Producto escalar

En matemáticas el producto escalar, también conocido como producto interno o producto punto, es una función definida sobre un espacio vectorial cuyo resultado es una magnitud escalar. El nombre espacio escalar se utiliza para denominar un espacio vectorial real sobre el que se ha definido una operación de producto interior que tiene como resultado un número real.

Definición simplificada para espacios euclídeos reales

El producto escalar en el caso particular de dos vectores en el plano, o en un espacio euclídeo N-dimensional, se define como el producto de sus módulos multiplicado por el coseno del ángulo θ que forman. El resultado es siempre una magnitud escalar. Se representa por un punto, para distinguirlo del producto vectorial que se representa por un aspa:

El producto escalar también puede calcularse a partir de las coordenadas cartesianas de ambos vectores, en una base ortonormal (ortogonal y unitaria, es decir, con vectores de tamaño igual a la unidad y que forman ángulos rectos entre sí):

Propiedades del producto escalar en un espacio euclídeo real

Conmutativa:

Asociativa:

siendo m un escalar.

Distributiva:

Si los vectores son ortogonales, su producto escalar es nulo (cos 90º = 0), y viceversa.

Productos interiores definidos en espacios vectoriales [editar]

En el espacio vectorial se suele definir el producto interior (llamado, en este caso en concreto, producto punto) por:

En el espacio vectorial se suele definir el producto interior por:

En el espacio vectorial de las matrices de mxn elementos

donde tr es la traza de la matriz.

En el espacio vectorial de las funciones continuas sobre el intervalo acotado por a y b (C[a, b])

Dado [x1,x2,x3,...,xn,xn + 1] ⊆  tal que x1 < x2 < x3 < ... < xn < xn + 1], en el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a n

De manera similar a como se definen los productos interiores anteriores, se puede definir cualquier otro con la condición de que únicamente debe satisfacer la definición de un producto interior.

Definición general

El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma sesquilineal, hermítica y definida positiva, i.e., una

operación donde V es el espacio vectorial y K es el cuerpo sobre el que está definido, que tiene que cumplir:

1. (lineal en el primer componente),

2. (hermítica), 3. , y si y sólo si (definida positiva),

donde son vectores arbitrarios, representan escalares cualesquiera y es el conjugado del complejo .

Si el cuerpo tiene parte imaginaria nula (v.g., ), la propiedad de ser sesquilineal se convierte en ser bilineal y el ser hermítica se convierte en ser simétrica.

También suele representarse por o por .

Un espacio vectorial sobre el cuerpo o dotado de un producto escalar se denomina espacio prehilbert o espacio prehilbertiano. Si además es completo, se dice que es un espacio de hilbert, y si la dimensión es finita, se dirá que es un espacio euclídeo.

Todo producto escalar induce una norma sobre el espacio en el que está definido, de la siguiente manera:

.

Producto vectorial

En álgebra lineal, el producto vectorial es una operación binaria entre dos vectores de un espacio euclídeo tridimensional que da como resultado un vector ortogonal los dos vectores originales. Con frecuencia se lo llama también producto cruz (pues se lo denota mediante el símbolo ×) o producto externo (pues está relacionado con el producto exterior).

Definición

Sean dos vectores a y b en el espacio vectorial ℝ3. El producto vectorial entre a y b, como se mencionó antes, da como resultado un nuevo vector, al que llamaremos c. Para definir este nuevo vector es necesario especificar su módulo, dirección y sentido:

El módulo de c está dado por

donde θ es el ángulo entre a y b.

La dirección de c es tal que c es ortogonal a a y ortogonal a b. El sentido en el que apunta el vector c está dado por la regla del

sacacorchos.

El producto vectorial entre a y b se denota mediante a × b, por ello se lo llama también producto cruz. Para evitar confusiones con la letra x, algunos autores denotan el producto vectorial mediante a ∧ b cuando escriben a mano.

El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente manera:

donde es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y b y su sentido está dado por la regla del sacacorchos y θ es, como antes, el ángulo entre a y b. A la regla del sacacorchos se la llama a menudo también regla de la mano derecha.

Base del espacio vectorial: Sea un sistema de referencia en el espacio vectorial ℝ3. Se dice que S es una base ortonormal derecha si cumple con las siguientes tres condiciones:

1. , es decir, los tres vectores son ortogonales entre sí;

2. , es decir, los vectores son ortonormales (y por lo tanto, dada la propiedad anterior, son versores);

3. ; ; , es decir, siguen la regla de la mano derecha (también llamada "regla del sacacorchos").

En la primera propiedad, denota producto interno. Producto vectorial

Sean y dos vectores concurrentes de , el espacio afín tridimensional según la base anterior.

Se define el producto , y se escribe , como el vector:

En el que

, es el determinante de orden 2.

O usando una notación más compacta, mediante el desarrollo de un determinante de orden 3 por la primera fila, también decimos:

Que da origen a la llamada regla del sacacorchos: girando el primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño, el sentido de es el de un sacacorchos que gire en el mismo sentido.

Ejemplo:

Sean los vectores:

y

El producto vectorial entre a y b se calcula como:

Expandiendo el determinante:

Por lo tanto

Puede verificarse fácilmente que a × b es ortogonal al vector a y al vector b utilizando el producto escalar y verificando que éste da cero como resultado (condición de perpendicularidad de vectores).

Propiedades: Cualesquiera que sean los vectores , y en :

1. , (anticonmutatividad)

2. (el producto vectorial es perpendicular a cualquiera de los factores),

3. Si y entonces (el producto cruz de dos vectores paralelos es cero).

4. ,

5.

Otras propiedades

Continuando con los vectores del apartado anterior y con la norma vectorial habitual:

. El valor absoluto de esta operación corresponde al volumen del paralelepípedo formados por los vectores ,

y . A esta operación se la conoce como producto mixto, pues combina producto escalar y producto vectorial.

, siendo θ el ángulo menor entre los

vectores y ; esta expresión relaciona al producto vectorial con el área del paralelogramo que definen ambos vectores.

El vector es el vector normal al plano que contiene a los

vectores y .

Vectores axiales

Cuando consideramos dos magnitudes físicas vectoriales, su producto vectorial es otra mangitud física aparentemente vectorial que tiene un extraño comportamiento respecto a los cambios de sistema de referencia. Los vectores que presentan esas anomalías se llaman pseudovectores o vectores axiales. Esas anomalías se deben a que no todo ente formado de tres componentes es un vector físico.

Dual de Hodge

Artículo principal: Dual de Hodge

En el formalismo de la geometría diferencial de las variedades riemannianas la noción de producto vectorial se puede reducir a una operación de dual de Hodge del producto de dos formas diferenciales naturalmente asociadas a dos vectores. Así el producto vectorial es simplemente:

Donde denotan las 1-formas naturalmente asociadas a los dos vectores.

El producto vectoral sólo es definible en tres dimensiones no existe ninguna extensión posible a otras dimensiones, cosa que puede probarse examinando

la dimensionalidad del espacio de las (d-2)-formas y el de las 1-formas que solo coinciden para d = 3.

Otras operaciones vectoriales

Los vectores tienen definida la operación interna de adición de forma sencilla y casi evidente pero para el producto de dos vectores se definen tres operaciones externas:

producto escalar producto vectorial producto tensorial.

Con el producto escalar de vectores se encuentra que se pueden definir ángulos y distancias (ver operador norma) de una forma fácil y directa. Con el producto vectorial, también llamado producto cruz, encontraremos otra manera también de definir ángulos y áreas de paralelogramos definidos por dos vectores de una forma tal que permitirá expresar volúmenes fácil y sencillamente con el producto mixto.

El producto vectorial da como resultado un vector a partir de otros dos, pero no tiene por qué ser en el mismo espacio vectorial; pues en el plano definido por los dos vectores que se operan, el producto vectorial es una operación externa ya que su resultado es un vector perpendicular a dicho plano. Pero en el espacio afín tridimensional, , el producto vectorial es una operación interna.

Por ello el producto vectorial se define en ℝ3.

Ortogonalidad (matemáticas)

Del griego orthos (recto) y gonía (ángulo)

En matemáticas, el término ortogonalidad es una generalización de la noción geométrica de perpendicularidad. En el espacio euclídeo convencional el término ortogonal y el término perpendicular son sinónimos. Sin embargo, en espacios de dimensión finita y en geometrías no euclídeas el concepto de ortogonalidad generaliza al de perpendicularidad.

Ortogonalidad en espacios vectoriales

Definición

Formalmente, en un espacio vectorial con producto interior V, dos vectores

e son ortogonales si el producto escalar de es cero. Esta situación se denota . Además, un conjunto A se dice que es ortogonal a otro conjunto B, si cualquiera de los vectores de A es ortogonal a cualquiera de los vectores del conjunto B.

Ortogonalidad y perpendicularidad

En geometría euclídea, dos vectores x y y ortogonales forman un ángulo recto, los vectores v1 = (3,4) y v2 = (4, − 3) ya que,

. En espacios no euclídeos puede definirse de modo abstracto el ángulo entre dos vectores a partir del producto interior.

Ortogonalidad respecto de una matriz (A-ortogonalidad

Dados dos vectores u1 y u2 pertenecientes a un espacio vectorial de dimensión

n y una matriz A de dimensión , si el productor escalar ,

notado , es igual a cero, se dice que u1 y u2 son ortogonales

respecto a la matriz A o A-ortogonales. Un conjunto de n vectores se

dice que forma una base A-ortonormal si para todo i,j = 1,...,n.

El proceso de ortogonalización de Gram–Schmidt de álgebra lineal es un proceso utilizado en matemática y análisis numérico, para ortogonalizar un conjunto de vectores en un espacio prehilbertiano, más comúnmente el espacio euclídeo Rn.

Ortogonalización en este contexto significa lo siguiente: comenzamos con vectores v1,…, vk los cuales son linealmente independientes y queremos encontrar mutuamente vectores ortogonales u1, …, uk los cuales generan el mismo subespacio que los vectores v1, …, vk.

Este proceso lleva el nombre en honor a Jørgen Pedersen Gram y Erhard Schmidt.

Los dos primeros pasos del proceso de Gram–Schmidt

Definimos el operador proyección con

donde los corchetes angulares representan el producto interior, proyecta el vector v ortogonalmente en el vector u.

Antes de ver el proceso, debemos comprender el por qué de la definición de proyección. Si recordamos la definición de producto escalar, tenemos para el caso del numerador, módulo de u por módulo de v por el coseno del ángulo que forman. En el denominador tenemos módulo de u por módulo de u, ya que el coseno sería 1. Si separamos los dos módulos de u en el denominador, vemos que a la izquierda tenemos únicamente "módulo de v * cos (ángulo que forman)", lo que nos da claramente el módulo del vector proyección. Teniendo el módulo del vector proyección lo único que debemos hacer es asignarle una dirección, cosa que hacemos multiplicándolo por u/módulo(u), lo que es el vector de módulo 1 con dirección u (el vector unitario).

El proceso de Gram–Schmidt entonces funciona como sigue:

Ejemplo

Considera el siguiente conjunto de vectores en Rn (con el convencional producto interno)

Ahora, aplicamos Gram–Schmidt, para obtener un conjunto de vectores ortogonales:

Verificamos que los vectores u1 y u2 son de hecho ortogonales:

Entonces podemos normalizar los vectores dividiendo su tamaño como hemos mostrado anteriormente:

Base y Dimensión:

En un conjunto S= {v1 ,v2, ..., vk} es un espacio vectorial V este se denomina Base si cumple que si es espacio vectorial tiene una base con un numero finito de vectores entonces V es de dimensión finita y en caso contrario es de dimensión infinita.

Base y Dependencia Lineal:

Si un conjunto finito S={ v1 , v2, ..., vn } es una base de un espacio vectorial V si todo conjunto que contiene mas de n vectores de V es linealmente dependiente.

Numero de Vectores de una Base:

Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces toda base V tiene n vectores.

Dimensión de un Espacio Vectorial:

Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces esa n es la dimensión de esa base y se denota dim(V) = n.

Teóricamente la dimensión se determina al hallar el conjunto de vectores linealmente independientes que genera el sub espacio, este conjunto es una base del sub-espacio y la dimensión del mismo es el numero de vectores que hay en la base.

Para ver que una base en un espacio n-dimensional:

Siendo V su espacio vectorial y n = n entonces S = { v1, v2,... ,vn } en un conjunto de vectores linealmente independientes en V, entonces S es una base de V.

Ejemplo: si S = { v1, v2, ..., vn } genera a V, entonces S es una base de V

Rango de una matriz y sistema de ecuaciones lineales:

Sea una matriz Am x n = entonces sus n-adas corresponden a las

Filas de la matriz, ejemplo: (a11, a12, ..., a1n), (a21, a22, ..., a2n), ..., (am1,am2, ..., amn) estas series son los vectores fila de A y los vectores columnas de A corresponden a las columnas de la matriz ejemplo: (a11, a21, ..., am1), (a12, a22, ..., am2), ..., (a1n, a2n, ..., amn).

El espacio fila y el espacio columna son sub-espacios de Rn generado por los vectores fila y espacio columna de A.

Veremos a continuación que los espacios fila y espacio columna comparten muchas propiedades veremos primero el espacio fila, considerando que dos matrices son equivalentes por fila si la segunda matriz se obtiene por operaciones elementales entre fila esta tienen el mismo espacio fila, también hay que considerar que la matriz no se modifica sus columnas por las operaciones elementales entre filas, pero si pueden modificar sus filas.

Si la matriz equivalente B esta en forma escalonada entonces esta constituye un conjunto independiente.

Y la base para el espacio fila de una matriz: si la matriz A es igual en fila a la matriz B entonces en esta ultima los vectores fila B son diferentes de cero esta forma una base para el espacio fila.

Si A es una matriz m x n entonces el espacio renglón y el espacio columna son iguales.

Para poder resolver la ecuación lineal utilizaremos la notación matricial Ax = B que se utiliza para representar ecuaciones lineales.

La solución de éste sistema nos permite ver el conjunto solución, esta solución se escribe como n-adas y se denomina: vectores solución para un sistema homogéneo se utiliza la notación matricial Ax = 0 es un espacio Rn esta solución se denomina espacio solución del sistema también se llama espacio nulo de a. La dimensión de este sistema se denomina nulidad de A.

Para la dimensión de un sistema homogéneo (Ax = 0) en una matriz A m x n y su rango r entonces la dimensión seria n-r (nulidad - rango) = n.

Un sistema homogéneo Ax = 0 es un sub-espacio y un sistema no homogéneo Ax = 0 es un sub-espacio y un sistema no homogéneo Ax = B donde B " 0 este no es sub-espacio ya que el vector cero no es solucion.

Si Xp es una solución particular del sistema homogéneo entonces todo el sistema se expresa como X = Xp + Xn donde Xh seria la solución del sistema homogéneo Ax = 0.

Para ver el numero de soluciones de las ecuaciones lineales se tomara en cuenta tres reglas:

Si rango (A) = rango [A | B] = n entonces el sistema tiene solución única esto

Si rango (A) = rango [A | B] = n entonces el sistema tiene solución única esto quiere decir si el rango de la solución de la matriz A es igual al del rango de la matriz aumentada en B es igual a n entonces tiene una única solución.

Si el rango (A) = rango [A | B]<n tiene esta soluciones infinitas.

Si el rango (A) = rango [A | B] entonces el sistema no tiene soluciones.

Para las ecuaciones lineales con matrices cuadradas: Si A es una matriz n x n cumple las siguientes condiciones:

A es invertible.

Ax = b si tiene una solución única para la matriz bn x 1.

Ax = 0 tiene solución trivial.

A es equivalente por renglones a 1n.

El determinante de A (|A|) " 0.

Rango (A) = n

Los n vectores fila de A son linealmente independientes.

Los n vectores columna de A son linealmente independientes.

Coordenadas y cambio de base:

Siendo B={ v1, v2, ..., vn} una base de un espacio vectorial y x un vector en V que representándose como combinación lineal ( x = c1v1 + c2v2 + ... + cnvn ) siendo los escalares c. Se denomina como coordenadas x con respecto B en el vector Rn denotado así xB = ( c1, c2, ..., cn ).

Cambio de base.

Partiendo de una base B a una base B' se tiene que hacer una multiplicación por una matriz p-1 y esta la obtenemos sacando la inversa de la base B esto seria P-1 y multiplicando P-1 por B obtenemos B' y viserversa.

Aplicación de los espacios vectoriales:

Secciones cónicas y rotación de ejes:

Toda cónica esta dada por ax2 + by2 + cxy + dx + cy + f = 0 donde c de xy = 0 cuando sus ejes son paralelos al plano. Si la ecuación tiene c en xy " 0 se necesita sacar x' y y'. El ángulo de rotaciones debe sacar con la formula Cot 2 = (a-c)/b rotando los polos en sentido antihorario en esta forma la base standard ya vista en temas anteriores exhortada formando un nueva base que es B'= { (Cos , Sen ), (-Sen , Cos )} esto para hallar coordenadas en el plano P(x, y) respecto en a'x'2 + b'y'2 + c'x'y' + d'x' + c'y' + f' = 0 rotando los ejes en sentido antihorario utilizando la formula anterior de angulos rotados y sabiendo que x = x'Cos - y'Sen y que y = x'Sen + y'Cos .

Dependencia e independencia lineal

En álgebra lineal, un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes. Por ejemplo, en R3, los vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) son linealmente independientes, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo son, ya que el tercero es la suma de los dos primeros. Los vectores que no son linealmente independientes son linealmente dependientes.

Definición Sea {v1, v2,..., vn} un conjunto de vectores. Decimos que son linealmente dependientes si existen números 'a1, a2,..., an, no todos iguales a cero, tal que:

Nótese que el cero en el lado derecho es el vector nulo, no el número cero. y el conjunto de vectores nulos forma la matriz nula.

Si tales números no existen, entonces los vectores son linealmente independientes.

Utilizando conceptos de espacios vectoriales podemos redefinir la independencia lineal así:

Un conjunto de vectores U de un espacio vectorial es linealmente

independiente si ∀

Esta idea es importante porque los conjuntos de vectores que son linealmente indepedientes y generan a un espacio vectorial, forman una base para dicho espacio.

Entre las propiedades de los vectores linealmente dependientes e independientes encontramos:

1. Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solamente si alguno de los vectores es combinación lineal de los demás.

2. Si un conjunto de vectores es linealmente independiente cualquier subconjunto suyo también lo es.

Obviamente, si tenemos un conjunto de vectores tales que ninguno de ellos es combinación de los demás, escogiendo solamente unos cuantos, no podrán ser combinación de los otros.

1. Si un conjunto de vectores es linealmente dependiente también lo es todo conjunto que lo contenga.

Ya que un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solo si tiene algún vector que es combinación lineal de los demás, si metemos este conjunto de vectores en otro más grande, seguimos teniendo el vector que es combinación lineal de otros, por tanto, el conjunto más grande sigue siendo linealmente dependiente.

Significación geométrica

Geométricamente, dos vectores son independientes si no tienen la misma dirección (con sentidos idénticos u opuestos). Esta definición supone que el vector nulo tiene todas las direcciones.

Tres vectores son independientes si y solo si no están contenidos en el mismo plano vectorial, o sea si ninguno de ellos es una combinación lineal de los otros dos(en cuyo caso estaría en el plano generado por estos vectores).

El espacio generado por un sistema de vectores es el conjunto de todas las combinaciones lineales de estos vectores. Es un espacio vectorial. El espacio generado por un vector no nulo es la recta vectorial dirigido por este vector. El espacio generado por dos vectores independientes es el plano que los contiene. Resulta fácil comprobar que el espacio generado por un sistema de vectores es el menor (por la inclusión) espacio vectorial que los contiene a todos. Se le denomina vect A, donde A es el sistema de vectores. Si n vectores son independientes, el espacio generado es de dimensión n (dimensión en el sentido usual: 0 para un punto, 1 para una recta, 2 para un plano...).

Ejemplo

En el espacio tridimensional usual:

u y j son dependientes por tener la misma dirección (y sentidos opuestos).

u y v son independientes y definen el plano P. u, v y w son dependientes por estar los tres contenidos en el mismo

plano.

u v y k son independientes por serlo u y v entre sí y no ser k una combinación lineal de ellos o, lo que es lo mismo, por no pertenecer al plano P. Los tres vectores definen el espacio tridimensional.

Los vectores o (vector nulo, cuyas componentes son iguales a cero) y k son dependientes ya que o = 0 ·k

Ejemplo del uso de la fórmula f:

¿Son los tres vectores siguientes independientes?

Buscamos tres valores x, y y z que satisfagan la ecuación:

Lo que equivale al sistema de ecuaciones siguiente:

Dado que la única solución es la trivial (x = y = z = 0), los tres vectores son independientes.

Método alternativo usando determinantes

Un método alternativo usa el hecho que n vectores en Rn son linealmente dependientes si y solo si el determinante de la matriz formada por estos vectores como columnas es cero.

Dados los vectores:

La matriz formada por éstos es:

El determinante de esta matríz es:

Ya que el determinante es no nulo, los vectores (1, 1) y (−3, 2) son linealmente independiente

Sea V = Rn y consideremos los siguientes elementos en V:

Entonces e1, e2,..., en son linealmente independientes. Estos vectores constituyen la base canónica en R.

Demostración

Supongamos que a1, a2,..., an son elementos de R tales que:

Pero

entonces ai = 0 para todo i en {1,..., n}.

Ejemplo III []

Sea V el espacio vectorial de todas las funciones a variable real. Entonces las funciones et y e2t en V son linealmente independientes.

Demostración

Supongamos que a y b son dos números reales tales que:

aet + be2t = 0

Para todos los valores de t. Necesitamos demostrar que a = 0 y b = 0. Para hacer esto dividimos por et (lo cual nunca es cero) y restando obtenemos:

bet = −a

En otras palabras, la función bet debe ser independiente de t, lo cual ocurre cuando b = 0. Por lo tanto, a es cero.