶+ isen

µϕ

n+2kπ

n

¶¶donde k es un entero y toma los valores 0, 1, 2, ..., n−1 para tener soluciones distintas.Un caso importante es cuando z = 1, que son las raíces enésimas de la unidad

ωk =

∙cos

µ2kπ

n

¶+ isen

µ2kπ

n

¶¸Todos los valores de ξ = z

1n se pueden obtener a partir de las raíces enésimas de la

unidad, multiplicándolas por la raíz obtenida para k = 0 , ξ = r1n

¡cos¡ϕn

¢+ isen

¡ϕn

¢¢,

es decir, ξωk donde k = 0, 1, .., n− 1.Veamos un ejemplo, para n = 4 :

Ejemplo 1.3 Calculemos las raíces cuartas de la unidadzk = cos(

ϕ4+ 2kπ

4) + isen(ϕ

4+ 2kπ

4) = cos(kπ

2) + isen(kπ

2) k = 0, 1, 2, 3

z1 = 1z2 = iz3 = −1z4 = −iLas cuatro raíces se encuentran a lo largo del círculo e igualmente espaciadas

24

Geométricamente las n raíces de cualquier número complejo distinto de cero, son losvértices de un polígono regular con n lados.

1.3. Importancia y Singularidad de los Números Com-plejos

Hemos visto hasta ahora que los números complejos son un campo, que lo obtuvimosextendiendo el de los números reales. Tenemos pares ordenados con un producto biendefinido y todo funciona muy bien. Pero una pregunta interesante sería ¿Podrémos hacerlo mismo con ternas o cuartetas?No, no se puede. Esta conclusión a la que se llego a comienzos del siglo XIX, fue

el resultado de muchos intentos por construir extensiones que cumplieran con todas laspropiedades de campo. Sin embargo el matemático irlandés William R. Hamilton (1805-1865) a mediados siglo XIX encontró una forma de multiplicar cuartetas pero resultó noser campo. El anillo de los cuaternios ha dado impulso al desarrollo del álgebra de vectores(estudio de la mécanica y de la física), pero no ha llegado a tener la importancia de losnúmeros complejos. Actualmente su interés primario es el de ser un ejemplo históricoimportante, aunque aún desempeña un papel relevante en geometría y en la teoría denúmeros.

1.3.1. El caso de R3

Veamos como, ya para R3, no es posible obtener un campo.Supongamos que sí existe una estructura de campo en R3, entonces existe un elemento

unidad 1 6= 0 . Esto implica que tenemos los números reales como subcampo, a saber, elde todos los múltiplos escalares del 1.

25

Consideremos un elemento u ∈ R3, u /∈ R . Si u está en R3, también están u2 yu3, y el conjunto {1, u, u2, u3} constaría de cuatro vectores de R3 que tendrían que serlinealmente dependientes. Es decir, se cumple una relación au3 + bu2 + cu + d = 0 cona, b, c, d ∈ R no todos nulos.Si a no es cero, ésta es una ecuación de tercer grado. Pero sabemos que todo polinomio

de tercer grado con coeficientes reales tiene por lo menos una raíz real. Si x0 es unasoluciòn real de nuestra ecuación, la podemos factorizar de la forma(u− x0)(a

0u2 + b0u+ c0) = 0Así u debe satisfacer la ecuación de segundo grado. Si a fuera cero, nuestra ecuación

será de entrada de segundo grado (no puede ser de primer grado, porque u no está enR). En cualquier caso podemos resolver la cuadrátrica de la manera usual:Simplificando a0u2 + b0u + c0 = 0 en u2 + Bu + C = 0 y completando cuadrados

tenemos:¡u+ B

2

¢2= B2

4− C = B2−4C

4

Afirmamos que B2−4C4

debe ser negativo, porque si es mayor o igual que cero, ten-dríamos dos soluciones reales u1, u2, posiblemente iguales y habría entonces tres solucionesde una ecuación cuadrática: las dos anteriores y u, y esto no puede pasar en un campo.Si B2−4C

4< 0 entonces existe un número cuyo cuadrado es un real negativo:¡

u+ B2

¢2= −r2 ⇒

³u+B

2

r

´2= −1

Esto quiere decir dos cosas: la primera que nuestro campo contiene a i, por tanto,contiene una copia de C; la segunda, que u está contenido en esta copia de C . Pero estoimplica que todos los elementos de R3 están contenidos en un plano, lo cual es absurdo.

26

En realidad no es posible extender a más dimensiones finitas el campo de los númeroscomplejos.Decir que no hay extensión significa afirmar que el campo es algebráicamente cerrado,

y así, C es algebraicamente cerrado (Todo polinomio complejo no constante tiene unaraíz compleja).

1.3.2. Los cuaternios

Sea Q el conjunto de todos los símbolos α0+α1i+α2j+α3k donde todos los númerosα0, α1, α2, α3 ∈ R.Convenimos en que dos de tales símbolos :x = α0 + α1i+ α2j + α3ky = β0 + β1i+ β2j + β3kson iguales si y sólo si αt = βt para t = 0, 1, 2, 3Se define la suma y el producto de la siguiente manera: x, y ∈ Qa) x+ y = (α0 + β0) + (α1 + β1) i+ (α2 + β2) j + (α3 + β3) kDefinimos la tabla de multiplicar:i2 = −1, j2 = −1, k2 = −1Los puntos i,j,k representan los correspondientes cuaternos i, j, k.

27

El producto de dos cuaternios adyacentes es igual al tercero si para ir del primero alsegundo en el figura, por el camino más corto, se hace en el mismo sentido de avancede las agujas del reloj. Conocida la tabla de multiplicar de los cuaternios i, j, k se puedeefectuar el producto de dos cuaternios arbitrarios:b) xy = (α0β0 − α1β1 − α2β2 − α3β3) + (α0β1 + α1β0 + α2β3 − α3β2) i++ (α0β2 − α1β3 + α2β0 + α3β1) j + (α0β3 + α1β2 − α2β1 + α3β0) kEs importante señalar que la multiplicación no es conmutativa.Tenemos el elemento cero0 = 0 + 0i+ 0j + 0ky el elemento unidad1 = 1 + 0i+ 0j + 0kLa parte real del cuaternio x = α0 + α1i + α2j + α3k, es α0 y la parte vectorial es

α1i+ α2j + α3k.x = α0 − α1i− α2j − α3k es el conjugado de x.x+ x = 2α0 ∈ Rxx = α20 + α21 + α22 + α23 a esta suma de cuadrados se le llama norma del cuaternio.Puesto que el cuadrado de todo número real es no negativo, la norma de todo cuaternio

es también no negativa y es igual a cero sólo para el cuaterno nulo.También podemos conocer el inverso multiplicativo de xPara todo x ∈ Q distinto de cero existe su inverso dado porx−1 = x

α20+α21+α

22+α

23

Interpretación geométrica del producto de cuaternios puros:q = x1i+ x2j + x3kp = y1i+ y2j + y3kqp = −x1y1 − x2y2 − x3y3 + (x2y3 − x3y2) i+ (x3y1 − x1y3) j + (x1y2 − x2y1) ksi representamos a q, p como vectores en R3q = (x1, x2, x3)p = (y1, y2, y3).El producto escalar q · p = x1y1 + x2y2 + x3y3 = −( −x1y1 − x2y2 − x3y3)y el producto vectorial q × p =¯x2 y2x3 y3

¯i+

¯x1 y1x3 y3

¯j+

¯x1 y1x2 y2

¯k = (x2y3 − x3y2) i+(x3y1 − x1y3) j+(x1y2 − x2y1) k

Así tenemos una interpretación geométrica para cuaternios puros que nos permiteusar resultados del producto escalar y producto vectorial.

2qp = ”− (q · p) + q × p”

Ejemplo 1.4 ¿Cuántas raíces tiene la siguiente ecuación ?

x2 + 1 = 0

28

se pueden encontrar rápidamente 6 raíces ±i, ±j, ±k¿Serán todas las soluciones?Observemos que si x = α1i+ α2j + α3k tiene norma 1,x2 = −α21 − α22 − α23 = − |x|

2 = −1

Toda la esfera unitaria sería solución, es decir, ¡tenemos una infinidad de soluciónes!

Otra álgebra donde hay inverso multiplicativo es la de los números de Cayley, peroya no hay más. De aquí la importancia del estudio del campo C.

1.3.3. Factorización de polinomios reales

Los números complejos son muy útiles, muchos problemas en R vistos en C adquierenmejor panorama y se simplifica su solución. Un ejemplo de esto es la factorización depolinomios. En la búsqueda de resolver integrales de funciones racionales, los matemáticosnuevamente se enfrentaban con los números complejos (ver parte uno de este capítulo).La conclusión que más tarde expresaría un matemático francés, refleja muy bien estefenómeno al decir, "El camino más corto entre dos resultados sobre los números realespasa frecuentemente por los complejos".6

Para ver este ejemplo, consideremos un teorema muy importante, del que, a lo largode este curso veremos varias demostraciones:

Teorema Fundamental del Algebra (TFA): Todo polinomio complejo no con-stante tiene al menos una raíz compleja.Como consecuencia del TFA, tenemos que todo polinomio complejo de grado n, tiene

n y sólo n, raíces complejas z1, ...zn las cuales, sin embargo, no deben ser distintas todas.

6Jacques-Salomon Hadamard(1865-1963).Matemático francés.

29

Además lo podemos representar como producto de n factores lineales P (z) = an(z −z1)(z − z2)...(z − zn).

Ejemplo 1.5 z5 − 3z4 + 7z3 − 13z2 + 12z − 4 = (z − 1)3(z2 + 4) = 0tiene cinco raíces de los cuales, sin embargo, solamente tres son diferentes:z1 = z2 = z3 = 1, z4 = 2i y z5 = −2i

Ahora, si todos los coeficientes del polinomio P (z) = anzn + an−1z

n−1 + ... + a0 sonreales y α ∈ C es raíz entonces α ∈ C también es raíz, esto se desprende de las reglas deoperaciones con números complejos:

P (α) = anαn + an−1α

n−1 + ...+ a0 = 00 = 0 = P (α) = anα

n + an−1αn−1 + ...+ a0 = anα

n + an−1αn−1 + ...+ a0 = P (α).

Teorema 1.1 Todo polinomio con coeficientes reales se puede factorizar como productode polinomios de grado uno o dos con coeficientes reales.

Demostración P (z) = anzn + an−1z

n−1 + ...+ a0Por el TFA:P (z) = an(z − z1)...(z − zn).Supongamos que z1...zk son las raíces reales.Si i > k, como zi es raíz entonces también ziy (z − zi) (z − zi) = z2 − (zi + zi) z + (zizi) = z2 − z2Re zi + |zi|2donde 2Re zi, |zi|2 ∈ Rpor tanto z2− z2Re zi+ |zi|2 es un polinomio de grado 2 en z con coeficientes reales.P (z) = an(z − z1)...(z − zk)

vQi

(z2 − z2Re zi + |zi|2), donde v = n−k2

obteniendo así k factores lineales y n−k2factores cuadráticos.X

Ejercicio 1.1 Factorizar x4 + a4

1.4. Teorema Fundamental del Algebra

1.4.1. Prefiguración de algunas ideas sobre las transformacionescomplejas

La posibilidad de visualizar geométricamente a los números complejos en el plano,nos permitirá comprender más a las funciones complejas y usar todo lo que ya sabemospara R2 (conjuntos abiertos, cerrados, compactos, conexos, sucesiones convergentes, etc.)Una función compleja de variable compleja estará definida en un subconjunto abierto

contenido en C y la imagen estará en C.

30

Nuestro problema será ver qué sucede con puntos, líneas, círculos, etc., en qué setransforman, cuál es su imagen, es decir, queremos saber cómo se transforma el planocomplejo.Es usual denotar al plano donde está el punto z (Dominio) como plano z y al plano

donde está la imagen w = f(z), el plano w.En el capítulo II, ampliaremos el estudio de las transformaciones del plano complejo.

Por el momento veamos sólo algunas de ellas.

Sea f : C → C, a ∈ Cf(z) = a, todo el plano va a un punto.f(z) = z, el plano se queda igualf(z) = z, el plano se refleja con respecto al eje realf(z) = z + a, el plano se traslada, sin girar. El origen va al punto a.Recordemos que el producto de dos números complejos es un número complejo con

módulo igual al producto de los módulos y su argumento es la suma de los argumentosde los factores. Consideremos a 6= 0

f(z) = az, cualquier vector z, gira un ángulo igual al arg a y se agranda (o se achica)el módulo de z un factor |a| . Todo el plano gira y se expande (o contrae).

f(z) = zn :w = 0 si z = 0si z 6= 0, escribimos a z en forma polar z = r(cos θ + isenθ) y el punto imagen nos

queda w = rn(cosnθ + isennθ). El módulo del vector z se eleva a la potencia n y suargumento se multiplica por n.Si r > 0, un círculo de radio r (|z| = r) en el plano z se transforma en otro círculo de

radio rn (|w| = rn).Si el módulo de z va creciendo entonces al elevarlo a la potencia n el módulo del

vector w, también irá creciendo.Por ejemplo para n = 2 :

20-2

2

0

-2

x

y

x

y

420-2-4

4

2

0

-2

-4

x

y

x

y

31

1.4.2. Demostración elemental del Teorema Fundamental delAlgebra

Combinando estas funciones obtenemos otras que son muy importantes y que estudi-aremos durante el curso, los polinomios.

p(z) = anzn + an−1z

n−1 + ...+ a0, an 6= 0 (Polinomio complejo de grado n)

La siguiente demostración elemental se basa únicamente en las propiedades que cono-cemos de los números complejos y de los polinomios:

Teorema 1.2 (Teorema Fundamental del Algebra)Todo polinomio complejo no constante tiene al menos una raíz compleja.

Demostración Consideremos un polinomio

p(z) = anzn + an−1z

n−1 + ...+ a0, an 6= 0Supongamos que para todo z ∈ C, p(z) 6= 0⇒ |p(z)| 6= 0 por tanto |p(z)| > 0 ∀z ∈ CEmpezaremos por un lemaLema:Si p(z) es un polinomio no constante, entonces cuando |z|→∞, |p(z)|→∞.Demostración del lema:Si escribimos p(z) como un producto, |p(z)| = |z|n

¯an +

an−1z+ ...+ a0

zn

¯, vemos que el

primer factor tiende a∞, mientras que el segundo tiende a la constante |an| 6= 0. Luego,el producto tiende a ∞.(Dejamos al lector como ejercicio dar una versión más precisa de la demostración de

este lema: dado M > 0, encontrar R > 0 tal que |z| > R entonces |p(z)| > M).XRegresando a la demostración del TFA:Si no existe un z con p(z) = 0, tratemos de ubicar un punto donde |p(z)| sea lo

menor posible. Si tomamos r = infz∈C|p(z)| vamos a ver que existe algún z ∈ C tal que

|p(z)| = r, es decir, que el ínfimo se alcanza: de la definición de ínfimo tenemos que existeuna sucesión {zi} tal que |p(zi)|→ r.

32

Si la sucesión zi convergiera a un punto z0 tendríamos que |p(z0)| = lımi→∞

|p(zi)| = r.

Lo mismo sucedería si alguna subsucesión de {zi} convergiera a z0.¿Podría pasar, sinembargo, que ninguna subsucesión de {zi} fuera convergente?Esto sólo podría pasar si en toda bola con centro en el origen hubiera sólo un número

finito de puntos de la sucesión (por el Teorema de Bolzano-Weierstrass, ver apéndice A).Pero esto querría decir que zi → ∞, lo cual es imposible ya que, por el lema, ten-

dríamos |p(zi)|→∞ en contradicción con el hecho de que |p(zi)|→ r.Luego, tiene que existir alguna subsucesión convergente

©zijª, zij → z0, y |p(z0)| =

lımj→∞

¯p(zij)

¯= r

p(z0) sería el punto más cercano al origen de los que están en la imagen de p.(Naturalmente,podría haber más de un punto a la distancia r del origen en la imagen de z0).Por nuestra hipótesis, r > 0.

33

Veamos ahora qué sucede si consideramos lo puntos z en un pequeño círculo concentro z0 :¿Cómo se moverán los puntos p(z) correspondientes?Pongamos z = z0 + h, p(z) = an(z0 + h)n + ...+ a0Desarrollando las potencias de los binomios y agrupando obtenemosp(z) = bnh

n + ...+ b1h+ b0Cuando h = 0, z = z0 y tenemos p(z0) = b0. Y podemos escribirp(z) = p(z0) + h(bnh

n−1 + ...+ b1) = p(z0) + h ·βarg( p(z)− p(z0)) = arg h+ arg βSuponiendo que b1 6= 0, al recorrer h un círculo de radio pequeño, arg h recorre todos

los valores de 0 a 2π.Mientras tanto, arg(β) se mantiene casi constante, cercano a arg(b1).Esto significa que p(z) − p(z0) va a apuntar en todas direcciones, y en particular habráun valor de h tal que p(z)− p(z0) apunte hacia adentro del círculo de radio r.

Pero esto significa que |p(z)| < |p(z0)| = r, contradiciendo el hecho de que p(z0) erael punto más cercano al origen de los de la imagen de p. La única posibilidad de evitaresta contradicción es que r sea igual a 0, es decir p(z0) = 0.Si b1 = 0 sólo hay que variar un poco el argumento.Supongamos que b1 = ... = bk−1 = 0 y que bk 6= 0. Entoncesp(z)− p(z0) = hk(bnh

n−k + ...+ bk) = hk · β,arg(p(z)− p(z0)) = k arg h+ arg β.Al recorrer arg h los valores de 0 a 2π, k arg h toma k veces todos los valores de 0 a

2π, mientras que arg β varía sólo un poco alrededor de arg bk. Nuevamente esto implicaque, para algún valor de h, p(z) apunta hacia adentro del círculo de radio r, y por tanto,que |p(z)| < r, llegando nuevamente a la misma contradicción.

Ejercicio 1.2 Concretar el argumento anterior para el caso de un polinomio de grado 3.

La demostración anterior se puede precisar con todo el rigor que el lector exija. Verapéndice B.

34

Capítulo 2

Transformaciones del PlanoComplejo

2.1. El Grupo Afín

2.1.1. Traslación. Rotación. Homotecia.

Sin duda la mejor opción para comprender las funciones complejas es verlas comotransformaciones del plano en el plano.Al plano más el “punto al ∞”, se le llama plano extendido y se denota por bC =

C∪ {∞} .Y al plano menos el origen se denota así C∗ = C\ {0} .Trabajaremos con funciones de C en C y también de bC en bC.Traslación

Sea b ∈ C fijaf(z) = z + bEs una transformación que a cada complejo z le asocia z+ b, por lo que tenemos una

función biyectiva que manda el plano complejo en sí mismo, trasladándolo todo un vectorb (el origen va a parar precisamente a b).

Rotación y Homotecia

α ∈ C fijof(z) = αzSi α = 0, todo el plano se va al origen.Si α 6= 0 :dado cualquier vector z, la función lo gira un ángulo igual al argα. Estamos rotando

todo el plano, luego tendríamos que multiplicar el módulo de z por el módulo de α, esdecir, se expande (o contrae) el módulo de z un factor |α|. A este movimiento de "zoom"sele llama homotecia.

35

Si |α| = 1, simplemente tenemos una rotación de un ángulo argα, por ejemplo :si α = i se gira todo el plano π

2

si α = 1 el plano queda igualsi α = −1 el plano se gira πsi α = −i el plano se gira 3

2π

Con la interpretación geométrica de las operaciones, se contribuyó mucho a despren-derse de ideas confusas sobre los números complejos y ya no digamos de todo lo "miste-rioso" que rodeaba al número i. Tenemos que es un punto bien representado en el plano(0, 1) y podríamos todavía pensarlo mejor como una transformación del plano en el plano(multiplicar por i es girar todo C un ángulo de π

2).

Recordemos ahora algunas definiciones y un teorema.

Definición 2.1 T : R2 → R2 es lineal:i) si T (u+ v) = T (u) + T (v) aditividadii) si T (λu) = λT (u) λ ∈ R homogeneidad ("saca escalares")

Definición 2.2 (Grupo de Transformaciones)Si T, S ∈ G, T ◦ S ∈ GSi T ∈ G, T−1 ∈ Gentonces G es un grupo .

Teorema 2.1 l: R2 → R2 es lineal ⇔ ∃ una matriz A de 2x2 tal que l(x) = Ax∀x ∈ R2.A =

¡l(e1), l(e2)

¢=

µl1(e1) l1(e2)l2(e1) l2(e2)

¶.

Consideremos nuevamente α ∈ CTα : C→ CTα(z) = αzPero, ¿Qué tipo de transformaciones tenemos?¿Qué propiedades geométricas tienen?Encontremos la matriz asociada a nuestra transformación:α = r cos θ + irsenθz = x+ iyTr,θ : R2 → R2

Mα =

µr cos θ −rsenθrsenθ r cos θ

¶= r

µcos θ −senθsenθ cos θ

¶Esta transformación lineal es una homotecia seguida de una rotación. Claramente si

r = 1, tenemos una rotación de ángulo θ = arg(α)¿Qué más podemos decir ?El cero va a dar al cero.Para el caso r = 1 se conservan las distancias (isometría del plano) y si r 6= 1 se

modifican, pero todas se modifican en la misma proporción.Se conservan los ángulos (ángulo orientado positivamente):

36

^(z, w) = ^(Tr,θ(z), Tr,θ(w)).Esta propiedad es muy importante. Porque cualquier transformación en el plano que

preserve los ángulos (transformaciones conformes) su matriz respecto a la base usualtiene que ser de esa forma. Las figuras geométricas en el plano (triángulos, círculos,etc)se transforman en otras semejantes.

x

y

x

y

C -linealidadObservemos que f(z) = αz, α ∈ C∗ cumple :i) f(z1 + z2) = f(z1) + f(z2) yii) f(λz) = λf(z) con λ ∈ C, f “saca escalares complejos”(i) y (ii) quiere decir que f es C -lineal.Las funciones C -lineales son también R- lineales, preservan ángulos (conformes) y

son invertibles.Así las cosas, la composición de estas funciones (C -lineales) es conforme y la inversa

de f también, por tanto forman un grupo. Esto es importante pues más adelante veremoscomo esto nos ayudará a ahorrarnos muchos cálculos.Resumiendo lo visto anteriormente tenemos el siguiente teorema:

Teorema 2.2 Sea T : R2 → R2 lineal (R- lineal) distinta de la transformación ceroentonces las siguientas afirmaciones son equivalentes:i) T es C -lineal.ii) T es multiplicar por α ∈ C∗.iii) La matriz de T respecto a la base usual es de la formaµ

a −bb a

¶.

iv) T es una composición de una rotación y una homotecia.v) T preserva ángulos (orientados).

Demostración La equivalencia (ii)⇔(iii)⇔(iv) ya está clara de la discusión anterior,así como (ii)⇒(i) y (iv)⇒(v).

37

(i)⇒(ii):Si T es C-lineal entonces T (z) = T (1)z = αz, donde α = T (1) ∈ C∗.(v)⇒(i):Sean e1 y e2 la base usual de R2. Como T preserva ángulos entonces T (e1)⊥ T (e2).

Además T ( e1 + e2) y T ( e1) forman un ángulo de 45◦, por tanto |T (e2)| = |T (e1)| .

Si T ( e1) = (a, b) entonces T (e2) = (−b, a) y la matriz tiene la siguiente forma:µa −bb a

¶Por tanto T es C-lineal.

Observemos que la conjugación compleja no cumple ninguna de estas propiedades:

invierte ángulos, su matrizµ1 00 −1

¶no es de la forma adecuada y no es C−lineal .

También podemos tener transformaciones lineales (R-lineales) que no preservan los ángu-

los, es decir, que no son conformes. Por ejemplo la que tiene como su matrizµ2 00 1

¶.

2.1.2. El Grupo Afín

Ahora si combinamos traslación y rotación con homotecia obtenemos las funcionesmás generales de la forma

f(z) = αz + β

α ∈ C∗, β ∈ C

38

las que son funciones conformes y también forman un grupo, un grupo más grande(el grupo afín).Si agregamos el infinito entonces f(∞) =∞, de aquí el nombre de afín (al infinito).

También observamos que son polinomios de grado uno.Aquí el cero no va a dar al cero. No se preservan las distancias. Sin embargo se

modifican guardando una proporción, o sea, |f(z1)− f(z2)| = |α| |z1 − z2| .Nos preguntamos:¿Qué libertad tenemos para mandar un punto en otro, con una transformación afín?Podemos ver que con una traslación T (z) = z + (z01 − z1) , el punto z1 va al z01.

x

y

x

y

Es decir, dados z1, z01, siempre existe una traslación T tal que T (z1) = z01.Si damos ahora parejas de puntos (z1, z2) y (z01, z

02) , ¿existirá una traslación T tal

que T (z1) = z01 y T (z2) = z02 ? Claramente no siempre será posible, porque al pedirla primera condición, T (z1) = z01, la traslación queda totalmente determinada y ya notenemos libertad para hacer que cumpla la segunda. Podemos solamente intentar ver siesta traslación también manda z2 en z02. Si lo hace, bien; si no, el problema no tienesolución.Podemos precisar la condición que nos garantice resolver el problema: la única traslación

T que manda z1 en z01 es T (z) = z+ (z01− z1). Que ésta mande z2 en z02 quiere decir que:z02 = T (z2) = z2 + z01 − z1,

lo que equivale a z02 − z2 = z01 − z1.Geométricamente esto es obvio: para que una traslación lleve z1 en z01 y z2 en z02 es

necesario (y suficiente) que los vectores de z1 a z2 y de z01 a z02 sean iguales:

39

x

y

x

y

Si queremos mandar dos puntos en otros dos puntos dados necesitamos un grupo detransformaciones mayor que el de las traslaciones. Veremos que siempre lo podemos hacermediante transformaciones afines:Queremos mandar una pareja de puntos distintos en otra. ¿ Qué libertad tenemos

para hacerlo?{z1,z2}→ {z01, z02}Podríamos primero trasladar todo el plano al origen (mandando el punto z1 al 0) ,

luego giramos y expandemos (o contraemos) y luego nos regresamos al punto z01.

SeanT (z) = z − z1,

S(z) = αz con α =z02− z01z2− z1

,

R(z) = z + z01.

Componiendo ϕ(z) = R(S(T (z))) = (α(z − z1)) + z01 =z02− z01z2− z1

z +z01z2− z1z02

z2−z1 = αz + βTambién podemos encontrar α y β resolviendo el siguiente sistema:ϕ(z1) = αz1 + β = z01ϕ(z2) = αz2 + β = z02α(z2 − z1) = z02 − z01α =

z02− z01z2− z1

β = z01 − αz1 =z01z2− z1z02

z2−z1

40

Pero otra manera más elegante de verlo, que incluso muestra la unicidad de la trans-formación es primero mandar {z1,z2} en {0, 1} y {z01, z02} en {0, 1} , mediante las trans-formaciones T1(z) = z− z1

z2− z1y T2(z) =

z− z01z02− z01

:

Entonces T = T−12 ◦ T1 manda la pareja {z1, z2} en {z01, z02}.Si se tiene una transformación S(z) = αz + β que manda {0, 1} en {0, 1} ésta tiene

que ser la identidad, pues si S(0) = α0 + β = 0 ⇒ β = 0, entonces S(z) = αz peroS(1) = α1 = 1⇒ α = 1, por tanto S(z) = z.De aquí concluimos que T (z) es única en general, porque si hubiera dos transforma-

ciones diferentes, componiéndolas con T−11 y T2 habría dos diferentes que mandan {0, 1}en {0, 1} .Conclusión 2.1 Existe una única transformación afín que manda una pareja de puntosdistintos en otra.

¿Cuándo podremos mandar una terna de puntos distintos en otra?Ya tenemos la transformación que manda una pareja en otra:T manda {z2, z3} en {z02, z03} .

tenemos que z∗1 = T (z1), éste número tiene que ser igual a z01, si fueran iguales ya notendríamos que pedir nada, pero resulta que no siempre ocurre, por lo que se necesitapedir que sean iguales;Por tanto tenemos:

Teorema 2.3 Existe una transformación afín, que manda z1, z2, z3 en z01, z02, z

03 si y sólo

si

z1 − z2z3 − z2

=z01 − z02z03 − z02

41

Veamos cuál es la geometría del asunto:Esta razón, z1 − z2

z3 − z2, es un número complejo que caracteriza al triángulo, el que nos va

a dar información de la proporción de sus lados y el ángulo entre ellos:

arg³z1−z2z3−z2

´= arg(z1 − z2)− arg(z3 − z2) que es el ángulo señalado por la flecha¯

z1− z2z3− z2

¯= |z1 − z2|

|z3 − z2| es la razón entre los lados adyacentes.Entonces esta relación

z1 − z2z3 − z2

=z01 − z02z03 − z02

,

quiere decir que los triángulos formados por las ternas son semejantes, a su vez estoquiere decir que la transformación afín preserva la razón.Toda la geometría de semejanza se puede escribir en términos de complejos (geometría

afín)(Ver apéndice C)¿Cuándo tres puntos están alineados?

cuando el arg³z1−z2z3−z2

´= π ó 0

y esto ocurre cuando z1−z2z3−z2 es un número real,

Así toda transformación afín manda puntos alineados en puntos alineados.¿Cuándo un triángulo es triángulo rectángulo?cuando z1−z2

z3−z2 = ir con r ∈ R

42

x

y

x

y

Otro ejemplo sería la ecuación de una recta,z − z2z3 − z2

∈ R ⇔ z − z2z3 − z2

= z − z2z3 − z2

o la ecuación de un círculo,¯z − z2z3 − z2

¯= 1, es decir, |z − z2| = |z3 − z2| .

2.2. Transformaciones de Möbius

2.2.1. Inversión

f : C→ C,f(z) = 1

z,

Tenemos que 0 va al ∞ y ∞ va al 0.A cada número complejo 6= 0 le corresponde su inverso:f(z) = 1

z= z−1 = z

|z|2

Esta transformación manda todo lo que está dentro del círculo unitario (|z| < 1) atodo lo que está fuera de él (|f(z)| > 1) y viceversa.Consideremos la circunferencia unitaria:En geometría moderna se define la inversión como sigue: si dos puntos p y p

0colineales

con el centro de la circunferencia de radio 1, cumplen con que el producto de sus distanciasal centro es igual uno, entonces p y p

0son puntos inversos. (d(0, p)d(0, p

0) = 1). Se

demuestra que la inversión tiene muchas propiedades muy interesantes, como por ejemplo,la preservación de los ángulos en magnitud, pero invierte su orientación.

43

x

y

x

y

Entonces la inversión de la geometría moderna se puede escribir en notación complejacomo z → (1/z). La inversión compleja sería la inversión usual seguida de la conjugación.Observemos cómo el reflejar con respecto al eje real, nos recupera la orientación originalde los ángulos.Las transformaciones que hemos visto (afines) mandan rectas en rectas y círculos en

círculos, a diferencia de f(z) = 1z, con la cual un círculo o una recta va a dar a un círculo

o una recta, es decir, no siempre círculos van a dar a círculos. Veámoslo:círculo:|z − z0| = r,(z − z0) (z − z0) = r2,zz − zz0 − z0z + z0z0 − r2 = 0.Hacemos b = −z0, c = z0z0 − r2 y obtenemos una ecuación general:

azz + bz + bz + c = 0 a, c ∈ R, b ∈ CAquí están todas las rectas y todos los círculos. (Ver Apéndice C)

Si a 6= 0 y bb− ac > 0 tenemos un círculo con centro − bay radio r =

qbb−aca2

.

Si a = 0 la ecuación representa una recta cualquiera, bz + bz + c = 0.f(z) = 1

z= w,

azz + bz + bz + c = 0,a 1w1w+ b 1

w+ b 1

w+ c = 0,

cww + bw + bw + a = 0,a0ww + b0w + b0w + c0 = 0,donde a0 = c,

b0 = b,c0 = a,

Entonces tenemos que:

44

Un círculo que pasa por el origen (c = 0) va a una recta ∪ {∞} que no pasa por elorigen (a0 = 0).Un círculo que no pasa por el origen va a otro círculo que no pasa por el origen.Una recta que pasa por el origen (a y c = 0), va a una recta que también pasa por el

origen.Una recta que no pasa por el origen (a = 0, c 6= 0), va a un círculo que pasa por el

origen.Ahora si pensamos a una recta como un círculo de radio ∞ entonces estaríamos

hablando sólo de círculos, por tanto con esta modalidad tendríamos que

f(z) =1

zmanda “círculos” en “círculos”

Como transformación 1zno está definida en z = 0, pero no es muy difícil corregir esta

situación: si agregamos a C un punto al ∞ podemos definir f(0) =∞ y f(∞) = 0.Veamos qué significa esto geométricamente.

2.2.2. La esfera de Riemann

S = {(x1, x2, x3) : x21 + x22 + x23 = 1}π : S − {(0, 0, 1)}→ CA casi todo punto de la esfera le asociamos un punto en el plano:(x1, x2,x3)→ z = x1+ ix2

1− x3Podemos agregar el punto al infinito y que sea el punto imagen de (0, 0, 1) y obtener

una extensión de la función π al plano extendido. π : S → bCLa transformación adquiere un sentido geométrico claro, si se identifica z = x1 + ix2

con el punto (x1, x2,0). Entonces π(p) va a ser el punto de intersección de el plano (x1, x2)con la recta en R3 que sale del punto (0, 0, 1) y pasa por el punto p (ver dibujo).

La función π es llamada la proyección estereográfica, con π(0, 0, 1) = ∞. Como setrata de una función biyectiva, podemos hallar su inversa π−1 : bC→ S

π−1(z) =³

2x|z|2+1 ,

2y

|z|2+1 ,|z|2−1|z|2+1

´

45

π es continua y su inversa también lo es, en el sentido de que si z → (0, 0, 1), entoncesπ(z) → ∞ y viceversa, a lo que se le llama un homeomorfismo. Es decir que desde unpunto de vista topológico la esfera y el plano extendido son equivalentes.Esto resulta muy útil, pues es una manera de representar al plano complejo extendido

y visualizar las funciones bC→ bC (polinomios, cociente de polinomios, 1z, transformaciones

afines, etc)Por ejemplo f(z) = z2. Esta función z2 mandará a la esfera dos veces sobre sí misma

y se estira hacia el polo sur y hacia el polo norte: Un círculo paralelo al ecuador cerca de∞ va a otro círculo recorrido dos veces, más cerca de ∞. El círculo unitario (ecuador)va al ecuador recorrido dos veces. Un círculo paralelo al ecuador cerca del cero va a otrocírculo recorrido dos veces, más cerca de cero.

2.2.3. Transformaciones de Möbius

Agregando la inversión a las transformaciones afines tenemos transformaciones debC→ bC de la forma

f(z) =az + b

cz + dcon ad− bc 6= 0

las que se llaman de Möbius en honor del matemático alemán A.F. Möbius (1790-1868). También se les llama transformaciones lineales fraccionarias. Asimismo, se tratade cocientes de polinomios de grado uno, por lo que son a la vez funciones racionales.Cuando ad− bc = 0, el numerador es múltiplo del denominador por una constante y

f(z) es constante, por eso las excluimos.Si c = 0 entonces a 6= 0, esto implica que f(z) = αz + β con α = a

dy β = b

dy

f(∞) =∞, es decir tenemos las transformaciones afines.Si c 6= 0, tenemos que f(−d

c) =∞ y cuando nos movemos hacia el ∞, la transforma-

ción de Möbius tiende al valor ac, es decir f(∞) = lım

z→∞f(z) = a

c.

Lo que tenemos es una transformación de bC en bC biyectiva, por tanto podemos en-contrar su inversa que vaa ser de la misma forma.

46

Ejemplo 2.1 T (z) = iz +1z − 1

T (1) =∞T (∞) = iTodos los círculos que pasan por el 1 van a rectas que no pasan por i.Todas las rectas que pasan por 1 (círculos de radio ∞) van a rectas que pasan por i.Todo lo que pasa por i viene del ∞, por lo que las rectas van a círculos que pasan

por i.Otra manera de pensar esto, es con la proyección estereográfica, las rectas en el plano

van a dar a círculos que pasan por el polo norte y los círculos del plano van a dar acírculos que no pasan por el polo norte, es decir, los círculos van a dar a círculos.

Una transformación de Möbius también la podemos representar mediante una matriz

compleja de dos por dos A =

µa bc d

¶invertible. Y al revés, dada cualquier matriz

que cumpla la condición detA = ad − cb 6= 0, podemos asociarle una transformaciónde Möbius. Esta correspondencia (a pesar de que no es biyectiva, porque una matriz Ay cualquiera de sus múltiples escalares λA definen la misma transformación de Möbius)tiene la ventaja de que permite usar las operaciones con matrices para encontrar com-posiciones e inversas de transformaciones de Möbius.Consideremos dos conjuntos:M1 =

©traslaciones, rotaciones, homotecias, 1

zy todas sus composiciones

ªM =

©f(z) = az+b

cz+da, b, c, d ∈ C, ad− cb 6= 0

ª(conjunto de las transformaciones

de Möbius)

Vamos a demostrar que el conjunto de transformaciones de Möbius forma un grupobajo la composición. (Este se denota por GL(2, bC)/ módulo una homotecia λ).Proposición 2.1 M es un grupo de transformaciones de bCDemostración 1) Si T, T 0 ∈M entonces T ◦ T 0 ∈MT (z) = az+b

cz+dT 0(z) = a0z+b0

c0z+d0

T (T 0(z)) =aa

0z+b0c0z+d0+b

ca0z+b0c0z+d0+d

= (aa0+bc0)z+ab0+bd0

(ca0+dc0)z+cb0+dd0

la forma corresponde a una transformación de Möbius, pero faltaría demostrar que(aa0 + bc0)(cb0 + dd0)− (ca0 + dc0)(ab0 + bd0) 6= 0Esto se puede hacer directamente, pero es mejor hacerlo con matrices:T (T 0(z)) = a00z+b00

c00z+d00 donde a00 = (aa0 + bc0)b00 = (ab0 + bd0)c00 = (ca0 + dc0)d00 = (cb0 + dd0).

Luego, la composición de transformaciones de Möbius se corresponde con el productode matrices:µ

a00 b00

c00 d00

¶=

µa bc d

¶µa0 b0

c0 d0

¶47

Como el determinante de un producto de matrices es el producto de sus determinantes,tenemos que

det

µa00 b00

c00 d00

¶6= 0 y

por tanto T ◦ T 0 ∈M.2) Si T ∈M entonces T−1 ∈M. Es decir que existe la inversa y ésta pertenece aM.Si T (z) = az+b

cz+d, podemos encontrar explícitamente la función inversa T−1(z) = dz−b

−cz+a; esta función es de la forma deseada. También podemos encontrarla calculando la matriz

inversa de A =µ

a bc d

¶, aunque no es necesario incluir el factor constante dado por el

determinante.µa bc d

¶µd −b−c a

¶=

µad− bc 00 ad− bc

¶T (T−1(z)) = (ad−bc) z+ 0

0 z+ (ad−bc) = z

Así, tenemos queM =©T (z) = az+b

cz+d, a, b, c, d ∈ C, con ad− cb 6= 0

ªes un grupo

de transformaciones de bC→ bC.XTeorema 2.4 M1 =M

Demostración i) M1 ⊂ M : como todas las transformaciones afines están en M(αz + β = α z+1 β

0 z+ 1), y la inversión está en M (1

z= 0 z + 1

1 z + 0), también están todas sus

composiciones, porqueM es cerrado bajo composición.Xii)M1 ⊃M : Ahora hay que demostrar que toda transformación de Möbius se puede

obtener como composición de homotecias, rotaciones, traslaciones y la inversión.T (z) = az+b

cz+d

Si c = 0, esto es fácil: T es una transformación afín, T (z) = az+bd= a

dz + b

d, y es

composición de una homotecia, una rotación y una traslación.Veamos que al componer con una inversión (y un poco más) podemos reducir las

cosas al caso c = 0 :Que c 6= 0, significa que T no es afín, es decir que T (∞) 6= ∞ : T (∞) = a

c. Pero

podemos mandar de regreso este punto al infinito mediante una traslación T1(z) = z− ac

(que lo manda al cero), seguida de la inversión S(z) = 1zque manda 0 al ∞.

Luego la composición S ◦ T1 ◦ T = T 0 manda ∞ en ∞, es afín, y por el caso c =0 sabemos que es composición de una homotecia, una rotación, una traslación. LuegoT = T−11 ◦ S−1 ◦ T 0 es también composición de homotecias, rotaciones, traslaciones einversión.X

Ejercicio 2.1 Basándose en la demostración anterior, escribir explícitamente T comocomposición de homotecias, rotaciones, traslaciones e inversión. Comparar el resultadocon lo que aparece en el libro de Ahlfors.

48

2.2.4. Invariancia de círculos, ángulos y razón cruzada.

De lo anterior, podemos ya asegurar que: Toda transformación de Möbius mandacírculos en círculos.¡En efecto, ya sabemos que todas las transformaciones afines y la inversión mandan

círculos en círculos, y que cualquier transformación de Möbius es composición de éstas!XOtra manera de verlo es, como en el caso de la inversión, substituyendo z = T (w) en

la ecuación de un círculo, para ver que se obtiene la ecuación de otro círculo.Veremos otra demostración de esto y de que además se preservan los ángulos entre

los círculos, en base a entender, como lo hicimos antes con las traslaciones y las afines,cuándo podemos mandar un conjunto de puntos en otro mediante una transformación deMöbius.

Teorema 2.5 Dadas {z1, z2,z3}, {z01, z

02, z

03} dos ternas de puntos distintos de bC, existe

una única T ∈M tal que T (z1) = z01, T (z2) = z

02, T (z3) = z

03

(Nota:¡Compara con las transformaciones afines! Ahora tenemos un grupo mayor detransformaciones y podemos hacer más cosas que antes).Demostración Podemos escribir las ecuaciones T (zi) = z0i y encontrar los coeficientes

de T. Pero es más claro ver un caso particular, y reducir el caso general a éste utilizandolas propiedades de grupo.Queremos encontrar una transformación deMöbius que mande {z1, z2, z3} en {0, 1,∞} .Con η(z) = z − z1

z − z3mandamos a z1al 0 y a z3 al ∞,

y para que suceda que z2 va al 1, habría que buscar quién es k en η(z) = k z − z1z − z3

,

1 = k z2 − z1z2 − z3

,

por lo que la transformación buscada es η(z) = z − z1z − z3

z2 − z3z2 − z1

η(z1) = 0, η(z2) = 1, η(z3) =∞.

La transformación que manda la terna {z01, z02, z

03} en {0, 1,∞} es:

η0(z) =z − z01z − z03

z02 − z03z02 − z01

.

Por tanto, por las propiedades de grupo deM, tenemos que T (zi) = (η0)−1◦η(zi) = z0i.Unicidad:Sean T1 y T2 dos transformaciones de Möbius que mandan la terna {z1, z2,z3} en

{z01, z02, z

03}.

Nosotros queremos demostrar que T1 = T2.

49

Si la transformación que manda al {0, 1,∞} es única no hay problema, pues si η0 ◦T1y η0 ◦ T2 : {z1, z2, z3}→ {0, 1,∞} entonces T1 = T2.Tomemos (η)−1 : {0, 1,∞}→ {z1, z2, z3} ,así tenemos que:η0 ◦ T1 ◦ (η)−1 : {0, 1,∞}→ {0, 1,∞} ,η0 ◦ T2 ◦ (η)−1 : {0, 1,∞}→ {0, 1,∞} .Probemos que η0 ◦ T1 ◦ η−1es la identidad.Tenemos que f(z) = az+b

cz+dmanda a {0, 1,∞} en {0, 1,∞} ,

f(0) = bdpor tanto b = 0,

f(∞) = acpor tanto c = 0,

y f(1) = adpor tanto a = d.

Y si ∞ va ∞, es de la forma αz + β; y si el 0 va al 0 entonces β = 0;f(1) = α1 = 1 entonces α = 1.Por tanto η0 ◦ T1 ◦ η−1 = I (Identidad) de aquí se concluye que T1 = T2.XAhora, si tenemos cuatro puntos distintos {z1, z2, z3, z4}y queremos mandarlos a otros

cuatro puntos distintos {z01, z02, z03, z04},¿lo podremos hacer?En general no se puede. De acuerdo con el teorema anterior, podemos mandar tres

puntos distintos en otra terna de puntos, T (zi) = z0i. La imagen del cuarto punto bajola transformación T , T (z4) = z∗4 , no necesariamente es igual al punto que queremos z

04.

Entonces hay que pedir que sean iguales η(z4) y η0(z04) . Es decir, se tiene que cumplirque z4 − z1

z4 − z3

z2 − z3z2 − z1

=z04 − z01z04 − z03

z02 − z03z02 − z01

.

Por tanto tenemos:

Teorema 2.6 Dados {z1, z2, z3, z4} y {z01, z02, z03, z04} existe una única transformación deMöbius que manda zi en z0i, i = 1, .., 4 si y sólo si

z4 − z1z4 − z3

z2 − z3z2 − z1

=z04 − z01z04 − z03

z02 − z03z02 − z01

.

Razón Cruzada (RC)Sea S(z) = z − z2

z − z4

z3 − z4z3 − z2

, esta transformación manda a {z2, z3, z4} en {0, 1,∞} , re-spectivamente.Al valor S(z1) = z1 − z2

z1 − z4z3 − z4z3 − z2

se le llama razón cruzada y se denotaRC(z1, z2, z3,z4),

RC(z1, z2, z3,z4) =z1 − z2z1 − z4z3 − z2z3 − z4

razón de razones,

si alguno de los puntos z2, z3, z4 es igual a ∞, la razón es simple:z3 − z4z − z4

, z − z2z − z4

y z − z2z3 − z2

respectivamente.

Teorema 2.7 Toda transformación de Möbius T preserva la razón cruzada.

Demostración Sea S(z) = z − z2z − z4

z3 − z4z3 − z2

.

Al considerar la transformación S◦T−1, los puntos {T (2), T (z3), T (z4)} van a {0, 1,∞}.Entonces la razón cruzada de (T (z1), T (z2), T (z3), T (z4)) = S(T−1(T (z1)).S(T−1(T (z1) = S(z1) = (z1, z2, z3, z4)por tanto T preserva la razón cruzada.X

50

Si cuatro puntos están en círculo ¿ Cómo podemos expresarlo en función de la razóncruzada?Si mandamos tres en 0, 1,∞ el cuarto punto tiene que estar en el eje real.Si z1, z2, z3, z4 están en un círculo si y sólo si RC(z1, z2, z3, z4) ∈ R.z1 − z2z1 − z4z3 − z2z3 − z4

∈ R esto implica que arg(z1 − z2z1 − z4z3 − z2z3 − z4

) = 0 ó π

⇔ arg(z1 − z2z1 − z4

) + arg(z4 − z3z2 − z3

) = π.En la figura son los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico.Y si están en una recta los cuatro puntos también la razón cruzada es real.

x

y

x

y

Una demostración analítica es la siguiente:RC(z, z2, z3, z4) ∈ R⇔ z − z2

z − z4z3 − z4z3 − z2

= z − z2z − z4

z3 − z4z3 − z2

= z − z2z − z4

z3 − z4z3 − z2

⇔ (z − z2)(z − z4)(z3 − z4)(z3 − z2) = (z − z4)(z − z2)(z3 − z2)(z3 − z4)⇔ (z − z2)(z − z4)w0 = (z − z4)(z − z2)v0v0 = w0⇔ zz(w0 − v0) + z(z2(v0)− z4(w0)) + z(z4(v0)− z2(w0)) + (z2z4(w0)− z4z2(v0)) = 0que es la ecuación general de un círculo (o de una recta).

Por lo que si tomamos tres puntos z1, z2,z3 que definan un círculo, entonces cualquiertransformación de Möbius manda el punto z en otro punto del círculo definido por T (z2),T (z3), T (z4).Por todo lo anterior tenemos el siguiente teorema:

Teorema 2.8 Toda transformación de Möbius manda círculos en círculos.

Cualquier propiedad que se pueda expresar en términos de la razón cruzada resultaser invariante, por ejemplo la preservación de ángulos orientados.Tomemos dos círculos C y C 0 que se corten en dos puntos z1 y z2.

51

Escogemos dos puntos z0 en C y z00 en C 0

Afirmamos que ^ (CC 0) = arg(RC(z00, z1, z0, z2)).Observemos en el dibujo que :1) α = 2β y α0 = 2β0 ⇒ α = 2arg(z2− z0

z1− z0) y α0 = 2arg(z1− z00

z2− z00).

2) θ + σ = π2y θ + σ0 = π

2⇒ π − 2θ = 2σ.

3) Del triángulo formado por 0, 00 y z1 tenemos α2+ α0

2+ θ + 2σ = π,

por tanto θ = arg(z2− z0z1− z0

) + arg(z1− z00z2− z00

), o bien

^(CC 0) = arg(z00 − z1z00− z2

.z0− z2z0− z1

) = arg(RC(z00, z1, z0, z2)).

En el caso de dos rectas :

Si z2 =∞, la razón es simple: RC(z00, z1, z0, z2) =z00 − z1z0 − z1

.

Ejercicio 2.2 Dejamos al lector, demostrar el caso del ángulo entre una recta y uncírculo.

Otra demostración más sencilla consiste en reducir el caso general al caso de dosrectas, mandando un punto de intersección al ∞ (Ver el libro de Ahlfors).

Teorema 2.9 Toda transformación de Möbius preserva ángulos (orientados)

Conclusión 2.2 Las transformaciones de Möbius son un grupo de transformaciones quevan de bC → bC, que preservan razón cruzada, mandan círculos en círculos y preservanángulos orientados.

Para ver la relación con la geometría hiperbólica, ver apéndice E.

52

2.2.5. Introducción a las funciones Racionales

Las transformaciones de Möbius son un caso particular de las funciones racionales.Una función racional es un cociente de polinomios, R(z) = P (z)

Q(z)donde P,Q no tienen

raíces comunes.Los ceros de Q(z) son los polos de R. En estos puntos, definimos R como ∞.Los ceros de P (z) son los ceros de R.El grado de R se define como el max{grado(P ), grado (Q)}. Más adelante veremos

que el grado tiene que ver con el número de preimágenes de un punto w, es decir cuántospuntos z van a dar al valor w. Por ejemplo, si tenemos z3 y 1

z3, son funciones racionales

de grado 3. Todo punto w ∈ bC tiene tres preimágenes en bC. De esta manera el gradotiene que involucrar tanto al denominador como al numerador.¿A dónde va el ∞?Tenemos un cociente de funciones tales que tienden a infinito cuando z → ∞, aquí

lo importante es ver que tan rápido se van, quién es el que domina y los grados nosproporcionarán información:SeanP (z) = anz

n + ...+ a0Q(z) = bmz

m + ...+ b0Si n > m, P tiende a ∞ más rápido que Q y R tiende a ∞. Si n < m, es al revés, y

R tiende a 0. Para precisar estos argumentos podemos escribir

R(z) = zn−man + ...+ a0z

−n

bm + ...+ b0z−m

El cociente tiende a anbmcuando z tiende a ∞.

Luego R(z)→∞ si n > m, R(z)→ 0 si n < m y R(z)→ anbmsi n = m. Así podemos

definir R(∞) como sigue:si n > m entonces R(∞) =∞si n < m entonces R(∞) = 0si n = m entonces R(∞) = an

bm6= 0,∞

Por tanto tenemos que son funciones de bC→ bC bien definidas y ¡CONTINUAS!2.3. Análisis geométrico

2.3.1. z2 como transformación del plano. Duplicación y preser-

vación de ángulos

f(z) = z2. El cero va a dar al cero. El círculo unitario va a dar al círculo unitariorecorrido dos veces.Cuando hemos recorrido apenas π en el plano z, en el plano w ya recorrimos todo el

círculo.

53

z1 = cos θ + isenθ y −z1 = cos (θ + π) + isen(θ + π) van a dar al mismo punto (aquíla función no es inyectiva).Un círculo de radio r < 1 va en otro círculo de radio r2 < r y recorrido dos veces.Un círculo de radio r > 1 va en otro círculo de radio r2 > r y recorrido dos veces.Ahora consideremos la función f(z) = z2 + c, o bien f(z) = az2 + c, c ∈ C.La primera podría pensarse como z2 y luego una traslación de valor c; y la segunda

como z2, luego una rotación y homotecia y al final trasladamos un valor c.Recordemos cómo le hacíamos en el caso real, ¿cómo entendíamos un polinomio de

grado dos?p(x) = ax2 + bx+ c¿Cómo sabíamos que es una parábola?Completando cuadrados:

ax2 + bx+ c = ax2 + bx+ b2

4a+ c− b2

4a=³√

ax+ b2√a

´2+ c− b2

4a.

Si a > 0, − b2aes la abcisa del punto en donde se dobla la recta. Haciendo el cambio

de variable x0 =√ax+ b

2√aobtenemos la expresión de una parábola x02 + b0, doblada en

otro punto y subida o bajada un valor b0.

Ejemplo 2.2 P (x) = x2 + 2x = (x+ 1)2 + 1

2.51.250-1.25-2.5-3.75

5

3.75

2.5

1.25

0

-1.25 x

y

x

y

54

Ahora si hacemos lo mismo para el caso en C :p(z) = z2 + bz + c = z2 + bz + b2

4+ c− b2

4=¡z + b

2

¢2+ c− b2

4.

Vemos que aquí también tenemos un punto especial, cuando teníamos z2, el cero tienesólo una preimagen (los puntos en el plano-z que van a dar a un punto w) y todos losdemás tienen dos preimágenes diferentes. Aquí el punto especial es z = − b

2y los puntos

simétricos con respecto al punto especial que van a dar al mismo valor son: − b2+u,− b

2−u

Lo mismo que ocurre con z2 en torno al origen, aquí ocurre en torno al punto − b2.

Con un cambio de variable z0 = z + b2,

z02 + ”algo” = hacer z2 y luego trasladar un valorComo composición tendríamos:

Un círculo con centro en − b2va a dar a un círculo con centro en el origen y luego va a

dar a otro círculo con centro en el origen pero recorrido dos veces y luego lo trasladamosun valor c− b2

4(el origen va a dar al punto c− b2

4).

Se ve mejor si no dibujamos los ejes. Tengo un punto y los círculos alrededor de élvan a dar a otros alrededor del otro punto:

Así en general (z − z0)2 + c, cada círculo alrededor de z0, lo manda a otro círculo

alrededor del punto α recorrido dos veces.Si multiplicamos la función por un valor γ 6= 0, g(z) = γ((z − z0)

2 + c), todo lo que

55

teníamos lo giramos y lo expandemos (o contraemos). En resumen, si entendemos cómoes la transformación z2 podemos saber cómo es la de cualquier otro polinomio de segundogrado.Volviendo a z2, la imagen bajo z2 de un círculo con centro en el origen (no consider-

emos el radio), es otro círculo recorrido dos veces, pero dibujado en el plano-w lo vemoscomo un solo círculo, no se distingue la segunda vuelta.¿Qué pasaría si metemos una pequeña variación? ¿Qué pasa si tomamos un círculo

cuyo centro está ligeramente desplazado del origen?

Siguiendo los puntos de este círculo observamos lo siguiente:Si consideramos la parte del círculo que está en el primer cuadrante, el argumento

del punto z varía de 0 a π2y la elevamos al cuadrado, el argumento del punto z2 varía

de 0 a π quedándonos una curva como un pedazo de círculo; y al recorrer la parte II,la curva imagen da una vuelta alrededor del origen, por tanto si vamos recorriendo lasdemás partes de los cuadrantes (III, IV), obtenemos que la curva imagen es una curvacerrada que da dos vueltas alrededor del 0 y tiene una forma como de un “arete”.Vemos así que z2 no manda en general círculos en círculos.

Ejercicio 2.3 Ver qué pasa cuando vamos alejando el centro del círculo del origen.

Y finalmente las rectas que pasan por el origen van a dar a rayos con el doble deángulo de la recta original.

56

Podemos concluir que una malla de este tipo:

bajo z2 sería otra malla del mismo tipo, la diferencia es que los círculos están recorridosdos veces (expandidos o contraídos) y las rectas que pasan por el origen son realmenterayos que salen del cero.Los ejes (real e imaginario) se doblan como sigue:El eje real va al eje real positivo.El eje imaginario va al eje real negativo.La imagen inversa de un círculo (con centro en el origen) y una recta que pase por el

origen, es un círculo y dos rectas respectivamente.

Ahora veamos la imagen de una malla así:

z

57

Tenemos que en coordenadas x, y la transformación se escribe:

(x, y)→ (x2 − y2, 2xy)

Tomemos un punto (a, b). La imagen de la recta horizontal (t, b) que pasa por estepunto queda parametrizada por γ1(t) = (t

2 − b2, 2tb).Es fácil ver que la imagen es una parábola: si u = t2 − b2 y v = 2tb, eliminando t

obtenemos la ecuación u = v2/4b2 − b2.La imagen de la recta vertical (a, t) también es una parábola, parametrizada por

γ2(t) = (a2 − t2, 2at).

Y la imagen son parábolas cruzadas:

z2

¿Cómo se cruzan estas parábolas?El ángulo entre ellas será el ángulo entre sus vectores tangentes en el punto f(a, b).Calculando:γ01(t) = (2t, 2b)γ02(t) = (−2t, 2a)γ01(a) = (2a, 2b), γ

02(b) = (−2b, 2a)

por tanto las curvas imagen se cortan ortogonalmente.

58

Podemos también entender cómo se ve la transformación viendo la imagen inversa dealgunas curvas.¿Qué familia de curvas bajo z2 van a dar a la siguiente malla?

Buscamos la imagen inversa de la malla de rectas horizontales y verticales:Para las rectas verticales:c > 0 :x2 − y2 = c aquí tenemos hipérbolas con asíntotas en las rectas y = ±xc < 0 :y2 − x2 = c obtenemos las hipérbolas conjugadas

59

Para las rectas horizontales:2xy = c tenemos hipérbolas con asíntotas en los ejes coordenados y que son ortogo-

nales a las otras hipérbolas.

por tanto la imagen inversa de la malla queda así:

60

Dos familias de hiperbólas. Para ver el ángulo entre ellas tomemos el ángulo entre susvectores normales. Para las hiperbólas de ecuación 2xy = c, los vectores normales estándados por el gradiente de 2xy que es (2y, 2x). Para las de ecuación x2 − y2 = c el vectornormal es (2x,−2y). Como estos vectores son ortogonales, las hiperbólas son ortogonalesen cada punto de intersección.Si tuviéramos inclinada la malla de rectas ¿Cuál sería su imagen directa bajo z2?Se podría parametrizar las curvas e ir viendo su imagen o bien podemos utilizar lo que

ya hemos hecho. Si la malla está inclinada, con un giro podemos "enderezarla" y elevar alcuadrado obtenemos las parábolas, volvemos a girar las parábolas con otro ángulo paraobtener la imagen de la malla inclinada.Es decir, z → (cos θ + i sin θ)z → (cos 2θ + i sin 2θ)z2 → z2.Giramos un ángulo θ = π

4,

6.2553.752.51.250-1.25-2.5-3.75-5-6.25

6.25

5

3.75

2.5

1.250

-1.25

-2.5

-3.75

-5

-6.25

x

y

x

y

543210-1-2-3-4-5

5

4

3

2

10

-1

-2

-3

-4

-5

x

y

x

y

elevamos al cuadrado y giramos un ángulo−π2= −2θ :

61

2520151050-5-10-15-20-25

50

40

30

20

100

-10

-20

-30

-40

-50

x

y

x

y

50403020100-10-20-30-40-50

25

20

15

10

50

-5

-10

-15

-20

-25

x

y

x

y

Así obtenemos las parábolas inclinadas. Lo que hemos demostrado es que cualquiermalla de rectas(horizontales-verticales) bajo z2 nos la manda a otra malla pero de parábo-las.Algo similar ocurre si tomamos la imagen inversa de una malla de rectas inclinadas,

que será una familia de hipérbolas inclinadas.Si el ángulo de la malla "inclinada"es θ, giramos las hipérbolas un ángulo −θ

2, multi-

plicándolas por un valor β donde arg(β) = −θ2

543210-1-2-3-4-5

5

4

3

2

10

-1

-2

-3

-4

-5

x

y

x

y

luego elevamos al cuadrado para obtener la malla de rectas horizontales-verticales y alfinal multiplicamos por otro valor α, donde arg(α) = θ para obtener la malla inclinada.Lo que escencialmente estamos haciendo es z2 :z → βz → (βz)2 → α (βz)2 por lo que si β =

√α−1,³√

α−1z´2= α−1z2

α (α−1z2) = z2.Ahora si tenemos círculos centrados en (1, 0) y radio r menor que uno, las imágenes

serán curvitas alrededor del 1, que se van a ir pareciendo a un “cacahuate”:

62

Cuando el círculo sea tangente a las rectas de pendiente±1, los argumentos del círculovariarán de π

4a −π

4que al duplicarlos la imagen quedará entre π

2y −π

2y el módulo de

z más pequeño es menor que 1 (6= 0) y el más grande mayor que 1, por lo tanto losmódulos de las imágenes variarán de un valor muy cerca del cero a un valor mayor que1, quedando una curva imagen así:

La imagen de un círculo con centro en (1, 0) y radio 1 bajo z2 , es la cardioide:

63

Es importante observar que cuando pasamos por el cero, la curva imagen no es unacurva lisa, sino que tiene un "pico".La imagen de un círculo con centro en (1, 0) y radio un poco mayor que 1 bajo z2 ,

es una curva que le da ya dos vueltas al cero y es como decíamos de tipo “arete”:

Hay un cambio cualitativo cuando pasamos por el punto z = 0, empezamos en laimagen con curvitas casi círculos, se van deformando continumente, todas dando un solavuelta hasta llegar a dar dos vueltas. Es decir que el punto especial es el cero.

Ahora consideremos una malla de círculos concéntricos de radio k con centro en otropunto distinto del cero, por ejemplo z = 1 :

64

2.51.250-1.25-2.5

2.5

1.25

0

-1.25

-2.5

x

y

x

y

Buscamos la imagen inversa de los círculos con centro en 1, es decir:{z : |z2 − 1| = k} = {z : |z − 1| |z − (−1)| = k}.Buscamos los puntos z cuyo producto de las distancias al 1 y al −1 es constante.La familia de curvas que buscamos son las curvas de nivel de la superficie definida

por f(z) = |z2 − 1| .Si k = 0, es claro que los puntos z = 1 y z = −1 satisafacen |z2 − 1| = 0. O bien los

puntos puntos (1, 0) y (−1, 0).Si k = 1, tenemos la curva Lemniscata:desarrollando |z2 − 1| = 1 encontramos (x2 + y2)

2= 2(x2 − y2), que si lo expresamos

en coordenadas polares tenemos r2 = 2cos 2θ :

10.50-0.5-1

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

Lemniscata

Al elevar al cuadrado la parte de la curva que está en el primer cuadrante, tenemos elsemicírculo y cuando recorremos el segundo cuadrante obtenemos el círculo. Terminamosde recorrer la Lemniscata y obtenemos otra vuelta del círculo.Cuando k es pequeña menor que 1 tenemos dos curvitas (casi círculos) alrededor del

65

1, −1.

1.510.50-0.5-1-1.5

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

x

y

x

y

k < 1

Observemos que el argumento de los puntos z en la curva alrededor del −1, varíanalrededor de π y que al elevarlos al cuadrado su argumento estará variando alrededorde 2π. Cuando el valor de k va tendiendo a 1, las curvitas van teniendo la forma de un"huevo".Si k > 1, tenemos una curva como la siguiente:

1.51.2510.750.50.250-0.25-0.5-0.75-1-1.25-1.5

0.75

0.625

0.5

0.375

0.25

0.1250

-0.125

-0.25

-0.375

-0.5

-0.625

x

y

x

y

Si el valor de k es cada vez más grande, la imagen inversa se va ir pareciendo cadavez más a un círculo.En las siguientes figuras vemos la supercie f(z) = |z2 − 1| y las curvas de nivel:

66

Entonces esta familia de curvas que llenan el plano, se llaman “Curvas de Cassini”1.Al aplicarles z2 nos da la familia de círculos con centro en el uno y radio k (que tambiénllenan el plano).

Curvas de Cassini

Ejercicio 2.4 Encontrar la imagen directa e inversa de las rectas que pasan por z = 1,completando así las dos familias de curvas a una malla ortogonal.

1Introducidas por el astrónomo italiano-frncés Jean-Dominique Cassini (1625-1712)

67

Hemos visto que la transformación z2 preserva ángulos entre muchas curvas que secruzan fuera del origen. ¿Será esto cierto en general?Para demostrarlo recordemos qué pasa con los vectores tangentes bajo una transfor-

mación.Si f : R2 → R2 y tenemos una curva γ(t) en R2. Su imagen es la curva σ(t) = f(γ(t)).

El vector tangente a esta curva es σ0(t) = Df(γ(t)).γ0(t).

donde Df(γ(t)) es la derivada de f en el punto γ(t), es decir, la transformación linealdada por la matriz jacobiana de f = (f1, f2) :Ã

∂f1∂x

∂f1∂y

∂f2∂x

∂f2∂y

!En el caso de z2, f(x, y) = (x2 − y2, 2xy) y la matriz jacobiana esµ

2x −2y2y 2x

¶que, para (x, y) 6= 0, es una matriz que preserva ángulos, como vimos en el capítulo

uno. Luego queda demostrado que z2 preserva siempre ángulos entre curvas.

Ejercicio 2.5 Obsérvese que la matriz jacobiana anterior es la que corresponde al com-plejo 2z.¿Qué relación hay entre esta función y la transformación z2?

2.3.2. Raíz cuadrada. Otras potencias y raíces.

¿Qué es√z?

Recordemos qué teníamos en R :

68

52.50-2.5-5

25

20

15

10

5

0

x

y

x

y

Dado un valor de y existen dos raíces y tenemos que escoger una. Existe una manera deescogerla, que es tomar la positiva.√x = { raız cuadrada no negativa, x ≥ 0

nada, x < 0y esta función es derivable casi en todos los puntos:

107.552.50

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

x

y

x

y

Ahora en C: sabemos que z1,−z1 al elevarlos al cuadrado van a un punto w.¿Bajo qué criterio escogemos una raíz ?Consideremos el −1.Un primer intento es:Definición:Al punto r(cos θ + isenθ) le asociamos r1/2(cos θ

2+ isenθ

2) donde θ ∈ (−π, π]. Con

ésta definición tenemos ya problemas, porque al tomar una sucesión en el semiplanosuperior que converga al −1, la función tiende al valor i, pero al tomar otra sucesión enel semiplano inferior, los valores de la función tienden al valor −i. La función resulta nocontinua en todo el eje real negativo.El problema no está tanto en la definición sino que si tomamos un punto cualquiera w

y lo movemos continuamente, por ejemplo por un círculo alrededor del origen, entoncesen la imagen empezamos en el punto z1 y terminamos en −z1 (el punto opuesto). Lo queestamos haciendo es ir sacando la mitad del ángulo.

Conclusión 2.3 No existe una función f(w) tal que

69

1) Esté bien definida para toda w ∈ C2) Sea continua3) Cumpla f(w)2 = w

Entonces ¿Qué podemos hacer con la función multivaluada?Definir f(w) = la raíz con parte real positiva y escoger un dominio U = C− { eje

real negativo}, esto es una rama continua de√w. También podemos definir otras ramas.

La elección del dominio puede ser cualquier región quitándole “algo” para no darle lavuelta al cero:

Esto también es válido para cualquier función algebraica: (w)1n .

Ejemplo 2.3 f(z) =√z2 − 1 buscamos una región donde se pueda definir.√

z2 − 1 =√z − 1

√z + 1 . ¿Dónde vale cero z2 − 1?

Si tomamos C −{(−∞,−1] ∪ [1,∞)} como dominio, esta bien definida la raíz.O bien C −{[−1, 1]} Por que al tomar un valor y le damos la vuelta a las dos raíces,

cambia el signo de√z − 1

√z + 1 y llegamos al mismo valor.

Más en generalpp(z), buscamos sus raíces y evitamos darles la vuelta.

Podemos tener regiones así:

2.3.3. Polinomios y funciones Racionales

Sea p(z) = azn

Mas adelante veremos que la derivada es el lımh→0

p(z+h)−p(z)h

, para todo z ∈ C.

70

Dado que

p(z + h)− p(z)

h=

a(z + h)n − azn

h= anzn−1 + h(R(h, z)),

donde R(h, z) es continua, y tomando el límite tenemos que:

p0(z) = anzn−1.

La matriz jacobiana que obtuvimos de ver a z2 como función de R2 → R2, tiene quever con la derivada de z2 :∙

2x −2y2y 2x

¸→ (2x+ i2y) = 2(x+ iy) = 2z

Si vemos a z3 como función de R2 → R2,

f(x, y) = (x3 − 3xy2, 3x2y − y3),

la Matriz jacobiana es:∙3x2 − 3y2 −3× 2xy3× 2xy 3x2 − 3y2

¸= 3

∙x2 − y2 −2xy2xy x2 − y2

¸→ 3z2

Esto también es válido para zn. Veamos.Supongamos por inducción que: se vale para zn, es decir:

zn = (An(x, y), Bn(x, y)) ,∙ ∂An

∂x∂An

∂y∂Bn

∂x∂Bn

∂y

¸→ nzn−1 = (zn)0,

queremos ver que se vale para n+ 1 :

zn+1 = znz = (An + iBn) (x+ iy) = (xAn − yBn) + i(Bnx+Any)

sacamos la matriz jacobiana:∙x∂An

∂x+An − y ∂Bn

∂xx∂An

∂y− y ∂Bn

∂y−Bn

y ∂An

∂x+Bn + x∂Bn

∂xy ∂An

∂y+An +

∂Bn

∂yx

¸=

∙x −yy x

¸ ∙ ∂An∂x

∂An

∂y∂Bn

∂x∂Bn

∂y

¸+

∙An −Bn

Bn An

¸→ znzn−1 + zn

= nzn + zn = (n+ 1)zn = (zn+1)0.

Si tengo azn, no hay más que hacer, se puede pensar que primero se eleva a la n y

71

después de multiplica por una constante y tendríamos que se sigue cumpliendo que:

a

∙ ∂An∂x

∂An

∂y∂Bn

∂x∂Bn

∂y

¸→ anzn−1 = (azn)0.

Así hemos demostrado el siguiente

Teorema 2.10 Si p(z) = azn es un polinomio complejo entoncesi) p0(z) = lım

h→0p(z+h)−p(z)

hexiste para ∀z ∈ C

ii) Si consideramos a p como función de R2 → R2, la matriz jacobiana de p es iguala la matriz asociada al complejo p0(z).

En resumen:Si p0(z) 6= 0 :a) tenemos que la matriz asociada a la transformación (vista de R2→ R2) es C-linealb) tenemos que el determinante es 6= 0, lo que la hace invertible localmente, es decir,

existe una vecindad de z0 que el polinomio manda en forma uno a uno en otra vencindadalrededor de f(z0). Intuitivamente podemos decir que un pedacito de plano no lo arrugani lo dobla sino que lo manda a otro pedacito del plano.

Puntos críticos:Ahora nos preguntamos qué pasa en los puntos donde la derivada se hace cero. ¿Cómo

se comporta el polinomio?Empecemos con un ejemplo:p(z) = z2 + z3 = z2(1 + z)p0(z) = 2z + 3z2

p0(0) = 0 (el cero es punto crítico)el comportamiento del módulo es:|p(z)| = |z2(1 + z)| = |z|2 |1 + z|y el comportamiento del argumento es:arg(p(z)) = arg(z2(1 + z)) = arg(z2) + arg(1 + z) = 2 arg z + arg(1 + z)Es decir, para z cercano a 0 el módulo de p(z) es casi el módulo de z al cuadrado y el

argumento de p(z) es casi 2 veces el argumento de z. El factor (1+z) está “perturbando”poco el factor z2.Veamos cómo es la imagen de un círculo de radio ε centrado en el origen:Sea ε < 1

2, fijo.

Tenemos que,z = ε(cos θ + i sin θ), θ ∈ [0, 2π].por tantoγ(θ) = p(ε(cos θ+i sin θ)) = ε2(cos 2θ+i sin 2θ)(1+ε(cos θ+i sin θ)), es la parametrización

de la curva -imagen. Esta curva se obtiene de multiplicar el circulito de radio ε2 recorridodos veces y el círculo de radio ε con centro en z = 1. El módulo de 1+ z varía entre 1− ε

72

y 1+ ε y su argumento varía entre − arcsin ε ≤ arg(1+ z) ≤ arcsin ε, la variación de esteángulo es pequeña, como estamos tomando ε < 1

2, arg(1 + z) ∈ (−π

6, π6).

Como γ(0) = ε2(1 + ε) = γ(2π), tenemos que la curva es cerrada.Llamemos ϕ = arg(1 + ε(cos θ + i sin θ)).A cada valor de θ le corresponde el valor de 2θ + ϕ, ésta función continua manda el

intervalo [0, π] en el intervalo [0, 2π] y el intervalo [π, 2π] en [2π, 4π].Observemos que:

ε < 1− ε < l, entonces ϕ < π − θ.Por tanto 2θ + ϕ < π + θ < 2π, si θ ∈ (0, π).Entonces si θ ∈ [0, π], la curva le da una vuelta alrededor del origen pero sin cerrarse

pues γ(0) = ε2(1 + ε) y γ(π) = ε2(1− ε) y cuando θ ∈ [π, 2π] , la curva da otra vuelta yse cierra, llegando al valor ε2(1 + ε).Además |γ(θ)| ∈ [ε2(1− ε), ε2(1 + ε)]. Obsérvese que la velocidad con que se recorre

la curva no es constante.La curva imagen queda así:

Intuitivamente si tomamos círculos cada vez más pequeños "llenando"la vecindad del

73

cero, las imágenes son estas curvas, por lo que una vecindad del cero va a otra “vecindadencimada” como “doble-encimadita”, más adelante precisaremos esto. Lo interesante deeste comportamiento es que para el caso más general, para un polinomio de grado n,también se cumple.

Factorizando el polinomio de esta forma p(z) = z∗(1 + z∗) podemos analizarlo local-mente.Nos preguntamos ¿Qué sucede en la imagen de un punto z0 bajo el polinomio?

Seaz = z0 + h,p(z) = anz

n + ...+ a1z + a0,p(z) = p(z0+h) = an(z0+h)

n+...+a1(z0+h)+a0 = anzn0+...+anh

n+...+a1z0+a1h+a0,p(z0) = anz

n0 + ...+ a1z0 + a0,

p(z0 + h)− p(z0) = b1h+ b2h2 + ...+ bnh

n,p(z0 + h) = b0 + b1h+ b2h

2 + ...+ bnhn donde si h = 0, p(z0) = b0.

¿Cómo son los coeficientes de este polinomio en h ?P (z0+h)−P (z0)

h= b1h+b2h2+...+bnhn

h= b1 + b2h

2 + ... + bnhn−1cuando h → 0 tenemos que

p0(z0) = b1P 0(z0+h)−P 0(z0)

h= 2b2h+...+nbnhn−1

h= 2b2 + ... + nbnh

n−2 cuando h → 0 tenemos queP 00(z0)2

= b2Así tenemos que parap(z0 + h) = b0 + b1h+ b2h

2 + ...+ bnhn, donde p(k)(z0)

k!= bk.

Con esto podemos hacer la siguiente formulación:Si p(z) = anz

n+ ...+ a1z+ a0 es un polinomio en z y z0 ∈ C entonces p(z0+ h) es unpolinomio en h.Si h = (z − z0), entonces p(z) = b0 + b1(z − z0) + b2(z − z0)

2 + ... + bn(z − z0)n con

P (k)(z0)k!

= bkAlgunas consecuencias de esto son:a) Siempre podemos escribir a p(z) en términos de potencias de (z − z0)b) p(z) es divisible por (z − z0) ⇔ p(z0) = 0, p(z) = (z − z0)Q(z).c) p(z) es divisible por (z − z0)

k ⇔ p(z0) = 0, p(z0) = p0(z0) = p00(z0) = ... =pk−1(z0) = 0.Ahora que hemos expresado los coeficientes, analicemos cómo se ve el polinomio cuan-

do nos movemos en una vecindad de z0.p(z0 + h)− p(z0) = b1h+ b2h

2 + ...+ bnhn.

Si b1 6= 0, es decir si la derivada es distinta de cero tenemos:

74

p(z0 + h) − p(z0) = b1h + b2h2 + ... + bnh

n = h(b1 + b2h + ... + bnhn−1) esto quiere

decir que la vecindad de z0 se transforma en otra mediante una rotación y expansión (ocontracción), el término que cuenta es hb1Si b1 = 0, esto es, la derivada vale cero en el punto z0 :bk 6= 0⇒ P (k)(z0)

k!6= 0⇒ que el polinomio no es constante

p(z0 + h)− p(z0) = bkhk + ...+ bnh

n = hk(bk + bk+1h+ ...+ bnhn−k) cuando h es muy

pequeña este factor bk+1h+ ...+ bnhn−k es pequeño también y tendremos escencialmente

hkbk y la vecindad de z0 va k veces en otra vecindad (casi circulito). Dicho de otra formaes k a 1.

Para precisar esto veamos que:|p(z0 + h)− p(z0)| =¯hk(bk + bk+1h+ ...+ bnh

n−k)¯= |h|k

¯bk + bk+1h+ ...+ bnh

n−k¯

arg(p(z0 + h)− p(z0)) = arg(hk(bk + bk+1h+ ...+ bnh

n−k)) =k arg h+ arg(bk + bk+1h+ ...+ bnh

n−k)

¯bk + bk+1h+ ...+ bnh

n−k¯= |bk + ϕ(h)| = |bk| donde lım

h→0ϕ(h) = 0 y arg(bk+bk+1h+

...+ bnhn−k) = arg(bk + ϕ(h)) = arg(bk).

Cerca del punto z0 la imagen se parece al comportamiento de la función zk.Si nos movemos alrededor del punto z0, la imagen también se mueve alrededor del

punto p(z0), es decir, que recorre todos los valores del argumento dándole la vuelta ap(z0).Intuitivamente tenemos que el polinomio manda abiertos en abiertos, no puede pasar

algo así en la imagen:

75

Otra forma de verlo sería con el Teorema de la Función Inversa para f : Rn → Rn

Si p(z) = anzn + ... + a1z con a1 6= 0 y p(0) = 0 ¿Cómo se comporta el polinomio

alrededor del cero?Sea p(z) = U + iVz = x+ iya1 = b+ icU = xn...+ bx− cyV = xn...+ cx+ by∂U∂x= ...+ b ∂U

∂y= ...− c

∂V∂x= ...+ c ∂V

∂y= ...+ b

Dp(0) =

µb −cc b

¶det

µb −cc b

¶= b2 + c2 = |a1|2 6= 0

Por tanto existe la inversa en el punto, si tenemos un circulito alrededor del cero, laimagen será casi un circulito.

¿Qué pasa en el punto z0 =∞ ?p(z) = zn(an + ...+ a1

1zn−1 + a0

1zn) con an 6= 0, n ≥ 1.

Lo que más va a contar es el término anzn, si nos acercamos al punto z0 = ∞ el

módulo del polinomio también tiende a ∞.La imagen de un círculo de radio r suficientemente grande, dará n vueltas alrededor

del cero, manteniéndose cerca del círculo de radio rn |an|2, pues arg(p(z)) ≈ n arg z para

|z| grande.

2.51.250-1.25-2.5

2.5

1.25

0

-1.25

-2.5

x

y

x

y

420-2-4

4

2

0

-2

-4

x

y

x

y

¿Cuántos puntos van a dar a ∞?Como p(∞) =∞, entonces hay uno, pero hay que contarlo n veces.Para ver un poco más qué sucede en una vecindad del ∞, hagamos un cambio de

variable y analicemos todo en el cero.

76

p(z) = anzn + ...+ a1z + a0

z = 1ζ

η = 1w= 1

an(1ζ)n+...+a0

= ζn

an+an−1ζ+...+a0ζn= ζn

³1

an+an−1ζ+...+a0ζn

´∼ ζn

³1an

´Esto es, que el comportamiento cerca del∞ es casi el mismo que el del cero bajo zn.

Cuando estamos en el cero, bajo zn, va a dar al cero. La vecindad del cero va a otra nveces, la multiplicidad del cero es n. Por lo tanto la multiplicidad del ∞ es n.

Conclusión 2.4 A los puntos donde la derivada se hace cero, se les llama puntos críti-cos. Y vamos a tener 2n−2 puntos críticos (también llamados de ramificación), los n−1de la derivada más n − 1 (por lo que cuenta el punto al ∞). Y en los demás puntos elpolinomio es localmente inyectivo.

En el caso real tenemos que,

52.50-2.5-5

20

0

-20

-40

x

y

x

y

los puntos donde la función f(x) se dobla son los puntos donde la derivada se hacecero.Los polinomios son funciones sobreyectivas de bC → bC, y nos interesa saber, ¿cuán-

tos puntos del plano-z van a dar a un punto dado en el plano-w?. Es decir, ¿Cuántaspreimágenes tiene un valor w?Si w 6= ∞, la ecuación p(z) − w = 0 tiene n raíces y algunas pueden ser múltiples.

Así tenemos que los polinomios son n a 1.Si p(z0) = w, pero p0(z0) = 0, p

00(z0) = 0, ..., p(k)(z0) 6= 0 entonces z0 es una raíz de

multiplicidad k de p(z)− w = 0, ésta hay que contarla k veces.Si w =∞, tenemos que p(∞) =∞, pero va n veces.Por tanto, tenemos que todo punto w ∈ bC tiene n preimágenes distintas, salvo algunos

puntitos por ahí, que ya sabemos cuáles son.Funciones RacionalesSea un polinomio p(z) de grado n, y otro q(z) de grado m.Definimos una función racional como un cociente de polinomios. Y también definimos

el grado como el max {grado(P), grado(Q)} .

77

Veamos cómo el grado de la función racional tiene que implicar al denominador y alnumerador.Sea d = max {grado(P),grado(Q)} el grado de una función racional R(z) = p(z)

q(z). Dado

un valor w ∈ bC, ¿cuántos puntos z van a dar a él?.Es decir, ¿cuántas raíces tiene la ecuación p(z)

q(z)= w?

Tenemos que

p(z)

q(z)− w =

p(z)− wq(z)

q(z)

Entonces ¿cuántas raíces tiene la ecuación p(z)− wq(z) = 0 ?Sea w ∈ C.Si el grado de la función racional d es igual a n entonces n > m y el grado de

p(z)− wq(z) es n. Por tanto tenemos n soluciones.Si d = m entonces n < m y el grado de p(z)− wq(z) es m, y tenemos m soluciones,

salvo en el caso w = 0.Si d = n = m, el grado de p(z) − wq(z) es de grado n = m y existen n soluciones,

salvo en el caso w = anbn. El término de grado n de p(z) − wq(z) es igual a cero cuando

w = anbn, y por tanto tenemos un polinomio de grado menor.

Analicemos los casos w = 0, w =∞ y w = anbn.

Caso 1:w = 0. Si el grado es n y n ≥ m, tenemos n soluciones en C.Si el grado de la función racional es m, (m > n) entonces R(∞) = 0. Vamos a tener

n soluciones en C y las demás están en el ∞.Veamos, si hacemos un cambio de variable ξ = 1

z:

R(1ξ) =

an(1ξ)n+...+a0

bn(1ξ)n+...+b0

= ξm−n(an+...+a0ξn

bn+...+b0ξm), cuando z →∞, tenemos ξ → 0 y R(1

ξ)→ 0

con multiplicidad m− n.Por tanto tenemos m (grado de la función racional) soluciones en bC.Caso 2:w =∞. Para ver este caso, consideramos la función racional 1

R(z)= q(z)

p(z)y aplicamos

al caso 1.Caso 3:w = an

bn.

Si d = n, el grado de p(z)−wq(z)q(z)

es n y tiene n soluciones.

Si d = m, hay m soluciones, porque el grado de p(z)−wq(z)q(z)

es m.

Y si d = n = m, tenemos que la función racional p(z)−wq(z)q(z)

es de grado m, pues

p(z)−wq(z) tiene grado k < m, aplicamos el caso 1, es decir que la ecuación p(z)−wq(z)q(z)

= 0

tiene m soluciones en bC.Conclusión 2.5 Si la función racional es de grado d = max(grado(p), grado(q)) en-tonces es d a 1 (contando multiplicidad).

78

Ejemplos:R(z) = z4

z4 + 1.

z4

z4 + 1= w.

Si w = 0, entonces los ceros de R son los ceros de p(z), en este caso es el cero.Si w =∞, tenemos las raíces cuartas de −1 y por tanto el ∞ no es polo.si w 6= 0,∞ :z4 − w(z4 + 1) = 0,(1− w)z4 − w = 0,Si w 6= 1, el polinomio es de grado cuatro, entonces tenemos cuatro raíces.Si w = 1, no hay raíces, ¿Qué es lo que está pasando aquí?

Sucede que R(∞) = 1.Para ver la multiplicidad, nos vamos al origen:f(1

ζ) = 1

1+ ζ4= 1− ζ4 + ζ8 − ...

El punto 0 va al 1, entonces 11+ ζ4

− 1 = ζ4(−1 + ζ4 − ...), es decir que cerca del cerose comporta como z4.Cerca del cero se ve así, y por tanto el ∞ es preimagen múltiple.Podemos tener cosas menos drásticas, por ejemplo:R(z) = z4+ z2

z4+ 1,

(1−w)z4+z2−w = 0, igual para w = 1, tenemos que se baja el grado del polinomio,aquí sería de grado dos y si w 6= 1, el polinomio es de grado cuatro.

Ejercicio 2.6 Discutir la relación que hay entre los puntos que son preimagen múltipley los ceros de la derivada (R0(z)).

2.3.4. Función de Zhukovsky

Ahora estudiaremos la siguiente función:

f(z) =z2 + 1

2 z

El grado de ésta función racional es 2, así que la función es 2 a 1.Los polos son: 0 y ∞.Los ceros son: i y −i.Ahora veamos las preimágenes, resolviendo la siguiente ecuación:z2 +12 z

= w⇒ z2 − 2zw + 1 = 0,⇒ tenemos dos raíces distintas para todo valor w distinto de ±1.Si w = 1, w = −1:(z − 1)2 = 0, (z + 1)2 = 0,esto significa que z = 1 y z = −1, son raíces dobles de la ecuación.

79

Así todo punto en el plano-w tiene dos preimágenes diferentes y sólo dos puntos tienenpreimágenes dobles.

f(1) = 1, f(−1) = −1.¿Qué está pasando alrededor del 1?

f(1 + h)− 1 = (1+h)2+12(1+h)

− 1 = h2 12(1+h)

=

µh 1√

2(1+h)

¶2se parece a la función elevar al cuadrado. Si recordamos cómo z2 mapeaba la esfera,

los puntos dobles eran el cero y el infinito, y los demás eran sencillos. Nos paramos en el0 y en el ∞, y le damos dos vueltas a la esfera (cero es repulsor y el ∞ es atractor).Nos preguntamos ¿qué tanto se parecerá z2 a nuestra función f?Si hacemos cambios de Möbius en el dominio y en el contradomino, de tal manera

que −1 vaya al 0, y 1 vaya al ∞.

ζ = z + 1z − 1

,

w = f(z) = 12( ζ+1ζ−1 +

ζ−1ζ+1) = ζ2+1

ζ2−1 ,

η = w+1w−1 =

ζ2+1

ζ2−1 + 1

ζ2+1

ζ2−1− 1= 2ζ2

2= ζ2.

Utilizamos un cambio de variable pero puede haber más. Por lo tanto nuestra funciónsí es como elevar al cuadrado, y esto se cumple más en general, cualquier función racionalde grado dos se comporta como z2 esto incluye por supuesto a los polinomios de grado

80

dos.

Como nuestra función se comporta como z2, hay dos puntos que van a dar al mismo:f(z) = 1

2(z + 1

z) = f(1

z)

observemos que para un w, una preimagen está en el disco (|z| < 1) y otra fuera.El círculo unitario va al segmento [−1, 1] recorrido dos veces.

Si consideramos el disco, se mapeará en todo el plano menos el segmento, o biensi consideramos todo que está fuera del disco se mapeará en todo el plano menos elsegmento.Si tomamos círculos de radio r, 0 < r < 1, sus imágenes son elipses con eje mayor

igual r+ 1ry eje menor igual r− 1

r. Cuando el radio decrece, los semiejes (mayor y menor)

crecen, es decir que cuando nos acercamos al cero, la función tiende a ∞.Los puntos z = t(cosα + i sinα), donde α ∈ [0, π

2] y t ∈ [0, 1), bajo la función van a

hipérbolas con semiejes |cosα| y |sinα| .Cuando α = 0, tenemos w = (1

2(1t+t), 0), el intervalo [0,1] se “dobla” hacia el intervalo

[1,∞).Cuando α = π

2, w = (0, t

2− 1

2t), tenemos el eje imaginario negativo, recorrido desde

el ∞ al 0.

81

Al variar α, la imagen está en el cuarto cuadrante y si tomamos −α, obtenemos unarama de la hipérbola (cuadrantes I y IV) y al tomar los puntos simétricos con respectoal origen obtenemos la otra rama de la hipérbola.

Se puede ver que el semidisco en la parte superior del plano se mapea en el semiplanoinferior, el semidisco que está en la parte inferior del plano se mapea en el semiplanosuperior, por tanto los puntos inversos del semidisco inferior se mapearán en el semiplanosuperior. Es decir que el semiplano superior "mordido" se mapea de manera conforme alsemiplano superior.

82

A esta función f(z) = 12(z + 1

z), se le llama Función de Zhukovsky.

Nuestro problema ahora es buscar la inversa:f(z) = w,12(z + 1

z) = w,

despejamos y obtenemosz = w ±

√w2 − 1,

en la expresión se refleja el 2 a 1, para un valor de w tenemos dos soluciones z1, z2.Pero ya sabíamos que z y 1/z van a dar al mismo punto. Luego debe cumplirse z1 = 1/z2.(Dejamos al lector verificar directamente esto calculando el producto z1z2 ). Los únicospuntos dobles son cuando z1 = 1/z1 , es decir, 1 y −1. Sus imágenes son también 1 y −1, es decir, los valores de w para los cuales w2− 1 = 0 y la ecuación en z tiene raíz doble.

2.4. La exponencial y las funciones trigonométricas

2.4.1. Función Exponencial

¿Cómo podemos extender la función expx a los complejos ?Las propiedades fundamentales de la función exponencial tienen que conservarse en

nuestra nueva definición:i) Que es solución de una ecuación diferencial : f 0 = f , con condición inicial f(0) = 1ii) Que cumpla con la propiedad de suma-producto: ex + y = exey

83

Una opción para deducir la exponencial compleja sería partir de la serie de Taylor:ex = 1 + x+ 1

2!x2 + ...

y demostrar que la serie complejaez = 1 + z + 1

2!z2 + 1

3!z3 + ...

también converge, dar el radio de convergencia, etc.

Otra es ver quién es eiy. Como queremos una función que siga cumpliendo ez+w = ezew,entonces naturalmente se tendría que ez = ex+iy = exeiy, ya sabemos como es ex, elproblema es eiy :Si sustituímos iy en ex = 1 + x+ 1

2!x2 + ...

tenemos eiy = 1 + iy + (iy)2

2!+ ...

eiy = 1 + iy − y2

2!− iy

3

3!+ y4

4!+ ... = (1− y2

2!+ y4

4!− y6

6!+ ...) + i(y − y3

3!+ y5

5!− y7

7!+ ...)

(aquí tenemos dos series reales conocidas)eiy = cos y + iseny

por lo tanto tendríamos que ez = ex(cos y + iseny).

Pero hay otra opción más geométrica que nos muestra un poco más qué es lo que estápasando:Recordemos que para R:ex = lım

n→∞(1 + x

n)n

este límite se demuestra tomando logaritmos (en base e).Primero veamos quién es el límite de log(1 + x

n)n :

log(1 + xn)n = n log(1 + x

n)

consideremos a n como una variable continua h entonces tenemos que:n log(1 + x

n) = h log(1 + x

h);

si existe este último límite cuando h → ∞ entonces existe el límite de log(1 + xn)n

cuando n→∞.Sea u = 1

h:

lımh→∞

h log(1 + xh) = lım

u→0log(1+ux)

u=?

Sea g(u) = log(1 + ux)

g0(0) = lımu→0

g(u)−g(0)u−0 = lım

u→0log(1 + ux)

u

g0(u) = x1+ ux

Por tanto ? = g0(0) = x∴ lım

n→∞log(1 + x

n)n = x

∴ (Por continuidad) ex = lımn→∞

(1 + xn)n

Para C :¿Cómo se vería esta función (1 + z

n)n?

Estamos elevando un número complejo a una potencia n, esto es elevar su módulo ymultiplicar su argumento n veces.Si tomamos un sector que parta del punto −n y tenga como ángulo π

n, la transfor-

mación lo mandará otro sector que parta del origen y tenga como ángulo π, es decir el

84

semiplano superior:

Estamos elevando el sector a la potencia n. ¿Qué pasa cuando n→∞?El punto −n se va recorriendo hacia la izquierda por el eje real negativo, tendríamos

un sector con un punto al ∞, es decir lo que está entre las líneas paralelas:

¿De qué ancho es esta banda?

Sea hn la longitud del segmento OQ.tan π

n= hn

ny hn = n tan π

n, si hacemos el cambio a la variable continua n = 1

u

lımu→0

tanπuu

= lımu→0

π sec2 πu = π

Por lo tanto el ancho de la banda es π.Si tomamos el siguiente sector, al elevarlo a la potencia n obtenemos el semiplano

inferior

85

Lo que tenemos en el límite es la función exponencial, la banda de ancho π se trans-forma en un sector de ángulo π , y si tomamos la siguiente banda de ancho π, la imagenes el sector de ángulo −π, por lo tanto si tomamos una banda de tamaño 2π se mapearíaen todo el plano menos el cero.Así que cada 2πi, tenemos el mismo valor, por lo que la función es periódica.Ahora ¿qué pasa con eiy = lım

n→∞(1 + iy

n)n?

Escribamos(1 + iy

n) = rn(cos θn + isenθn),

rnn =³1 + y2

n2

´n2,

log³1 + y2

n2

´n2= n

2log(1 + y2

n2) Hacemos el cambio de variable n = 1

u,

lımn→∞

n2log(1 + y2

n2) = lım

u→0log (1+u2y2)

u2u2= 0.

Por tanto lımn→

rnn = 1.

Para θn = arctanyntenemos que nθn = n arctan y

n,

haciendo n = 1u, lımu→0

arctanuyu

= y.

Por tanto nθn → y.eiy = lım

n→∞(1 + iy

n)n = cos y + iseny,

eiy = cos y + iseny

(Fórmula de Euler)

Así las cosas tenemos que la definición más adecuada es :

ez = exeiy = ex(cos y + iseny)

para toda z ∈ C, y no se anula, es decir no es sobreyectiva : f : C→ C− {0}

2.4.2. Transformación del Plano bajo la función exponencial

Nos interesa ver cómo se transforma la malla de rectas horizontales y verticales.

86

f(x, y) = ex(cos y, seny)Para una recta cualquiera paralela al eje real:f(x, y0) = ex(cos y0, seny0)O bien w = ex(cos y0 + iseny0)Se transforman en un rayo con ángulo y0, que parte del origen y que va creciendo

conforme crece la x.Para una recta paralela al eje imaginario la función la transforma en un círculo de

radio ex0 y al recorrer y los reales, le daremos infinitas vueltas al círculo.f(x0, y) = ex0(cos y, seny),si 0 6 y0 < 2π, el círculo se recorre una sola vez.Por lo tanto la familia de rectas horizontales se transforman en la familia de rayos que

parten del origen y la familia de rectas verticales se transforman en la familia de círculoscon centro en el origen.

Calculemos el jacobiano de la función f(x, y) = (ex cos y, exseny)

det

µex cos y −exsenyexseny ex cos y

¶= e2x 6= 0.

Esto nos habla que existe la inversa localmente y también por la forma de la matrizderivada, vemos que es una transformación que preserva los ángulos.¿Qué sucede en el infinito?Si z →∞, la función se acerca a todos los valores posibles:Sea {z + 2kπi} , esta sucesión tiende a infinito y f {z + 2kπi} = ez+2kπi = eze2kπi =

ez.No existe el límite en el∞, el comportamiento que tenemos es oscilatorio, por lo que

la exponencial compleja no se puede extender de manera continua a bC.87

2.4.3. Función Logaritmo

La inversa de la función exponencial es la función logaritmo.Como el cero no está en la imagen de la función exponenecial, entonce no va a tener

logaritmo.Sea w 6= 0; la solución a la ecuación ez = w es:x = log |w| (logaritmo de un número real positivo), y argw = y + 2kπtenemos que todo número complejo distinto de cero tiene una infinidad de logaritmos

los cuales difieren por múltiplos de 2πi.

logw = log |w|+ i argw

El logaritmo de un número real positivo, será el logaritmo real.Como vimos con la raíz cuadrada, no es posible encontrar una rama continua del

logaritmo en todo el plano menos el origen.Aquí es inclusive más claro, porque la parte imaginaria de logw es exactamente argw,

y ya sabemos que no se puede elegir de manera continua el argumento de todo complejodistinto de cero.Podemos, otra vez, definir diversas ramas del logaritmo en cualquier región donde

no podamos darle vuelta al origen. En particular tenemos la rama, o valor principal dellogaritmo definida en C− {eje real negativo}:Valor principal del logaritmo:log z = log |z|+ i arg z donde −π < arg z < πz ∈ C − {eje real negativo}

La imagen es una banda abierta (sin bordes).Eje real negativo sería mandado a las rectas horizontales de altura ±π ( bordes).Eje real positivo va a todo el eje real.Para las rectas horizontales que están en el semiplano superior, el ángulo varía de π a

0, las imágenes serán curvas que vienen asintóticamente de la recta horizontal de alturaπ y se van pegando asintóticamente al eje real.Y para las rectas horizontales que están en el semiplano inferior, el ángulo varía de

−π a 0, entonces las curvas imagen vienen asintóticamente de −π y se van pegando eleje real.

88

El eje imaginario positivo va a la recta de ordenada π2. Y el negativo a la recta de

ordenada −π2.

Las rectas verticales (x positiva), el ángulo varía de −π2a π2. Las curvas imagen vienen

asintóticamente de la recta con ordenada −π2, cruzan el eje real y se van pegando a la

recta con ordenada π2.

Finalmente las imágenes de las rectas verticales (x < 0 e Im y > 0) son curvas quevan del borde de la banda (altura π) y se van pegando a la recta de ordenada π

2y para

las semirectas en la parte inferior del plano, las imágenes son curvas que van del otroborde de la banda (altura −π) y se van pegando a la recta de ordenada −π

2.

Por lo que el dibujo de la imagen de la malla de rectas horizontales y verticales quedaasí:

Ya definido el logaritmo, podemos definir ahora la potencia compleja:sea z 6= 0 y α números complejoszα = eα log z

Si consideramos z positivo entonces log z es real y zα tendrá un solo valor. Si no hayrestricción para z, entonces en general tendremos una infinidad de valores.

2.4.4. Funciones trigonométricas e hiperbólicas

Si eiy = cos y + isenyentonces e−iy = cos y − isenysumando y dividiendo entre dos tenemos:y ∈ Reiy + e−iy

2= cos y y eiy − e−iy

2i=seny

89

Como vemos las funciones seno y coseno se pueden expresar en términos de la ex-ponencial compleja. Esto nos permite de manera natural extenderlas (de modo que seconserven las propiedades) a variable compleja.

Definición 2.3 z ∈ C

cos z =eiz + e−iz

2

senz =eiz − e−iz

2i

(Otra forma de definir las funciones trigonométricas principales es por medio de se-ries).De nuestra definición tenemos:cos(x + iy) = ei(x+iy) + e−i(x+iy)

2= cosx

³ey + e−y

2

´− isenx

³ey − e−y

2

´= cosx cosh y −

isenxsenhycos iy = cosh yseniy = isenhyy podemos definir cosh z y senhz :

Definición 2.4

cosh z =ez + e−z

2

senhz =ez − e−z

2

Se podría haber definido primero las funciones hiperbólicas y después las trigonométri-cas:cos(z) = cosh(iz) e isen(z) =senh(iz).Todo queda bien definido porque se expresa en téminos de ez.

Vale la formula de la suma: ez+z0= ezez

0.

cos(z + z0) = cos z cos z0−senzsenz0sen(z + z0) =senz cos z0 + cos zsenz0.Estas formulas se demuestran con base en la fórmula de la suma de la exponencial y

son de gran utilidad para demostrar más propiedades, por ejemplo, 1 = cos2 z+sen2z.Con las funciones seno y coseno, podemos definir todas las demás funciones trigonométri-

cas: tan z, cot z, sec z, csc z.

90

2.4.5. Función coseno y su inversa

¿Cómo se transforma el plano bajo la función f(z) = cos z ?cos z = cosx cosh y − isenxsenhyEn el plano-w tenemos que:(u, v) = (cosx cosh y, senx(−senhy))El eje real va al segmento [−1, 1] recorrido una infinidad de veces.f(x, 0) = (cosx, 0)

Para una recta horizontal de altura b, tenemos:f(x, b) = (cosx cosh b, senx(−senhb)) = (A cosx,Bsenx),dondeA = cosh b, B = (−senhb)que nos parametriza la elipse de ecuación u2

A2+ v2

B2= 1, y cuyos focos son ±1.

Si la altura de la recta horizontal es −b, la elipse se recorre en sentido contrario.Y para las rectas verticales tenemos hipérbolas:f(a, y) = (cos a, cosh y,sena(−senhy)) = (A0 cosh y,B0(−senhy)) = (u, v)encontramos que u2

A02 −v2

B02 = 1, que es la ecuación de una hipérbola con focos ±1,donde A0 = cos a y B0 =sena.Si x = 0, tenemos que el eje imaginario va al segmento [1,∞), recorrido dos veces.Por lo que la malla de rectas horizontales y verticales se transforma en una malla de

elipses e hipérbolas que tienen los mismos focos (confocales), esto implica que se cortanen ángulo recto.

543210-1-2-3-4-5

4

3

2

10

-1

-2

-3

-4

x

y

x

y

Conviene pensar la función coseno como composición de funciones que ya hemosestudiado:

w = cos z = 12(u+ 1

u) (Función de Zhukovsky)

donde u = eiz (multiplicación por i, después la exponencial).

91

Como el coseno está en términos de la exponencial y ésta es periódica, el cosenotambién va a ser una función periódica, la diferencia es que el período del coseno es 2π.Los puntos z, z + 2π, z + 4π, ... y −z, −z + 2π, −z + 4π, .. que están en bandas de

tamaño 2π, al multiplicarlos por i y después componerlos con la exponencial van a dosvalores, la primera infinidad va al valor u, y la segunda va al valor inverso 1

u.

Y como vimos anteriormente, la imagen que obtenemos al final es la malla de elipsese hipérbolas.

Tenemos entonces que una infinidad de puntos van a dar a un mismo valor.La función inversa es g(w) = ang cosw, nuevamente tenemos una función multivalu-

ada.Si sacamos las inversas de las funciones anteriores vemos queu = eiz

entonces2w = u+ 1

u

u2 − 2wu+ 1 = 0u = w ±

√w2 − 1

aquí tenemos problemas con la raíz, pero lo arreglamos tomando una rama,iz = log u = log(w ±

√w2 − 1)

y al tomar el logaritmo, también debemos escoger una rama adecuada,z = −i(log(w ±

√w2 − 1))

entonces dado un w podemos escoger el punto z de muchas maneras, es decir quetenemos las funciones ang cosw que queramos.Por ejemplo podemos tomar como dominio C− {[−1, 1]} , y z = −i(log(w+

√w2 − 1))

con la rama principal del logaritmo.

92

Capítulo 3

Derivación de Funciones Complejas

3.1. Función derivable

3.1.1. Ejemplos de funciones derivables y no derivables.

Definición 3.1 Sea U ⊂ C U abierto, conexo h ∈ Cf es derivable en z0 ∈ U si el lım

h→0f(z0+h)−f(z0)

hexiste

En tal caso, a dicho límite le llamamos la derivada de f en z0 y se denota por f 0(z0).

Formalmente la definición es idéntica a la de la derivada de funciones reales, perovamos a ir viendo que tiene implicaciones muy diferentes. Lo que hay que destacar es queaquí h es un número complejo, que puede tender a 0 por muy diferentes direcciones omaneras, y que por lo tanto, pedir que en esas condiciones exista el límite es muchísimopedir. Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 3.1 f(z) = z2

f(z0+h)−f(z0)h

=(z0+h)2−z20

h= 2z0h+h2

h= h(2z0+h)

h

lımh→0

f(z0+h)−f(z0)h

= lımh→0

2z0 + h = 2z0

la función es derivable en todo z0 y f 0(z0) = 2z0

Ejemplo 3.2 f(z) = zf(z0+h)−f(z0)

h= z0+ h− z0

h= h

h

si h ∈ Rtenemos que lım

h→0f(z0+h)−f(z0)

h= lım

h→0hh= 1

pero si h = is lımh→0

f(z0+h)−f(z0)h

= lımh→0

−isis= −1

ahora si h = su donde u es un complejo con norma uno y s es cualquier número reallımh→0

f(z0+h)−f(z0)h

= lımh→0

hh= u2

escribiendo u = eiθ se tiene que u2 = e−2iθ.

93

El límite no existe, haciendo tender h a 0 por distintas direcciones se acerca el cocientea muy diferentes valores. Por lo tanto esta función no es derivable en ningún punto

z0 ∈ C .

Ejemplo 3.3 f(z) = |z|Si z0 = 0lımh→0

f(z0+h)−f(z0)h

= lımh→0

|h|h

como |h|hes cualquier complejo de módulo uno, entonces la función no es derivable

en el cero.Si z0 6= 0 tomemos primero h en la misma dirección de z0, es decir h = tz0 con t real

> 0.Entonces f(z0+h)−f(z0)

h= |z0+h|−|z0|

h= |z0|t

z0t= |z0|

z0que es un complejo unitario.

Si ahora hacemos que z0+ h se acerque a z0 sobre el círculo con centro en 0 que pasapor z0, es decir, si h = eiθz0 − z0 tenemos

|z0+h|−|z0|h

=|z0||eiθ|−|z0|

h= 0

lımh→0

f(z0+h)−f(z0)h

= 0

por lo tanto la función no es derivable en ningún z0 ∈ C

Observamos que no es tan fácil que una función sea derivable, la función f(z) = z,es sencilla y no es derivable en ningún punto. De aquí que f(z) = Re z y f(z) = Im z nosean derivables.Sin embargo, hay muchas que sí son derivables.

Proposición 3.1 1) Si f es derivable en z0, entonces f es continua en z0.2) Si f y g son derivables en z0 entonces f + g, λf, fg son derivables en z0 y

si g(z0) 6= 0, fges derivable y

³fg

´0(z0) =

f 0(z0)g(z0)−f(z0)g0(z0)(g(z0))2

3) Regla de la cadena:

Si f es derivable en z0 y g es derivable en f(z0) , entonces la composición (g ◦ f)es derivable en z0 y (g ◦ f)0(z0) = g0(f(z0)f

0(z0) .

La parte 1) se demuestra observando quelımh→0

f(z0 + h)− f(z0) = lımh→0

f(z0+h) − f(z0)h

h = f 0(z0) 0 = 0 .

Todas las demas partes de esta proposición también se demuestran exactamente igualque en el caso real, como podrá verificar fácilmente el lector.Con esta proposición tenemos muchas funciones derivables. Como la función z es

obviamente derivable, los polinomios son derivables, y también cualquier función racionales derivable en cualquier punto donde no se anule el denominador (y, en particular, todaslas transformaciones de Möbius son derivables).Otro ejemplo:

94

Ejemplo 3.4 Escogiendo una rama continua en un dominio adecuado:lımh→0

√z0+h−

√z0

h= lım

h→0z0+h − z0

h(√z0+h−

√z0)= 1

2√z0.

Obsérvese que sólo hemos usado la continuidad de la función. Luego, toda rama con-tinua de

√z es automáticamente derivable.

3.1.2. Una función es derivable si, y sólo si, lo es como funciónreal y su derivada es C -lineal.

Consideremos a la función f(z) = u(z) + iv(z), como una función F : R2→ R2.Recordemos que F es derivable en (x0, y0) si existe una función lineal L : R2→ R2 tal

quelım

(s,t)→(0,0)F (x0+s,y0+t)−F (x0,y0)−L(s,t)

|(s,t)| = 0

Esto significa que L es la mejor aproximación lineal a F , se le suele denotar porDF (x0, y0) y es la transformación lineal que tiene por matriz (respecto a la base usual deR2) a la matriz jacobianaµ ∂u

∂x∂u∂y

∂v∂x

∂v∂y

¶Ahora, para f : U ⊂ C→ C, si f es derivable en z0entonces lım

h→0f(z0+h) − f(z0)

h= α ⇔ lım

h→0f(z0+h)−f(z0)−αh

h= 0

por tanto tenemos que:f es derivable en z0 ⇔ existe una función lineal de la forma L(h) = αh tal quelımh→0

f(z0+h) − f(z0)− L(h)h

= 0 .

Pero ya conocemos las funciones lineales de esa forma: son lasC−lineales, que incluyenlas conformes (que son homotecias seguidas de rotaciones) y la función 0 .En resumen:f es derivable como función compleja en z0 si y sólo si f es derivable como función

real en (x0, y0) y su derivada en el punto es conforme (o cero).

De otro modo, la condición es que la matriz jacobiana tenga la formaµ

a −bb a

¶y

por lo tanto se debe de tener

∂u

∂x=

∂v

∂yy∂u

∂y= −∂v

∂x

a estas últimas ecuaciones se les llama de Cauchy-Riemann (C −R).Recíprocamente, si tenemos una función F : R2→ R2 que sea derivable y que sus

parciales satisfagan (C −R) , esto quiere decir que su derivada es de la forma L(z) = αzpara algún número complejo α y por lo tanto f es derivable como función compleja y suderivada es α. Luego hemos demostrado:

95

Teorema 3.1 Sea f : U → C una función compleja y z0 = x0 + iy0 ∈ U .Entonces las condiciones siguientes son equivalentes:(i) f es derivable como función compleja en z0 .

(ii) f es derivable como función real en (x0, y0) y su derivada en ese punto es C-lineal.(iii) f es derivable como función real en (x0, y0) y sus derivadas parciales en ese punto

satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Se sabe que una función F : Rn → Rm es derivable en una región U si existen laderivadas parciales de F y son continuas en todos los puntos de U (condición que essuficiente, pero no necesaria). En muchos tratados de Variable Compleja se enuncia esteTeorema en lugar de la equivalencia anterior, pero el enunciado queda más claro con elconcepto de derivada. Pero este resultado es muy útil para verificar la derivabilidad de unafunción compleja en muchos casos, sólo hay que agregar que se cumplan las ecuacionesde C −R.

A la matrizµ

a −bb a

¶le corresponde el complejo a+ ib, es decir, f 0(z0) = ∂u

∂x(z0) +

i∂v∂x(z0).Si f 0(z0) = 0, la mejor aproximación lineal L(h) = αh = f 0(z0)h es igual a 0, y ya no

se puede ver que sucede.Si f 0(z0) 6= 0, la mejor aproximación lineal en la vecindad del punto es una rotación

más una homotecia, esto significa que la función cerca del punto se comportará así.Locamente se preservarán los ángulos:

El ángulo(ψ) entre las curvas C1 y C2 es el ángulo formado entre sus tangentes en elpunto z0.Sea γ1 el vector tangente a la curva C1 y sea γ2 el vector tangente a la curva C2 en

el punto z0, la función lineal mapeará γ1 en el vector ϕ1 que es el vector tangente a lacurva imagen f(C1)en el punto f(z0)

ϕ1 = α(γ1) donde α = a+ ib = f 0(z0)y ϕ2 = α(γ2)Por tanto ^(γ1, γ2) = ^(ϕ1, ϕ2) y la función es conforme.

Definición 3.2 f es holomorfa en U , si f es derivable en todos los puntos de U ⊂ C

96

3.1.3. Derivación respecto a z y a z conjugada

Sea f(z) = f(x+ iy) = u(x, y) + iv(x, y)Entonces formalmente podemos escribir f(z) como función de las variables z , z que

conviene pensar como variables independientes:x = z + z

2y = z − z

2i

f(z) = (u(z + z2

, z − z2i), v(z + z

2, z − z

2i))

f(z) = u(z + z2

, z − z2i) + iv(z + z

2, z − z

2i)

Entonces podemos hablar de “∂f∂z” y “∂f

∂z”:

Aplicando regla de la cadena tenemos:“∂f∂z” = 1

2(∂u∂x+ 1

i∂u∂y) + i

2( ∂v∂x+ 1

i∂v∂y)

“∂f∂z” = 1

2(∂u∂x− 1

i∂u∂y) + i

2(∂v∂x− 1

i∂v∂y)

Lo importante de esto es que si f es derivable (C− derivable) entonces“∂f∂z” = 1

2(∂u∂x− 1

i∂u∂y) + i

2(∂v∂x− 1

i∂v∂y) = 1

2(∂u∂x− ∂v

∂y) + i( ∂v

∂x+ ∂u

∂y) = 0

“∂f∂z” = 1

2(∂u∂x+ 1

i∂u∂y) + i

2( ∂v∂x+ 1

i∂v∂y) = 1

2(2∂u

∂x) + i

2(2 ∂v

∂x)

= (∂u∂x+ i∂v

∂x) = f 0(z)

En otras palabras, las ecuaciones de Cauchy- Riemann se pueden resumir en una sola:∂f∂z= 0. Heurísticamente esto significa que una función compleja es derivable cuando "no

depende de z ".En la práctica significa que si tenemos una función en cuya expresión aparece z no

debe ser derivable.

Ejemplo 3.5 Si f(x+ iy) = x2+ y2 = z z tenemos que ∂f∂z= z y esto se anula sólo para

z = 0

3.1.4. Determinante jacobiano

Sea f(z) derivable en todo punto de U (Holomorfa)Consideremos a f(z) como una función de R2 → R2 y obtengamos la matriz derivada

Jacobiana: µ ∂u∂x

∂u∂y

∂v∂x

∂v∂y

¶=

µ∂u∂x−∂v

∂x∂v∂x

∂u∂x

¶y su determinanate jacobiano Jf = det

µ∂u∂x−∂v

∂x∂v∂x

∂u∂x

¶= |f 0(z0)|2

Por tanto f 0(z0) = 0⇔ Jf(z0) = 0Si f 0(z0) 6= 0 entonces el Jf(z0) 6= 0 y tenemos de inmediato por el Teorema de la

Función Inversa, que f es invertible en una vecindad del punto z0.

97

3.1.5. Interpretación en Mecánica de Fluidos

Supongamos que tenemos el movimiento de un fluido “perfecto”, es decir que esestacionario, incompresible y no viscoso (irrotacional).Si X = (U, V ) es el campo vectorial que representa la velocidad del fluido en cada

punto, tenemos quei) X no depende del tiempo.ii) div(X) = 0 (no se concentra o se expande)iii) rot(X) = 0 (es irrotacional)Como rot(X) = ∂V

∂x− ∂U

∂y= 0, existe (al menos localmente) una función u(x, y) tal

que X = ∇u = (∂u∂x, ∂u∂y)

A esta función se le llama potencial de las velocidadesComo div(X) = ∂U

∂x+ ∂V

∂y= 0 ⇔ existe una función v(x, y) tal que el campo

ortogonal X⊥ = (−V, U) = ∇v = ( ∂v∂x, ∂v∂y) .

Y a esta función se le llama función de la corriente del fluido.Entonces las líneas v = constante, representan el movimiento del fluido (líneas de

corriente) y su vector tangente tiene la misma dirección que el vector velocidad (X).Y cuando u = constante tenemos las líneas equipotenciales, que son ortogonales a lasanteriores en cada punto.De esta manera, las curvas de nivel de u y de v, nos representan el movimiento del

fluido como un todo.Si consideramos a u como la parte real y a v como la parte imaginaria de una función

compleja, entonces esta función cumple las ecuaciones de Cauchy-Riemann y es deriv-able: cualquier fluido perfecto me produce una función de variable compleja derivable yviceversa. Esto nos da una forma más de ver geométricamente una función de variablecompleja, dibujando las líneas de flujo del fluido. Los puntos donde la derivada de la fun-ción se anula son los puntos estacionarios del fluido. Esta representación fue muy usadaen los inicios de la teoría, sobre todo por Riemann.Veamos algunos ejemplos de curvas de nivel para v constante (fluidos):

98

1/z

99

z3 − 3z

100

(z + 1/z)/2 (Jukovsky)

Después de observar las anteriores, ¿puede el lector identificar la siguiente función?

101

¿?

3.2. Teorema complejo de la función inversa

3.2.1. Teorema complejo como corolario del real

Teorema 3.2 Teorema de la Función Inversa (Complejo)f : U → C derivable en todo punto de U, z0 ∈ C, f 0(z0) 6= 0Entonces existen vecindades V1 de z0, V2 de f(z0) tal que f |v1 : V1 → V2 es invertible

y la inversa g es derivable y vale g0(w) = 1f 0(g(w))

Demostración Considerando a f como función de R2 → R2, tenemos que Jf en elpunto z0 es distinto de cero, por el teorema de la Función Inversa (Real ) la función es

invertible en una vecindad de z0, siendo la matriz de la derivada de la formaµ

a −bb a

¶,

la inversa también es de la misma forma por lo tanto es C−lineal y la función inversa esderivable.Finalmente f(g(w)) = w, y f 0(g(w))g0(w) = 1,por tanto g0(w) = 1

f 0(g(w)) .X

102

Por ejemplo, si la derivada de f(z) = ez, es ez, entonces f 0(z0) 6= 0 para cualquierpunto y por el teorema anterior la derivada de la inversa sería

g0(w) = 1f 0(g(w)) =

1elogw

= 1w

Esto es válido para cualquier rama del logaritmo.

3.2.2. Función armónica

Otra consecuencia importante de las ecuaciones de Cauchy-Riemann es:Si f : u+ iv es derivable y suponemos que u, v son de clase C2, entonces de

ux = vy

uy = −vx

se deduce inmediatamente que u y v satisfacen la ecuación de Laplace:

uxx + uyy = vxx + vyy = 0

Una función real que satisface la ecuación de Laplace se le llama armónica. Estasfunciones tienen diversas aplicaciones en la Física, por ejemplo en el estudio de la tem-peratura de un cuerpo en equilibrio.Tenemos entonces que la parte real y la parte imaginaria de una función derivable son

funciones armónicas. Y dada cualquier función armónica podemos encontrar una funciónderivable cuya parte real (o imaginaria) es la función armónica.

3.2.3. Derivabilidad de las funciones elementales

Si la función exponencial es derivable, entonces tendríamos muchas más funcionesderivables. Podemos hablar de las derivadas de las funciones trigonometricas e hiper-bólicas (senz, cos z, tan z, senh z, cosh z, etc.), pues cada una de ellas involucra a laexponencial. Estas derivadas prácticamente ya las conocemos.

f(z) = ez es derivablesea z0 ∈ Cf 0(z0) = lım

h→0ez0+h − ez0

h= ez0 lım

h→0eh − 1

h

y lımh→0

eh − 1h

= 1

Para demostrar este límite, es más fácil verlo con series:lımh→0

eh − 1h

= lımh→0(1 + h

2!+ h2

3!+ ...) = lım

h→0( lımk→∞

(1 + h2!+ h2

3!+ ...+ hk−1

k!) =

= lımk→∞

(lımh→0(1 + h

2!+ h2

3!+ ...+ hk−1

k!) = 1

103

Otra manera de argumentar que la exponencial es derivable es por Cauchy-Riemann.Tenemos que f(x, y) = (ex cos y, exseny) es una función derivable como función de R2

a R2.

∂u∂x= ex cos y = ∂v

∂y,

∂v∂x= exseny = −∂u

∂y,

por tanto f(z) = ez es una función derivable para todo punto en C.Sabiendo que ez es derivable, calculamos la derivada f 0(z) = ux + ivx = vy − iuy

f 0(z) = ez

Algunas funciones derivables y sus derivadas:1) (ez)0 = ez

2) (log z)0 = 1z

3) (senz)0 = cos z4) (cos z)0 = −senz5) (cosh z)0 =senhz6) (senhz)0 = cosh z

Como cualquier inversa trigonométrica (o hiperbólica) se puede expresar en términosdel logaritmo, calcular su derivada involucra la derivada del logaritmo, para no tenerproblemas con las definiciones siempre debemos especificar muy bien las ramas.

104

Capítulo 4

Integración de Funciones Complejas

4.1. Integral Compleja

4.1.1. La integración compleja como integral de línea

Habiendo dado nuestros primeros pasos en la derivación de funciones, pasemos a hacerlo mismo para la integración. Para definir la integral indefinida de una función complejano hay mayor problema: simplemente es la antiderivada o, como se acostumbra más enlas funciones complejas, la primitiva:

Definición 4.1 Si f(z) una función compleja, una primitiva de f en un abierto U con-tenido en el dominio de f es una función holomorfa F : U → C tal que F 0(z) = f(z)para toda z ∈ U .

Como en el caso real, si hay una primitiva de f en U hay muchas, pero todas difierenpor constantes.Definir la integral indefinida de una función compleja entre dos complejos α y β

requiere mayor cuidado. En el caso real el procedimiento usual consiste en partir elintervalo, hacer sumas de Riemann y pasar al límite. Pero en el caso complejo no haysiempre un segmento que vaya de α a β dentro del dominio de definición de f , y aúnhabiéndolo no es fácil ver qué sucede cuando hacemos variar β, a menos que tomemos nosólo segmentos sino también otras líneas quebradas . O bien, se podrían tomar sucesionesde puntos entre un punto y otro y hacer sucesiones cuyos puntos estén cada vez máscercanos entre sí, y ver si las correspondientes sumas de Riemann convergen. Para queesto suceda es natural pensar que las sucesiones se van acomodando en torno de algunacurva, y así se llegaría también a tener que considerar integrales sobre curvas.Para darle forma a todo esto, lo mejor es definir directamente las integrales complejas

como integrales de línea.

105

Una curva C en el plano complejo es la imagen de una función continua, definida enun intervalo cerrado. Es decir, γ : [a, b]→ C tal que γ(t) = x(t) + iy(t) y sus ecuacionesparamétricas están dadas por funciones continuas: x = x(t), y = y(t), a ≤ t ≤ b.Si x(a) = x(b), y(a) = y(b) tenemos una curva cerrada. Si no se cruza, es una curva

simple (γ(t) 6= γ(s), para t 6= s, con t, s ∈ (a, b]).Una curva C es C1 por tramos, si γ(t) tiene derivada continua para a ≤ t ≤ b, excepto

para un número finito de puntos.

Ejemplo 4.1 γ(t) =

t si 0 ≤ t ≤ 1,1 + i(t− 1) si 1 ≤ t ≤ 2,(3− t) + i si 2 ≤ t ≤ 3,i(4− t) si 3 ≤ t ≤ 4.

γ parametriza una curva C1 por tramos, simple y cerrada.

El vector (x0(t), y0(t)) es el vector tangente a la curva en el punto x(t) + iy(t).La integral de una función compleja de variable real z(t) = u(t) + iv(t) se define en

términos de dos integrales reales. Y si tenemos w = f(z) definida en una región y C esuna curva C1 por tramos, la integral compleja se define como una integral de línea:R

Cf(z)dz = lım

nPj=1

f(z∗j )4jz

el intervalo a ≤ t ≤ b es subdividido en n partes por t0 = a, ..., b = tn, zj = x(tj) +iy(tj) y 4jz = zj − zj−1, t

∗j es un punto en el j-subintervalo y z

∗j = x(t∗j) + iy(t∗j).R

Cf(z)dz ≈

nPj=1

f(z∗j )4jz =nP

j=1

{u(x(t∗j), y(t∗j)) + iv(x(t∗j), y(t∗j))}(4jx+ i4jy) =

=nP1

(u4jx− v4jy) + inP1

(v4jx+ u4jy)

Cuando hacemos tender a cero la norma de la partición obtenemos que la integral delínea compleja es la combinación de los integrales de línea reales.Por tanto tenemos:Sea γ(t) = x(t) + iy(t) que parametriza la curva C.RCf(z)dz =

RCudx − vdy + i

RCvdx + udy =

bRa

(udxdt− v dy

dt)dt + i

bRa

(v dxdt+ udy

dt)dt =

bRa

(u+ iv)(dxdt+ idy

dt)dt =

bRa

f(γ(t))γ0(t)dt.

Precisemos las definiciones correspondientes: necesitamos primero definir lo más sim-ple que es,I. Integral definida de una función compleja de variable real. En este caso se integran

la parte real y la parte imaginaria de la función:

g : [a, b]→ C a ≤ t ≤ bg(t) = u(t) + iv(t)bRa

g(t)dt =bRa

u(t)dt+ ibRa

v(t)dt

106

Ya con esta definición es natural definir la integral como sigue:II. Integral compleja como integral de línea: en el integrando substituimos la variable

z por los valores de la curva y el símbolo dz por la velocidad de la curva e integramosrespecto al parámetro:

Sea C una curva C1 por tramos parametrizada por γ.f : U → C, U ⊂ Cγ : [a, b]→ Uz = γ(t) = x(t) + iy(t))RCf(z)dz =

bRa

f(γ(t))γ0(t)dt

III. Integral de línea con respecto a longitud de arco. Ésta es una integral auxiliarque nos sirve para hacer estimaciones. Geométricamente, su parte real e imaginaria rep-resentan el área de la superficie curva por encima de C y debajo de la gráfica de la partereal e imaginaria de la función. Pero esta representación geométrica no le da mucho másclaridad a la definición formal, que consiste en hacer las mismas substituciones que en elcaso anterior:R

Cf(z)ds =

RCf(z) |dz| =

bRa

f(γ(t)) |γ0(t)| dt

4.1.2. Propiedades elementales de las integrales de línea com-plejas.

Las demostraciones de varias propiedades son esencialmente las mismas que para lasintegrales reales para funciones continuas. Demostraremos sólo algunas de ellas.Propiedades de la integral I:0) Definida si g es continua en [a, b] .

1)bRa

(g1(t) + g2(t))dt =bRa

g1(t)dt+bRa

g2(t)dt

2)bRa

α(g(t))dt = αbRa

g(t)dt, α ∈ C

3)bRa

g(t)dt+cRb

g(t)dt =cRa

g(t)dt 0 < b < c

4) Si h : [a0, b0]→ R, es de clase C1 tal que h(a0) = a y h(b0) = b,bRa

g(t)dt =b0Ra0g(h(s))h0(s)ds

5)

¯bRa

g(t)dt

¯≤

bRa

|g(t)| dt

6) G : [a, b]→ C derivable (C1)

107

bRa

G0(t)dt = G(b)−G(a).

Demostración de (5)Caso fácil:

Supongamos quebRa

g(t)dt ≥ 0 :

entonces

¯bRa

g(t)dt

¯=

bRa

g(t)dt = RebRa

g(t)dt =bRa

Re g(t)dt ≤bRa

|g(t)| dt.XCaso general:

Existe un número complejo λ con |λ| = 1 tal que λbRa

g(t)dt sea un número real positivo

y estaríamos ya en el caso fácil, entonces¯λ

bRa

g(t)dt

¯=

¯bRa

λg(t)dt

¯≤

bRa

|g(t)| dt.X

Propiedades de la integral II:0) Definida si f es continua y C es C1 por tramos1)RC(f1 + f2)(z)dz =

RCf1(z)dz +

RCf2(z)dz

2)RCαf(z)dz = α

RCf(z)dz

3)R

C1+C2f(z)dz =

RC1f(z)dz +

RC2f(z)dz , donde C1 + C2 es la curva que se obtiene

recorriendo primero la curva C1 y después la curva C2 .4) Si β es una reparametrización de γ que conserva el sentido,

RCγf(z)dz =

RCβf(z)dz

Demostración γ : [a, b]→ C y β : [c, d]→ C.Sea h : [c, d]→ [a, b] creciente, derivable tal que β(s) = γ(h(s))RCβf(z)dz =

dRc

f(β(s))β0(s)ds =dRc

f(γ(h(s)))γ0(h(s))h0(s)ds =bRa

f(γ(t))γ0(t)dt =RCγf(z)dz.

5)

¯RCf(z)dz

¯≤RC|f(z)| |dz| .X

Demostración Es análoga a la propiedad 5 de la definición anterior.X6) Si F : U → C derivable (y F 0

continua)RCF

0(z)dz = F (γ(b))− F (γ(a))

7) Fórmula de cambio de variable para integrales complejas.Sean U1 y U dos regiones de C.Sea f continua en U.C1 una curva en U1.h : U1 → U una función derivable y su inversa también derivable y C = h ◦ C1Entonces

RCf(w)dw =

RC1f(h(z))h0(z)dz

108

8)R−C

f(z)dz = −RCf(z)dz donde −C es la curva C recorrida en sentido contrario.

Ejemplo 4.2 Sea C = círculo unitarioRCz dz = 0R

Cz2 dz = 0R

Cz dz = 2πi = 2i(area encerrada por C)R

γ

z dz = 2i(area encerrada por γ), donde γ es una curva C1 por tramos, cerrada

alrededor del origen.RC

1zdz = 2πiR

L

1z − a

dz = 2πi L =©z = a+ eiθ, 0 ≤ θ ≤ 2π

ªRC|dz| =

bRa

¯γ0(t)¯dt = longitud(C), C curva de C1 por tramos, parametrizada por γ.

4.2. Teorema de la Primitiva

“Integrabilidad” de las potencias positivas y no negativas de z ....salvo una. Com-paración con las integrales de línea reales: campos conservativos y diferenciales exactas.

4.2.1. Ejemplos de funciones “integrables” y “no integrables”

Sea C una curva C1 por tramos parametrizada por γ, γ : [a, b]→ U.Sea f : U → C, U una región (abierto conexo)Nos preguntamos:¿Cuándo la integral depende sólo de los extremos de la curva? O bien ¿CuándoR

Cf(z)dz = 0 para C cerrada?Empezaremos con algunos ejemplos:

Ejemplo 4.3 Sea γ : [0, 2π] −→ C donde γ(t) = cos t+ isent y f(z) = zRCf(z)dz =

2πR0

f(γ(t))γ0(t)dt =2πR0

(cos t+isent)(−sent+i cos t)dt =2πR0

(−2sent cos t)dt+

i2πR0

(cos2 t−sen2t)dt = 0

Ejemplo 4.4 γ(t) la misma que en ejemplo anterior y f(z) = z entoncesRCf(z)dz =

2πR0

(cos t− isent)(−sent+ i cos t)dt = i2πR0

(cos2 t+ sen2t)dt = 2πi.

109

Ejemplo 4.5 Ahora calculemos la integral de la función f(z) = z sobre tres curvasdistintas parametrizadas por:

γ1(t) = cos t+ isen t, 0 ≤ t ≤ π,γ2(t) = −γ(t) donde γ(t) = cos t+ isent, π ≤ t ≤ 2π,γ3(t) = 1− 2t, 0 ≤ t ≤ 1RC1zdz =

πR0

(cos t− isent)(−sent+ i cos t)dt = πi

RC2zdz = −i

2πRπ

dt = −πi

RC3zdz =

1R0

(1− 2t)(−2)dt = 0

¿Qué podemos concluir de estos ejemplos? Que en el ejemplo (4.4) la integral sobreuna curva cerrada fue distinta de cero, comparándolo con el (4.3), la función z no esla derivada de una función y que en general para una función podemos tener distintosvalores para la integral, es decir si depende de la trayectoria de la curva.

Teorema 4.1 (de la Primitiva)Sea f : U ⊂ C→ C continua.Son equivalentes:(i)RCf(z)dz depende sólo de los extremos de la curva C (f es "integrable")

(ii)RCf(z)dz = 0 ∀ curva cerrada

(iii) Existe F : U ⊂ C→ C holoforma en U tal que F 0(z) = f(z).En este último caso tenemos

RCf(z)dz = F (γ(b))− F (γ(a)). γ : [a, b]→ C

Demostración (i)⇒(ii)Como la integral depende sólo de los extremos de la curva, basta calcular la integral

sobre una curva C constante. Sea γ1(t) = α, γ1 : [a, b]→ URCf(z)dz =

RC1

f(z)dz =bRa

f(γ1(t))0dt = 0

(ii)⇒(i) Sean dos curvas distintas C1, C2 que unan los mismos puntos. Sea C = C1 +(−C2) tenemos que

RCf (z) dz = 0⇒

RCf (z) dz =

RC1f (z) dz +

R−C2

f (z) dz = 0.

Por lo tantoRC1f (z) dz =

RC2f (z) dz, es decir, la integral sólo depende de los extremos.

(iii)⇒(i) Sea C una curva C1 por tramos parametrizada por γ.γ : [a, b]→ C, γ (a) = α, γ (b) = β.

Tenemos por hipótesis queRCf (z) dz =

RCF 0 (z) dz =

bRa

F 0 (γ (t)) γ0 (t) dt, demostraremos

que esta última integral es igual a F (β)− F (α) . Si F = U + iV, γ (t) = σ (t) + iτ (t)

110

g (t) = F (γ (t)) = g1(t) + ig2(t), tendríamos que g0(t) = g01(t) + ig02(t) y γ0(t) =σ0(t) + iτ 0(t)

g01(t) =∂U∂x(σ(t), τ(t))σ0(t) + ∂U

∂y(σ(t), τ(t))τ 0(t)

g02(t) =∂V∂x(σ(t), τ(t))σ0(t) + ∂V

∂y(σ(t), τ(t))τ 0(t)

Como F es holomorfa esto implica que F 0(z) = ∂U∂x+ i∂V

∂x= ∂V

∂y− i∂U

∂y

F 0(γ(t))γ0(t) = (∂U∂x+i∂V

∂x) (σ0(t) + iτ 0(t)) =

¡∂U∂xσ0(t)− ∂V

∂xτ 0(t)

¢+i¡∂V∂xσ0(t) + ∂U

∂xτ 0(t)

¢=

g0(t). Por tantobRa

F 0(γ(t))γ0(t)dt =bRa

g0(t)dt =bRa

g01(t)dt+ibRa

g02(t)dt = g1(t) |ba +ig2(t) |ba=

F (γ(b)) −F (γ(a)) = F (β)− F (α).

(i)⇒(iii) Definimos F (z) =zRz0

f(ξ)dξ, por hipótesis está bien definida. Tomamos una

poligonal con los segmentos paralelos a los ejes que una a z0 y z .Para obtener la parcial de F con respecto a x, nos movemos en la dirección del eje

real con un segmento que va de z = x+ iy a z + h, h real:

F (x+ h+ iy) =zRz0

f(ξ)dξ +z+hRz

f(ξ)dξ =zRz0

f(ξ)dξ +hR0

f(x+ s+ iy)ds

Derivando con respecto a h y evaluando en h = 0, se obtiene:∂F∂x= f(x, y)

Hacemos lo mismo para obtener la parcial con respecto a y, nos movemos en la verticalde z = x+ iy a z + ih :

F (x+ i(y + h)) =zRz0

f(ξ)dξ +z+hRz

f(ξ)dξ =zRz0

f(ξ)dξ +hR0

f(x+ i(y + s))ids

∂F∂y= if(x, y).

Si f(x, y) = u+ iv tenemos que ∂F∂x= u+ iv y ∂F

∂y= i(u+ iv) = −v + iu

Como f = u+iv es continua entonces las parciales de F son continuas (por lo tanto esdiferenciable como función de R2en R2) y además tenemos que se cumplen las ecuacionesde Cauchy Riemann: F = U + iV

∂U∂x= u ∂V

∂x= v

∂U∂y= −v ∂V

∂y= u

Esto demuestra que F (z) es holomorfa en U (dominio de f) y que su derivada es f(z).

4.2.2. “Integrabilidad” de las potencias positivas y no negativasde z ...salvo una. Comparación con las integrales de líneareales: campos conservativos y diferenciales exactas.

El teorema 4.1 nos permite calcular muchas integrales (C curva cerrada), por ejemplo:RCzndz = 0 n ∈ NR

Cz−ndz = 0 n 6= 1, C no pasa por el origen

111

RCP (z)dz = 0, P (z) cualquier polinomioR

Cezdz = 0R

Csen(z)dz = 0

Resultados equivalentes:Este resultado tiene su equivalente en Cálculo de varias variables reales, para campos

vectoriales y para formas diferenciales:Pdx+Qdy es exacta (es decir, ∃ una función F (x, y) tal que ∂F

∂x= P y ∂F

∂y= Q )

⇔RCPdx+Qdy sólo depende de los extremos de C

⇔RCPdx+Qdy = 0 para toda C curva cerrada.

X = (P,Q) es un campo gradiente⇔

RCX · dx solo depende de los extremos (X es conservativo)

⇔RCX · dx = 0 para toda C curva cerrada.

Estas son equivalencias entre diversas propiedades, muy importantes desde el puntode la teoría de las formas diferenciales y los campos de fuerzas, pero en la práctica noson muy útiles para verificar si alguna de ellas se cumple en un ejemplo dado. Para estohay otro criterio que es el siguiente:

Pdx+Qdy es exacta ⇒ ∂P∂y= ∂Q

∂x(es decir, la forma es cerrada).

X = (P,Q) es un campo gradiente ⇒ rotX = ∂P∂y− ∂Q

∂x= 0 (es decir, el campo es

irrotacional).

La diferencia es que este criterio sólo da una condición necesaria, que es suficiente sóloen la vecindad de cada punto o en regiones especiales (sin hoyos), además que requiereque la forma diferencial o el campo tengan parciales continuas. Veamos cómo se expresaeste criterio para las funciones complejas:Si f = u+ iv y suponemos que f ∈ C1 como función real (u, v ∈ C1), γ(t) = x+ iy ,

la integral de línea se desarrolla como:RCf(z)dz =

RCudx− vdy + i

RCvdx+ udy

Así, para que la integral sólo dependa de los extremos de C se requiere que lo mismosuceda para sus partes real e imaginaria y la condición necesaria anterior aplicada a cadaparte daría las condiciones:

∂u

∂y+

∂v

∂x= 0

∂v

∂y− ∂u

∂x= 0

¡Que no son otras que las condiciones de Cauchy-Riemann otra vez!Algo muy curioso está pasando: las condiciones (necesarias y suficientes) para que

una función sea derivable resultan ser las mismas que las necesarias para que tenga

112

primitiva, es decir para que sea "integrable". En la segunda parte de este curso iremos alfondo de esta extraña coincidencia y veremos las enormes repercusiones que tiene parala comprensión de las funciones holomorfas.

Por lo pronto hemos demostrado la implicación correspondiente a las anteriores parael caso complejo:Si tenemos f = u+ iv ∈ C1 como función real (u, v ∈ C1) yRCf(z)dz = 0 para toda curva cerrada C entonces f es holomorfa.

Veremos también después que se puede prescindir de la hipótesis f ∈ C1 .Por lo pronto recordemos porque esas condiciones no son suficientes.Recordemos un ejemplo de campo vectorial que tiene rotacional nulo, pero que no es

un campo gradiente:Sea X(x, y) = ( −y

x2+y2, xx2+y2

) . Este es un campo vectorial definido en R2 −{(0, 0)}.(1) ¿Existe Φ tal que ∇Φ = X ?La condición rotX = 0 se cumple, como puede verificar el lector calculándolo. Busque-

mos entonces Φ.Sean A y B dos puntos en R2 − {(0, 0)}, α una parametrización lisa por tramos, α

:[a, b]→ R2 − {(0, 0)}tal que α(a) = A y α(b) = BRα

X·dα =bRa

(−α2(t)α21+α

22, α1(t)α21+α

22).(α

01, α

02)dt =

bRa

α1α02−α2α

01

α21+α22

dt =bRa

³α2α1

´01+³α2α1

´2dt = arctan α2(t)α1(t)

|ba=

= arctan B2B1− arctan A2

A1

Φ(x, y) = arctan¡yx

¢(2) Sin embargo, la integral de línea sobre cualquier circunferencia con centro en el

origen es distinta de cero; es más:RC

X · dα =2πR0

1r2(−rsenθ, r cos θ)(−rsenθ, r cos θ)dθ =

2πR0

dθ = 2π

¿Qué es lo que está pasando?Que la función Φ que obtuvimos no está bien definida para toda (x, y) 6= (0, 0). La

podemos definir en algún abierto siempre que éste no rodee al origen. Por ejemplo en elsemiplano superior. Ahí el campo sí es gradiente. Lo mismo en cualquier otro semiplano.Pero no en todo R2 −{(0, 0)}.El problema es que la condición rotX = 0 es una condición local : para verificarla

en un punto sólo necesitamos conocer lo que pasa en la vecindad de ese punto. Con esoes suficiente para calcular las derivadas parciales de X y por lo tanto el rotacional. Encambio la condición

Rγ

X · dx = 0 para toda γ curva cerrada es una condición global: no

podemos verificarla alrededor de cada punto, necesitaríamos considerar todas las curvascerradas, y todas incluye hasta las que van a dar una vuelta hasta puntos muy lejanos.Lo mismo, para verificar que X es un gradiente en una región U necesitamos construir lafunción cuyo gradiente sea X en toda U y no vale en general construirla en pedacitos y

113

después pegar todos los pedacitos. El resultado puede ser algo que no es una función biendefinida en todo U . El ejemplo anterior nos muestra que lo local y lo global no siemprecoinciden.Para el caso de funciones complejas ya hemos visto el ejemplo f(z) = 1

zfunción

holomorfa definida en C− {0}. Si γ(θ) = eiθ, 0 ≤ θ < 2π tenemos que:RC

1zdz = i

2πR0

1eiθeiθdθ = 2πi y por tanto:

ZC

1

zdz = 2πi

O sea que 1/z es una función holomorfa definida para z 6= 0 , como tal cumpleCauchy- Riemann y, sin embargo, su integral a lo largo de una curva cerrada no es 0 yen consecuencia no tiene primitiva. Pero localmente y en partes adecuadas del dominio sítiene primitiva: log(z) que como sabemos puede definirse en algunos subdominios, comopor ejemplo, en C −(∞, 0] (la rama principal) pero no en todo el dominio C− {0}. Enuna región así podemos simplemente calcularR

C

1zdz = log(β)− log(α) = log β

α= log |β||α| + i(arg β − argα)

Pero en todo el dominio de 1/z esta fórmula presenta un problema: no en la partereal de la integral ( log(|z|) está bien definida para z 6= 0 ) pero sí en la imaginaria, argα, que tiene la indefinición que ya conocemos.Veamos algunos cálculos de este tipo:Sean C1 y C2 como se muestran en el dibujo:

y calculemos las integrales:RC1

1zdz = log z |i−i= log i− log(−i) = iπ

2+ iπ

2= πi

(porque ∃F1(z) = log z = log |z|+ i arg z, −π < arg z < π)RC2

1zdz = log z |−ii = log(−i)− log(i) = i3π

2− iπ

2= πi

(porque ∃F2(z) = log z = log |z|+ i arg z, 0 < arg z < 2π).Si tenemos una curva como en el dibujo, podemos partirla e integrar, obteniendo la

variación del argumento:RC

1zdz = 4πi (mide cómo va aumentando el argumento)

114

Observemos que la curva le da dos vueltas al origen.

O bien, si recorremos la siguiente curva en el mismo sentido que las manecillas delreloj tenemos:

RC

1zdz = −2πi

Tenemos por conclusión que para toda curva cerrada C que no pase por el origen, kentero:

ZC

zk = 0, k 6= −1

ZC

zk = (2πi)n k = −1

donde el número n es el número de vueltas que le da la curva el origen. A pesar de esto,en algunos casos es posible demostrar que la integral de una función holomorfa sobre unacurva cerrada es 0.

4.3. Teorema de Cauchy para el rectángulo

Consideremos un campo vectorial X definido en una región U y supongamos que suscomponentes tienen derivadas parciales continuas en U . Supongamos que tenemos unrectángulo cerrado R contenido en U y sea ∂R la frontera de R orientada en sentidopositivo. En esas circunstacias tenemos el Teorema de Green que afirma la integral delínea del campo sobre ∂R es igual a la integral de superficie del rotacional del camposobre R : Z

∂R

X · dx =Z Z

R

rotX dxdy

115

(Existen diferentes versiones del Teorema de Green, pero es fácil ver que todas son equiv-alentes: para una forma diferencial se formula así:Z

∂R

Pdx+Qdy =

Z ZR

(∂Q

∂x− ∂P

∂y) dxdy

bajo las hipótesis correspondientes).Si, adicionalmente, suponemos que rotX = 0 , se puede concluir que la integral de

línea de X sobre la curva cerrada ∂R es cero.Aplicando este resultado como antes a las partes real e imaginaria de la integral de

una función compleja obtenemos el

Teorema 4.2 (de Cauchy para el rectángulo) Sea f : U → C holomorfa tal quef 0(z) sea continua y sea R un rectángulo cerrado contenido en U . EntoncesZ

∂R

f (z) dz = 0 .

Es claro que la misma conclusión se obtiene si substituimos el rectángulo por untriángulo, un disco, o cualquier otra región cerrada a la que se pueda aplicar el Teoremade Green. En la segunda parte veremos nuevamente que se puede prescindir de la hipótesisde que f 0(z) sea continua. Este resultado, conocido como Teorema de Cauchy-Goursatserá de fundamental importancia para la teoría de las funciones holomorfas.

Conclusión 4.1 La afirmación “la integral de una función holomorfa a lo largo de unacurva cerrada es cero” es falsa en general. La afirmación es, sin embargo, casi cierta: escierta para algunas regiones, es cierta cuando la función se comporta bien en la vecindadde los puntos donde no esté definida, es cierta para ciertas curvas cerradas, etc. Todasesas variantes se conocen como “Teoremas de Cauchy”.

El contraejemplo ZC

1

zdz = 2πi

nos arruina la posibilidad de tener un “Teorema de Cauchy” completamente general sinhipótesis adicionales. Pero el hecho no es tan grave porque es, en cierto sentido, el únicoejemplo: cualquier otro deberá contener, más o menos escondido a éste.

Pero después veremos que si bien este ejemplo nos quita ese “Teorema de Cauchy”perfecto, nos da por otro lado todos los teoremas fundamentales sobre las funcionesholomorfas. Es la llave que nos abre la puerta a un mundo de impresionantes resultados,ninguno de los cuales se podría obtener si la integral anterior fuera 0.

116

4.4. Integración de funciones racionales

4.4.1. El Teorema del Residuo (primera versión)

Por lo visto anteriormente podemos calcular fácilmente cualquier integral de un poli-nomio. Desde la Preparatoria sabemos encontrar primitivas de polinomios. Veremos ahoraque también sabemos calcular, en principio, la integral de cualquier función racional. Estehecho tendrá, sorpresivamente, grandes implicaciones que se agrupan en torno al Teoremadel Residuo.Todo se basa en el conocido método de las fracciones parciales, que se basa en la

proposición que ya demostramos: toda función racional se puede escribir como una sumade funciones racionales, cada una de las cuales tiene un solo polo. Entonces todo sereduce a calcular las integrales de éstas.Si R(z) tiene un solo polo, y éste es ∞, entonces es un polinomio y ya lo sabemos

integrar.Si R(z) tiene un solo polo p ∈ C, entonces se puede escribir de la forma

R(z) =P (z)

(z − p)m

donde P (z) es un polinomio de grado ≤ m. Desarrollándolo en potencias de z− p obten-emos:

R(z) =a−m

(z − p)m+ ...+

a−1z − p

+ a0.

Para integrarla, observemos que todos los términos, salvo el penúltimo, tienen una prim-itiva bien definida (que es una función racional) en todo C − {p}. Y el penúltimo tienecomo primitiva a−1 log(z − p) que no está bien definida en todo C − {p}, pero que yasabemos como trabajar.Podemos concluir que la integral de toda función racional se puede expresar como

suma de funciones racionales y logaritmos. El principal problema para llevar esto a lapráctica consiste en encontrar los polos de la función, lo cual involucra encontrar lasraíces del denominador, lo cual es bien sabido que puede ser complicado si su grado esmayor que 2 y más aún si el grado es muy grande.En el caso de que quisiéramos integrar una función con un sólo polo como la anterior

a lo largo de una curva cerrada C que no pase por p, las integrales de todos los términosson cero, salvo la del penúltimo:Z

CR(z)dz = a−1

ZC

dz

z − p

De toda la función, lo único que necesitamos para calcular la integral es conocer p yel valor de a−1 . A éste último se le conoce como el residuo de R(z) en el polo p y lo

117

denotaremos por res(R, p).Falta sólo calcular la integral de la función 1/(z − p) que, como sabemos, depende

sólo del número de vueltas que le da C a p . En ciertos casos es fácil decir cuál es estenúmero, pero necesitamos en general definir bien este concepto. Hay formas geométricasde hacerlo, pero esto requeriría desviarnos mucho. De hecho, podemos invertir los papelesy definir formalmente “el número de vueltas que le da C a p” en términos de la integral.Este número se llama el índice de C respecto a p , se denota por n(C, p) y se define así:

n(C, p) = 1

2πi

ZC

dz

z − p

Con estos conceptos podemos ya enunciar el

Teorema 4.3 (del Residuo para funciones racionales)Si R(z) es una función racional con polos p1, ..., pk y C es una curva cerrada que no

pasa por ninguno de estos polos, entoncesZCR(z)dz = 2πi

kXj=1

n(C, pj)res(R, pj).

Demostración La demostración ya está hecha: se descompone R(z) en sus fraccionesparciales (funciones con un solo polo) y se realiza el cálculo anterior (ver apéndice D).Nuevamente, en un caso particular, suele ser fácil encontrar los índices n(C, pj) , hay

métodos para calcular los residuos res(R, pj) y lo más problemático es encontrar lospolos.

4.4.2. Cálculo de Integrales reales

Una de las aplicaciones del Teorema del Residuo es calcular integrales reales.Hay muchas que resultan díficil de calcular, otras que solamente con el teorema del

residuo tienen solución.

(i) Empecemos con las integrales de la forma:

2πZ0

R(cos θ, senθ)dθ

donde R es una función racional. Interpretamos la integral como una integral complejacomo sigue:Vamos a buscar una función f(z) que al integrarla sobre el círculo unitario me de la

que tenemos. Hacemos:z = eiθ

dz = izdθ

118

cos θ = Re z = 12(z + 1

z)

senθ = Im z = 12i(z − 1

z)

2πR0

R(cos θ,senθ)dθ = −iR

|z|=1

R( 12(z+ 1

z), 12i(z− 1

z))

zdz

la integral compleja la resolvemos con el teorema del residuo. Tenemos que garantizarque no hay polos en el círculo.

(ii) Integrales de la forma

∞Z−∞

R(x)dx

Las condiciones para que exista la integral son:R función racional que no tenga polos reales y que el grado del denominador sea mayor

o igual al grado del numerador más dos, es decir, |R(z)| ≤ k|z|2 para z suficientemente

grande, cumpliéndose también para toda x. La función racional compleja tiende a cerocomo 1

x2.

Bajo éstas condiciones se cumple que,¯bR0

R(x)dx

¯≤¯1R0

R(x)dx

¯+

¯bR1

R(x)dx

¯≤ α+ k(1− 1

b) <∞

por tanto existen los dos límites siguientes:∞R0

R(x)dx = lımb→∞

bR0

R(x)dx y0R

−∞R(x)dx = lım

b→−∞

0Rb

R(x)dx,

y existe∞R−∞

R(x)dx.

Consideremos la curva Cr formada por el intervalo [−r, r] y (sr) el semicírculo de radior.

Como R(x) es una función racional real que no tiene polos en R, los polos quedandentro de la curva. Calculamos la integral sobre Cr :R

Cr

R(z)dz = 2πi(P

zi polo RIm(zi)>0

Res(R, zi))

RCrR(z)dz =

rR−r

R(x)dx+πR0

R(reiθ)ireiθdθ

119

haciendo tender r a infinito tenemos que,¯πR0

R(reiθ)ireiθdθ

¯≤

πR0

¯R(reiθ)

¯r |dθ| ≤

πR0

kr2r |dθ| = k

rπ → 0

y por tanto∞R−∞

R(x)dx = 2πi(P

zi polo RIm(zi)>0

Res(R, zi)).

El Teorema del Residuo también es válido para funciones que no sean racionales.

120

Apéndice A

Teorema (Bolzano-Weierstrass):

Teorema A.1 (Teorema de Bolzano-Weierstrass para conjuntos)

Todo conjunto infinito acotado tiene al menos un punto de acumulación.

Teorema A.2 (Teorema de Bolzano-Weierstrass para sucesiones)

Toda sucesión acotada en C tiene al menos una subsucesión convergente.

121

Apéndice B

Teorema Fundamental del Algebra

Teorema B.1 Todo polinomio complejo no constante tiene al menos una raíz compleja

x

y

x

y

Buscaremos un h complejo tal que cumpla |p(z0 + h)| < |p(z0)|.p(z0 + h) = an(z0 + h)n + an−1(z0 + h)n−1 + ...+ a0haciendo las operaciones binomiales y agrupando tenemosp(z0 + h) = p(z0) + bnh

n + ... + bkhk, donde k es la potencia más chica que aparece

(puede ser igual a uno)p(z0 + h) = p(z0) + bkh

k +bk+1hk+1 + ...+ bnh

n

= p(z0) + bkhk +bkh

k³bk+1bk

h+ ...+ bnbkhn−k

´Llamemos α = bkh

k

β = bkhk³bk+1bk

h+ ...+ bnbkhn−k

´p(z0 + h) es el vector resultante de sumar p(z0), α y β. Veamos qué condiciones

podemos pedir para h:i) si |α| < |p(z0)| y argα = arg p(z0) + π (argα = arg bk + k arg h)entonces el vector α tiene dirección opuesta al vector p(z0)ii) si |β| < |α|

122

¯bkh

k³bk+1bk

h+ ...+ bnbkhn−k

´¯= |bk| |h|k

¯³bk+1bk

h+ ...+ bnbkhn−k

´¯≤

|bk| |h|k (¯bk+1bk

h¯+ ...+

¯bnbkhn−k

¯) < |bk| |h|k = |α| ,

si se cumple¯bk+1bk

¯|h|+ ...+

¯bnbk

¯|h|n−k < 1.

Si |h| es suficientemente pequeño para que se cumpla i) y ii) con

arg h =arg p(z0) + π − arg bk

k

entonces h ∈ C tal que |p(z0 + h)| < |p(z0)|.Por tanto p(z) = 0 para algún z ∈ C.

123

Apéndice C

Geometría real con notacióncompleja

Si P (z) es un polinomio complejo, entonces la ecuación P (z) = 0 se cumple única-mente por un número finito de puntos del plano. Por lo tanto, si queremos encontrar laecuación de una curva en notación compleja, tenemos que incluir otras funciones, comopor ejemplo z.Por ejemplo la ecuación zz = 1 nos representa el círculo unitario, la ecuación z−z = 0

nos representa el eje real, etc.De hecho, cualquier ecuación de una curva plana dada por un polinomio real P (x, y) =

0 se puede escribir en términos complejos mediante la substitución

x =z + z

2, y =

z − z

2i.

Así podemos, en principio, rehacer toda la geometría analítica plana en función de lavariable compleja z. En ocasiones esto puede simplificar los cálculos.

Ecuación de la recta: Si tenemos la recta ax+by+c = 0 con a, b reales, la substituciónnos da

az + z2+ bz − z

2i+ c = 0

o sea¡a2+ b

2i

¢z +

¡a2− b

2i

¢z + c = 0

y llamando α = a2+ b

2itenemos:

La ecuación de una recta en R2 es de la forma

αz + αz + c = 0

donde α ∈ C y c ∈ R.A la misma conclusión se puede llegar mediante un argumento geométrico:

124

Si α es un vector unitario perpendicular a la recta l, entonces p ∈ l es equivalente ala condición p · v = d, con d una constante.

En notación compleja p = z, v = α. (Pero recordemos que p · v = Re(αz)), y laecuación nos queda

Re(αz) = d

ó

αz + αz − 2d = 0 (d ∈ R)con lo cual obtenemos una interpretación geométrica de los parámetros.

Ecuación de un círculoLa ecuación general de un círculo es aún más sencilla: el círculo de centro a y radio

r se escribe como

|z − a| = r

ó

(z − a)(z − a) = r2

ó

zz − az − az + aa− r2 = 0

Ejercicio C.1 Si en la ecuación anterior suprimimos el término zz obtenemos la ecuaciónde una recta. ¿Qué tiene que ver esta recta con el círculo?

Semejanza de triángulos

Recordamos la condición para que dos triángulos sean semejantes: Existe una seme-janza que mande el triángulo z0 z1 z2 en el z00 z

01 z

02 (en ese orden)

125

si, y sólo si los ángulos θ, θ0 son iguales y sus lados adyacentes son proporcionales. Osea

θ = θ0

|z2 − z0||z1 − z0|

=|z02 − z00||z01 − z00|

θ = arg(z2 − z0)− arg(z1 − z0) = argz2−z0z1−z0 y análogamente para θ

0.Luego las dos ecuaciones anteriores se expresan en una sola:

z2 − z0z1 − z0

=z02 − z00z01 − z00

que expresan en forma compacta las condiciones para la semejanza.

126

Apéndice D

Fracciones Parciales

En cálculo integral es de gran utilidad descomponer una función racional en “frac-ciones parciales”, es decir como una suma de funciones racionales, cada una de las cualestiene un único polo. Demostraremos aquí que esto siempre se puede hacer:Sea R(z) = P (z)

Q(z)

Empezaremos por demostrarLema 1:Si p es un polo de R(z), podemos separar R como una suma

R(z) = R1(z) +R2(z)

donde p es el único polo de R1 y p no es polo de R2 (y en consecuencia, R2 debe tenertodos los demás polos de R).Veamos algunos casos:

Caso p = ∞ : Es el caso más fácil. Si ∞ es polo de R, eso quiere decir que el gradode P es mayor que el grado de Q. Entonces podemos aplicar el algoritmo de la divisióny escribir

P (z) = A(z)Q(z) +B(z)

donde A y B son polinomios, el grado de B es menor que el grado de Q. De donde

R(z) =P (z)

Q(z)= A(z) +

B(z)

Q(z)

Como A(z) es polinomio, su único polo es∞. Y por ser grado B < grado Q, B(z) notiene polo en ∞, y hemos logrado la descomposición.

Caso p 6=∞ polo simple: En este caso Q(p) = 0 y Q(z) = (z−p)Q1(z) con Q1(p) 6= 0.Luego podemos tratar de descomponer, como en los cursos de cálculo integral

127

R(z) =P (z)

(z − p)Q1(z)=

a

z − p+

B(z)

Q1(z)

donde a y B son una constante y un polinomio por determinar como sigue:

a

z − p+

B(z)

Q1(z)=

aQ1(z) +B(z)(z − p)

(z − p)Q1(z).

Entonces a y B(z) deben cumplir

P (z) = aQ1(z) +B(z)(z − p)

Haciendo z = p obtenemos P (p) = aQ1(p), o sea

a =P (p)

Q1(p).

y

B(z) =P (z)− aQ1(z)

z − p

el cual es un polinomio, ya que el numerador se anula en z = p, y por lo tanto esdivisible entre z − p.

Podemos continuar viendo como descomponer un polo doble, triple, etc. Pero hay unamanera más rápida de hacerlo, reduciendo al caso p =∞.

Caso general: Si p 6= ∞ es polo de R(z), tomemos una función de Möbius M quemande p a ∞ (por ejemplo M(z) = 1

z−p). Entonces M−1 manda ∞ en p y R(M−1(w))

tiene un polo en infinito. Por el el primer caso:

R(M−1(w)) = R1(w) +R2(w)

dondeR1 tiene el∞ como único polo yR2 no tiene polo en∞. Pero entonces, haciendow =M(z)

R(z) = R1(M(z)) +R2(M(z))

y R1(M(z)) es una función racional cuyo único polo es p y R2(M(z)) es una funciónracional que no tiene polo en p.Así el lema queda demostrado en general (y sin hacer muchas cuentas).

Mediante el Lema 1 podemos ir descomponiendo uno a uno los polos de la función Ry escribir, si p1, ..., pk son los polos de R,

R(z) = R1(z) + ...+Rk(z)

128

Donde cada Ri(z) es una función racional cuyo único polo es pi.X

Ejercicio D.1 Encontrar explícitamente la descomposición para el caso de un polo doble.

Ejercicio D.2 Demostrar que en la descomposición de R(z) las fracciones parcialesquedan únicamente determinadas salvo constantes. (Sugerencia: Empezar por el Lema).

129

Apéndice E

Geometría hiperbólica

Ahora estudiemos las transformaciones de Möbius que van del disco4 = {z | |z| < 1}al disco 4 = {z | |z| < 1}D = {T : 4→4, T Transformación de Möbius}Las rotaciones del disco serían un caso, aquí el centro va al centro.Lo interesante está en si es posible que un punto distinto del cero vaya al cero, T (u) =

0.La respuesta es que sí, y resulta que el conjunto D es un subgrupo.De todas las T (z) = az+b

cz+dconstruimos una tal que mande el punto u al cero.

Supongamos que el punto u está en el eje real:

Trazamos una recta que pase por −1, 0, u y 1, sabemos que existe una T que mande−1→−1, u→ 0 y 1→ 1, y es T (z) = z − u

1 − uz

De igual manera se puede obtener T si u no es real, sino cualquier punto en el disco,trazamos la recta que pasa por él y el cero, tendríamos otros dos puntos en el círculo z1y z2.Y se busca la transformación que u→ 0, z1 → z1 y z2 → z2.T (z) = eiθ z − u

1 − uzcon u ∈ 4

Ésta T es del conjunto D porque la recta que pasa por los puntos z1 y z2, va a larecta que pasa por los puntos T (z1) = z1 y T (z2) = z2, y también va a tener a los puntosimagen del 0 y u.

130

Observemos que se conserva el ángulo recto formado por el círculo y la recta en lospuntos z1 y z2 y el círculo va a dar al círculo, (|T (z)| = 1, si |z| = 1).

Teorema E.1 Si z1, z2 ∈ 4 = {z | |z| < 1} (Disco unitario) (z1 6= z2)Entonces existe un único círculo ortogonal al círculo unitario C = {z | |z| = 1} que

pasa por z1 y z2.

Demostración Sea T transformación de Möbius tal que T (C) = R ∪ {∞} y T (4) ={z; Im z > 0}Tomemos tres puntos α, β y γ en el círculo y los mandamos a el 0, 1 e∞ respectiva-

mente .S(α) = 0, S(β) = 1 y S(γ) =∞La imagen del disco puede ir al semiplano superior o inferior (pero la imagen está de

un mismo lado). Para tener el semiplano superior podemos tomar T = S, T = −S.las imagenes de z1 y z2 estarán en el semiplano, demostraremos que existe un único

círculo ortogonal al eje real que pasa por ellos.Con la inversa (que ya sabemos que existe) regresamos al disco y tenemos que se

cumple el teorema.Construimos el círculo: el centro es el punto de intersección de la recta L y el eje real

, donde la recta L es la bisectriz del segmento formado por los puntos T (z1) y T (z2), ypor lo tanto el radio es la distancia del centro al punto T (z1) o T (z2).

Tenemos que por construcción el círculo es el único ortogonal al eje real . Cuando lospuntos imagen están en la misma vertical, el círculo ortogonal es la recta vertical (círculode radio infinito)Existen muchas transformaciones de Möbius que mandan el disco en el semiplano

superior, podemos construir una:−1→ 0i→ 11→∞S(z) = iz+1

z−1 , como S(0) = −i, el disco va al semiplano inferior, así que la que buscamoses T (z) = −S(z)Nuestra transformación cumple todas las propiedades que hemos visto.X

131

Por tanto estas transformaciones del disco en el disco mandan círculos ortogonales encírculos ortogonales.Llamémosle “recta” al círculo ortogonal que pasa por z1 y z2, y “puntos” a los puntos

del discoTenemos que:i) Dados dos “puntos” existe una “recta” que pasa por ellosii) Dado un “punto” p exterior a una “recta” l, existen muchas “rectas” que pasan

por p y no tocan a l.

Como vemos, tenemos en el punto (ii) la negación al quinto postulado de la geometríaeuclidiana.Con estas denominaciones podemos hacer mucha geometría, la geometría de Lobachevs-

ki.Sólo falta llamarle al disco “Plano de Lobachevski”. A las transformaciones de Möbius

se les considera los movimientos del “Plano de Lovachevski”. Se puede también definiruna “distancia” entre dos puntos p, q como la razón cruzada (p0, p, q, q0) donde p0, q0 sonlos puntos donde la “recta” que pasa por p, q intersecta al borde. Entonces las transfor-maciones de D preservan la distancia.(Isometrías de disco)Fué N.I. Lobachevski quien demostrara la posibilidad de una geometría distinta (no

euclidiana). Después muchos matemáticos desarrollaron modelos geométricos para estu-diar la geometría de Lobachevski.

132

Bibliografía

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