A P U N T E S D E Á L G E B R A L I N E A L

Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería. M.I. Luis Cesar Vázquez Segovia Grupo: Semestre: 2010-2

TEMA 1.- ESPACIOS VECTORIALES. Definición. Sea V un conjunto no vacío y sea (k, +, *) un campo. Se dice que V es un espacio vectorial sobre k si están definidas dos leyes de composición, llamadas adición y multiplicación por un escalar, tales que:

I) La adición asigna a cada pareja ordenada (ū, ) de elementos de V un único elemento ū + V, llamado la suma de ū y .

II) ū, , V: ū+( + ) = (ū+ )+ . III) ō V tal que ō + = , V. IV) V – V tal que – + = ō V) ū, α: u+ = + ū VI) La multiplicación por un escalar asigna a cada pareja ordenada (α,v) de

elementos de α k y V un único elemento α k llado el producto de α por .

VII) α k; ū, V: α(ū+ ) = αū+ α VIII) α,β k; V: (α+β) = α + β IX) α,β k; V: α(β ) = (αβ) X) Si 1 es la unidad de k 1 = , V

A los elementos de V se llama vectores y a los de k se les llama escalares. Ejemplo. R3; F,f: R→R Pn M2x2

√ √ √ √ I

√ √ √ √ II

√ √ √ √ III

√ √ √ √ IV

√ √ √ √ V

√ √ √ √ VI

√ √ √ √ VII

√ √ √ √ VIII

√ √ √ √ IX

√ √ √ √ X

Ejemplo. Sea el conjunto S = {ax2 + ax + b )│a,b R} en R y las leyes de adición y multiplicación por un escalar usuales. Determinar si S es un espacio vectorial.

i) CERRADURA P1 = a1x2 + a1x + b1 ; P2 = a2x2 + a2x + b2 P1 + P2 = (a1 +a2)x2 + (a1 +a2)x + (b1 +b2) se cumple S R ii) ASOCIATIVIDAD P1 + (P2 + P3) = (P1 + P2) + P3 P1 + [(a2 + a3)x2 + (a2 + a3)x + (b2 + b3)] = [(a1 + a2)x2 + (a1 + a2)x + (b1 + b2)] + P3 (a1+a2+a3)x2 + (a1+a2+a3)x + (b1+b2+ b3) = (a1+a2+a3)x2 + (a1+a2+a3)x + (b1+b2+ b3) Se cumple iii) E ELEMENTO IDENTICO ō + P1 = P1

(ex2 + e1x + ei1) + (ax2 + ax + b) = ax2 + ax + b (e + a)x2 + (e + a)x + (ei + b) = ax2 + ax + b e + a = a e = 0 e + a = a e = 0 (0)x = (0)x2 +(0)x +0 ei + b = b ei = 0 iv) E ELEMENTO INVERSO - + = 0 + p = 0 (Ix2 + Ix + d) + (ax2 + ax + b) = (0)x2 +(0)x +0 (I + a)x2 + (I + a)x + (d + b) = (0)x2 +(0)x +0 I + a = 0 I = -a I + a = 0 I = -a - = = ax2 + ax + b d+ b = 0 d = -b v) CONMUTATIVIDAD P1 + P2 = P2 + P1

(a1+a2)x2 + (a1+a2)x + (b1+b2) = (a2+a1)x2 + (a2+a1)x + (b2+b1) vi) MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR αp = S αp = αax2 + αax + αb S Se cumple vii) SUMA DE VECTORES POR UN ESCALAR α(P1 + P2) = αP1 + αP2

α*(a1+a2)x2 + (a1+a2)x + (b1+b2)+ = (αa1x2 + αa1x + αb1) + (αa2x2 + αa2x + αb2) (αa1+ αa2)x2 + (αa1+ αa2)x + (αb1+ αb2) = (αa1+ αa2)x2 + (αa1+ αa2)x + (αb1+ αb2) Se cumple viii) SUMA DE ESCALARES POR UN VECTOR (α + β)p = αp + βp (α + β)a1x2 + (α + β)a1x + (α + β)b1 = (αa1x2 + αa1x + αb1) + (βa1x2 + βa1x + βb1) (αa1+ βa1)x2 + (αa1+ βa1)x + (αb1+ βb1) = (αa1+ βa1)x2 + (αa1+ βa1)x + (αb1+ βb1) Se cumple. ix) α(βp) = (αβ)p α (βax2 + βax + βb) = αβax2 + αβax + αβb αβax2 + αβax + αβb = αβax2 + αβax + αβb Se cumple X) UNIDAD DEL CAMPO 1p = p 1ax2 + 1ax + 1b = ax2 + ax + b Se cumple

S es un campo vectorial -DEFINICIÓN DE SUBESPACIO. Sea V un espacio vectorial en K y sea S un subconjunto de V. S es un subespacio de V si es un espacio vectorial en K respecto a la adición y multiplicación por un escalar definidas en V. Teorema Sea V un espacio vectorial en K y sea S un subconjunto de V. S es un subespacio de V si y solo si . 1) ū + = S; Para todo ū, S 2) αū = S; Para todo α K, ū S Demostración V = E3 S = Plano XY S = {(x, y, 0)│x, y R} Determine si S es un subespacio. Solución: 1) ū + = S; Para todo ū, S (x1, y1, 0) + (x2, y2, 0) = (x1 + x2, y1 + y2,0) S Se cumple

2) αū = S; Para todo α K, ū S α(x1, y1, 0) = (αx1, αy1, 0) S Se cumple

S es un subespacio vectorial de V Ejemplo Sea п = ,(x, y, z)│ x + y -z = 2; x, y, z R} Determinar si п es un espacio vectorial en R con las operaciones de adición de vectores y multiplicación por un escalar usuales. Solución: x + y -z = 2 ; z = x + y –2 п = , (x, y, x + y -2)│x, y R} I) 1 = (x1, y1, x1 + y1 -2) ; 2 = (x2,y2, x2 + y2 -2)

1 + 2 = [x1 + x2, y1 + y2, (x1 + x2) + (y1 + y2) –4] п no es un espacio vectorial.

Ejemplo.

Sea el conjunto D = { │a, b R} determine si D es un espacio vectorial con las

leyes de composición de adición de vectores y multiplicación por un escalar usuales. Solución:

i) 1 = 1

1

b0

0a 2 =

2

2

b0

0a

1 + 2 = 21

21

bb0

0aa D Se cumple

ii) α 1 D

α D Se cumple

D es un subespacio vectorial.

Espacios Rn R2 = [(a, b)│a, b R] R3 = [(a, b, c)│ a, b, c R] R4 = [(a1, a2, a3, a4)│ a1, a2, a3, a4 R] Rn = [(a1, a2, a3, ..., an)│ a1, a2, a3, ..., an R] R´= [a│a R] COMBINACIÓN LINEAL. α 1+ β 2 = Definición. Un vector w es una combinación lineal de los vectores 1+ 2 + 3,..., n si puede ser expresado en la forma = α1 1+ α2 2,..., +αn n donde α1,α2,..., αn son escalares. Ejemplo Sea = (3, 4, -2) = α 1+ β 2

= 1(1,2,0) + 1(2,2,1) [(1,2,0), (2,2,-2)] [(1,1,-1), (1,2,0)] (3,4,-2) = α (1,1,-1) + β(1,2,0) (3,4,-2) = (α,α,-α) + (β,2β,0) (3,4,-2) = (α + β, α + 2β,-α) α + β =3 α + 2β = 4 α = 2; β=1 -α = -2 Ejemplo. Sea = (6,7,5) Forma trinómica → = 6i + 7j +5k = 6(1, 0, 0) + 7(0, 1, 0) + 5(0, 0, 1) Ejemplo

Sea D = { │a, b R}

{ , } a + b =

Ejemplo R2 = [(a, b)│a, b R] {(1,0), (1,1), (0,1)} α(1,0), β(1,1), γ(0,1) = (a, b) (α,0), (β, β), (0, γ) = (a, b) (α + β, β + γ) = (a, b) α + β = a

β + γ = b

Del 2° renglón β + γ = b ; γ = b - β Del 1° renglón α + β = a ; α = a – β β = β Solución α = a - k β = k k R γ = b – k Definición. Sea S = { 1, 2,..., n } un conjunto de vectores

1) S es linealmente dependiente si existen escalares α1,α2,..., αn, no todos son iguales a cero, tales que α1 1+ α2 2 +... + αn n = ō

2) S es linealmente independiente si la igualdad α1 1+ α2 2 +... + αn n = ō, solo se satisface con α1 = α2 =,..., = αn = 0

Ecuación de dependencia lineal α1 1+ α2 2 +... + αn n = ō

B = {00

01,

10

00}

Para B

α100

01+ α2

10

00

0 0

0 0

00

01 +

20

00 =

0 0

0 0 α1 = 0; α2 = 0

2

1

0

0=

0 0

0 0 B es linealmente independiente

Bп2 = {(1, 0, 1), (0, 1, 1)}

Teorema

Sea S = { 1, 2,..., n } un conjunto no vacío de vectores de un espacio vectorial V. El conjunto de todas las combinaciones lineales de vectores de S, denotado con L(S), es un subespacio de S.

S = {(1, 2)} a(1, 2) = (a, 2a) F = L(S) F = {(a, 2a) │a R }

Teorema

Todo conjunto que contiene al vector ō es linealmente dependiente.

Demostración

De la ecuación de dependencia lineal α1 1, α2 2,..., αi i,..., αn n = ō ; αi = R

El conjunto es linealmente dependiente.

Definición. Sea V un espacio vectorial en R, y sea G = { 1, 2,..., n } un conjunto de vectores de V. Se dice que G es un generador de V si para todo R existen escalares α1,α2,..., αn, tales que,

= α1 1+ α2 2 +... + αn n. Definición. Se llama base de un espacio vectorial V a un conjunto generador de V que es linealmente independiente. Teorema Sea V un espacio vectorial en K. Si B = { 1, 2,..., n } es una base de V, entonces cualquier otra base de dicho está formada por n vectores.

Definición Sea V un espacio vectorial en K. Si B = { 1, 2,..., n } es una base de V se dice que V es de dimensión n, lo cual denotamos con dimV = n En particular, si V = { }; dimV = 0. Ejemplo R2 = [(a, b)│a, b R] B = {(0, 1), (1, 0)} = (-3, 2) α(0, 1) + β(1, 0) = (-3, 2) (0, α) + (β, 0) = (-3, 2) (β, α) = (-3, 2) → por igualdad de vectores β = -3 y α = 2 Vector de coordenadas ( )B = (α, β) = (2, -3) Definición Sea B = { 1, 2,..., n } una base de un espacio vectorial V en K, y sea V. Si = α1 1+ α2 2 +... + αn n, los escalares α1,α2,..., αn se llaman coordenadas de en la base B, y el vector Kn ( )B = ( α1,α2,..., αn)T

se llama vector de coordenadas de en la base B. ESPACIOS ASOCIADOS A UNA MATRIZ.

A =

Espacio renglón asociado a A G = {(1, 0),(4, 2),(-1, 7)} L(G) = {a(1, 0), b(4, 2), c(-1, 7)│a, b, c R}

31214

RRRR

)2/1(2R 327 RR

B = {(1,0), (0,1) } L(B) = {a(1,0) + b(0,1) } dim AR = 2 AR =L(B) = {(a, b)│a, b R } Espacio columna

A = AT=

B1 = G1 = {(1, 4, -1), (0, 2, 7)} Ac =L(G1) = {a(1, 4, -1) + b(0, 2, 7)│a, b R }

→ elemento genérico a(1, 4, -1) + b(0, 2, 7) = (a, 4a + 2b, -a + 7b)

Ac = {(a, 4a + 2b, -a + 7b)│a, b R } Dim Ac = 1 Corolario

dim AR = dim Ac

Ejemplo

R2 = [(a, b)│a, b R] B1 = {(1, 0), (0, 1)}; B2 = {(0, 2), (2, 0)}

Obtener los valores de coordenadas del vector = (-2, 3)

G ={ , , }

Para G

β1 + β2 + β3 =

1 0

0 0 + 2

2

0

0+

3

0 0

0 =

0 0

0 0

1 2

2 3

0

0 =

0 0

0 0

1 2 = 0 1 2

2 3 = 0 3 2 2 = k; 1 3 k

G es linealmente dependiente.

B y G son conjuntos generadores

V; B genera V; linealmente independiente → Base

V; G genera V; linealmente dependiente → Generador

Algoritmo de obtención de bases P2 = {ax2 + bx + c)│a, b, c R} B = {x2, x, 1} R2 = [(a, b)│a, b R] B = {(1, 0), (0, 1)}

M2x1= { │a, b R} B = {1

0,

0

1}

Sea el espacio п = {(x, y, z)│x + y -z = 2; x, y, z R} x + y -z = 0 п2 = {(x, y, x + y)│ x, y, z R} z = x + y Matriz de transición

M 1

2

B

B 1= α1 1+ α2 2

2= β1 1+ β2 2

(1,0) = α1(0,2)+ α2(2,0) (1,0) = (2α2, 2α1 α2(2,0) 2α2 = 1 → α2= ½ 2α1 = 0 → α1= 0

1 = (1,0) = 0(0,2) + ½(2,0) ( 1)B2 = (0, ½)T

2 = (0,1) = β1(0,2) + β2(2,0) (0,1) = (2β2, 2β1) 2 β2 = 0 → β2= 0 2β1 = 0 → β1= ½

2 = (0,1) = ½(0,2) + 0(2,0) ( 2)B2 = (½, 0)T

1 = 0 1+ ½ 2

2 = ½ 1+ 0 2

M A

B = ( )A = ( )B ( )A = (M A

B )-1( )B

(M A

B ) = (M A

B )-1 ( )A = M B

A ( )B

3. A = AT =

BAC = {(1, 0, 0), (0 ,1 ,0), (0, 0, 1)} a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1) = (a, b, c) → elemento genérico

AC = {(a, b, c)│a, b, c R}

Solución: los 3 R

Teorema

Los espacios que tienen la misma dimensión se llaman isomorfos. R3 = [(a, b, c)│a, b, c R]; dim R3 = 3; BR

3 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} P2 = {ax2 + ax + b)│a, b R} dim R2 = 2; BR

2 = {(x2 + x + 1) F1 (ax2 + bx + c) = (a, b, c) 1.-

M = { │a, b, c R}; dim M =3; BM ={ , , }

F2 = (a, b, c)

2.-

V = { │a, b R}

Solución:

BV ={ , } dim V = 2

A no es base; B no es base; C si es base

3.-

f = (0, 1, -1, 3)

f = (1, 0, 1, 0) Es linealmente independiente

ESPACIOS DE FUNCIONES F Sea el conjunto H = {ex, e-x, e2x} L(H) = {aex + be-x + ce2x a, b, c R} Determine si H es linealmente independiente Wronskiano

W = xxx

xxx

xxx

eee

eee

eee

2

2

2

4

2 = xe (-1)2

xx

xx

ee

ee2

2

4

2+ xe (-1)

3

xx

xx

ee

ee2

2

4

2+ xe2

(-

1)4

xx

xx

ee

ee

W = ex(-4ex -2ex) –e-x(4e3x -2e3x) + e2x(e0+ e0) W = -6e2x –2e2x +2e2x

W = -6e2x W ≠ 0

H es linealmente independiente Sea el conjunto de funciones reales de variable real {f1, f2, ..., fn} De la ecuación de dependencia lineal α1f1+ α2f2 +... + αnfn = 0 Para x = x1 α1f(x1) + α2f(x1) +... + αnf(x1) = 0 Para x = x2 β1f(x2) + β2f(x2) +... + βnf(x2) = 0 Para x = xn λ1f(xn) + λ2f(xn) +... + λnf(xn) = 0 Teorema Sea {f1, f2, ..., fn} un conjunto de n funciones de variable real, derivables al menos n-1 veces en el intervalo (a, b); y sea

W=

(x)f(x)f(x)f

(x)f(x)f(x)f

(x)f(x)f(x)f

1)-(n

n

1)-(n

2

1)-(n

1

´

n

´

2

´

1

n21

Si W(x0) ≠ 0 para algún x0 (a, b), entonces el conjunto de funciones es linealmente independiente de dicho intervalo. Si W(x) = 0 no decide. Ejemplo Investigar la dependencia lineal del siguiente conjunto. F = {2sen2x, -cos2x, 3}

W(x) =

0cos2cos44

0cos2cos4

3cos2

2222

22

xsenxxxsen

xsenxxsenx

xxsen

= xsenxxxsen

xsenxxsenx2222 cos2cos44

cos2cos4

W(x) = 3[4senxcosx (2cos2x -2sen2x) – (-4sen2x + 4cos2x)( 2cosxsenx)] W(x) = 3(0) = 0 → no decide. F = {2sen2x, sen2x -1, 3} α(2sen2x) + β(sen2x –1) + γ(3) = (0) 2sen2x + 0 (2α+ β)sen2x + (3γ –β) = (0) 2sen2x + 0 (2α+ β) = 0 → α = -β/2 (3γ –β) = 0 → γ = β/3 β = k

α = -k/2

β = k γ = k/3 Es linealmente dependiente. Nota: 1 regla de correspondencia y W = 0 es linealmente dependiente. Ejemplo Sea el conjunto de funciones, determine si es linealmente dependiente o independiente en el intervalo indicado. D = {h, f, g}

f(x) = 1 xsi 1;

1< xsi ;x 2

g(x) = 2 xsi x;sen

2 xsi x;

2 h(x) =

4 xsi x;cos

4 xsi 2; x x

2

2

w =

202

12x12x

2x xxx 22

= 2(-1)4[x(2x + 1) - (x2 + x + 2)] + 2(-1)6[x2 - 2x2]

w = 2(2x2 + x - x2 - x -2) + 2(-x2) = 2(x2 - 2) - 2x2 = -4 TEMA II

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Definición

Sea V un espacio vectorial en C. Un producto interno en V es una función VXV en C, que

asigna a cada pareja ordenada (ū, ) de vectores de V un escalar (ū│ ) C, llamado el producto interno de ū por que satisface las siguientes propiedades:

1) (ū│ ) = (conjugado) 2) (ū│ + ) = (ū│ ) + (ū│ ) 3) (αū│ ) = α(ū│ ) 4) (ū│ ) > 0; ū≠ Ejemplo Sea R2 = [(a, b)│a, b R] y a) f(ū│ ) = [(a1, b1)│(a2, b2)] = a1a2 + b1b2

b) h(ū│ ) = [(a1, b1)│(a2, b2)] = 2a1a2 + b1b2 Determine si f, h son productos internos. 3) (αū│ ) = α(ū│ )

*(αa1, αb1)│(a2, b2)+ = α(2a1a2 + b1b2) 2αa1a2 + αb1b2 se cumple

4) (ū│ ) > 0 [(a1, b1)│(a1, b1)] = 2a1

2 + b12 > 0 se cumple

h es producto interno

Propiedades del producto interno. Sea V un espacio vectorial en C y sea ( │ ) un producto interno en V, entonces ū, V y α C. 1) (ū│α ) = (ū│ ) 2) (ū│ū) = R+ 3) ( │ū) = 0 = (ū│ ) 4) (ū│ū) = 0 ↔ ū =

NORMA DE UN VECTOR = ( │ )1/2; La norma es un número real. Propiedades de una norma. Sí V es un espacio vectorial con producto interno, entonces ū, V y α C. 1. > 0 2. = 0 ↔ =

3. = ; = = 4. + Ejemplo Sea un generador de R3,el conjunto G = {(2, 0, 0), (0, 0, 4), (0, 1, 0), (1, 2, 3)}. Determine un conjunto ortogonal a partir de G utilizando el producto escalar ordinario. Gran Shmidt.

1 = 1 = (2, 0, 0)

2 = 2 - 11

12

ww

wv

2 = (0, 0, 4) - )0,0,2()0,0,2(

)0,0,2()4,0,0(= (0, 0, 4) - (

4

0)(2, 0, 0) = (0, 0, 4)

3 = 3 - 11

13

ww

wv1 -

22

23

ww

wv2

3 = (0, 1, 0) - 4

)0,0,2()0,1,0((2, 0, 0) -

)4,0,0()4,0,0(

)4,0,0()0,1,0((0, 0, 4)

3 = (0, 1, 0) - (0, 0, 0) - (16

0)(0, 0, 4) = (0, 1, 0)

4 = 4 - 11

14

ww

wv1 -

22

24

ww

wv2 -

33

34

ww

wv3

4 = (1, 2, 3)4

)0,0,2()3,2,1((2, 0, 0) -

16

)4,0,0()3,2,1((0, 0, 4) -

)0,1,0()0,1,0(

)0,1,0()3,2,1((0, 1, 0)

4 = (1, 2, 3) - (1, 0, 0) - (0, 0, 3) - (0, 2, 0) = (0, 0, 0) G0 = {(2, 0, 0), (0, 0, 4), (0, 1, 0), (0, 0, 0)} BORT = {(2, 0, 0), (0, 0, 4), (0, 1, 0)}

BORTN = {(1, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0)} Ejemplo En el espacio vectorial de matrices simétricas de orden 2 se define el siguiente producto

interno 1 1 2 2

1 1 2 2

a b a b

b c b c= a1a2 + 2b1b2 + c1c2 y el conjunto G = { , ,

, . Determine un conjunto ortogonal a partir de G

BORT = { , , , .

Ejemplo.

Para el espacio vectorial C2 se define el producto interno (ū│ ) = 2

1i

xi yi = (x1, x2)

= (y1, y2) C2 donde i es el conjugado de yi. a) Determinar las normas de los vectores = (4+2i, 5 – 6i), = (3-2i, -2i), = (-2-2i, i)

= 1/2

= = = = 9

= 1/2

= =

= 1/2

= = 3

b) Obtener el ángulo entre y

= angcos( 4 10 )

3 17

R i= angcos

4

3 17 = 108.86°

Propiedades de la distancia entre dos vectores. Si V es un espacio vectorial con producto interno, entonces ū, V. 1. d(ū, ) 0 2. d(ū, ) = 0 y solo si ū = 3. d(ū, ) = d( , ū) 4. d(ū, ) d(ū, ) + d( , )

= 1/2

= 1/2 = 1/2 = = 8

Teorema de Pitágoras. Sea V un espacio con producto interno y sean ū, V. Si ū y son ortogonales, entonces:

2 = 2 + 2 Teorema Desigualdad de Cauchy-Schwarz Sea V un espacio vectorial en C y sea ( │ ) un producto interno en V, entonces ū, V:

2 ≤ donde es el módulo de . Además, la igualdad se cumple si y solo si son linealmente independientes. Ejemplo 1.- Sea B = { 1, 2} una base de un espacio vectorial.

Determine a partir de V una base ortogonal. BORT = { 1, 2} 1 = 1

Proyvect = 2 1

1 1

v v

v v1

2 = 2 - Proyvect

2 = 2 - 11

12

ww

wv1 BORT =

1 2

1 2

w w,

w w

w =

Bw = {(1, 1, 0), (0, 2, 1)} Ortogonalizado

1 = 1 = (1, 1, 0)

2 = 2 - 11

12

ww

wv= 1 = (0, 2, 1) -

)0,1,1()0,1,1(

)0,1,1()1,2,0((1, 1, 0)

= (0, 2, 1) - (2

2)(1, 1, 0) = (-1, 1,1)

BwORT = {(1, 1, 0), (-1, 1, 1)}

BwORT = { }

w = = ieieq + 22 eeq

= )10,1(2

1)0,1,1(

2

1)6,2,0( + )1,1,1(

3

1)1,1,1(

3

1)6,2,0(

= (0 + ) )10,1(2

1 + )

3

6

3

20( )1,1,1(

3

1

= (1, 1,0) - )1,1,1(3

4

= )3

4,

3

1,

3

7(

2.- Para el producto interno usual en R3, obtener el cumplimiento ortogonal S1 de cada uno de los subespacios siguientes de R3 y dar una interpretación geométrica de dichos complementos. a) S1

= {(0,0,z)│z R}

= (a, b, c) R3 {(0, 0, z)│(a, b, c)} = 0

zc = 0

c = 0

a = k

b = t

S ´

1

= {(k, t, 0)│k, t R}

b) S2 = {(x, x,0)│x R}

= (a, b, c) R3 {(x, x, 0)│(a, b, c)} = 0

ax + bx = 0

x(a +b) = 0

a = -b ; a = -t

c = k

b = t

S ´

2 = {(-t, t, k)│t, k R}

3.- Sea w = │a, b R} un subespacio de las matrices cuadradas de orden dos en

R con producto interno definido por (A│ B) = tr(ABT).

Obtener la matriz perteneciente a W más próximo a M =

Bw = { , }

1 = 1 =

2 = 2 = 11

12

ww

wvw1 = -

20

01

20

01

20

01

20

01

01

10

│ = tr = tr20

01= 0

│ = = 5

2 = - 5

0 =

= { , }

BwORT = { , }

21α + 11β + 5γ = 0

α = - 11

21k -

5

21t; β = k; γ = t

w = {(- 11

21k -

5

21t )x2 +kx + t | k, t R }

b) = - ´ 4.- Dado el producto interno en R2 definido por = u1v1 - u1v2 - u2v1 + 3u2v2 donde = (u1, u2, u3) y = (v1, v2).

a) Obtener el valor de K R tal que

la distancia entre los vectores = (1, 3) y = (k, 4) sea igual a . b) Con el vector de k obtenido,

verificar que los vectores y del inciso anterior cumplan la desigualdad de Cauchy-Schwarz. a) d(ū, ) =

= (k-1, 1)

1/2 = 1/2

= 2k 2k 1 k+1-k 1 31/2 = 2k 4k 6

1/2

2 = 2k 4k 6 ; 2k 4k 4= 0; ( k-2 )( k-2 ) = 0; k = 2 b) 2 ≤

= 28 (28)2 ≤ (22)(36) = 22 784 ≤ 792 = 36 Es linealmente independiente.

5.- Obtener una base ortogonal del espacio vectorial F de los polinomios de grado menor o igual a dos con coeficientes reales a partir de la base B = {1, 2t, 2 - 12t + 12t2}

considerando el producto interno = p, q F

1 = 1

2 = 2t - 2t 1

11(1) = 2t -

1

1(1) = 2t – 1

(2t |1) = = t2 1

0= 1

(1 |1) = = t 1

0= 1

3 = 2 - 12t + 12t2 -

2 2 12t 12t 1

11(1) -

2 2 12t 12t 2t 1

2t 1 2t 1(2t – 1)

3 = 2 - 12t + 12t2 -0 -0 = 2 - 12t + 12t2

(2 - 12t + 12t2 |1) = 1

2

0

(2 12t 12t )dt = 2t - 6t2 + 4t3 1

0= 2- 6 + 4 = 0

(2t -1|2t -1) = 1

2

0

(4t 4t 1)dt = 4

3t3 - 2t2 + t 1

0=

4

3 - 2 + 1 =

1

3

(2 - 12t + 12t2 |2t -1) = 1

2 3 2

0

(4t 2 24t 12t+24t 12t )dt =1

3 2

0

(24t 36t 16t 2)dt

= 4 3 26t 12t 8t 2t 1

0= 6 -12 + 8 -2 = 0

6.- Sea el sistema de ecuaciones lineales homogéneo y sea W el espacio solución de dicho

sistema para el producto interno usual en R3, determinar el complemento ortogonal w ,

de W y escribir el vector (9, 1, 4) como la suma de un vector de W mas otro de w . -x + 3y -2z = 0 x= 3y – 2z x = 3k -2t y = y y = k z = z; z = t W = {(3k -2t, k, t) │k, t b R}

BwORT = 0

2

12

10

,

5

20

05

1

= 2

1i

ieieM

= ieieM + 22 eeM

= 20

01

5

1

21

12

20

01

5

1 +

01

10

2

1

21

12

01

10

2

1

= 5

1

5

1tr

20

01

21

12

20

01

+ 5

1

5

1tr

01

10

21

12

01

10

= 5

1tr

4

2

20

01 +

2

1 tr

1

1

01

10

=

5

41

15

2

+ 01

10 =

5

41

15

2

(p│ ) = 2

0

)()(i

iqip p(x), q(x) P2

W = {ax2 + bx + c)│a, b, c R}

a) Obtener w W = {ax2 + ax + -a)│a R} P2 = {αx2 + βx + γ)│α, β, γ R}

a-axaxxx 22 = 0

= γ(-a) + (α + β + γ)(a) + (4α + 2β + γ)(5a) = -γa + αa + βa + γa + 20αa + 10βa + 5γa = a(4α + 2β + γ) = 0 R3 = [(a, b, c)│ a, b, c R] [(3k -2t, k, t) │(a, b, c)] = 0 3ak -2at + kbt + c = 0 k(3a +b) + t(-2a + c) = 0 3a +b = 0 ↔ b = -3a -2a + c = 0 ↔ c = 2a

w = {a, -3a, 2a)│a R} TRANSFORMACIONES LINEALES T: R3→R2 T(x, y, z) = (x, y) Definición Si V y W son espacios vectoriales, una función T: V→W recibe el nombre de transformación, los espacios V y W se llaman, respectivamente dominio y codominio de la transformación. Ejemplo T(x, y, z) = (x, y) T: R3→R2

S(ax2 + bx + c) = S: P2→D

Definición. Sea T: V→W una transformación 1) Se llama recorrido de T al

conjunto T(v) = { T( )│ V }

2) Se llama núcleo de T al conjunto N(T) = { │T( ) = w}

Ejemplo T: R3→R2 definida por T(x, y, z) = (x, y) Dominio: R3 Recorrido: R2 Núcleo: w T(x, y, z) = (0, 0) x = 0; y =0 (x, y) = (0, 0)

T(0, 0, z) = (0, 0) N(T) = {(0, 0, z)│z R }

Definición. Sean V y W dos espacios vectoriales en K, una transformación T: V→W es lineal si 1, 2

V y α K Superposición 1) T( 1 + 2) = T( 1) + T( 2) Homogeneidad 2) T( 1) = αT( 1) Ejemplo Para las siguientes transformaciones determinar si son lineales o no. 1.- T: R3→R2 definida por T(x, y, z) = (x, y) Solución: 1) T( 1 + 2) = T( 1) + T( 2)

T( 1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = ( 1, y1) + (x2, y2) ( 1 + x2, y1 + y2) = ( 1 + x2, y1 + y2) Cumple 2) T( 1) = αT( 1)

T(αx, αy, αz) = α( 1, y1) (αx, αy) = (α 1, αy1) Cumple

T es una transformación lineal.

2.- S: P2→D; S(ax2 + bx + c) =c0

0a

Solución: 1) S( 1 + 2) = S( 1) + S( 2)

1 = a1x2 + b1x + c1; 2 = a2x2 + b2x + c2

S [(a1 + a2)x2 + (b1 + b2)x + (c1 + c2)] = 1

1

c0

0a+

2

2

c0

0a

21

21

cc0

0aa=

21

21

cc0

0aa Cumple

2) S( 1) = αS( 1)

S(αa1x2 + αb1x + αc1) =α1

1

c0

0a

1

1

c0

0a =

1

1

c0

0a Cumple

S es una transformación lineal.

3.- F: R2→R2 F(x, y) = (x2, y) 1 = ( 1, y1) 2 = (x2, y2) 1) F( 1 + 2) = F( 1) + F( 2)

F( 1 + x2, y1 + y2) = ( 2

1x , y1) + ( 2

2x , y2)

[( 1 + x2) 2, y1 + y2] = [ 2

1x + 2

2x , y1 + y2]

F no es una transformación lineal

Teorema.

Si T: V→W es una transformación lineal entonces T( v) = w Teorema. Si T: V→W es una transformación lineal entonces 1) T(v) es un subespacio de W 2) N(T) es un subespacio de T Ejemplo

T: R3→M definida por T(a, b, c) = cb

b1a

Teorema. Si T: V→W una transformación lineal. Si B = , 1, 2,..., n} es una base de V, entonces el conjunto T = {T( 1), T( 2),...,T( n)} es un generador de T(v) Teorema. Si V es un espacio de dimensión finita y T: V→W es una transformación lineal, entonces dim V = dim T(v) + dimT(N) Ejemplo Sea la transformación lineal T: R3→R3 definida por T(x, y, z) = (x + 2y -z, x + y, x + y -2z) a) Obtener una base, la dimensión y el recorrido de T(v) Solución: a) Dominio R3

3RB = {(1, 0, 0),(0, 1, 0), (0, 0, 1)}

T(1, 0, 0) = (1, 0, 1) T(0, 1, 0) = (2, 1, 1) T(0, 0, 1) = (-1, 1, -2)

T(v)G = {(1, 0, 1), (2, 1, 1), (-1, 1, -2)} Generador de T(v)

Espacio Renglón

211

112

101

31

211

2RR

RR

110

110

101

T(v)B = {(1, 0, 1), (0, 1, -1)}

Elemento genérico de T(v) a(1, 0, 1) + b(0, 1, -1) = (a, b, a-b) T(v) = {(a, b, a-b)│a, b V } dim T(v) = 2 b) Determinar la base y la

dimensión de N(T) (x + 2y -z, x + y, x + y -2z) = (0, 0, 0) x + 2y –z = 0 x + y = 0 x + y -2z = 0

211

110

121

31 RR

110

110

121

32 RR

000

110

121

→ x + 2y –z = 0 ….I x + y = 0….II De II y = -z; De I x +2(-z) –z = 0; x = 3z Solución general x = 3t; y = -t; z = t

N(T) = {(3t, -t, t)│t R}; N(T)B = {(3, -1, 1)}

dim N(T) = 1 dim R3 = dim T(v) + dimN(T) 3 = 2 +1

2HA = { , , , }

2PA = {x2, x, 1}

T = x2 + 1; [x2 + 1]B = (1, 0, 1)T

T = - x2 + x; [- x2 + x]B = (-1, 1, 0)T

T = x2- x + 1; [x2- x + 1]B = (1, -1, 1)T

T = x -1; [x -1]B = (0, 1, -1)T

M(H) =

ÁLGEBRA DE FUNCIONES Así como existen operadores con funciones, también se tienen operadores con transformaciones. Por ejemplo se tienen entre otras las siguientes: 1.- Adición. Dada las transformaciones cuyo dominio es el mismo. T: U→V y R : U→V Se define como resultado esta operación. (T + R)( ) = T( ) +R( ) M(T + R) = M(T) +M(R) 2.- Multiplicación por un escalar. Dada la transformación T: U→V y α K, se define la operación por medio de: (αT)( ) = αT( ) M(αT) = αM(T) 3.- Composición. Dada las transformaciones T: U→V y R: V→W, se define la transformación S: V→W como resultado de la composición entre las transformaciones de T y R si y sólo si: S( ) =(RoT) S( ) = R[T( )] En terminus de matrices

3RB = {(1, 0, 0),(0, 1, 0), (0, 0, 1)}

M(T) = M(S) =

S*T(x, y, z) = M(S*T)(x, y, z) M(S)M(T) = M(S*T)

=

M(S*T)(x, y, z) = = = (x +z, -y + z)

Propiedades de las operaciones con transformaciones. 1.- Conmutatividad para la adición. T + S = S +T M(T) + M(S) = M(T + S) 2.- Asociatividad para la adición. (T + S) + R = T + (S + R) [M(T) + M(S)] + M(R) = M(T) + [M(S) + M(R)] 3.- Homogeneidad para el producto por un escalar. α(βT) = (αβ)T; α, β k α*βM(T)+ = (αβ)M(T) 4.- Distributividad entre el producto por un escalar y la adición. (α + β)T = αT + βT ; (α + β)MT = αMT + βMT λ(T + S) = λT + λS ; λ[M(T) + M(S)] = λM(T) + λM(S) [(-8 + 4x)]B = [-8, 4]T

[(4 - 12x)]B = [4, -12]T

M A

B (T) = -8 4

4 -12 ( )A = [a + bx] A

a + bx = α(-1 + x) + β(2 + 2x) a + bx = (-α + 2β, αx + 2βx) -α + 2β = a αx + 2βx = b

4β = a + b -α + 2( ) = a

β = α =

[a + bx] A = T

M A

B (T)( )A = [T( )]B

-8 4

4 -12 = B

T(a + bx) = ( ) –( )x Ejemplo

Sea A =

3 1 1

2 2 1

2 2 0

, su polinomio característico – λ3 + 5λ2 - 8λ + 4

– A3 + 5A2 – 8A + 4I = 0 4I = A3 - 5A2 + 8A 4I = A(A2- 5A + 8I) (A-1)4I = (A-1A)(A2- 5A + 8I) 4A-1= A2- 5A + 8I

A-1 = (A2- 5A + 8I)( )

det(A - λI) = a - b

0 a - = ( a - )( a - ) = 0

(A - λI)B( )B = [T( )]B λ = a de multiplicidad 2

a - b

0 a -

x

y =

0

0

λ = a; 0 b

0 0 del R1 by = 0 → y = 0; x = k

propio = {(k, 0)│k R, k ≠ 0} Eλ = {(k, 0)│k R}

B = {(1, 0)}; P = 1

0 A no es diagonizable

T(-1 + x) = -8 + 4x T(2 + 2x) = 4 - 12x

0 b

0 01 22R R 0 b

0 0;

es base

Otra base de P1 B = {1, x} Espacios característicos

Eλ1 = {(k, 2k)│k R }; 1EB = {(1, 2)}

Eλ1 = {(t, -3t)│t R }; 2EB = {(1, -3)}

Matriz diagonalizada

P = 1 1

2 3; D = P-1AP

D → Matriz diagonal. A → Matriz Asociada a la T. P → Matriz diagonalizadora.

P-1 = --3 -1

-2 1

A = M(T) = 2 -1

6 1

D = - -3 -1

-2 1

2 -1

6 1

1 1

2 3

= - -3 -1

-2 1

4 -1

8 3

= - -20 0

0 5

= 4 0

0 -1

M(H) ?

BM ={ , , , }

Vect. coord. = α + β + γ + δ

H = B = (1, 0, 0, 0)T

H = B = (0, 1, 0, 0)T

H = B = (0, 0, 1, 0)T

H = B = (0, 0, 0, 1)T

T( ) = λ( ) T(x, y)= λ(x, y) (2x + y, 6x + y) = (λx, λy) (2x + y - λx, 6x + y - λy) = (0, 0, 0) Por igualdad de vectores 2x + y – λx = 0; (2 - λ)x +y = 0 6x + y – λy = 0; 6x + (1 - λ) = 0

16

12 x

y =

0

0 ………. I Ecuación Cartesiana

det16

12 = 0

( 2 )(1 ) – 6 = 0 λ2 - 3λ - 4 = 0……… II Polinomio característico (λ - 4)(λ - 1) = 0 λ1 = 4; λ2 = -1 ………….III Valores característicos propios Vectores propios. Para λ1 = 4; sustitución en I

416

142 x

y =

0

0

36

12 x

y =

0

0 Escalonando: -2x + y = 0; y = 2x Solución general: x = K; y = 2k;

λ1 = {(k, 2k)│k R, k ≠ 0} Para λ2 = -1; sustitución en I

)1(16

1)1(2 x

y =

0

0

26

13 x

y =

0

0

Escalonando: 3x + y = 0; y = -3x Solución general: x = t; y = -3t; λ2 = {(t, -3t)│t R, t ≠ 0 }

M(H) = = A; det A = 1 = -1 ≠ 0 H no existe

A-1

= 32 RR

H-1

(A) = AT