apuntes algebra lineal.10a

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Apuntesdelgebra Lineallgebra Lineal Ing. Manuel Gutirrez G.UNIDAD IMATRICES Y DETERMINANTES1. Matrices:1.1. Definicin1.2. Clasificacin de matrices1.3. Operaciones con matrices1.4. Inversa de una matriz1.5. Matrices elementales1.6. Aplicaciones de matrices2. Determinantes:2.1. Definicin y notacin2.2. Propiedades 2.3. Teoremas bsicos2.4. Determinantes inversos2.5. Regla de Cramer2.6. Aplicaciones de los determinantesUNIDAD IMATRICES Y DETERMINANTESDefinicin de MatrizEs un arreglo rectangular de mn elementos o cantidades acomodados o dispuestos en m renglones y n columnas:11 12 121 22 21 2nnm m mna a aa a aAa a a _ ,KKM M K MKa ( )ijA a donde:A Matriz de orden mxnija ij-simo elemento de la matriz A i i-simo rengln de A (i=1,2,,m) j j-sima columna de A (j=1,2,,n)Ing. Manuel J. Gutirrez G 2lgebra Lineal Clasificacin de matricesMATRICES BASICAS MATRICES ESPECIALESM. Rengln SubmatrizM. Columna M. Transpuesta (Propiedades *)M. Cuadrada M. SimtricaM. Diagonal M. AntisimtricaM. Nula M. InvertibleM. Identidad M. AdjuntaM. Triangular Superior M. ConjugadaM. Triangular Inferior M. HermitanaM. Elemental M. AntihermitanaM. EscalonadaM. ComplejaTarea No.: 1Tema: Clasificacin de Matrices*Propiedades de la transpuesta1 1 T. ( ) . ( ) , con A y B matrices . ( ) . ( ) ( ) , si A es invertible entonces A tambien es invertibleT T T T TT T T T Ti A A iii A B A B mxnii AB B A iv A A + + Operaciones con matrices Igualdad de matricesSean las matrices ( )ijA a y ( )ijB b de orden mxn, entonces A y B son iguales, si y solo si:ij ijA B a b Ej. Hallar la matriz A, para A=B, 3 2 0 34 7 2 4x yA y Bz w+ + _ _ + , ,Ing. Manuel J. Gutirrez G 3lgebra Lineal Suma de matricesSean ( )ijA a y ( )ijB b matrices mxn entonces:ij ijA B a b + +es decir.11 12 1 11 12 121 22 2 21 22 21 2 1 211 11 12 12 1 121 21 22 22 2 21 1 2 2n nn nm m mn m m mnn nn nm m m m mn mna a a b b ba a a b b bA Ba a a b b ba b a b a ba b a b a bA Ba b a b a b _ _ + + , ,+ + + _ + + + + + + + ,K KK KM M K M M M K MK KKKM M K MK Multiplicacin de una matriz por un escalarSea ( )ijA a una matriz mxn y k un escalar entonces:( )ijkA k a es decir:11 12 1 11 12 121 22 2 21 22 21 2 1 2n nn nm m mn m m mna a a ka ka kaa a a ka ka kakA k kAa a a ka ka ka _ _ , ,K KK KM M K M M M K MK KPropiedadesSean las matrices mxn A, B , C y N, adems c y k escalares (reales), entonces:a. A+ N = A, con N = matriz nulab. kA= N, con k = 0 y N = matriz nulac. A+B = B+ Ad. (A+B) + C = A+ (B+ C) e. k(A+B) = kA+kBf. cA= A, con c = 1g. A+ (-A) = N, N = matriz nulaIng. Manuel J. Gutirrez G 4lgebra Lineal Ej. I Realiza lo que se indica, dadas las siguientes matrices:1 3 0 1 0.5 0 0 20 2 0.5 0 , 1.5 0 0 3.5 ,1 1.5 0 1 1 1 2.5 23.5 4 1.5 10 1 0.5 0 y 0 2.5 0.5 10.5 0.5 10.5 12 2A BCa b c dD e f g hi j k l _ _ , , _ , + _ + ,1. 2 - 0.52. 4 23. 3 - 2 8 - 4 0M A B CP C B AC B A D + ++ Obtener la Matriz D, talque :Ej. II Realiza lo que se indica, dadas las siguientes matrices:1 4 0.25A 0 3 0.75 0.252 0 1.250 4.25 1B 0.25 1 03.75 0.25 0 1.25i ii i yii iii i _ , _ + ,1. 4 1.5 C A B Multiplicacin de matricesSea ( )ijA= a una matriz mxn y ( )ijB = b una matriz nxp, entonces la multiplicacin de A y B es la ( )ijC = c una matriz mxp, talque:(el i-simo rengln de A) (la j-sima columna de B)=(el ij- elemento de AB) donde:ij i1 1j i2 2j in njc = a b + a b + + a bPropiedades( ) ( )( )( )) ) ) a A BC AB Cb A B C AB ACc A B C AC BC+ ++ +Ing. Manuel J. Gutirrez G 5lgebra Lineal Ej. Realizar lo que se indica, dadas las siguientes matrices:2 01 0.5 0 1 0 1 0.5 2 10.5 10 0 0.5 1 , 1 2 , y 0 2 00 0.50.5 0 1 0 2 0 0 0.5 10 1A B C D _ _ _ _ , , , ,( )( )1. 2 0.52. 3. TT T TT TM A B CP B D C AN B C A D comprobar resultado en maple + 1 ] Potencia de una matrizSea ( )ijA= a una matriz cuadrada (nxn), las potencias de A, se definen como:2 13 2 0. . . . n ni A AA iii A A Aii A A A iv A I Para los polinomios de una matriz A, sea ( )2 nn 0 1 2 nP x = a + a x + a x + + a x un polinomio de grado n, donde ia son escalares (i = 0,1,2,...,n) , entonces:( )2 nn 0 1 2 nP A = a I + a A+ a A + + a AEj. Obtener ( ) P A, si: ( )3 231 0 11. 1 1 0 2 3 40 1 1A y P x x x x _ + ,( ) ( )331 12. 11 0iA y P x xi _ + ,Tarea No.: 2Tema: Operaciones con matricesIng. Manuel J. Gutirrez G 6lgebra Lineal Inversa de una matrizSean A y B dos matrices de nxn. Suponga que AB BA I Entonces B se llama la inversa de A y se denota por -1A, entonces se tiene que:1 1AA A A I Propiedades de las matrices invertiblesSean A y B matrices invertibles nxn, c un escalar distinto de cero, entonces:1. 1A es invertible, tal que: ( )11A A2. cA es invertible, tal que: ( )111cA Ac 3. AB es invertible, talque: ( )11 1AB B A 4. TA es invertible, tal que: ( ) ( )11TTA A5. nA es invertible, tal que: ( ) ( )11nnA AOperaciones elementales de renglnEn una matriz se pueden efectuar las siguientes operaciones elementales de rengln:1. El intercambio de dos renglones:i jR R 2. La multiplicacin de un rengln por un escalar distinto de cero: icR3. La suma de un mltiplo de un rengln a otro rengln: i jcR R +El proceso de aplicar operaciones elementales de rengln para llevar a una matriz a la forma escalonada de rengln, denominado reduccin de rengln, es utilizado para reducir una matriz a la forma escalonada.Ej. Obtener la inversa ( )1A de la matriz dada si:2 4 61. 4 5 63 1 2A _ , 3 12 2 61 3 0 22.2 10 2 51 6 1 3B _ ,Ing. Manuel J. Gutirrez G 7lgebra Lineal Matriz ElementalUna matriz elemental es aquella que puede ser obtenida al realizar una operacin elemental por rengln sobre una matriz identidad. Una matriz elemental se denota como nE .Cada matriz elemental es invertible ( )1nE y su inversa es una matriz elemental del mismo tipo.Sea 1 2 kA E E E L donde iE es una matriz elemental invertible, si A es invertible entonces: 1 1 1 1 11 2 1 k kA E E E E LPor lo tanto:( ) ( )1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 2 1 1 2 1 k k k kA A E E E E E E E E L LOperaciones de matrices elementales Permutacin de dos renglones: ijP ( )1ij ijP P Multiplicacin de un escalar por un rengln:icR ( )1 1i icR Rc Suma de dos renglones: i jcR R + ( ) ( )1i j i jcR R cR R+ +Ej. Obtener la matriz dada como el producto de sus matrices elementales:2 4 64 5 63 1 2A _ ,Tarea No.: 3Tema: Inversa de una matriz / Matrices elementalesTarea No.: 4Tema: Matrices elementalesIng. Manuel J. Gutirrez G 8lgebra Lineal Factorizacin LU (Descomposicin LU)Sea A una matriz nxn, entonces la matriz A se puede escribir o descomponer de la forma:A LU Es decir, como el producto de una matriz triangular inferior (L) y una matriz triangular superior (U), con:11 12 122 200 0nnnna a au uUu _ ,LLM M O ML Matriz escalona por renglones (sin permutaciones) i jcR R +211 21 0 01 01n nlLl l _ ,LLM M O ML Producto de matrices elementales 1 1 1 11 2 1 n nL E E E E LPor lo tanto:( )1 1 1 11 2 1 n nA E E E E U L Descomposicin PA=LUSea A una matriz nxn, entonces la matriz A, si para descomponer a la matriz dada se requiere de alguna permutacin de renglones ( )i jR R se obtienen matrices de permutaciones elementales ( )iP el producto de las matrices se llama matriz de permutacin:1 2 1 n nP PP PP LPor lo tanto la matriz A se puede expresar de la forma:PA LU Ej. 1 Descomponer la matriz dada como A=LU: 2 3 2 44 10 4 03 2 5 22 4 4 7A _ ,Ej. 2 Descomponer la matriz dada como PA=LU: 0 2 32 4 71 2 5A _ ,Tarea No.: 5Tema: Descomposicin LUIng. Manuel J. Gutirrez G 9lgebra Lineal DETERMINANTESDefinicin:Sea ( )ijA a una matriz nxn: entonces el determinante de A que se denota como det A, se define como: Sea 11 1221 22a aAa a _ , entonces 11 1211 22 12 2121 22deta aA a a a aa a Menor de una matrizSea ( )ijA a una matriz nxn, entonces el menor de A, que se denota como Mij es una matriz de orden (n-1)x(n-1), que se obtiene al eliminar el i-simo rengln y j-sima columna de A.Cofactor de una matrizSea