SEP SEMS DGETI

Subdirección de Enlace Operativo del Estado de México

ÁLGEBRA (Apuntes y ejercicios)

Texto preparado por la profesora Ma. Patricia Correa Soto

CETis Nº 141 “Dr. Manuel Gamio”

San Juan Teotihuacán, Edo. de México,

México.

2012

1

Presentación El propósito general del área de la matemática consiste en: Que el estudiante a través de la apropiación de contenidos fundamentales de las matemáticas, desarrolle habilidades de pensamiento, comunicación y descubrimiento; que le permitan utilizarlas en la reducción de problemas cotidianos y sea participe del desarrollo sustentable de su entorno. Así mismo proporcionar los elementos básicos de la materia requeridos para otras asignaturas. El área de Matemáticas pertenece a la estructura del Bachillerato Tecnológico de la Dirección General de Educación Tecnológica Industrial (DGETI), según las reformas integrales al bachillerato, realizadas en 2004 y 2009. Dicha materia en el modelo propedéutico establecido en los planteles dependientes de la DGETI (CETis y CBTis), se organiza en seis asignaturas denominadas respectivamente, Álgebra, Geometría y Trigonometría, Geometría Analítica, Cálculo (Diferencial), Probabilidad y Estadística y Matemática Aplicada mismas que se imparten de primero a sexto semestre del bachillerato tecnológico. Esta organización pretende que exista un ritmo continuo de conocimientos en la matemática para fortalecer y consolidar la formación propedéutica del estudiante. Además se debe estar consciente de que en el actual Mundo Globalizado, la propuesta fundamental es el conocimiento; que debe ser considerado como un proceso que nos ayuda a encontrar la relación entre la matemática y otras disciplinas del entorno (Química, Física, Biología, Economía, etc.) El campo de aplicación de la matemática es muy amplio y brinda herramientas fundamentales para emplear en contextos cotidianos, dándonos la pauta para abordar problemas, hechos y fenómenos tanto naturales como sociales.

Actividades recomendadas a los alumnos, para que logren un mejor aprovechamiento en la materia

En el salón de clases

En clase, hacer una lectura comentada del texto y luego que el profesor ha explicado el tema; hay que proceder a resolver los ejercicios propuestos de manera individual, Comparar y compartir resultados con compañeros de equipo formados por el profesor, para luego corregir cuando sea necesario tus resultados. Posteriormente hay que hacer la práctica que te indique el profesor, de manera individual, con procedimientos completos anotando estos en una hoja aparte para entregarlas al profesor-facilitador.

Propósito Formativo de la materia Busca desarrollar competencias, especificas en el área dela matemática y competencias genéricas para desarrollar la inteligencia en lugar de acumular saberes

2

Propósito de la asignatura de Álgebra Desarrollar las capacidades del razonamiento matemático haciendo uso del lenguaje algebraico, a partir de la resolución de problemas de la vida cotidiana, dentro y fuera del contexto matemático, representados en modelos donde se aplican conocimientos y conceptos algebraicos, en un clima de colaboración y respeto.

Competencias disciplinares básicas a desarrollar en el curso Las competencias disciplinares básicas a desarrollar, de acuerdo con los lineamientos de la Reforma Integral del Bachillerato de 2009, se organizan en ocho rubros, que son: A) Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos

aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

B) Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. C) Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los

contrastaba con modelos establecidos o situaciones reales. D) Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gràficos,

analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

E) Analiza las reacciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para

determinar o estimular su comportamiento. F) Cuantifica, representa y contrasta experimental y matemáticamente las magnitudes del

espacio y las propiedades físicas de los objetivos que lo rodean. G) Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y

argumenta su pertinencia. H) Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y

científicos

Índice temático de la asignatura Introducción I. Lenguaje Algebraico 1. Expresión algebraica: 1.1. Notación y clasificación 1.2. Representación algebraica de expresiones, en lenguaje común 1.3. Interpretación de expresiones algebraicas 1.4 Evaluación numérica de expresiones algebraicas

3

II. Operaciones fundamentales 2.1. Operaciones fundamentales 2.2. Leyes de los exponentes y radicales 2.3. Productos notables 2.4. Factorización III. Ecuaciones lineales 3.1.1 Resolución y evaluación de ecuaciones con una, dos y tres incógnitas 3.1.2 Sistemas de dos y tres ecuaciones 3.1.3 Métodos de solución 3.2. Ecuaciones cuadráticas; clasificación y métodos de solución. Aplicaciones: Representación algebraica de situaciones reales, identificar, interpretar y utilizar modelos algebraicos.

Bibliografía consultada, recomendada para dudas o profundizar temas del curso

- Baldor, Aurelio 2007 Álgebra, Publicaciones Cultural, Segunda edición, México. - Mata Holguín, Patricia 2005 Matemáticas I, Álgebra. Limusa (Noriega Editores), México. - Bernal Garduño, Ricardo, 2008 Álgebra (Bachillerato); Mc Graw Hill, México - Pulido Chiunti, Antonio. 1994 Matemáticas I, Ed. Nueva Imagen, Colección Alta Educación, México. - Cuellar Carvajal, Juan Antonio. 2004 Matemáticas I, Ed. Mc Graw Hill, México. - Murray R. Spiegel y Robert E. Moyer 2007 Álgebra Superior, Serie Schaum, Editorial Mc Graw Hill, Tercera edición en español, México. - Ortiz Campos, Francisco José 2004 Matemáticas I; Grupo Editorial Patria, México. - Bosch Giral Carlos 2003 Matemáticas Básicas, Limusa (SEP), México. - Aranda García Pedro y otros 1987 Matemáticas I. IPN, México.

4

Bibliografía en línea, recomendada para aclarar dudas o profundizar temas Juegos de aritmética y álgebra www.acanomas.com/ingenio/ http://juegos-matematicos.blogspot.mx/2009/02/aprender-algebra-jugando.html Juegos de ingenio matemático www.geocities.com/juegosdeingenio Operaciones con números naturales www.escolar.com/matem/04sumyres.htm

Potenciación de números naturales http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/poten1.htm El paraíso de las matemáticas, secundaria y preparatoria www.matematicas.net/php/main.php Elementos de álgebra www.phy6.org/stargaze/Malgeb1A.htm Aula virtual de matemáticas http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/aula.htm http://www.youtube.com/watch?v=2XFUzZGrF6g Programas de tutoriales en línea de matemáticas http://www.emagister.com/cursos-gratis/curso-gratis-matematicas-tematica-472.htm Videos de aprendizaje de varios temas de matemáticas http://www.youtube.com/watch?v=4b2Tv46RCME http://www.youtube.com/watch?v=RCmCwxo1AZ0 http://www.youtube.com/watch?v=6WlqzvpKY0s http://www.youtube.com/watch?v=YFFJFFSHPUY http://www.emagister.com/video-factorizacion-trinomio-cuadrado-perfecto http://www.emagister.com/video-algebra-factorizacion-trinomio-caso http://www.youtube.com/watch?v=Vbve3czrkTQ http://www.youtube.com/watch?v=gtHExr11Kho http://www.youtube.com/watch?v=4sYEebddHH0

5

Introducción al curso Cuando la aritmética no le bastó al hombre para resolver los problemas matemáticos que sus diferentes actividades le planteaban, o su misma imaginación le sugería, tuvo la necesidad de idear una nueva ciencia. Lentamente apareció el Álgebra. Ya en Babilonia se habían desarrollado técnicas y métodos para medir y contar, por necesidad para resolver problemas prácticos de agrimensura (medición de terrenos), intercambio comercial y desarrollo de técnicas cartográficas. Pueblos antiguos ya la utilizaban entre otros los Egipcios (hacia el 1700 a.C.); los griegos (del siglo VI a.C.al III d. C.); los Indues (del siglo V al XII), los árabes (del siglo IX al XV), los europeos en el siglo X cuando fue introducida por los árabes. Es del siglo III d.C. que se conserva la obra más antigua del Álgebra y es de Diofante de Alejandría. Fueron los árabes quienes le dieron a la nueva ciencia un nombre: Aljabr El Álgebra tal como la conocemos, inició en Europa en el siglo XIII. Los numerosos cambios que ocurrieron en Europa a partir del siglo XIV, favorecieron y casi impusieron la conformación del álgebra: Con el mercantilismo nació una nueva ideología en la que se rindió culto a la cuantificación y maximización de utilidades y costos. El Renacimiento y surgimiento de la burguesía creó la necesidad social de la contabilidad y surgieron individuos cuyo oficio fue llevar inventarios, calcular réditos y ganancias de los mercaderes; se hizo necesaria una ciencia más poderosa que la aritmética que permitía realizar estas y otras operaciones. Fueron los matemáticos italianos quienes a inicios del siglo XVI desarrollaron verdaderamente una teoría sistemática para la solución de ecuaciones. Los grandes matemáticos de ese tiempo fueron Scipione del Ferro, Luca Pacioli, Niccoló Tartaglia, Girolamo Cardano, Ludovico Ferrari, Rafael Bombelli y François Viéte, entre otros, quienes descubrieron formulas generales para resolver las ecuaciones de tercero y cuarto grado; también introdujeron el uso de los números complejos. Durante el siglo XVII, Viéte y Descartes perfeccionaron el simbolismo algebraico y Girard formuló en 1629 el llamado teorema fundamental del álgebra, según el cual, “en el campo de los números complejos, una ecuación algebraica de grado n, tiene exactamente n raíces”; la primera demostración completa de este teorema fue dado por el francés C. F. Gauss. El nacimiento del álgebra moderna puede considerarse relacionado con la obra de E. Galois, quien redujo el estudio de las ecuaciones algebraicas al de los grupos de permutaciones de sus raíces en 1830. Para el siglo XIX se desarrollaron la teoría de los cuerpos y las álgebras lineal y multilíneal.

Definición de Álgebra: Es una rama de la Matemática, que generaliza las operaciones aritméticas empleando números, letras y signos; cada letra o signo simboliza un número u otra entidad matemática. Rama de la matemática que estudia la cantidad considerada del modo más general posible.

6

En álgebra para lograr la generalización, las cantidades se representan por medio de letras, las cuales pueden representar todos los valores. Así a representa el valor que nosotros le asignamos y por tanto puede representar 20 o más de 20 o menos de 20 a nuestra elección. Cuando en un problema le asignamos una letra un valor determinado, esa letra no puede representar, en el mismo problema, otro valor distinto del que le hemos asignado. Capítulo I. LENGUAJE ALGEBRAICO 1. Expresión algebraica

1.1. Notación y clasificación Los símbolos utilizados en Álgebra para representar cantidades conocidas determinadas son números y para representar cantidades conocidas o desconocidas se utilizan letras. Las cantidades se pueden expresar con las letras del alfabeto (a, b, c, d,……… m, n, o, p q,…….. w, x, y, z). Una misma letra puede representar distintos valores diferenciando por medio de comillas; a, a’, a’’, a’’’ y se lee (a, a prima, a segunda, a tercera, etc.) Signos algebraicos: Los signos del álgebra son de tres clases: a) Signos de operación: En álgebra se realizan las mismas operaciones que en aritmética y se utilizan: El signo de la suma es + que se lee más. Ej. a + b (a más b)

1.- Para sumar dos números con signos iguales, suma sus valores absolutos y coloca el signo común. Ej. 3 + 4 = 7 ; (- 7) + (- 5) = -12 2.- Para sumar dos números con signos diferentes, encuentra la diferencia entre sus valores absolutos y

coloca el signo del número que tenga el mayor valor absoluto. Ej. 17 + (-8) = 9 ; -6 + 4 = -2 ; -18 + 15 = -3

Valor absoluto: El valor absoluto de una cantidad es el número que representa la cantidad prescindiendo del signo o sentido de la cantidad. Ej. /8/ = 8 ; /-20/ = 20 ; /-7/ = 7 El signo de la resta es – que se lee menos. Ej. a – b (a menos b)

1.- Para restar un número b de otro número a, cambia la operación a suma y reemplaza b por su opuesto, -b. Ej. 12 – 7 = 5 ; -9 -4 = -13 ; -2 – (-8) = 10

7

El signo de la multiplicación es x que se lee por. Ej. a x b (a multiplicado por b) También suele usarse un punto entre los factores en vez de x o bien colocando los factores entre paréntesis. Ej. a . b, (a) (b) equivalen a a x b. Entre los factores literales o entre el factor numérico y uno literal el signo de multiplicación suele omitirse. Así abc = a x b x c; 5xy = 5 (x) (y). Si uno de los factores es cero el producto será cero. El signo de la división es ÷ que se lee dividido entre. Ej. m/n , equivalen a m ÷ n

1.- Para multiplicar o dividir dos números que tengan signos iguales, multiplica o divide sus valores

absolutos y no antepongas ningún signo. Ej. (5) (3) = 15 ; (-5) (-3) = 15 ; -6 ÷ -3 = 2 ; 6 ÷ 3 = 2

2.- Para multiplicar o dividir dos números que tengan signos diferentes, multiplica o divide sus valores absolutos y antepón el signo menos. Ej. (-3) (6) = - 18 ; (3) (-6) = - 18 ; -12 ÷ 4 = - 3 ; 12 ÷ - 4 = - 3 El signo de la elevación a potencia, es el exponente, que es un número pequeño colocado arriba y a la derecha de una cantidad, el cual indica las veces que dicha cantidad (llamada base) se toma como factor. Ej. a3 = (a) (a) (a) ; b5 = (b) (b) (b) (b) (b) Cuando una letra no tiene exponente, su exponente es la unidad, por lo que equivale a a1 ; así por ejemplo 5 = 51 ; 17 = 171 Cualquier número distinto a cero elevado a la cero, es igual a 1 (uno) Ej. 60 = 1 ; 1000 = 1 ; 15000 = 1 ; 7000,0000 = 1 El signo de raíz es , llamado signo radical y bajo este signo, se coloca la cantidad a la cual se le extrae la raíz.

Ej. raíz cuadrada de a raíz cubica de b b) Signos de relación Se emplean para indicar que existen dos cantidades: El signo de igual a, es = Ej. a = b ; 3 = 3 El signo de mayor que, es > Ej. x > m (x mayor que m) El signo de menor que, es < Ej. a < b (a menor que b) c) Signos de agrupación Son el paréntesis ordinario, ( ), el paréntesis angular o corchete [ ], las llaves { }, y la barra o vínculo ——

8

Estos signos indican que la operación colocada entre ellos, debe efectuarse primero. Ej. (a + b) c , indica que el resultado de la suma de a y b , debe multiplicarse por c Ej. { a + b} ÷ { c - d} , indica que la suma de a y b , debe dividirse entre la diferencia de c

y d

Coeficiente En el producto de dos factores, cualquiera de los dos factores es llamado coeficiente del otro factor. Ej. 3a El factor 3 es coeficiente del factor a , e indica que el factor a se toma como

sumando tres veces; es decir 3a = a + a + a En el producto de mas de dos factores, uno o varios de ellos, son el coeficiente de los restantes.

Ej. abcd Donde a es el coeficiente de bcd ; ab es coeficiente de cd y abc es coeficiente de d .

Cuando una cantidad no tiene coeficiente numérico, su coeficiente es la unidad. Ej. b equivale a 1b ; abc equivale a 1abc Cantidades aritméticas y algebraicas Una cantidad aritmética expresa solamente valor absoluto de las cantidades representadas por los números, pero no nos dice el sentido o valor relativo de las cantidades. Las cantidades algebraicas en cambio, expresan el valor absoluto y además su sentido o valor relativo por medio del signo. Los signos de + y — , tienen en álgebra dos aplicaciones: Indicar las operaciones de suma y de resta y además, indicar el sentido o condición de las cantidades. I.- Resuelve las siguientes operaciones. 1.- ( 9 – 6 ) ÷ 3 + ( 15 – 3 ) ÷ ( 7 – 3 ) + ( 9 ÷ 3 ) = 2.- (6 + 5 + 4) 3 = 3.- (20 – 15 + 30 – 10) 5 = 4.- 40 + [25 – (3 + 2)] = 5.- 520 + [8 – 3 + {9 – (5)}] = Realiza los ejercicios que tu profesor te proporcionara.

1.2. Representación algebraica de expresiones, en lenguaje común Una expresión algebraica, es aquella en la que se combinan números, letras y signos de operación. Término Es una expresión algebraica que consta de uno o varios símbolos, que no están

separados entre sí , por el signo de + y — . Ej. 3b ; 2xy ; 4a / 3x ; , etc.

9

Elementos a) Signos Son términos que pueden ser positivos (precedidos por el signo +) y negativos

(precedidos por el signo —) Ej. 13 x, 8 x , 3 xy, 54 abc (positivos) Ej. – x , - 5 bc , - 32 y (negativos) b) Coeficiente Generalmente el principio, de los factores del término Ej. 5a ; -3 a2 x3 ; 10 b c) Literal Constituida por las letras que haya en el término. Ej. 5xy; 3ab; 6xy d) Grado absoluto Es la suma de los exponentes de sus factores literales. Ej. 4a = primer grado a’ ab = segundo grado a’ + b’ = 2 a2b = tercer grado, a2 + b2 = 3 5a 4 b3 c2 = noveno grado, etc. e) Grado con relación a una letra Es el exponente de dicha letra Ej. bx3 es de primer grado en b y tercer grado en x Una constante es una magnitud que siempre tiene el mismo valor y la variable es un número cualquiera que puede tomar diferentes valores. El lenguaje común se puede expresar en lenguaje algebraico y viceversa; el lenguaje algebraico se puede expresar en lenguaje común. Ej. Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones verbales: 1.- Un número cualquiera x 2.- La suma de dos números x + y 3.- La diferencia de dos números x - y 4.- El producto de dos números xy 5.- El cociente de dos números x/y 6.- La suma de dos números dividida entre su diferencia

7.-El cubo de un número x3

8.- El doble del cubo de un número 2 x3 9.- La suma de los cuadrados de dos números x2 + y2

10

10.-El cuadrado de la suma de dos números (x + y) 2

11.- La tercera parte del cubo de un número

12.- El número que agregado a 3 suma 8 x + 3 = 8 13.- El número que disminuido a 20 da por diferencia 7 20 – x = 7

1.3.- Interpretación de expresiones algebraicas El lenguaje algebraico se puede expresar en lenguaje común. Escribe al lenguaje común las siguientes expresiones algebraicas. 1.- La mitad de la diferencia de dos números cualquiera; o la semidiferencia de dos

números 2.- (x + y) 3 El cubo de la suma de dos números 3.- x3 + y3 La suma de los cubos de dos números 4.- 3 ( x – y) El triple de la diferencia de dos números 5.- (x + y) (x – y) El producto de la suma por la diferencia de dos números 6.- La raíz cuadrada de un número 7.- 3x + 2y La suma del triple de un número más el doble de otro 8.- El reciproco de un número

9.- El reciproco de la diferencia de dos números

10.- La semisuma de dos números

11.- - La diferencia de los recíprocos de dos números

12.- x3 Las dos terceras partes del cubo de un número

13.- El recíproco del producto de dos números

En álgebra es muy importante saber expresar las proposiciones verbales comunes en proposiciones con lenguaje algebraico y viceversa por lo que debemos recordar el resultado de cada una de las cuatro operaciones fundamentales. 1.- De la adición es suma y las palabras que indican adición son: aumentar, mayor que, mas,

incrementar y mas grande que.

11

2.- De la sustracción es resta o diferencia; algunas palabras que indican sustracción son menos,

disminuir, menor que y perder 3.- De la multiplicación es el producto y algunas palabras que indican multiplicación son

multiplicado, doble, triple, cuádruple veces. 4.- De la división es cociente; las palabras que indican división son dividido entre, mitad, tercera,

razón. Realiza las prácticas que tu profesor te facilitara

1.3. Evaluación numérica de expresiones algebraicas Es el resultado que se obtiene al sustituir letras por valores numéricos dados y efectuar después las operaciones indicadas. Considera que en la expresión 3x4 + 5x3 + 4x2 + 6x +8; x representa un número real; observa que ocurre con la expresión (polinomio) al asignarle un valor de 10 a su variable x. 3 x4 + 5 x3 + 4 x2 + 6 x + 8 = 3(10)4 + 5 (10)3 + 4 (10)2 + 6 (10) + 8 = 3(10000) + 5 (1000) +

4 (100) + 60 + 8 = 30000 + 5000 + 400 + 60 + 8 = 35468 Encontramos que la expresión (polinomio), representa al número 35468 , cuando x vale 10. Al proceso que consiste en determinar el número representado por una expresión algebraica, cuando se le asignan valores específicos a sus variables, se le llama evaluación de la expresión; el número obtenido de la evaluación se conoce como valor numérico de la expresión algebraica. Ej. Calcula el valor numérico de la siguiente expresión, para el valor asignado a la variable : 2 x3 – 13 x2 + 29 x + 1 ; para x = 10 2 (10)3 - 13 (10)2 + 29 (10) + 1 = 2 (1000) - 13 (100) + 290 + 1 = 2000 - 1300 + 290 + 1 = 99 Ejercicios: Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones para los valores asignados a las variables. 1.- 2x3 -13x2 + 29x + 1 para x = 10 2.- x3 + 5x2y2 – 2 (x – 3y) para x = ½ y= - 1/3 3.- 3ab para b = 2 a = 1 c= 3 4.- 5 a2b3c para b = 2 a = 1 c= 3

5.- Q = 3 ( a+ b) – 4 ( c – b ) + para a = 2 b = 3 c = 1

12

Realiza las prácticas que tu profesor te facilitara

II.- Operaciones Fundamentales

2.1. Suma, resta, multiplicación y división de polinomios: Clasificación de expresiones algebraicas: Por el número de términos que puede tener una expresión algebraica, se han considerado para su clasificación de la siguiente manera: Monomio: Expresión algebraica que consta de un solo término Ej. 3a, -5bz, x3/y2

Polinomio: Expresión algebraica que consta de más de un término, que están separados por un

signo ( + ) o ( - ). Ej. a + b + c ; 5x3 + x2 – 7x + 2 Grados de un polinomio: Como en el caso de los términos, los polinomios también tienen dos

tipos de grados: Grado absoluto: Corresponde a la suma de los grados absolutos de sus términos. Ej. 3 a3 b c2 , 3 +1 + 2 = 6 , grado 6 Tomamos la suma como el mayor grado absoluto y tenemos un polinomio de grado 6 Grado relativo: Corresponde al mayor exponente de cada una de las literales. Ej. – 7 a4 b2 c3 ; cuarto grado para a, segundo grado para b y tercer grado para c Orden de un polinomio: Se determina a partir de organizar los grados de cada término de forma

ascendente o descendente según se requiera. Esto significa identificar que grado tiene cada término de la expresión algebraica para después ordenarlos según se requiera.

Ej. 5x3 + x5 – 3x + x4 – x2 + 6 Orden ascendente 6 – 3x – x2 – 5x3 + x4 + x5 Orden descendente x5 + x 4– 5x3 –x2 -3x + 6 Términos semejantes: Los términos de una expresión algebraica con el mismo factor o literales

son llamados términos semejantes, es decir, son aquellos que tienen la misma parte literal, con ls mismos exponentes, sin importar el coeficiente.

Ej. 3xy , -2xy , , o bien , 5

Los términos semejantes de una expresión algebraica pueden reducirse entre sí. Para reducir o simplificar términos semejantes se debe convertir a un solo termino, dos o más términos semejantes; mediante la suma o resta, tomando en cuenta el signo de cada término. Ej. 3 a2 + a – a2 – 3 + 2a = 3 a2 – a2 + a + 2 a - 3 = 2 a2 + 3 a - 3 - a + b + 2b – 2c + 3a + 2c -3b = - a + 3 a + b +2b – 3b -2c + 2c = 2 a

13

Suma de polinomios: Sumar dos o más expresiones algebraicas, significa simplificar todos los términos que sean semejantes. En aritmética la suma siempre significa aumento, pero en álgebra la suma es un concepto más general, ya que puede realizarse entre números positivos y negativos, lo que puede significar aumento o disminución. En general se indican las expresiones unas a continuación de las otras con sus propios signos y se reducen los términos semejantes si es que los hay. Reglas para sumar : “La suma de dos términos semejantes con signos iguales (positivos o

negativos) es igual a otro término semejante cuyo coeficiente es igual a la suma de los valores absolutos de sus coeficientes numéricos precedidos del signo común”

La suma de dos términos semejantes con signos diferentes es igual a otro término semejante, donde el coeficiente se obtiene sustrayendo el valor absoluto menor de sus coeficientes numéricos del mayor valor absoluto y tomando el signo del coeficiente numérico que tiene el mayor valor absoluto. Para sumar un monomio se escriben unos a continuación de otros, dos o más expresiones algebraicas con sus propios signos y se reducen los términos semejantes si es que los hay. Ej. 5 a, 6b y 8c = 5 a + 6b + 8c ya que no hay términos semejantes Ejercicios: Suma los siguientes monomios: 1.- 3 a2 b , 4 ab , ab2 , 7 ab2 y 6 b3

2.- - 11 my , 8 m 3.- - ½ x y , - ½ x y 4.- ½ x, y , x

5.- a , - 3 b , - 8 c , 4 b , - a , 8 c Realiza la práctica que tu profesor te proporciona Para sumar polinomios se toman en cuenta las reglas mencionadas y tenemos: Ej. 5 xy + 8 xy = 13 xy 3 ab + (- 8ab) = 3 ab – 8 ab = -5 ab Ejercicios: Suma los siguientes polinomios. 1.- 2 xy + (-3x) + 2y + (-5x) + 7y + (-3) + (-xy) + 4 = 2.- (x2 + 5x2 – 7x2 ) + ( -2x + 4x – 3x) = 3.- 7 a – 8b – 15 a + a + b – 4 c = 4.- (8 a – 3 b + 5 c – d) + ( - 2 b + c – 4 d) + ( - 3 a + 5 b – c ) = 5.- 3 a + 2 b – c + 2 a + 3 b + c =

14

Realiza la práctica que tu profesor te proporciona Resta (Sustracción) de polinomios La resta o sustracción es una operación que tiene por objeto, dada una suma de dos sumandos (minuendo) y uno de ellos (sustraendo), hallar el otro sumando (resta o diferencia) Regla para restar : “Se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo

con los signos cambiados y se reducen los términos semejantes, si los hay.” Ej. Resta 4 b de 2 a = 2a - 4b

Resta 4 a2 b de -5 a2 b

- 5 a2 b - 4 a2 b - 9 a2 b Ejercicios: Resta los siguientes monomios: 1.- 11 m2 restar 25 m2 = 2.- -7 xy restar -5 yz = 3.- - 6 x2 y restar - x2 y = 4.- - 236 ma restar – 19 ma = 5.- Restar 3/8 m3 de 7/10 m3 = Realiza la práctica que tu profesor te proporciona Resta de polinomios: A 4x – 3y + z resta -2 x + 5z – 6 Para comprobar el resultado a la diferencia 4 x – 3 y + z Minuendo le sumamos el sustraendo y debe dar el - 2 x - 5 z + 6 Sustraendo minuendo. 2 x – 3 y – 4 z + 6 Diferencia Ejercicios: Resta los siguientes polinomios: 1.- Restar -4 a5 b – a b5 + 6 a3 b3 – a2 b4 – 3 b6 de 8 a4 b2 + a6 – 4 a2 b4 + 6 a b5 2.- Restar -8 a2x + 6 – 5ax2 – x3 de 7 a3 + 8 ax2 – 4 3.- Restar -y2 +3x2 -4xy de x2 + y2 – 3xy 4.- Restar 4ac + 8ab -5cd + 5de de ab + 2ac -3cd – 5de 5.- Restar 14mn2 - 21m2n + 5m3 – 18 de 5m3 - - 9n3 + 6m2n – 8mn2

Realiza la práctica que tu profesor te proporciona

15

Multiplicación de polinomios Operación que con dos cantidades (multiplicador y multiplicador) tiene por objetivo, hallar una tercera cantidad llamada producto. Multiplicador y multiplicando son los factores del producto. Al multiplicar dos números precedidos por algún signo, es necesario conocer el signo del producto. Para responder a esto es necesario recordar la regla de la multiplicación de los signos: Regla de los signos : El producto de dos signos iguales es positivo [(+) (+) = + y ( - ) ( - ) = +] y

el producto de dos signos diferentes es negativo [ ( - ) ( + ) = - y ( + ) ( - ) = - ].

El signo del producto de varios factores es (+ positivo) cuando tiene un número par de factores negativos, o ninguno. El signo del producto de varios factores es ( - negativo) cuando tiene un número impar de factores negativos. Cuando multiplicamos potencias de la misma base, se escribe la misma base y se le pone como exponente la suma de los exponentes de los factores. Ej. a + a2 + a5 = a2+5 = a7 El coeficiente del producto de dos factores es el producto de los coeficientes de los factores. Ej. (30 a) (4 c) = 120 ac Regla sobre la multiplicación de monomios: “Se multiplican los coeficientes y a continuación de este producto se escriben las letras de los factores en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores. El signo del producto estará dado por la ley de los signos” Ejercicios: Multiplica los siguientes monomios. 1.- 2 a2 por 3 a 3

2.- - a b2 por 4 am bn c3 3.- (ax +1 b x +2) (-3 x +2 b3) = 4.- (am) (am+1) = 5.- (2a) (-3a2 b) (-ab3) = 6.- (1/2) x3 • (2/3) a2x • (3/5) a4m = Realiza la práctica que tu profesor te proporciona Regla sobre la multiplicación de polinomios por monomios: “Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso, la regla de los signos, y se separan los productos parciales con sus propios signos” Ejercicios: Multiplica los siguientes polinomios y monomios. 1.- (3x2 – 6 x + 7) (4 ax3) = 2.- (3x3 - x2) (- 2 x) = 3.- (m4 – 3m2 n2 + 7n4) (- 4 m3 x) = 4.- (8 x2 y – 3 y2) (2 a x3) = 5.- (am bn + am-1 bn+1 - am-2 bn+2) (3 a2 b) =

16

Realiza la práctica que tu profesor te proporciona Regla sobre la multiplicación de polinomios por polinomios: “Se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta, la ley de los signos, y se reducen los términos semejantes”. Ejercicios: Multiplica los siguientes polinomios 1.- (3 + a) (a - 4) = 2.- (2 + a2 – 2a – a3) (a + 1) = 3.- (m3 – m2 + m – 2) (am + a) = 4.- (- 4y + 5x) (– 3 x +2y) = 5.- (an b – an-1 b2 + 2an-2 b3 – an-3 b4) (an b2 – an-2b4) = Realiza la práctica que tu profesor te proporciona División de polinomios Es una operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente). De esta definición, se puede deducir que el cociente multiplicado por el divisor, reproduce el dividendo. Se utiliza la misma ley de los signos, que en la multiplicación de polinomios. Ley de los exponentes “Para dividir potencias de la misma base, se deja la misma base y se le pone de exponente la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor” Ej. a5 ÷ a3 = a5-3 = a 2

Ley de los coeficientes “El coeficiente del cociente, es el cociente de dividir el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor”. Ej. 20 a2 ÷ 5 a = 4 a2-1 = 4 a

Regla para la división de monomios “Se divide el coeficiente de dividendo entre el coeficiente del divisor y a continuación, se escriben en orden alfabético las letras, poniéndole a cada letra un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el divisor. El signo lo da la ley de los signos”. Ejercicios: Divide los siguientes monomios 1.- 4 a3 b2 ÷ - 2 a b =

2.- 14 a3 b4 ÷ - 2 a b2 =

3.- - xm yn za ÷ 3 x y2 z3 =

4.- 5 m2 n ÷ m2 n =

5.- (2/3) a2b3c ÷ - (5/6) a2bc = Realiza la práctica que tu profesor te proporciona

17

Regla para la división de polinomios por monomios “Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio, separando los cocientes parciales con sus propios signos : A esta regla se le conoce como la ley distributiva de la división”. Ejercicios: Divide los siguientes monomios y polinomios 1.- 3 a3 - 6 a2 b + 9 ab2 ÷ 3a =

2.- 6 m3 - 8 m2n + 20 m n2 ÷ - 2 m = 3.- 2 am _ 3 am+2 + 6am +4 ÷ 3 a3 =

-3a3 - 3a3 - 3a3 4.- 6 a8b8 _ 3 a6b6 _ a2 b3 ÷ 3 a2b3 =

3a3b3 3a3b3 3a3b3 5.- 8 m9n2 _ 10 m7n4 _ 20 m5n6 + 12m3n8 ÷ 2 m2 =

2m2 2m2 2m2 2m2

Regla para la división de dos polinomios “Se ordena el dividendo y el divisor con relación a una misma letra; luego: 1.- Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor y tendremos el primer

término del cociente. 2.- Este primer término del cociente, se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del

dividendo, para lo cual se le cambia el signo, escribiendo cada término debajo de su semejante. Sí algún término de este producto no tiene término semejante en el dividendo, se escribe en el lugar que le corresponda, de acuerdo con la ordenación del dividendo y divisor.

3.- Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor y tendremos el segundo

término del cociente. 4.- Este segundo término del cociente, se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del

dividendo, cambiando los signos. 5.- Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan las

operaciones anteriores y así sucesivamente hasta que el residuo sea cero”. Ejercicios: Divide los siguientes polinomios 1.- 3 x3 + 2 x2 - 8 ÷ x + 2 =

2.- a3 + 2 a - 3 ÷ a + 3 = 3.- 5 a2 + 8 ab - 21 b2 ÷ a + 3b = 4.- a4 – a2 – 2 a - 1 ÷ a2 + a + 1 = 5.- x6 + 6 x3 - 2 x5 – 7 x2 – 4 x + 6 ÷ x4 – 3 x2 + 2 = Realiza la práctica que tu profesor te proporciona

18

2.2. Leyes de los exponentes y radicales Los científicos con frecuencia necesitan trabajar con cifras muy grandes o muy pequeñas, lo que les obliga a buscar métodos más cómodos para expresarlas.

Ejemplo: La masa del globo terráqueo tiene alrededor de:

6 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000 gr. ó bien, el átomo de hidrógeno tiene una masa aproximada de

0. 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 166 gr. Para lo cual, utilizamos símbolos como la notación exponencial:

Ejemplo: La multiplicación de (a•a), esto es, a por a, se escribe a2 , que se lee:

“a” cuadrada ó “a” a la segunda potencia. En general, en la expresión an , “a” recibe el nombre de base y “n”, el de exponente ó índice de la potencia y se lee “potencia enésima de a” ó bien, “a” a la “n” Exponente entero positivo Si “n” es un entero positivo, an representa el producto de n factores iguales a “a”

Así pues a4 = a • a • a • a ; x3 = x • x • x ; (-3)3 = (-3) • (-3) • (-3) = 27 ;

25 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 32 Exponente entero negativo: Si n es un entero positivo y a y b son tales que an = b, por definición a es la raíz enésima de b. Si b es positivo solo hay un número positivo a tal que an = b. Dicho número se representa por n√b y recibe el nombre de la raíz enésima principal de b. Ejemplo: = 2 ó bien, -2 , ya que ambos resultados nos dan lugar a 16. 24 = 2 • 2 • 2 • 2 = 46 ; - 24 = -2 • -2 • -2 • -2 = 46 = - 3 ; - 33 = -3 • -3 • -3 = - 27 Si b es negativo, no existe una raíz enésima positiva de b, pero si una raíz enésima negativa de b, siempre que n sea impar. Este número negativo recibe el nombre de raíz enésima principal de b, y se representa por Exponentes racionales Si m y n son enteros positivos, por definición am/n = m siempre que a > 0 ó si n es par

Ejemplo: 43/2 = ; = 8 ; 272/3 = ; = = 9 Si m y n son enteros positivos por definición a-m/n = 1/am/n

19

Ejemplo: 8 -2/3 = • 1/12/3 = = =

X-5/2 = =

Por definición, a0 = 1 siempre que a ≠ 0 Ejemplo: 100 = 1 ; - 30 = 1 ; (ax)0 = 1 ; (10, 000)0 = 1 Nota: 00 no está definida Leyes de los exponentes: Si p y q son números reales ≠ de cero se cumplen las siguientes leyes o reglas; si m y n son números enteros no negativos. 1ª Ley: Producto de dos potencias de la misma base: El producto de dos potencias de la misma base (distintas de cero) es igual a la base elevada a la suma de los exponentes. Ej. am • an = am+n ; x3 + x4 = x3+4 = x7 ; bx + by = bx+y ; m2 + mm = m2+m

2ª Ley: Potencia de otra potencia: La potencia de otra potencia de la misma base (distinta de cero), es igual a la base elevada al producto de los exponentes. Ej. (am)n = am+n ; (34)2 = 34•2 = 38 ; ( m2)5 = m2•5 = m10 ; (x3)y = x3y

3ª Ley: Potencia de un producto: La potencia de un producto es igual al producto de los dos factores elevados a la misma potencia. Ej. (ab)m = am • bm ; (3•4)2 = 32 • 42 ; (x y)m = xm • ym ; (2 • 3)3 = 23• 33 = 8 • 27 = 216 4ª Ley: Potencia de una fracción: Para elevar una fracción a un exponente, el numerador y el denominador se elevan a dicho exponente. Ej. ( a ÷ b )m = am ÷ bm ; (3/4)2 = 32 ÷ 42 ; (x/y)2 = x2 ÷ y2

5ª Ley: Potencia de un Cociente: “El cociente de dos potencias de la misma base distinta de cero con exponentes distintos de cero, enteros y positivos presenta tres casos que dependen de que el exponente del dividendo sea mayor, menor o igual al divisor”. a) Primer caso de la Quinta Ley División de potencias distintas con la misma base Cuando a es un número real distinto de cero y, m y n, son números enteros positivos donde m > n, entonces : am / an = = am-n

20

Ejemplo: 75/73 = 75-3 = 72 = 49 ; m8/m5 = m8-3 = m3 57/ 53 = 57-3 = 54 = 625 ; x4/x = x4-1 = x3 b) Segundo caso de la Quinta Ley Cuando a es un número real distinto de cero y, m y n, son números enteros positivos donde m y n son iguales. am/an = 1 ; am /am = 1 Cuando m = n , es decir : Ejemplo: x4/x4 = 1 donde x = 0 ; 35/35 = 1 ; 62/62 = 1 ; 73/73 = 1 c) Tercer caso de la Quinta Ley Cuando a es un número real distinto de cero y, m y n, son números enteros positivos donde m < n son iguales. am/an = 1/an-m ; si m < n , es decir : Ejemplo: 23 /25 = ½5-3 = 1/22 = ¼ ; 53 /57 = 1/57-3 = 1/54 = 1/625 Ejercicios: 1.- 23 = 2.- 3.- (3y)2 ( 2y)3 = 4.- (-3xy2)3 = 5.- 2 -1/3 = Realiza la práctica que tu profesor te proporciona Radicación Es la operación inversa a la potenciación, es decir, la operación para encontrar la raíz de un número. Si x = ; podemos encontrar el valor de x, extrayendo la raíz enésima de b. Ejemplo: x2 = 4 , x = ± = ± 2 porque al sustituir esos valores de x en la expresión, se

tiene: (+ 2)2 = 4 y (- 2)2 = 4 Al símbolo , se le conoce como radical, = x ; indica que x es la raíz enésima de a ; , como dijimos antes, se le llama radical, al natural n, se le llama índice de la raíz y a es el radicando o subradical. Si el índice no se indica, se sobreentiende que es 2, y = a . En cada radical se debe considerar: el signo, coeficiente (que es el factor que va fuera del símbolo del radical), el radicando y el orden lo indica el índice de la raíz.

Ej. – 7 ; el signo ( - ); el coeficiente ( 7 ); radicando o subradical ( 52 ) y el orden ( 4 )

21

Si el índice del radical es par y el número del radicando es positivo, el resultado tendrá dos raíces dentro de los números reales, uno con signo positivo y otro con signo negativo. A la raíz positiva, se le conoce como raíz principal. Ej. ± = ± 4, ya que ( +4 )2 = 16 y ( - 4 )2 = 16 Si el índice de la raíz es par y el número en el subradical es negativo, la raíz no es un número real, ya que no existe número positivo ni negativo que elevado a una potencia par nos de cómo resultado un número negativo; se dice que es un número imaginario por no tener raíz en los números reales. Ej. no tiene solución en el conjunto de los números reales. Si el índice de la raíz es impar y el número en el radicando es positivo o negativo, se tendrá como resultado una sola raíz; la cual estará afectada del mismo signo del número que está en el subradical. Ej. 3 = - 3; ya que ( - 3 )3 = 27 Los radicales pueden ser reemplazados por exponentes fraccionaros, en los que el denominador de la fracción representa el índice de la raíz; y el numerador la potencia del radicando.

Ej. = a3/5 ; q = bq/p Leyes de los radicales: Las leyes de los radícales son las mismas correspondientes a las potencias, ya que = an . Las leyes utilizadas con más frecuencia son: 1ª Ley: La raíz enésima de an es igual a a. ( )n = a ; ( )n = a n/n = a1 = a Ej. ( )3 = 6 ; o bien ( )3 = 6 3/3 = 61 = 6 ( )4 = x2 + y2 ; (x 2+ y2 )4/4 = (x2 + y2 ) 1 = x 2+ y 2 2ª Ley: La raíz enésima del producto de dos números es igual al producto de la raíz enésima de a por la raíz enésima de b. = • = ( ab ) 1/n ;

Ej. = • = 3 • n ; 5 = • 5 3ª Ley: La raíz enésima del cociente de dos

= ÷

Ejemplo: = ÷ = ÷ 2 ; _ =

4ª Ley: La raíz m de la raíz enésima de a, es igual a la raíz m • n de a.

Ejemplos: = ; = =

= = ; = =

22

5ª Ley: La raíz enésima de a m, es igual a la raíz enésima de a elevado a la m. Ejemplo: m = ( )m ; 4 = ( )4 = 34 = 81 Ejercicios: 1.- = 2.- = 3.- =

4.- =

5.- = Realiza la práctica que tu profesor te proporciona

2.3. Productos notables: Se llaman productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación. Producto de dos binomios conjugados: Si se tiene el binomio x + y es su conjugado y viceversa. Regla: “El producto de un binomio por su conjugado es igual al cuadrado del primer término

menos el cuadrado del segundo”. Se considera como primer término aquel que tiene signo positivo en ambos binomios.

( a + b ) ( a – b ) = a2 – b2 ; donde a es el primer término y b es el segundo término Ejercicios: 1.- ( x + 7 ) ( x – 7 ) = 2.- ( y – 6 ) ( y + 6 ) = 3.- ( 3x + 4 ) ( 3x – 4 ) = 4.- ( 9x – 5 ) ( 9x + 5 ) = 5.- ( x2 + a2 ) ( x2 + a2 ) = Realiza los ejercicios que te proporcionará tu profesor. Cuadrado de un binomio: Regla: “El producto de un binomio al cuadrado es igual al cuadrado del primer término, mas el

doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término.” Ej. ( x + y ) 2 = x2 + 2xy + y2

23

Ejercicios: 1.- ( n + 6 )2 = 2.- ( 3y + 2x )2 = 3.- ( m + 3 )2 = 4.- ( 5 + x )2 = 5.- ( 6a+ b)2 = Realiza los ejercicios que te proporcione tu profesor. Cuadrado de la diferencia de un binomio: “Es igual al cuadrado del primer término menos el doble producto del primero por el segundo, mas el cuadrado del segundo término” Ej. ( x – y )2 = x2 – 2xy + y2 Ejercicios: 1.- ( y – 4 )2 = 2.- ( 8a – 3b )2 = 3.- (a – 3 )2 = 4.- ( 2a– 3b)2 = 5.- (4ax – 1 )2 = Realiza los ejercicios que te proporcione tu profesor. Producto de dos binomios que tienen un término común: “ El producto de dos binomios que tienen un término común es igual al cuadrado del término común, más el producto del término común por ala suma de los no comunes, mas el producto de los términos no comunes” Ej. ( x + a ) ( x + b ) = x2 + x ( a + b ) + ab Ejercicios: 1.- ( x + 9 ) ( x + 3 ) = 2.- ( y + 7 ) ( y – 3 ) = 3.- ( a + 2 ) ( a – 9 ) = 4.- ( b – 6 ) ( b – 4 ) = 5.- ( 3a + 7 ) ( 3a + 2) = Realiza los ejercicios que te proporcione tu profesor. Cubo de un binomio: “El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término, más el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple del producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término”. Ej.- ( x + y )3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 Ejercicios: 1.- ( y + 4 )3 = 2.- ( 3n + 5 )3 = 3.- ( n + 2 )3 = 4.- ( 2x + 3 )3 = 5.- ( a + b )3 = Realiza los ejercicios que te proporcione tu profesor.

24

Cubo de la diferencia de un binomio: “El cubo de la diferencia de un binomio es igual al cubo del primer término , menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primer termino por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término” Ej. ( x – y ) = x3 – 3x2y+ 3xy2 – y3 Ejercicios: 1.- (4n – 1)3 = 2.- ( 5b – 3 )3 = 3.- ( y – 3 )3 = 4.- ( 3x – 5 )3 = 5.- ( 1 – 4y )3 = Realiza los ejercicios que te proporcione tu profesor.

2.4. Factorización

Factorizar una expresión algebraica es convertirla en el producto indicado de sus factores. Se llama factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre sí, dan como producto la primera expresión. No todos los polinomios se pueden factorizar ya que hay expresiones algebraicas que solo son divisibles por ellas mismas y por la unidad y por lo tanto no son producto de otras expresiones algebraicas. Factorización de un polinomio que tiene un factor común: Cuando tenemos un polinomio de la forma ax + bx en el cual x es el factor común de sus términos. Dividimos el polinomio entre el factor común y obtenemos: = a + b , entonces x (a + b)

Ejemplo: 4a3 + 6a2b el factor común es a2 , y 2 es múltiplo de 4 y 6, (mcd), por lo tanto 2 a2 (2a + 3b) 5a2 bx4 - 15 ab2x3 + 20ab2x4 , el factor común (fc) es abx3 , y 5 es múltiplo de 5, 20 y 15, (mcd), por lo tanto: 5 abx2 (ax – 3b + 4b2x) Para factorizar un polinomio cuyos términos tienen un factor común, se multiplica este factor común por el cociente que se obtiene al dividir el polinomio entre dicho factor. El factor común se obtiene con el máximo común divisor de los coeficientes de todos los números del polinomio, el cual será el coeficiente del factor común que tendrá como literales de todos los términos del polinomio con su menor exponente.

Ejemplo: 12x4y3 – 8x3y2 + 4x2y m.c.m. = 4x2y

4x2y (3xy2 – 2xy + 1)

25

Ejercicios: 1.- 12 a3 – 16 a2 = 2.- r4 + r3s – r2s2 = 3.- 12xyz + 8x2y2z2 – 4x3y3z3 = 4.- 10 a2 – 5a + 15 a3 = 5.- 100 a2b3c - 150 ab2c2 + 50 ab3c3 – 200 abc2 = Factorización por agrupación Si tenemos un polinomio de la forma ac + ad + bc + bd ; observamos que los dos primeros términos tienen como factor común a “a” y los dos últimos términos tienen como factor común a “b” Si agrupamos los términos que tienen factor común, obtenemos (ac + ad) + (bc + bd) y luego, factorizando cada grupo, nos queda a (c + d) + b (c + d) ; tomamos a como factor común y resulta: (a + b) (c + d) Ejemplos: 1.- 3mx + 4my + 3nx +4ny = m (3x + 4y) + n (3x + 4y) = m + n (3x + 4y) 2.- ax + ax - bx +by = a (x + y) - b (x - y) = (a - b) (x - y) 3.- 18x3 + 12x2 – 15x - 10 = 6x2 (3x + 2) - 5 (3x + 2) = (6x2 - 5) (3x + 2) 4.- m2x + n2x + m2 +n2 = (m2x + n2x) + (m2 + n2) = x (m2 + n2) + (m2 + n2) = (x + 1) (m2+n2) Ejercicios: 1.- x3 + x2y + 3x + 3y = 2.- x3 + x2y + x +y = 3.- m3 + m2n + m +n = 4.- a2b2 + ab + abc +c = 5.- x3y3 + xy + x2y2 +1 = Realiza los ejercicios que te proporcione tu profesor. Factorización de un trinomio cuadrado perfecto Un trinomio cuadrado perfecto se obtiene al elevar un binomio al cuadrado y para factorizar un trinomio, debemos encontrar el binomio que multiplicado por sí mismo, nos dé como producto, el trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplo: a2 + 2ab + b2 = = a , = b ; (a + b)2 1.- x2 + 10x + 25 = 2 = x , = 5 ; (x + 5)2

2.- 9x2 - 12xy + 4y2 = = 3x , = 2y ; (-3x + 2y)2

3.- x2 + 6x + 9 = = x , = 3 ; (x + 3)2

4.- 25x2 – 20x + 4 = = 5x , = 2 ; (5x - 2)2

5.- x2 + x + ¼ = = x , = ½ ; (x + ½)2

26

Ejercicios: 1.- x2 + 8x + 16 = 2.- x2 - 2xy + y2 = 3.- 49a2 – 14ab + b2 = 4.- - 20mn + 4m2 + 25n2 = 5.- p8 + 36q2r2 + 12p4qr = Realiza la práctica que tu profesor te proporciona Factorización de una diferencia de cuadrados Una diferencia de cuadrados se puede obtener por medios del producto de dos binomios conjugados. Ejemplo: a – b = (a + b) (a - b) Para factorizar una diferencia de cuadrados, se deben buscar dos binomios conjugados cuyo producto sea la diferencia de cuadrados dada. Ejemplo: 9 x2 – 16y2 = (3x – 4y) (3x + 4y) Casos especiales: a) Cuando uno de los binomios conjugados, es una diferencia de cuadrados por lo que se hace

necesario continuar la factorización. Ejemplo: x8 – y8 = (x4 – y4) (x4 + y4) ; (x2 – y2) (x2 + y2) ; (x – y) (x + y) = (x4 + y4) (x2 + y2) (x – y) (x + y) b) Cuando los cuadrados son polinomios como en x4 – (m-n)2 ; Se considera (m-n) como un

monomio y se factoriza: Ejemplo: x4 – (m-n)2 = [x4 + (m-n)] [x2 –(m- n)] = (x4 + m - n) (x2 - m + n) c) Cuando un polinomio se puede expresar como una diferencia de cuadrados reordenando sus

términos, como: x2 + 2xy + y2 – 25 z2 = (x + y)2 – 25 z2 = [(x + y) + 5z] [(x + y) – 5z] = (x + y + 5z) (x + y – 5z) d) Cuando un polinomio se puede expresar como una diferencia de cuadrados mediante el

artificio de sumar y restar el mismo termino. x4 + x2y2 + y4

Como el término x2y2, no es 2 x2y2, no es un trinomio cuadrado perfecto factorizado por (x2 + y2)2 Si se agrega y se quita al polinomio el término x2y2 , se obtiene: x4 + x2y2 + y4 = x4 + 2x2y2 + y4 – x2y2 = (x2 + y2)2 – x2y2 = (x2 + y2+ xy) (x2 + y2 - xy) = (x2 + xy + y2) (x2 - xy + y2)

27

Ejercicios: 1.- ( x2 + y2 ) = 2.- x4 – 1 = 3.- 1 – x4 = 4.- 49 m2 – 1 = 5.- 25 – 4x2 = Realiza la práctica que tu profesor te proporciona Factorización de la suma y diferencia de cubos: El cociente de a3 + b3 ÷ a + b es: a3 + b3 ÷ a + b = a2 – ab + b2 ; entonces a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2 ). De manera semejante ( a3 - b3 ) = ( a - b ) ( a2 + ab + b2 ).

Ej. 27x3 + y3 = = 3x ; = y ; (3x + y ) ( 9x2 – 3xy + y2 )

27x3 - 8y3 = = 3x ; = 2y (3x - 2 y ) ( 9x2 – 6xy +4 y2 ) Ejercicios : 1.- x3 + 23 = 2.- y3 – 22 =

3.- x3 y3 + 1 = 4.- x3 y3 - 1 = 5.- 8x3 + 1 = Realiza la práctica que tu profesor te proporciona

Factorización de un trinomio de la forma x2 + bx + c: Un trinomio de la forma x2 + bx + c se puede factorizar como el producto de dos factores, binomios tales que su primer término es x, sus segundos términos son dos números cuya suma algebraica es b y su producto es c.

Ej. x2 + 8x+ 15= = x ; dos números que sumados nos dan 8 y multiplicados nos dan 15 son 3 y 5, 3 + 5 = 8 y (3) (5) = 15 por lo tanto tenemos

x2 + 8x+ 15= (x + 3 ) ( x + 5 )

x2 - 8x+ 15= = x ; dos números que sumados nos dan - 8 y multiplicados nos dan como resultado -15 son - 3 y - 5, - 3 - 5 = - 8 y (- 3) (- 5) = - 15 por lo tanto

x2 + 8x+ 15= (x - 3 ) ( x - 5 ) Ejercicios: 1.- x2 + 5x + 6 = 2.- x2 - 5x + 6= 3.- x2 + x - 6 = 4.- x2 - x - 6 = 5.- x2 + 5x - 36 = Realiza la práctica que tu profesor te proporciona

28

Factorización de un trinomio de la forma ax2 + bx + c: Para factorizar un trinomio de la forma ax2 + bx + c: Se recurre a un procedimiento que consiste en buscar y ensayar con distintos pares de binomios o bien: hacer el siguiente procedimiento. Ej. 4x2 + 8x + 3 = Buscamos 2 números que multiplicados nos den 12, es decir el producto de ac y sumado nos de 8, es decir que la suma sea ab. Los únicos números que multiplicados nos dan 12 y sumados 8 son 6 y 2 ya que (6) (2) = 12 y 6 + 2 = 8. Con los números encontrados, reescribe el término bx como la suma algebraica de dos términos, cuyos coeficientes numéricos sean los números obtenidos en el segundo paso.

4x2 + 8x + 3 = 4x2 + 6x + 2x + 3 Factoriza por agrupación.

(4x2 + 6x) + (2x + 3)

2x (2x + 3) (2x + 3)

Tomando a 2x + 3 como factor común, se obtiene:

4x2 + 8x + 3 = (2x + 1) ( 2x + 3)

Comprobación: (2x+1) (2x + 3) = 4x2 + 6x + 2x + 3 = 4x2 + 8x + 3 Ejercicios: 1.- 2x2 + 5x + 3= 2.- 5y2 -8y + 3= 3.- 4x2 + 12x + 3= 4.-8x2 + - 10x + 3= 5.- 2x2 + 7x + 3= Realiza la práctica que tu profesor te proporcionara.

29

Capítulo II. ECUACIONES 1.- Ecuaciones lineales:

Una ecuación es una igualdad que se verifica para un determinado valor de la variable o variables desconocidas que reciben el nombre de incógnitas. En una ecuación la variable x, y ó z se le conoce como incógnita y al resolverla y encontrar el valor de la variable (que al sustituirlo en la ecuación la hace verdadera); a este valor se le dael nombre de raíz o solución de la ecuación. Ej. x + 3 = 8 ; 2y + 3 = 15 ; 5y + 6 = 3y + 12 x = 8 – 3 2y = 15 – 3 5y – 3y = 12 - 6 x = 5 2y = 12 2y = 6 y = 12/2 y = 6/2 y = 6 y = 3 Ejercicios: 1.- 6x + 3 = 2x + 11 2.- 6x + 4 = 3x + 10 3.- 3 (2x – 1) = 2x + 5 4.- 2 (9x – 1) = 6x – 2 5.- 4 (x – 4) = 3 (x + 4) Realiza la práctica que tu profesor te proporciona 1.1. Resolución y evaluación de ecuaciones con dos y tres incógnitas: A toda igualdad de la forma ax + by + c donde a, b, y c son constantes arbitrarias y tanto a como b son distintas de cero, se le llama ecuación lineal con dos variables o dos incógnitas. Ej. 4x + y = 9 Una ecuación como esta tiene un número infinito de soluciones. Al encontrar un número infinito de valores para las incógnitas que satisfagan la ecuación, las llamamos indeterminadas; al resolver un problema práctico donde aparece una ecuación como esta necesitamos una solución única que no puede determinarse con una sola ecuación, por lo que necesitamos dos o más ecuaciones de este tipo, que en conjunto constituyen un sistema de ecuaciones lineales. 1.2. Sistemas de ecuaciones: Dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas son simultáneas cuando se satisfacen para iguales valores de las incógnitas. Ej. x + y = 5 ; 3 + 2 = 5 ; donde x = 3 y y = 2 x – y = 1 ; 3 – 2 = 1 ; se satisface para ambas ecuaciones. Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es necesario obtener de las dos ecuaciones dadas una sola ecuación con una sola incógnita. Esta operación se llama eliminación.

30

1.3. Métodos de solución: Los métodos de eliminación más usuales son: Eliminación por reducción, eliminación por sustitución y eliminación por reducción; también existe el método gráfico y el método por determinantes. 1.- Eliminación por igualación: El proceso consiste en despejar la misma variable en las dos ecuaciones. Las expresiones así obtenidas se igualan para tener así una ecuación con una sola variable. Se encuentra el valor de esta y se sustituye en la expresión despejada de la otra variable para determinar su valor. Ejemplo: Sea: 7x + 4y = 13 1º 5x – 2y = 19 2º Despejamos una de las incógnitas en ambas ecuaciones y así: Despejamos x en 1 7x = 13 - 4y x =

Despejamos x en 2 5x = 19 + 2y x =

Igualamos valores donde, =

ahora tenemos una única ecuación con una sola incógnita Resolvemos así que 5 (13 – 4y) = 7(19 + 2y) 65 – 20y = 133 + 14y -20y -14y = 133 - 65 - 34y = 68 y = 68/-34 y = -2 Sustituimos el valor de y, en cualquiera de las ecuaciones originales; generalmente es la más sencilla 7x + 4y = 13 Donde x = 3 7x + 4(-2) = 13 y = -2 7x - 8 = 13 7x = 13+ 8 7x = 21 x = 21 / 7 x = 3 Sustituimos valores en cualquiera de las ecuaciones originales, de la siguiente forma: 7(3) + 4 (-2) = 13 → 21 – 8 = 13 → 13 = 13 5(3) – 2 (-2) = 19 → 15 + 4 = 19 → 19 = 19 Ejercicios: 1.- x + 6y = 24 7x - 3y = 9 2.- 5x + 8y = - 60 3x - 2y = - 2

31

3.- 3x + 5y = 7 2x - y = -4 4.- 9x + 8y = 13 7x - 4y = 5 5.- 7x + 9y = 42 12x + 10y = -4 Realiza la práctica que tu profesor te proporciona 2.- Eliminación por sustitución: El proceso consiste en despejar una variable en una sola de las ecuaciones. La expresión así obtenida se sustituye en la otra ecuación para obtener una sola ecuación con una sola variable. Se encuentra el valor de esa variable y se sustituye en la expresión despejada de la otra variable para determinar su valor. Ejemplo: 2x + 5y = - 24 1º 8x – 3y = 19 2º Despejamos cualquiera de las incógnitas en una de las ecuaciones. Por ejemplo x en la ecuación 1

2x = - 24 – 5y x = -24 -5y

2

El valor obtenido se sustituye en la otra ecuación: - 3y = 19

Como 8 ÷ 2 = 4 ; simplificamos: 4 ( - 24 – 5y ) – 3y = 19 96-20y -3y = 19 -20y – 3y = 19 + 96 -23y = 115 y = 115 -23 y = - 5 Sustituimos y en cualquiera de las ecuaciones originales. 2x + 5 (-5) = - 24 2x – 25 = - 24 2x = -24 + 25 2x = 1 x = ½ Comprobamos: 2 (1/2) + 5 ( - 5) = - 24 2/2 – 25 = -24 1 – 25 = - 24 -24 = -24

32

Ejercicios: 1.- 5x + 7y = - 1 - 3x + 4y = -24 2.- x + 3y = 6 5x – 2y = 13 3.- 4y + 3x = 8 8x – 9y = 77 4.- x – 5y = 8 - 7x + 8y = 25 5.- 15x + 11y = 32 7y – 9x = 8 Realiza la práctica que tu profesor te proporciona 3.- Método de reducción: Se le conoce como reducción por suma o resta. El procedimiento consiste en realizar las transformaciones necesarias con las ecuaciones para obtener una sola ecuación con una sola variable. A este proceso se le llama eliminación, pues mediante multiplicaciones adecuadas se iguala el valor absoluto de los coeficientes de una misma variable en ambas ecuaciones y después se suman o restan miembro a miembro para eliminar dicha variable. Ejemplo: 5x + 6y = 20 1º 4x – 3y = -23 2º Hacemos iguales los coeficientes de una de las incógnitas. Igualamos los coeficientes de y en ambas ecuaciones (también pueden ser los de x), aquí se utilizan los de y por ser mas sencillos ya que son múltiplos. El m.c.m. de los coeficientes 6 y 3 es 6. Multiplicamos la segunda ecuación por dos para obtener igualdad en los coeficientes de y:

5x + 6y = 20 8x – 6y = -46 13 x = - 26 13 x = - 26 x = -26/13

x = - 2 Sustituimos el valor de x en cualquiera de las ecuaciones originales

5 ( -2) + 6y = 20 -10 + 6y = 20 6y = 20 + 10

6y = 30 y= 30/6

y = 5 Comprobamos : 5 (-2) + 6 (5) = 20 -10 + 30 = 20 20 = 20

33

Ejercicios: 1.- 10x + 9y = 8 8x – 15y = -1 2.- 6x – 5y = -9 4x + 3y = 13 3.- 7x – 15y = 1 - x – 6y = 8 4.- 3x – 4y = 41 11x + 6y = 47 5.- 9x + 11y = - 14 6x – 5y = -34 Realiza la práctica que tu profesor te proporciona 1.4. Ecuaciones simultaneas con tres ecuaciones y tres incógnitas: Para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se realizan los siguientes pasos: 1.- Se combinan dos de las ecuaciones dadas para eliminar una de las incógnitas (lo más sencillo

es por reducción –suma o resta-) y con ello, se obtiene una ecuación de dos incógnitas. 2.- Se combina la tercera ecuación con cualquiera de las otras dos ecuaciones dadas y se elimina

entre ellas, la misma incógnita que se eliminó antes, obteniéndose otra ecuación con dos incógnitas.

3.- Se resuelve el sistema formado por dos ecuaciones con dos incognitas que se obtuvieron, y se

encuentra el valor de las incógnitas. 4.- Los valores de las incógnitas obtenidos, se sustituyen en una de las ecuaciones dadas de tres

incógnitas, con lo cual se halla la tercera incógnita. Ejemplo: I) x + 4y - z = 6 II) 2x + 5y - 7z = -9 III) 3x - 2y+z = 2 Combinamos las ecuaciones I) y II) , para eliminar x ; multiplicando la ecuación I) por la ecuación II) y la ecuación II) por la ecuación I)

2x + 8y - 2z = 12 2x + 5y - 7z = -9

Restamos para eliminar x 2x + 8y - 27z = 12

- 2x - 5y + 7z = 9 3y + 5z = 21

34

Combinamos la ecuación III) con cualquiera de las ecuaciones anteriores, preferentemente la más sencilla, pero elegimos la ecuación II) ; multiplicó a la ecuación II) por la ecuación III) y a la ecuación III) por la ecuación II)

6x + 15y - 21z = - 27 6x - 4y + 2z = 4 Luego, restamos: 6x + 15y - 21z = -27 - 6x + 4y + 27z = -4 19y - 23z = -31 Ahora tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas que se resuelven por los métodos de eliminación conocidos: igualación 3y = 21 – 5y 19y = -31 + 23z y = 21 – 5z y = -31 + 23z 3 19

Luego entonces: 21 – 5z = -31 + 23z

3 19

19 (21- 5z) = 3 (-31 + 23z) = 399 - 95z = -93 + 69z - 95z + 69z = - 93 - 399

- 164 z = 492 z = -492 / -164

z = 3

Sustituimos z en cualquiera de las dos ecuaciones formadas: 19y -23z = -31 19y -23(3) = -31 19y = - 31 + 69 19y = 38 y = 38 / 19 y = 2 Sustituimos el valor de y, y de z, en cualquiera de las ecuaciones originales: 2x + 5(2) – 7(3) = - 9 x = 1 2x + 10 - 21 = - 9 2x = - 9 - 10 + 21 2x = - 19 + 21 2x = 2 x = 2/2 x = 1 Comprobamos: 3(1) – 2(2) + 3 = 2 3 – 4 + 3 = 2 - 1 + 3 = 2 2 = 2

35

Ejercicios: 1.- x + y + z = 3 x – y – z = 1 x – y + z = -3 2.- x + y – z = 2 x – y – z = -4 - x – y + z = - 3

3.- x + y + z = 4 x+ 2y + z = 1 x – y – z = 6 4.- x + 2y + 2z = -4 x + y – 2z = 4 2x + 2y – 3z = 3 5.- 3x + 2y -4z = -1 x – 3y + 2z = 4 2x – y – 5z = 11 Realiza la práctica que tu profesor te proporciona

2.- Ecuaciones cuadráticas, clasificación y métodos de solución: Una ecuación de segundo grado con una incógnita se expresa por: ax2 + bx + c = 0; si c ≠ 0 donde a, b, y c son constantes y x es la incógnita que tiene a 2 como su mayor exponente; ax2 es el término cuadrático, bx es el término de primer grado o lineal y c es el término independiente o constante. Si en la ecuación, b = 0 entonces se anula el término lineal y la ecuación queda ax2 + c = 0. Si c= 0, entonces la ecuación se reduce a: ax2 + bx = 0 Estas dos últimas expresiones corresponden a ecuaciones de segundo grado con una incógnita que son incompletas; en el primer caso por carecer de termino lineal, en el segundo caso por carecer de término independiente y estas se resuelven por métodos de factorización y no por formula general. Solución de ecuaciones de la forma ax2 + bx + c = 0 por la formula general: Toda ecuación donde una vez que se simplifica, el mayor exponente de la incógnita es 2 se considera de segundo grado. De la ecuación ax2 + bx + c = 0 se obtiene o deduce la ecuación:

X =

De la cual obtenemos las dos raíces de la ecuación ax2 + bx + c = 0; después de obtener dos valores para x tomamos el signo + (más ) o – (menos). Ejemplo: x2 + 7x + 10 = 0 a b c

x =

36

x=

x=

x =

x1 =

x1 =

x1 = 2 x2 =

x2 =

x2 = - 5 Comprobación: x2 + 7x + 2 = 0 (-2)2 + 7 + 7 (-2) + 10 = 0 4 – 14 + 10 = 0 -10 – 10 = 0 0 = 0 Ejercicios 1.- 3x2 – 7x + 2 = 0 2.- 3x2 – 5x + 2 = 0 3.- 4x2 + 3x – 22 = 0 4.- x2 + 11x = - 24 5.- x2 = 16x – 63 Realiza la práctica que tu profesor te proporciona

37

EJERCICIOS PARA LA PRUEBA ENLACE HABILIDADES LÒGICAS

-Sesión 1- Instrucciones: Lee atentamente los siguientes ejercicios, a fin de recordar y comenzar a aplicar las habilidades y conocimientos que previamente adquiriste en las clases previas a tu ingreso al bachillerato. No utilices calculadora electrónica para resolver los ejercicios, solo tu ingenio y memoria. A) Escribe dentro del paréntesis, el número que sigue en cada una de las siguientes series

numéricas: (27) – (31) – (35) – (39) – (43) – (47) – ________ (54) – (57) – (58) – (61) – (62) – (65) - ________ (1024) – (256) – (64) – (16) – (4) - ____________ (1.5) – (2) – (2.5) – (3) – (3.5) – (4) - ___________ B) Escribe en el paréntesis, la letra que conteste correctamente a cada uno de las siguientes

preguntas: ( ) ¿Cuál es la diferencia en años, de 1567 a. C. a 1946 d. C.? a) 379 años b) 3513 años c) 2379 años d) 2513 años ( ) ¿Cuál es el precio real de un carro, si pagué por él, $ 35 750. ºº, al haberme hecho el

vendedor, el 15 % de descuento? a) $ 5362.50 b) $30387.50 c) $ 42058.82 d) $ 238333.33 ( ) Al triplicar el dinero que tenía y pagando $ 52000.ºº que debía, me quedé con $ 173000.ºº.

¿Cuánto dinero tenía en un principio? a) $ 225000.ºº b) $ 75000.ºº c) $ 7666.66 d) $ 85000.ºº ( ) En la Colonia Clavería, fueron empadronados 2001 de sus habitantes, a razón de 9 hombres

por cada 14 mujeres. ¿Cuántas mujeres fueron empadronadas en esa colonia? a) 1218 mujeres b) 783 mujeres c) 1018 mujeres d) 1083 mujeres ( ) Si compro teléfonos celulares a $ 15000.ºº la docena y luego vendo quince de ellos por

$22500.ºº, ¿Cuántos celulares debo vender para ganar $ 5750.ºº? a) 25 celulares b) 24 celulares c) 23 celulares d) 22 celulares ( ) Ricardo le lleva ocho años a Rocío y Ángel es más chico de edad que Ricardo por tres años.

¿Cuántos años le lleva Ángel a Rocío? a) 3 años b) 5 años c) 11 años d) 4 años ( ) Una pecera con agua pesa 35 kilos; si se le agregan siete peces de medio kilogramo de

peso cada uno, ¿Cuánto pesara dicha pecera? a) 38.5 kgs b) 31.5 kgs d) 42 kgs d) 37.5 kgs ( ) El Lunes guarde $ 25000.ºº, el Martes junte dos quintas partes de la cantidad que guarde el

Lunes; El Miércoles solo pude guardar la mitad de lo que junte el Martes. ¿Cuanto dinero tengo en total?

a) $ 10000.ºº b) $ 15000.ºº c) $ 75000.ºº d) $ 40000.ºº

38

C) Escribe en el paréntesis, el número que corresponda a cada cuestión ( ) El producto de ( X + 2 ) ( X – 2 ) es igual a : a) X2 + 4 b) X2 + 2 c) X2 - 2 d) X2 - 4 e) X2 - 4X = 4 ( ) Si a la siguiente expresión, - [ X + ( 3 – X ) – (4 + 3X ) ] se le simplifica y se le

eliminan los paréntesis, resultaría: a) 3X – 1 b) -3X + 1 c) – X + 1 d) – 3 X – 1 e) 3X + 1 ( ) ¿Cual es el resultado de la siguiente operación? ( 3 x 6 ) + 7 - ( 4 – 6 ) 2 a) 21 b) 84 c) 18 d) 16 e) 4

EJERCICIOS PARA LA PRUEBA ENLACE HABILIDADES LÒGICAS

-Sesión 2- Instrucciones: Lee atentamente los siguientes ejercicios, a fin de recordar y comenzar a aplicar las habilidades y conocimientos que previamente adquiriste en las clases previas a tu ingreso al bachillerato. No utilices calculadora electrónica para resolver los ejercicios, solo tu ingenio y memoria. A) Realiza las siguientes operaciones aritméticas en tu cuaderno: 1.- (4 + 5 + 3 ) + 8 = 2.- 150 – ( 14 – 16 ) = 3.- ( 9 + 5 ) + ( 7 – 2 ) = 4.- 8 + [ 9 - { 6 – ( 5 – 4 ) }] + 14 - {11 - [ 3 - 2 ] } = 5.- 250 - [ ( 6 + 4 ) – ( 3 - 1) + 2 ] = 6.- { ( 50 ) ( 6 ) ( 42 ) ( 18 ) } 9 = 7.- ( 7 – 5) 4 + 3 ( 4 – 2 ) + ( 8 – 2 ) 5 – 2 ( 11 – 10 ) = 8.- 800 + { 20 – ( 3 ) ( 4 ) + 5 [ 18 – ( 6 – 1 ) 3 + ( 5 - 2 ) 4 ] } = 9.- 8 [ ( 5 – 3 ) ( 4 + 2 ) ] - 8 [ 2 ( 6 ) ] = 10.- 3 ( 9 – 2 ) + 2 ( 5 – 1 ) ( 4 + 3 ) + 3 ( 6 – 4 ) ( 8 – 7 ) = 11.- 500 + 6 ( 3 + 1 ) + ( 8 - 5 ) 3 – 2 ( 5 + 4 ) = 12.- 15 + 6 ÷ 3 – 4 ÷ 2 + 4 = 13.- ( 8 ) 5 + 4 – 3 ( 2 ) + 6 ÷ 3 =

39

14.- 40 ÷ 5 ( 5 ) + 6 ÷ 2 ( 3 ) + 4 – 5 ( 2 ) ÷ 10 = 15.- 150 ÷ [ ( 25 ) ( 2 ) ] + 32 ÷ [ ( 8 ) ( 2 ) ] = 16.- [ ( 3 ) ( 2 ) ] ÷ 6 + ( 19 - 1 ) ÷ ( 5 + 4 ) = 17.- ( 3 + 2 ) ÷ 5 + ( 8 + 10 ) ÷ 2 = 18.- 500 – { ( 6 – 1 ) 8 ÷ ( 3 ) + 16 ÷ ( 10 – 2 ) } – 5 = 19.- ( 3 0 ) ( 5 4 ) = 20.- 3 3 por 2 2 menos 3 0 por 4 0 igual a : 21.- 1/ 2 + 1/ 4 + 1/8 =

22.- 7/6 – 7/8 = 23.- 3/5 + 7/4 + 11/6 = 24.- 9/10 + 8/15 + 13/75 = 25.- 3/8 – ( 1/6 + 1/12 ) = 26.- 7/8 por 16/21 = 27.- 6/11 ÷ 5/22 = 28.- 5/2 ÷ 1/3 = 30.- ( 2/5 ) 3 = B) Escribe en el paréntesis, el número que corresponda a cada cuestión ( ) ¿ Cuál es el resultado de sumar 1/3, 5/8 y 7/10 ? a) 21/13 b) 199/60 c) 203/42 d) 13/21 e) 199/120 ( ) El cociente de ( 6 X 2 ) / ( 3 X 3 ) equivale a : a) 2 X 5 b) 2 X 6 c) 2 X 2 d) 2 X 3 e) 2 X -1

( ) ¿ A cuanto equivale la suma de 4 / 3 más 5 / 2 ? a) 9/5 b) 23/6 c) 9/6 d) 20/6 e) 15/8 ( ) ¿ Cómo se expresa en forma decimal el 6 % ? a) 60 b) 6 c) 0.6 d) 0.06 e) 0.006 ( ) El cociente de ( 0.4 ) / ( 0.02 ) equivale a : a) 0.2 b) 2 c) 0.02

40

EJERCICIOS PARA LA PRUEBA ENLACE HABILIDADES LÒGICAS

– Sesión 3 - Instrucciones: Lee atentamente los siguientes ejercicios, a fin de recordar y comenzar a aplicar las habilidades y conocimientos que previamente adquiriste en las clases previas a tu ingreso al bachillerato. No utilices calculadora electrónica para resolver los ejercicios, solo tu ingenio y memoria. A) Efectúa las operaciones indicadas, aplicando las leyes de los exponentes 1.- ( X 3 ) ( X 5 ) = 2.- ( 2 4 ) ( 2 3 ) = 3.- ( X m ) ( X n ) ( X -1 ) = 4.- ( 3X ) 2 = 5.- ( 5X 2 ) 3 = 6.- ( 3X 2 y 3 ) 4 = 7.- { ( 2 4 ) ( 2 - 3 ) } 0 = 8.- { 3 / 4 } 2 = 9.- { x 2 / y 4 } 3/2 = 10.- { ( 3 ) 4 + ( 2 ) 3 } 0 =