UNIDAD I: NUMEROS COMPLEJOS.

COMPETENCIA ESPECFICA A DESARROLLAR:

Manejar los nmeros complejos y las diferentes formas de representarlos, as como las operaciones entre ellos para tener una base de conocimiento a utilizar en ecuaciones diferenciales y en diferentes aplicaciones de ingeniera.

1.1 DEFINICIN Y ORIGEN DE LOS NMEROS COMPLEJOS

Un nmero, en ciencia, es un concepto que expresa una cantidad en relacin a su

unidad. Tambin puede indicar el orden de una serie (nmeros ordinales). Tambin,

en sentido amplio, indica el carcter grafico que sirve para representarlo; dicho signo

grafico de un numero recibe el nombre de numeral o cifra. El que se escribe con un

solo guarismo se llama digito.

Son los nmeros que se pueden escribir con anotacin decimal, incluyendo a aquellos que necesitan una expansin decimal infinita. El conjunto de los nmeros reales contiene todos los nmeros enteros, positivos negativos, todos los fraccionarios y todos los nmeros irracionales.

Son los nmeros que pueden representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto a cero. Ejemplos:

5 =

10

3= .

COMPLEJOS

REALES

RACIONALES

ENTEROS

NATURALES

CERO

ENTEROS NEGATIVOS

FRACCIONARIOS

IRRACIONALES

IMAGINARIOS

Los nmeros enteros abarcan a los nmeros naturales, incluyendo al cero y a los nmeros negativos. Por lo tanto, los nmeros enteros son aquellos que no tienen parte decimal.

Los nmeros fraccionarios se forman al plantear una divisin entre dos nmeros naturales, teniendo en cuenta que siempre el divisor debe ser diferente de cero.

Son aquellos que permiten contar los elementos de un conjunto. Se trata del primer conjunto de nmeros que fue utilizado por los seres humanos para contar objetos

1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Es cualquier nmero distinto cuyo valor es menor que cero.

. . , 4,3,2,1

Son los nmeros que poseen infinitas cifras decimales no peridicas que por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones.

Para dar de los nmeros imaginarios una definicin, podramos decir que es un nmero cuya potenciacin es negativa. Es decir que cuando se eleva al cuadrado se multiplica por s mismo, su resultado es negativo.

EJEMPLOS

a) + =

= 4 = 4(1) = 4 1 = 21 = 21 =

b) + = = 1 = 1(1)1 1 = 1 1 =

c) = (25)(1) = 25 1 = 51 =

Describe la suma de un nmero real y un nmero imaginario, son una extensin de los nmeros reales, representan todas las races de los polinomios, a diferencia de los reales. Contienen a los nmeros reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones tericas ms importantes de la inteligencia humana.

= +

, = =

+ = + =

Los nmeros complejos se utilizan en todos los campos de las matemticas, en muchos de la fsica (y notoriamente en la mecnica cuntica) y en ingeniera, especialmente en la electrnica y las telecomunicaciones, por su utilidad para presentar las ondas electromecnicas y la corriente elctrica.

Considerando que un nmero complejo + puede considerarse como el punto de un plano de coordenadas (; ) donde es una parte real y es la parte imaginaria. Los nmeros reales se representan en el eje de las abscisas (eje real) y a lo nmeros complejos imaginarios puros sobre el eje de las ordenadas (eje imaginario).

Podemos expresar a los nmeros complejos de 4

formas. Si lo expresamos de la forma + se denomina forma normal o binomial. Si lo expresamos (; ) se denomina forma de par ordenado donde la primer componente es la parte real y la segunda es la

parte imaginaria. El punto (; ) se denomina a fijo de z.

Si observo la siguiente figura al fijar el punto z queda determinada un tringulo rectngulo o a z del que se conocen las medidas de sus catetos a y b y se puede calcular su hipotenusa por el teorema de Pitgoras. A la medida de esta le designaremos con r y la llamaremos modulo del vector o del nmero complejo.

Entonces = +

El vector forma un ngulo con el semejante positivo de las abscisas tomando el sentido anti horario dicho ngulo se denomina argumento del vector.

1.2 OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NMEROS COMPLEJOS

Para sumar dos nmeros complejos, se suman separadamente sus partes reales e imaginarias.

FORMULA:

EJEMPLOS

1) ( + ) + ( + ) = ( + )

6 + 8 9 + 3 +

2) (4 + 6) + (3 8) = ( )

4 + 6 3 8

3) (5 3) + (8 + 9) + (7 9) + (15 + 2) = ( )

FORMULA:

4) (6 + 3) (8 + 7) = ( ) 6 + 3 8 7

5) (6 + 4) (5 3) = ( + ) 6 + 4 5 + 3 +

6) (5 2) (4 + 5) + (8 9) (10 + 14) = 5 2 4 5 + 8 9 10 14 =

Para multiplicar con nmeros complejos se opera con ellos como si se tratara de

polinomios, teniendo en cuenta que 2 = 1.

FORMULA: ( )( ) ( ) ( )

EJEMPLOS

7) (5 + 6)(3 + 9) 5 + 6 3 + 915 + 18

45 + 542

15 + 63 + 542

15 + 63 + 54(1)15 + 63 54( + )

8) (8 3)(4 3) 8 3 4 332 12

24 + 92

32 + 12 + 92

32 + 12 + 9(1)32 9 + 12( + )

9) (3 + 2)(8 3)

3 + 2 8 324 + 16

9 62

24 + 25 62

24 + 25 6(1)24 + 6 + 25( + )

Para dividir dos nmeros complejos, se multiplican dividiendo y divisor por el complejo conjugado del divisor, multiplicando numeradores y denominadores entre s.

NMEROS COMPLEJOS CONJUGADO

6 8 6 + 8 10 + 4 10 4 5 + 3 5 3

12 15 12 + 15 6 + 8 6 8

FORMULA:

10)

+

=

4 + 16

8=

+

5 + 3 2 + 2 10 + 6

+10 + 62

10 + 16 + 62

+

2 2 2 + 2 4 4

+4 42

4 42

11)

+

=

15 + 8

10 310 + 3

10 + 3=

174 + 35

109=

174

109+

35

109=

. + .

15 + 8 10 + 3

150 + 80

45 + 242

150 + 35 + 242

+

10 3 10 + 3 100 30

+30 92

100 92

12)

+

=

5 + 8

7 37 + 3

7 + 3=

11 + 71

58=

11

58+71

58=

. + .

5 + 8 7 + 3

35 + 56

+15 + 242

35 + 71 + 242

+

7 3 7 + 3 49 21

+21 92

49 + 92

EJERCICIOS

1)

+

=

8 + 20

2 52 + 5

2 + 5=

116

29=

8 + 20 2 + 5 16 40

+40 + 1002

16 + 1002

2 5 2 + 5 4 + 10

10 252

4 252

2)

[( + ) + ( )]

( + )=

8 + 4

3 + 23 2

3 2=

32 4

13=

32

13+

4

13=

. + .

8 + 4 3 2

24 + 12

16 82

24 4 82

+

3 + 2 3 2 9 + 6

6 42

9 42

1.3 POTENCIAS DE i, MDULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NMERO COMPLEJO.

El valor absoluto, mdulo o magnitud de un nmero complejo z. Si pensamos en z como algn punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitgoras, que el valor absoluto de un nmero complejo coincide con la distancia eucldea desde el origen del plano. El valor absoluto o mdulo de un

nmero complejo ( + ) est definido por:

EJEMPLOS

1) ( + )

| + | = () + () = = . 2) ( )

| | = () + () = + = = . 3) ( + )

| + | = () + () = + = = . 4) ( )

| | = () + () = + = = . 5) ( )

| | = () + () = + = = .

1.4 FORMA POLAR Y EXPONENCIAL DE UN NMERO COMPLEJO. Un nmero complejo se representa generalmente en forma rectangular, es decir, en

la forma de + . De esta forma, es considerada como el ancho del rectngulo, y como la altura del mismo. Sin embargo, los nmeros complejos tambin pueden expresarse en forma polar o exponencial. La forma polar se expresa como y generalmente es ledo en un ngulo .

EJEMPLOS

1) ( + )

= (5)2 + (4)2 = 25 + 16 = 41

=

= 1(

)

= 1 (4

5) = 38.65980825

.

2) ( + )

= (3)2 + (5)2 = 9 + 25 = 34

= 1 (5

3) = 54.0362

54.0362 + 180 = 120.96637565

.

3) ( )

= (5)2 + (5)2 = 25 + 25 = 50

= 1 (5

5) = 45.00

45.00 + 180 = 275

4) ( )

= (6)2 + (3)2 = 36 + 9 = 45

= 1 (3

6) = 26.56505118

26.56505118 + 360 = 333.4349488

.

EJERCICIOS

1) ( )

= (6)2 + (3)2 = 36 + 9 = 45

= 1 (3

6) = 26.56505118

26.56505118 + 180 = 206.5650512

.

2) ( )

= (5)2 + (8)2 = 25 + 64

= 89

= 1 (8

5) = 57.99461659

57.99461659 + 360 = 302.0053

.

3) ( + )

= (9)2 + (6)2 = 81 + 36 = 117

= 1 (6

9) = 33.69006753

.

4) ( + )

= (12)2 + (3)2 = 144 + 9 = 153

= 1 (3

12) = 14.03624347

14.03624347 + 180 = 165.963757

.

5) ( )

= (5)2 + (12)2 = 25 + 144 = 169 = 13

= 1 (12

5) = 67.38013505

67.38013505 + 360 = 292.61986 .

EJEMPLOS

1) ( + ) = 12563.4349488

( . + . ) = ( + )

2) ( ) = 145311.633539

( . + . ) = ( )

3) ( ) = 89237.994617

( . + . ) = ( )

4)

( + )

( + )=

15 + 9

3 + 23 2

3 2=

63 3

13=

15 + 3 2 45 + 27

30 182

45 3 182

63

3 + 2 3 2 9 + 6

6 42

9 42

( + ) =

= (15)2 + (9)2 = 225 + 81 = 306

= 1 (9

15) = 30.96375653

( + ) =

= (3)2 + (2)2 = 9 + 4 = 13

= 1 (2

3) = 33.69005753

30630.963756

1333.69005753= 4.85164524357.2736885

4.85164524(cos 357.2736885 + 357.2736885) = . .

1.5 TEOREMA DE MOIVRE, POTENCIAS Y EXTRACCIN DE RACES DE UN NMERO COMPLEJO.

Si en algn momento deseas encontrar el cuadrado de un nmero complejo, en otras palabras, realizar la multiplicacin de dos nmeros complejos, los cuales son de hecho iguales, entonces obtendramos algo como:

=

Estoces, por la multiplicacin de los mdulos obtenemos . Sin embargo, ahora

escribimos el nmero complejo en su forma polar y realizamos la operacin de

multiplicacin, entonces obtendramos algo as:

[(cos + )] [(cos + ) = [(cos 2 + 2 )

De la misma forma, al aumentar el nmero complejo al exponente tres, tendramos

que realizar la operacin de multiplicacin en los nmeros complejos, los cuales son

iguales. Estoces obtenemos trminos como los siguientes:

=

Y para la forma polar, los trminos seran:

[(cos + )] [( + ) [( + ) = [(cos 3 + 3 )

Y esto se sigue repitiendo. Todo lo que podemos decir es que existe un patrn fijo el

cual se puede notarse con claridad por los ejemplos anteriores, al elevar un numero

complejo a algunos exponentes, estamos de hecho elevando el trmino mdulo de

ese exponente y el componente angular es, incluso, multiplicado por el nmero de

ese exponente . En forma breve podemos concluir que:

FORMULA: ( )

Llamamos a este teorema, el teorema De Moivre. Este teorema es usualmente utilizado para la determinacin de las potencias de cualquier nmero complejo, ya que permite de manera fcil cumplir con el propsito sin la necesidad de hacer ningn tipo de clculo complejo.

EJEMPLOS

(+ )

= (10)2 + (3)2 = 109

= 1 (3

10) = 163.3007558

(+ ) =

109 ( ()( 163.3007558) + ()( 163.3007558)

= 1,137.9934409 (cos 129.9027674 + 129.9027674)

2) ( )

= (5)2 + (3)2 = 34

= 1 (3

5) = 30.96375653 + 360 = 329.0362495

( ) =

(34)( ()( 329.0362495) + ()( 329.0362495)

= 34,304 (cos 174.217461 + 174.217461)

3) ( )

= (3)2 + (4)2 = 25 = 5

= 1 (4

3) = 306.869876

( ()( 306.869876) + ()( 306.869876)

= 625 (cos 147.4795904 + 147.4795904)

4) (+ )

= (3)2 + (4)2 = 25 = 5

= 1 (4

3) = 126.8698976

= (5)( ()( 126.8698976) + ()( 126.8698976)

= 3,125(cos 274.349438 + 274.349438)

Si podemos cuadratizar un nmero complejo, encontrar su cubo o aumentarlo a cualquier potencia, de la misma manera podemos extraer sus races. Sin embargo, esto es un poco diferente a la extraccin de races en los nmeros reales. Para determinar la raz de un nmero complejo, todo lo que tenemos que hacer es ir a por la tcnica de ingeniera inversa, esto es moverse en la direccin inversa a la determinacin de la potencia de un nmero complejo. El procedimiento consiste simplemente en dividir el exponente de los mdulos por el nmero de grado de la raz y hacer lo mismo con el coeficiente del componente angular.

FORMULA:

EJEMPLOS

1) (+ ) = (3)2 + (2)2 = 13

= 1 (2

3) = 146.3099325

1.

= (13)13 cos (

146.3099325

+ 360(0)

3) +

146.3099325(

+ 360(0)

3)

= . . + . ( ) ( )

2.

= (13)13 cos (

146.3099325

+ 360(1)

3) +

146.3099325(

+ 360(1)

3)

= . . + . ( ) ( )

3.

= (13)13 cos (

146.3099325

+ 360(1)

3) +

146.3099325(

+ 360(1)

3)

= . . + . ( ) ( )

2) ( )

= (3)2 + (4)2 = 25

= 1 (4

3) = 233.1301024

= (5)15 cos (

233.1301024

+ 360(0)

5) +

233.1301024(

+ 360(0)

5)

= 1.379729661 cos 46.2602048 + 46.2602048 ( ) ( )

= (5)15 cos (

233.1301024

+ 360(1)

5) +

233.1301024(

+ 360(1)

5)

= 1.379729661 cos 118.6260205 + 118.6260205 ( ) ( )

= (5)15 cos (

233.1301024

+ 360(2)

5) +

233.1301024(

+ 360(2)

5)

= 1.379729661 cos 190.6260205 + 190.6260205 ( ) ( )

= (5)15 cos (

233.1301024

+ 360(3)

5) +

233.1301024(

+ 360(3)

5)

= 1.379729661 cos 262.6260205 + 262.6260205 ( ) ( )

= (5)15 cos (

233.1301024

+ 360(4)

5) +

233.1301024(

+ 360(4)

5)

= 1.379729661 cos 334.6260205( + 334.6260205) ( )

3) (+ )

= (3)2 + (4)2 = 25 = 5

= 1 (4

3) = 126.8698976

= (5)12 cos (

126.8698976

+ 360(0)

2) +

126.8698976(

+ 360(0)

2)

2.236067977 cos 63.4349488 + 63.4349488 ( ) ( )

= (5)12 cos (

126.8698976

+ 360(1)

2) +

126.8698976(

+ 360(1)

2)

= 2.236067977 cos 243.4349488 + 243.4349488 ( ) ( )

1.6 ECUACIONES POLINMICAS.

Obtener la solucin de una ecuacin polinmica es uno de los temas ms candentes

en el campo de las matemticas, esto es debido a su importancia en los problemas

de la vida real y cientfica. Las ecuaciones polinmicas son una clase que

comprende tanto las ecuaciones lineales como las cuadrticas. La forma general de

la ecuacin polinmica es: + 1 1+. . +2 2 + 1 + 0 = 0

Aqu representa una variable en particular, y , 1. . 2, 1, 0 son las constantes.

Siempre debe ser positiva junto con la condicin de que ""0. Por ejemplo,

3 + 7 2 + 3 2 = 0 es una ecuacin polinmica. La solucin al problema del

polinomio, consiste en encontrar todas las races de la ecuacin dada.

Una raz del polinomio es un complejo tal que () = . Un resultado importante

de esta definicin es que todos los polinomios de grado n tienen exactamente n

soluciones en el campo complejo, esto es, tiene exactamente complejos que

cumplen la igualdad () = , contados con sus respectivas multiplicidades. A esto

se lo conoce como Teorema Fundamental del lgebra, y demuestra que los

complejos son un cuerpo algebraicamente cerrado. Por esto los matemticos

consideran a los nmeros complejos unos nmeros ms naturales que los nmeros

reales a la hora de resolver ecuaciones.

Con esto concluimos la Unidad 1 de Algebra Lineal que lleva por nombre Nmeros

Complejos, obteniendo conocimiento sobre los nmeros imaginaros que son las

races de nmeros negativos, ya conociendo estos nmeros podemos formar lo que

son los nmeros complejos que estn formados por nmeros reales e imaginarios.

Ya conociendo que es nmero real aprendimos a hacer operaciones matemticas

como la suma de nmeros complejos que se hace sumando la parte real con la real

y la imaginaria con la imaginaria, del mismo modo la resta que se resuelve de igual

forma restando cada nmero real e imaginario, la multiplicacin se hace de igual

forma que multiplicar polinomios solo teniendo en cuenta que = y por ltimo la

divisin que se resuelve multiplicando por su conjugado; Tambin aprendimos a

graficar un nmero complejo en el plano en cual representamos el eje z como los

nmeros imaginarios y el eje x como los nmeros reales de esta manera tambin

podemos calcular el modulo o valor absoluto que es la distancia de origen al punto

del nmero complejo esto lo obtenemos con la formula | + | = + ; tambin

podemos conocer el ngulo que sera la forma polar de un nmero complejo este se

obtiene con la formula =

.

Otro tema de la unidad es la potenciacin de un nmero complejo que se resuelve

con el teorema De Moivre:

= ( + )

De igual forma se resuelve la radicacin de un nmero complejo solo que en esta el

teorema se hace a la inversa y queda de la siguiente forma:

=

(

+

) + (

+

)

= ,,,,

UNIDAD 2: MATRICES Y DETERMINANTES.

COMPETENCIA ESPECFICA A DESARROLLAR:

Manejar las matrices, sus propiedades y operaciones a fin de expresar conceptos y problemas mediante ellas, en los sistemas de ecuaciones lineales; as como en otras reas de las matemticas y de la ingeniera, para una mejor comprensin y una solucin ms eficiente. Utilizar el determinante y sus propiedades para probar la existencia y el clculo de la inversa de una matriz.

2.1 DEFINICIN DE MATRIZ, NOTACIN Y ORDEN.

Conjunto bidimensional formado por nmero en filas y columnas. Tiene una determinada dimensin que depende del nmero de filas y columnas.

Se denota a las matrices con letra mayscula, mientras que se utiliza la correspondiente letra en minsculas para denotar a las entradas de las mismas, con subndices que refieren al nmero de fila y columna del elemento.

= [11 1221 22

]

El nmero de elementos de una matriz lo obtendremos de multiplicar el nmero de

filas por el de columnas: . Al producto llamamos orden de matriz. Cuando decimos que una matriz es de orden ya podemos afirmar que se trata de una matriz de 4 filas y 5 columnas.

EJEMPLOS

= [6 3 108 9 510 20 3

]

Tamao de la matriz A: (3 3)

= [7 8 9 156 10 8 6

]

Tamao de la matriz B: (2 4)

2.2 OPERACIONES CON MATRICES.

Para sumar dos matrices primero se deben de verificar que las matrices sean del mismo tamao. Para obtener el resultado se suman los elementos correspondientes de cada matriz. En caso de que no sean del mismo tamao en el resultado se tiene que colocar, no se puede realizar la operacin porque son de diferentes tamaos.

EJEMPLOS

= [9 5 810 6 93 2 4

] = [6 9 153 9 21 3 2

] = [

5 8 32 4 65 6 42 3 2

]

De las matrices anteriores encontrar:

1) +

+ = [15 4 2313 15 114 1 6

]

2) + = no se puede realizar la operacin porque son de diferentes tamaos

EJERCICIOS

1)

= [

] + = [

] = [( ) ( + ) ( )( ) ( ) ( )

] = [

]

Para restar dos matrices primero se tiene que comprobar sin son del mismo tamao en caso afirmativo se restan los elementos correspondientes, teniendo cuidado que al elemento de la primer matriz se le resten los elementos correspondientes de la segunda matriz. En caso de que no sea el mismo tamao se pone, no se puede restar porque son de diferente tamao.

EJEMPLOS

= [9 5 810 6 93 2 4

] = [6 9 153 9 21 3 2

] = [

5 8 32 4 65 6 42 3 2

]

De las matrices anteriores encontrar:

1)

= [3 14 77 3 72 5 2

]

2) =

3)

= [3 14 77 3 72 5 2

]

Dada una matriz = () y un nmero real , se define la multipl icacin de un nmero real por una matriz a la matriz del mismo

orden que A, en la que cada elemento est multiplicado por .

EJEMPLO

= [9 5 810 6 93 2 4

]

1)

5 = [

]

2)

8 = [72 40 6480 48 7224 16 32

]

EJERCICIOS

= [

]

1)

= [

] = [

]

Dos matrices A y B son multiplicables si el nmero de columnas de A coincide con el nmero de columnas de B. El elemento de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila de la matriz A por cada elemento de la columna de la matriz B y sumndolo.

EJEMPLOS

1) = [2 0 13 0 05 1 1

] [1 0 11 2 11 1 0

]

= [2 1 + 0 1 + 1 1 2 0 + 0 2 + 1 1 2 1 + 0 1 + 1 03 1 + 0 1 + 0 1 3 0 + 0 2 + 0 1 3 1 + 0 1 + 0 05 1 + 1 1 + 1 1 5 0 + 1 2 + 1 1 5 1 + 1 1 + 1 0

] = [3 1 23 0 37 3 6

]

2)

= [3 4 25 1 410 2 2

] = [3 52 48 1

]

= [

(3 3) + (4 2)(2 8) (3 5) + (4 4)(2 1)(5 3) + (1 2)(4 8) (5 5) + (1 4)(4 1)(10 3) + (2 2)(2 8) (10 5) + (2 4)(2 1)

] = [

]

3)

No se puede multiplicar ya que el numero de columnas de la matriz B no es el

mismo que el numero de renglones de la matriz A.

4)

= [6 1 412 0 31 3 1

] = [

6 5 13 2 38 9 10 2 2

]

= [

95 9 403 6 3155 11 6026 6 4

]

EJERCICIOS

1)

= [

] = [

] =

[

( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( )( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( )( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( )

] = [

]

2)

= [

] = [

]

= ( ) = ( )

No se puede multiplicar ya que el numero de columnas de la matriz A no es el

mismo que el numero de renglones de la matriz D.

3)

= [

] = [

]

[ ( ) + ( ) + ( ) ( ) + ( ) + ( )( ) + ( ) + ( ) ( ) + ( ) + ( )

( ) + ( ) + ( ) ( ) + ( ) + ( )( ) + ( ) + ( ) ( ) + ( ) + ( ) ]

= [

]

2.3 CLASIFICACIN DE LAS MATRICES.

Tiene el mismo numero de columnas y de filas.

EJEMPLO

= [4 3 210 4 51 2 12

] (3 3)

Una matriz cuadrada donde cada elemento, excepto los elementos diagonales, son

iguales a cero, es llamada matriz diagonal. La matriz diagonal se denomina a veces

matriz diagonal rectangular.

EJEMPLO

= [5 0 00 1 00 0 10

]

Es un tipo especial de matriz cuadrada cuyos elementos por encima o por debajo de

su diagonal principal son cero. Debido a que los sistemas de ecuaciones lineales con

matrices triangulares son mucho ms fciles de resolver, las matrices triangulares son

utilizadas en anlisis numrico para resolver sistemas de ecuaciones lineales, calcular

inversas y determinantes de matrices.

EJEMPLO

Matriz triangular inferior Matriz triangular superior

[

5 0 0 06 1 0 09 8 3 05 4 2 1

] [5 8 9 100 12 1 20 0 7 10 0 0 5

]

Matriz cuadrada cuyo determinante es igual a cero. Una matriz singular no tiene matriz inversa.

La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT.

EJEMPLO

= [5 6 810 12 152 3 6

] = [5 10 26 12 38 15 6

]

EJEMPLO

= [

] = [

]

Se dice que una matriz es la matriz identidad o unidad, si cada elemento de la diagonal principal de la matriz particular es 1. Tiene que ser una matriz cuadrada para que se identidad.

EJEMPLO

[ ]

EJEMPLO

[

]

Una matriz que tiene una fila y n columnas, se dice que es una matriz rengln.EJEMPLO

= [ ] = [ ]

Una matriz con n filas y 1 columna, se denomina matriz columna.

EJEMPLO

= [

] = [

]

2.4 TRANSFORMACIONES ELEMENTALES POR RENGLN. ESCALONAMIENTO DE UNA MATRIZ. RANGO DE UNA MATRIZ.

Multiplicar un rengln por una constante diferente de cero.

[3 5 8 26 9 2 34 12 1 6

](1

3) [

/ / /

]

Intercambiar dos renglones.

[1 5/3 8/3 2/36 9 2 34 12 1 6

] [ / / /

]

Sumar el mltiplo de un rengln a otro rengln.

[1 5/3 8/3 2/36 9 2 34 12 1 6

](6)

[ / / /

]

Matriz escalonada

= [

] = [

]

Matriz escalonada reducida

= [

]

EJEMPLOS

Encontrar la matriz escalonada reducida de las siguientes matrices:

1) [

]

[5 8 9 123 2 1 54 8 9 2

](1

5)

[1

8

5

9

5

12

5

3 2 1 54 8 9 2

](3)(4)

[ 1

8

5

9

5

12

5

0 14

5

32

5

11

5

08

5

9

5

38

5 ]

(5

4)

[ 1

8

5

9

5

12

5

0 116

7

11

14

08

5

9

5

38

5 ]

(8

5) [

1 8/5 9/5 12/50 1 16/7 11/140 0 13/7 62/7

](

7

13) [ / / / / / /

]

2) [

]

[0 3 6 4 43 7 8 5 83 9 12 9 6

] [3 7 8 5 80 3 6 4 43 9 12 9 6

](1

3) [

17

3

8

3

5

3

8

3

0 3 6 4 43 9 12 9 6

](3)

[1

7

3

8

3

5

3

8

3

0 1 2 2 4/33 9 12 9 6

] (16) [1

7

3

8

3

5

3

8

3

0 1 2 2 4/30 0 36 36 10/3

](1

36)[

/

]

3) [

]

[

2 4 8 126 10 4 68 2 4 24 4 6 6

]

(1/2)

[

1 2 4 66 10 4 68 2 4 24 4 6 6

]

(6)(8)(4)

[

1 2 4 60 2 20 300 14 28 460 4 10 18

](

1

2)

[

1 2 4 60 1 10 150 14 28 460 4 10 18

](14)(4)

[

1 2 4 60 1 10 150 0 112 1640 0 30 42

](

1

112)

[ 1 2 4 60 1 10 15

0 0 141

28

0 0 30 42]

30

[ 1 2 4 60 1 10 15

0 0 141

28

0 0 0 54

28]

28

54

[

]

4) [

]

[

](

)[

]()()

[

]

EJERCICIOS

= [

](

) [

] ()

[

](

) [

]

= [

](

) [

19

2

5 13 2

]()()

[ 1

9

2

047

2

023

2 ]

(2

47) [

19

2

0 1

023

2

] (23

2) [

19

2

0 10 0

]

= [

]

(

)

[

]

()()()

[

]

(

)

[

]

(

) (

)

[

]

(

)

[

]

(

)

[

]

= [

](

) [

] ()

[

](

) [

]

El rango de una matriz Es el nmero de f i las (o columnas) l inealmente independientes. Util izando esta definicin se puede calcular usando el mtodo de Gauss. Tambin podemos decir que el rango es: el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula. Uti l izando esta definicin se puede calcula r el rango usando determinantes.

2.5 CLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ

La matriz forma una parte esencial, no slo de las matemticas, sino tambin de la

vida, en el caso de un ingeniero u otra persona que se haya asociado con las

matemticas. Encontrar el inverso de una matriz constituye una parte crucial en el

concepto de matriz. Una matriz sin su inverso no est completa. El inverso de una

matriz puede definirse como: Dada una matriz elemental , uno puede

observar fcilmente que existe una matriz elemental tal que =

Reflexionando un poco concluirs que = . Realizando una operacin de

fila y luego deshacindola produce el mismo resultado que deshacerla primero y

realizarla despus. De cualquier manera ests de nuevo en el punto de partida. Este

concepto se denomina inverso de una matriz.

En otras palabras, imaginemos dos matrices , estas tienen la propiedad

= = . Entonces decimos que es un inverso de (y es un inverso

de ). Se dice que una matriz con inverso es invertible. Adems, el inverso de una

matriz siempre es nico.

EJEMPLOS

1) Encontrar la inversa de la matriz.

= [

]

[2 4 64 5 63 1 2

] [1 0 00 1 00 0 1

](1 2 )

[1 2 34 5 63 1 2

] [

12 0 0

0 1 00 0 1

](4)(3)

[1 2 30 3 60 5 11

] [

12 0 0

2 1 03

2 0 1

] 1 3 [1 2 30 1 20 5 11

]

[ 12 0 0

23

13 0

32 0 1]

(2)(5)

[1 0 10 1 20 0 1

]

[

56

23 0

23

13 0

116

53 1]

(1) [1 0 10 1 20 0 1

]

[

56

23 0

23

13 0

11 6 53 1]

(2)(1)

[1 0 00 1 00 0 1

]

[

83

73 1

133

113 2

11 6 53 1]

=

[

]

= [2 4 64 5 63 1 2

] 1 =

[

83

73 1

133

113 2

11 6 53 1]

= [1 0 00 1 00 0 1

]

[ (

16

3+52

333

3) (

14

344

3+30

3) (2 + 8 6)

(32

3+65

333

3) (

28

355

3+30

3) (4 + 10 6)

(24

3+13

3+11

3) (

21

311

310

3) (3 + 2 + 2) ]

= [1 0 00 1 00 0 1

]

EJERCICIOS

1) Encontrar las inversas de las siguientes matrices.

= [1 2 32 5 31 0 8

]

[1 2 32 5 31 0 8

] [1 0 0

0 1 0

0 0 1

](2)(1)

[1 2 30 1 30 2 5

] [1 0 0

2 1 0

1 0 1

] (2)(2)

[1 0 90 1 30 0 1

] [5 2 0

2 1 0

5 2 1

] (1)

[1 0 90 1 30 0 1

] [5 2 02 1 05 2 1

](3)(9)

[1 0 00 1 00 0 1

] [40 16 913 5 35 2 1

] = [

]

= [1 2 32 5 31 0 8

] 1 = [40 16 9

13 5 3

5 2 1

] = [1 0 0

0 1 0

0 0 1

]

[(40 + 26 + 15) (16 10 6) (9 6 3)(80 + 65 + 15) (32 25 6) (18 15 3)(40 + 0 + 40) (16 + 0 16) (9 + 0 8)

] = [1 0 00 1 00 0 1

]

= [1 3 42 5 70 1 1

]

[1 3 42 5 70 1 1

] [1 0 00 1 00 0 1

](2)

[1 3 40 1 10 1 1

] [1 0 02 1 00 0 1

] (1)(3)

[1 0 10 1 10 0 0

] [5 3 02 1 02 1 1

]

= [

]

[1 2 12 2 41 3 3

] [1 0 00 1 00 0 1

] (2)(1)

[1 2 10 2 60 1 2

] [1 0 02 1 01 0 1

] ( 1 2 )

[1 2 10 1 30 1 2

] [1 0 0

1 1 2 0

1 0 1

] (1)(2) [1 0 50 1 30 0 1

] [

1 1 0

1 1 2 0

2 1 2 1](3)(5)

[1 0 00 1 00 0 1

] [

9 3 2 5

5 1 3

2 1 2 1

] = [

]

= [1 2 12 2 41 3 3

] 1 = [

9 3 2 5

5 1 3

2 1 2 1

] = [1 0 00 1 00 0 1

]

[ (9 10 + 2) (

3

2+ 2

1

2) (5 + 6 1)

(18 10 8) (3 + 2 + 2) (10 + 6 + 4)

(9 15 + 6) (3

2+ 3

3

2) (5 + 9 3) ]

= [1 0 00 1 00 0 1

]

2.6 DEFINICIN DE DETERMINANTE DE UNA MATRIZ. El determinante de una matriz cuadrada es un nmero real cuya definicin exacta es bastante complicada. Por ello, definiremos primero el determinante de matrices pequeas, y estudiaremos mtodos y tcnicas para calcular determinantes en general. Solamente se puede calcular el determinante a matrices cuadradas. En cuanto a la notacin, a veces el determinante se escribe con la palabra , y otras veces se indica sustituyendo los parntesis de la matriz por barras verticales. El determinante de una matriz determina si los sistemas son singulares o mal condicionados. En otras palabras, sirve para determinar la existencia y la unicidad de los resultados de los sistemas de ecuaciones lineales. El determinante de una matriz es un nmero. Un determinante con valor de cero indica que se tiene un sistema singular. Un determinante con valor cercano a cero indica que se tiene un sistema mal condicionado. Un sistema singular es cuando en el sistema de ecuaciones se tiene a ms de una ecuacin con el mismo valor de la pendiente. Por ejemplo ecuaciones que representan lneas paralelas o ecuaciones que coinciden en los mismos puntos de graficacin. En un sistema mal condicionado es difcil identificar el punto exacto en que las lneas de las ecuaciones se interceptan.

= [

] = [11 1221 22

]

|| = [

] || = [11 1221 22

]

FORMULA: ( ) ( ) ( )

EJEMPLOS

= [8 59 2

] = (8 2) (5 9) = 16 45 =

= [1 34 8

] = (1 8) (3 4) = 8 12 =

= [5 13 2

] = (5 2) (3 1) = 10 3 =

Sea = [11 12 1321 22 2331 32 33

]

Entonces el determinante de la matriz A es un nmero escalar que se obtiene

de la siguiente manera:

EJEMPLOS

= |

| = (5) [ 0 21 3

] (3) [1 22 3

]+ (2) [1 02 1

]

= 5 0 (2) (3)(3 4) + (2)(1 0) = 5(2) ((3)(1) + (2)(1) =

10 3 2 =

EJERCICIOS

= |

| = (3) [5 64 8

] (1) [2 61 8

]+ (4) [2 51 4

]

= (3) 40 (24) (1)(16 6) + (4)(8 5) = 3(16) (1)(10) (4)(3) =

48 10 12 =

= |

| = (3) [5 62 8

] (8) [2 61 8

]+ (4) [2 51 2

]

= (3) 40 (12) + (8)(16 6) (4)(4 5) = 3(28) + (8)(10) (4)(1) =

84 + 80 + 4 =

= |

| = (1) [5 62 9

] (8) [2 61 9

]+ (4) [2 51 2

]

= (1) 45 (12) + (8)(18 6) (4)(4 5) = 1(57) + (8)(24) (4)(1)

57 192 + 4 =

= |

| = (9) [2 12 9

] (8) [12 11 9

]+ (4) [12 21 2

] =

(9)(18 + 2) + (8)(108 + 1) (4)(24 2) = 9(16) + (8)(107) (4)(22)

= 144 856 88 =

2.7 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.

Si una matriz A tiene un rengln (o una columna) de ceros, el determinante de A es

cero.

El determinante de una matriz A es igual al determinante de la transpuesta de A.

=

Si se intercambian dos renglones (o dos columnas) de una matriz A entonces el

determinante cambia de signo.

Si una matriz A tiene dos renglones (o dos columnas) iguales entonces:

= .

Cuando un solo rengln (o columna) de una matriz A se multiplica por un

escalar r el determinante de la matriz resultante es r veces el determinante

de A, .

Si un rengln de la matriz A se multiplica por un escalar r y se suma a otro

rengln de A, entonces el determinante de la matriz resultante es igual al

determinante de A, . Lo mismo se cumple para las columnas de A.

Si A y B son matrices de , el determinante del producto AB es igual al producto de los determinantes de A y de B.

() =

El determinante de la matriz identidad es igual a 1 (uno).

El determinante de una matriz singular, es decir, que no tiene inversa, es igual a 0

(cero).

2.8 INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA A TRAVS DE LA ADJUNTA.

El menor complementario de un elemento de una matriz cuadrada es el

determinante de la matriz que obtenemos al suprimir su fila y su columna.

Es el menor complementario con signo positivo o negativo segn sea par o impar la

suma de su nmero de fila y su nmero de columna.

EJEMPLO

= [

] () = [

]

MENORES

[

]

|2 43 3

| = (2 3) (4 3) = 6 12 =

|2 41 3

| = (2 3) (4 1) = 6 4 =

|2 21 3

| = (2 3) (2 1) = 6 2 =

|2 13 3

| = (2 3) (1 3) = 6 + 3 =

|1 11 3

| = (1 3) (1 1) = 3 + 1 =

|1 21 3

| = (1 3) (2 1) = 3 2 =

|2 12 4

| = (2 4) (2 1) = 8 + 2 =

|1 12 4

| = (1 4) (2 1) = 4 + 2 =

|1 22 2

| = (1 2) (2 2) = 2 4 =

COFACTORES

[18 10 43 2 110 6 2

] [+ + + + +

] = [

]

TRANSPUESTA

= [

]

Encontrar el determinante y la adjunta de:

= [

]

DETERMINANTE

|| = (2) [1 15 7

] (4) [0 13 7

]+ (3) [0 13 5

]

= (2)(7 + 5) (4)(0 + 3) + (3)(0 3) = 2(12) (4)(3) + (3)(3) =

24 12 9 =

ADJUNTA

() = [

]

[

]

|1 15 7

| = (1 7) (5 1) = 7 + 5 =

|4 35 7

| = (4 7) (5 3) = 28 15 =

|4 31 1

| = (4 1) (1 3) = 4 3 =

|0 13 7

| = (0 7) (3 1) = 0 + 3 =

|2 33 7

| = (2 7) (3 3) = 14 9 =

|2 30 1

| = (2 1) (0 3) = 2 + 0 =

|0 13 5

| = (0 5) (3 1) = 0 3 =

|2 43 5

| = (2 5) (3 4) = 10 12 =

|2 40 1

| = (2 1) (0 4) = 2 0 =

[

] [+ + + + +

] = [

]

= [

]

CALCULAR LA MATRIZ INVERSA DE B CON LA SIGUIENTE FORMULA:

1 =1

3 [12 13 73 5 23 2 2

] =

[

]

EJERCICIOS

Encontrar la matriz inversa por adjunta

= [

]

DETERMINANTE

|| = (2) [1 14 2

] (1) [1 11 2

]+ (3) [1 11 4

]

= (2)(2 4) (1)(2 1) + (3)(4 + 1) = 2(2) (1)(3) + (3)(5) =

4 + 3 + 15 =

ADJUNTA

() = [

]

[

]

|1 14 2

| = 2 4 = |1 11 2

| = 2 1 = |1 11 4

| = 4 + 1 =

|1 34 2

| = 2 12 = |2 31 2

| = 4 3 = |2 11 4

| = 8 1 =

|1 31 1

| = 1 + 3 = |2 31 1

| = 2 3 = |2 11 1

| = 2 1 =

[

] [+ + + + +

] = [

]

= [

]

=

( )

1 =1

14 [

] =

[

]

Encontrar la matriz inversa por reduccin y por adjunta matriz inversa por

reduccin:

= [

] = [

]

[

] [

]

()()()

[

] [

](

)

[

]

[

]

()()()

[

]

[

]

(

)

[

]

[

]

()(

)()

[

]

[

]

()

[

]

[

]

(

)()()

[

] [

]

MATRIZ INVERSA POR ADJUNTA

= [

]

ADJUNTA

() = [

]

MENORES

[

]

|

| = |

| () |

| + () |

| =

( ) + ( ) ( ) = () + () () = + + =

|

| = |

| () |

| + () |

| =

( ) + ( + ) ( + ) = () + () () = + =

|

| = |

| () |

| + () |

| =

( ) + ( + ) ( + ) = () + () () = + =

|

| = |

| () |

| + () |

| =

( ) + ( + ) ( + ) = () + () () = + + =

|

| = |

| () |

| + () |

| =

( ) ()( ) ( ) = () () () = + + =

|

| = |

| () |

| + () |

| =

( ) ()( + ) ( + ) = () () () = =

|

| = |

| () |

| + () |

| =

( ) + ( + ) ( + ) = () + () () = + =

|

| = |

| () |

| + () |

| =

( ) + ( + ) + ( + ) = () + () + () = + + =

|

| = |

| () |

| + () |

| =

( + ) ( + ) ( + ) = () () () = + + =

|

| = |

| () |

| + () |

| =

( + ) ( ) ( ) = () () () = =

|

| = |

| () |

| + () |

| =

( + ) + ( ) ( ) = () + () () = + =

|

| = |

| () |

| + () |

| =

( + ) + ( ) + ( ) = () + () + () = + =

|

| = |

| () |

| + () |

| =

( + ) + ( ) + ( ) = () + () + () = + =

|

| = |

| () |

| + () |

| =

( + ) ( + ) ( + ) = () () () = + =

|

| = |

| () |

| + () |

| =

( + ) ( ) ( ) = () () () = =

|

| = |

| () |

| + () |

| =

( + ) + ( ) ( ) = () + () () = + =

|

| = |

| () |

| + () |

| =

( + ) + ( ) + ( ) = () + () + () = + + =

COFACTORES

[

] [

+ + + ++ + + +

] = [

]

TRANSPUESTA

= [

]

DETERMINANTE

= [

]

|| = |

| () |

| () |

| =

( |

| () |

| + () |

|) = (( ) + ( ) ( )

() + () () = ( + + ) =

( |

| () |

| + () |

|) = (( ) + ( + ) ( + )

() + () () = ( ) =

( |

| () |

| + () |

|) = (( ) + ( + ) ( + )

() + () () = ( + + ) =

|| = + =

INVERSA

=

[

] = [

]

2.9 APLICACIN DE MATRICES Y DETERMINANTES.

Las matrices se utilizan en el contexto de las ciencias como elementos que sirven

para clasificar valores numricos atendiendo a dos criterios o variables.

EJEMPLO

Un importador de globos los importa de dos colores, naranja (N) y fresa (F). Todos

ellos se envasan en paquetes de 2, 5 y 10 unidades, que se venden al precio (en

euros) indicado por la tabla siguiente.

2 unidades 5 unidades 10 unidades

Color N 0.04 0.08 0.12

Color F 0.03 0.05 0.08

Sabiendo que en un ao se venden el siguiente numero de paquetes

Color N Color F

2 unidades 700000 50000

5 unidades 600000 40000

10 unidades 500000 500000

Resumir la informacion anterior en 2 matrices A y B, de tamao respectivo 23 y 3

2 que recojan las ventas de un ao A y los precios B.

Nos Piden que organicemos la informacion anterior en dos matrices de tamao

concreto. Si nos fijamos en las tablas, es sencillo obtener las matrices:

= [

] = [. . . . . .

]

Estas matrices se denominan matrices de informacion, y simplemente recogen los

datos numericos del problema en cuestion.

Con esto finalizamos la unidad 2 Matrices y determinantes de la materia Algebra

Lineal, comenzamos por comprender que una matriz es conjunto bidimensional

formado en filas y columnas, aprendimos a realizar operaciones de matrices como la

suma , resta, multiplicacin por un escalar y la multiplicacin de matrices, y que para

resolver la suma y resta tenemos que tener matrices del mismo tamao, para

multiplicar por un escalar no importa el tamao de la matriz y que para multiplicar

matrices el numero de filas de la primera debe ser el mismo que de columnas de la

segunda; de igual forma clasificamos a las matrices en cuadradas, diagonales,

triangulares, singulares, transpuestas, inversas, identidades, escalares, rengln y

columna.

Seguimos por aprender las operaciones elementales por rengln de una matriz que

son: 1) multiplicar un rengln por una constante diferente de cero, 2) intercambiar

renglones y 3) sumar el mltiplo de un rengln a otro rengln, una ves que sabemos

manejar las operaciones anteriores podemos realizar el escalonamiento de una

matriz. despus de comprender como realizar el escalonamiento de una matriz

seguimos por calcular la inversa de una matriz.

Tambin aprendimos a calcular la determinante de matrices cuadradas y la adjunta

que se calcula primeramente obteniendo los menores de una matriz, siguiendo por

sacar los cofactores y para terminar se hace la transpuesta as tenemos la matriz

adjunta; Una ves que sabemos sacar la determinante y la adjunta de una matriz

podemos calcular la inversa de la matriz con la siguiente formula:

=

()

Una vez que sabemos todo esto sobre matrices y determinantes podemos aplicar

este conocimiento en diferentes areas.