1 Algebra Vectorial

1.1 Introduccin

En los asuntos cotidianos de nuestras vidas y an ms en la ciencia es til eincluso a veces esencial describir con nmeros objetos, eventos y fenmenos. Enalgunos casos un solo nmero basta. Por ejemplo, la distancia entre Tehuacn yel D.F. puede especicarse con un solo nmero. Si embargo, la localizacin de laciudad de Tehuacn sobre la tierra requiere de dos nmeros, y la localizacin deun objeto en el espacio requiere de tres. En la fsica, magnitudes tales como lafuerza, el desplazamiento, la velocidad y la aceleracin pueden especicarse contres nmeros. Hay muchos ejemplos en los que para describir una situacin fsicase requieren ms de tres nmeros. Por ejemplo, para localizar una partcula enel espacio y en el tiempo se necesitan cuatro nmeros. La descripcin del estadodel mercado de valores o el estado de un circuito elctrico puede fcilmenteexigir el empleo de miles de nmeros.Todos los ejemplos anteriormente mencionados en los que una coleccin de

nmeros especica una magnitud fsica o una situacin fsica, qumica, econmicao social, son ejemplos de vectores. Como en el caso de los nmeros reales, enlos vectores podemos denir operaciones. El conjunto de todos los vectores es-pecicados por un nmero jo de nmeros reales con ciertas operaciones bsicasdenidas en estos vectores se llama espacio vectorial y el estudio de estas opera-ciones en los vectores se llama lgebra vectorial. El nmero de nmeros realesnecesarios para especicar los vectores en un espacio vectorial es la dimensindel espacio. As, un vector en el espacio de dimensin cuatro es una cuaternade nmeros reales y, en general, un vector en un espacio n-dimensional es unan-ada de nmeros reales.Como las operaciones que se denen sobre los vectores y sus propiedades

bsicas no dependen de la dimensin del espacio, comenzaremos con el estudiode las propiedades algebraicas de los espacios vectoriales n-dimensionales.

1.2 Vectores

Denicin 1 El espacio vectorial n-dimensional, denotado por Vn, es elconjunto de todas las n-adas de nmeros reales, a las que denotaremos porx = (x1; : : : ; xn), xi 2 R, (i = 1; : : : ; n) y llamaremos vectores, donde la relacinde igualdad y las operaciones de adicin y multiplicacin por un nmero real sedenen como sigue:Igualdad de vectores. Si x = (x1; : : : ; xn) y y = (y1; : : : ; yn) son vectores

en Vn, entoncesx = y si xi = yi 8 i = 1; : : : ; n:

Adicin de vectores. Si x = (x1; : : : ; xn) y y = (y1; : : : ; yn) son vectoresen Vn, entonces

x+ y =(x1 + y1; : : : ; xn + yn):

1

Multiplicacin de un vector por un nmero real. Si x = (x1; : : : ; xn)es un vector en Vn y r es un nmero real, entonces

r x = (r x1; : : : ; r xn):

En estas notas los vectores se representan con letras negritas, por ejemplo:x. Sin embargo, los vectores tambin suelen representarse por smbolos talescomo: !x , x o x.El nmero xi se llama i-simo componente del vector x = (x1; : : : ; xn).La relacin de igualdad y la operaciones de adicin y multiplicacion por un

nmero real pueden expresarse verbalmente como sigue:Igualdad de vectores. Dos vectores de Vn son iguales si sus componentes

correspondientes son iguales. Por ejemplo, el vector x = (4; 0;8; 4; 7) no esigual al vector y = (4; 0;8; 7; 4).Adicin de vectores. La suma de dos vectores es el vector obtenido

sumando los componentes correspondientes. Por ejemplo, si x = (3; 16;2; 6; 10)y y = (34;16;4; 5; 27), entonces

x+ y = (3 + 34; 16 + (16);2 + (4); 6 + 5; 10 + 27)= (37; 0;6; 11; 37):

Multiplicacin de un vector por un nmero real. El producto de unnmero real r por un vector x es el vector que se obtiene al multiplicar cadacomponente de x por el nmero real r. Por ejemplo,

12 (1; 0; 8) = (12 (1); 12 (0); 12 (8))

= ( 12 ; 0; 4):Como las operaciones de adicin de vectores y multiplicacin de un vector

por nmero real son operaciones sobre los componentes de los vectores y loscomponentes son nmeros reales, las propiedades de los nmeros reales inducenciertas propiedades algebraicas correspondientes en Vn.

Ejemplo 1 Establezca la ley conmutativa para la adicin de vectores: x+ y =y + x para todos los vectores x;y 2 Vn.Solucin. Sean u = x+y y v = y+x. Entonces, segn la denicin de adicinde vectores

ui = xi + yi y vi = yi + xi 8i = 1; : : : n:Segn la ley conmutativa para la adicin de los nmeros reales

ui = vi 8i = 1; : : : n:Por lo tanto, de acuerdo con la denicin de igualdad de vectores, u = v, es

decir x+ y = y + x.

Ejemplo 2 Establezca la siguiente ley distibutiva para vectores:

r(x+ y) = rx+ ry para cualesquiera x;y 2 Vn y todo r 2 R:

2

Solucin.

r(x+ y) = r(x1 + y1; : : : ; xn + yn)

= (r(x1 + y1); : : : ; r(xn + yn))

= (rx1 + ry1; : : : ; rxn + ryn)

= (rx1; : : : ; rxn) + (ry1; : : : ; ryn)

= rx+ ry:

y esto completa la prueba.De modo anlogo al empleado en los anteriores ejemplos, cada una de las

siguientes propiedades algebraicas fundamentales del espacio vectorial n-dimen-sional Vn se pueden demostrar con facilidad.

Teorema 1 Propiedades algebraicas fundamentales.

A1 Para cualesquiera x y y en Vn , x+ y 2 Vn:A2 Para cualesquiera x y y en Vn , x+ y = y + x:

A3 Para cualesquiera x, y y z en Vn , (x+ y) + z = x+ (y + z):

A4 Hay un y slo un vector en Vn denotado por 0 y llamado vector cero conla propiedad de que

x+ 0 = x 8x 2 Vn; (0 = (0; : : : 0)):

A5 Para todo x 2 Vn hay un vector nico denotado por x con lapropiedad de que

x+ (x) = 0; (x =(1)x):

S1 Para todo x 2 Vn y todo r 2 R, rx 2 Vn.S2 Para todo x 2 Vn, 1x = x:S3 Para cualesquiera r; s 2 R y todo x 2 Vn, r(sx) = (rs)x:S4 Para cualesquiera r; s 2 R y todo x 2 Vn, (r + s)x = rx+sx:S5 Para todo r 2 R y cualesquiera x;y 2 Vn , r(x+ y) = rx+ ry:Nota: Las propiedades A1 a A5 del teorema 1 implican que el conjunto de

vectores n-dimensionales es un grupo conmutativo bajo la operacin de adicin.La sustraccin de vectores puede denirse en trminos de la adicin de vec-

tores.

Denicin 2 Para cualesquiera x;y 2 Vn ,x y = x+ ( y);

es decir, x y = (x1 y1; : : : ; xn yn):

3

1.2.1 Ejercicios

1. Sean a = (3;5; 4), b = (2; 5; 7), c = (0; 2; 1), P0 = (0; 5; 6) y P1 =(1;5; 2).Encuentre:

(a) a+ b

(b) 3a+ 4b 3c(c) P0 + t(P1 P0)(d) P0 + ta; t = 0;1;2;3(e) P0 + sa+tb; (s;t) = (0; 0); (1; 0); (0; 1); (1; 1); (1;1):

2. Demuestre que:

(a) Si a+ b = a+ c, entonces b = c:

(b) Si rx = 0, entonces r = 0 o x = 0.

(c) Si rx = sx y x 6= 0, entonces r = s:

3. Resuelva:

(a) 2(0; 3) + 8x = (1;7)(b) 3(x (8;3;2; 1)) = 6(7; 0;5;10)

4. En cada una de las siguientes ecuaciones determine si hay o no nmerosreales r que las satisfagan:

(a) r(3;2) = r(6; 4)(b) r(1;12; 8; 13) = (3;36; 24; 40)(c) r(4; 2; 0; 5) + 3(4;2; 6; 0) = 2(6;3; 9; 0)(d) 2r(4; 6;10) + 3(2; 4; 8) = 2(3; 6; 12) + 4r(2; 3;5)

1.3 Representacin geomtrica de los vectores

En esta seccin estudiaremos las ideas geomtricas intuitivas que estn rela-cionadas con el lgebra vectorial y que servirn en la construccin del modeloanlitico del espacio euclidiano n-dimensional. Los vectores en el espacio tridi-mensional se representan mediante echas o segmentos dirigidos. Mediante con-strucciones geomtricas con estas echas dibujaremos diagramas que ilustren ellgebra vectorial. Aunque esta imagen de un vector como objeto geomtricoconcreto est limitada a los espacios vectoriales de una, dos y tres dimensiones,el lenguaje utilizado para los vectores de los espacios n-dimensionales se derivade esta representacin geomtrica.Escojamos en un espacio tridimensional (gura 1):

4

Figure 1: Representacin geomtrica de un vector.

1) un punto O; 2) tres rectas perpendiculares entre s X1, X2 y X3 quepasen por O; 3) direcciones positivas sobre estas tres rectas; y 4) una unidadde medida de distancias.

Un sistema como el descrito se llama sistema cartesiano o de coordenadasrectangulares. Convenimos desde ahora en que siempre limitaremos nuestrasilustraciones a sistemas levgiros o de mano derecha. Esto signica que lasdirecciones positivas de las tres rectas llamadas ejes han sido escogidas de talmodo que cuando el pulgar de la mano derecha apunta en la direccin positivadel eje X1 y el dedo ndice apunta en la direccin positiva del eje X2, entoncesel dedo cordial seala la direccin positiva del eje X3. Los sistemas levgirosde coordenadas tambin pueden describirse diciendo que la rotacin en el planoX1X2 de 90 de la semirrecta positiva del eje X1 a la semirrecta positiva deleje X2 es contraria a la direccin de giro de las manecillas del reloj cuando seve desde la semirrecta positiva del eje X3.Dado un vector a = (a1; a2; a3) en V3, construimos una echa que represente

el vector a como sigue (ver gura 1): elegimos un punto arbitrario P0; nosmovemos la distancia a1 paralelamente al eje X1 desde P0 y localizamos elpunto P1 (el nmero a1 es una distancia dirigida; a1 positivo signica quedebemos movernos en la direccin positiva del eje X1 y a1 negativo que debemosmovernos en la direccin opuesta); de P1 nos movemos la distancia dirigida a2paralelamente al eje X2 y localizamos as el punto P2; nos movemos de P2 ladistancia dirigida a3 paralelamente al ejeX3 y localizamos el puntoP3. La echade P0 a P3, que tambin denotaremos con a, es una representacin geomtrica

5

Figure 2: La suma de dos vectores.

del vector a. A P0 se le llama punto inicial de la echa a y al punto P3 supunto terminal. Recprocamente, dada una echa de P0 a P3, construyendoun paraleleppedo rectangular del que P0 y P3 sean vrtices opuestos y concaras paralelas a los planos X1X2, X2X3, y X3X1, se puede asignar un vectora = (a1; a2; a3) a tal echa.Al construir la echa que representa un vector a, elegimos arbitrariamente

el punto inicial P0. As, el mismo vector a puede estar representado por echasdiferentes. En algunas aplicaciones se establecen restricciones sobre la local-izacin de P0. Por ejemplo, puede ser que se especique cul ha de ser el puntoinicial. Si el punto inicial es el origen O, el vector a se llama radio vector y laecha OP se denomina vector de posicin del punto P(a1; a2; a3). En cualquiercaso, el vector a = (a1; a2; a3) determina tanto la longitud como la direccin dela echa; dos echas cualesquiera que representen el mismo vector a sern dela misma longitud (magnitud) y apuntarn en la misma direccin. Es en estesentido que se dice que un vector especica una magnitud y una direccin.La suma a + b = (a1 + b1; a2 + b2; a3 + b3) de un par de vectores en V3 se

ilustra en gura 2.El punto inicial de b se coloca en el punto terminal de a. La echa a + b

es entonces la echa que tiene como punto inicial el punto inicial de a y comopunto terminal el punto terminal de b.La gura 3 ilustra la multiplicacin de un vector a por un nmero real r. La

echa ra es paralela a la echa a y su longitud es jrj veces la longitud de a; raapunta en la misma direccin que a si r > 0, y si r < 0, la direccin de ra es laopuesta a la de a.

6

Figure 3: Multiplicacin de un vector por un nmero real.

La gura 4 ilustra la ley conmutativa A2 para la adicin de vectores. Lasuma a+ b es una diagonal del paralelogramo cuyos lados son a y b.La otra diagonal est relacionada con la diferencia de los dos vectores. Esto

se ilustra en la gura 5.Los vectores a y b estn construidos con el mismo punto inicial. Entonces,

el vector a b es el vector del punto terminal de b al punto terminal de a. Lagura 5 tambin ilustra que b+ (a b) = a. La ley asociativa A3 se ilustra enla gura 6.

1.3.1 Ejercicios

1. Calclese grcamente lo siguiente:

(a) (3;5) + (5;3)(b) (1; 1) + (2; 5) + (3;2)(c) (cos 30 ; sen 30 ) + (cos 45 ; sen 45 )

2. Demuestre grcamente que hay nmeros reales r y s que satisfacen

c = ra+ sb

donde

(a) a = (5; 1), b = (3; 5), c = (5; 5)

(b) a = (2;1), b = (3; 2), c = (5; 2)(c) a = (1;2), b = (1; 3), c = (4; 1)

3. Qu condiciones sobre a, b y c nos aseguran que a, b y c son los ladosde un tringulo?

7

Figure 4: Ley conmutativa para la adicin de vectores.

Figure 5: La diferencia de dos vectores.

8

Figure 6: Ley asociativa para la adicin de vectores.

1.4 Paralelismo de vectores

En la seccin anterior vimos que los vectores a y ra, donde r 6= 0, estn repre-sentados por echas que son paralelas (gura 3). Denimos ahora el paralelismoentre vectores.

Denicin 3 Se dice que dos vectores en Vn son paralelos si uno de ellos esigual al producto del otro por un nmero real.

Observe que como 0 = 0a para todo a 2 Vn, el vector cero es paralelo atodos los vectores.

Denicin 4 Dos vectores distintos de cero a;b 2 Vn se dice que tienen lamisma direccin si b = r a donde r > 0, y se dice que tienen direcciones opuestassi b = r a donde r < 0.

Ejemplo 3 Son paralelos los vectores (2; 1; 5) y (6;3;15)?Solucin. Como (6;3;15) = 3(2; 1; 5), los vectores son paralelos y dedirecciones opuestas.

Ejemplo 4 Son paralelos los vectores (1; 3; 2) y (3; 9; 7)?

Solucin. Si los vectores fueran paralelos, como ninguno de ellos es cero, cadauno de ellos sera paralelo al otro si hubiera un nmero real r tal que

(1; 3; 2) = r(3; 9; 7):

Pero esto implica que 3r = 1, 9r = 3 y 7r = 2. Como no hay un nmero real rcon esta propiedad, los vectores no son paralelos.

9

1.4.1 Ejercicios

1. Cules de los siguientes pares de vectores tienen la misma direccin? ,cules son paralelos?

(a) (1; 1), (2; 2)

(b) (1; 2; 1;1), (3;6;3;3)(c) (1;2; 2;1), (2; 4;4; 2)(d) (5; 7; 2), (15;21;6)(e) (3; 9); (4;6)

2. Pruebe que si c 6= 0 y si a y b son paralelos a c, entonces a y b sonparalelos. (Vectores paralelos a un mismo vector no nulo son paralelosentre s.)

3. Pruebe que si d = b+ c y si b es paralelo a a, entonces d es paralelo a asi y slo si c es paralelo a a. Ilustre grcamente este resultado.

1.5 Ortogonalidad de vectores

Sea a = (a1; a2; a3) un vector en V3. Ya sabemos que una interpretacin ge-omtrica del vector a es una echa en el espacio (ver gura 7). Si el espacioes euclidiano y si los ejes son rectangulares (mutuamente perpendiculares), en-tonces el teorema de pitgoras se verica y, por tanto, la longitud de la echaque representa a a es

pa21 + a

22 + a

23. Como nuestra geometra es euclidiana,

denimos la longitud del vector a en V3 comopa21 + a

22 + a

23. Generalizando

esta longitud euclidiana, introducimos la siguiente denicin.

Denicin 5 La longitud de un vector a = (a1; : : : ; an) 2 Vn, denotada por jaj,se dene como

jaj =qa21 + + a2n =

"nXk=1

a2k

#1=2:

Un vector de longitud igual a la unidad se le llama vector unitario. A Vncon la longitud que acabamos de denir se le llama espacio vectorial euclidianon-dimensional.

Teorema 2 Las propiedades fundamentales de la longitud de un vector son:Para cualesquiera a;b 2 Vn y para todo r 2 R.

1. jaj 0; jaj = 0 si y slo si a = 0:2. jr aj = jrj jaj:3. ja+ bj jaj+ jbj (desigualdad del tringulo).

10

Figure 7: Interpretacin geomtrica de un vector en el espacio de tres dimen-siones.

Prueba. Probamos el inciso 1. Por denicin, jaj 0. Ahora bien, jaj2 =a21 + + a2n, y por tanto, si ai 6= 0 para una i = 1; : : : ; n cualquiera, entoncesjaj 6= 0. Por tanto jaj = 0 implica a1 = 0; : : : ; an = 0; entonces

a = (a1; : : : ; an) = (0; : : : ; 0) = 0:

Probamos el inciso 2.

jraj = j(ra1; : : : ; ran)j =p(ra1)2 + + (ran)2

=pr2qa21 + + a2n

= jrj jaj:

La prueba de la desigualdad del tringulo se dar en la seccin 1.7. Entoncesno ser dicil demostrar que si a y b no estn en la misma direccin, entoncesja + bj < jaj + jbj, (a 6= 0, b 6= 0). Esta desigualdad corresponde al teoremageomtrico que establece: la longitud de un lado de un tringulo no degeneradoes menor que la suma de las longitudes de los otros dos lados (ver la gura 8)Observe que la notacin para la longitud de un vector es la misma que la

usada para el valor absoluto de un nmero real. La razn para haber elegidotal notacin es que las propiedades fundamentales del valor absoluto de unnmero real y las de la longitud de un vector son las mismas. En realidad,si consideramos a los nmeros reales como vectores en V1, entonces el valorabsoluto es la longitud del vector unidimensional, es decir, jrj =

pr2.

11

Figure 8: Desigualdad del tringulo.

Figure 9: Ortogonalidad de vectores.

La palabra ortogonal signica en ngulo recto y es sinnima de perpendic-ular. Sean a y b los lados de un paralelogramo (ver la gura 9). Los vectoresa+b y ab son las diagonales del paralelogramo. Expresada geomtricamente,la denicin de ortogonalidad es: a es ortogonal a b si las diagonales del paralel-ogramo formado por a y b son de igual longitud; es decir, si el paralelogramoes un rectngulo.

Denicin 6 Un vector a se dice que es ortogonal a un vector b si

ja+ bj = ja bj:

Como ja+bj = jb+aj y jabj = jbaj, es claro que a ortogonal a b implicab ortogonal a a. Por esta razn se usa con frecuencia la expresin de que a y bson mutuamente ortogonales. Diremos tambin que, a y b son ortogonales.

12

El vector cero tiene la propiedad muy especial de ser ortogonal a todos losvectores.

Ejemplo 5 Son ortogonales los vectores a = (5;8; 3) y b = (2; 5; 10)?

Solucin. Utilizando la denicin 6 de ortogonalidad de vectores tenemos:

ja+ bj = j(5;8; 3) + (2; 5; 10)j= j(7;3; 13)j=

p(7)2 + (3)2 + (13)2 =

p227

y

ja bj = j(5;8; 3) (2; 5; 10)j= j(3;13;7)j=

p(3)2 + (13)2 + (7)2 =

p227:

Como ja+ bj = ja bj, los vectores son ortogonales.

Ejemplo 6 Son ortogonales los vectores a = (2; 6; 4;3) y b = (3; 12 ; 1;1)?

Solucin. Utilizando la denicin 6 de ortogonalidad de vectores tenemos:

ja+ bj = j(2; 6; 4;3) + (3; 12; 1;1)j

= j(1; 132; 5;4)j

=

r(1)2 + (

13

2)2 + (5)2 + (4)2 =

r42 +

169

4

y

ja bj = j(2; 6; 4;3) (3; 12; 1;1)j

= j(5; 112; 3;2)j

=

r(5)2 + (11

2)2 + (3)2 + (2)2 =

r38 +

121

4:

Como ja+ bj 6= ja bj, los vectores no son ortogonales.

1.5.1 Ejercicios

1. Si a = (3; 0; 5) y b = (2;1;3), calclese la longitud de:

(a) a

(b) b

13

(c) a+ b

(d) a b(e) 3a

(f) 3(a b)(g) 12b

(h) 3a 12b(i) a=jaj(j) b=jbj(k) (a+ b)=ja+ bj(l)

a

jaj +b

jbj2. Demuestre que j aj = jaj:3. Determine si los siguientes pares de vectores son ortogonales.

(a) (1; 3;3) y (3; 3; 2)(b) (1; 0; 0) y (0; 1; 0)

(c) (2; 8; 4) y (0; 0; 0)

(d) (3; 2; 0) y (1;1; 0)

4. Demuestre que a+ b y a b son ortogonales si y slo si jaj = jbj: Cules la interpretacin geomtrica de este hecho?

5. Demuestre que si a es un vector distinto de cero, entonces1

jaja es unvector de longitud igual a uno que tiene la misma direccin que a. A unvector de longitud igual a la unidad se le llama vector unitario.

6. Encuentre los vectores unitarios en la direccin de:

(a) (1; 1)

(b) (1;1; 1)(c) (2; 3;7)

1.6 El producto escalar

Nuestra denicin de ortogonalidad de un par de vectores a = (a1; : : : ; an) yb = (b1; : : : ; bn) es equivalente a armar que la diferencia de los cuadrados delas longitudes de las diagonales a+ b y a b del paralelogramo de lados a y bes cero; es decir,

ja+ bj2 ja bj2 = 0:

14

Como

ja+ bj2 ja bj2 =nXk=1

(ak + bk)2

nXk=1

(ak bk)2

=nXk=1

(a2k + 2akbk + b2k a2k + 2akbk b2k)

= 4nXk=1

akbk; (1)

la ortogonalidad de los vectores a y b es equivalente a la anulacin dePn

k=1 akbk.Esta expresin

Pnk=1 akbk es de considerable importancia en lgebra, geometra

y fsica, y es por ello que se le ha dado un nombre especial.

Denicin 7 El producto escalar a b lase a punto b de dos vectoresa;b 2 Vn, donde a = (a1; : : : ; an) y b = (b1; : : : ; bn), est denido por

a b =nXk=1

akbk

= a1b1 + + anbn:Observe que el producto escalar de dos vectores no es un vector, es un

nmero real. En fsica, magnitudes tales como la longitud, el trabajo, la masa,la temperatura, etc., se llaman magnitudes escalares; tienen magnitud, pero nodireccin y quedan especicadas (medidas) por nmeros reales. En matemti-cas, a menudo se usa el trmino producto interior en lugar del trmino productoescalar. Otro nombre para este producto, es el sugerido por la notacin: pro-ducto punto.La ecuacin 1 puede escribirse ahora:

ja+ bj2 ja bj2 = 4(a b) (2)y podemos enunciar el siguiente:

Teorema 3 Dos vectores a y b son ortogonales si y slo si a y b = 0:

Ejemplo 7 Aplique el teorema que se acaba de enunciar para determinar laortogonalidad en los ejemplos 5 y 6.

Solucin. Del ejemplo 5:

a b = (5;8; 3) (2; 5; 10) = 10 40 + 30 = 0:Por tanto, los vectores son ortogonales.Solucin. Del ejemplo 6:

a b = (2; 6; 4;3) (3; 12 ; 1;1) = 6 + 3 + 4 + 3 = 4 6= 0:Por tanto, los vectores no son ortogonales.

15

Teorema 4 Las propiedades fundamentales del producto escalar.

1. a b = b a2. (ra)b = r(a b)3. a (b1 + b2) = a b1 + a b24. a a 0; a a = 0 si y slo si a = 0:La propiedad 1 del teorema 4 arma que la ley conmutativa se verica para

el producto escalar y la 3 que tambin se cumple la ley distributiva. Se observaque la propiedad 4 es una reformulacin de la propiedad 1 del teorema 2 ya que

a a =nXk=1

a2k = jaj2:

Las propiedades 1, 2 y 4 son simples consecuencias de las propiedades de losnmeros reales.Mostraremos ahora que las deniciones de longitud y ortogonalidad implican

el teorema de pitgoras.

Teorema 5 a es ortogonal a b si y slo si

ja+ bj2 = jaj2 + jbj2:Prueba. De acuerdo con las propiedades fundamentales del producto escalar,

ja+ bj2 = (a+ b) (a+ b)= a (a+ b) + b (a+ b)= a a+ a b+ b a+ b b= jaj2 + 2(a b) + jbj2:

Vemos pues que ja+ bj2 = jaj2 + jbj2 si y slo si a b = 0; es decir, si y slo sia es ortogonal a b.

1.6.1 Ejercicios

1. Sean a = (3; 0; 5), b = (2;1;3); P0 = (1;2; 1) y P1 = (2; 3;1).Encuentre:

(a) a b(b) a (P1 P0)(c) b (P1 P0)(d) (a+ b) (P1 P0)(e) a a(f) b b

16

(g) (a+ b) (a b)(h) ja+ bj2

2. Determine si los siguientes pares de vectores son ortogonales.

(a) (2; 1;3; 4) y (3; 4; 2;1)(b) (3; 2; 0;1) y (4;1; 7; 2)(c) (18; 2; 3; 4) y (2; 6; 12; 3)(d) (1; 0; 0; 0) y (0; 0; 1; 0)

3. Pruebe los tres primeros incisos del teorema 4.

4. Demuestre que:

(a) (a+ b) (a b) = jaj2 jbj2(b) ja+ tbj2 = jaj2 + 2t(a b) + t2jbj2

1.7 Proyeccin ortogonal. Componentes.

Dados dos vectores no nulos a y b construya un tringulo rectngulo conhipotenusa a y base paralela a b (ver gura 10). Como cualquier vector paraleloa b puede representarse por rb con r igual a un nmero real, lo que deseamoses construir un tringulo de lados a, rb y c = a rb tal que c sea ortogonal ab. Pero a rb es ortogonal a b si y slo si

(a rb) b = a b rjbj2 = 0:

Por tanto, r =a bjbj2 es el nico nmero tal que a rb es ortogonal a b y el

tringulo rectngulo deseado de hipotenusa a tiene ladosa bjbj2 b y a

a bjbj2 b.

El ladoa bjbj2 b que es paralelo a b se denomina proyeccin ortogonal de a sobre

b.

Denicin 8 Sean a;b 2 Vn con b 6= 0: La proyeccin ortogonal de a sobreb, denotada Proyba, es el vector

Proyba =a bjbj2 b:

La proyeccin de a sobre b puede escribirse en la forma

Proyba =a bjbj

b

jbj :

Como el vectorb

jbj es un vector unitario en la direccin de b, el nmeroa bjbj

es la longitud dirigida de Proyba. Este nmero se llama componente de a enla direccin de b.

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Figure 10: Proyeccin ortogonal.

Denicin 9 El nmeroa bjbj se llama componente de a en la direccin de b

y se denota por Compba; es decir,

Compba =a bjbj :

La relacin entre proyeccin (un vector) y componente (un nmero) es

Proyba =a bjbj

b

jbj = (Compba)b

jbj : (3)

Si Compba > 0, entonces Proyba est en la direccin de b (ver la gura11a). Si Compba < 0, entonces Proyba est en la direccin opuesta de b(ver la gura 11b). Si Si Compba = 0, entonces los vectores Proyba y b sonortogonales.Nota: Si b0 es un vector cualquiera no nulo paralelo a b, entonces Proyba =

Proyb0a (ejercicio 5a). As, Proyba no cambia cuando b se reemplaza porcualquier vector no nulo paralelo a b. Por otra parte, si b0 es un vector distintode cero paralelo a b, entonces Compb0a = Compba o Compb0a = Compbasegn que b y b0 tengan igual direccin o direcciones opuestas (ver ejercicios5b y 5c).Como el componente de un vector en la direccin de otro vector tiene un

signicado geomtrico denido, la relacin entre componente y el producto es-calar introduce una interpretacin geomtrica del producto escalar. Segn la

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Figure 11: Direccin del vector Proyba:

denicin de componente,

a b = jbjCompba: (4)Esta ecuacin nos dice: el producto escalar a b es la longitud de b por el

componente de a en la direccin de b.En el espacio vectorial bidimensional V2 (gura 11),

Compba = jaj cos ;donde es el ngulo de b a a y, por tanto,

a b = jaj jbj cos :La misma terminologa puede extenderse para Vn. Consideremos un ngulo enel espacio n-dimensional como determinado por un par de vectores distintos decero a y b. Si es el ngulo determinado por los vectores distintos de cero a yb en Vn, denimos el cos por la relacin

cos =a bjaj jbj :

La interpretacin geomtrica del producto escalar sugiere una importante propiedadllamada desigualdad de Schwarz.

Teorema 6 (Desigualdad de Schwarz). Para cualesquiera a;b 2 Vn,ja bj jaj jbj

donde la igualdad se verica si y slo si a y b son paralelos.

Prueba. (Ver la gura 10) Si a no es paralelo a b, hay un tringulo rectngulocon hipotenusa a y base Proyba. Sea c = a Proyba 6= 0 el tercer lado deeste tringulo rectngulo. De acuerdo con el teorema de Pitgoras tenemos

jProybaj2 = jaj2 jcj2 < jaj2

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ojProybaj

1.7.1 Ejercicios

1. Exprese en cada uno de los siguientes casos, al vector a como la suma deun vector paralelo a b y un vector ortogonal a b.

(a) a = (3; 8), b = (1; 0)

(b) a = (5; 8), b = (1; 1)(c) a = (1; 2; 3), b = (1; 1; 0)

(d) a = (2; 1; 1), b = (1; 2; 0)

2. En cada uno de los siguientes calclese Compba y Proyba.

(a) a = (3; 8), b = (1; 0)

(b) a = (5; 8), b = (1; 1)(c) a = (1; 2;3), b = (0; 0; 1)(d) a = (1; 1; 1), b = (1; 0; 1)

3. Demuestre que Compb(a1 + a2) = Compba1 + Compba2:

4. Demuestre que:

(a) si b y b0 son vectores paralelos no nulos, entoncesProyba = Proyb0a:

(b) si b y b0 son vectores que estn en la misma direccin, entoncesCompba = Compb0a:

(c) si b y b0 son vectores que estn direcciones opuestas, entonces Compba =Compb0a:

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