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Introducción al Algebra Geométrica
para la computación gráfica
Presentado por el Lic. Eduardo Roa
Algebra Vectorial
Puntos
Segmentos
Vectores
Polígonos
Algebra Vectorial
Producto Escalar Producto Vectorial
Información del ángulo entrelos vectores
Vector perpendicular y área del paralelogramo
Algebra Vectorial
Aplicación en iluminación
Producto Vectorial
Producto Escalar
Números Complejos
Fractales
Números Complejos
Rotaciones en los complejos
Quaterniones
Tomb Raider, citado como el primer juego distribuido en masa que uso quaterniones para lograr rotaciones suaves en 3D
Quaternion
Inversa de un quaternion
Quaterniones
Rotaciones
Donde el eje de rotación es:
Algebra Geométrica
GA
Complejos
Quaterniones
Algebra Vectorial
Algebra Geométrica
BivectorDescribe la orientacion de un plano en termino de dos vectores, y su magnitud es el area del paralelogramo formado por los mismos
Algebra Geométrica
Orientación?
a
b
a
b
Algebra Geométrica
Sean dos vectores en R2
Área
Sean dos vectores en R3
Algebra Geométrica
e1
e2
e3
a
b
Algebra Geométrica
e1
e2
e3
a
b
e1
e2
e3
a
b
e1
e2
e3
a
b
Algebra Geométrica
Relación de las áreas
Sean dos vectores en R4
Algebra Geométrica
Producto Geométrico
Algebra Geométrica
Producto Geométrico de los vectores base
Sean dos vectores en R2
Algebra Geométrica
Algebra Geométrica
Algebra Geométrica
I como rotor
Algebra Geométrica
Reflexiones
a
n
a’
a.n
a.n
a
n
a’
apar
aper
-apar
Algebra Geométrica
a
n
a’
apar
aper
-apar
n es un vector unitario
Algebra Geométrica
a
n
a’
apar
aper
-apar
Pero aB = -Ba
Algebra Geométrica
Punto dentro de un triangulo
Algebra Geométrica
Trivectores Volúmenes
a
b
c
ab
c
c
a
b
Algebra Geométrica
Orientación de un punto y un plano
e1
e2
e3
A un bivector
P
T
p
t
Como A y v son paralelos:
Sea q en el espacio:
Algebra Geométrica
Inversa de un vector
Corta distancia de un punto a un plano
Algebra Geométrica
e1
e2
e3
A un bivector
Q
T
q
t
Pp
v
d
Como d es perpendicular A