apuntes sobre algebra vectorial
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8/19/2019 Apuntes Sobre Algebra Vectorial
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El alumno al término de la unidad deberá:
1. Definir una recta y poder deducir todas las formas de representación, en los diferentes espacios en que se encuentre.
2. Explicar correctamente la naturaleza de un plano en ! as" como la deducción de todas las formas de representación.
!. #ormular y expresar matemáticamente las diferentes relaciones que existen entre puntos, rectas y planos, as" como la proyección $eométrica de dic%as relaciones.
En 1&'', (a$ran$e publicó su obra )*écanique +nalytique), que mostró la $ran flexibilidad y $randes alcances de utilizar métodos anal"ticos en el estudio de la mecánica. osteriormente, -illiam o/an 0amilton 1'341'536, introdu7o su )8%eory of 9uaternions), la cual contribuyó a la comprensión del +l$ebra y de la #"sica. (a unión de las más notables caracter"sticas del análisis de los cuaterniones y de la $eometr"a cartesiana, se deben, en $ran parte, a los esfuerzos de . -. ;ibbs 1'!
8/19/2019 Apuntes Sobre Algebra Vectorial
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(a idea de emplear un n@mero para situar un punto + A a1 6 en una recta fue conocida por los anti$uos $rie$os fi$ura 2.1 a66. En 15!&, Descartes extendió esta idea utilizando un par de n@meros + A a1 ,a2 6
para situar un punto en el plano fi$ura 2.1 b66, y una terna de n@meros + A a1 ,a2 ,a! 6 para situar el puntoen el espacio fi$ura 2.1 c66. En el si$lo BCB, los matemáticos +. ayley 1'2141'és de la letra may@scula +, de forma anal"tica a tra>és de sus coordenadas a 1 ,a2 ,....,an 6 y mediante su forma $eométrica representada en la #i$. 2.1 d
Estamos acostumbrados a considerar ma$nitudes, tanto en ;eometr"a como en #"sica, que puedan ser caracterizadas por un @nico n@mero real referido a una unidad de medida apropiada: el per"metro de una fi$ura, el área de una superficie, el >olumen, la temperatura, el tiempo, etc. + dic%as ma$nitudes se les llama magnitudes escalares , denominándose escalar el n@mero real asociado a cada una de ellas.
Existen otras ma$nitudes f"sicas y $eométricas en las que inter>iene la dirección y que no pueden ser caracterizadas de forma completa mediante un @nico n@mero real: la fuerza, la >elocidad, la aceleración, etc. + dic%as ma$nitudes se les llama magnitudes vectoriales , denominándose vector al ob7eto matemático utilizado para describir cada una de ellas.
Las características fundamentales de un vector son: su módulo , su dirección y su sentido. Es, por tanto, natural representar un >ector $eométricamente por medio de un se$mento orientado, correspondiendo la
lon$itud, dirección y sentido del se$mento orientado al módulo, dirección y sentido del >ector.
Descripción de un vector : por ser un se$mento de recta, es una porción de recta y por tanto tiene un extremo inicial que llamaremos cola y un extremo final que llamaremos flecha o punta que me define el sentido , a la recta que lo contiene o sustrato del >ector: recta de acción que me define la dirección , y a su lon$itud Norma , o Módulo , como se ilustra en la fi$ura si$uiente:
30
y
O 2
a6 b6 c6 d6
a 1
a 1
a2 y
x
z
A
a 3
3O1
x A
n
A
A
a 1
x
Y
a 2
+ A a1 , a2 ,....,an 6, para todo entero n ∈ G
L A
! "ecta de acción
#Dirección$
A %lecha #&entido$
O #cola$
#Norma$ ''A''
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(os >ectores que >amos a estudiar son los llamados libres, porque pueden deslizarse a lo lar$o de su recta de acción o trasladarse paralelamente a si mismo.
H Definiremos un vector A como el con(unto de todos los segmentos orientados del espacio n)dimensional *ue poseen una longitud, dirección + sentido dados-
+l >ector que coincide con un se$mento orientado cuyo extremo inicial es el ori$en de coordenadas y su extremo final en el punto +, se llama >ector posición OA. 9ue llamaremos simplemente +, y cuya explicación la >eremos más adelante.
a$ AL./0"AA! los >ectores se desi$nan con las letras may@sculas: A , 0, , D , ...
$ ./OM45"A! En base a su representación $ráfica en un sistema de coordenadas sólo es posible %asta en tres dimensionesI >er fi$ura 2.J6. ara los sistemas de J ó más dimensiones con precisión solo podr"amos representar el ori$en del sistema, y la flec%a del >ector definida por el punto + que lo tomar"amos de manera arbitraria como se muestra en la fi$ura. ara representar $eométricamente al >ector +, en primer lu$ar es necesario definir el punto +, como se mostró en la fi$ura 2.1, lue$o el >ector + será el >ector que tiene su cola en el ori$en y su flec%a en el punto +, >emos que la fi$ura 2.J solo se diferencia de la 2.1 en lo mencionado anteriormente.
c$ ANAL65A! e realiza %aciendo uso de las letras min@sculas llamados componentes del >ector:
+ A a1 , a2 ,...,an 6, K A b1 , b2 ,...,bn 6 y A c1 , c2 ,...,cn 6
ara con>ertir n en una estructura al$ebraica, introducimos la i$ualdad de >ectores y dos operaciones: la adición de >ectores, la multiplicación por escalares + un cuerpo de n7meros reales "- (a palabra escalar se usa aqu" como sinónimo de n@mero real.
Dos >ectores A y 0 de n son i$uales, si son i$uales todas sus componentes que ocupan la misma posición. Esto es, si A A a1 , a2 ,..., an 6 y 0 A b1 , b2 ,..., bn 6
31
=
= =
=
≡∀== ∈
nn
n..., , , 7 yi 7i
ba
....
ba
ba
ba
aa si K + Entonces 33
22
1
21
8omemos un e7emplo en el espacio bidimensional para entender me7or esta definición. i 8 191 y 8 292 son dos se$mentos orientados con la misma lon$itud, dirección y sentido, diremos que representan el mismo >ector. Fn se$mento orientado tiene una ubicación particularI un >ector no. (as lec%as en la i ura 2.! re resentan el mismo >ector.
9
1
9 2
8 1
8 2
y
= 2
a6 b6 c6 d6
a 1
a 1
a2 y
x
z
A
a 3
3O 1
x
A
n
A A
a 1 x
y
a 2
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cA
O n
8"O8/DAD/&!
1 - "efle:iva: 8odo >ector es i$ual a s" mismo, esto es + A + 2. &imetría: i + A K entonces K A + !. 5ransitiva: i + A K y K A entonces + A
i c es un escalar tal que c∈ y + un >ector tal que +∈ n , el producto c+ se define como el >ector que resulta de multiplicar cada componente de + por el escalar c, esto es:
AN;L&& D/L
∈
< = >
0
0 :)
var )
1
1var
1
:)
c si +deal opuesto Es
c si si +deal i$ual Es entido El c
ctodo para"anodirección (ab
c sicontraee
c si"a Go
c sidilatae
*ódulo El a
=8or tanto podemos descriir al vector cA como el vector *ue tiene su cola en la cola de A #origen$ + su flecha en cual*uier punto de la recta de acción de A como se ilustra en la figura 2->-
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cA ? #ca1 , ca2 , ca3 , --- , can $
42+ 4!+L2 4+ 4+L2 +L2 + !+L2 2+
4' 45 4 J 42 2 J 5 '
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a$ 8A"AL/L&MO /N5"/ DO& ector son: u módulo o lon$itud LLLLA, su dirección la misma del >ector que lo ori$ina, ya que lo que el escalar no podrá 7amás es sacar al >ector + de su recta de acción, es importante que el alumno >ea que como el >ector + es un >ector cualquiera de n , y por lo anterior el >ector cero tiene la dirección del >ector que lo ori$ina, en consecuencia el >ector tiene todas las direcciones posibles. O su sentido tiene carácter indiferente, le pasa lo mismo que al escalar cero ± A, dado que por cualquier n@mero es cero. Desde el punto de >ista $eométrico el >ector cero está representado por un punto, esto es,. el ori$en del sistema.. Es además el >ector que sumado a un >ector + me da el >ector +, or esto, al >ector cero se le llama elemento neutro en la suma de >ectores, como se >erá más adelante.
c$ ector 4+ es la de ser el >ector que sumado al + me da el >ector cero, y que la estudiaremos después de estudiar la suma de >ectores.
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(as caracter"sticas de este >ector son: Es un >ector que existe porque existe el >ector +, tiene el mismo módulo y dirección que +, pero sentido opuesto.
+
n4+
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Dados dos >ectores + y K de n distintos del >ector cero, tal como + A a1