1

Matemtica

Mg. Sixto Gmez Salcedo

2012

2

Autor

Mag. Sixto Gmez Salcedo

Primera Edicin - Abril 2012

Diseo y diagramacin

Lic. Vernica Rodrguez Velsquez

Impreso por

Universidad Tecnolgica del Per - Arequipa

La Merced 209-215 Telf: (054) 286843

Impreso en Per/ Printed in Per

3

INTRODUCCIN

Los estudios de la Matemtica son cuestionados por muchos

estudiantes de Educacin Primaria, Educacin Secundaria y Educacin

Superior. En algunos casos, llegan a la Universidad con traumas

psicolgicos provocados por las dificultades que han tenido en el

aprendizaje de la Matemtica. Posiblemente la causa del rechazo de la

Matemtica sean algunos profesores porque no asumen el rol educativo

que les corresponde de centrar el proceso educativo en el proceso de

aprendizaje, de ser un gua, un facilitador del proceso del aprendizaje

proporcionando ayudas al proceso de construccin del conocimiento

por parte de los estudiantes. El aprendizaje debe ser significativo en

cuanto a su utilidad y a la conexin de los conocimientos nuevos con

los conocimientos previos, para la modificacin de la estructura mental

del estudiante y hacer duradero el aprendizaje.

Por otro lado, la Matemtica promueve el desarrollo de capacidades

intelectuales de los estudiantes, que las utiliza durante toda su vida.

Entre otras capacidades se tiene las siguientes:

- Observacin, concentrndose en lo principal y en los detalles.

- Comparacin, sealando semejanzas y diferencias.

- Clasificacin, formando grupos de objetos de la Matemtica.

- Generalizacin, para el proceso de abstraccin.

- Anlisis y sntesis; etc.

El objetivo del presente trabajo es revalorar la importancia de la

Matemtica, pues los conocimientos de la Matemtica se utilizan en

todas las actividades humanas. As mismo, la Matemtica contribuye a

ordenar el pensamiento por medio del razonamiento lgico, que incide

en la obtencin de conclusiones.

4

El autor agradece las opiniones de profesores y alumnos que servirn

para mejorar la presente edicin y ofrece disculpas por los errores que

pudieran ser detectados.

Arequipa, 03 de abril del 2012

Mg. Sixto Gmez Salcedo

5

INDICE

PRESENTACIN

CAPITULO I: INTRODUCCIN A LA LGICA

1.1 Proposiciones lgicas: Principios lgicos...........7

1.2 Aplicaciones de los principios lgicos.....19

1.3 Razonamiento matemtico......32

CAPITULO II: ESTRATEGIAS DE ESTUDIO DE LA MATE-

MTICA

2.1 El Estudio.......37

2.2 Estudio de la Matemtica........39

2.3 Estrategias de estudio de las definiciones.........42

2.4 Estudio de las propiedades......46

2.5 Estrategias de estudio de los problemas......48

CAPITULO II: IMPORTANCIA DE LA TEORA DE CON-

JUNTOS

3.1 Conjuntos en la realidad......56

3.2 Conjuntos en la Matemtica.............57

CAPITULO IV: LA MATEMTICA Y LA REALIDAD

4.1 Los nmeros y las actividades profesionales........67

4.2 Matematizacin de la ciencia.......68

4.3 La Matemtica en la naturaleza: modelos matemticos........69

CAPITULO V: VARIABLES Y FUNCIONES

5.1 Variables y funciones en la realidad.....74

5.2 Funciones en la Matemtica....76

6

CAPITULO VI: DIVERTIMIENTOS MATEMTICOS

6.1 Juegos matemticos....83

6.2 Divertimientos matemticos por adivinacin......87

6.3 Razonamientos errados.......91

CAPITULO VII: CARACTERSTICAS DE LA MATEMTICA

7.1 La Matemtica como ciencia abstracta....96

7.2 La Matemtica como ciencia deductiva.......98

7.3 Teora de conjuntos como lenguaje de la matemtica....100

7.4 El mtodo axiomtico de la Matemtica....101

CAPITULO VIII: ESTRUCTURAS MATEMATICAS

8.1 Sistemas matemticos...103

8.2 Estructuras matemticas...107

8.3 Estructuras matemticas y estructuras operatorias de la

inteligencia....109

MISCELANIA DE EJERCICIOS.....115

BIBLIOGRAFIA.....116

7

CAPTULO I

1 INTRODUCCIN A LA LGICA

La estructura arquitectnica de la Matemtica est constituida por los

materiales de construccin como nmeros, funciones y espacios

unificados por la teora de conjuntos y el mtodo de construccin est

constituido por las leyes de la Lgica que permiten ensamblar los

materiales para levantar el edificio de la Matemtica. El material

matemtico comprende principios generales como definiciones y

axiomas de los cuales se deducen teoremas como casos particulares. La

prueba o demostracin de los diversos teoremas se realiza utilizando las

leyes de la Lgica, lo que constituye el raciocinio.

El objetivo del presente captulo es tratar el aspecto ms elemental de la

Lgica, las proposiciones lgicas y los principios lgicos de modo que

permitan comprender de manera cabal el proceso mediante el cual se

realiza las demostraciones de teoremas, partiendo de definiciones,

axiomas y otros teoremas. Esta forma de ver la Matemtica se sintetiza

afirmando que la Matemtica es una ciencia formal deductiva.

1.1 PROPOSICIONES LGICAS: PRINCIPIOS LGICOS

Una proposicin lgica o simplemente una PROPOSICIN, es un

enunciado (o una expresin) susceptible a ser calificado de verdadero

o falso. Por ejemplo, son proposiciones los siguientes enunciados:

El perro es fiel amigo del hombre

Yo estudio para triunfar

25 + 15 = 40

Juan conversa y Pedro lee

8

Las proposiciones son simples o atmicas y compuestas o

moleculares. Las proposiciones simples no incluyen conjunciones o

conectivos, tales como:

Ayer hizo calor

Roberto es bueno

Soy feliz

Trabajar no es afrenta

Las proposiciones simples de la forma:

S es P

se llaman PROPOSICIONES PREDICATIVAS, donde S es el sujeto

y P el predicado (cualidad del sujeto).

Las proposiciones compuestas estn formadas por combinaciones de

proposiciones simples utilizando conjunciones o conectivos; por

ejemplo:

Carlos mira y Alberto estudia

Nairobi es capital de Kenia o de Uganda

Si las plantas se abonan, entonces darn buenos frutos

San Martina ha muerto y el Per lo llora

Las conjunciones o conectivos ms comunes que utilizaremos son los

siguientes:

1. Negacin ...... no : simbolizada por

2. Conjuncin .... y : simbolizada por

3. Disyuncin ........ o : simbolizada por

4. Condicional sientonces : simbolizada por

5. Bicondicional . si y solo si : simbolizada por

9

Si las proposiciones simples de denotan con las letras:

p, q, r,

entonces tendremos cinco frmulas lgicas:

Ntese que en una proposicin compuesta, por ejemplo:

( )

las letras p, q, r son smbolos que representan proposiciones cuales-

quiera. En la Lgica es importante la forma de las proposiciones com-

puestas ms no el contenido de las proposiciones simples que inter-

vienen.

TABLAS DE VERDAD

La verdad o falsedad de una proposicin compuesta, depende de la

verdad o falsedad de las proposiciones simples que la componen. Para

conocer la verdad de una proposicin compuesta es necesario

construir las llamadas TABLAS DE VERDAD.

Negacin: Una proposicin que se obtiene negando una proposicin

simple p es verdadera si p es falsa y es falsa si p es verdadera:

V F F V

10

Conjuncin: Una proposicin compuesta que une dos proposiciones simples por medio de la conjuncin y es verdadera si ambas propo- siciones simples son verdaderas:

V V V V F F F V F F F F

Disyuncin: Una proposicin compuesta en la que dos proposicio-

nes simples se conectan por medio de la disyuncin o es verdadera

si por lo menos una de las proposiciones simples es verdadera:

V V V V F V F V V F F F

Existe otro significado de la disyuncin o en el sentido que p q

son proposiciones verdaderas pero no ambas a la vez. En este caso la

disyuncin o se dice exclusiva y en lugar de escribir p q (con la

o inclusiva) escribiremos:

( ) ( )

( ) ( )

V V V F F V V F V V V F F V V V V F F F F F V F

11

Condicional: En una proposicin condicional p q, la proposicin

p se denomina ANTECEDENTE y la proposicin q, CONSE-

CUENTE. Una proposicin condicional es verdadera si la verdad del

consecuente depende de la verdad del antecedente; es decir, la verdad

del antecedente obliga la verdad del consecuente. La situacin

contraria ocurre cuando la verdad del antecedente no obliga la verdad

del consecuente; es decir, cuando el antecedente es verdadero y el

consecuente es falso; en este caso la proposicin compuesta es falsa.

Luego se tiene la siguiente Tabla de Vedad parcial:

V V V V F F

Para construir el resto de la tabla de verdad de la proposicin

condicional cuando el antecedente es falso, el uso corriente del

espaol no es de mucha ayuda; pues esta clase de proposiciones

parece que ni son tilies ni tienen sentido, como en los siguientes

ejemplos:

Si el sol es azul entonces la luna es dulce.

Si todos los hombres son franceses entonces algunos hombres son

franceses.

En la Matemtica no se puede descartar los dos casos en los que el

antecedente es falso. Por ejemplo: Sea p la proposicin falsa 3=4,

aplicando propiedades correctas de las operaciones con nmeros

naturales se puede ver que esta proposicin falsa conduce a resultados

que son verdaderos o falsos. En efecto:

1.

12

2.

En concesuencia, en la Matemtica se presentan casos en los cuales el

antecedente es falso y el consecuente puede ser falso o verdadero.

Con estas ideas complementamos la tabla de verdad de la proposicin

condicional:

V V V V F F F V V F F V Ntese que, nunca una verdad puede implicar una falsedad.

Bicondicional: La tabla de verdad de la proposicin bicondicional se

obtiene a partir de la tabla de la proposicin condicional, en la

siguiente forma:

( ) ( )

V V V V V V F F F V F V V F F F F V V V

PRINCIPIOS LGICOS O TAUTOLOGAS

Un principio lgico es una proposicin compuesta que es siempre

verdadera independientemente de la verdad o falsedad de las propo-

siciones componentes. Los principios lgicos reciben el nombre de

13

TAUTOLOGAS y lo contrario a una tautologa se denomina

CONTRADICCIN o FALACIA.

Observacin: No todos los principios lgicos estn entre las catego-

ras de tautologa o contradiccin.

Ejemplo 1: ( )

V F V F F V V V

Tautologa

Ejemplo 2:

V F F F V F Contradiccin

IMPLICACIN Y EQUIVALENCIAS LGICAS

Es importante distinguir la implicacin lgica de la condicional y la

equivalencia lgica de la bicondicional, con el fin de no cometer

errores en el proceso de demostracin de la validez de las

proposiciones. La implicacin lgica o simplemente implicacin, es

una proposicin condicional tautolgica y se simboliza por:

Luego: p q significa que la condicional p q es una tautologa y se

dice que: p implica lgicamente a q, o que: q es una consecuencia

lgica de p.

14

Por otro lado, la equivalencia lgica es una proposicin bicondicional

tautolgica y se representa por:

En este caso se tiene dos implicaciones lgicas: y ,

luego se deduce lgicamente de se deduce lgicamente de

.

PRINCIPIOS LGICOS CON UN ARGUMENTO

Existen tres principios lgicos clsicos, a saber: de identidad, de no

contradiccin y del tercio excluido.

1. Principio de Identidad: Toda proposicin verdadera es verda-

dera.

En smbolos se tiene: :

V V F V

2. Principio de No Contradiccin: Dos proposiciones contradic-

torias no pueden ser ambas verdaderas: ( )

( )

V V F F V F

3. Principio del Tercio Excluido: Toda proposicin es verdadera

o falsa:

V V V F F F V V

15

Adems de los tres principios lgicos clsicos, existen otros, como los

siguientes:

4. ( )

5. ( )

( ) ( )

V F V F V V V V F V V V F F V F

PRINCIPIOS LGICOS CON DOS ARGUMENTOS

1. Principio de Modus Ponens: ,( ) -

,( ) - V V V V V V V V F F F V V F F V V F F V V F F V F F V F

2. Principio de Contraposicin: ( ) ( )

( ) ( ) V V V V V V F F V F F V V V V F F V V V

16

3. Principio de Modus Tollens: ,( ) -

,( ) - V V V F F V F V F F F V V F F V V F F V V F F V V V V F

4. Principio del Silogismo Disyuntivo: ,( ) -

, ( ) -

V V V F F V V V F V F F V F F V V V V V V F F F F V V F

5. , ( )-

, ( )-

V V F F F V V V F F F F V F F V V V V V V F F V F V V F

6. , ( )-

, ( )- V V V F F V F V F V F F V F F V F V F V V F F F V F V F

17

7. , ) ( )- ( )

, ) ( )- ( )

V V V V V V V V V V F F F V V V F F F V V V V V V V V F V V V V V V V V

PRINCIPIOS LOGICOS CON TRES ARGUMENTOS

, ( )- ,( ) ( )-

, ( )- ,( ) ( )- V V V V V V V V V V V V F V F F V V F F V F V V V V V F V V V F F V V V V F V F F V V F V V V V V V F V F F V F V V V V F F V F V V V V V V F F F F V V V V V V

Grupo de Ejercicios 1.1

1. Cules de las siguientes proposiciones son verdaderas y cules son

falsas?

a) Si todos los vegetales son de bronce entonces algunos

vegetales son de bronce.

b) Si todos los animales son felices entonces algunos tigres son

felices.

c) Si algunos hombres son inmortales entonces todos los

hombres son inmortales.

18

d) Si Ecuador est en Sur Amrica entonces Colombia est en

Norte Amrica.

2. Un estudiante dice a otro: Si consigo el libro ir a estudiar. En

cul de los siguientes casos el estudiante minti?

a) Consigui el libro y fue a estudiar.

b) Sin conseguir el libro fue a estudiar.

c) Consigui el libro y no fue a estudiar.

d) Ni consigui el libro ni fue a estudiar.

3. Construir la tabla de verdad de las siguientes proposiciones, con

dos argumentos.

a) ( )

b) ( ) ( )

c) ( ) ( )

d) ( )

e) , ( ) ( )-

f) ( ) ( )

g) , ( )- ( )

h) ,( ) - ( )

i) , ( )- ,( ) -

4. Construir la tabla de verdad de las siguientes proposiciones con 3

argumentos:

a) ( )

b) ( )

c) ( ) ( )

d) ,( ) -

e) ( ) ,( ) ( )-

f) ,( ) ( )- , ( )-

5. En el conjunto de nmeros naturales , escribir la proposicin

contrapuesta de las siguientes proposiciones:

19

a)

b)

c) ( )

d)

6. Escribir la proposicin contrapuesta de: ( ) ( )

7. Cules de las siguientes proposiciones son contradicciones y

cuales son tautologas?

a) )

b) ( ) ( )

c) , ( )-

d) , ( )- , ( ( )-

e) ( ) *, ( )- ( )+

8. Comprobar que la siguiente proposicin es una tautologa:

( ) ( )

1.2 APLICACIONES DE LOS PRINCIPIOS LGICOS

Las proposiciones de la Matemtica estn constituidas por: defini-

ciones, axiomas, teoremas, corolarios, otras proposiciones menos

importantes.

Las definiciones son proposiciones equivalentes de la forma:

Los axiomas, teoremas y corolarios en la mayora de casos tienen la

forma implicativa:

( ) ( )

20

o tienen la forma de equivalencia lgica:

( ) ( )

de tal manera que la hiptesis ( ) implica necesaria y

forzosamente la validez de la tesis ( )

Las PROPOSICIONES DEMOSTRABLES son proposiciones

implicativas o equivalentes (que pueden ser teoremas u otras

proposiciones de menor importancia) cuya validez no se aprecia

inmediatamente, por lo que es necesario la aplicacin de los principios

lgicos. El procedimiento que se sigue para determinar la validez de

una proposicin implicativa se llama demostracin.

INFERENCIA PROPOSICIONAL

Una inferencia proposicional o deduccin es una proposicin

implicativa lgica, donde a partir de una o varias proposiciones

(simples o compuestas) llamadas premisas se obtiene otra proposicin

llamada conclusin. Si representa las premisas y la

conclusin entonces decimos que se infiere a partir de

y se representa como sigue:

tambin

T : Conclusin

Premisas

21

Una inferencia que consta de dos premisas simples y una conclusin

simple se denomina SILOGISMO. Un silogismo tiene la forma

siguiente:

M es P premisa mayor (p)

S es M premisa menor (q)

S es P Conclusin (r)

donde M, P, S representan conceptos llamados: concepto medio,

concepto mayor y concepto menor respectivamente.

Los silogismos adoptan una de las 4 formas siguientes:

M es P P es M M es P P es M

S es M S es M M es S M es S

S es P S es P S es P S es P

De la definicin de inferencia o deduccin se tiene que los principios

lgicos implicativos son inferencias que se denominan LEYES DE

INFERENCIA y son de extremada importancia en la Matemtica

debido a que permiten deslindar el fundamento de la deduccin con

mayor claridad. Entre las leyes de inferencia tenemos algunas de ellas:

1. Ley de la doble negacin: ( )

( )

2. Ley de contraposicin: ( ) ( )

22

3. Leyes de Morgan:

a) ( ) ( )

( )

( )

b) ( ) ( )

( )

( )

4. Leyes conmutativas:

a)

b)

5. Leyes distributivas:

a) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

b) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

6. Ley de Modus Ponens: ,( ) -

23

7. Ley de Modus Tollens: ,( ) -

8. Ley del silogismo disyuntivo: ,( ) -

9. Ley de simplificacin: ( ) ( )

10. Ley de adjuncin:

11. Principio apaggico: , ( )-

( )

12. Ley del silogismo hipottico: ,( ) ( )- ( )

13. Ley de exportacin: ,( ) - ( ( )

( )

( )

( )

( )

24

14. ( ) ( )

15. ,( ) ( )- , ( )-

( )

16. ,( ) ( )- ,( ) -

DEMOSTRACIN DE PROPOSICIONES

Una inferencia es una proposicin implicativa; es decir es una

proposicin condicional tautolgica, cuya validez no es fcil de

apreciar, salvo si se trata de leyes de inferencia. El procedimiento para

poner en evidencia la validez de una inferencia se denomina

DEMOSTRACIN, y sta recurre a las leyes de inferencia como

formas validas del razonamiento deductivo.

A. DEMOSTRACION DIRECTA

La demostracin directa de una inferencia:

consiste en empezar de la verdad de alguna proposicin conocida

como antecedente y utilizando las leyes lgicas de las inferencias,

mediante implicaciones sucesivas, llegar a la verdad de la conclusin

T:

25

Ejemplo 3

Si Alejandra compra la casa, No ser su aval. Los precios bajan o

Alejandra compra la casa. Si los precios bajan Roberto rentar un

terreno. Si No es el aval, Rosario se disgustar con l. Por consiguien

te, si Roberto no renta un terreno, Rosario se disgustar con No.

Demostracin

Sean: p: Alejandra compra la casa

q: No ser el aval

r: Los precios bajan

s: Roberto rentar un terreno

t: Rosario se disgustar con No

Luego, demostramos la inferencia:

(1)

(2)

(3)

(4)

Tomamos como premisa adicional

(5)

Luego:

(6) Modus Tollens en 3) y 5)

(7) ..... Silogismo Disyuntivo 2) y 6)

(8) . Modus Ponens 1) y 7)

26

(9) ...... Modus Ponens en 4) y 8)

El razonamiento anterior se puede disponer como sigue:

(1) . premisa

(2) ........... premisa

(3) .. premisa

(4) .. premisa

(5) .. premisa adicional

(6) .. Modus Tollens (3,5)

(7) .. Silogismo Disyuntivo (2,6)

(8) .. Modus Ponens (1,7)

(9) .. Modus Ponens (4,8)

B. DEMOSTRACION INDIRECTA

Las contradicciones lgicas son de la forma:

Estas contradicciones se utilizan en las demostraciones indirectas o

por contradiccin. Los principios lgicos que se utilizan en las

demostraciones indirectas aparte de otros principios son los siguien-

tes:

1) , - : Una proposicin que implica su propia

falsedad es falsa

2) , - : Una proposicin cuya falsedad implica su ver-

dad es verdadera

3) , - : Una proposicin que implica una contra-

diccin cualquiera es falsa

27

4) , ( )- : Una proposicin cuya falsedad implica

una contradiccin es verdadera

Para demostrar indirectamente una inferencia:

se comienza por negar que T es verdadera y utilizando esta negacin

como premisa adicional, llegar a una contradiccin, utilizando las leyes

de inferencia en implicaciones lgicas sucesivas.

( )

La contradiccin a la que se llegue, pone fin a la demostracin, pues la

proposicin

, ( )-

es un principio lgico.

Ejemplo 4

Si Puerto Bermdez se encuentra en Junn, la ciudad de Ambo est en

Hunuco o la ciudad de Oxapampa no est en Pasco. El Pachitea no

es un puerto y la ciudad de Oxapampa est en Pasco. Si la ciudad de

Ambo est en Hunuco, el Pachitea es un puerto. As que Puerto

Bermdez no se encuentra en Junn.

Demostracin

Sean: p: Puerto Bermdez se encuentra en Junn

q: La ciudad de Ambo est en Hunuco

r: La ciudad de Oxapampa no est en Pasco

s: El Pachitea no es un puerto

28

Demostramos que:

Supongamos que no es cierta la conclusin. Luego se tiene:

(1) : premisa

(2) : premisa

(3) : premisa

(4) : premisa adicional

(5) : Modus Ponens (1,4)

(6) : Ley de simplificacin (2)

(7) : Silogismo disyuntivo (5,6)

(8) : Modus Ponens (3,7)

(9) : Ley de simplificacin (2)

(10) : Contradiccin (8,9)

Grupo de Ejercicios 1.2

1. Utilizando principios adecuados, escribir proposiciones equivalentes

a cada una de las siguientes proposiciones:

a) Hoy es feriado y maana es laborable

b) Juan es abogado o medico

c) Si maana hay cielo nublado entonces llover

d) El calor dilata los cuerpos

e) No es cierto que Jos no sea ingeniero

f) No es verdad que si los claveles son rojos entonces el agua no es

incolora

29

2. Hacer notar el principio del tercio excluido en la demostracin de la

siguiente proposicin. La ecuacin ( ) siempre tiene

solucin en .

3. Usando el hecho de que en (nmeros naturales)

demostrar en , la siguiente proposicin:

4. Encontrar la conclusin de las siguientes premisas: a)

b) ( ) ( )

En los ejercicios del 5 al 11, verificar la validez de las inferencias pro-

puestas, por demostracin directa:

5. a) ( ) b)

( )

6. a) ( ) b)

( )

30

7. a) b)

( ) ( )

8. a) b)

9. a) ( ) b)

( )

10. a) b) ( )

11. a) ( ) b) ( )

( )

12. Juego ftbol o estudio. Si paso el examen no estudio. Sucede que no

voy a jugar ftbol. En consecuencia no pas el examen.

13. Ayer no fue mircoles o maana no es martes. Hoy es jueves y ayer

fue mircoles. Hoy es lunes si y solo si maana es martes. Luego hoy

no es lunes.

31

14. Vamos al teatro si y solo si no vamos al cine. No vamos a la fiesta si

y solo si vamos al teatro y no vamos al cine. Vamos al teatro. En

consecuencia no vamos a la fiesta.

15. Repruebo el examen o sigo mis estudios. Si repruebo el examen,

perder la beca y me ir de la ciudad. No perder la beca o no me ir

de la ciudad. Luego seguir estudiando.

16. Si se requiere ya sea de Algebra o de Geometra, entonces todos los

estudiantes tomarn Matemticas. Se requiere el lgebra y se

requiere la Trigonometra. Por lo tanto, todos los estudiantes

tomarn Matemticas.

17. Si ahorro dinero o apruebo mis exmenes viajar en vacaciones. Si

consigo libros y no pierdo tiempo apruebo mis exmenes. No

viajar en vacaciones. En consecuencia pierdo tiempo o no consigo

libros.

En los ejercicios del 18 al 20, demostrar la validez de las inferencias

dadas, por contradiccin.

18. a) b) ( )

( )

( )

19. a) ( ) b) , ( )-

( ) , ( )-

32

20. a) ( ) b) ( )

( )

21. Los tringulos son polgonos y un cuadrado es un paralelogramo. Si

un cuadrado es un paralelogramo, entonces la interseccin de un

plano con una esfera es un crculo o los tringulos no son polgonos.

Por consiguientes la interseccin de un plano con una esfera es un

crculo.

22. Si Rosa compra el terreno, Manuel hace el proyecto. Rosa no

compra el terreno y los precios bajan. Rosa compra el terreno o se

construye la casa. Si se construye la casa, Manuel ira a Espaa. En

consecuencia Manuel ir a Espaa.

23. Sean a, b, c, d nmeros naturales. Luego o bien y

. Adems . Si entonces . Por tanto .

1.3 RAZONAMIENTO MATEMTICO

El razonamiento matemtico es el razonamiento lgico en el que las

proposiciones lgicas se refieren a objetos de la Matemtica y las leyes

de inferencia son las leyes de la Matemtica que estn constituidas por

definiciones de objetivos y propiedades de dichos objetos.

En la mayora de libros de Matemticas en los teoremas, los autores

prefieren diferenciar las premisas y la conclusin final en la siguiente

forma:

- Premisas: hiptesis

- Conclusin: tesis

- Fundamentacin: demostracin

33

Debido al rechazo que tienen los estudiantes egresados de Educacin

Secundaria hacia la Matemtica, es preferible no cambiar la denomina-

cin de las premisas y la conclusin final de una inferencia matem-

tica.

Demostracin directa de propiedades

Para demostrar la propiedad se empieza de la premisa y

utilizando definiciones y propiedades se debe llegar a la conclusin

final , con lo que termina la demostracin, porque la proposicin:

,( ) -

es un principio lgico llamado Modus Ponens.

Demostracin indirecta de proposiciones

La demostracin indirecta consiste en negar la conclusin y

utilizando esta negacin como premisa adicional se debe llegar a una

contradiccin, con lo que termina la demostracin, porque la

proposicin:

, ( )-

es un principio lgico llamado Principio Apaggico.

TRABAJO EN GRUPO El estudio de la Matemtica en forma individual requiere de mucho

tiempo y de consulta son compaeros y profesores. Se avanza mas

contenidos en menos tiempo cuando el estudio se realiza en forma

grupal, en grupos de 2 3 personas.

El estudio en grupo ofrece las siguientes ventajas:

- Se comparte experiencias y conocimientos previos.

34

- Participacin de todos los miembros del grupo.

- Cada persona asume un rol especfico.

- Cada persona se ve incentivado para la comunicacin fluida.

- Existe confrontacin de puntos de vista.

- El responsable del grupo debe ocuparse de la cohesin del grupo y

de un clima positivo de trabajo.

Si a las funciones anteriores se agrega que los miembros del grupo se

rinden cuentas, entonces se dice que el grupo trabaja en equipo.

Ejemplo 5

Hallar el valor de en la ecuacin:

Solucin: (1) Premisa

(2) Propiedad del opuesto en (1)

(3) Operacin de adicin en (2)

(4)

Propiedad del inverso en (3)

(5) Operacin de divisin en (4)

Ejemplo 6

Demostrar que el siguiente conjunto es vaco:

* +

Demostracin:

Por contradiccin

(1) ...... Premisa

35

(2) . Premisa adicional

(3) ... posee elemento mnimo

(4) . Definicin de A en (3)

(5) . Multiplicacin por en (1)

(6) . Propiedad transitiva en (4) y (5)

(7) . menor que : Contradiccin

(8) Debe ser Para eliminar la contradiccin

Ejemplo 7

Si son nmeros enteros tales que | | | | entonces el

cociente

no es un nmero entero.

Demostracin:

Proposicin: | | | |

(1) | | | | ...... Premisa

(2)

. Premisa adicional

(3) |

| | | ... Propiedad del valor absoluto en(2)

(4) | |

| | | | ... Propiedad del valor absoluto en (3)

(5) | | | || | ... Definicin de cociente en (4)

(6) | | .. Propiedad:

(7) | || | | | ... Multiplicar por | | en (6)

(8) | | | | .. Sustituir (5) en (7): contradiccin.

Luego, debe ser

36

Grupo de Ejercicios 1.3

1. Completar los espacios en blanco, siendo a y b nmeros racionales.

(1) :

(2) :....

(3) :....

(4) :...

(5)

:....

2. Completar los espacios en blanco, en el siguiente razonamiento

sobre figuras planas congruentes:

(1) :

(2) ( ) :

(3) ( ) :

(4) :

3. Si a, b, c, d y m son nmeros enteros no nulos en ,demostrar

que:

a)

b)

37

CAPITULO II

2 ESTRATEGIAS DE ESTUDIO DE LA MATEMTICA

2.1 EL ESTUDIO

El estudio es el esfuerzo que pone al entendimiento aplicndose a

alguna cosa para aprender (Metodologa: Sigfredo Chiroque y Sergio

Rodrguez; Bachillerato Peruano).

Estudiar no solo implica leer de una manera puramente receptiva,

sino comprender, asimilar, organizar los conocimientos y llegar

finalmente a la creacin y recreacin de nuevas informaciones.

(Metodologa: Sigfredo Chiroque y Sergio Rodrguez).

CAPACIDADES PARA EL ESTUDIO Capacidad de reflexin (Revisar una cosa para conocerla mejor). Capacidad de reproducir y explicar un contenido con sus propias

palabras.

Capacidad de aplicar un contenido.

CONDICIONES DEL ESTUDIO Condiciones Internas

- Motivacin (Fuerza interior que impulsa a una persona para llevar a la prctica una accin).

- Actitudes (Disposicin de nimo de algn modo manifiesta). - Estructura cognitiva (Conjunto de conocimientos previos que se de

ben relacionar con los nuevos conocimientos).

- Metacognicin (Conocimiento de los propios conocimientos).

38

Condiciones Externas

- Material de Estudio (libros, revistas, diapositivas, etc.)

- Tcnicas de estudio (Organizar los materiales, el espacio y el

tiempo de estudio, buscar ayuda, etc.)

FASES DEL PROCESO DE ESTUDIO

Se considera 4 fases en el proceso de estudio: Recepcin,

comprensin, asimilacin y procesamiento.

RECEPCIN

La fase de recepcin consiste en prestar atencin selectiva a la

informacin recibida que permite focalizar la atencin en los datos

ms relevantes. A fin de asegurar la informacin recibida en la

memoria de corto plazo, se utiliza la tcnica de repaso.

COMPRENSIN

La comprensin consiste en distinguir las ideas principales de las

secundarias. Una manera de comprobar el grado de comprensin es

proponer al alumno las siguientes tcnicas:

- Parafraseo (Decir con sus propias palabras un contenido).

- Resumen (Seleccionar lo esencial de un texto determinado).

- Definiciones (Exponer las caractersticas de un concepto).

- Subrayado (Localizar palabras o frases que contienen las ideas

claras que permiten comprender).

- Esquemas (Expresin grfica como una forma de resumen).

- Toma de Apuntes (Anotar las ideas ledas o escuchadas).

- Ejemplificacin (Proporcionar ejemplos sobre el tema ledo).

ASIMILACIN

La asimilacin consiste en organizar la informacin constructiva-

mente, clasificndola y estableciendo relaciones entre los elementos

39

clasificados y los conocimientos previos. En la actualidad existe una

serie de tcnicas de organizacin que han demostrado ser tiles, a

saber:

- Red Semntica (Organizador grfico que relaciona un concepto

principal con conceptos secundarios y estos se relacionan por

medio de palabras de enlace, tales como: es parte, es tipo de, lleva a,

es anlogo a, es una caracterstica, demuestre que).

- Mapa Conceptual (Representacin grfica de los conceptos de un

tema, relacionados por medio de palabras de enlace para formar

proposiciones lgicas).

- rbol de conceptos (Representacin grfica de la informacin en

forma jerrquica vertical: ideas principales, ideas secundarias y

detalles).

PROCESAMIENTO

El procesamiento consiste en la trasferencia de informacin de la

memoria de corto plazo a la memoria de largo plazo aadindole algo

a la informacin, para recuperarla en el momento requerido. Las

principales tcnicas de procesamiento, son:

- Interrogacin elaborativa (Hacer la pregunta por qu?).

- Analogas (Conceptos semejantes, soluciones semejantes).

- Procedimientos nemotcnicos (Tcnica de la rima, mtodo

simblico, etc.)

- Organizadores previos (Pasaje breve que introduce a una unidad

didctica, basado en los conocimientos previos).

2.2 ESTUDIO DE LA MATEMTICA

La Matemtica no se estudia leyendo libros como se lee un diario o

una novela. La Matemtica se estudia siempre con lpiz y papel para

analizar y entender la explicacin y los ejemplos antes de intentar

resolver ejercicios. Cualquier teora matemtica est constituida por

40

definiciones y propiedades, que requieren condiciones especiales para

su estudio.

La resolucin de ejercicios y problemas matemticos constituye la

aplicacin de las definiciones y propiedades a situaciones nuevas, con

un doble propsito:

- Reforzar la teora.

- Incentivar el razonamiento matemtico y la imaginacin.

Por otro lado, el estudio de las definiciones y propiedades requieren

de conocimientos previos para que se lleven a cabo las 4 fases del

estudio. Si no existen los conocimientos previos, el aprendizaje de lo

estudiado ser mecnico y memorstico.

DINMICA DE LA MATEMTICA

En la Matemtica las definiciones y propiedades se enuncian por

medio de igualdades e implicaciones lgicas (implicaciones simples y

dobles). Las igualdades e implicaciones dobles tienen una dinmica

constituida por fuerzas capaces de provocar en el lector actividades

mentales.

Esquema dinmico de las igualdades

La dinmica de las igualdades se presenta en el siguiente esquema:

donde la flecha indica que la utilizacin de la igualdad debe

empezar en el primer miembro y concluir en el segundo y la flecha

indica algo similar.

41

Ejemplo:

La suma de dos nmeros enteros y se define por

medio de la siguiente igualdad:

( ) ( ) ( ) ( )

La dinmica de esta igualdad la vemos como sigue:

De izquierda a derecha:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

De derecha a izquierda:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Esquema dinmico de las implicaciones dobles

La dinmica de las implicaciones dobles o equivalencias lgicas:

se expresa desdoblando las dos implicaciones en la siguiente forma:

Ejemplo

La igualdad de dos nmeros racionales

se define por medio

de la siguiente implicacin doble:

42

Luego:

De izquierda a derecha, resulta:

De derecha a izquierda se tiene:

2.3 ESTRATEGIAS DE ESTUDIO DE LAS DEFINICIONES

Veamos los siguientes ejemplos de definiciones generales:

1. Se denomina diferencia de dos nmeros naturales , denotada

por , a un nmero natural , si existe, si y solo si

En smbolos resulta:

2. Sea un nmero natural no nulo y sea un nmero racional.

Se denomina raz n-esima principal de a y se escribe

, a un

nmero racional , si existe con el mismo signo de , si y solo si

:

3. La memoria es un proceso psicolgico superior especializado en

almacenar datos, imgenes y experiencias.

43

4. El producto de un nmero real por un par ordenado de

nmeros reales ( ) es el par ordenado ( ) :

( ) ( )

Aqu se lee: el producto ( ) es igual a ( )

5. El aprendizaje formativo es un proceso de captura interior del

alumno por parte de una cosa y luego de un vivo dilogo con el

objeto ejecutado con la mayor actividad y espontaneidad posibles

en el escolar, con el propsito de un autntico conocimiento,

logrndose finalmente una configuracin interna de aquel mediante

la adquisicin de convicciones, actitudes y posturas fundamenta-

les(M.J. Hillebrand: Psicologa del Aprendizaje y de la Enseanza).

En los ejemplos anteriores, se observa que una definicin es una

proposicin lgica que presenta con claridad el significado de un

concepto sealando sus caractersticas necesarias y suficientes. Estas

proposiciones son de dos clases:

Proposiciones predicativas, de la forma:

S es P

Proposiciones implicativas dobles, de la forma:

S si y solo si P

En ambos casos se observa que una definicin tiene 3 elementos, que

son:

a) El sujeto: Es el concepto que se requiere definir.

b) El predicado: Est formado por el conjunto de caractersticas

esenciales del concepto.

c) La conexin: Relaciona el sujeto con el predicado.

Los primeros conceptos de la Matemtica no se definen, se

consideran como conceptos primitivos. Por ejemplo no se definen los

44

conceptos de conjunto, aplicacin siguiente, nmero natural, nmero

natural cero. En el diccionario de la Lengua Espaola, existen muchos

conceptos primitivos de los cuales se enuncian nicamente sinnimos.

Por ejemplo: Pared: muro, tabique, muralla.

De lo expuesto, concluimos con una estrategia para el estudio de las

definiciones de objetos de la Matemtica. Esta estrategia consta de

actividades agrupadas en 4 partes:

1. Verificar si la definicin tiene la forma predicativa o implicativa

doble.

2. Identificar los tres elementos de una definicin: sujeto, predicado y

conexin.

3. Identificar las caractersticas esenciales del objeto que se define.

4. Analizar la definicin, considerando su dinmica, sus posibles fallas

y aplicaciones a ejemplos sencillos.

En la definicin de raz n-sima principal de un nmero racional, se

tiene:

1) La definicin es una proposicin implicativa doble.

2) Sujeto: Raz n-sima de un nmero racional .

3) Predicado: Es un nmero racional tal que:

Se debe cumplir que

deben tener el mismo signo

4) Anlisis: Si ,se debe cumplir que y si ,

se debe cumplir que

Qu puede ocurrir si no tienen el mismo signo?

Veamos el siguiente ejemplo, cuando falla alguna caracterstica de la

definicin.

45

Ejemplo

En el siguiente razonamiento, existe un error, cul es?

(1)

(2)

(3) .

/ .

/

(4)

(5)

Las definiciones anteriores son definiciones generales porque se

refieren a conceptos abstractos y determinan conjuntos formados por

varios entes matemticos. Existen definiciones particulares (Emile

Bord: La definicin en matemticas) que se refieren a subconjuntos de

los conjuntos determinados por las definiciones generales.

Por ejemplo:

1. Un nmeros entero es par si y solo si es de la forma

Si el conjunto de los nmeros enteros pares se denota por , se

tiene:

* +

* +

2. Un intervalo cerrado de nmeros reales, de extremos con

, es el conjunto de nmeros reales tal que , un

intervalos cerrado de extremos se denota por , -. Luego:

, - * +

, -

[ ] b a

46

Las definiciones generales y particulares tienen los siguientes carac

tersticas.

Comprensin: conjunto de caractersticas que identifican al objeto

que se define.

Extensin: conjunto de individuaos a los que se refiere la definicin.

Existen definiciones individuales referentes a cada elemento de los

conjuntos determinados por las definiciones generales, particulares.

Por ejemplo:

1. son nmeros enteros

2.

son nmeros racionales

3. son nmeros reales

2.4 ESTUDIO DE LAS PROPIEDADES

Se sabe que la Matemtica estudia conjuntos provistos de operaciones,

relaciones de orden y relaciones de vecindad. Las propiedades de

estos contenidos confieren a los conjuntos estructuras, de modo que

un mismo conjunto puede tener dos o ms estructuras.

La estructura algebraica de un conjunto est determinada por las

operaciones que se definen con sus elementosy la estructura de orden

de un conjunto se debe a la relacin de orden definida en dicho

conjunto.

La importancia de las propiedades de las relaciones entre los

elementos de un conjunto es doble:

Por un lado, son tiles para reconocer la estructura del conjunto, por

otro lado constituyen una garanta para el razonamiento que se sigue

en las demostraciones y resolucin de ejercicios y problemas.

47

En el siguiente cuadro se aprecia la estructura algebraica diferente de

los conjuntos de nmeros naturales ( ), enteros ( ) y racionales

( ):

1.

2. ( ) ( )

3.

4.

5.

6. ( )

1.

2. ( ) ( )

3.

4.

5. ( )

6.

La estrategia seguida para el estudio de las propiedades de las

operaciones y relaciones de orden consiste en confeccionar tablas de

propiedades y tenerlas a la mano para su utilizacin en demos-

traciones y resolucin de ejercicios y problemas.

Ejemplo

Si es un nmero racional negativo, verificar que:

Prueba

Propiedad a verificar:

(1)

48

Es necesaria una premisa adicional:

(2)

(3)

( )

(4) ( ) ( )

(5) ( )

(6) ( ) ( )

2.5 ESTRATEGIAS DE ESTUDIO DE PROBLEMAS

Un problema matemtico es una proposicin planteada para obtener

resultados en base a cierta informacin proporcionada.

Ejemplo:

Un tren demora 8 segundos en pasar delante de un observador y

luego 38 segundos en cruzar una estacin de 450 m de largo. Qu

longitud tiene el tren?

La estrategia para resolver problemas matemticos, muy conocida

desde la educacin primaria, se observa en el siguiente cuadro:

George Polya (Hungra: 1887-1985) propone estrategias para resolver

problemas, agrupadas en 4 etapas:

1 Analizar el problema.

2 Configurar un plan.

3 Ejecutar el plan.

4 Verificar la solucin.

Datos del

problema

Operaciones

por realizar

Clculo

de las

operaciones

Respuesta:

49

Cada una de estas etapas est conformada por varias actividades:

Analizar el problema

Para analizar el problema se puede seguir la siguiente estrategia:

- Leer detenidamente el problema una o ms veces.

- Replantear el problema con tus propias palabras.

- Extraer los datos conocidos (En el caso de problemas sobre

conjuntos consignar los datos en el diagrama de Venn).

- Darse cuenta de los datos desconocidos.

- Utilizar letras para los datos desconocidos, cuando sea necesario.

Configurar un plan

Aqu, se requiere concebir un patrn de solucin que puede

comprender las siguientes actividades:

- Recordar definiciones, propiedades relacionadas con el problema.

- Indicar las operaciones y relaciones que deben ejecutarse.

- Hacer figuras, diagramas, dibujos, tablas, etc.

- Buscar frmulas.

- Recurrir a modelos anteriores.

Ejecutar el plan

La ejecucin del plan implica:

- Formular premisas con los datos del problema.

- Si no son suficientes formular premisas adicionales necesarias.

- Resolver ecuaciones.

- Obtener conclusiones a partir de las premisas, hasta llegar a un

resultado. (Fundamentar cada paso utilizando definiciones y propie-

dades).

Verificar la solucin

- Desechar los resultados no deseados.

50

- Comprobar si la respuesta satisface las condiciones del problema.

- Interpretar la respuesta.

- Si la respuesta est errada revisar el procedimiento seguido.

- Cmo vara la respuesta si se cambian los datos del problema?

Ejemplo

1. Un huerto de manzanas tiene rboles en un nmero de 30 por

hectrea y una produccin promedio de 400 manzanas por rbol.

Por cada rbol adicional que se siembre por hectrea el promedio

de produccin por rbol se ve reducido en 10 manzanas

aproximada-mente. Cul es el nmero de rboles por hectrea que

dar la cosecha ms elevada de manzanas?

Solucin:

a) Anlisis del problema:

Datos conocidos:

30 rboles por hectrea.

Produccin de 400 manzanas por rbol.

Reduccin por cada rbol: Produccin de 10 manzanas por rbol.

Datos desconocidos: Nmero de rboles por hectrea: n

b) Configuracin de un plan:

Por cada rbol que se aumenta disminuye la produccin.

Relacionamos el aumento con la reduccin de la produccin:

TOTAL DE

ARBOLES

PRODUCCION

POR ARBOL

30 400

30+1 400-10

30+2 400-2(10)

30+3 400-3(10)

30+n 400- 10n

51

Produccin total: ( )( )

c) Ejecucin del Plan:

( ) ( )

( )

( )

( )

d) Verificacin de la solucin:

Respuesta: rboles adicionales

Mejor cosecha con rboles por hectrea.

2. De un grupo de 50 personas 25 gustan del teatro, 25 gustan del

teatro y 25 del cine. Si 12 gustan de los dos espectculos, Cuntos

no gustan no gustan de los dos espectculos?

Solucin:

a) Anlisis del problema

Datos conocidos: Grupo de 50 personas

25 gustan del teatro

29 gustan del cine

12 gustan de los espectculos

Datos desconocidos: Personas que no gustan de los 2 espect-

culos: n

52

b) Configuracin de un plan

Consignamos los datos en un diagrama de Venn:

c) Ejecucin de un plan

Calculamos las personas que gustan solo del teatro y solo el cine.

Luego calculamos las personas que no gustan de los 2 espectculos.

Personas que solo gustan del teatro:

Personas que gustan solo del cine:

Total de personas que gustan del teatro y del cine:

d) Verificacin de la solucin

Respuesta:

EJERCICIOS

1. En la siguiente relacin identificar aquellos tems que pertenecen al

nivel de recepcin, comprensin, asimilacin y procesamiento del

estudio:

T C

12

12 13 17

T C

53

a) Quin descubri la cultura chavn?

b) Analiza las causas de la guerra del Pacifico.

c) Cules son algunas semejanzas y diferencias entre afiche y poster?

d) Explica qu significa la palabra Taxonoma.

e) La infeccin produce fiebre?

f) Cundo fue firmada la capitulacin de Ayacucho?

g) La cmara fotogrfica es anloga al ojo humano?

h) Qu piensa acerca de la educacin peruana?

i) La baja temperatura es una caracterstica de las zonas glaciares.

j) Dnde se encuentran las islas Ballestas?

k) El hombre hambriento entr en el auto Por qu?

l) Seala algunas diferencias entre ballenas y delfines.

m) Qu significa el poema Masa de Cesar Vallejo?

n) Cul es el departamento del Per del que se extrae mas cobre?

En los ejercicios del 2 al 4 estudiar las definiciones dadas:

2. La suma de dos nmeros racionales

es el nmero racional

:

54

3. Una progresin aritmtica es una sucesin finita, determinada por

una aplicacin tal que:

( ) ( )

Donde son nmeros reales fijos y el nmero real se

llama razn de la progresin aritmtica.

4. El rea de un polgono convexo de vrtices consecutivos:

( ) ( ) ( ) es el

valor absoluto del nmero real , tal que:

|

| |

| |

|

NOTA: Las barras significan determinante de una matriz 2x2.

5. Confeccionar una tabla de todas las propiedades de las operaciones

de adicin y multiplicacin en cada uno de los conjuntos

6. Confeccionar una tabla de propiedades de la relacin menor o igual

en cada uno de los conjuntos

7. Confeccionar una tabla de las operaciones de potenciacin y

radicacin en

8. Aplicar las estrategias de Polya para resolver el siguiente problema:

Una deuda de 5400 nuevos soles debe ser pagada en partes iguales

por cierto nmero de personas. Habiendo fallecido una de ellas la

cuota de los restantes aumenta en 450 nuevos soles Cul era el

nmero de personas que se endeudaron?

55

9. Escribir en los renglones en blanco, las propiedades de las

operaciones y relacin menor en , en el siguiente razonamiento,

que demuestra la propiedad:

(1)

(2)

(3) ( )( ) ( )

(4) ( ) ( ) ( )

(5)

(6)

(7)

10. Recoger informacin sobre los siguientes temas: subrayado,

esquemas, resumen y toma de apuntes.

56

CAPITULO III

3 IMPORTANCIA DE LA TEORA DE CONJUNTOS

3.1 CONJUNTOS EN LA REALIDAD

En la operacin de contar objetos, existen 3 aspectos importantes a

saber:

a) Se cuentan objetos de la realidad, los mismos que forman con-

juntos.

b) La operacin de contar objetos permite generar nmeros natura-

les como conjuntos de objetos.

c) Al contar objetos, a cada objeto se le asigna un nmero natural; es

decir, en el proceso de contar existe una correspondencia uno a

uno entre objetos y nmeros naturales. Esta correspondencia es

una funcin entre un conjunto de objetos y el conjunto de nmeros

naturales.

En consecuencia, los conjuntos de objetos estn presentes en la

realidad y las personas han tenido conciencia de estos conjuntos desde

que la humanidad empez a contar objetos. Los conjuntos de objetos

pueden ser homogneos si incluyen objetos similares y pueden ser

heterogneos si se consideran objetos diferentes, como un conjunto

de ladrillos y manzanas.

Por donde quiera que uno vaya en el mundo fsico, encontrar objetos

de diversa naturaleza, de animales, de vegetales, de minerales, etc.

57

3.2 CONJUNTOS EN LA MATEMTICA

Si bien existen conjuntos de objetos en la realidad y el hombre tiene

conciencia de ello desde que empez a contar objetos, la utilizacin de

los conjuntos en la Matemtica se inici con Euler (1703 -1783) y

Rieman (1826 1866) al estudiar funciones.

Fue el matemtico alemn Georg Cantor (1845-1918) quien formul

la Teora de Conjuntos, dotndola de una estructura algebraica por

medio de operaciones de reunin e interseccin de conjuntos.

As como un agricultor necesita un terreno para cultivar, un minero

necesita una mina para trabajar, as tambin un matemtico, para

estudiar una teora, necesita un conjunto como punto de partida.

Todos los conceptos de una teora se relacionan con el conjunto en el

que basa la teora. No existen los conceptos aislados de nmero,

adicin, funcin, derivada, integral, etc. Estos conceptos se relacionan

con conjuntos. As se tienen los conceptos de nmero natural,

nmero entero, adicin de nmeros racionales, polinomio real,

derivada de funciones reales de una variable real, etc.

En educacin secundaria del Per se estudian los siguientes

conjuntos:

, -

Estos conjuntos se construyen por ampliaciones sucesivas, de modo

que resultan unos subconjuntos de otros, en la siguiente forma:

, -

58

0

1

2

3

4

.

Figura 1

Cada uno de estos conjuntos tiene dos estructuras:

Una estructura algebraica por medio de operaciones.

Una estructura de orden por medio de la relacin menor o igual,

excepto los conjuntos , - .

CONJUNTO DE NMEROS NATURALES

Cuando una teora matemtica se sustenta sobre un conjunto de

elementos desconocidos, se introducen los primeros conceptos por

medio de axiomas. Para estudiar el conjunto de nmeros naturales,

Peano supuso que los elementos de este conjunto son desconocidos y

se los representa por medio de smbolos a, b, c, etc.

Los axiomas de Peano para el conjunto de nmeros naturales, son

tres, considerando una correspondencia no definida, llamada

siguiente (ver figura 1):

1. Cero es un nmero natural, que no es el siguiente de ningn

nmero natural.

2. Dos nmeros naturales diferentes no pueden tener siguientes

iguales.

3. Cualquier subconjunto de , que contenga el 0 y contenga el

siguiente de cada nmero natural coincide con ; es decir,

0

1

2

3

4

5

.

S

59

Definido el conjunto de nmeros naturales , se define cada nmero natural con la aplicacin siguiente, as:

( ) ( ) ( ) ( ) De esta manera resulta el conjunto de nmeros naturales:

* +

Para introducir en una estructura algebraica, se define la suma y la adicin de nmeros naturales en la siguiente forma:

Definicin: Se llama suma de dos nmeros naturales , al

nmero natural , tal que:

a)

b) ( ) ( )

y la aplicacin tal que a cada par ordenado de

nmeros naturales ( ) le corresponde la suma , se denomina

adicin de nmeros naturales.

Ntese que en la definicin de suma, el nmero natural b primero

toma el valor 0 y luego el valor ( ).

Ejemplo:

Usando la definicin de suma de nmeros naturales, verificar que

Verificacin: ( ) ( )

( )

Definicin: Se denomina producto de dos nmeros naturales , al

nmero natural , tal que:

a)

60

b) ( )

La operacin que hace corresponder un par de nmeros naturales

( ) con su producto , se llama multiplicacin de nmeros

naturales.

CONJUNTO DE NMEROS ENTEROS

En el conjunto de nmeros naturales, la operacin de sustraccin no

tiene la propiedad de clausura, por lo que se debe ampliar este

conjunto, considerando diferencias de nmeros naturales, para tener

el conjunto de nmeros enteros :

* +

* +

Los nmeros enteros se relacionan con distancias a la derecha y a la

izquierda, con profundidades y alturas, con grados de temperatura

sobre cero y bajo cero, etc.

La estructura algebraica del conjunto , est determinada por la

operacin de adicin y multiplicacin de nmeros enteros, en la

siguiente forma:

Suma: ( ) ( ) ( ) ( )

Producto: ( )( ) ( ) ( )

Ejemplo

Verificar que: ( ) ( )

Verificacin:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

61

CONJUNTO DE LOS NMEROS RACIONALES

En los conjuntos , la operacin de divisin no es cerrada,

razn por la que se agrandan estos conjuntos por medio de cocientes

de nmeros enteros. Estos cocientes se llaman nmeros racionales y su conjunto se denota

por :

*

+

Los nmeros racionales se relacionan con partes de un objeto dividido

en partes iguales; as la fraccin

significa que un objeto se ha

dividido en 5 partes iguales, de los cuales se consideran 4.

CONJUNTO DE LOS NMEROS REALES

En el conjunto de los nmeros racionales se demuestra que las

races cuadradas no son nmeros racionales, por lo que se

denomina nmeros irracionales, que honorizaban a los griegos. Los

nmeros racionales se representan por nmeros decimales peridicos

y los nmeros irracionales se representan por medio de nmeros

decimales no peridicos. Por ejemplo:

-6= -6,00000000 nmero decimal peridico.

= 0,58333333..... nmero decimal peridico.

= 1,4142135. nmero decimal no peridico.

= 2,71828... nmero decimal no peridico.

= 3,1415926... nmero decimal no peridico.

62

Los nmeros decimales peridicos y no peridicos constituyen un

nuevo conjunto llamado conjunto de nmeros reales , cuyos

elementos son los nmeros reales:

Cada nmero decimal peridico o no, genera una sucesin de

nmeros racionales por truncamiento, que constituyen aproximacio-

nes al nmero decimal. Por ejemplo:

Los trminos de la sucesin forman un conjunto llamado sucesin de

Cauchy de nmeros racionales. Luego:

* +

En general, un nmero decimal peridico o no, se representa en la

siguiente forma:

* +

* + ( )

En consecuencia:

*( ) +

La suma de nmeros reales ( ) ( ) se define como sigue:

( ) ( ) * +

63

Por ejemplo:

* +

* +

* +

Los nmeros reales se encuentran en la naturaleza, el nmero se

encuentra en el clculo de la diagonal de un terreno cuadrado, el

nmero se encuentra en el clculo de reas de crculos y volmenes

de esferas, el nmero se encuentra en el clculo del nmero de

bacterias de una enfermedad, en la desintegracin radioactiva, etc.

CONJUNTO DE POLINOMIOS REALES:

Dado un nmero real arbitrario x y n nmeros reales fijos

, se denomina polinomio real a una expresin

( ) de la forma:

( )

Por ejemplo son polinomios reales:

( )

( )

El conjunto de polinomios reales se simboliza por , -. Luego:

, - *

+

Si los coeficientes son nmeros racionales, se tiene:

, - *

+

64

CONJUNTO DE PARES ORDENADOS DE NMEROS

REALES

El producto cartesiano es un conjunto de pares

ordenados de nmeros reales:

*( ) +

Este conjunto es conocido porque sus elementos son pares de

nmeros reales y es muy importante para el estudio de la Geometra

Plana.

Definicin: Se denomina PLANO AFIN definido en , al

conjunto , junto con ciertos subconjuntos de llamados

RECTAS, tales que:

*( ) +

donde son nmeros reales no nulos a la vez. El plano afn

definido en se denota por :

( )

y sus elementos se llaman PUNTOS. Las componentes de los puntos

de se llaman COORDENADAS, la primera componente se

llama ABSCISA y la segunda componente, ORDENADA.

Si en un plano afn se define la distancia entre dos puntos, resulta un

plano euclideano

CONJUNTO DE TERNAS ORDENADAS DE NMEROS

REALES

El producto cartesiano es un conjunto de ternas

ordenadas de nmeros reales:

*( ) +

65

Este conjunto es conocido y muy importante para el estudio de la

Geometra del espacio tridimensional.

EJERCICIOS

1. Sea A un conjunto de nmeros naturales, tal que:

* +

Cules de los siguientes enunciados son verdaderos y cules son fal-

sos?

) ) )

2. Sea A un subconjunto de nmeros naturales, tal que:

* +

Describir el conjunto A con todos sus elementos.

3. Sean los conjuntos:

de los nmeros enteros

positivos, negativos, nulos, positivos o nulos negativos o nulos.

Cules de las siguientes igualdades son verdaderas y cuales son

falsas? :

a)

b)

c)

d)

4. Indicar el resultado de las siguientes operaciones con conjuntos de

nmeros:

5. Un nmero entero es par si es de la forma y es im-

par si es de la forma . Sean los conjuntos

de los enteros pares y enteros impares. cules de las siguientes

implicaciones son verdaderas y cuales son falsas? :

a)

b)

66

c)

d)

6. El conjunto de los polinomios reales de dos variables se define

en la siguiente forma:

, - * ( ) ( ) ( ) ( )

( ) , -+

Escribir 4 ejemplos de polinomios de dos variables .

7. En relacin a los conjuntos de polinomios reales, cul de los

siguientes enunciados son verdaderos y cuales son falsos? Explique

por qu? :

a) , -

b) , -

c) , - , -

d) , - , -

8. Dada la recta *( ) + del plano ( ).

Cules de los siguientes puntos pertenecen a la recta ?

a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) . /

9. En el espacio definido en , un plano se define como el conjunto:

*( ) + donde a, b, c y d son nmeros reales que no se anulan a la vez.

Cules de las siguientes ecuaciones definen planos en el espacio ?

a) ; b)

; c)

67

CAPITULO IV

4 LA MATEMTICA Y LA REALIDAD

4.1 LOS NMEROS Y LAS ACTIVIDADES PROFESIONA-

LES

Una visin panormica de la Matemtica, permite afirmar que esta

ciencia estudia:

- Nmeros y sus generalizaciones.

- Funciones entre conjuntos.

- Espacios definidos sobre conjuntos especiales.

Los contenidos de estos 3 grandes campos de la Matemtica se

utilizan en diversas actividades realizadas por personas, profesionales

o no.

Las amas de casa, al realizar compras de productos por ciertas

cantidades en moneda nacional o extranjera, utilizan nmeros

racionales como 1 sol, medio sol, 10 cntimos de sol, mltiplos de sol;

1 docena, media docena, un cuarto de docena; 1 metro, 2 metros y

medio, varios metros; 1 kilogramo, medio kilogramo, varios

kilogramos, etc. Al utilizar nmeros racionales las amas de casa estn

utilizando nmeros naturales y nmeros enteros, en el caso de deudas.

El albail, el carpintero, el sastre y otros artesanos utilizan tambin

nmeros racionales, al comprar cantidades de insumos y pagar con

moneda nacional o extranjera. No se nota el uso de nmeros reales,

excepto en forma indirecta, cuando el sastre utiliza una cinta mtrica

para tomar medidas, cinta que viene a ser una representacin fsica de

un segmento de la recta real; igual sucede cuando el chofer de un

carro recorre una carretera, cuyo papel es similar a una cinta mtrica.

68

Los ingenieros utilizan nmeros reales en las grandes construcciones

como puentes inmensos, edificios rascacielos, barcos gigantes,

aviones, etc. tanto en la forma de las piezas como en los clculos de

reas, ngulos y volmenes.

El papel que desempea la Matemtica en el desarrollo de la Fsica es

muy conocido. La teora corpuscular de la materia hace uno del

clculo de probabilidades, la teora de campos exige el empleo del

clculo tensorial y de los Espacios de Riemann, la teora de los

cuantos se ha desarrollado gracias a la contribucin de autovalores,

autovectores y ecuaciones diferenciales, la teora de la relatividad

utiliza espacios de Minkowski.

La ciencia y la tecnologa utilizan la Matemtica como instrumento

para su desarrollo y plantean nuevos problemas que deben resolver

los matemticos. Ante las exigencias de la ciencia, se formulan

modelos matemticos adecuados, surgen nuevas teoras matemticas,

tales como la programacin lineal, la programacin dinmica, la teora

de colas, la teora de grafos, la investigacin de operaciones, el control

ptimo, la teora de catstrofes, los conjuntos borrosos, etc. As pues

el movimiento matemtico de una poca est ligado a la actividad de

los profesionales de esa poca.

4.2 MATEMATIZACIN DE LA CIENCIA

Como ciencias exactas estn consideradas la Matemtica y la Lgica;

ambos utilizan el mtodo deductivo. Estas ciencias son

independientes de la experiencia sensorial externa; no intentan

obtener una visin coherente de la realidad fsica, sino forman

estructuras ideales que tengan consistencia interna; formulan leyes

rigurosas para el pensamiento y para el manejo de sus objetos ideales.

La Matemtica organiza sus materiales en sistemas matemticos y los

vincula por medio de reglas precisas de la Lgica. Las reglas lgicas

son las que hacen posible la construccin de los gigantescos

69

edificios que caracterizan el mundo de la Matemtica. La Matemtica

es una ciencia formal porque utiliza smbolos y leyes de la Lgica.

Una ciencia que utiliza un lenguaje simblico adecuado y reglas de la

Lgica para la explicacin de los hechos y para la prediccin de otros

sucesos, se dice que est formalizada.

El grado de formalizacin de una ciencia se aprecia cuando su

estructura racional consiste en hacer depender los juicios menos

evidentes de los juicios ms evidentes utilizando un lenguaje

simblico y leyes lgicas. No todas las ciencias han pasado por los

mismos estados de formalizacin. El valor de formalizacin de la

Fsica es mayor que el de la Biologa, el de sta mayor que el de la

Economa y el de sta es mayor que el de la Sociologa y todas ellas

estn mucho ms formalizadas que la Historia.

En conclusin, una ciencia es ms cientfica mientras utilice ms

Matemtica y ms Lgica para establecer sus fundamentos.

4.3 LA MATEMTICA EN LA NATURALEZA: MODELOS

MATEMTICOS

Muchos fenmenos naturales se describen por medio de modelos

matemticos que incluyen nmeros reales y funciones reales. Un

modelo matemticos es un conjunto de ecuaciones reales que se

utilizan para describir el comportamiento de un fenmeno de la vida

real, ya sea fsico, sociolgico, econmico, en trminos matemticos.

Existen muchos modelos matemticos utilizando ecuaciones

diferenciales o clculos estadsticos.

Ejemplos:

1. Ley del enfriamiento y calentamiento de Newton

La rapidez a la que cambia la temperatura de un cuerpo es

proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la

temperatura del medio circundante (Temperatura ambiente).

70

Si ( ) representa la temperatura de un cuerpo en el tiempo ,

la temperatura ambiente y

la rapidez de cambio de la

temperatura del cuerpo, entonces el modelo matemtico viene dado

por:

( )

donde es una constante de proporcionalidad. La solucin del

modelo est dada por:

donde son constantes por determinarse en los casos

concretos.

2. Un viaje a la luna

Un proyectil se dispara verticalmente hacia la luna, con una

velocidad inicial . Despreciando la influencia del sol y los

planetas, la rotacin de la tierra y de la luna y la resistencia del aire,

calcular la velocidad del proyectil a una distancia del punto de

partida.

Para resolver este problema, se utiliza la ley de gravitacin universal

de Newton.

Con los siguientes datos:

71

Datos de la tierra: Datos de la luna: Datos del proyectil:

Radio: Radio: Distancia a la tierra:

Masa: Masa: Masa:

Gravedad: Gravedad: Velocidad:

Distancia a la tierra: Velocidad inicial:

Aplicando la ley de gravitacin universal de Newton, resulta la

ecuacin:

( )

( )

Cuya solucin es:

Si cuando , resulta:

r P

m

Figura 2

72

Existen modelos matemticos en los siguientes casos:

1. Un cuerpo que cae verticalmente, partiendo del reposo con resis-

tencia del aire nula.

2. Un cuerpo que se lanza hacia arriba con cierta velocidad.

3. Cada de un paracaidista desde el reposo con peso combinado del

paracaidista y del paracadas.

4. Un generador de voltaje conectado en serie con una resistencia y un

inductor.

5. Un tanque con agua salada recibe agua pura a cierta velocidad.

6. Un depsito de agua caliente a 100% que se guarda en un ambiente

a 60%.

7. Calculo de la edad de fsiles por desintegracin radioactiva.

8. Propagacin de una enfermedad por aumento de bacterias o virus.

9. Cables suspendidos entre dos postes verticales.

10. Vigas longitudinales simplemente apoyadas.

11. Movimiento de un pndulo.

12. Relacin entre oferta y demanda de un producto.

EJERCICIOS

1. Indagar la utilizacin de la Matemtica por parte de los contadores

pblicos y de los abogados, as como por administradores e inge-

nieros.

2. A los 12 casos donde intervienen modelos matemticos, incluir 5

casos ms, realizando consultas en libros de Ecuaciones Diferen-

ciales.

3. Consignar las ecuaciones de los modelos matemticos incluidos en

los 12 casos presentados en este captulo, consultando libros de

Ecuaciones Diferenciales.

73

4. Cundo se dice que una ciencia est formalizada?

5. Indagar la forma de un modelo matemtico de tipo estadstico.

74

CAPITULO V

5 VARIABLES Y FUNCIONES

5.1 VARIABLES Y FUNCIONES EN LA REALIDAD

VARIABLES

Una variable es un concepto que puede tomar varios valores. Por

ejemplo:

Nmero de hijos de una familia, estatura de personas, sexo de los

seres humanos, colores del arco iris, razas de perros, etc.

En la Matemtica la variable es un smbolo que puede tomar varios

valores numricos. Por ejemplo:

x es un numero racional

y es un nmero real

FUNCIONES ENTRE CONJUNTOS

La idea de funcin fue presentida en la antigedad en el clculo de

tablas, tales como las tablas de cuerdas, de tangentes, de senos, de

movimientos planetarios, etc. Y su evolucin ha pasado por un largo

periodo de desarrollo unido a los nombres de Descartes (1596-1718),

de Newton (1643-1727), de Leibniz (1946-1718), de Euler (1707-

1783), etc.

Una funcin entre elementos de un conjunto A y un conjunto B es

una correspondencia f que asigna a un elemento de A, un nico

elemento de B.

75

f

Una funcin f de A en B, se representa en la siguiente forma:

( )

Figura 3

Una funcin se puede considerar como una mquina que

transforma elementos de un conjunto A en elementos de un conjunto

B, como se muestra en la figura 4:

Figura 4

La notacin y = f(x) se lee as: y es funcin de x mediante f. El

elemento x de A recibe el nombre de argumento o preimagen de y

mediante f. El elemento y de B se denomina imagen de x mediante f.

x

y

B

x

A B

y

76

Ejemplos de Funciones:

1. Fabricas que transforman materia prima en productos elaborados:

Fbrica de ropa, fbrica de muebles, fbrica de zapatos, fbrica de

helados, fbrica de bebidas gaseosas, fbrica de botellas de plstico,

fbrica de automviles, fbrica de cables de acero, fbrica de

ladrillos, fbrica de cemento, etc.

2. El rea de un terreno rectangular en funcin de la longitud de sus

lados.

3. El espacio recorrido por un mvil es funcin del tiempo.

4. La demanda de un producto es funcin de su precio.

5. El salario de un obrero en funcin del nmero de horas de trabajo,

etc.

5.2 FUNCIONES EN LA MATEMTICA

En las funciones de la Matemtica, el conjunto A recibe el

nombre de conjunto de partida y el conjunto B, conjunto de llegada.

Por otro lado, el dominio de una funcin f es el conjunto de todos los

elementos x de A, tal que ( )

* ( ) +

El rango de f es el conjunto de elementos y de B, que tiene una

preimagen x en A:

* ( ) +

77

f

En la Matemtica se estudian funciones como los siguientes:

Las funciones son importantes para el estudio de las

sucesiones y series reales, tales como las siguientes:

- Progresiones aritmticas.

- Progresiones geomtricas.

- Serie de Taylor.

Definicin: una progresin aritmtica es una sucesin finita

determinada por una funcin tal que:

( ) ( )

donde a son nmeros reales fijos y el nmero se denomina razn de la progresin aritmtica f. De esta definicin, resulta:

DD

D

x y=f(x)

A B

Figura 5

A B

Df Rf

78

( ) ( ) ( ) ( ) ..

( ) ( )

Definicin: una progresin geomtrica es una sucesin finita

determinada por una funcin tal que:

( )

donde son nmeros reales fijos y el nmero y se

denomina razn de la progresin geomtrica f.

As, resulta:

( )

( )

( )

( ) ..

( )

FUNCIONES REALES

Una funcin se denomina funcin real de una variable real

o simplemente funcin real. Si ( ), entonces la preimagen se

llama variable independiente y la imagen , variable dependiente.

Ejemplo:

Consideremos la funcin real:

( )

El miembro de la derecha se denomina definicin de la funcin y

se interpreta diciendo que la funcin hace corresponder a cada

nmero real x, su triple aumentado en 4.

79

y

b

Para graficar una funcin , se considera la funcin como

un subconjunto de :

*( ) ( )+

Para graficar la funcin f se procede como sigue:

1. El producto cartesiano se representa grficamente por

medio de dos ejes perpendiculares.