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Cuadernos Apuntes Algebra UTFSM

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  • Editado porVernica Gruenberg Stern

    Apuntes de

    MAT021 - Complementos vs. 1 sem. 2014

  • Prefacio

    Estimados alumnos:

    Este texto ha sido desarrollado especialmente para ustedes, y es el resultado del aporte de muchoscolegas del Departamento de Matemtica de la Universidad Tcnica Federico Santa Mara, quea lo largo del tiempo han dictado este curso. Las diferentes secciones incorporan, adems de lospropios, apuntes de profesores tanto de Casa Central como del Campus Santiago, especialmen-te Nelson Cifuentes, Pedro Gajardo, Vctor Gonzlez y Erwin Hernndez. En esta versin, losapuntes que hemos tomado de ellos han sido editados por quien suscribe, para enfatizar aquellosaspectos que nos parecen relevantes y unificar notacin y enfoque. Adems, la estructura del apun-te incorpora no solo los contenidos que se espera conozcan en profundidad, sino que tambin unagran cantidad de ejercicios resueltos y propuestos, que esperamos resuelvan con entusiasmo, pa-ra lograr mejores aprendizajes. Hemos optado tambin por incluir muchas demostraciones de losteoremas que revisarn en clases. No es el objetivo que todas stas sean vistas en clases. Ms bien,esperamos que los alumnos interesados, tengan la posibilidad de profundizar en la aprehensin delos conceptos involucrados, y de comprender cmo se realiza la construccin del conocimiento ma-temtico. Esperamos que esta segunda versin, an preliminar, les sea de utilidad, y que cualquiererror que an persista y encuentren (por cierto, involuntario), nos sea informado al mail indicadoabajo. Hemos incorporado varias de las correcciones que nos han hecho llegar, y agradecemos latarea silenciosa y meticulosa de quienes as lo han hecho.

    Una concepcin equivocada respecto a la forma de enfrentar un curso en la Universidad, proba-blemente producto de su experiencia previa, es que piensan que el estudio debe enfocarse solo a laresolucin de problemas tipo y que no se debiera revisar los conceptos . Deben tener presenteque queremos que resuelvan todos los problemas, no slo un cierto tipo. Para lograr ese nivelde dominio, los estudiantes deben comprender los conceptos y deben desarrollar la habilidad desaber cuando y cmo aplicarlos en situaciones diversas. Otro error es pretender concentrar el estu-dio un par de das antes de cada certamen. Las habilidades y competencias que sern evaluadas,en general requieren tiempo de construccin y de maduracin, por lo que les recomendamos fuer-temente estudiar clase a clase, desarrollando los ejercicios planteados en los apuntes y tambin enlas guas de ejercicios.

    I

  • PREFACIO Vernica Gruenberg Stern

    Es importante que tengan presente que, aunque hemos intentado incluir todo el material peda-ggico relevante, este apunte no reemplaza las clases. Nada se compara a la interaccin que seproduce en el aula, tanto con sus profesores como con sus compaeros. La discusin de los con-ceptos y la contrastacin de diversos puntos de vista fortalece la comprensin de los mismos. Pero,para argumentar adecuadamente y lograr un buen aprendizaje de los conceptos e ideas que con-sidera este curso, es fundamental que asistan a clases, participen activamente en ella, estudien demanera metdica, ojal estructurando un horario de estudio diario, preparndose siempre para suprxima clase y que planteen a sus profesores cualquier duda que les surja.

    Cordialmente,

    Vernica Gruenberg SternDepartamento de Matemtica

    Universidad Tcnica Federico Santa Mara

    veronica.gruenberg@usm.cl

    II

  • ndice general

    Prefacio I

    ndice general III

    1. Nociones bsicas de Lgica y Conjuntos 11.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Conectivos Lgicos y Tablas de Verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. lgebra de Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4. Nociones Bsicas de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5. lgebra de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6. Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.7. Conjunto Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.8. Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.9. Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.10. Ejercicios Miscelneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.11. Ejercicios de Controles y Certmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    2. Nociones Bsicas de Relaciones 392.1. Relaciones de Equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2. Relaciones de Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.3. Ejercicios de Controles y Certmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    3. Nmeros Naturales 493.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2. Induccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.3. Sumas y Productos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    3.3.1. Notacin: Sumatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.3.2. Notacin: Productoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    3.4. Progresiones Aritmticas y Geomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.5. Teorema del Binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    III

  • NDICE GENERAL

    3.6. Ejercicios de Controles y Certmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

    4. Trigonometra 81

    4.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

    4.2. Funciones Trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

    4.3. Identidades Fundamentales en el tringulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

    4.3.1. Suma y resta de ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

    4.4. Identidades Trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    4.5. Resolucin de Tringulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    4.6. Grficas de las Funciones Trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

    4.6.1. Funciones sinusoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

    4.7. Funciones Trigonomtricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

    4.8. Ecuaciones Trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

    4.8.1. Ecuaciones de la forma a senx+ b cosx = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

    4.9. Ejercicios de Controles y Certmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

    4.10. Propiedades trigonomtricas bsicas (resumen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

    5. Funciones Exponencial y Logaritmo 109

    5.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

    5.2. Funcin Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

    5.3. Funcin Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

    5.3.1. Bases 10 y e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

    5.3.2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

    5.4. Ejercicios de Controles y Certmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

    6. Geometra Analtica 117

    6.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

    6.2. Distancia entre dos Puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

    6.2.1. Divisin Interior de un trazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

    6.3. La Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

    6.3.1. Distancia de un punto a una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

    6.4. Secciones Cnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

    6.4.1. La Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

    6.4.2. La Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

    6.4.3. La Parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

    6.4.4. La Hiprbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

    6.5. Ejemplos y Ejercicios de Lugares Geomtricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

    6.6. Ejercicios de Controles y Certmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

    IV

  • NDICE GENERAL

    7. Nmeros Complejos y Polinomios 1397.1. Nmeros Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

    7.1.1. Operaciones con nmeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1407.1.2. Conjugado y Mdulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417.1.3. Forma Polar de un Nmero Complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1437.1.4. Teorema de de Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1457.1.5. Races n-simas de un nmero complejo . . . . . .