apuntes algebra ini 2015

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nociones algebra

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UNIVERSIDAD DE VALPARASO

UNIVERSIDAD DE VALPARASO

ESCUELA DE NEGOCIOS INTERNACIONALES

APUNTES Y EJERCICIOS DE LGEBRA FUNDAMENTAL

(Primera Parte)

a) Trminos semejantesb) Simplificacin

c) Factorizacin

d) Operatoria con expresiones fraccionarias

e) Potencias

f) Races

HUMBERTO CCERES MILNES

Nota: En el resto del anlisis supondremos que todas las expresiones son reales.

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Es una combinacin de nmeros y letras relacionados con operaciones

de suma, resta, multiplicacin, divisin y a veces tambin por medio de

potencias, races, exponenciacin y logaritmacin.

EJEMPLOS

EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4

TRMINO

Las partes que se suman o restan de una expresin algebraica se llaman

trminos. El trmino es la unidad fundamental operativa del lgebra. El

trmino contiene las operaciones bsicas de multiplicacin y divisin.

EJEMPLOS

EMBED Equation.DSMT4

3. PARTES DE UN TRMINO

Consta de una parte numrica y otra literal

-9 representa el coeficiente numrico.

EMBED Equation.DSMT4 -9xy4

xy4 representa el coeficiente literal.

El coeficiente literal se ordena alfabticamente.

TRMINOS SEMEJANTES

Son aquellos que poseen la misma parte literal, es decir, los mismos

literales elevados a los mismos exponentes.

EJEMPLOS

EMBED Equation.DSMT4

NMERO DE TRMINOS DE UNA

EXPRESIN ALGEBRAICA

Segn el nmero de trminos que posee una expresin algebraica

tenemos:

MONOMIOS 5x xyz3 4ab

BINOMIOS a - b 7x 1 8m + 3n

TRINOMIOS x + y z a2 + 2ab + b2

MULTINOMIOS a + 3b 4c + 1

Importante: Los trminos se separan con los signos + y/o -

POLINOMIOS

Los polinomios estn formados por trminos cuyos coeficientes literales

contienen exclusivamente exponentes enteros positivos.

Forma general de un polinomio:

P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + + anxn.

en donde ai EMBED Equation.DSMT4 R, i = 0, 1, 2, ..., n. n EMBED Equation.DSMT4 N0

x5 2x3 + 7x2 4x + 1 Es polinomio

EMBED Equation.DSMT4 No es polinomio.

PARNTESIS (Signos de agrupacin)

TIPOS SIMBOLOGIA EJEMPLOS

Redondo EMBED Equation.DSMT4 - ( 5x + 2 )

PARENTESIS

Corchete EMBED Equation.DSMT4 [ 3x - 8 ]

Llaves { } { 6 - x }

Angular EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4

ELIMINACIN DE PARNTESIS

CASO I Cuando el signo ( + ) antecede al parntesis no interviene en la

operacin:

+(x-3y) = x-3y

CASO II Cuando el signo ( - ) antecede al parntesis si interviene en la

operacin:

-(4x-1) = -4x (-1) = -4x + 1

CASO III Presencia de parntesis dentro de parntesis. Estas expresiones se

resuelven desde el interior hacia el exterior de los parntesis:

- {8x-[x-4(3-x)+1]} = - {8x-[x-12+4x+1]} =

= - {8x-[5x-11]} = - {8x-5x+11} =

= - 8x+5x-11 =

= - 3x-11.

9. REDUCCIN DE TRMINOS SEMEJANTES

Consiste en sumar y/o restar los coeficientes numricos conservando el factor

literal comn.

REDUCIR:

(3x-1)+(x+1)-(2x-3)+4

Eliminando parntesis: 3x-1+x+1-2x+3+4

Ordenando : 3x+x-2x-1+1+3+4

Reduciendo : 2x + 7.

[2(a-b)-(a+b+3)]-(2a-5b+4)

Eliminando parntesis: 2a-2b-a-b-3-2a+5b-4

Ordenando : 2a-a-2a-2b-b+5b-3-4

Reduciendo : -a + 2b 7.

-{-3+4x-y-2[z+y-2x+(7-3z)-4(x-y)-3]}

Eliminando parntesis : -{-3+4x-y-2[z+y-2x+7-3z -4x+4y-3]}

: -{-3+4x-y-2z-2y+4x-14+6z+8x-8y+6}

: 3-4x+y+2z+2y-4x+14-6z-8x+8y-6

Ordenando : -4x-4x-8x+y+2y+8y+2z-6z+3+14-6

Reduciendo : -16x + 11y 4z + 11.

Con una mayor prctica, el proceso de reduccin se puede ir efectuando a medida que se van eliminando los parntesis.

PRODUCTOS NOTABLES

Representan casos de inters de multiplicacin de polinomios

Monomio por polinomio a(c + d e) = ac + ad - ae

Binomio por binomio (a + b)(c d) = ac ad + bc - bd

Polinomio por polinomio ( a + b c)(d e) = ad ae + bd be cd + ce

Cuadrado del binomio (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a b)2 = a2 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Cubo del binomio (a - b)3 = a3 3a2b + 3ab2 - b3

Suma por diferencia (a + b)(a b) = a2 b2

Ejercicios:

(-6x3y)(-2xy4) = (-6)(-2) (x3x)(yy4) = 12x4y5.

(ab)(4a2b3)(-7ab4) = -28(aa2a)(bb3b4) = -28a4b8.

4x(3-x) = 4x3 4xx = 12x-4x2.

-8(3a -2b) = -83a - 8(-2b) = -24a + 16b.

(7x 2y)(4x y2) = 28x2 7xy2 8xy + 2y3.

(2c + b)(3c b) = 6c2 -2bc +3bc b2 = 6c2 + bc b2

(4p q)2 = 16p2 24pq + q2 = 16p2 8pq + q2.

(5x + 7y2)2 = 25x2 + 25x7y2 + 49y4 = 25x2 + 70xy2 + 49y4.

(4c d)(4c + d) = (4c)2 (d)2 = 16c2 d2.

(5x +2y)(5x 2y) = (5x)2 (2y)2 = 25x2 4y2.

(3x 2z)3 = (3x)3 3(3x)22z + 3(3x)(2z)2 (2z)3 =

= 27x3 18x2z + 36xz2 8z3.

DESCOMPOSICIN EN FACTORES

FACTORIZAR

Factorizar una expresin algebraica consiste en expresarla slo a travs

de productos. Los casos ms comunes son los siguientes:

Factor comn monomio ab ac + ad = a(b c + d)

a2 2ab + b2 = (a b)2

Trinomio cuadrado perfecto 9x2 24xy + 16y2 = (3x 4y)2

a2 - b2 = (a + b)(a b)

Forma a2 EMBED Equation.DSMT4 b2

a2 + b2 no es factorizable en R.

Trinomio tipo:

x2 + bx + c x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)

a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2)

Forma a3 EMBED Equation.DSMT4 b3

a3 b3 = (a b)(a2 + ab +b2)

EJEMPLOS:

6x 3y = 3(2x y)

9a2 + 27ab = 9a(a + 3b)

5x3y 10x2y2 = 5xy(x2 2xy)

x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

x2 + 8x + 16 = (x + 4)2

x2 14x + 49 = (x 7)2

9x2 y2 = (3x + y)(3x y)

4x2 -49 = (2x + 7)(2x 7)

x3 + 1 = (x + 1)(x2 x + 1)

p6 64 = (p2)3 43 = (p2 4)(p4 +4p2 + 16) =

= (p + 2)(p 2)(p4 + 4p2 + 16)

x2 7x + 6 = (x -1)(x - 6)

x2 + 9x + 20 = (x + 5)(x + 4)

6x2 + 17x + 12 = (2x + 3)(3x + 4)

2x2 + 5x + 3 = (2x + 3)(x + 1)

6x2 11xy 10y2 = (3x + 2y)(2x 5y)

3x3 + 9x2 + x + 3 = 3x2(x + 3) + 1(x + 3) = (x + 3)(3x2 + 1)

3x 2y + 15xz 10yz = 3x 2y + 5z(3x 2y) =

= (3x 2y)(1 + 5z).

EJERCICIOS: Factorizar las siguientes expresiones:

1.) 7x 14x3 2.) 8x3 + 4x2 16x

3.) 6x6 + 12x5 18x4 + 30x2 4.) 12y9 4y6 + 6y5 + 8y4

5.) x3 + 3x2 + x + 3 6.) 4x3 + 6x2 + 2x + 3

7.) 6a 5b + 12ad 10bd 8.) x2 y 3x2z + 3yz

9.) x2 + 10x + 21 10.) y2 - 4y 12

11.) x2 12x + 27 12.) x2 + 13x + 22

13.) 4y2 11y + 6 14.) 6x2 + x 12

15.) 36y2 12y 15 16.) 18y2 21y 9

17.) 12x2 + 28xy + 8y2 18.) 3x2 + 13xy 10y2

19.) 6ab2 + 5ab + a 20.) 6bc2 + 13bc + 6b

21.) 6x5y + 25x4y2 + 4x3y3 22 ) 12p4q3 + 11p3q4 + 2p2q5.

23.) 16x2 81 24.) 81x2 25y2

25.) x4 1 26.) 16x6 9

27.) EMBED Equation.DSMT4 28.) EMBED Equation.DSMT4

29.) 7t3 63t 30.) 2y3 72y

31.) 27r3 8s3 32.) 8x5 x2y3

33.) 64y3 + 27x9 34.) 125m6n9 + 1