vectores en el plano algebra lineal

VECTORES EN EL PLANO

VECTORES EN EL PLANO

Algebra lineal (Ing.Sist.)

Cálculo IV(G,B)

Algebra lineal (Ing.Sist.)

Cálculo IV(G,B)Semestre 99-00 CSemestre 99-00 C

Alg

eb

ra l

ineal Vectores en el

planoEl concepto de vector está motivado por la idea de desplazamiento en el espacio

P Q

Si una partícula se mueve de P a Q determina un segmento de recta dirigido

con punto inicial P y punto final Q

PQ

Alg

eb

ra l


plano

R SP Q

S

R

La magnitud del vector es la longitud de ese desplazamiento y se denota por

PQ

Vectores de la misma magnitud

RSPQ

Alg

eb

ra l


planoLa dirección del vector viene dada por el

punto inicial y el punto final. En este sentido

SRRS

Vectores de la misma

dirección

S

R Q

P

S

R

S

R

Vectores en direcciones

distintas

P

Q

Alg

eb

ra l


planoVectores Equivalentes

Q

P

RSPQ

Tienen la misma magnitud y dirección

S

R

Definición Geométrica

Un vector es el conjunto de todos los segmentos dirigidos

equivalentes

Alg

eb

ra l


plano

OEje x

Eje y

Representante del vector por el origen de coordenadas

Alg

eb

ra l


plano

(a,b) son las coordenadas del vector u y también del punto P

u

a

b

A un vector u se le asocia el punto P(a,b) así:

P(a,b))b,a(OPu

Eje Y

OEje X

Alg

eb

ra l


plano

u=(a,b)

Dado (a,b)2 se le asocia el vector u así:

u

a

bP(a,b)

Eje Y

OEje X

Definición algebraicaUn vector es un par ordenado de

números reales

Alg

eb

ra l


planoPunto P

en el plano

(a,b)2

Vector u=OPdesde el origen hasta P

Esta correspondencia se llama:Sistema de coordenadas rectangulares

Alg

eb

ra l


plano Magnitud o norma de un

vector u

El vector nulo (0,0) no tiene

dirección

Dirección de u

Angulo positivo que forma con el eje X

22 bau ab

tag

u

a

b(a,b)

Eje Y

OEje X

Un vector de norma uno se llama unitario

Alg

eb

ra l


planoOperaciones con

vectores

Sean u=(x,y) y v=(a,b) vectores en el plano y un número real. Se define el vector:

suma u+v como

u+v= (x+a, y+b)

producto por un escalar u como

u=(x, y).

Alg

eb

ra l



vectores

Si u=(x,y), v=(a,b), pruebe gráficamente que

u+v=(x+a,y+b)

Eje Y

OEje X

u+ v u

v

Alg

eb

ra l



vectores

u+v=(x+a,y+b)

a

y

O

Eje Y

Eje X

u+ v u

v

a x

y

b b

b x

x

Alg

eb

ra l


planoInvestiga por tu cuenta

¿Hay alguna relación entre las normas de u, v y la de u+v?

¿Hay alguna relación entre la direcciones de u, v y la de u+v?

Alg

eb

ra l



vectores

Si u=(x,y), pruebe gráficamente que u=(x, y)

Eje Y

OEje X

u

u

>0

u <0

Alg

eb

ra l



vectores

u=(x, y)

u

u

O

Eje Y

Eje X x

y

Triángulos semejantes

y¿

x?

u

u

y

x

?

¿

Alg

eb

ra l


planoEjercicio 1

¿Cuál es la relación entre las normas de u y la de u?

¿Hay alguna relación entre la direcciones de u y la de u?

Alg

eb

ra l


planoEjercicio 2

Encuentre el vector de norma 4 en la dirección del vector (4,-3)

Encuentre el vector unitario con dirección /4.

Alg

eb

ra l


planoLos vectores i=(1,0) y j=(0,1) son los vectores unitarios en la dirección de los

ejes coordenados

Todo vector (x,y)=x(1,0)+y(0,1), es decir, es combinación lineal de los

vectores i,j

Eje Y

O Eje X

u

x

y

i

j xi

yj

Alg

eb

ra l


planoProducto escalar

Primero se define en los vectores canónicos i=(1,0), j=(0,1) como i.i=j.j=1

i.j=j.i=0

ybxav.u

j.ybji.yajj.xbii.xaiv.u

bjaiv

yjxiu

Alg

eb

ra l


plano

Se define el producto interior o producto escalar de dos vectores u=(x,y) y v=(a,b) como:

u.v=ax+by

Se define el ángulo entre dos vectores u y v como el ángulo no negativo mas pequeño entre u y v.

Producto escalar

Alg

eb

ra l


plano

Dos vectores son paralelos si el ángulo entre ellos es 0 o .

Dos vectores son ortogonales si forman un ángulo de /2

Producto escalar

Eje X

Eje Y

/2

Alg

eb

ra l


planoPropiedades del producto escalar

Prueba: Ejercicio

Teorema: Sean u,v vectores en 2 y un número real, entonces:

u.0 = 0 u.v = v.u (propiedad conmutativa) (u).v = (u.v) = u.( v) u.(v+w) = u.v + u.w (propiedad distributiva)

2uu.u

Alg

eb

ra l


plano

Interpretación geométrica:

Teorema:Sean u y v vectores no nulos y el ángulo entre ellos, entonces cosvuv.u

v

u

ucos

w= vv

v.u2

Alg

eb

ra l


plano

Teorema del coseno:

cosvuv.u

Prueba:

v

uv-u

cosvu2vuuv222

cosvu2vu)uv).(uv(22

cosvu2vuuv.u2v2222

cosvu2v.u2

Alg

eb

ra l


planoTeorema:

v

u

Proyvu

Sea v un vector no nulo, entonces para cualquier vector u se tiene que

es un vector ortogonal a vvv

v.uu

2w=

w=u-proyvuw

Alg

eb

ra l


planoPrueba del Teorema:

Por lo tanto wv

0vv

v.uv.u

v.vv

v.uv.uv.v

v

v.uu

22

22

w.v=

w.v=

Alg

eb

ra l


planoEjercicio Propuesto

Pruebe que u y v son ortogonales si y solo si u.v=0

Pruebe que u y v son paralelos si y solo si u es múltiplo escalar de v, es decir si u= v

Alg

eb

ra l


planoSolución Nº1

uu

yx)y()x(u

22222

1)

o tgxy

xy

tg

u)dirección( )u(dirección2)

Alg

eb

ra l


planoSolución Nº1

2) Eje Y

OEje X

u

u

>0

u

<0

+

Alg

eb

ra l


plano

Sea la dirección del vector u, entonces

2)

0

0

si

siDirección de u=

Solución Nº1

Alg

eb

ra l


planoSolución Nº2

5916 u por lo tanto

(4,-3) es el vector buscado

544 u

u

a) Queremos encontrar tal que:

44 uu 04 ,u

Alg

eb

ra l


planoSolución Nº2

1u),y,x(u

)22

,22

(u

b) Eje Y

OEje X

uSen

cos

Sen

)sen,(cosu44

yxxy

4tg1

22

xx2u1 22

1sencosu 22

De otra manera:

vectores en el plano algebra lineal

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