apuntes algebra lineal unam

A P U N T E S D E L G E B R A L I N E A L

Universidad Nacional Autnoma de Mxico Facultad de Ingeniera. M.I. Luis Cesar Vzquez Segovia Grupo: Semestre: 2010-2

TEMA 1.- ESPACIOS VECTORIALES. Definicin. Sea V un conjunto no vaco y sea (k, +, *) un campo. Se dice que V es un espacio vectorial sobre k si estn definidas dos leyes de composicin, llamadas adicin y multiplicacin por un escalar, tales que:

I) La adicin asigna a cada pareja ordenada (, ) de elementos de V un nico elemento + V, llamado la suma de y .

II) , , V: +( + ) = (+ )+ . III) V tal que + = , V. IV) V V tal que + = V) , : u+ = + VI) La multiplicacin por un escalar asigna a cada pareja ordenada (,v) de

elementos de k y V un nico elemento k llado el producto de por .

VII) k; , V: (+ ) = + VIII) , k; V: (+) = + IX) , k; V: ( ) = () X) Si 1 es la unidad de k 1 = , V

A los elementos de V se llama vectores y a los de k se les llama escalares. Ejemplo. R3; F,f: RR Pn M2x2

I

II

III

IV

V

VI

VII

VIII

IX

X

Ejemplo. Sea el conjunto S = {ax2 + ax + b )a,b R} en R y las leyes de adicin y multiplicacin por un escalar usuales. Determinar si S es un espacio vectorial.

i) CERRADURA P1 = a1x

2 + a1x + b1 ; P2 = a2x2 + a2x + b2

P1 + P2 = (a1 +a2)x

2 + (a1 +a2)x + (b1 +b2) se cumple S R ii) ASOCIATIVIDAD P1 + (P2 + P3) = (P1 + P2) + P3 P1 + [(a2 + a3)x

2 + (a2 + a3)x + (b2 + b3)] = [(a1 + a2)x2 + (a1 + a2)x + (b1 + b2)] + P3

(a1+a2+a3)x2 + (a1+a2+a3)x + (b1+b2+ b3) = (a1+a2+a3)x

2 + (a1+a2+a3)x + (b1+b2+ b3) Se cumple iii) E ELEMENTO IDENTICO + P1 = P1 (ex2 + e1x + ei1) + (ax

2 + ax + b) = ax2 + ax + b (e + a)x2 + (e + a)x + (ei + b) = ax2 + ax + b e + a = a e = 0 e + a = a e = 0 (0)x = (0)x2 +(0)x +0 ei + b = b ei = 0 iv) E ELEMENTO INVERSO - + = 0 + p = 0 (Ix2 + Ix + d) + (ax2 + ax + b) = (0)x2 +(0)x +0 (I + a)x2 + (I + a)x + (d + b) = (0)x2 +(0)x +0 I + a = 0 I = -a I + a = 0 I = -a - = = ax2 + ax + b d+ b = 0 d = -b v) CONMUTATIVIDAD P1 + P2 = P2 + P1 (a1+a2)x

2 + (a1+a2)x + (b1+b2) = (a2+a1)x2 + (a2+a1)x + (b2+b1)

vi) MULTIPLICACIN POR UN ESCALAR p = S p = ax2 + ax + b S Se cumple vii) SUMA DE VECTORES POR UN ESCALAR (P1 + P2) = P1 + P2

*(a1+a2)x2 + (a1+a2)x + (b1+b2)+ = (a1x

2 + a1x + b1) + (a2x2 + a2x + b2)

(a1+ a2)x2 + (a1+ a2)x + (b1+ b2) = (a1+ a2)x

2 + (a1+ a2)x + (b1+ b2) Se cumple viii) SUMA DE ESCALARES POR UN VECTOR ( + )p = p + p ( + )a1x

2 + ( + )a1x + ( + )b1 = (a1x2 + a1x + b1) + (a1x

2 + a1x + b1) (a1+ a1)x

2 + (a1+ a1)x + (b1+ b1) = (a1+ a1)x2 + (a1+ a1)x + (b1+ b1)

Se cumple. ix) (p) = ()p (ax2 + ax + b) = ax2 + ax + b ax2 + ax + b = ax2 + ax + b Se cumple X) UNIDAD DEL CAMPO 1p = p 1ax2 + 1ax + 1b = ax2 + ax + b Se cumple

S es un campo vectorial -DEFINICIN DE SUBESPACIO. Sea V un espacio vectorial en K y sea S un subconjunto de V. S es un subespacio de V si es un espacio vectorial en K respecto a la adicin y multiplicacin por un escalar definidas en V. Teorema Sea V un espacio vectorial en K y sea S un subconjunto de V. S es un subespacio de V si y solo si . 1) + = S; Para todo , S 2) = S; Para todo K, S Demostracin V = E3 S = Plano XY S = {(x, y, 0)x, y R} Determine si S es un subespacio. Solucin: 1) + = S; Para todo , S (x1, y1, 0) + (x2, y2, 0) = (x1 + x2, y1 + y2,0) S Se cumple

2) = S; Para todo K, S (x1, y1, 0) = (x1, y1, 0) S Se cumple

S es un subespacio vectorial de V Ejemplo Sea = ,(x, y, z) x + y -z = 2; x, y, z R} Determinar si es un espacio vectorial en R con las operaciones de adicin de vectores y multiplicacin por un escalar usuales. Solucin: x + y -z = 2 ; z = x + y 2 = , (x, y, x + y -2)x, y R} I) 1 = (x1, y1, x1 + y1 -2) ; 2 = (x2,y2, x2 + y2 -2)

1 + 2 = [x1 + x2, y1 + y2, (x1 + x2) + (y1 + y2) 4] no es un espacio vectorial.

Ejemplo.

Sea el conjunto D = { a, b R} determine si D es un espacio vectorial con las

leyes de composicin de adicin de vectores y multiplicacin por un escalar usuales. Solucin:

i) 1 = 1

1

b0

0a 2 =

2

2

b0

0a

1 + 2 = 21

21

bb0

0aa D Se cumple

ii) 1 D

D Se cumple

D es un subespacio vectorial.

Espacios Rn R2 = [(a, b)a, b R] R3 = [(a, b, c) a, b, c R] R4 = [(a1, a2, a3, a4) a1, a2, a3, a4 R] Rn = [(a1, a2, a3, ..., an) a1, a2, a3, ..., an R] R= [aa R] COMBINACIN LINEAL. 1+ 2 = Definicin. Un vector w es una combinacin lineal de los vectores 1+ 2 + 3,..., n si puede ser expresado en la forma = 1 1+ 2 2,..., +n n donde 1,2,..., n son escalares. Ejemplo Sea = (3, 4, -2) = 1+ 2 = 1(1,2,0) + 1(2,2,1) [(1,2,0), (2,2,-2)] [(1,1,-1), (1,2,0)] (3,4,-2) = (1,1,-1) + (1,2,0) (3,4,-2) = (,,-) + (,2,0) (3,4,-2) = ( + , + 2,-) + =3 + 2 = 4 = 2; =1 - = -2 Ejemplo. Sea = (6,7,5) Forma trinmica = 6i + 7j +5k = 6(1, 0, 0) + 7(0, 1, 0) + 5(0, 0, 1) Ejemplo

Sea D = { a, b R}

{ , } a + b =

Ejemplo R2 = [(a, b)a, b R] {(1,0), (1,1), (0,1)} (1,0), (1,1), (0,1) = (a, b) (,0), (, ), (0, ) = (a, b) ( + , + ) = (a, b) + = a

+ = b

Del 2 rengln + = b ; = b - Del 1 rengln + = a ; = a = Solucin = a - k = k k R = b k Definicin. Sea S = { 1, 2,..., n } un conjunto de vectores

1) S es linealmente dependiente si existen escalares 1,2,..., n, no todos son iguales a cero, tales que 1 1+ 2 2 +... + n n =

2) S es linealmente independiente si la igualdad 1 1+ 2 2 +... + n n = , solo se satisface con 1 = 2 =,..., = n = 0

Ecuacin de dependencia lineal 1 1+ 2 2 +... + n n =

B = {00

01,

10

00}

Para B

100

01+ 2

10

00

0 0

0 0

00

01 +

20

00 =

0 0

0 0 1 = 0; 2 = 0

2

1

0

0=

0 0

0 0 B es linealmente independiente

B2 = {(1, 0, 1), (0, 1, 1)}

Teorema

Sea S = { 1, 2,..., n } un conjunto no vaco de vectores de un espacio vectorial V. El conjunto de todas las combinaciones lineales de vectores de S, denotado con L(S), es un subespacio de S.

S = {(1, 2)} a(1, 2) = (a, 2a) F = L(S) F = {(a, 2a) a R }

Teorema

Todo conjunto que contiene al vector es linealmente dependiente.

Demostracin

De la ecuacin de dependencia lineal 1 1, 2 2,..., i i,..., n n = ; i = R

El conjunto es linealmente dependiente.

Definicin. Sea V un espacio vectorial en R, y sea G = { 1, 2,..., n } un conjunto de vectores de V. Se dice que G es un generador de V si para todo R existen escalares 1,2,..., n, tales que,

= 1 1+ 2 2 +... + n n. Definicin. Se llama base de un espacio vectorial V a un conjunto generador de V que es linealmente independiente. Teorema Sea V un espacio vectorial en K. Si B = { 1, 2,..., n } es una base de V, entonces cualquier otra base de dicho est formada por n vectores.

Definicin Sea V un espacio vectorial en K. Si B = { 1, 2,..., n } es una base de V se dice que V es de dimensin n, lo cual denotamos con dimV = n En particular, si V = { }; dimV = 0. Ejemplo R2 = [(a, b)a, b R] B = {(0, 1), (1, 0)} = (-3, 2) (0, 1) + (1, 0) = (-3, 2) (0, ) + (, 0) = (-3, 2) (, ) = (-3, 2) por igualdad de vectores = -3 y = 2 Vector de coordenadas ( )B = (, ) = (2, -3) Definicin Sea B = { 1, 2,..., n } una base de un espacio vectorial V en K, y sea V. Si = 1 1+ 2 2 +... + n n, los escalares 1,2,..., n se llaman coordenadas de en la base B, y el vector Kn ( )B = ( 1,2,..., n)

T se llama vector de coordenadas de en la

base B. ESPACIOS ASOCIADOS A UNA MATRIZ.

A =

Espacio rengln asociado a A G = {(1, 0),(4, 2),(-1, 7)} L(G) = {a(1, 0), b(4, 2), c(-1, 7)a, b, c R}

31214

RRRR

)2/1(2R 327 RR

B = {(1,0), (0,1) } L(B) = {a(1,0) + b(0,1) } dim AR = 2 AR =L(B) = {(a, b)a, b R } Espacio columna

A = AT=

B1 = G1 = {(1, 4, -1), (0, 2, 7)} Ac =L(G1) = {a(1, 4, -1) + b(0, 2, 7)a, b R }

elemento genrico a(1, 4, -1) + b(0, 2, 7) = (a, 4a + 2b, -a + 7b)

Ac = {(a, 4a + 2b, -a + 7b)a, b R } Dim Ac = 1 Corolario

dim AR = dim Ac

Ejemplo

R2 = [(a, b)a, b R] B1 = {(1, 0), (0, 1)}; B2 = {(0, 2), (2, 0)}

Obtener los valores de coordenadas del vector = (-2, 3)

G ={ , , }

Para G

1 + 2 + 3 =

1 0

0 0 + 2

2

0