el algebra

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EL EL ÁLGEBRA ÁLGEBRA Fredy Tabares Fredy Tabares

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ELEL ÁLGEBRAÁLGEBRA

Fredy TabaresFredy Tabares

1. ¿ Qué Es ?1. ¿ Qué Es ?

Rama de las matemáticas en Rama de las matemáticas en la que se utilizan letras para la que se utilizan letras para representar relaciones representar relaciones aritméticasaritméticas

Sus operaciones Sus operaciones fundamentales son adición, fundamentales son adición, sustracción, multiplicación, sustracción, multiplicación, división y calculo de raíces.división y calculo de raíces.

El Álgebra es el idioma de El Álgebra es el idioma de las matemáticas.las matemáticas.

2. un poco dE histoRiA2. un poco dE histoRiA

ÁLGEBRAÁLGEBRA

EGIPTO Y

BABILONIA

AL-JWARIZMI(s. IX)

MATEMÁTICOS ÁRABES

(Edad Media)

Resolvían ecuaciones

linealesEcuaciones cuadráticasEcuaciones

indeterminadasCon varias incógnitas

ABU KAMIL( finales s. IX)

Teoría fundamental de ecuaciones

Leyes fundamentales

del álgebra

DESCARTES

Desarrollaron el álgebra

fundamental de los polinomios

MATEMÁTICOSITALIANOS

(s. XVI)

Resolvieron la Ecuación de

Tercer y cuartogrado

Descubrió laGeometría

analítica

ALGunos mAtEmÁticos ALGunos mAtEmÁticos históRicoshistóRicos

Al-Jwarizmi

René Descartes François Viete

Giroldano CardanoRobert Recorde

3. símBoLos3. símBoLos

símBoLos

LEtRAs nÚmERos siGnos

Representan constantesy variables

Son Constantes S. de agrupaciónS. De operaciones

básicas

Paréntesis ( ) , corchetes [ ]

Llaves, y rayas horizontales

Adición +Sustración –

Multiplicación XDivisión :

4. otRAs dEfinicionEs4. otRAs dEfinicionEs

Ecuación:Ecuación: cualquier expresión que incluya la cualquier expresión que incluya la relación de igualdad.relación de igualdad.

- identidad- identidad

- condicional- condicional Término:Término: expresión algebraica que solo

contiene productos de constantes y variables

2x, -a, 5zy...2x, -a, 5zy...

coeficiente

otRAs dEfinicionEsotRAs dEfinicionEs Ecuación lineal:Ecuación lineal: en una variable, es una ecuación en una variable, es una ecuación

polinómica de primer grado.polinómica de primer grado.

aX + b = caX + b = c Ecuación cuadrática:Ecuación cuadrática: en una variable, es una ecuación en una variable, es una ecuación

de segundo grado.de segundo grado.

aXaX22 + bX + c = 0 + bX + c = 0 Nº primo: Nº primo: un entero que solo se puede dividir un entero que solo se puede dividir

exactamente por mismo y por 1.exactamente por mismo y por 1. Factores primos de un nºFactores primos de un nº: son aquellos factores: son aquellos factores

en los que este se puede descomponer de maneraen los que este se puede descomponer de manera

que el nº se expresa como producto de números primosque el nº se expresa como producto de números primos

5. opERAcionEs con 5. opERAcionEs con poLinomiospoLinomios

Cumplen las mismas propiedades que para la Cumplen las mismas propiedades que para la aritmética numérica aunque el álgebra incluye aritmética numérica aunque el álgebra incluye números irracionales y números complejos.números irracionales y números complejos.

A este conjunto de números se le llama A este conjunto de números se le llama NÚMEROS REALES. NÚMEROS REALES.

Los números reales son uniformes para la Los números reales son uniformes para la adición, sustracción, multiplicación y divisiónadición, sustracción, multiplicación y división

5.1 5.1 pRopiEdAdEs dE LA pRopiEdAdEs dE LA AdiciónAdición

La suma de dos números reales La suma de dos números reales a a yy b b otro número otro número real que se escribe real que se escribe a + b.a + b.

Propiedad asociativa: cualquiera que sea la forma en Propiedad asociativa: cualquiera que sea la forma en que se agrupan los términos de la adición el que se agrupan los términos de la adición el resultado es siempre el mismo. resultado es siempre el mismo. (a + b) + c = a + (b + c)(a + b) + c = a + (b + c)

Dado un nº real Dado un nº real aa existe otro nº real cero (0) existe otro nº real cero (0) conocido como elemento neutro de la suma tal que conocido como elemento neutro de la suma tal que a + 0 = 0 + a = aa + 0 = 0 + a = a

Dado un nº real Dado un nº real a, a, existe otro nº real (existe otro nº real (-a-a) llamado ) llamado elemento simétrico de elemento simétrico de aa , tal que , tal que a + (-a) = 0a + (-a) = 0

5.2. pRopiEdAdEs dE LA 5.2. pRopiEdAdEs dE LA muLtipLicAciónmuLtipLicAción

El producto de dos números reales El producto de dos números reales aa y b y b es otro nº es otro nº real, que se escribe real, que se escribe a·ba·b o o abab..

Propiedad asociativa: Cualquiera que sea la forma Propiedad asociativa: Cualquiera que sea la forma de agrupar los términos de la multiplicación, el de agrupar los términos de la multiplicación, el producto es siempre el mismo: producto es siempre el mismo: (ab)c = a(bc).(ab)c = a(bc).

Dado un nº real Dado un nº real aa existe otro nº real uno (1) llamado existe otro nº real uno (1) llamado elemento neutro de la multiplicación, tal que elemento neutro de la multiplicación, tal que a(1)=1(a)=a.a(1)=1(a)=a.

Dado un nº real Dado un nº real aa distinto de cero, existe otro nº distinto de cero, existe otro nº ((a-a-1 1 o 1/ao 1/a ),), llamado elemento inverso para el que llamado elemento inverso para el que a(a-a(a-11) = (a-) = (a-11 )a = 1 )a = 1

5.3 pRopiEdAd distRiButivA5.3 pRopiEdAd distRiButivA

Otra propiedad importante del conjunto de loa números Otra propiedad importante del conjunto de loa números reales relaciona la adición y la multiplicación de la reales relaciona la adición y la multiplicación de la

forma siguiente:forma siguiente:

a(b+c) = ab + aca(b+c) = ab + ac

(b + c)a = ba + ca(b + c)a = ba + ca

6. muLtipLicAción dE 6. muLtipLicAción dE poLinomiospoLinomios

Multiplicar cada término del primer polinomio por Multiplicar cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomiocada término del segundo polinomio

Una vez hechas estas operaciones, todos los términos Una vez hechas estas operaciones, todos los términos del mismo grado se han de agrupar para simplificar la del mismo grado se han de agrupar para simplificar la expresiónexpresión

7. fActoRizAción dE 7. fActoRizAción dE poLinomiospoLinomios

Dada una expresión algebraica complicada, resulta Dada una expresión algebraica complicada, resulta útil el descomponer en un producto de varios útil el descomponer en un producto de varios términos más sencillos.términos más sencillos.

TRINOMIOSTRINOMIOS

xx22 + 2xy + y + 2xy + y22 (x + y)(x + y)22

xx22 – 2xy + y – 2xy + y22 (x – y)(x – y)22

DIFERENCIA DE CUADRADOSDIFERENCIA DE CUADRADOS

xx22 – y – y22 (x + y) (x – y )(x + y) (x – y )

TRINOMIOS DE LA FORMATRINOMIOS DE LA FORMA

XX22 + (a + b)x + ab + (a + b)x + ab (x + a) (x + b)(x + a) (x + b)