Instituto Tecnolgico de Campeche Curso de Nivelacin Matemticas

PARTE I: CONJUNTOS Y NMEROS REALES1. BREVE INTRODUCCIN A LA TEORA DE CONJUNTOSCompetencia de la unidadAplicar la terminologa de la teora de conjuntos y de las operaciones entre ellos.

1.1 Conceptos bsicos sobre ConjuntosEn matemticas, el concepto de conjunto es una forma adecuada de considerar una coleccin de objetos. Definimos los objetos o miembros de un conjunto como los elementos de ese conjunto. En lo sucesivo representaremos a los conjuntos con letras maysculas: A, B, C, etc., y a sus elementos con letras minsculas: a, b, c, etc.Para especificar a un conjunto usaremos dos formas bsicas:1. Forma tabular. Consiste en enlistar entre llaves a todos los elementos del conjunto separndolos entre s mediante comas. 2. Forma descriptiva. Consiste en expresar entre llaves una propiedad que defina a los elementos del conjunto y slo a ellos, de manera que no haya duda respecto a si un objeto forma o no parte de la coleccin.Ejemplos:1. El conjunto de las vocales del alfabeto espaol Forma tabular: V = {a, e, i, o, u} Forma descriptiva: V = {Vocales del alfabeto espaol}2. El conjunto de nmeros: 3, 5, 7, 9. Forma tabular: A = {3, 5, 7, 9} Forma descriptiva: A = {Nmeros enteros impares comprendidos entre 1 y 10}Generalmente se utiliza una letra, como por ejemplo x, para designar a un elemento no especificado de un conjunto y una pequea lnea vertical () que se lee: tal que o tales que. As, el conjunto del ejemplo 2 se puede escribir como:A = {xx es impar, 1 < x < 10}Lo anterior se lee como: A es el conjunto de los elementos tales que cada elemento es un nmero impar, comprendido entre 1 y 10}En la teora de conjuntos es til considerar a dos conjuntos especiales, los cuales se definen a continuacin.DEFINICIN

El conjunto que carece totalmente de elementos se llama conjunto vaco o conjunto nulo y se representa con la letra griega (lase fi) o tambin {}.

Precaucin: y {} son representaciones para el mismo conjunto y no se usan al mismo tiempo. As, {} no es conjunto nulo (Por qu?). El conjunto de nmeros enteros comprendidos entre 0 y 1 es un conjunto vaco.

DEFINICIN

El conjunto de todos los elementos considerados en un problema dado se llama conjunto universal o universo y se denota con U o con la letra griega omega, .

El conjunto universal no es nico. Por ejemplo, si estamos interesados en un censo en la Repblica Mexicana, nuestro universo sera el conjunto de todos los habitantes de la repblica; pero si estamos interesados en la preferencia de los electores, nuestro universo sera el conjunto de todos los ciudadanos mayores de 18 aos con credencial para votar.

Conjuntos y relaciones

En la teora de conjuntos se usan frecuentemente las siguientes relaciones:

1. Relacin de pertenencia. Se utiliza para indicar si un objeto pertenece o no a un conjunto dado. Se representa y se lee pertenece a o es elemento de. Para indicar que un objeto no pertenece a un conjunto se utiliza el smbolo . Estos smbolos se utilizan exclusivamente entre un elemento y un conjunto; nunca entre dos elementos ni entre dos conjuntos. Para los conjuntos dados anteriormente podemos expresar, por ejemplo,

uV, mV, 7A, 4A2. Relacin de igualdad. Dos conjuntos A y B son iguales, escrito A = B, si y slo si A y B tienen exactamente los mismos elementos. Es decir, cada elemento de A pertenece a B, y cada elemento de B pertenece a A. Por ejemplo,

a) Si A = {Letras de la palabra amor} y B = {Letras de la palabra roma}, entonces A = B.

b) Si C = {1, 2, 3, 4} y D = {1, 2, 3, 47, 5}, entonces C D. c) Dados P = {xx2 4x + 3 = 0} y Q = {Nmeros impares positivos menores que 5}, entonces P = Q.

3. Relacin de inclusin. Se dice un conjunto A est incluido en un conjunto B, escrito AB, si todo elemento de A es tambin elemento de B. Si por lo menos un elemento de A no pertenece a B, entonces el conjunto A no est incluido en B y esto se expresa AB.Ejemplos_____________________________________________________________________

1) Si A = {1, 3, 5} y B = {1, 2, 3, 4, 5}, entonces AB.

2) Si P = {Polgonos} y T = {Tringulos}, entonces TP.

Notas: a) Decir que TP equivale a expresar que todos los tringulos son polgonos.

b) La expresin TP es incorrecta. No hay pertenencia entre conjuntos. Tambin es incorrecta la expresin: a{vocales del alfabeto espaol}. Por qu?

3) Dados E = {0, 1, 2, 3} y F = {Nmeros enteros positivos}, entonces EF._____________________________________________________________________________

DEFINICIN

Se dice que un conjunto A es subconjunto de un conjunto B, si AB.

Notas: 1) El conjunto vaco es subconjunto de cualquier conjunto. Por qu? 2) Todo conjunto es subconjunto de s mismo y es llamado subconjunto impropio.

Ejemplos:1) El conjunto de todos los tringulos es un subconjunto del conjunto de todos los polgonos.2) Encuentra todos los subconjuntos del conjunto A = {a, b, c}

Solucin: {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} y

1.2 Operaciones con conjuntosMediante las operaciones se combinan conjuntos dados para obtener otros conjuntos. Las operaciones de uso ms frecuente son: unin, interseccin y complementacin.DEFINICIN

La unin de dos conjuntos, A y B, representada AB, es el conjunto formado por aquellos elementos que pertenecen a A, a B o a ambos conjuntos; esto es, por los elementos que, por lo menos, pertenecen a uno de los conjuntos A o B (en este caso, o significa y/o). Esto es:

AB = {xxA xB}

Ejemplos:

1) Dados A = {a, b} y B = {a, c, d}, entonces AB = {a, b, c, d}.2) Si S = {Los cuadrilteros} y T = {Los tringulos}, entonces:

ST = {Los polgonos que son tringulos o cuadrilteros}DEFINICIN

La interseccin de dos conjuntos, A y B, representada AB, es el conjunto formado por aquellos elementos que pertenecen simultneamente a ambos conjuntos; esto es, por los elementos que pertenecen a A y a B. Esto es:

AB = {xxA y xB}

Ejemplos:

1) Dados A = {a, b} y B = {a, c, d}, entonces AB = {a}.

2) Si S = {Los cuadrilteros} y T = {Los tringulos}, entonces ST =

3) Dados C = {Lectores del Peridico Tribuna} y D = {Lectores del Peridico Novedades}, entonces CD = {Lectores de los Peridicos Tribuna y Novedades}.DEFINICINEl complemento de un conjunto A, representado A, es el conjunto de elementos del Universo que no pertenecen al conjunto A. Esto es,

A = {xxA, xU}Ejemplos:1) Si U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y A = {1, 3, 5, 7}, entonces A = {2, 4, 6}.2) Si U = {Todos los lectores de Peridicos} y C = {Lectores del Peridico Tribuna}. Entonces C = {Lectores de Peridicos que no leen Tribuna}.

DEFINICINLa CARDINALIDAD de un conjunto A, denotada n(A), el nmero de elementos del conjunto.

Ejemplos:1) Para los conjuntos: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y A = {1, 3, 5, 7}, n(U) = 7 y n(A) = 4.

2) La cardinalidad del conjunto nulo es cero: n() = 0.

Autoevaluacin

1) Sea U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j} y A = {a, c, e, g}, B = {b, c, d, e} C = {b, d, f, h}. Encontrar:

a) AB b) AC c) CBd) AU

e) (AB) f) g) U h) 2) Expresa los siguientes conjuntos en la forma tabular:

a) P = {Nmeros primos menores que 10} b) C = {xx2 + 1 = 0} c) M = {xx2 1 = 0} d) L = {Letras de la palabra cascada}

3) Determina la cardinalidad de cada uno de los conjuntos del inciso 2.

2. NMEROS REALESCompetencia de la unidadConocer los axiomas de los nmeros reales, relacionarlos e identificarlos en los diferentes procesos aritmticos y algebraicos.

2.1 Clasificacin de los nmeros reales

El sistema numrico que utilizaremos se llama conjunto de nmeros reales, R. Haremos un breve repaso de las propiedades y de la construccin de R. Para esto, se parte del conjunto de los nmeros naturales.El conjunto de nmeros naturales representado por N, es el conjunto compuesto por los nmeros con los cuales aprendimos a contar. Esto es,N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,}Cuando se trabaja slo con el conjunto de los nmeros naturales, la sustraccin no siempre es posible. Por ejemplo, 2 2 y 3 7 no tienen respuesta en el conjunto de los nmeros naturales. Para resolver problemas de sustraccin, se considera el conjunto de los nmeros enteros. La notacin del conjunto de nmeros enteros es:Z = {, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,}

Observar que NZ, esto es, el conjunto de los nmeros naturales es un subconjunto del conjunto de los nmeros enteros.Si dividimos un nmero entero entre otro entero diferente de cero, obtenemos los nmeros racionales. Por ejemplo:

Note que el conjunto de los racionales incluye a los enteros, a los fraccionarios, expansiones decimales finitas (como 0.5, 1.8573) y expansiones decimales infinitas peridicas, como ; o como , entre otros.El conjunto de los nmeros racionales se denota por Q, y se define como:

Q = {a/baZ, bZ y b 0}

Esto es, los nmeros racionales siempre pueden escribirse como el cociente de dos enteros (excluyendo la divisin entre cero). Ntese que el conjunto de nmeros enteros es subconjunto del conjunto de nmeros racionales, ZQ.

Existen nmeros que no pueden expresarse como el cociente de dos enteros, esto es, no son racionales. stos forman el conjunto de los nmeros irracionales, que se representa Q o I. Algunos ejemplos de nmeros irracionales son: , y 1 .El conjunto de nmeros reales, denotado por R, est formado por la unin de los racionales y los irracionales; esto es:

R = QQDesarrollo de competencias

1. Comprender y memorizar los diferentes subconjuntos de nmeros reales.

2. Dada una lista de nmeros, clasificarlos como racionales o irracionales, enteros o fraccionarios, naturales o no naturales, etc.

3. Utilizando una computadora el alumno calcular, por ejemplo, la raz cuadrada de 2 y, con base en las caractersticas de las distintas clases de nmeros, explicar por qu no es racional.

Evidencias de aprendizaje

El alumno deber construir un diagrama, cuadro sinptico, etc., en el que se muestre la relacin entre los diferentes conjuntos de nmeros que forman el conjunto de los nmeros reales.

2.2 Propiedades de los nmeros reales

En el sistema de nmeros reales, se definen dos operaciones binarias para dos nmeros reales cualesquiera, a y b: la adicin, representada a + b, y la multiplicacin, representada o, simplemente, ab. Para dichas operaciones y los nmeros reales se cumplen ciertas propiedades, establecidas por medio de axiomas. Las propiedades bsicas se presentan en la siguiente tabla. Dado que a, b y c son nmeros reales:

PropiedadAdicinMultiplicacin

1. Cerradura o clausura

a + b Rab R

2. Conmutativa

a + b = b + aa b = b a

3. Asociativa(a + b) + c = a + (b + c)a(bc) = a(bc)

4. Existencia del neutro o elemento de identidad.

Elemento neutro: 0a + 0 = aElemento neutro: 1

a1 = 1a

5. Existencia de inversos

Inverso aditivo o negativoa + ( a) = 0Inverso multiplicativo o recproco

Si a 0, a= 1Otra representacin para el recproco: a 1

Entendamos el significado de cada una de estas propiedades:

1. Propiedad de cerradura: Establece que la suma y el producto de dos nmeros reales es tambin un nmero real.

2. Propiedad conmutativa: Establece que el orden en que intervienen los nmeros reales en la adicin y en la multiplicacin puede ser cambiado sin afectar al resultado. Por ejemplo:

Adicin: 14 + 23 = 23 + 14; Multiplicacin: 117 = 711

3. Propiedad asociativa: Dado que las operaciones se realizan entre dos nmeros reales, esta propiedad establece que, cuando hay ms de dos se pueden agrupar para realizar las operaciones. Por ejemplo, para sumar 3 + 9 + 5 se puede hacer:

(3 + 9) + 5 3 + (9 + 5)

En ambos casos se obtiene el mismo resultado:

(3 + 9) + 5 = 3 + (9 + 5)12 + 5 = 3 + 1417 = 17

En la multiplicacin se procede de manera similar.

4. Existencia del elemento neutro: Esta propiedad establece que, tanto para la adicin como para la multiplicacin, existe un nmero real que operado con otro lo mantiene sin cambio, es decir, no lo modifica. Este nmero es el cero para el caso de la adicin y el uno para el caso de la multiplicacin.

5. Existencia del inverso: Esta propiedad establece que, tanto para la adicin como para la multiplicacin, existe un nmero real que al ser operado con otro da como resultado el elemento neutro. As, se tiene que para la adicin existe, para cada nmero a R, el inverso aditivo o negativo, representado por a R, tal que

a + ( a) = 0

Para la multiplicacin, para cada nmero real a 0, existe un nmero real representado a 1 tal quea a 1 = 1

El inverso multiplicativo se conoce tambin como el recproco.

Propiedad distributiva

Esta propiedad involucra tanto a la adicin como a la multiplicacin y establece que:

a (b + c) = ab + ac

Esto significa que multiplicar un nmero y la suma de dos cifras equivale a multiplicar cada cifra por el nmero y luego sumar los resultados.Ejemplo:

Multiplicar el nmero 3 por la suma de 4 y 7. La propiedad establece que se puede hacer de dos maneras: efectuar primero la suma de 4 y 7, y multiplicar el resultado por 3, o multiplicar el 4 y el 7 por tres y sumar los resultados:

3(4 + 7) = 3(4) + 3(7)3(11) = 12 + 21 33 = 33

2.3 Valor absoluto

El valor absoluto de un nmero real a, denotado a, es el nmero real tal que

a= a cuando a es positivo o cero. a= a cuando a es negativo.

Esto es, el valor absoluto de un nmero es el mismo nmero cuando es positivo o cero, o el negativo de ese nmero cuando ste es negativo. De acuerdo con la definicin, el valor absoluto de un nmero es positivo o cero.

Ejemplos:____________________________________________________________________

1. Encuentra el valor absoluto de cada uno de los nmeros: a) 4 b) 0 c) 5 Solucin.

a) 4= 4, b) 0= 0, c) 5= ( 5) = 5

2. Encuentra el valor absoluto de

Solucin. Ya que es negativo, entonces = () = _____________________________________________________________________________

2.4 Operaciones con nmeros reales

Como se vio en la seccin anterior, para el conjunto de los nmeros reales se definen dos operaciones: la adicin y la multiplicacin.

Adicin

Para sumar nmeros reales aplicamos las siguientes reglas:

1. Nmeros con el mismo signo: Se suman los valores absolutos de los nmeros, y se antepone el signo comn al resultado.

2. Nmeros con signos diferentes: se resta el nmero de menor valor absoluto del de mayor valor absoluto y se antepone el signo del nmero con mayor valor absoluto al valor numrico del resultado.

Ejemplos____________________________________________________________________

1. Suma de nmeros reales con el mismo signo:

a) 5 + 8 = 13Se asigna el signo comn +

b) ( 4) + ( 5) = 9Se suman los valores absolutos (4 y 5) y se asigna el signo comn

c) Se asigna el signo comn

2. Suma de nmeros reales con signos diferentes:

a) 5 + ( 2) = + 3Se asigna el signo positivo

b) 7 + ( 15) = 8 Prevalece el signo negativo

c) Prevalece el signo negativo

d)Prevalece el signo positivo

e) 5.3 + 2.4 = 2.9 Prevalece el signo negativo

3. Aplicacin. Una persona camina 60 metros (en lnea recta) hacia la derecha desde el punto A; luego retrocede 40 metros y despus otros 42 metros. A qu distancia y direccin del punto A se encuentra al final del recorrido? Sol. Si representamos con nmeros positivos las distancias hacia la derecha de A y con nmeros negativos las distancias hacia la izquierda de A, entonces tenemos:

60 + ( 40) + ( 42) = 22

Puesto que el resultado es un nmero negativo, la persona estar a 22 metros a la izquierda del punto A.___________________________________________________________________________

Sustraccin

La sustraccin de dos nmeros reales, a y b, se representa a b y se define como la suma de a con el negativo de b. Esto es:a b = a + ( b)

El resultado de la sustraccin se denomina resta o diferencia.

Ejemplos____________________________________________________________________

1. Restar 8 de 17 Sol. De acuerdo con la definicin, 17 8 = 17 + ( 8) = + 9

2. Restar 13 de 7 Sol. 7 13 = 7 + ( 13) = 20

3) 3.5 ( 2.1) = 3.5 + 2.1 = 1.4

4)

5) 5 ( 8) = 5 + 8 = + 3

_____________________________________________________________________________

Multiplicacin y divisin

La divisin de dos nmeros reales, a y b, b 0, representada , se define como la multiplicacin de a por el recproco de b; esto es:

=

Notas 1) Es importante entender lo que esta definicin establece: dividir entre un nmero (diferente de cero) es equivalente a multiplicar por su recproco. As, dividir entre 3 equivale a multiplicar por dividir entre 7 equivale a multiplicar por ; dividir entre equivale a multiplicar por ; etc. De este modo, por ejemplo, .

2) La divisin entre cero no est definida. Por ejemplo, no se puede efectuar .

Para multiplicar o dividir nmeros reales se aplican las siguientes reglas:1. Cuando se multiplican o dividen dos nmeros con los mismos signos, el producto y el cociente, respectivamente, son positivos.2. Cuando se multiplican o dividen dos nmeros con signos diferentes, el producto y el cociente, respectivamente, son negativos.

Ejemplos________________________________________________________________

1. Determinacin de productos:

a) 5 7 = 35 (5 y 7 tienen el mismo signo; el producto es positivo)

b) 8 ( 3) = 24 (Tienen diferente signo; el producto es negativo)

c) ( 8) ( 5) = 40 (Signos iguales; el producto es positivo)

d) (3.1) ( 3.4) = 10.54

e)

f) ( 3)(4)( 11) = 132 Propiedad asociativa: [( 3)(4)]( 11) = ( 12) ( 11) = + 1322. Determinacin de cocientes:

a) (Signos iguales; el cociente es positivo)

b) 32 4 = 8 (Signos diferentes; el cociente es negativo)

c) 24 ( 6) = + 4 (Signos iguales; el cociente es positivo)

d) (Signos diferentes, producto negativo) Note que se multiplic por el recproco del segundo factor.

e) 3.6 ( 1.5) = 2.4 _____________________________________________________________________________

Algo ms sobre la multiplicacin

Una multiplicacin es, en realidad, una suma simplificada de sumandos iguales. Por ejemplo, supongamos que se desea sumar 2 + 2 + 2 + 2 + 2, es decir, tomar 5 veces el nmero 2 como sumando: Tenemos que 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10; pero, por otra parte: 5 2 = 10. Por lo tanto,

2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 5 2 = 10

El nmero 5 indica que el nmero 2 se toma como sumando 5 veces.

En general, si tenemos n sumandos iguales al nmero a, entonces

Al nmero dado por n se le conoce como coeficiente de a. As, el coeficiente de a indica cuntas veces deber ser tomado el nmero dado por a como sumando.

Ejemplos____________________________________________________________________

a) Efecte 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 Sol. 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 8 7 = 56

b) El permetro de un polgono regular se obtiene sumando las medidas de cada uno de sus lados. Cul es el permetro de un pentadecgono regular, si cada uno de sus lados mide 6 cm? Sol. Un pentadecgono tiene 15 lados; por tanto, el permetro es P = 15 6 = 90 cm_____________________________________________________________________________

Potenciacin

Si a es cualquier nmero real y n es un entero positivo, entonces la n sima potencia de a es

El nmero representado con a se conoce como base, y n es el exponente. Note que el exponente indica cuntas veces se toma la base como factor en la multiplicacin.

Cul es la diferencia entre un exponente y un coeficiente?

Ejemplos___________________________________________________________________

a) 32 = 33 = 9

b) ( 2)5 = ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) = 32

c) _____________________________________________________________________________

Multiplicacin de potencias con la misma base

Supongamos que se desea multiplicar 33 por 35. Entonces, con base en las definiciones anteriores tenemos que

Podemos observar que para multiplicar potencias con la misma base, sumamos los exponentes, y conservamos la base. En general, si a es un nmero real, y m y n son dos enteros positivos cualesquiera, entoncesam an = am + n

Divisin de potencias de la misma base

Para dividir potencias con la misma base, se restan los exponentes. Esto es, para dividir am entre an, a 0, hacemos

Exponente cero

Cuando m = n, se tiene que ; pero toda cantidad no nula dividida entre ella misma es igual a 1. Por tanto, = 1, de donde se concluye que a0 = 1

Toda cantidad no nula elevada a la cero es igual a 1.

Exponente negativo

Supongamos que se desea dividir 23 entre 26. De acuerdo con la regla se tiene que

Cmo se debe interpretar esa potencia con exponente negativo? Podemos responder a esta pregunta planteando la multiplicacin

232 3 = 20 = 1

Pero 232 3 = 1 se cumple slo si 2 3 es el inverso multiplicativo de 23, esto es, si 23 = . Por tanto, se puede concluir que, si a 0, entonces

y, de modo similar

Ejemplos____________________________________________________________________

1. Efecte las siguientes multiplicaciones: a) 2324 = 27 = 128

b) ( 5)2( 5)3 = ( 5)5 = 3125

c)

d) 32 3 5 = 3 2 = 2. Efecte las divisiones siguientes:

a) 35 33 = 32 = 9

b) 23 25 = 2 2 =

c) 10 4 10 7 = 10 4 ( 7) = 10 4 + 7 = 103 = 1000

d) (Por qu?)3. Operaciones con exponente cero y/o exponente negativo:

a) ( 3)0 = 1 b) (x + 2)0 = 1

c) d) (Por qu?)_____________________________________________________________________________ Potencia de una potencia

Supongamos que se desea efectuar (23)4. De acuerdo con la definicin de potencia, se tiene que

(23)4 = 23 23 23 23

Al aplicar la regla de los exponentes para la multiplicacin se tiene que (23)4 = 212, resultado que se obtiene tambin al multiplicar los exponentes 3 y 4 manteniendo 2 como base. Se puede establecer, entonces, que (am)n = amn

Ejemplos_____________________________________________________________________

1. (32)3 = 36 = 729 2. (x4)5 = x20

3. (2 3)2 = 2 6 = 4.

4. (a 2 b3) 1 = a2b 3

_____________________________________________________________________________

Raz n-sima Si n es cualquier nmero entero positivo, entonces la raz n-sima principal de x se define como

, y significa que an = x

Si n es par, tenemos que considerar que x 0 y a 0. Se conviene que cuando n = 2, se puede omitir su escritura, de manera que la raz cuadrada de un nmero no negativo x se expresa

y significa que a2 = x

Ejemplos____________________________________________________________________

______________________________________________________________________

Es muy importante aclarar que las races pares de nmeros negativos no estn definidas en el conjunto de los nmeros reales, pues no hay nmeros reales que al elevarse a una potencia par nos d un nmero negativo. Por ejemplo, no estn definidos en R.

Propiedades de las races

PropiedadEjemplos

Ejemplos_____________________________________________________________________

1. Utiliza las propiedades de las races para calcular el valor de cada una de las siguientes expresiones. b)

c) d) 2. Simplificacin de expresiones que contienen radicales

a) b)

c)

d) _____________________________________________________________________________

Exponentes racionales

Un exponente racional es un exponente fraccionario. Primero, analicemos el significado de la expresin x1/n. Recordemos que significa que an = x. Si hacemos a = x1/n, tenemos que, al aplicar las leyes de los exponentes

an = (x1/n)n = xn/n = x1 = x

Por lo tanto, como entonces x1/n = . Si en esta expresin elevamos ambos miembros a la m-sima potencia, obtenemos

(x1/n)m = ()mEsto es:

xm/n = Lo anterior nos permite concluir que si m y n son enteros, n > 0, entonces para cualquier exponente racional m/n se tiene que

Si n es par, tenemos que considerar que x 0. Las leyes de los exponentes tambin son vlidas para los exponentes racionales.

Ejemplos_____________________________________________________________________

1. Aplicando la definicin anterior para exponentes racionales, escriba una expresin equivalente a cada una de las expresiones siguientes:

a) 21/3 b) 91/2 c) 82/3 d) 4 1/2 e) x3/2

Solucin:

a) 21/3 = b) 91/2 = c) 82/3 = d) e) x3/2 =

2. Aplique las reglas de los exponentes para efectuar las operaciones siguientes:

a) (x3)1/3 b) (x4 y2)3/2 c) (x1/2)2/3 d) x2/5 x3/5 e) Solucin:

a) (x3)1/3 = x3/3 = x b) (x4 y2)3/2 = x12/2 y6/2 = x6 y3

c) (x1/2)2/3 = x2/6 = x1/3 d) x2/5 x3/5 = x5/5 = x e)

3. Utilice exponentes racionales para efectuar las operaciones siguientes:

a) b) Solucin: a) b)

_____________________________________________________________________________Autoevaluacin En cada caso, efecta la operacin que se indica: 1) ( 3.7) + ( 11.4)

2)

3) 12 9 + 14 23 5

4) ( 13)( 5)

5) Resta 13 de 7

6) (8)( 3)( 7)( 4)

7) Divide 4 entre

8)

9)

10)

11) (x3/2y1/3)612)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20) (9z)1/2(8z2)1/2

PARTE II ELEMENTOS DE LGEBRA

UNIDAD 3: OPERACIONES EN LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

3.1 Conceptos bsicos

Expresiones algebraicas y lenguaje algebraico

El lgebra se ha definido como la rama de las matemticas que simplifica y generaliza las cuestiones relativas a los nmeros, representndolos por medio de letras llamadas literales.

Considere el ejemplo siguiente:

El rea de un tringulo es igual a la mitad del producto de las medidas de la base y la altura.

Si llamamos A al rea y b y h a las medidas de la base y la altura del tringulo, respectivamente, entonces podemos expresar el enunciado anterior como:

De esta manera, no slo se simplifica la descripcin del procedimiento para calcular el rea, sino que se generaliza, porque la expresin obtenida es aplicable para cualquier tringulo; basta sustituir los valores especficos para la base y la altura y efectuar las operaciones.

La frmula anterior es una expresin algebraica. En trminos generales, una expresin algebraica es una combinacin de numerales, literales y smbolos de operacin.

Las expresiones algebraicas nos sirven para representar reas o volmenes, procesos econmicos, comportamientos de la naturaleza y muchos otros fenmenos o situaciones. Cuando un enunciado (verbal o escrito) lo traducimos a una expresin algebraica, decimos que estamos traduciendo al lenguaje algebraico. Consideremos los ejemplos siguientes:

EnunciadoExpresin algebraica

La suma de dos nmerosa + b x + y, etc.

Un nmero aumentado en 7x + 7

La semisuma de dos nmeros cualesquiera

La edad que tena Juan hace dos aos, es igual a la mitad de la que tendr dentro de 9. Su edad actual es x.

La temperatura en grados Celsius, C, es cinco novenos de la resta de la temperatura en grados Fahrenheit y 32.

Evidencias de aprendizajeHabilidades. Traduce los siguientes enunciados en expresiones algebraicas.

EnunciadoExpresin

a) El cuadrado de la suma de dos cantidades

b) El producto de la suma de dos cantidades por la diferencia de las mismas cantidades.

c) El cociente de x entre la suma de a ms b.

d) El triple de un nmero, disminuido en 5.

3X - 5

e) La cantidad acumulada dentro de n periodos, F, cuando se invierte la cantidad P a una tasa i por periodo, est dada por el producto de P y la potencia ensima del resultado obtenido al sumarle 1 a la tasa i.

Concepto de trmino algebraico

Un trmino es una expresin que se encuentra formada por nmeros y literales que indican una multiplicacin; en un trmino no aparece la adicin ni la sustraccin. Son ejemplos de trminos:

5x3y2, 7, 2a3b5, 2y, 6m2n

Es importante sealar que el signo menos en el trmino 6m2n, no indica una sustraccin; dicho signo corresponde al nmero 6 e indica que se trata de un nmero negativo.

Un trmino tambin puede estar formado por una fraccin. Las expresiones siguientes tambin representan trminos:

, , ,

Una expresin algebraica puede estar formada por dos o ms trminos. Por ejemplo:

1) La expresin consta de dos trminos, y se conoce como binomio. 2) La expresin 4x2 + 5xy 2y2 consta de tres trminos; se conoce como trinomio.

3) Una expresin como 6xy2z consta de un solo trmino y se conoce como monomio.

En general, una expresin con dos o ms trminos es un multinomio(*).

(*) Generalmente recibe el nombre de polinomio, sin embargo, un polinomio es de la forma: an xn + an1xn1 + + a1x + a0 n es un nmero natural y se llama el grado del polinomio. Los nmeros an, an1,, a1, a0 son nmeros reales y se llaman coeficientes del polinomio.3.2 Reduccin de trminos semejantes

Concepto de trminos semejantes

Se llaman trminos semejantes los que slo difieren en sus coeficientes numricos. Por ejemplo, 5a2b y son trminos semejantes: tienen las mismas literales con los mismos exponentes y slo difieren en el coeficiente.

3xy2z3 y 8xy2z2, no son trminos semejantes pues la parte literal no es exactamente igual: el exponente de z no es el mismo en los dos trminos.

Reduccin de trminos semejantes

Cuando en una expresin algebraica hay dos o ms trminos semejantes, stos se pueden combinar en un solo trmino mediante la aplicacin de las propiedades de los nmeros reales. La reduccin de trminos semejantes implica el uso de la operacin de Adicin de nmeros tanto positivos como negativos.

Ejemplos_____________________________________________________________________

En las siguientes expresiones algebraicas, reduce los trminos semejantes:

1) 3xy2 8xy2 2) 6a2b3 2a 5a2b3

Solucin.1) 3xy2 8xy2 = (3 8) xy2 = 5 xy2 Propiedad distributivaRegla de los signos para la adicin

2) 6a2b3 2a 5a2b3 = 6a2b3 5a2b3 2a = (6 5) a2b3 2a = a2b3 2aPropiedad conmutativaPropiedad distributivaRegla de los signos para la adicin

_____________________________________________________________________________

Ntese que, en el segundo ejemplo, los trminos a2b3 y 2a no se pueden reducir pues no son semejantes. Slo se pueden reducir trminos si son semejantes.

De acuerdo con lo efectuado en los ejemplos anteriores, se puede observar que, para reducir trminos semejantes se suman los coeficientes, mientras que las literales se mantienen con sus exponentes.

En este punto es importante recordar que:

1. Si a R, entonces a = ( 1)a, esto es, el negativo de un nmero se obtiene multiplicando dicho nmero por ( 1).2. Los parntesis son smbolos de agrupacin y su funcin principal es indicar que las operaciones indicadas en su interior deben ser efectuadas primero.

De acuerdo con (1) tenemos entonces que

(2x2 5x 3) = ( 1) (2x2 5x 3) = 2x2 + 5x + 3De aqu podemos observar que, si un signo negativo antecede a una expresin entre parntesis, cuando suprimimos dichos parntesis todos los trminos de su interior cambian de signo.

Ejemplos_____________________________________________________________________

En las expresiones siguientes suprime los parntesis y reduce los trminos semejantes.

1) 7x3 4x2 + 9 + 10x (12 8x2 5 + 10x3)

2) 2x2 3xy + 2y3 [ 2xy + 3x2 + ( 2x2 + 7xy 4y3)] + 3xy 2y3

Solucin.

1) 7x3 4x2 + 9 + 10x (12 8x2 5 + 10x3) = 7x3 4x2 + 9 + 10x 12 + 8x2 + 5 10x3

= 17x3 + 4x2 + 10x + 2

2) 2x2 3xy + 2y3 [ 2xy + 3x2 + ( 2x2 + 7xy 4y3)] + 3xy 2y3 = 2x2 3xy + 2y3 [ 2xy + 3x2 2x2 + 7xy 4y3] + 3xy 2y3(Se suprime el parntesis en el interior de los corchetes)

= 2x2 3xy + 2y3 + 2xy 3x2 + 2x2 7xy + 4y3 + 3xy 2y3(Se suprimen los corchetes precedidos de un signo negativo)

= (2 3 + 2) x2 + ( 3 + 2 7) xy + (2 + 4 2)y3(Se agrupan trminos semejantes)

= x2 5xy + 4y3(Se efectan las operaciones entre los parntesis)

Se puede proceder de otras maneras; por ejemplo, se puede simplificar la expresin mediante la reduccin de los trminos semejantes que se sealan a continuacin:

2x2 3xy + 2y3 [ 2xy + 3x2 + ( 2x2 + 7xy 4y3)] + 3xy 2y3

Trminos semejantes, se pueden reducir

Se obtiene:

= 2x2 [ 2xy + 3x2 + ( 2x2 + 7xy 4y3)]

= 2x2 [ 2xy + 3x2 2x2 + 7xy 4y3)] (Se suprime el parntesis en el interior)

= 2x2 + 2xy 3x2 + 2x2 7xy + 4y3 (Se suprimen los corchetes, precede un signo )

= x2 5xy + 4y3

Aunque se puede proceder de diferentes maneras, es aconsejable comenzar por suprimir los parntesis de adentro hacia afuera; es decir, a partir del parntesis que se encuentra en la parte ms interna de la expresin.

3.3 Operaciones con expresiones algebraicas

Adicin y sustraccin de expresiones algebraicas

La adicin y la sustraccin de polinomios implican la reduccin de trminos semejantes.

Ejemplos_____________________________________________________________________

1. Calcula la suma y la diferencia de los polinomios: a3 6a2 + 2a + 4 y 3a3 + 5a2 4a Solucin.

Suma: (a3 6a2 + 2a + 4) + (3a3 + 5a2 4a) = a3 6a2 + 2a + 4 + 3a3 + 5a2 4a

= 4a3 a2 2a + 4

Resta: (a3 6a2 + 2a + 4) (3a3 + 5a2 4a) = a3 6a2 + 2a + 4 3a3 5a2 + 4a

= 2a3 11a2 + 6a + 4

Puede resultar conveniente colocar los polinomios uno debajo del otro, de modo que los trminos semejantes queden alineados, y posteriormente hacer la reduccin:

Suma

Resta

a3 6a2 + 2a + 4 a3 6a2 + 2a + 4

3a3 + 5a2 4a 3a3 5a2 + 4a

4a3 a2 2a + 4 2a3 11a2 + 6a + 4

2. Efecta Solucin.

=

=

3. La utilidad U de un negocio se puede obtener restando los costos C de sus ingresos por ventas, V. Si el costo de producir x unidades de un artculo es C = 50 + 30x, y los ingresos por la venta de esos artculos es V = 90x x2, cul es la utilidad? Solucin.

Puesto que U = V C, entonces: U = 90x x2 (50 + 30x); por lo tanto,

U = x2 + 60x 50

_____________________________________________________________________________

Evidencias de aprendizaje

Resuelve las siguientes operaciones con polinomios.

OperacinSolucin

1) 2x + 6y 3z ( 5x + 4y + 5z)

2) 3xy { (2xy + 4x) + [3y ( xy + x + 2xy)]}

3)

4) (2x3 + 2x 8x2 + 3) + (3x2 x3 + 2x) (4x4 6x2 + 2x 8)

5) Encuentra una expresin algebraica para la utilidad U de un fabricante cuyo costo es C = 3x + 20 y su ingreso por venta es V = 5.5x.

Multiplicacin de expresiones algebraicas

Para multiplicar expresiones algebraicas es necesario utilizar, en muchos casos, la propiedad distributiva; en ocasiones es necesario aplicar dicha propiedad varias veces. El procedimiento siguiente se puede generalizar para expresiones de ms de dos trminos:

(a + b)(c + d) = (a + b) c + (a + b) d (Primera aplicacin de la propiedad distributiva)

= ac + bc + ad + bd (Segunda aplicacin de la propiedad distributiva)

Lo anterior es equivalente a multiplicar cada uno de los trminos de un factor por cada uno de los trminos del otro factor, y al final se reducen los trminos semejantes en caso de que existan.

Analicemos los ejemplos siguientes.

Ejemplos_____________________________________________________________________

1) (2x2) (5x 2) = 2x2 5x 2x2 (2) = 10x3 4x2

2) (3x 2) (x 5) = (3x) (x) + (3x) ( 5) + ( 2) (x) + ( 2) ( 5) = 3x2 15x 2x + 10

= 3x2 17x + 10

3) 2(x 3) (x3 + x + 2) = 2[x(x3 + x + 2) 3(x3 + x + 2)] = 2(x4 + x2 + 2x 3x3 3x 6) = 2(x4 3x3 + x2 x 6) = 2x4 6x3 + 2x2 2x 12_____________________________________________________________________________Evidencias de aprendizaje

Efecta las siguientes multiplicaciones.

MultiplicacinSolucin

1) (3x3) ( 4x2y) =

2) 2x4y2(xy 4x 1 y + 6) =

3) (2 3y) (2 + 3y) =

4) (x 3) (x2 + 3x + 9) =

5) (2x2 + xy 3y2) (x2 3xy + y2) =

Potencia de una expresin algebraica

Recordemos que una potencia es una forma simplificada de una multiplicacin cuando los factores son iguales. Analicemos los siguientes ejemplos.

Ejemplos_____________________________________________________________________

1. Efecta (a + 2b)2 Solucin. (a + 2b)2 = (a + 2b) (a + 2b) = a2 + 2ab + 2ba + 4b2

= a2 + 4ab + 4b2

2. (3x y)3 = (3x y) (3x y) (3x y) = [(3x y) (3x y)] (3x y)

= (9x2 3xy 3yx + y2) (3x y)

= (9x2 6xy + y2) (3x y)

= 27x3 9x2y 18 x2y + 6xy2 + 3xy2 y3

= 27x3 27 x2y + 9 xy2 y3

3. (x + 2y 3)2 = (x + 2y 3) (x + 2y 3) = x2 + 2xy 3x + 2yx + 4y2 6y 3x 6y + 9

= x2 + 4xy 6x + 4y2 12y + 9

_____________________________________________________________________________Evidencias de aprendizaje

Efecta las siguientes potencias.

OperacinSolucin

1) (x 4)3

2) (x y + z)2

3) [(x 3) (x + 3)]4

Divisin de expresiones algebraicasDivisin de multinomio entre un monomio

Podemos dividir un multinomio entre un monomio, si dividimos cada trmino del multinomio entre el monomio:

Divisin de un polinomio entre otro polinomio

Para dividir un polinomio entre otro, se procede de manera muy semejante a la divisin larga en aritmtica. Analicemos los siguientes ejemplos.Ejemplos_____________________________________________________________________1. Divide 2x3 14x 5 entre x 3

Solucin.

Aqu 2x 3 14x 5 es el dividendo y x 3 es el divisor. Para evitar errores es mejor escribir el dividendo como 2x3+ 0x2 14x 5. Obsrvese que las potencias de x estn en orden decreciente. Tenemos:

2x2 + 6x + 4 Cociente

Divisor x 3 2x3 + 0 x2 14x 5

2x3 + 6 x2

+ 6x2 14x

6x2 + 18x

4x 5

4x + 12

7 Residuo

Obsrvese que dividimos 2x3 (el primer trmino del dividendo) entre x, y obtuvimos 2x2. Despus multiplicamos 2x2 por x 3 obteniendo 2x3 6x2. Despus restar 2x3 6x2 de 2x3 + 0x2, obteniendo 6x2 y entonces bajamos el trmino 14x. Este proceso contina hasta que llegamos a 7, el residuo. Siempre nos detendremos cuando el residuo sea 0 o un polinomio cuyo grado sea menor que el grado del divisor. Nuestra respuesta la podemos escribir como:

Esto es, la respuesta tiene la forma:

Una manera de comprobar una divisin es verificar que:(Cociente) (Divisor) + Residuo = Dividendo.Por medio de esta ecuacin usted debe ser capaz de verificar el resultado del ejemplo.2. Divide 6x2 26x + 12 entre x 4. Solucin. 6x 2

x 4 6x2 26x + 12

6x2 + 24x

2x + 12

2x 8

4

____________________________________________________________________________

Evidencias de aprendizaje

Efecta las divisiones siguientes.

DivisinSolucin

1) Divide x4y3 + 2x2y4 m2n2 entre m2n2

2) Divide 4x2 24x + 36 entre 2x 6

3) (6a4 41a2 + 3a + 6) : (2a2 4a 3) =

4) =

5) =

3.4 Productos notables

Algunos productos se pueden obtenerse a partir de una regla general, sin tener que efectuar todos los pasos de la multiplicacin. Es conveniente la memorizacin de estas reglas, en forma verbal y simblica, para obtener dichos productos de una forma rpida y eficiente. Estos productos se conocen como productos notables y los ms usuales son:

Nombre y Representacin algebraicaExpresin verbal

1. Cuadrado de un binomio: (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 (*)El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer trmino, ms el doble del primer trmino por el segundo, ms el cuadrado del segundo trmino.

2. Cubo de un binomio: (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3El cubo de un trinomio es igual al cubo del primer trmino, ms el triple del cuadrado del primer trmino por el segundo, ms el triple del primer trmino por el cuadrado del segundo, ms el cubo del segundo trmino.

3. Producto de binomios conjugados: (x + y) (x y) = x2 y2El producto de binomios conjugados es igual al cuadrado del primer trmino, menos el cuadrado del segundo trmino.

4. Producto de dos binomios con un trmino comn:(x + m) (x + n) = x2 + (m + n)x + mnEl producto de dos binomios con un trmino comn es igual al cuadrado del trmino comn, ms el producto de la suma algebraica de los trminos no comunes y el trmino comn, ms el producto de los trminos no comunes.

(*) La expresin de la derecha es un trinomio cuadrado perfecto. Esto es, un trinomio cuadrado perfecto es aqul que es el cuadrado de un binomio.

Ejemplos_____________________________________________________________________

Efecte cada uno de los siguientes productos mediante la aplicacin de la regla pertinente.

1. (x + 3)2 = (x)2 + 2(x) (3) + (3)2 = x2 + 6x + 9

2. (3x 2)2 = (3x)2 + 2(3x) ( 2) + ( 2)2 = 9x2 12x + 4

3. (3a 5b)2 = (3a)2 2(3a) (5b) + (5b)2 = 9a2 30ab + 25b2 4. (2a 3) (2a + 3) = (2a) 2 32 = 4a2 9 5. (x 2)3 = (x)3 + 3(x)2( 2) + 3x ( 2)2 + ( 2)3 = x3 6x2 + 12x 8

6. = ()2 42 = 16 = x2/3 16 7. (x + 7) (x 2) = x2 + (7 2) x + (7) ( 2) = x2 + 5x 14 8. (5x 3) (5x 2) = 25x2 + ( 3 2) (5x) + ( 3) ( 2) = 25x2 25x + 6

9. (x3 1) (x3 + 1) = x6 1 10. (x + 2y + 3) (x + 2y + 4) = [(x + 2y) + 3] [(x + 2y) + 4] = (x + 2y)2 + (3 + 4) (x + 2y) + 3(4) = (x + 2y)2 + 7 (x + 2y) + 12 = x2 + 4xy + 4y2 + 7x + 14y + 12_____________________________________________________________________________Evidencias de aprendizajeDesarrolla cada una de las expresiones siguientes utilizando la regla correspondiente.

ExpresinSolucin

1) (x2 1)2 =

2) (4x2 3x)2 =

3) (a ) (a + ) =

4) (x y + 3) (x y 1) =

5) (2x 3y + 2) (2x 3y 2) =

6) (2m 5)3 =

7) (5x2 4)3 =

8) [(x 3y) (x + 3y)]2 =

3.5 Factorizacin

Factorizar una expresin consiste en expresarla como una multiplicacin. Por ejemplo, 6 se puede expresar como 23:

6 = 23

De modo similar, para factorizar una expresin algebraica debemos expresarla como una multiplicacin de expresiones algebraicas ms simples. En el proceso de factorizacin se aplica la propiedad distributiva en sentido inverso a su desarrollo:

ab + ac = a (b + c)

Ntese que en el lado izquierdo hay una suma y que el lado derecho es una multiplicacin y que en los productos del lado izquierdo, a es un factor comn. Esto nos lleva al caso ms elemental de factorizacin.

Factor comn en un multinomio

Para factorizar un multinomio que tiene un factor comn, primero debemos encontrar dicho factor. El factor comn es un trmino que cumple con las siguientes condiciones:

1. El coeficiente numrico es el mximo nmero que divide a cada uno de los coeficientes del multinomio.

2. La parte literal est formada por las literales comunes a todos los trminos del multinomio con el menor exponente.

Una vez obtenido el factor comn, el otro factor se obtiene dividiendo el cada uno de los trminos del multinomio entre el factor comn.

Ejemplos:____________________________________________________________________

1. Factoriza la expresin: 6x3 + 18x2 Solucin. El mximo nmero que divide al 6 y al 18 es 6; la literal comn es x, y el menor exponente es 2. Por lo tanto, el factor comn es 6x2. Si dividimos cada trmino de la expresin dada entre el factor comn, obtenemos:

6x3 + 18x2 = 6x2 (x + 3)

2. Factoriza 6x3y2 + 8x2y3 2xy4 Solucin. El mximo nmero que divide a 6, 8 y 2 es 2, mientras que la parte literal es xy2; por lo tanto,

6x3y2 + 8x2y3 2xy4 = 2xy2 (3x2 + 4xy y2)

_____________________________________________________________________________

Evidencias de aprendizaje

Factoriza cada expresin.

ExpresinSolucin

1) 12x 18 =

2) 4x2 + 32x3 =

3) 5x7 15x6 + 10x3 20x2 =

4) 3(m 2) n (m 2) =

5) =

Factorizacin por agrupamiento

En ocasiones podemos tener un multinomio que no tiene factores comunes pero, si aplicamos las propiedades asociativa y distributiva, entonces s es posible factorizarlo. A esta tcnica se le conoce como factorizacin por agrupamiento.

Ejemplos:____________________________________________________________________

1. Factoriza 3x + 3y + ax + ay Solucin.

3x + 3y + ax + ay = (3x + 3y) + (ax + ay) Propiedad asociativa = 3(x + y) + a (x + y) Propiedad distributiva

= (x + y) (3 + a) Propiedad distributiva

2. Factoriza x3 + 2x2 3x 6 Solucin.

x3 + 2x2 3x 6 = (x3 + 2x2)+ ( 3x 6) = x2(x + 2) 3(x + 2) = (x + 2) (x2 3)

_____________________________________________________________________________

Evidencias de aprendizaje

Factoriza las expresiones siguientes.

ExpresinSolucin

1) x2 y2 2x + 2y =

2) x3 3x2 + x 3 =

3) 4m3 + 6m2 + 2m + 3 =

4) 6b3 + 3b2 + 2b + 1 =

5) 3x4 12x2 + x2 4 =

Factorizacin de productos notables

Las frmulas de productos notables se pueden considerar como factorizaciones cuando la lectura se hace de derecha a izquierda. En esta seccin analizaremos los siguientes casos:

1. Factorizacin de un trinomio cuadrado perfecto:x2 + 2xy + y2 = (x + y)2

2. Factorizacin del trinomio de segundo grado:x2 + (m + n)x + mn = (x + m) (x + n)

3. Factorizacin de una diferencia de cuadrados:x2 y2 = (x + y) (x y)

4. Factorizacin de una suma de cubos:x3 + y3 = (x + y) (x2 xy + y2)

5. Factorizacin de una diferencia de cubos:x3 y3 = (x y) (x2 + xy + y2)

Analicemos cada uno de ellos.

1. Factorizacin de un trinomio cuadrado perfecto

Como se indic anteriormente, un trinomio cuadrado perfecto es aquel que proviene de elevar un binomio al cuadrado. Recordemos que dicho trinomio contiene a los cuadrados de los dos trminos y al doble del producto de ambos. Por lo tanto, para saber si un trinomio es un cuadrado perfecto, debemos verificar que uno de los trminos sea el doble del producto de las races cuadradas de los otros.

El trinomio 4x2 20x + 25 es un trinomio cuadrado perfecto. Podemos verificarlo:

4x2 20x + 25 Raz cuadrada del primer trmino = 2x 5 = raz cuadrada del segundo trmino

El doble del producto de ambos trminos es: 2(2x) (5) = 20x. El signo negativo en la expresin original nos indica que se trata del cuadrado de (2x 5); por lo tanto,

4x2 20x + 25 = (2x 5)2

Ejemplos_____________________________________________________________________

En cada caso, verifique si el trinomio dado es un trinomio cuadrado perfecto. En caso afirmativo, realice la factorizacin.

1. 9x2 + 12xy + 4y2 Solucin. Los trminos cuadrticos son 9x2 y 4y2, y sus races cuadradas son 3x y 2y, respectivamente. El segundo trmino es el doble del producto de las races cuadradas; esto es, 2([(3x) (2y)] = 12xy. Por lo tanto, la expresin dada es un trinomio cuadrado perfecto. La factorizacin es:9x2 + 12xy + 4y2 = (3x + 2y)2

2. 16b2 40b + 25 Solucin. Los trminos cuadrticos son 16b2 y 25, y sus races cuadradas son 4b y 5, respectivamente. El doble producto de estos ltimos es 2[(4b) (5)] = 40b. Debido al signo negativo, la factorizacin es:16b2 40b + 25 = (4b + 5)2

3. x2 + 6x + 4 Solucin. Los trminos cuadrticos son x2 y 4, y sus races cuadradas son x y 2. Pero el doble del producto de ambas races es 2(x) (2) = 4x, que es diferente del segundo trmino del trinomio, que es 6x. Por lo tanto, la expresin no es un trinomio cuadrado perfecto._____________________________________________________________________________2. Factorizacin del trinomio de segundo grado

Para Factorizar una expresin cuadrtica de la forma x2 + bx + c, es necesario recordar que

(x + m) (x + n) = x2 + (m + n) x + mn

Nota que en esta expresin, x2 es el cuadrado del trmino comn, x; a = m + n, y c = mn. Esto implica que tenemos que encontrar dos nmeros cuya suma sea igual a a, y cuyo producto sea igual a c. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplos____________________________________________________________________

1. Factoriza x2 + 5x + 6 Solucin. Hay que encontrar dos nmeros cuya suma sea 5 y cuyo producto sea igual a 6. Mediante ensayo y error encontramos que esos nmeros son m = 2 y n = 3. Por lo tanto,

x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)

2. Factoriza x2 3x + 2 Solucin. Hay que encontrar dos nmeros cuya suma sea 3 y cuyo producto sea igual a 2. Mediante ensayo y error encontramos que esos nmeros son m = 2 y n = 1. Por lo tanto,

x2 3x + 2 = (x 2) (x 1)

Observa que si c es positivo, entonces m y n tienen el mismo signo.

3. Factoriza x2 + x 6 Solucin. Hay que encontrar dos nmeros cuya suma sea +1 y cuyo producto sea igual a 6. Mediante ensayo y error encontramos que esos nmeros son m = 3 y n = 2. Por lo tanto,

x2 + x 6 = (x + 3) (x 2)

Observa que si c es negativo, m y n tienen diferentes signos, y que si el segundo trmino es positivo el de mayor valor absoluto debe ser positivo.

_____________________________________________________________________________

Si el trinomio tiene la forma ax2 + bx + c, a 0, entonces lo que cambia con respecto al caso anterior es que mn = ac. Una vez determinados esos nmeros, el coeficiente b se descompone en la suma de dichos nmeros y posteriormente se aplica la tcnica de factorizacin por agrupamiento.

Ejemplo_____________________________________________________________________

1. Factoriza 6x2 + 7x 5 Solucin. Hay que encontrar dos nmeros cuya suma sea igual a + 7 y cuyo producto sea igual a (6) (5) = 30. Recordando que dichos nmeros deben tener diferentes signos y que el de mayor valor absoluto debe ser positivo, mediante ensayo y error encontramos que esos nmeros son m = 10 y n = 3. A continuacin expresamos +7 como la suma de 10 y 3:

6x2 + 7x 5 = 6x2 + (10 3) x 5 = 6x2 + 10x 3x 5 Ahora, aplicamos factorizacin por agrupamiento: = (6x2 + 10x) (3x + 5) = 2x (3x + 5) (3x + 5) = (3x + 5) (2x 1)

2. Factoriza 8x2 2xy 15y2 Solucin. Hay que encontrar dos nmeros cuya suma sea igual a 2 y cuyo producto sea igual a (8) (15) = 120. Recordando que dichos nmeros deben tener diferentes signos y que el de mayor valor absoluto debe ser negativo, mediante ensayo y error encontramos que esos nmeros son m = 12 y n = 10. Entonces:

8x2 2xy 15y2 = 8x2 12xy + 10xy 15y2

= 4x (2x 3y) + 5y (2x 3y)

= (2x 3y) (4x + 5y)_____________________________________________________________________________

3. Factorizacin de una diferencia de cuadrados

En este caso, se tiene la forma x2 y2 = (x + y) (x y). Simplemente encontramos las races cuadradas de los trminos del miembro izquierdo y posteriormente multiplicamos la suma de dichas races por la diferencia de las mismas.

Ejemplos_____________________________________________________________________

1. Factoriza x2 16 Solucin. Las races cuadradas de los trminos de la izquierda son x y 4. Entonces,

x2 16 = (x + 4) (x 4)

2. Factoriza 9x6 y4 Solucin. Las races cuadradas de los trminos de la izquierda son 3x3 y y2. Entonces,

9x6 y4 = (3x3 + y2) (3x3 y2)

3. Factoriza a2 2

Solucin. Las races cuadradas de los trminos de la izquierda son a y . Entonces,

a2 2 = (a +) (a )_____________________________________________________________________________

4. Factorizacin de una suma de cubos

Una suma de cubos se puede factorizar de acuerdo con la forma x3 + y3 = (x + y) (x2 xy + y2). Observa que el primer factor del lado derecho es la suma de las races cbicas de los trminos del lado izquierdo, y que el segundo factor consta de: el cuadrado de la primera raz, menos el producto de las dos races, ms el cuadrado de la segunda raz.

Ejemplos_____________________________________________________________________

1. Factoriza x3 + 8 Solucin. Las races cbicas de los trminos del lado izquierdo son x y 2. Por lo tanto,

x3 + 8 = (x + 2) (x2 2x + 4)

2. Factoriza x6 + 27y3 Solucin. Las races cbicas de los trminos del lado izquierdo son x2 y 3y. Por lo tanto,

x6 + 27y3 = (x2 + 3y) (x4 3x2y + 9y2)

_____________________________________________________________________________

5. Factorizacin de una diferencia de cubos

Una diferencia de cubos se puede factorizar de acuerdo con la expresin

x3 y3 = (x y) (x2 + xy + y2)

Observa que el primer factor del lado derecho es la diferencia de las races cbicas de los trminos del lado izquierdo, y que el segundo factor consta de: el cuadrado de la primera raz, ms el producto de las dos races, ms el cuadrado de la segunda raz.

Ejemplos_____________________________________________________________________

1. Factoriza x3 64 Solucin. Las races cbicas de los trminos del lado izquierdo son x y 4. Por lo tanto,

x3 64 = (x 4) (x2 + 4x + 16)

2. Factoriza m12 8n6

Solucin. Las races cbicas de los trminos del lado izquierdo son m4 y 2n2. Por lo tanto,

m12 8n6 = (m4 2n2) (m8 + m4n2 + 4n2)

_____________________________________________________________________________________

Autoevaluacin

Factoriza las expresiones dadas.

ExpresinFactorizacin

1) 1 + b3

2) 25x2 + 30x + 9

3) 4 49y2

4) x2 8x + 12

5) 4x2 12xy + 9y2

6) 3y2 11y + 6

7) 4m2 4m 3

8) 125a3 216b

9) x4 8x2 + 16

10) 4 x2 + 2xy y2

UNIDAD 4: OPERACIONES CON FRACCIONES

4.1 Simplificacin de fracciones algebraicas

Una expresin fraccionaria, o fraccin algebraica, es el cociente de dos expresiones algebraicas en donde el valor del denominador no es cero. Si el numerador y el denominador de la fraccin son polinomios, la expresin fraccionaria es una fraccin racional.

Ejemplos_____________________________________________________________________

Son fracciones racionales:

1. 2. _____________________________________________________________________________

Podemos pensar que con una fraccin estn asociados tres signos: el signo que precede a la fraccin, el signo del numerador y el signo del denominador. Se acuerda que cuando alguno de estos signos est ausente se asume que se trata del signo ms. Dos importantes propiedades son:

1. Pueden cambiarse dos signos cualesquiera de una fraccin sin alterar el valor de sta:

, b 0

2. El numerador y el denominador de una fraccin pueden ser simultneamente multiplicados o divididos por un nmero no nulo sin alterar el valor de la fraccin:

, bc 0

Ejemplos_____________________________________________________________________

1. 2.

3. (dividiendo el numerador y el denominador entre 3)

4. (multiplicando el numerador y el denominador por 2)_____________________________________________________________________________

Reduccin a trminos mnimos

Se dice que una fraccin est en trminos mnimos o en su forma ms simple, si el numerador y el denominador no tienen factor comn, exceptuando 1. Podemos determinar si una fraccin est en sus trminos mnimos expresando el numerador y denominador como productos de sus factores primos. Cualquier factor que aparezca tanto en el numerador como en el denominador, pueden ser divididos dando como resultado la unidad.

Ejemplos_____________________________________________________________________

Reduce las siguientes fracciones a trminos mnimos.

1. 2(se dividen los factores comunes, )

2.

Sol. (se dividen los factores comunes , asumiendo que x 2 0, esto es, x 2)

3.

Sol. _____________________________________________________________________________

PRECAUCIN

El proceso de eliminar un factor comn en el numerador y denominador de una fraccin es llamado cancelacin multiplicativa y es, a veces, mal interpretada cancelando cantidades iguales que no son factores. La fraccin

por ejemplo, tiene 2x + y como un factor del denominador, pero 2x + y es un trmino del numerador, no un factor. Tachar cantidades iguales aqu en la forma

significara que el denominador es dividido entre 2x + y, mientras que esta misma cantidad es sustrada del numerador. Este es un grave error y debe evitarse. La fraccin, tal como se dio, est ya en sus trminos mnimos.

4.2 Operaciones con fracciones

Multiplicacin y divisin de fracciones

Si se desea multiplicar por , entonces

Para dividir entre , en donde c 0, se tiene que

Ntese que para dividir dos fracciones se multiplica la primera fraccin por el recproco de la segunda.

Ejemplos_____________________________________________________________________

Efecta las operaciones siguientes.

1.

2.

3.

4.

5. _____________________________________________________________________________

Adicin de fracciones

Para sumar (o restar) fracciones consideraremos dos casos:

I. Las fracciones tienen el mismo denominador. Se suman (o restan) los numeradores y se conserva el denominador comn.

Adicin: Sustraccin:

II. Las fracciones tienen denominadores distintos. Se puede proceder de la siguiente manera:

Ejemplos_____________________________________________________________________

1.

2.

3.

=

=

4.

5.

_____________________________________________________________________________

En general, para sumar o restar fracciones con denominadores diferentes se pueden convertir en fracciones equivalentes con cualquier denominador comn. Sin embargo, es conveniente utilizar el mnimo comn denominador (M. C. D.) de los denominadores.

Para encontrar el M. C. D. de dos o ms fracciones, primero se factoriza cada denominador en forma completa. El M. C. D. es el producto de cada uno de los factores distintos que aparecen en los denominadores, cada uno de ellos elevado a la ms alta potencia que ocurra en cualquiera de los denominadores.

Para obtener las fracciones equivalentes se multiplica el numerador y el denominador de cada fraccin por el cociente obtenido al dividir el M. C. D. entre el denominador de tal fraccin. As, para el ejemplo 5 se tiene:

Factores distintos en los denominadores: x, 3 M. C. D. = 3x

Cocientes obtenidos al dividir el M. C. D. entre los denominadores:

Entonces:

Ejemplos_____________________________________________________________________

1. , M. C. M. = x3(x 3)2

=

2. , M. C. D. = 2(x + 3)2(x 3)

=

=

3.

= _____________________________________________________________________________

Autoevaluacin

Efecta las operaciones siguientes y simplifica cuando sea posible.

1.

6.

2.

7.

3.

8.

4.

9.

5.

10.

UNIDAD 5: ECUACIONES LINEALES Y CUADRTICAS

5.1 Conceptos bsicos

Una ecuacin es la expresin matemtica de un enunciado que establece que dos cantidades son iguales. Se acostumbra escribir una ecuacin colocando es signo = (lase es igual a) entre las dos cantidades iguales. Una ecuacin tiene, entonces, dos miembros, el izquierdo y el derecho. Las ecuaciones comprenden usualmente una o ms letras que son consideradas como variables o incgnitas. Los nmeros que al sustituir a las variables hacen iguales a los dos miembros de la ecuacin de dice que satisfacen a, o que son una solucin de, la ecuacin. La totalidad de las soluciones es llamada conjunto de soluciones o conjunto solucin.

Ejemplos_____________________________________________________________________

1. La ecuacin x 3 = 4, se satisface cuando x = 7, para ningn otro nmero. Por lo tanto, x = 7 es la solucin.

2. La ecuacin x2 5x + 6 = 0, se satisface nicamente cuando x = 2 cuando x = 3. Entonces se dice que el conjunto solucin es {2, 3}._____________________________________________________________________________

En este material consideraremos dos tipos de ecuaciones: las ecuaciones lineales y las cuadrticas.

5.2 Ecuaciones lineales

Ecuaciones lineales

Una ecuacin lineal (en forma cannica) en la variable x es una expresin del tipo ax + b = 0, donde a y b son nmeros reales (a 0).

DEFINICIN. A la cantidad

,

se le llama la solucin o raz de la ecuacin lineal dada, en virtud de que satisface tal relacin. De hecho, si , entonces:

ax + b =

Dada una ecuacin lineal, el despeje de la variable x nos da:

ax + b = 0 ax = b , (1) y se dice entonces que se ha resuelto tal ecuacin lineal.Ejemplos_____________________________________________________________________ Resolver las siguientes ecuaciones lineales.

1. 2x 8 = 0

Solucin. En este caso, a = 2 y b = 8. Aplicando la expresin (1), tenemos: Por lo tanto, la solucin es x = 4.

2. 13x 8 = 8x + 2 Solucin. Primero agrupamos los trminos que contienen a la variable x en el lado izquierdo y a los dems en el lado derecho:13x 8x = 2 + 85x = 10 x = 2_____________________________________________________________________________

Evidencias de aprendizajeResuelve las siguientes ecuaciones lineales: EcuacinSolucin

1. 7x + 4 = x 2

2. 3x 5 = 4 2x

3. x (4x 6) = 0

5.3 Ecuaciones cuadrticas

Consideremos la ecuacin cuadrtica definida por:

ax2 + bx + c = 0; donde a 0

Las soluciones o races de la ecuacin estn dadas por la frmula:

a) Puede haber dos soluciones diferentes de la ecuacin, lo cual se tiene cuando el discriminante de la ecuacin es positivo, esto es, cuando b2 - 4ac > 0.b) Puede haber una solucin (doble) de la ecuacin, que es el caso cuando el discriminante es nulo, esto es b2 - 4ac = 0.c) Puede no tener soluciones reales, que es el caso cuando el discriminante es negativo, esto es, b2 - 4ac < 0, y, en tal caso, la expresin ax2 + bx + c es siempre positiva o siempre negativa. Para verificar el signo de la expresin es suficiente con evaluar la expresin en x = 0 y el signo del valor es el mismo en todos los argumentos reales.

Ejemplos_____________________________________________________________________Resuelve las ecuaciones siguientes:

1. x2 17x + 60 = 0 Solucin. Utilizando la frmula con a = 1; b = 17; c = 60 se tiene que:

De esta forma, las soluciones (races) de la ecuacin dada son x = 12 y x = 5.2. x2 4x 165 = 0 Solucin. Utilizando nuevamente la frmula para a = 1; b = 4; c = 165 se obtiene:

De esta manera, las soluciones son x = 15 y x = 113. z2 + 4z + 9 = 0 Solucin. Una sustitucin directa de los parmetros a = 1, b = 4, c = 9 nos da:

Lo cual nos dice que no hay soluciones reales en virtud de que no est definida en R._____________________________________________________________________________AutoevaluacinResuelva las ecuaciones siguientes. EcuacinSolucin

1. x2 + 2x + 1 = 0

2. 16w2 24w + 9 = 0

3. 6x2 + 5x 4 = 0

4. Encuentra dos nmeros pares consecutivos cuyo producto sea igual a 63000.

PARTE III ELEMENTOS DE TRIGONOMETRA

UNIDAD 7 RELACIONES TRIGONOMTRICAS

7.1 Medidas de ngulos: radianes y grados.- Conversin de unidades.

En los cursos previos de geometra se define (de manera no muy formal) a un ngulo como la unin de dos lneas rectas en un punto comn, tal como ABC en la figura. A las lneas se les denomina lados del ngulo y al punto comn (A) se le denomina vrtice.

C

A B

Generalmente se usan dos sistemas para la medicin de ngulos: el sistema de grados y el de radianes.

Medida en radianes

En clculo es conveniente medir ngulos en radianes. Repasemos la definicin de radin. Para ello consideremos un crculo de radio igual a la unidad. Colocar un ngulo central en el centro de este crculo unitario. Si el ngulo intercepta un arco de longitud unitaria sobre la circunferencia del crculo, entonces el ngulo mide un radin.

Definicin

Un ngulo de un radin es la medida de un ngulo central que intercepta un arco de longitud igual a uno sobre la circunferencia del crculo unitario. En general, un ngulo de un radin es la medida de un ngulo central que intercepta un arco de longitud igual al radio sobre la circunferencia del crculo unitario.

= s

El ngulo mide un radin.

Si S fuera igual a la circunferencia del crculo, el ngulo central tendra que ser de 360. Por tanto, un ngulo de 360 es equivalente a un ngulo de 2 radianes.

2 radianes 360 radianes 180

Si recordamos que = 3.141592., la conclusin es que 3.1416 radianes 180, aproximando el valor de con cuatro cifras decimales. Para encontrar la equivalencia de un radin en grados, simplemente dividimos 180 entre . Esto es,

Es importante hacer nfasis en que no es igual a 180, sino que la medida de un ngulo de radianes es equivalente a 180. No hay que olvidar que representa al un nmero irracional que es 3.141592.

Ejemplos_____________________________________________________________________

1. Convierte de grados a radianes:

a) 90 b) 60 c) 135

Solucin. Como radianes 180, resulta que

1

Entonces, las conversiones son:

a) 90 90 b) 60 60 c) 135 135

2. Convierte de radianes a grados:

a) b)

Solucin. Como 1 radin , las conversiones son:

a) 270 b) 30_____________________________________________________________________________

Evidencias de aprendizaje

Completa la siguiente tabla escribiendo el valor equivalente, en grados o en radianes, segn se indique:

GradosRadianes

1) 1051)

2) 2) 0.6

3) 453)

4) 100 4)

5)5) 7.853981634

7.2 Tringulos rectngulos.- Teorema de Pitgoras.

Tringulos rectngulos

Un tringulo rectngulo es aquel que tiene un ngulo de 90, esto es, tiene un ngulo recto. A los lados que forman el ngulo recto se les denomina catetos y al lado opuesto al ngulo recto se le denomina hipotenusa. En la siguiente figura, a y b son las medidas de los catetos y h es la medida de la hipotenusa.

a c

b

Teorema de Pitgoras

El Teorema de Pitgoras establece la relacin entre los lados de un tringulo rectngulo:

En todo tringulo rectngulo, el cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos. Esto es:

c2 = a2 + b2

Ejemplos_____________________________________________________________________

1. Calcule la medida de la hipotenusa, si a = 3 y b = 4. Solucin. De acuerdo con el Teorema de Pitgoras se tiene que

c2 = 32 + 42 = 25, de donde c = 5

2. Si un cateto mide cm y la hipotenusa mide 2 unidades, calcula la medida del otro cateto. Sol. En este caso se tiene que

22 = ()2 + b2

4 = 3 + b2

b2 = 1, de donde b = 1 cm

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