apuntes de algebra

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apuntes de algebra

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En cada uno de los temas de estos apuntes, se desarrollan algunos

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE MXICO

FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ZARAGOZA

Carrera:

INGENIERIA QUIMICA

CURSO DE ALGEBRA ELEMENTAL

(REQUISITO PARA MATEMTICAS I)

CONTENIDO:

I. INTRODUCCIN

II. TERMINOLOGIA III. PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACINIV. FRACCIONESV. POTENCIAS, EXPONENTES Y RACESVI. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES GENARO ALTAMIRANO G. 2012I. INTRODUCCION.

Estos apuntes de algebra son la sntesis de la experiencia que se ha tenido al impartir la asignatura de Matemticas I. Aunque estos temas propuestos no forman parte de la asignatura, son elementos con los que los estudiantes normalmente tienen problemas.A pesar de las generaciones de alumnos de nuevo ingreso son diferentes, de acuerdo a las estadsticas, los estudiantes siguen con un cierto patrn de conocimientos y de deficiencias (que se vienen arrastrando desde los aos anteriores), que es comn en las diferentes generaciones.

El objetivo de estos apuntes, entonces, es el de hacer un repaso a los temas fundamentales del lgebra del bachillerato, temas que son requisitos mnimos para Matemticas I. Hay que aclarar que no solo se traen deficiencias de algebra, sino de otras reas de las matemticas; pero este curso tiene bien definidos los objetivos: superar las deficiencias de algebra elemental, planificado para dos semanas de trabajo.

Antes de iniciar con los contenidos del curso, queremos destacar algunos obstculos que se presentan en el proceso de enseanza aprendizaje de las matemticas, varios vicios que tenemos como alumnos los cuales debemos de ir eliminando para poder avanzar con el conocimiento, algunos de estos son: Ocultamos nuestros errores. En nuestro sistema educativo, el error es un hecho aislado, indeseado, descalificado y castigado. En algunos docentes existe el temor de que al exponer a la clase los errores cometidos por algunos alumnos, se fijen en ellos esos conceptos equivocados, y entonces se concluye que hay que ocultarlos, obviarlos, mejor ni mencionarlos, como si fuera un pecado cometer un error. Pareciera que lo nico til es hablar de la respuesta correcta, premiarla, mostrarla, valorarla y ensalzarla. Lo que importa es el resultado final perfecto. Y esta postura no es un invento nuevo: viene enraizada en la teora conductista del aprendizaje (por cierto, muy practicada por nuestros profesores). Como de formar y no de adiestrar personas se trata, los partidarios de la teora constructivista del aprendizaje caracterizamos al error como la materia prima con la que se debe trabajar para la construccin del conocimiento. De ah la importancia de que los alumnos manifiesten continuamente las ideas y conceptos de los diferentes temas, para estudiar las causas que originan el error. Todo lo hemos aprendido a partir de superar errores. Confundimos el aprendizaje con la memorizacin. Dentro del campo de las matemticas como de otros campos en los que se tienen que resolver problemas, se requieren capacidades (capacidad es el potencial para hacer algo) que se tienen que desarrollar. Entre estas cualidades estn: analizar, crear, definir, discriminar, evaluar, expresar, memorizar, percibir, sintetizar, etctera. En la escuela, fundamentalmente nos ensean a desarrollar la memoria, pero muy poco las dems capacidades. Al final de estos apuntes pusimos una seleccin de problemas de las matemticas recreativas con la finalidad de desarrollar algunas de estas capacidades. Algunas definiciones en forma breve.1. Analizar: Es decomponer un todo en sus partes y entender sus relaciones.

2. Crear: Es generar ideas o soluciones novedosas u originales (para el que las crea).

3. Definir: Es percibir o establecer un objeto y sus circunstancias relevantes a partir de una situacin.

4. Discriminar: Es diferenciar o seleccionar unos estmulos de otros.

5. Evaluar: Es confrontar resultados con objetivos.

6. Expresar: Es saber escribir o enunciar en forma clara (lgica) y concreta una idea o razonamiento previamente entendida o desarrollado.

7. Memorizar: Es recordar un dato o concepto previamente aprendido.

8. Percibir: Es saber interpretar un conjunto de datos de una situacin.

9. Sintetizar: Es formar un todo coherente que cumpla con un propsito a partir de partes

aparentemente inconexas.

No tenemos una estrategia para la resolucin de problemas. Para superar esta carencia, recomendamos el libro Principios y mtodos de la resolucin de problemas en el aprendizaje de las matemticas, de Luz Manuel Santos Trigo, Grupo Editorial Iberoamericana. Polya George (1945) identifica tres etapas principales en las que el uso de los mtodos heursticos juegan un papel importante. De manera general estas etapas son: 1. Entendimiento del problema; 2. Diseo de un plan; 3. Ejecucin del plan.

En cada uno de los temas de estos apuntes, se desarrollan algunos problemas que tratan de ejemplificar lo que se est exponiendo, posteriormente se proponen otros ejercicios con la finalidad de que en la praxis vayamos construyendo nuestro propio conocimiento. De cualquier manera, al final se presenta una seleccin de problemas de la matemtica creativa con la finalidad de desarrollar estas capacidades.Por el momento, antes de continuar con el estudio de lleno de los temas, proponemos el siguiente problema para que se resuelva ya, como un ejercicio de diagnstico. Sugerimos que una vez estudiados todos los temas regresemos a este problema y comparemos las dos respuestas.El problema consiste en contestar lo siguiente 2 es igual a 1?, s o no, por qu?

Planteamiento:

Definimos dos nmeros a y b, tal que:

a = b

Ahora multiplicamos ambos nmeros por a:

aa = ab Que es lo mismo a: a2 = ab

Luego restamos b2 de ambos lados: a2 b2 = ab b2Factorizamos en ambos lados: (a + b) (a b) = b (a b)

Dividimos ambos lados entre a b: (a + b) = b

Pero como a = b, entonces tenemos:

2 b = bFinalmente, dividimos ambos lados entre b:

2 = 1

II. TERMINOLOGALas matemticas son un lenguaje, un lenguaje simblico que se debe dominar para que sea efectiva la comunicacin en el proceso de enseanza aprendizaje.

Por esto es importante que cuando se diga factorizar en trinomio cuadrado perfecto, por ejemplo, todos sepamos de lo que se est hablando.

A continuacin, definiremos algunos trminos fundamentales del lenguaje matemtico.

Expresin algebraica. O simplemente expresin, es una combinacin de nmeros, literales (variables) y smbolos de operacin, por ejemplo:

Se podra decir que las expresiones algebraicas son las palabras con las que est construida la literatura matemtica, palabras que a su vez estn constituidas de su equivalente, las letras que en este caso seran nmeros, literales y smbolos de operacin.

Las partes de una expresin separadas una de otra por un signo + o se llaman trminos de la expresin. Una expresin se llama polinomio tambin, y en particular monomio, binomio o trinomio, segn tenga uno, dos o tres trminos, respectivamente; por ejemplo:

Es un trinomio

Es un binomio

Es un monomio

Los trminos mismos estn formados por nmeros y variables multiplicados entre s, llamados factores. El factor numrico se llama coeficiente numrico o simplemente, coeficiente de los factores. Segn esto, el trmino 5 XY tiene como factores 5, X y Y; 5 es el coeficiente de XY. El signo del trmino generalmente se considera que pertenece al coeficiente numrico. As, el coeficiente de Y2 en el trmino -2 Y2, es -2.

En un sentido ms general de la palabra coeficiente, cualquier grupo de factores de un trmino es coeficiente de los otros. Por ejemplo, al referirnos al trmino 5 XY, 5X es el coeficiente de Y; y 5Y es el coeficiente de X.

Los trminos que difieren solo de sus coeficientes numricos se llaman trminos semejantes. Por ejemplo, son trminos semejantes:

Un trmino puede estar formado por una fraccin, por ejemplo:

Tiene tres trminos

Normalmente no decimos que una fraccin tenga coeficiente.

Teorema. Ley conmutativa y asociativa.

La suma o el producto de cualquier expresin, es independiente de la forma en que se ordenen o se agrupen los trminos, Ejemplo:

Teorema. El producto de un nmero real X por la suma de trminos es igual a la suma de los productos de X por cada uno de los trminos. Ejemplo:

Teorema. Xn = X * X * X * X * * X

n veces

Donde: Xn es una potencia

X es la base

n es el exponente, un nmero natural

Ejemplos:

Operaciones en expresiones

a) Suma y resta.

La suma (o resta) de expresiones se realiza sumando (o restando) los trminos semejantes de cada expresin. Ejemplos:

b) Multiplicacin.

La multiplicacin o producto entre dos expresiones se realiza aplicando el siguiente teorema:

Teorema: X (Y + Z) = XY + XZ X (Y Z) = XY XZ. Ejemplo:

EJERCICIOS. Operaciones elementales de Algebra (suma, resta, multiplicacin)

1. Efectuar las operaciones indicadas y simplificar:

2. Efectuar las siguientes operaciones.

3. Efectuar las operaciones y simplificar.

III. PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACINProductos notablesSon ciertos productos entre expresiones algebraicas que, por cumplir reglas determinadas pueden realizarse sin llevarse a cabo la multiplicacin por el pro