UNIDAD NO. 6

CONOZCAMOS Y

UTILICEMOS EL ÁLGEBRA.

Por: Vidal Cruz

CONCEPTOS DE ALGEBRA:

Es la rama de la matemática que estudia las cantidades de la forma más general posible.

Es la rama de la Matemática que generaliza las cantidades representándolas por medio de letras.

NOTACION ALGEBRAICA.

En álgebra, las cantidades son representadas por números y letras.

En álgebra como en aritmética, los números representan cantidades conocidas.

Las letras representan cualquier cantidad, ya sea conocida o desconocida.

Una misma letra puede tener distintos valores, dependiendo de la expresión donde la estemos utilizando.

Así, por ejemplo, en la ecuación x + 1 = 5, la letra “x” vale 4; pero, en la ecuación x + 1 = -2, la “x” tiene valor de -3.

Por lo tanto, una misma letra podrá tener infinidad de valores distintos.

TEMA: SIGNOS ALGEBRAICOS: DE OPERACION,

DE AGRUPACION Y DE RELACION.

Los signos empleados en álgebra pueden ser de tres clases:

De operación. (+, -, *, /)

De relación. (= , >, < )

De agrupación. ( ), [ ], { }

SIGNOS DE OPERACIÓN:

Las operaciones principales que se pueden realizar en álgebra, son:

Adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y extracción de raíces.

En las operaciones de suma, resta, multiplicación y división, se emplean los mismos signos que ya conocemos en aritmética ( +, -, x, ÷ ), aunque en la multiplicación se puede usar un punto como signo de producto, así, para escribir m por n, podemos escribir m.n

Podemos usar también paréntesis para indicar multiplicación, así (m)(n).

En la división, para indicar a÷b, ´podemos expresarlo así a/b.

En la potenciación, el exponente indica cuántas veces una letra o cantidad se toma como factor.

Así, xµ es lo mismo que x.x.x.x.x

Exponente

Base

Para la extracción de raíces se usa el signo radical √ ; así se lee: raíz cúbica de x.

x5

SIGNOS DE AGRUPACIÓN

Los signos de agrupación que se emplean frecuentemente son:

El paréntesis ( )

El corchete [ ]

Las llaves { }

Cuando se tiene operaciones indicadas como 5a(6 + 4), debemos tener cuidado de efectuar las operaciones en el debido orden… Para mayor facilidad, se efectúa primeramente la operación que está entre paréntesis, luego la multiplicación, es decir, que al encontrar signos de agrupación, entonces, la operación colocada dentro de ellos debe efectuarse primero.

Así, tenemos que en la expresión (m + n) ÷ (x + y ), indica que las primeras operaciones que deben hacerse son la suma y la resta que están entre paréntesis, por último se realiza la división.

Ejercicio:

Escribe el orden en que se realizará cada operación en cada una de las siguientes expresiones.

(m – n) x

a – {(x + y)(m ÷ n)}

(x + y) ÷ [(a – b)(b + c)]

SIGNOS DE RELACIÓN

Entre dos cantidades se puede establecer una relación de igualdad o de desigualdad. Por lo cual, los símbolos que se usan son: = , >, <

Así, podemos decir:

X = y , que se lee “x igual a y”

A > b , que se lee “a mayor que b”

M < n , que se lee “m menor que n”

Ejercicios:

Sustituyendo las letras por sus valores, escribe uno de los signos de relación, según convenga, colocándolo entre cada pareja de cantidades.

Sabiendo que:

m=1 n=2 x=3 y=5

5m ______________ 3x

6n ______________ 3y

2n ______________ 2x

5x ______________ 8m

16m _____________ 3y

4y ______________ 12n

CLASIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

De acuerdo al número de términos, las expresiones algebraicas se pueden clasificar generalmente en monomios y polinomios.

MONOMIO:

Es una expresión algebraica que consta de un solo término, por ejemplo, 12m´, - a² b ,

POLINOMIO:

Son expresiones algebraicas que constan de dos o más términos. Ejemplo:

x+y+z

9m² - 16n´

2x´ + 5xµ - 54x – 135

Los polinomios de dos términos reciben el nombre especial de BINOMIOS.

Ejemplos de binomios:

x² - y²

a´ bµ + 3 a² b² c·

Los polinomios de tres términos reciben el nombre de TRINOMIOS.

Son ejemplos de trinomios:

x² - 10x + 25

a´ b³ + 5a² b· m – 35 a¶ b´ xµ

ACLARACION IMPORTANTE:

En algunos modernos libros de álgebra, el concepto de polinomio varía mucho del concepto tradicional que acabamos de mencionar.

Veamos este concepto moderno:

“La condición para que una expresión sea polinomio es que todos los exponentes de la variable sean enteros y positivos”

De acuerdo a este concepto, la expresión 5x³ + x² - 3x

+ x½ y la expresión 10x² + 3x½ - 2 no es polinomio

porque tiene exponentes fraccionarios (no son

exponentes enteros).

En cambio, la expresión 2x⁵ es un polinomio de

acuerdo a la expresión dada, pues su exponente es

entero y positivo.

Así también, la cantidad 5 es un polinomio, pues este

número lo podemos expresar como 5, donde vemos

que el exponente es entero y no es negativo.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Una expresión algebraica es la representación de un símbolo o de una o más operaciones algebraicas.

En las operaciones algebraicas vamos a utilizar continuamente los conceptos siguientes: COEFICIENTE, TÉRMINO, PARTE LITERAL, GRADO, MONOMIO, POLINOMIO, ETC.

COEFICIENTE:

Es el número que va antes de las letras o antes del signo radical.

Ejemplos:

Expresión algebraica Coeficiente

x³ 1

-5x²y´ -5

-a¶b·cµ -1

Una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos “no separados entre sí por signo + o signo –“, recibe el nombre de término.

Son ejemplos de términos:

-5a²b´c³xµ

m³n´

En un término pueden distinguirse cuatro elementos: el

signo, el coeficiente, la parte literal y el grado. El signo

determina si el término es positivo o negativo.

Ejemplo:

Son términos positivos: 4m⁵ , +3t⁶ , y⁷

Son términos negativos: -2xy , -z⁵ , -5m/12x

NOTA: Cuando un término no lleva signo más o signo

menos, se sobreentiende que es positivo.

PARTE LITERAL:

Está formada por las letras que van en el término. Así, en

la expresión 2a²m10, la parte literal es a²m10

GRADO: ABSOLUTO Y RELATIVO

EL GRADO:

El grado de un término puede ser:

a) Absoluto.

b) Con relación a una letra.

El grado absoluto es la suma de los exponentes de las letras que va en el término. Por ejemplo, el término: 8aµb²m³ es de décimo grado o de grado 10 porque 5+2+3=10

El término -xy¶ es de séptimo grado porque 1+6 = 7

El grado de un término con relación a una letra es el exponente que tiene dicha letra.

Ejemplo:

El término 4b²zµ es de segundo grado con relación a “b” y de quinto grado con relación a “z”.

COMO ORDENAR POLINOMIOS.El trabajo con polinomios se hace más fácil cuando sabemos ordenarlos. Para ordenar un polinomio, lo

podemos hacer en orden ascendente o en forma descendente con relación a una letra, llamada LETRA

ORDENATRIZ.

Ejemplo: Ordenar el polinomio -3m² + mµ + 10m³ + 16 + 2m´ - m

En orden descendente: mµ + 2m´ - 10m³ - 3m² - m + 16

En orden ascendente: 16 – m – 3m² - 10m³ + 2m´ + mµ

NOTA: Puede faltar cualquier término intermedio.

TERMINOS SEMEJANTES

Dos o más términos son semejantes cuando tienen las mismas letras con los mismos exponentes.

Ejemplos:

2aµ y -4aµ

-3m² y 2m²

10x²y³zµ y - x²y³zµ

Si los exponentes de una misma letra no son iguales, entonces los términos no son semejantes. Por ejemplo: m²nµ y 3mµn² no son semejantes porque los exponentes de una misma letra no son iguales.

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES

Mediante esta operación convertimos dos o más términos semejantes en un solo término. En la reducción de términos semejantes pueden ocurrir dos casos:

Que los términos tengan igual signo.

Que lo términos tengan distinto signo.

Ejemplos del primer caso:

2x² + 5x² = 7x²

-6m – 4m = -10m

-a³ - 3a³ - 8a³ - 10a³ = -22a³

-2t ͫ - t ͫ = -3t ͫ

Observemos que si los términos semejantes tienen el mismo signo, escribimos en la respuesta ese mismo signo, luego sumamos los coeficientes y colocamos la misma parte literal.

En el caso de que los términos tengan distinto signo, escribimos el signo del mayor, restamos los coeficientes y después se escribe la misma parte literal.

Ejemplos del segundo caso:

REDUCIR:

-10a´ + 6a´ =

⅔ x²y³ - x²y³ =

-12pqt² + 40pqt² =

- ½mxy + 0.85mxy =

2spq – 0.94spq =

VALOR NUMERICO

Si en una expresión algebraica le damos valores a las letras, entonces esa expresión tendrá un valor determinado, al cual llamaremos VALOR NUMERICO.

Para hallar el valor numérico de una expresión, sustituimos cada letra por el valor dado y efectuamos las operaciones indicadas.

Ejemplo:

Hallar el valor numérico de 4x²y´ si x= - 2 y y = 1

SOLUCIÓN:

Se sustituyen las letras por su valor:

4(-2)² (1)´ = 4(4)(1) = 16