apuntes sobre algebra vectorial

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  • 8/19/2019 Apuntes Sobre Algebra Vectorial

    1/56

     

     El alumno al término de la unidad deberá:

    1. Definir una recta y poder deducir todas las formas de representación, en los diferentes espacios en que se encuentre.

    2. Explicar correctamente la naturaleza de un plano en  ! as" como la deducción de todas las formas de representación.

    !. #ormular y expresar matemáticamente las diferentes relaciones que existen entre puntos, rectas y  planos, as" como la proyección $eométrica de dic%as relaciones.

     En 1&'', (a$ran$e publicó su obra )*écanique +nalytique), que mostró la $ran flexibilidad y  $randes alcances de utilizar métodos anal"ticos en el estudio de la mecánica. osteriormente, -illiam  o/an 0amilton 1'341'536, introdu7o su )8%eory of 9uaternions), la cual contribuyó a la comprensión del +l$ebra y de la #"sica. (a unión de las más notables caracter"sticas del análisis de los cuaterniones y de la $eometr"a cartesiana, se deben, en $ran parte, a los esfuerzos de . -. ;ibbs 1'!

  • 8/19/2019 Apuntes Sobre Algebra Vectorial

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     (a idea de emplear un n@mero para situar un punto + A  a1 6 en una recta fue conocida por los anti$uos  $rie$os fi$ura 2.1 a66. En 15!&, Descartes extendió esta idea utilizando un par de n@meros + A a1 ,a2 6

     para situar un punto en el plano fi$ura 2.1 b66, y una terna de n@meros + A a1 ,a2 ,a! 6 para situar el puntoen el espacio fi$ura 2.1 c66. En el si$lo BCB, los matemáticos +. ayley 1'2141'és de la letra may@scula +, de forma anal"tica a tra>és de sus coordenadas a 1 ,a2 ,....,an 6 y mediante su forma $eométrica representada en la #i$. 2.1 d 

     Estamos acostumbrados a considerar ma$nitudes, tanto en ;eometr"a como en #"sica, que puedan ser  caracterizadas por un @nico n@mero real referido a una unidad de medida apropiada: el per"metro de una  fi$ura, el área de una superficie, el >olumen, la temperatura, el tiempo, etc. + dic%as ma$nitudes se les llama magnitudes escalares , denominándose escalar el n@mero real asociado a cada una de ellas.

     Existen otras ma$nitudes f"sicas y $eométricas en las que inter>iene la dirección y que no pueden ser  caracterizadas de forma completa mediante un @nico n@mero real: la fuerza, la >elocidad, la aceleración, etc. + dic%as ma$nitudes se les llama magnitudes vectoriales , denominándose vector  al ob7eto matemático utilizado para describir cada una de ellas.

     Las características fundamentales de un vector son: su módulo , su dirección y su sentido. Es, por tanto, natural representar un >ector $eométricamente por medio de un se$mento orientado, correspondiendo la

    lon$itud, dirección y sentido del se$mento orientado al módulo, dirección y sentido del >ector.

     Descripción de un vector : por ser un se$mento de recta, es una porción de recta y por tanto tiene un extremo inicial que llamaremos cola y un extremo final que llamaremos flecha o punta que me define el sentido , a la recta que lo contiene o sustrato del >ector: recta de acción que me define la dirección , y a su lon$itud   Norma , o Módulo , como se ilustra en la fi$ura si$uiente:

     

    30

     y

    O 2  

    a6 b6 c6 d6

     

    a 1

    a 1

    a2  y

     x

     z

     A

    a 3

    3O1

    x   A

     n

     A

     A

    a 1

    x

    a 2 

     + A a1 , a2 ,....,an 6, para todo entero n ∈ G 

     L  A

     ! "ecta de acción 

    #Dirección$

     A %lecha #&entido$

    O #cola$

    #Norma$   ''A'' 

  • 8/19/2019 Apuntes Sobre Algebra Vectorial

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     (os >ectores que >amos a estudiar son los llamados libres, porque pueden deslizarse a lo lar$o de su recta de acción o trasladarse paralelamente a si mismo.

    H Definiremos un vector A como el con(unto de todos los segmentos orientados del espacio n)dimensional  *ue poseen una longitud, dirección + sentido dados-

       +l >ector que coincide con un se$mento orientado cuyo extremo inicial es el ori$en de coordenadas y su extremo final en el punto +, se llama >ector posición OA. 9ue llamaremos simplemente +, y cuya explicación la >eremos más adelante.

    a$ AL./0"AA! los >ectores se desi$nan con las letras may@sculas:  A , 0,   , D , ...

    $ ./OM45"A! En base a su representación $ráfica en un sistema de coordenadas sólo es posible %asta en tres dimensionesI >er fi$ura 2.J6. ara los sistemas de J ó más dimensiones con precisión solo  podr"amos representar el ori$en del sistema, y la flec%a del >ector definida por el punto + que lo tomar"amos de manera arbitraria como se muestra en la fi$ura. ara representar $eométricamente al  >ector +, en primer lu$ar es necesario definir el punto +, como se mostró en la fi$ura 2.1, lue$o el  >ector + será el >ector que tiene su cola en el ori$en y su flec%a en el punto +, >emos que la fi$ura 2.J  solo se diferencia de la 2.1 en lo mencionado anteriormente.

    c$ ANAL65A! e realiza %aciendo uso de las letras min@sculas llamados componentes del >ector:  

     + A a1 , a2 ,...,an 6, K A b1 , b2 ,...,bn 6 y  A c1 , c2 ,...,cn 6

     ara con>ertir  n en una estructura al$ebraica, introducimos la i$ualdad de >ectores y dos operaciones: la adición  de >ectores, la multiplicación por escalares + un cuerpo de n7meros reales "-  (a palabra escalar   se usa aqu" como sinónimo de n@mero real.

     Dos >ectores  A  y  0  de  n  son i$uales, si son i$uales todas sus componentes que ocupan la misma  posición. Esto es, si  A A a1 , a2 ,..., an 6 y  0 A b1 , b2 ,..., bn 6

    31     

     

    =

    = =

    =

    ≡∀==   ∈

    nn

    n..., , , 7 yi 7i

    ba

    ....

    ba

    ba

    ba

    aa si K + Entonces 33

    22

    1

    21

    8omemos un e7emplo en el espacio bidimensional para entender me7or esta definición. i  8 191  y  8 292  son dos se$mentos orientados con la misma lon$itud, dirección y sentido, diremos que representan el mismo >ector. Fn se$mento orientado tiene una ubicación particularI un >ector no.  (as lec%as en la i ura 2.! re resentan el mismo >ector.

      9

    1

    9 2

     8  1

     8  2

     y

    = 2  

    a6 b6 c6 d6

    a 1

    a 1

    a2  y

     x

     z

     A

    a 3

    3O 1

     A

     n

     A  A

    a 1   x

     y 

    a 2 

  • 8/19/2019 Apuntes Sobre Algebra Vectorial

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    cA

    O n

     8"O8/DAD/&!

    1 - "efle:iva: 8odo >ector es i$ual a s" mismo, esto es + A + 2. &imetría: i + A K entonces K A + !. 5ransitiva: i + A K y K A  entonces + A  

     

    i c es un escalar tal que c∈  y + un >ector tal que +∈  n , el producto c+ se define como el >ector que resulta de multiplicar cada componente de + por el escalar c, esto es:

     AN;L&& D/L

     

     

    < = >

    0

    0 :)

    var )

    1

    1var 

    1

    :)

    c si +deal opuesto Es

    c si si +deal i$ual  Es entido El c

     ctodo para"anodirección (ab

    c sicontraee

    c si"a Go

    c sidilatae

     *ódulo El a

     =8or tanto podemos descriir al vector cA como el vector *ue tiene su cola en la cola de A #origen$ + su flecha en cual*uier punto de la recta de acción de A como se ilustra en la figura 2->- 

    32

    cA ? #ca1 , ca2 , ca3 , --- , can $

      42+ 4!+L2 4+ 4+L2  +L2 + !+L2 2+

    4' 45 4 J 42  2 J 5 '

  • 8/19/2019 Apuntes Sobre Algebra Vectorial

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      a$ 8A"AL/L&MO /N5"/ DO& ector son: u módulo o lon$itud LLLLA, su dirección la misma del >ector que lo ori$ina, ya que lo que el escalar no podrá 7amás es sacar al >ector + de su recta de acción, es importante que el alumno >ea que como el >ector + es un >ector cualquiera de  n , y por lo anterior el >ector cero tiene la dirección del >ector que lo ori$ina, en consecuencia el >ector  tiene todas las direcciones posibles. O su  sentido tiene carácter indiferente, le pasa lo mismo que al escalar cero ±  A, dado que  por cualquier  n@mero es cero. Desde el punto de >ista $eométrico el >ector cero está representado por un punto, esto es,. el  ori$en del sistema.. Es además el >ector que sumado a un >ector + me da el >ector +, or esto, al >ector cero  se le llama elemento neutro en la suma de >ectores, como se >erá más adelante.

      c$ ector 4+ es la de ser el >ector que sumado al + me da el >ector cero, y que la estudiaremos después de estudiar la suma de >ectores.

    33

     (as caracter"sticas de este >ector son: Es un >ector  que existe porque existe el >ector +, tiene el mismo módulo y dirección que +, pero sentido opuesto.

     +

    n4+

  • 8/19/2019 Apuntes Sobre Algebra Vectorial

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     Dados dos >ectores + y K de  n distintos del >ector cero, tal como + A a1