elementos de algebra vectorial

PRIMERA UNIDAD DIDÁCTICA:

ELEMENTOS DE ÁLGEBRA VECTORIAL

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICA (FCNM).

Magnitud escalar. Aquéllas cuya medida queda completamente especificada por

un número real y su unidad.

Ejemplos: la masa, la temperatura, la presión.

Magnitud vectorial. Aquéllas en las que para su determinación se necesitan tres

números reales y su unidad. O equivalentemente, un módulo (definido por una

número real positivo y su unidad), una dirección (definida por una recta) y un

sentido. Estas magnitudes se pueden representar por una recta orientada también

llamada vector.

Ejemplos: la velocidad, la fuerza, el campo gravitatorio.

Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.

Álgebra vectorial1.1.

FCNM

A

'A

a

dirección

sentido

módulo


A

'A

a

dirección

sentido

módulo

Vector. Se denota como . Se define como un segmento orientado

caracterizado por:

• Un origen o punto de aplicación. Punto A.

• Un escalar o módulo, , dado por la longitud del segmento AA’. El módulo

es siempre positivo e independiente de la dirección del vector.

• Una dirección, recta que contiene al segmento AA’.

• Un sentido, que se indica mediante una punta de flecha.

a ó a

aa ó

FCNM.



Suma de vectores.

a

b

cd

cbad ++=

a

b

c

Regla del polígono

Regla del paralelogramo

bac +=

a

b

a

b

c

FCNM.



Vectores opuestos. Vectores con igual módulo y dirección, pero sentidos

opuestos.a

a−

Diferencia de vectores.

( )bacbac −+=⇒−=

b

a

a

b

−c

b

Producto de un vector por un escalar.

aaλ

0

1

>>

λλ aλ

0

1

<<

λλ

FCNM.



Propiedades de la suma de vectores y producto de un escalar por un vector.

( ) ( )

( ) ( )( )

( )000 :nulo elemento vii)

: vectoresde suma la a respecto producto del vadistributi vi)

:escalares de suma la a respecto producto del vadistributi vi)

:producto el para asociativa v)

es, esto ,0/ , :suma la para simétrico elemento iv)

0 :suma la para neutro elemento iii)

:suma la para aconmutativ ii)

:suma la para asociativa i)

==+=++=+

=−==+=+∃∀

=++=+

++=++

a

baba

aaa

aa

ababbaba

aa

abba

cbacba

λλλλγλγλ

λγγλ

FCNM.



aa

ua

=

Vector unitario. Es un vector de módulo unidad. Un vector unitario en la dirección

de será:a

Eje. Recta orientada. Se toma un sentido como sentido positivo y se asigna un

vector unitario en dicho sentido.

Proyección de un vector sobre un eje.

eu

a α

( )aPe

( ) αα coscos aaaPe ==

FCNM.



Triedro de referencia. Tres ejes perpendiculares que se cortan en un punto

denominado origen del triedro.

X

Y

Z

pulgar

índice

corazón

Levógiro (mano izquierda)

Y

X

Z

pulgar

corazón

índice

Dextrógiro (mano derecha)

i

j

k

dextrógiroTriedro cartesiano

kji

, ,vectores unitarios:

FCNM.


Coordenadas cartesianas

Y

X

Z

yx

z

( )zyxP ,, ( )zrP ,,ϕ

Y

X

Z

ϕ r

z

Coordenadas cilíndricas

( )ϕθρ ,,P

Y

X

Z

ϕ

θ ρ

Coordenadas esféricas


Sistemas de coordenadas.

FCNM.



Componentes cartesianas.

xa Y

X

Z

a

ya

za

a

Y

X

Z

xαk

j yαzα

i

zyx aaaa ++=

kaa

jaa

iaa

zz

yy

xx

=

== ( )

( )( ) zZz

yYy

xXx

aaPa

aaPa

aaPa

ααα

cos

cos

cos

==

====

Componentes cartesianas Cosenos directores

aa

aa

aa

zz

yy

xx

/cos

/cos

/cos

=

==

ααα

FCNM.



Componentes cartesianas.

zzyyxx aaaaaa ααα cos cos cos ===

kaajaaiaa zzyyxx

===

=++= zyx aaaa =++ kajaia zyx

( )kjia zyx

ααα coscoscos ++

FCNM.


kjia

au zyxa

ααα coscoscos ++==

),,( zyxzyx aaaaaaa =++=


Suma y diferencia de vectores en términos de las componentes cartesianas.

kajaiaa zyx

++= kbjbibb zyx

++=

( ) ( ) ( )kbajbaibaba zzyyxx

+++++=+

FCNM.


( ) ( ) ( )kbajbaibababa zzyyxx

−+−+−=−+=− )(

Producto escalar de dos vectores.


αcosb

aαb

αcosabba =⋅

Propiedades.

( )( ) ( ) ( )

( ) kaajaaiaauaaP

aaaa

ikkjjikkjjii

bababa

baba

bcacbac

abba

zyxee

⋅=⋅=⋅=⋅=

⋅==

=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅

⊥⇔=⋅≠

⋅=⋅

⋅+⋅=+⋅

⋅=⋅

, , ia,consecuencEn . vii)

vi)

0 ,1 v)

0y 0, si iv)

:escalares a respecto asociativa iii)

:vadistributi ii)

:aconmutativ i)

λγγλ

FCNM.


Producto escalar de dos vectores.

aα

αcosb

b

αcosabba =⋅

Producto escalar en términos de las componentes cartesianas.

zzyyxx babababa ++=⋅

Ángulo que forman dos vectores.

ab

bababa

ab

ba zzyyxx ++=⋅=

αcos


Fundamentos de Física. FCM.



Y

X

Z

ab

α

bac ×=

• Vector perpendicular al plano determinado por .

• Sentido el que da la regla de la mano derecha al hacer girar

• Módulo dado por

ba y

ba sobre

αsenabbac =×=

Propiedades.

( ) ( )( )

( )bababa

bcacbac

bababa

cbacba

abba

|| 0y 0, Si v)

:suma la a respecto vodistributi iv)

:escalarun por producto el para asociativo iii)

:asociativo-no ii)

:ativoanticonmut i)

⇔=×≠×+×=+×

×=×=×××≠××

×−=×

λλλ

c

Producto vectorial de dos vectores.



Producto vectorial de dos vectores.


Producto vectorial en términos de las componentes cartesianas.

( ) ( ) ( )kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

ba zyyxzxxzyzzy

zyx

zyx

−+−+−==×

Y

X

Z

ab

α

bac ×=

• Vector perpendicular al plano determinado por .

• Sentido el que da la regla de la mano derecha al hacer girar

• Módulo dado por

ba y

ba sobre

αsenabbac =×=

c

FCNM.


Producto mixto de tres vectores.


Y

X

Z

a

b

α

cβ

ba×

( ) βα cosabcsenbac =×⋅

Volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores

Propiedades.

( ) ( ) ( )acbbaccba ×⋅=×⋅=×⋅ :cíclica i)

Producto mixto en términos de coordenadas cartesianas.

( ) ( ) ( ) ( ) zzyyxyzxxzxyzzy

zyx

zyx

zyx

cbabacbabacbaba

bbb

aaa

ccc

bac −+−+−==×⋅

FCNM.


Momento de un vector con respecto a un punto.

r a

αd

OM

O

P

( ) araMO

×=

adarMO == αsen

El momento de un vector con respecto

a un punto no varía al cambiar el punto

de aplicación del vector sobre la recta

soporte.

FCNM.



ja

límia

lím yx

λλ λλ ∆∆

+∆∆

→∆→∆ 00

Cálculo vectorial1.2.

Función vectorial con respecto a un escalar.

( )1λa

( )2λa

FCNM.


( ) ( ) ( ) ( )kajaiaaa zyx

λλλλ ++==

( ) ( )12 λλ aaa −=∆ a

∆

( ) ( )λλλλλλ

λλλλλ

aaa −∆+=∆⇒

∆+==

−=∆

2

1

12


Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar.

( )λa

( )λλ ∆+a

a∆

λ∆∆a

λdad

λdad

λdad

λdad

( ) ( ) ( )λ

λλλλλ

λλλ ∆

−∆+=∆∆=

→∆→∆

aalím

alím

d

ad

00

FCM.


( ) ( )λλλ aaa −∆+=∆ ( ) ( )

λλλλ

λ ∆−∆+=

∆∆ aaa



( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )j

d

dai

d

daj

alími

alím

jaa

límiaa

lím

aalím

alím

d

ad

yxyx

yyxx

λλ

λλ

λλ

λλλλ

λλλλ

λλλλ

λλλ

λλ

λλ

λλ

+=∆∆

+∆∆=

=

∆

−∆++

∆−∆+

=∆

−∆+=∆∆=

→∆→∆

→∆→∆

→∆→∆

00

00

00

FCNM.



Derivada de una función vectorial con respecto al escalar tiempo.

dt

ad

dt

ad

dt

ad

( ) ( ) ( ) ( )k

dt

tdaj

dt

tdai

dt

tda

t

alím

dt

tad zyx

t

++=∆∆=

→∆ 0

FCNM.


( ) ( ) ( ) ( )k

dt

tdaj

dt

tdai

dt

tda

t

alím

dt

tad zyx

t

++=∆∆=

→∆ 0



Propiedades.

( ) ( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )λλλλ

λλλλ

λ

λλλλ

λλλλ

λ

λλλ

λλλλλ

λ

λλ

dbd

abdad

badd

dbd

abdad

badd

ddf

adad

fafdd

dλbd

dλad

λbλadλd

×+×=×

+=

+=

+=+

:es vectorialfunciones dos de vectorialproducto del Derivada iv)

:es vectorialfunciones dos deescalar producto del Derivada iii)

:escalarun por ctorialfunción ve una de producto del Derivada ii)

: vectoresde suma la de Derivada i)

FCNM.




Algunas consecuencias.

( ) ( ) ( )λλλ auaa =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Si iii)

|| Si ii)

general,En i)

aa

aaa

aa

udad

dud

adad

ctea

udad

udda

dad

cteu

d

udau

dda

dad

⊥⇔=⇒=

⇔=⇒=

+=

→

λλ

λλλ

λλλ

λλ

λλ

λλλ

λλλλ

λλ

λλ

FCNM.



Integral de una función vectorial.

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

=−

+=⇒=

∫∫

2

112

/ , Dadas λ

λλλλλ

λλλλ

λλλλ

dbaa

cdbab

dad

ba

Propiedades.

( ) ( ) ( )

[ ]

( )

∫∫∫∫

∫∫∫∫

∫∫∫∫∫

∫∫∫

−=

=

×=×

===

+=∈

==

+=+==

→

1

2

2

1

2

1

2

1

v)

:y Si iv)

:, Si iii)

: Si ii)

:y Si i)

21

λ

λ

λ

λ

λ

ξ

ξ

λ

λ

λ

λλ

λξυλυξ

λυλυ

λυλυλξξυ

λλλλλξ

λλ

λλλλλ

dada

dd

dada

dadacte

dadada

dakdakctek

dbdadbabbaa

FCNM.



Integral en función de las componentes cartesianas.

( ) ( ) ( ) ( )kajaiaa zyx

λλλλ ++=

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )kdajdaidada zyx

∫∫∫∫ ++= λλλλλλλλ

Integral de una función vectorial.

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

=−

+=⇒=

∫∫

2

112

/ , Dadas λ

λλλλλ

λλλλ

λλλλ

dbaa

cdbab

dad

ba



elementos de algebra vectorial

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