algebra vectorial conicas

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algebra de vectores ejercicios conicas

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  • Ing. Anglica Ayala Piola lgebra Vectorial

    Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniera

    GUA N 7-CNICAS: ELIPSE. HIPRBOLA. PARBOLA.

    La elipse, como lugar geomtrico del plano. Ecuacin de la elipse con centro en el origen.

    Ecuacin de la elipse con centro fuera del origen. Elementos de la elipse. Posiciones

    relativas de una elipse y una recta. Posiciones relativas de una elipse y una cnica.

    1. Hallar la ecuacin reducida de la elipse, en cada caso, sabiendo que sus focos estn

    en el eje de abscisas y son simtricos con respecto al origen, y sabiendo adems que:

    a) Sus semiejes son iguales, respectivamente, a 5 y 2.

    b) Su eje mayor es 10 y la distancia entre los focos es: .

    c) Su eje menor es igual a 24 y la distancia entre los focos es 10.

    d) La distancia entre sus focos es 6 y la excentricidad es 5

    3e

    e) Su eje mayor es igual a 20 y la excentricidad es 5

    3e

    f) Su eje menor es 10 y la excentricidad es 13

    12e

    2. Hallar la ecuacin de la elipse, en cada caso, sabiendo que sus focos estn en el eje

    de ordenadas y son simtricos con respecto al origen, y sabiendo adems que:

    a) Sus semiejes son iguales, respectivamente, a 7 y 2.

    b) Su eje mayor es igual a 6 y la distancia focal es 8.

    c) La distancia focal es 24 y la excentricidad es 13

    12e

    d) Su eje menor es igual a 16 y la excentricidad es 5

    3e

  • Ing. Anglica Ayala Piola lgebra Vectorial

    Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniera

    3. Determinar los semiejes de cada una de las siguientes elipses, dadas sus ecuaciones:

    a) 14

    22

    yx

    b) 2594 22 yx

    c) 14 22 yx

    d) 1259 22 yx

    4. Dada la elipse de ecuacin . Hallar:

    a) Sus semiejes. b) Las coordenadas de sus focos. c) Su excentricidad.

    5. Calcular el rea del cuadriltero que tiene dos vrtices en los focos de la elipse de

    ecuacin y los otros dos vrtices coinciden con los extremos de su eje

    menor.

    6. Hallar en la elipse, cuya ecuacin es 1425

    22

    yx

    los puntos cuyas abscisas son iguales a

    .

    7. Averiguar si los siguientes puntos pertenecen o son exteriores a la elipse de ecuacin:

    , siendo dichos puntos: A (-2,3); B (2,-2) ; C (2,-4) ; D (-1,3) ; E (-4,-3) ;

    F (3,-1), G (3,-2) ; H (2,1); I (0,15) y J (0,-16).

    8. En cada caso, hallar la ecuacin cannica de la elipse cuyos focos estn situados en el eje

    de abscisas y son simtricos respecto al origen de coordenadas, si se dan como datos:

    a) El punto ( ) de la elipse y su semieje menor .

    b) El punto ( ) de la elipse y su semieje mayor .

    c) Los puntos ( ) ( ) de la elipse.

  • Ing. Anglica Ayala Piola lgebra Vectorial

    Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniera

    d) El punto ( ) de la elipse y la distancia focal

    e) El punto

    3

    5,2Q de la elipse y su excentricidad

    3

    2e

    9. Hallar la ecuacin de la elipse de semiejes a y b y de centro ( ), si se sabe que los

    ejes de simetra de la elipse son paralelos a los ejes coordenados.

    10. Escribir la ecuacin de la elipse, sabiendo que es tangente al eje de abscisas en el punto

    A (3,0); al eje de ordenadas en el punto B (0,-4) y sus ejes de simetra son paralelos a los

    ejes coordenados.

    11. El punto C (-3,2) es el centro de una elipse, que es tangente a los ejes coordenados.

    Hallar la ecuacin de esta elipse, sabiendo que sus ejes de simetra son paralelos a los ejes

    coordenados.

    12. Verificar que cada una de las siguientes ecuaciones corresponden a una elipse, adems,

    hallar las coordenadas del centro, las coordenadas de los vrtices y la excentricidad.

    a)

    b)

    c)

    13. Hallar los valores de a, b y c para que la elipse de ecuacin 04 22 cbyaxyx

    sea tangente al eje de abscisas en el origen de coordenadas y pase por el punto (2,-1).

    14. Estudiar la posicin relativa de la recta y la elipse, cuyas ecuaciones estn dadas en

    cada caso:

    a) 1916

    ;03222

    yx

    yx

    b)

    149

    ;010222

    yx

    yx

    c)

    11040

    ;0202322

    yx

    yx

  • Ing. Anglica Ayala Piola lgebra Vectorial

    Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniera

    15. Determinar para qu valores de b, la recta de ecuacin:

    bxy

    a) Es secante a la elipse: 1520

    22

    yx

    b) Es tangente a esta elipse.

    c) Es externa a dicha elipse.

    16. Hallar las coordenadas de los puntos de interseccin de las elipses de ecuaciones:

  • Ing. Anglica Ayala Piola lgebra Vectorial

    Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniera

    Respuestas:

    1.

    a)

    1425

    22

    yx

    b)

    1925

    22

    yx

    c)

    1144169

    22

    yx

    d)

    11625

    22

    yx

    e)

    164100

    22

    yx

    f)

    125169

    22

    yx

    2.

    a)

    1494

    22

    yx

    b)

    1259

    22

    yx

    c)

    116925

    22

    yx

    d)

    110064

    22

    yx

    3.

    a) 2 y 1

    b) 3

    5

    2

    5y

    c) 2

    11 y

    d) 5

    1

    3

    1y

    4.

    a) 5 y 3

    b) ( ) ( )

  • Ing. Anglica Ayala Piola lgebra Vectorial

    Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniera

    c) 5

    4e

    5. A cuadriltero = 45

    54

    6.

    5

    8,3;

    5

    8,3

    7. Los puntos A y F estn en la elipse; los puntos B, D, H estn dentro de la elipse y los

    puntos C, E, G, I, J estn fuera de la elipse.

    8.

    a)

    1936

    22

    yx

    b) 11616

    22

    yx

    constituye la ecuacin de una circunferencia con centro en el origen de

    coordenadas y radio 4.

    c) 11520

    22

    yx

    d)

    1420

    22

    yx

    e)

    159

    22

    yx

    9.

    1

    2

    2

    2

    2

    b

    ky

    a

    hx

    10.

    1

    16

    4

    9

    322

    yx

    11.

    1

    4

    2

    9

    322

    yx

    12.

    a) C (3,-1), los semiejes son: , y la excentricidad 3

    2e

    b) C (-1,2), los semiejes son: 5 y 4, y la excentricidad 5

    3e

    c) C (1,-2), los semiejes son: , y la excentricidad 2

    1e

  • Ing. Anglica Ayala Piola lgebra Vectorial

    Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniera

    13. 17;0 bca

    14.

    a) La recta se corta con la elipse.

    b) La recta es externa a la elipse.

    c) La recta es tangente a la elipse.

    15.

    a) Si la recta es secante con la elipse.

    b) Si la recta es tangente a la elipse.

    c) Si la recta es externa a la elipse.

    16. (3,2) y (3,-2).

  • Ing. Anglica Ayala Piola lgebra Vectorial

    Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniera

    La hiprbola, como lugar geomtrico del plano. Ecuacin de la hiprbola con centro en el

    origen. Ecuacin de la hiprbola con centro fuera del origen. Elementos de la hiprbola.

    Posiciones relativas de una hiprbola y una recta. Posiciones relativas de una hiprbola y

    una cnica.

    1. Hallar la ecuacin cannica de la hiprbola (en cada caso), cuyos focos se encuentran en

    el eje de abscisas, simtricamente con respecto al origen de coordenadas, sabiendo adems

    que:

    a) Su eje real mide 10 y su eje imaginario mide 8.

    b) La distancia focal es 10 y el eje no transverso mide 8.

    c) La distancia entre los focos es 6 y la excentricidad 2

    3e

    d) El eje transverso es y la excentricidad 4

    5e

    e) Las asntotas son xyLxyL3

    4:;

    3

    4: 21 y la distancia focal es 20.

    2. Hallar la ecuacin reducida de la hiprbola (en cada caso), cuyos focos estn situados en

    el eje de ordenadas, simtricamente, con respecto al origen de coordenadas, sabiendo,

    adems que:

    a) La distancia focal es 10 y la excentricidad 3

    5e

    b) Las ecuaciones de las asntotas son: 034;034 yxyx y la distancia entre los

    vrtices es igual a 48.

    3. Sea la hiprbola de ecuacin . Hallar:

    a) Los semiejes transverso y no transverso a la hiprbola.

    b) Las coordenadas de los focos.

    c) La excentricidad.

    d) Las ecuaciones en la forma pendiente-interseccin de las asntotas.

  • Ing. Anglica Ayala Piola lgebra Vectorial

    Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniera

    Sugerencia: multiplicar por (-1) ambos lados de la ecuacin, de tal manera a obtener la

    ecuacin general de la hiprbola.

    4. Escribir la ecuacin reducida de la hiprbola (en cada caso) con centro en el origen,

    focos en eje de abscisas; sabiendo adems que:

    a) Pasa por los puntos ( ) ( ).

    b) La excentricidad es y pasa por el punto M (-5,3).

    c) Pasa por el punto

    1,

    2

    9Q y las ecuaciones de las asntotas son:

    xyxy

    3

    2;

    3

    2

    5. Determinar la excentricidad de una hiprbola equiltera : , siendo 0a

    6. Los focos de una hiprbola coinciden con los focos de la elipse de ecuacin 1925

    22

    yx

    . Hallar la ecuacin cannica de la hiprbola, si su excentricidad es e = 2.

    7. Demostrar que la distancia de un foco de la hiprbola de ecuacin 12

    2

    2

    2

    b

    y

    a

    x

    a una

    asntota es igual a b.

    8. Demostrar que el producto de las distancias de cualquier punto de la hiprbola

    12

    2

    2

    2

    b

    y

    a

    x

    a sus dos asntotas es una cantidad constante es igual a

    22

    22

    ba

    ba

    9. Hallar la ecuacin de la hiprbola, si se conocen sus semiejes a y b, as como las

    coordenadas de su centro ( ) fuera del origen de coordenadas; sabiendo que los focos

    estn situados sobre un eje o una recta:

    a) Paralela al eje OX.

    b) Paralela al eje OY.

  • Ing. Anglica Ayala Piola lgebra Vectorial

    Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniera

    10. Verificar que cada una de las siguientes ecuaciones determina una hiprbola y hallar las

    coordenadas de su centro, los semiejes real e imaginario, la excentricidad y las ecuaciones

    de las asntotas:

    a)

    b)

    c)

    11. Estudiar la posicin relativa entre la recta y la hiprbola, cuyas ecuaciones son dadas,

    en cada caso:

    a) 1312

    ;0322

    yx

    yx

    b) 1916

    ;01222

    yx

    yx

    c) 11625

    ;05722

    yx

    yx

    12. Hallar los valores de b para los que la recta de ecuacin: bxy 2

    5

    a) Corta a la hiprbola de ecuacin: 1369

    22

    yx

    b) Es tangente a dicha hiprbola.

    c) Es externa a dicha hiprbola.

  • Ing. Anglica Ayala Piola lgebra Vectorial

    Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniera

    13. Habiendo verificado que los puntos de interseccin de la elipse 1520

    22

    yx

    y la

    hiprbola 1312

    22

    yx

    son los vrtices de un rectngulo, hallar las ecuaciones de las rectas

    que contienen a los lados de dicho cuadriltero.

    14. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el centro de la hiprbola de ecuacin:

    y es perpendicular a la recta .

    15. Hallar todos los valores reales de k (en cada caso) sabiendo que el eje focal de la

    hiprbola:

    a) 111 22 ykxkk es paralelo al eje de abscisas.

    b) 12622 kyxkyx es paralelo al eje de abscisas y el eje transverso mide 4.

    c) 1164 22 kxyx es paralelo al eje de ordenadas y el eje transverso mide 8.

    Respuestas:

    1.

    a)

    11625

    22

    yx

    b)

    1169

    22

    yx

    c)

    154

    22

    yx

    d)

    13664

    22

    yx

    e)

    16436

    22

    yx

    2.

    a)

    1169

    22

    xy

  • Ing. Anglica Ayala Piola lgebra Vectorial

    Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniera

    b)

    1100576

    22

    xy

    3.

    a)

    b) ( ) ( )

    c) 4

    5e

    d)

    xyxy3

    4;

    3

    4

    4.

    a)

    1838

    22

    yx

    b)

    11616

    22

    yx

    c)

    16

    305

    9

    61o1

    54

    2222 yxyx

    5.

    6.

    14060

    22

    yx

    9.

    1

    2

    2

    2

    2

    b

    ky

    a

    hx

    10.

    a) C (2,-3) ; ; 3

    5e ; ecuaciones de las asntotas:

    b) C (5,1); ; 4

    1e ; ecuaciones de las asntotas: ;

    .

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    Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniera

    c)

    Ecuacin reducida: 1

    12

    53

    2

    3

    18

    53

    3

    222

    xy

    Semiejes: 6

    265;

    6

    159;

    6

    106 cba

    Centro:

    3

    2,

    2

    3C

    Vrtices:

    6

    106

    3

    2,

    2

    3;

    6

    106

    3

    2,

    2

    321 VV

    Focos:

    6

    265

    3

    2,

    2

    3;

    6

    265

    3

    2,

    2

    321 FF

    Ecuaciones de las asntotas: xyxy3

    6;

    3

    6

    Excentricidad: 2

    10e

    11.

    a) La recta es tangente a la hiprbola.

    b) La recta se corta con la hiprbola en dos puntos.

    c) La recta es externa a la hiprbola.

    12.

    a) Se corta con la hiprbola en dos puntos, si o .

    b) Es tangente a la hiprbola, si

    c) Es externa a la hiprbola, si

    13.

  • Ing. Anglica Ayala Piola lgebra Vectorial

    Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniera

    14. 04429 yx

    15.

    a) 1k

    b) 4k

    c) 32k

  • Ing. Anglica Ayala Piola lgebra Vectorial

    Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniera

    La parbola, como lugar geomtrico del plano. Ecuacin de la parbola con centro en el

    origen. Ecuacin de la parbola con centro fuera del origen. Elementos de la parbola.

    Posiciones relativas de una parbola y una recta. Posiciones relativas de una parbola y

    una cnica.

    1. En cada caso, hallar la ecuacin de la parbola, sabiendo que:

    a) Tiene por vrtice V (4,1) y la ecuacin de su directriz es .

    b) Tiene foco en F (6,4) y la ecuacin de su directriz es .

    c) Su vrtice es el origen de coordenadas y su foco es el punto F (-3,0).

    d) Tiene foco en el punto F (-4,3) y por vrtice tiene el punto V (-4,1).

    e) Su foco es el punto F de coordenadas (3,-1) y la ecuacin de su directriz es .

    f) Su vrtice es el punto V (1,3), su eje es paralelo al eje OX y pasa por el punto P (-1,-1).

    g) Su eje de simetra es paralelo al eje OY y pasa por los puntos A (0,0) ; B (1,1) y C (3,1).

    h) Su eje es paralelo al eje OX y pasa por los puntos P (-2,4); Q (-3,2) y R (-11,-2).

    2. Escribir la ecuacin reducida de la parbola, las coordenadas del foco y del vrtice, la

    longitud del lado recto, la ecuacin general de la directriz y la ecuacin general del eje

    focal.

    a)

    b)

    c)

  • Ing. Anglica Ayala Piola lgebra Vectorial

    Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniera

    3. Calcular los valores de m de tal manera que la recta de ecuacin: 2 mxy

    a) Corte a la parbola de ecuacin

    b) Sea tangente a la misma.

    c) Sea externa a dicha parbola.

    4. Hallar la ecuacin cannica de la parbola, sabiendo que la ecuacin de su directriz es:

    y que los extremos del lado recto son los puntos A (0,2) y B (8,2).

    5. Determinar los puntos de interseccin de la elipse 1225100

    22

    yx

    con la parbola

    .

    6. Hallar los puntos de interseccin de la hiprbola 1520

    22

    yx

    con la parbola de

    ecuacin .

    7. Calcular las coordenadas de los puntos de interseccin de las dos parbolas:

    ;

    Respuestas:

    1.

    a)

    b) ( ) ( )

    c)

    d)

    e)

    4

    751

    2xy

    f) ( ) ( )

    g)

    xxy3

    4

    3

    1 2

    h)

    624

    1 2 yyx

  • Ing. Anglica Ayala Piola lgebra Vectorial

    Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniera

    2.

    a)

    Ecuacin reducida:

    40

    23

    2

    5

    4

    32

    yx

    Vrtice:

    40

    23,

    4

    3V

    Foco:

    5

    6,

    4

    3F

    Ecuacin de la directriz: 05

    6y

    Lado Recto: 2

    5RL

    Ecuacin del eje focal: 04

    3x

    b)

    Ecuacin reducida: ( )

    Vrtice: ( )

    Foco:

    4

    9,1F

    Ecuacin de la directriz: 04

    7y

    Lado Recto:

    Ecuacin del eje focal: 04

    3x

    c)

    Ecuacin reducida: ( ) ( )

    Vrtice: ( )

    Foco:

    1,

    4

    25F

    Ecuacin de la directriz: 04

    23x

    Lado Recto:

  • Ing. Anglica Ayala Piola lgebra Vectorial

    Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniera

    Ecuacin del eje focal: 01y

    3.

    a) 2

    1m

    b) 2

    1m

    c) 2

    1m

    4. ( )

    5. (6,12) y (6,-12)

    6.( ) ( ) ( ) ( )

    7. (2,1) ; (-1,4) ;

    2

    137;

    2

    133;

    2

    137;

    2

    133

  • Ing. Anglica Ayala Piola lgebra Vectorial

    Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniera

    EJERCICIOS MIXTOS SOBRE ELIPSE, HIPRBOLA Y

    PARBOLA.

    1. Identificar y escribir la ecuacin del lugar geomtrico de los puntos P (x, y) del plano,

    tales que, el producto de las pendientes de las rectas: trazada desde P al punto A (-2,1) y

    trazada desde P hasta B (2,-1).

    2. Identificar y escribir la ecuacin del lugar geomtrico de los puntos P (x, y) del plano,

    cuya distancia al punto (4,0) es igual a la mitad de la distancia de P a la recta .

    3. Determine la ecuacin reducida de la parbola que es cncava hacia arriba y contiene a

    tres de los vrtices de la elipse, cuya ecuacin es .

    4. Determinar qu cnicas determinan las siguientes ecuaciones para los distintos valores

    de k :

    a) 13020

    22

    k

    y

    k

    x

    b)

    135

    22

    k

    y

    k

    x

    c)

    222 8)8( kkkyxk

    5.

    a) Demostrar que la ecuacin: 22 222 yx representa una elipse.

    b) Determinar en funcin del parmetro (de ser posible) la excentricidad y las

    coordenadas de los focos.

    c) Deducir la ecuacin cannica de la hiprbola que tiene los mismos focos que la elipse de

    la parte a) y cuya excentricidad es .

  • Ing. Anglica Ayala Piola lgebra Vectorial

    Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniera

    Respuestas:

    1. Es una hiprbola: 133

    322

    22 yx

    yx

    2. Es una elipse: 14864

    1924322

    22 yx

    yx

    3.

    33

    42 yx

    4.

    a)

    Si la ecuacin representa a una elipse.

    Si la ecuacin representa a una hiprbola con eje focal sobre el eje OY.

    Si no est definido el lugar geomtrico.

    Si no est definida la ecuacin.

    b)

    Si no est definida la ecuacin.

    Como | | , entonces:

    Si la ecuacin representa a una hiprbola con eje focal sobre el eje OX.

    Si , o lo que equivale a escribir: si ,55,3k entonces, la ecuacin representa a una elipse.

    c)

    Si la ecuacin es: que es la ecuacin del eje OX.

    Si la ecuacin es que es la ecuacin del eje OY.

    Al factorizar el segundo miembro de la ecuacin: ( ) ( ), y si

    dividimos ambos miembros entre ( ), para escribir la ecuacin en la

    forma cannica: 18

    22

    k

    y

    k

    x

    Y a partir de esta ecuacin, analizamos:

    Si la ecuacin representa una elipse.

    Si la ecuacin representa una hiprbola, cuyo eje focal es el eje OX.

    Si la ecuacin representa una hiprbola, cuyo eje focal es el eje OY.

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    Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniera

    5.

    b) 0,2;2

    2

    Fe

    c)

    1

    3

    4

    3

    2

    22

    yx