carolina becerra - apuntes de algebra lineal

Click here to load reader

Post on 26-Oct-2014

169 views

Category:

Documents

19 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

Apuntes deAlgebra LinealCarolinaB.BecerraO.Agosto2010Captulo1Vectoresen RnDenicion1.1. El conjuntodentuplas ordenadas den umeros reales sedenotapor Rnyasuselementosselesllamavectores.Rn=___v=__x1...xn__talquex1, . . . , xn R___Ax1, . . . , xnselesllamacomponentesocoordenadasdelvectorv.Alvectorcuyascomponentessontodas0selellamavectornuloysedenotapor 0 .Denicion1.2. Vectorescanonicos:ei=__0...010...0__ i , parai = 1, . . . , nDenicion1.3. Dados u, v Rnla suma de u y v, denotada por u +ves elvectorcuyascomponentessonlasumadelasrespectivascomponentesdeuy v. Dado R, la ponderacion de u por el escalar R es el vector cuyascomponentessonelproductodeporlasrespectivascomponentesdeu.Esdecir:Siu =__x1...xn__, v=__y1...yn__,entoncesu + v=__x1 + y1...xn + yn__, u =__x1...xn__.3Proposicion1.4. Seanu, v, w Rny, R. Entonceslasoperacionesanterioressatisfacen:u + v Rn.(u +v) + w = u + (v + w).u + v= v + u.u +0 = u.u + (u) = 0 .u Rn.(u +v) = u + v.( + )u = u + u.(u) = ()u.1 u = u.Observacion1.5. Si R,u Rnyu =

0,entonces = 0ou =

0.Denicion1.6. Seanu, v Rn,elproductopuntodeuyv,denotadoporu v,eslasumadelosrespectivosproductosentrecoordenadas.EsdecirSi u =__x1...xn__, v=__y1...yn__, entonces u v= x1y1 +. . . +xnyn=n

i=1xiyi.Proposicion1.7. Seau, v, w Rny R. Entoncesel productopuntosatisface:u v R.u

0 =

0.u v= v u.u (v + w) = u v + u w.(u v) = (u) v.u u 0yu u = 0 u =

0.Ejemplo1.8. ei ej=_1 si i = j0 si i = j.paratodoi, j= 1, . . . , n.Denicion1.9. Normadeunvector:Dadou =__x1...xn__ Rn,u =n

i=1xi2= u u.Denicion1.10. Vectorunitario:vectorquetienenorma1.Denicion1.11. Distanciaentrevectores:d(u, v) = u v.Ejemplo1.12. ei = 1paratodoi = 1 . . . n.d(ei, ej) =_0 si i = j2 si i = j.paratodoi, j= 1, . . . , n.Proposicion1.13. Sean Ryu, v Rn.Entoncesu = ||u.u + v2= u2+v2+ 2u v.|u v| uv.u + v u +v.Denicion1.14. Sean u, v Rn{

0}. El angulo entre dos vectores es talque:cos() =u vuv.Ejemplo1.15. (ei, ej) =_0 si i = j/2 si i = j.paratodoi, j= 1, . . . , n.Denicion1.16. Seanu Rnyb R.ElhiperplanodenidoporuybesH= {x Rn: x u = b}.Sib = 0,sedicequepasaporelorigen.Denicion1.17. Sea {v1, . . . , vm} Rn. Unacombinaci onlineal de losvectoresv1, . . . , vmeselvector1v1 + . . . + mvm,dondei R,paraalgunos1, . . . , m R.Denicion1.18. Sea {v1, . . . , vm} Rn. Unacombinacionlineal convexadelos vectores v1, . . . , vmes 1v1+ . . . + mvm, tal que isonreales nonegativosym

i=1i= 1.Denicion1.19. SeaS Rn. El conjuntogeneradoporS, denotadopor< S>eselconjuntodetodaslascombinacioneslinealesdevectoresdeS.Ejemplo1.20. < e1, . . . en>= Rn.Ejemplo1.21. Rectaen R2.Ejemplo1.22. Rectaen R3.Ejemplo1.23. Rectaen Rn.Ejemplo1.24. Planoen R3.Ejemplo 1.25.En R4sea H= {x R4: x1+x22x3x4= 0talquex1, x2, x3, x4 R}.x H x =__x1x2x3x1 + x2 2x3__parax1, x2, x3 R.x H x = x1__1001__+ x2__0101__+ x3__0012__parax1, x2, x3 R.PorlotantoH=.Ejemplo1.26. Combinacionesconvexasen R2y R3.Proposicion1.27. SeanS, S1, S2 Rn.Entonces< >=< 0 >= { 0 }.0 < S>.< S>escerradobajolasumaymultiplicaci onporescalar.S < S>.S1 S2 < S1>< S2>.S1 < S2>< S1>< S2>.< S>=>.Teorema1.28. SeaS= {v1, v2, . . . , vm} Rn.Siv1escombinaci onlinealdev2, . . . , vm,entonces< v1, v2, . . . , vm>=< v2, . . . , vm>Denicion1.29. SeaS= {v1, v2, . . . , vm} Rn.Seslinealmentedependiente(LD)si existenescalares1, . . . , mnotodosnulostalque1v1 + . . . + mvm= 0 .(sepuedeconstruiralvectorcerodemaneranotrivial).Seslinealmenteindependiente(LI)si noesLD, esdecirsi paracualquier combinaci on lineal 1v1+. . . +mvm= 0 , se tiene necesari-amente que 1= . . . = m= 0. (la unica manera de construir al vectorceroeslatrivial).Observacion1.30. Si 0 S Rn,entoncesSesLD.Proposicion1.31. SeaS Rn.EntoncesSes LD si y solo si existe un vector de Sque es combinaci on lineal delrestodelosvectoresdeS.SesLIsiysolositodosubconjuntodeSesLI.Observacion1.32. Problema importante: Dado un conjunto Sy un vectorben Rn.b < S>?.1.1. Problemas1. Seav1=_132_,v2=_311_,v3=_120_.Determinesiexistena, b, ctalque 0 = av1 + bv2 + cv3.2. Seanv1=u1 + 3u2yv2= u1 + u2vectoresen R3. Demuestrequeexistenescalaresa, b, c, dtalqueu1= av1 + bv2yu2= cv1 +dv2.3. Determineelvectorutalquelaecuaciondelossiguienteshiperplanosseax u = 0.Escrbaloscomoconjuntosgenerados.a) x1 + 4x27x3 + x4= 0en R4.b) x1 + x3x4= 0en R4.c) 2x1 + 2x22x5= 0en R5.d) x1 + x2x3x4= 0en R5.4. Expliqueladiferenciaentre {v1, v2}y< v1, v2>.5. Sean {u1, u2, u3, u4} vectores no nulos de Rntal que u3= 2u15u2+u4.Demuestrequea) u1 < u2, u3, u4>.b) < u1, u2, u3, u4>=< u1, u2, u3>=< u1, u2, u4>=< u1, u3, u4>=6. SeaS= {u1, u2, u3} RnunconjuntoL.I.Demuestrequeelconjunto{u12u2, u2 + 2u3}esunconjuntoL.I.7. SeaS= {u1, u2, u3} RnunconjuntoL.D. Demuestrequeal menosunodelosvectoresdeSescombinaci onlinealdelosotrosdos.8. Demuestreque>=< v1, v2>.9. DemuestrequesiS1 S2,entonces< S1>< S2>.10. DemuestrequesiS1 < S2>,entonces< S1>< S2>.Captulo2SistemadeecuacionesDenicion2.1. Unamatrizesunarregloordenadodemvectoresde Rn.Notacion:A = [v1v2. . . vm].SedicequeAesunamatrizden m,dondemeseln umerodecolumnasyneseln umerodelas.Si vj=__a1,j...an,j__paraj=1, . . . , m, entoncesA=(ai,j), dondeai,jsonloscoecientesoentradasdelamatriz.Denicion2.2. Matriznulaestalquetodossuscoecientesson0.Denicion2.3. Matrizcuadradaestalquen = m.Denicion2.4. MatrizidentidadesunamatrizcuadradadenotadaporItalqueI= [e1. . . en].Denicion2.5. DadaA = [v1v2. . . vm]den myx =__x1...xm__ Rm,elproductodeAporxesAx = x1v1 +x2v2 + . . . + xmvm Rn.Proposicion2.6. SeaAden m,x, y Rmy R.EntoncesA(x + y) = Ax + Ay.A(x) = Ax.A

0 =

0.9Denicion 2.7.Un sistema de ecuaciones Ax = b es tal que A es una matrizden masociadaalsistema,b Rnyx Rm.[A b]eslamatrizampliadadelsistema.Elsistemaeshomogeneosib = 0 ynohomogeneosib = 0 .Elsistemaesconsistentesitienesolucioneinconsistentesinotienesolucion.Denicion2.8. Unamatrizsedicequeestaenlaformaescalonada(F.E.)si:1. a1,1 = 0.2. Si el pivotedelalaiestaenlacolumnaj, entoncesel pivotedelala i +1 esta en la columna k, tal que j< k. (Pivote: primer elementodistintode0delala).3. Laslasnulasestanalnaldelamatriz.Denicion 2.9.Una matriz se dice que esta en la forma escalonada reducida(F.E.R.)si:1. EstaeslaF.E.2. Todoslospivotessonigualesa1.3. Losvectorescolumnaquecontienenpivotessoncanonicos.Denicion2.10. Dadaunamatriz,lasoperacioneslason:1. TipoI:Intercambiardoslas:Fi Fj.2. TipoII:Multiplicarunalaporunescalarnonulo:Fi Fi.3. TipoIII: (pivotear) Sumar aunala, unm ultiploescalar deotra:Fi Fi + Fj.Observacion2.11. Parasolucionar unsistemade ecuaciones se llevalamatrizampliadaasuF.E. oasuF.E.R., usandooperacionesla, luegosereinterpreta el sistema y se resuelve recursivamente hacia arriba. Si el sistemaes consistente, a las variables que quedan en posiciones no pivotes se les llamavariableslibres.Teorema2.12. SeaelsistemadeecuacionesAx = bconAden m,yMlaF.E.R.delamatrizM= [A b].Parab =

0,elsistemaesinconsistentesiysolosiMtieneunaladelaforma[0 . . . 0c]conc = 0,esconsistenteytienesolucion unicasiysolosiMtienempivotes,es consistente y tiene innitas solucionessiy solo siMtiene menos dempivotes(hayvariableslibres).Parab = 0 elsistemaesconsistente( 0 essolucion)ytienesolucion unicasiysolosiF.E.deAtienempivotes,tiene innitas soluciones si y solo si F.E. de A tiene menos de m pivotes(hayvariableslibres).Teorema2.13. Seael sistemaAx=b, utal queAu=bylosconjuntosC1= {x: Ax=b}yC2= {y : Ay =

0}. Entonces x C1si ysolosix u C2.Proposicion2.14. SeaS= {v1, . . . , vm} RnyA=[v1. . . vm]. SesL.I.siysolosielsistemaAx =

0tienesolucion unica.Observacion2.15. SeaS= {v1, . . . , vm} RnyAunamatrizcuyaslassonlosvectoresdelconjuntoS.SesL.I.siysolosilaF.E.delamatrizAnotienelasnulas.Teorema2.16. Seav1, . . . , vmunconjuntodevectoresde Rn. Si m>n,entoncesv1, . . . , vmesL.D.Observacion2.17. SeaS= {v1, . . . , vm} Rn, A=[v1. . . vm] yb Rn.Entoncesb < v1, . . . , vm>siysolosielsistemaAx = besconsistente.Observacion2.18. SeaAden myb1, . . . br Rn, pararesolverAx=b1, Ax=b2, . . . , Ax=brseescalonauna unicamatriz[Ab1b2. . . br] yseinterpretalasolucionparacadasistemaporseparado.Observacion 2.19.Para buscar la intersecci on de n hiperplanos, se resuelveelsistemaasociadoalasnecuaciones.2.1. Problemas1. SeaA=[v1v2v3v4] unamatriz de 3 4. Determine A __2201__suponiendoquev1 + v3= v2yv1 + v4= v32. Encuentrelaformaescalonadareducidadelasmatrices:A =__1 0 1 23 0 0 14 4 0 21 2 0 3__B=__2 2 0 0 12 0 4 2 10 2 1 1 31 1 1 0 1__C=__2 2 11 0 11 0 3__D =__1 1 1 2 10 1 4 0 12 3 3 0 4__3. Determinelasoluciongeneraldelsistemax1 + 3x3= 22x1 +x2 + 3x3= 1x2 + 2x3 + 5x4= 2.4. Determinecondicionessobreaparaqueel siguientesistemanotengasolucionx1 + 2x3= 32x1 + x2 + x3= 4x1 + ax3= 1.5. Sea {v1, v2, v3, v4} R7y M= [v1v2v3v4]. Si M(2e1e3 +e4) =

0,cualeselmnimodelasnulasquetienelaF.E.R.deM?Justique.6. Determinelasoluciongeneraldelossiguientessistemas:a)x1 + 2x2 + x3 + 3x4= 0x2 + x3 + x4= 12x1x23x3x4= 1.b)x1 + x2 + x3= 02x15x3= 22x1 + x2 + 3x3= 1.7. Resuelvalossiguientessistemas:(a) x1 + 2x2 + x4= 8x2x3= 22x1 + 2x2 + x3= 11x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4= 11(b) x1 + x3x4= 0x13x3 + 3x4= 02x1 + x2 + x4= 0x2 + 2x3x4= 0(c) x1 + 2x2= 12x1x23x3= 0x1 +x2 + 2x3= 0x2 + x3= 0(d) x1 +x2 + x3= 02x1 + x23x3= 04x15x2 + 6x3= 0x17x2 + 3x3= 0(e) x1 + x3 + x4= 2x2 + x3= 12x1 + x2x3 + 2x4= 1(f) x1 + 2x2= 5x1 + x2= 3x1 + 2x2 + x3= 4(g) x1 + x4 + x5= 1x2x3 + x5= 0x1 + x3 + x5= 22x1 + x2 + x4= 0(h) x1 + x3= 2x2= 1x1x2= 1x1= 08. Considere el siguiente sistema de ecuaciones, donde a es una constante.x1 +x2 + x3= 1x1 + x2 + ax3= 1ax1 + ax2 + x3= ax1ax2 + ax3= 0a) Determine valores de a para los cuales el sistema es inconsistente.b) Determine valores de a para los cuales el sistema es consistente, yencuentrelasolucion.9. Determine condiciones sobre los n umeros primos p y q tal que el sistemapx1 + qx3=