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ASIGNATURA

MATEMTICA I(TEXTO UNIVERSITARIO)

La matemtica como ciencia es una de las ms importantes y poderosas herramientas creada por el ser humano. Es as como la asignatura de Matemtica I, trata de temas bsicos que permite a los estudiantes desarrollar habilidades de aprendizaje y formar las competencias requeridas para seguir estudios en las diversas carreras profesionales.

Los contenidos propuestos se dividen en tres unidades didcticas:

- Nmeros reales

- Funciones

- Trigonometra analtica

Para tener xito en el manejo del presente material de teora y ejercicios, se sugiere que el estudiante se familiarice con la parte conceptual haciendo un buen uso de la simbologa y trminos que en ella se imparte y luego desarrollar todos sus ejercicios y problemas propuestos. Es recomendable trabajar en grupo y mantener vivas relaciones de comunicacin con el docente, a fin de esclarecer dudas; as mismo el estudiante deber consultar los otros medios tecnolgicos, como pginas de internet y medios que el docente ponga a su servicio en la plataforma virtual.

Los autores

Asignatura: MATEMTICA I

PRESENTANCINNDICE Pg.TEMA N 01 : NMEROS REALES.......................................................................................................................................... 09TEMA N 02 : ECUACINES LINEALES.................................................................................................................................. 18TEMA N 03 : ECUACINES CUADRTICAS......................................................................................................................... 26TEMA N 04 : ECUACINES CON RADICALES Y VALOR ABSOLUTO................................................................................ 32TEMA N 05 : INECUACIONES LINEALES.............................................................................................................................. 36TEMA N 06 : INECUACIONES CUADRTICAS..................................................................................................................... 42TEMA N 07 : INECUACIN FRACCIONARIA......................................................................................................................... 50TEMA N 08 : INECUACIN CON VARLO ABSOLUTO.......................................................................................................... 59TEMA N 09 : FUNCIONES...................................................................................................................................................... 64TEMA N 10 : DOMINIO DE UNA FUNCIN............................................................................................................................ 71TEMA N 11 : GRFICA DE FUNCIONES............................................................................................................................... 77TEMA N 12 : GRFICA DE FUNCIONES DEFINIDAS POR PARTES.................................................................................. 94TEMA N 13 : FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES ............................................................................................ 102TEMA N 14 : FUNCIN PAR E IMPAR .................................................................................. .............................................. 107TEMA N 15 : TRANSFORMACIN DE FUNCIONES ........................................................................................................... 111TEMA N 16 : EJERCICIOS DE TRANSFORMACIN DE FUNCIONES .............................................................................. 122TEMA N 17 : CUADRTICAS, MXIMOS Y MNIMOS ........................................................................................................ 131TEMA N 18 : MODELACIN DE FUNCIN ......................................................................................................................... 143TEMA N 19 : COMBINACIN DE FUNCIONES ................................................................................................................... 155TEMA N 20 : FUNCIONES DE UNO A UNO INYECTIVAS ................................................................................................. 160TEMA N 21 : FUNCIN INVERSA ....................................................................................................................................... 166TEMA N 22 : FUNCIONES POLINOMIALES ....................................................................................................................... 174TEMA N 23 : FUNCIONES RACIONALES .......................................................................................................................... 187TEMA N 24 : FUNCIONES EXPONENCIALES, LGISTICA Y LOGARTMICA ................................................................ 203TEMA N 25 : APLICACIN DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES .............................................................................. 211TEMA N 26 : FUNCIN LOGSTICA ................................................................................................................................... 218TEMA N 27 : FUNCIONES LOGARTMICAS ...................................................................................................................... 226TEMA N 28 : ECUACIONES EXPONENCIAL Y LOGARTMICAS ..................................................................................... 235TEMA N 29 : MODELADO DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS ...................................................... 242TEMA N 30 : FUNCIONES TRIGONOMETRICAS ............................................................................................................. 252TEMA N 31 : GRFICA TRIGONOMTRICAS .................................................................................................................. 260TEMA N 32 : FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Y TRIGONOMETRA ANALTICA........................................................ 271

Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 9

Matemtica I

Nmeros Reales1. SabereS PrevioS

AproximAcn de nmeros decimAles Se pueden aproximar nmeros decimales por truncamiento o por redondeo. Para redondear un nmero decimal hasta un

ordeen n se escriben las cifras anteriores a ese orden. El valor de la cifra de orden n tendr los siguientes valores.

Se deja igual si la cifra es menor que 5 Se aumenta en una unidad si la cifra siguiente es igual a mayor que 5.

Ejm: Aproximamos el siguiente nmero decimal a:

Dcimos Centsimos Milsimos

3,84777... 3,84777...

3,8

3,84777...

3,85

3,84777...

3,848

Completa la siguiente tabla:

Dcimos Centsimos Milsimos

9,88992

1,37344...3,84777...

3,8

3,84777...3,85

3,84777...

3,848

GenerAtriz de un nmero decimAl La generatriz de un nmero decimal es la fraccin irreducible, obtenida al dividir el numerador entre el denominador.

Decimal exacta Decimal peridico puro Decimal perodico mixto

abca,abc

1000=

a0,aaa... 0,a

9= =

ab0,abbb... 0,ab

90= =

Exacto Peridico puro Peridico mixto

2515,25 15

1001

154

614

= +

= +

=

191,19 1

9999 19

9911899

= +

+=

=

315 32,315 2

990312

2990

382495

= +

= +

=

Completa la siguiente tabla:

Resolucin Fraccin Generatriz

3,32

4,312

Semana 01PRIMERA UNIDAD

Matemtica I

Pg. 10 Calidad que se acredita internacionalmente

operAciones con frAcciones Simplifica la siguiente expresin numrica

1 / 23 3 33 3 1 7 7 2 275 2 2 5 5 5 8

+ + +

27 27125 8

98 27

8125 8

+ + +1 / 2

1 / 227 988

125 125 + +

1 / 21258

125 +

1 / 2{9} 9 3

Resuelve: 1 / 33 23 5 1 1 2 2 4

4 4 4 4 5 64 25

+ + +

2. NmeroS realeSesquemA

NmerosReales ( )

NmerosRacionales ( )

NmerosIrracionales (I)

NmerosEnteros

NmerosFraccionarios

m;m,n n 0

n

Positivos o+

Cero

Negativos

o+

propiedAdes de los :

Propiedad Ejemplo Descripcin

Propiedades Conmutativas

a+b = b+a

ab = ba

8 + 5 = 5 + 8

6 . 3 = 3 . 6

Cuando se suman o multiplican dos nmeros no importa el orden.

Propiedades Asociativas

(a+b)+c=a(b+c)

(ab)c=a(bc)

(3+7)+9=3+(7+9)

(6.4).3=(4.3)

Cuando se suman tres nmeros, no importa cuales dos se suman primero. Cuando multiplicamos tres nmeros no importan cuales dos se multiplican primero.

Propiedades Distributiva

a(b+c)=ab+ac

(b+c)a)ab+ac

4(3+8)=4.3+4.8

(3+8).4=4.3+4.88

Cuando se multiplica un nmero por una suma de dos nmeros se obtienen el mismo resultado al multiplicar el nmero por cada uno de los trminos y luego suman los resultados.

rectA reAl: Cuando en la recta numrica se representa los nmeros racionales y los irracionales se obtiene la recta real.

a b

0 Reales positivosReales negativos

Orden ascendente

+


Matemtica I

Dados dos nmeros reales a y b ubicados en la recta numrica ser menor el que se encuentre a la izquierda del otro.

Ejm.:

- Representamos en la recta real los nmeros: -3, -0,8, 0, 2 , 52

, , 4

0-1-2-3 1 2 3 42

1,41

5/2 0,8

2

Ubica los puntos en la recta numrica.

a) 5 ; -3/4; -2/3; 2,51; 3

0

b) 3,8; -4/5; 3 ; 4/2;

2,14 ; 2,14052

0

c) 0,2

; 3/9; 7 ; -2; 1,73

; 1,73206.

0

intervAlos Un intervalo es la representacin de un subconjuntos de los nmeros reales, cuyos elementos estn comprendidos entre dos

extremos a y b que pueden estar incluidos o no.

IntervaloRepresentacin Generalizacin

Simblica Grfica Simblica Grfica

Cerrado1 x 2

[ 1;2] -1 0 1 2

{x / x ,a x b}[a;b]

a b

Abierto1 x 2

1;2

<

+

a +

]x 2

;2

-1 0 1 2 ]{x / x ,x b}

;b

- b

Completa la tabla

Matemtica I


Intervalo Simblicamente Grficamente

1;3

{x / x , 4, x 2} <

-3 0 1 2-4

{x / x ,x 12} >

]17;0

vAlor Absoluto

Si x es un nmero real, entonces el valor absoluto de x es: x;x 0|x|x;x 0

= |-m| ( ) |36| 36|6| 6

= ( )

distAnciA entre 2 nmeros reAles

Si a y b son nmeros reales, entonces la distancia entre los puntos a y b en la recta numrica es: a(a,b)=|ba|

3. ejercicioS reSueltoSA. bloque i

1. Marca con un aspa el conjunto al que pertenece cada nmero.

Conjuntos Nmeros

0,137

3,777...

17

12...

2,15252...

5,191919...

2. Observa la recta y escribe lo que se te pide.

0-1-2-3 1 2 3 94 5 6 7 8-4-5-6-7-8-9

A B C D

a) Dos nmeros enteros entre A y D.

b) Cuatro nmeros irracionales entre B y D

c) Cinco nmeros irracionales entre B y D.


Matemtica I

3. Identifica tres formas de representar intervalos en y completa:

Inecuacin R. Simblica R. grfica

9x

Matemtica I


Grficamente:

0-1-2-3 1 2 3-4

4. Efectuar:

20,2

3 2,30,35 0,21

2 23

235 2

906

19 9

21xx

+ = +

+

+ = +

+

+

= ++

= +

= +

+ = + = =

21 = +

+ = + = =

c. bloque iii1. La tapa de una caja de bombones tiene forma de trapecio y sus medidas se indican en el grfico.

4 2

cm

4 2cm

6cm

10cm4cm

4cm

a) Cuntos centmetros de cinta amarilla se usa para decorar la caja?

Entonces para determinar la longitud de cinta usamos el permetro del trapecio.

P 4 2 6 4 2 4 10 (6 4 10) (4 6 4 2)= + + + + = + + + +

P 20 8 2= +

P=20+8(1,4)

P=20+11,2

P=31,2 cm

b ) Qu cantidad de cartulina se necesita para confeccionar 8 tapas?

Para determina la cantidad de cartulina emplearemos el rea del trapecio.

(B b).hA2

+= b=6cm B=14cm h=4cm

(14 6)(4)

A2

+=

A=40cm2 para una tapa , como nos piden 8 tapas: 28 40 320cm = Necesitamos de 320cm2 de cartulina.


Matemtica I

2. Un nafrago se encuentra varado en una isla con slo pan y queso. Un kilo de pan contiene 1000 cal y 25g de protenas, y un kilo de queso contiene 2000 y 100g de protenas.

Sabiendo que una dieta normal es de al menos 3000 caloras y 100g de proteonas diarias, subraya en qu casos se cumple lo recomendado si el nafrago consume.

a) 1kg de pan y 1kg de queso b) 3kg de pan 1/8 kg de queso

c) 1/2 kg de pan y 1/2 de queso d) 4kg pan y nada de queso.

a) 1kg de pan 1kg de queso

1000 cal + 2000 cal = 3000 cal

25g + 100g = 125g.

b) 3kg de pan 1/8kg de queso

3 x 1000 cal + 1/8 (2000) cal = 3250 cal

2 x 25g + 1/8 (100)g = 87,5g

c) 0 pan y 1 1/2 kg de queso

1 1/2 (2000) = 3000 cal

1 1/2 (100) = 150g

d) 4kg pan y 0 de queso

4(1000) = 400 cal

4(25) = 100g

e) 1/2 kg de pan y 1/2 kg de queso

1/2(1000)+1/2(2000)500+1000=1500cal

1/2 (25)+1/2(100)12,5+50=62,5g

Obteniendo estos resultados, hacemos la comparacin con las cantidades en caloras y grasas que se debe consumir en una dieta normal.

Dieto normal 3000 cal100 g de protenas

Subrayando las alternativas a, c y d.

3. Una empresa de productos lcteos muestra el siguiente cuadro de produccin de leche evaporada La Vaquita durante un ao.

01,5

34,5

67,5

9

ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SET OCT NOV DIC

4,32 3,3 5,45 2,0 6,22 3,6 5,8 4,1 7,24 7,0 5,4 3,72

a) En qu logr la mayor produccin? En setiembre

b) En qu mes se tuvo la menor produccin? En abril

c) Representa con un intervalo el rango de produccin en el primer semestre. [2,00; 6,22]

d) Representa con un intervalo el rango de produccin en el seguno semestre [3,72; 7,24]

e) Represente con un intervalo el rango de produccin de todo el ao [2,00: 7,24]

4. El permetro del rectngulo ABCD es menos que 50cm y el permetro del rectngulo PQRS es mayor que 28cm. Determina el intervalo que representa los valores que puede tener x.

A

D C

B

x

20cm

P

S R

Q

11cm

x

a) [3;5] b) [3;5> c) 28

2x < 10 2x > 6

x < 5 x > 3

3 < x < 5

x

Matemtica I


4. ejercicioS ProPueStoSA. bloque i

1. Si x[2; 5[; a qu intervalo pertenece 2x2?

a) b) [6; 8] c) [6; 8[ d) e) [6; [

2. El nmero de cada bloque es el promedio de los nmeros que estan en los dos bloques inferiores. Calcula el valor de "x".

1,75

213

013

2

X

a) 1/7 b) 1/2 c) 1/8 d) 0 e) 1/2

3. Calcula el valor exacto:

22 1 1 32,555... 1,5 4,88... 3,5

3 2 9 2

+ + + + + +

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 1

4. Calcula el valor de 2M

21 1 25M 2 (1 1) 2 2 4

2 4 4 = + + +

a) 2

46 b)

22

6 c) 5

36 d)

54

6 e) 1

5. Qu nmero irracional representa cada punto rojo ubicado en la recta numrica?

0-1-2-3 1 2 3

21

a) 8 y 5 b) 2 2 y 3 c) 2 y 3

d) 8 y 5 e) 2 2 y 5

b. bloque ii1. Simplifica:

1 11 1

2 33 2

1 12

2 3

+ +

a) 5/2 b) 5 c) 5/13 d) 3/5 e) 4/5


Matemtica I

2. Determina los valores que puede tomar "a" en cada caso. Luego, suma todos los resultados e indica la respuesta.

|a| + 7 =13

|2a1|5=10

|a+3|+9=20

a) 1 b) 0 c) 3 d) 9 e) 5

3. Si: P=]1; 7] { }G x / 4 x 5=

H=[7;1] y [(PG)H] da como resultado un intervalo b

2a;3

. Halla a+b.

a) 5 b) 5 c) 2 d) 2 e) 3

4. Halla el valor de A+2B, despus de efectuar las operaciones con aproximacin al centsimo.

1A 2 0,27 1,8 5

38

B 0,38 ( 3 2) ( 1,43)7

= + +

= + +

a) 0,99 b) 1 c) 0,9

d) 1,9 e) 0,98

5. Halla el permetro de la figura sombreada con aproximacin al centsimo, si el rea total de las figura es 27cm2.

l

a) 21,50cm b) 22,92cm c) 20,14cm d) 23,00cm e) 25,01cm

c. bloque iii1. Cuando los arquelogos encuentran momias, necesitan determinar aproximadamente la estatura de perosna en

centmetros. Asi ellos necesitan tener solo la estatura de un hueso y aplicar las siguientes frmulas.

Hueso Hombre Mujer

Hmero (h)

Fmur (f)

2.89h + 70,64

1,88f + 81,31

2,75 h + 71,48

1,95 f + 72,85

1.1. Un arquelogo muy conocido hall un hmero de una mujer supuesta pobladora de una antigua civilizacin cuya longitud es de 35,04cm. Diga cul sera la estatua aproximada.

1.2. Otro arquelogo encontr un fmur y un hmero de un hombre cuyas longitudes era de 47,18cm y 38,38cm respectivamente. Sera posible que seran del mismo poblador? Por qu?.

2. Por medidas de seguridad, se va a cercar un lote de terreno baldo cuyos dimensiones estn en la figura. Cuntos metros de cerca sern necesarios?

5km

3km

a) 8 800m b) 1652m c) 8930m d) 1500m e) 1600m

Matemtica I


3. Si todos los cuadrilteros en las que se ha descompuestos la figura son cuadrados. Halla lo siguiente:

400m2

144m2

a) La medida del cuadrado sombreado b) El rea del cuadrado sombreado

c) El permetro del cuadrado sombreado d) El rea total del terreno

e) El permetro total de la figura

4. La empresa Bellephone muestra las siguientes tarifas para ayuda a sus clientes en el clculo del costo de llamadas locales de un telfono fijo a otro fijo.

Si el cargo po establecimiento de llamada equivale a un minuto de conversacin, encuentra el costo sin I.G.V. de una llamada de:

a) 16 minutos a las 2 de la tarde b) 12 minutos a las 4 de la maana

c) 20 minutos a las 21:30h d) 42 minutos a las 5:32h

e) Cunto pagar en total?

5. Un campo de ftbol tiene la forma de un sector circular que correspona al cuarta parte de un circulo de 12,92m de radio. Si un jugador se mueve de A a B. Qu distancia recorre? Cul es el rea del campo?

Ecuaciones Lineales1. SabereS PrevioS

A. ejercicios desArrollAdosReduccin de trminos semejantes.

Reduce:

01. 6m + 8m 24m 02. 23 (4x+3) 12 (3x + 8 ) + 20

03. 3m2 (2m 7) (m2 + 6m 5) 04. 3(3x 4) + 5(3 2x)

b. ejercicios propuestosAplica productos notable sy reduce

01. 6 + 3x2 + (2x 3) (2x + 3) 02. (y 4)2 (3y + 1)2

03. (m + 5)(m 5) (m + 4)(m 4) 04. (4x 1)(4x + 1) + (2x 1)2

2. ecuacioNeS liNealeS iGuAldAd AlGebrAicA

Posee nmeros y letras (variables o incgnita). Est formada por expresiones algebraicas separadas por el signo igual.

Las igualdades algebraicas que son ciertas para cualquier valor de la variable se llaman "identidades", y las que son ciertas para un valor o conjunto de valores se llaman ecuaciones.

x + 5x = 6x x + 3 = 8

identidad ecuacin

ecuAcin Es una igualdad algebraica que contiene algn trmino desconocido llamado variable o incgnita.

Los elementos de una ecuacin son:a) Variable o incgnita; es la letra cuyo valor es desconocido.b) Grado: es el mximo exponente de la variablec) Miembro: Son las expresiones que hay a cada lado de la igualdad.d) Trminos: Son los sumandos que forman los miembros.Identifica un elemento en las siguientes ecuaciones:


Matemtica I

Ecuacin Variable Grado Trminos 1er. miembro 2do. miembro

4n+3=n6

x26x+4=0

a36=8

Una ecuacin de primer grado con una incgnita es una igualdad algebraica que se puede reducir a la forma ax+b=0, donde a y b son nermo reales y a0.

ax + b =0 a; b ; a0

resolucin de unA ecuAcin de primer GrAdo Resolver una ecuacin significa encontrar el valor de la incgnita que satisface la igualdad. Este valor es la solucin de

la ecuacin. Para resolver ecuaciones podemos aplicar las propiedades de las igualdades (propiedad de monotona) o trasposicin de trminos.

propiedAdes de lAs iGuAldAdes Las igualdades cumplen la propiedad de monotona.

Propiedad Simbolizacin

Si a los dos miembros de una igualdad se les uma o resta un mismo nmero, la igualdad se mantiene.

a=ba+c=b+c

a=bac=bc

Si a los dos miembros de una igualdad se les multiplica o divide por un mismo nmero, la igualdad se mantiene.

a=ba.c=b.c

a=ba c=b c

si c 0

resolucin de unA ecuAcin de 1er. GrAdo Resolver una ecuacin significa encontrar el valor de la incgnita que satisface la igualdad. Este valor es la solucin de la

ecuacin.

Para resolver ecuaciones podemos aplicar las propiedades de las igualdades (propiedad de monooma) o trasposicin de trminos.


01. Cules de las siguientes expresiones son ecuaciones y cules son igualdades numricas. Explique:

a) x210=6 Es una ecuacin porque es una igualdad cuya incgnica es ___________

b) 532=123 Es una igualdad numrica porque solo tiene nmeros.

c) x 1 82

= Es una ecuacin porque es una _____________ cuya incgnita es _____

d) 4 m 2+ = Es una ecuacin porque es una ________ cuya incgnica es _______

02. Identifica los elementos de las siguientes ecuaciones:

Ecuacin Variable Grado Trminos 1er. miembro 2do. miembro

5x+8=162x x 1 5x; 8; 16; 2x 5x+8 162x

m25m+6=0 m 2 m2; 5m; 6 m25m+6 0

y38=4 y 3 y3; 8; 4 y38 4

03. Resuelve: 3x6=9 aplicando la propiedad de monotoma.

* Sumamoa 6 a ambos miembros: 3x + 6 = 9 + 6

3x = 3

Matemtica I


* Dividimos entre 3 a ambos miembros: 3x 3 = 3 3 x = 1 C.S.= {1}

04. Resuelve: 2x + 15 = 26 aplicando transposicin de trminos.

* Como 15 esta sumando, pasa al otro miembros restando: 2x=2615

2x=41* Como 2 est multiplicando, pasa el otro miembro dividendo:

41x2

=

x= 20,5.

b. bloque ii01. Resuelva la ecuacin:

3[x 2(x 2) 4(x 5)] 3(x 4) + + =

aplicamos la propiedad distributiva:

3[x 2x 4 4x 29] 3x 12 + + + = +

reducimos trminos semajantes

3[3x 24] 3x 12+ = +

aplicamos la propiedad distributiva

9x 72 3x 12+ = +

transponemos trminos

9x 3x 12 72+ =

reducimiento trminos semjantes

12x = 60

transponerse 12 para depejar la incgnita

60x

12x 5

=

=

02. Resuelve la ecuacin:

x 1 2x 1 x 1x

2 3 6 8+

=

Eliminamos denominadores muliplicando cada trmino de la ecuacin por 24, que es el M.C..M de 2, 3, 6 y 8

x 1 2x 1 x 124(x) 24 24 24 24

2 3 6 8+ =

24x 12(x+1) 8 (2x1)=4(x)3

Aplicamos la propiedad distributiva y reducimos trminos semejantes.

24x 12x 12 16x + 8 = 4x 3

4x4=4x3


Matemtica I

Transponemos trminos y reducimos.

4x 4x 3x 48x 1

1x

8

= +

=

=

La solucin de la ecuacin es 18

03. Resuelve la ecuacin:

(x6)(x+6) = (x2)(x+5)2

Aplicamos productos notables:

2 2 2

2 2

(x 6)(x 6) (x 2)(x 5) 2

(x) (6) x ( 2 5)x ( 2)(5) 2

x 36 x (3)x 10 2

+ = +

= + + +

= +

transponemos trminos y reducimos en cada miembro.

2 2x x 3x 10 2 (36)3x 24

= + =

despejamos la incgnita: 24

x 83

= =

04. Resuelve para P en trmino de las otras variables:

A = P + P.r.t

factorizamos P en el 2do miembro:

A = P(1 + rt)

Usando propiedad Usando transposicin

Dividimos a ambos miembros (1+rt) pasa dividiendo al

entre (1+rt) 1er. miembro.

A P(1 rt)1 rt 1 rt

AP

1 rt

+=

+ +

=+

AP

1 rt=

+

donde 1+rt 0 donde 1+rt 0

c. bloque iii01. Una diseadora de jardines planifica una serie de pequeos jardines triangulares afuera de un nuevo edificio

de oficinas. Su plan es que un lado sea un tercio del permetro y el otro, un quinto del permetro. Es espacio asignado para cada lado permitir que el tercer lado tenga 7 metros. Halla el permetro del tringulo.

Resolucin:

Dibujamos un tringulo y sealamos un lado con 7m. Sea P el permetro, entonces los lados restantes son un tercio de P (P/3) y un quinto de P(P/5).

Matemtica I


P/3 P/5

7m

Permetro = suma de la longitud de los lados.

P PP 7

3 5= + +

Multiplicamos a ambos miembtos por 15 (M.C.M. de 3 y 5)

P P15P 15 7

3 5 = + +

Aplicamos la propiedad distributiva.

P P15P 15 7

3 5

P P15P 15 15 (15)(7)

3 515P 5P (3)P (105)

15P (8)P 105

= + +

= + +

= + +

= +

Reducimos trminossemejantes

Transponemos o usando propiedades:

1P 8P 1057P 105

105P

(7)P 15

==

=

=

El permetro es 15m

02. Un bote de excursin tarda en recorrer 360 km ro arriba, 1,5 veces del tiempo que tarda en regresar. Si el bote cruza a 15 millas por hora en aguas tranquilas. Cul es la velocidad d ela corriente?

Resolucin:

Sea x= velocidad de la corriente (en km por hora) (qu es lo que se pide hallar)

15 x = velocidad del bote ro arriba (ms rpido ro abajo)

15+x = velocidad del bote ro abajo

tiempo ro arriba = (1,5) (tiempo ro abajo)

se sabe que: dis tancia

tiempovelocidad

=


Matemtica I

entonces:

distancia ro arribavelocidad ro arriba

=(1,5)distancia ro abajovelocidad ro abajo

dis tancia ro arriba dis tancia ro abajo(1,5)

velocidad ro arriba velocidad ro abajo360 360

1,5.15 x 15 x

360 54015 x 15 x

=

= +

= +

Multiplicamos ambos miembros por (15x).(15+x)

360(15 x

(15 x)

540

)(15 x)(15 x

+ =+

(15 x)(15 x)

+ )

360(15 x) 540(15 x)+ =

Aplicamos la propiedad distributiva:

5400 + 360x = 8100 540x

transponemos trminos:

360x 540x 8100 5400900x 2700

x 3

+ = ==

la velocidad de la corriente es de 3km por hora.

03. Cunos litros de una mezcla que contiene 80% de alcohol debe agregarse a 5 litros de una solucin al 20% para producir una solucin al 30%?

Resolucin:

Sea x = cantidad de solucin al 80% usada

80% de solucin

Antes de mezclar

x litros

20% de solucin 30% de solucin

5 litros (x+5) litros

+ =

Despus de mezclar

cantidad de alcohol cantidad de alcohol cantidad de alcoholen la primera solucin en la segunda solucin en la mezcla

0,8x 0, 2(5) 0,3(x 5)0,8x 1 0,3x 1,5

0,5x 0,5x 1

+ =

+ = ++ = +

==

Se debe agregar 1 litro

Matemtica I


04. A un conductor de P kilogramos de masa, la ingesta de m gramos de alcohol le produce una concentracin de m

0,7P gramos de alcohol por litros de sangre.

Dependiente de la persona, el lmite mximo de 0,5 g/L se alcanza en una botella de cerveza o un vaso de whisky. A partir de cuntos gramos de alcohol ingerido, una persona de 60kg no puede manejar?

Resolucin:

Nos piden "m"

lmite mximo de la concentracin 0,5 g/L

Frmula para la concentracin: m g

0,7P L=

Entonces: m

0,50,7P

=

Reemplazamos P=60 (Dato del problema).

m0,5

0,7.60m

0,542

=

=

21g = m

4. ejercicio ProPueStoSA. bloque i

01. Si se multiplica por 2 ambos miembros de la ecuacin 52x=x+m, el valor de x quedar tambin multiplicado por 3?

02. Coloca una V o F respectivamente:

a) Si un valor determinado de la incgnita satisface la ecuacin dada, entonces dicho valor pertenece al conjunto solucin de la ecuacin ( )

b) Si al adoptar un valor determinado la variable no se cumple la igualdad aosciada a la ecuacin, entonces dicho valor no pertenece al conjunto solucin ( )

c) (3+4)5+12=0 es una ecuacin ( )

d) 1 es una raz de x3+x2+x+1=0 ( )

03. Llena las casillas en blanco un nmeros de 1 al 9 de modo que se cumplan las operaciones horizontales y verticales.

+ 7 =9

x

+ =5

=8 =6

04. La suma de los elementos de cada fila, columna y diagonal de un cuadrado mgico es la misma. En el siguientes cuadrado mgico halla.

a) x+y b) xy c) 3x-2y d) xxy

x 18 y

14 10 6

12 2 16

05. Si x es un nmero, expresa las siguientes encunciados.

a) Un nmero aumentado en 7 unidades.

b) Un nmero disminuido en 6 unidades.

c) El doble de un nmero aumentado en 3.

d) La mitad de un nmero aumentado en 1.


Matemtica I

b. bloque ii

01. Resuelve la siguiente ecuacin: x 3 3 5x 2x 1

8 9 6 + +

=

02. Resuelve: 1 2{3 [4 (x 1)]} 6x 5[1 8(4 x)] + + = 03. Hallar "x"

22(x 5) x(x 1) 2 x(x 4)+ + + = +

04. Despejar "x" en:

m(x m) n(x n)x

n m+ +

+ =

05. Sea V el volumen y A rea para un prisma rectangular recto. Se tienen las frmular:

V=l.a.h,

ha

d

l

A=2la+2 l .h+2a.h

d2= l 2+a2+h2

Despeja de cada formula a, l, h

c. bloque iii01. La iluminacin E de una fuente vara inversamente con el cuadrado de la distancia "d" a partir de la fuente.

Si la iluminacin que produce un potente reflector es de un rea de 5000m2 a 15,24m, Cul es el rea de iluminacin a una distancia de 1,6 km.

02. A partir de restos seos encontrados en las huacas del norte del Per, se han logrado determinan las estaturas promedio, de los hombres y mujeres que vivieron en aquella poca.

Las ecuaciones presentadas en latabla estn elaboradas para inferior la estatura en etnias originarias de Amrica del Sur.

Estatura en varones Estatura en mujeres

2,28 (fmur) 66,38 3,42 + 2,59 (fmur) 49,74 3,82 +

1,98 (tibia) 93,75 2,81 + 2,72 (tibia) 63,78 3,51 +

a) Hallar la estaturas mxima y mnima esperadas para una mujer si se sabe que su trmino mide 42cm de longitud.

b) Hallar la estatura mnima y mxima que pudo haber tenido un hombre moche cuyo fmur mide 0,43m.

03. El peso esperado W (en toneladas) de una ballena adulta se relaciona con su longitud L (en pies) mediante la ecuacin W=1,70L-2,8.

a9 Unos investigadores marinos encontraron una ballena de 9,144m. Calcula su peso, sabiendo que 1 pie equivale a 0,3048m.

b) Una ballea pesa 19,2 toneladas. Cul es su longitud en metros?

04. Si se espera que la poblacin P de una ciudad (en miles) crezca de acuerdo con la frmula P 15 3t 2= + +, en donde el tiempo t est en aos.

a) Cul ser la poblacin al final del dcimo ao?

b) Cunto ha aumentado la poblacin en el dcimo ao?

05. Si se sabe que la soya contiene un 16% de protenas y el maz un 9%. cuntos kilogramos de cada uno de estos ingredientes se debera mezclar para obtener una mezcla de 350kg con un 12% de protenas.

Matemtica I


Ecuaciones Cuadrticas1. SabereS PrevioS

ejercicios resueltos:Factorice:

Semana 02

01. 3x2+9x Solucin: Factor comn monomio:

3x(x+ )02. 25x2-16 Solucin: Diferencia de cuadrados:

(5x+4)(5x 4)03. 36x4+24x2+4 Solucin Trinomio cuadrado perfecto:

(6x2+ )2

04. x23x180 Solucin: Aspa (x15)(x+12)05. 6x25x4 Solucin: Aspa (3x4)(2x+1)

ejercicios propuestos:Factores:01. 12x420x3+16x2 02. 81x2100y2

03. 2 1x x

4 + 04. x26x135

05. 12x27x10


Matemtica I

2. ecuacioNeS cuadrticaS definicin:

Una ecuacin cuadrtica es una ecuacin de la forma: ax2+bx+c=0, donde a, b y c son nmeros reales con a0.

La ecuacin cuadrtica (ecuacin de segundo grado) se caracteriza por tener soluciones llamadas

.

La grfica de una funcin cuadrtica es una curva abierta llamada

En la ecuacin: ax2+bx+c=0 a,b,c :Si: a0 b0 c0ax2+bx+c=0 (Ecuacin completa)Si: a0 b0 c=0ax2+bx=0 (Ecuacin incompleta)Si: a0 b=0 c0ax2+c=0 (Ecuacin incompleta)Si: a0 b=0 c=0ax2=0 (Ecuacin incompleta)

mtodos pArA solucionAr unA ecuAcin cuAdrticA1. Por factorizacin.2. Por frmula cuadrtica.1. Por factorizacin: Este mtodo se aplica nicamente si la expresin cuadrtica es factorizable, para lo cual se debe

tener en cuenta la siguiente propiedad: A.B=0 si y slo si A=0 B=02. Por frmula cuadrtica: Las rapices de la ecuacin cuadrtica ax2+bx+c=0, donde a, b y c

y a0, estn dadas

por:

2b b 4acx

2a

=

donde las races son: 2

1b b 4ac

x2a

+ = y

2

2b b 4ac

x2a

=

nAturAlezA de lAs rAces: Discriminante (): LLamada discriminante a la expresin subradical contenida en la frmula cuadrtica, es decir:

Anlisis del discriminante: Dada la ecuacin: ax2+bx+c=0 (a0)

* Si: >0, la ecuacin admite dos soluciones reales diferentes.* Si: =0, la ecuacin admite dos soluciones reales iguales (raz nica)* Si:

Matemtica I


b) 81x216=0 Solucin: - Diferencia de cuadrados: (9x+4)(9x4)=0 - Aplicamos la propiedad: 9x+4=0 9x4=0 x=4/9 x=4/9 - Las races son: 4/9 y 4/9c) x2x=72 Solucin: - Trasladamos el 72 al primer miembro de la ecuacin: x2x72=0 - Aspa: (x9)(x+8)=0 - Aplicamos la propiedad: x9=0 ; x+8=0 x=9 ; x=8 - Las races son: 8 y 9d) 6x2+7x20=0 Solucin: - Aspa: (3x4)(2x+5)=0 - Aplicamos la propiedad: 3x4=0 2x+5=0 x = x=

- La races son: y

b. bloque ii1. Resuelve: 4x217x+15=0 Solucin:

- Aplicando la frmula cuadrtica, donde: a = ; b=17 y C=

- 2( 17) ( 17) 4(4)(15)

x2(4)

17 49x

817 7

x8

=

=

=

x1= y x2=

2. Resuelve: 29y 6 2y 2 0+ + =

Solucin:

- Aplicamos la frmula cudrtica, donde: a= ; b= y c=

- 26 2 (6 2) 4(9)(2)

y2(9)

+ =

- 6 2

y18

=

- 1 22 2

y ; y3 3

= =

Por tanto la nica raz es: 2

3

3. Resuelve: x2+2x+2=0 Solucin:

- Aplicamos la frmula cuadrtica, donde: a= ; b= y c=

- 22 (2) .4(1)(2)

x2(1)

=

2

x2

=


Matemtica I

2 2x

2

=

x 1=

La ecuacin no tiene races reales, pero si tiene solucin en el campo de los nmeros complejos, donde: 1 i = (unidad imaginaria), entonces:

x1=1+i y x2=1i

4. Si la ecuacin: (a+1)x24x+a2=0 tiene races iguales, halle el valor de a. Solucin:

- La ecuacin tiene races iguales, entonces el discriminante es: - b24ac=0 (4)24(a+1)(a2)=0 164( )=0 164a2+4a+8=0 0=4a24a24 0=a2a6

0=(a )(a+ ) a=3 a=25. Resolver: x417x2+16=0 Solucin:

- Aspa: (x2 )(x21)=0 - Diferencia de cuadrados en cada uno de los factores: (x+4)(x4)(x+1)(x1)=0 - Entonces: x1=4; x2=4; x3=1; x4=1.

6. Resuelve: x 4 2x 11x 4 x 1

=

+ Solucin: Comprobando: (x4)(x1)=(2x11)(x+4) Si: x=8 Si: x=6

x25x+4=2x23x44

x 4 2x 11x 4 x 1

=

+

x 4 2x 11x 4 x 1

=

+

0=x2+2x48

12 274 9

=

2 110 5

=

0=(x+ )(x ) 3 = 3

1 15 5

=

x1=8 y x2=6.

c. bloque iii01. Se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad inicial (VO) de 40 metros /s, Cuntos segundos se demora

la pelota para alcanzar el punto ms alto de su trayectoria? (utilice la frmula: h=16t2+Vot)

Solucin:

Primero encontramos la altura mxima:

El punto ms alto en su trayectoria se da una sola vez, este quiere decir que la ecuacin debe tener un solo valor, entonces: =0.

Pasamos todos los trminos de la ecuacin (h=16t2+Vot) al primer miembro:

16t2Vot+h=0

16t240Vot+h=0

El discriminante es cero

=b24ac

0=(40)24(16)(h)

0=160064h

64h=1600

h=25m

Matemtica I


- Ahora hallamos el tiempo que se demora la pelota para alcanzar la altura de 25m

h = 16t2 + 40t

25 = 16t2+40t

16t240t+25=0

(4t5)2=0

t=5/4

t=1,25 segundos.

02. Un fabricante de instrumentos musicales, encuentra que su ganancia (G) generada por la fabricacin de x

instrumentos por semana, est dada por la frmula: xG (300 x)10

= siempre y cuando 0 x 200.

De la cantidad de instrumentos que tiene que fabricar en una semana para obtener una ganancia de S/. 1250.00

Solucin:

2

1 2

xG (300 x)

10x

1250 (300 x)10

12500 300x

x 300x 12500 0(x 250)(x ) 0x 250 x

=

=

=

+ = == =

* Por dato: 0 x 200

* Entonces se tiene que fabricar 50 instrumentos.

03. Un terreno de forma rectangular, tiene 2900 metros cuadrados de ancho. Si el largo de dicho terreno mide 8 metros ms que su ancho, determine las dimensiones del terreno.

Solucin:

* Ancho del terreno: x

* Largo del terreno: x+8

* rea de un rectngulo = largo . ancho

2900 = x(x+8)

2900 = +

0 = x2 + 8x

0 = (x+58)(x50)

* Entonces: x1=58 x2=50

* El ancho del terreno tiene que ser un nmero positivo, entonces concluimos que: Ancho=50 metros y largo= 48 metros.

04. Debido a una fuerte tormenta, el nivel del agua en una represa se debe reducir en una metro para que no colapse. La compuerta A reduce el nivel del agua a esa cantidad de 4 horas, miestra que la compuerta B lo reducen en 6 horas. En cuntas horas se reducir dicha cantidad de agua, si se abren las dos compuerta al mismo tiempo?

Solucin:

- x=el tiempo en horas que se requiere para bajar el nivel del agua en un metro en las dos compuestas abiertas.

- Nivel del agua que baja A en una hora = 1/4 de metro.

- Nivel de agua que baja B en una hora = 1/6 de metro.

- Nivel de agua que bajan A y B juntas en una hora = 1/x de metro

- Lo que efectan A y B juntas.


Matemtica I

1 1 1

MCM4 6 x3x 2x 125x 12

12x

52

x 2 horas5

+ =

+ =

=

=

=

=

Se necesita de 2

25

horas para bajar el nivel del agua en un metro con las dos compuertas abiertas.


01. Resuelve: 16x2 = 25

02. Resuelve; 3x2 5x 1=0

03. Cul o cules de las siguientes ecuaciones:

a) x2x=1 b) x22x+3=0 c) 3x2=2x

no admite races reales?

04. En la ecuacin: x210x+q=0, halle el valor de q para que las dos races de la ecuacin sean iguales.

05. Resuelva: 4 3

03 3x 1

+ =

b. bloque ii

01. Resuelve: (x2)2+3x=2(x+1)

02. Si la ecuacin: x24x=3 tiene como conjunto solucin: {a; b}, donde a>b, halle el valor de: abba.

03. Halle los valores que asume x en: 4x24ax=b2a2.

04. Resuelve: 3 5

2x x 2

+ =+

05. Resuelve: 23x 43 3x 5 12

x 2 x 4 x 2x 8+

=+

c. bloque iii01. La suma de dos nmeros es 6 y su suima de sus cuadrados es 20. Halle dichos nmeros.

02. Una persona hizo un edredn que mide 4 metros x 5 metros. Dicha persona tiene 10 metros cuadrados de tela para crear un borde alrededor del adredn. Qu tan ancho debe hacer el borde para usar toda la tela? (El borde debe tener el mismo ancho en los cuatro lados)

03. Se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad inicial (Vo) de 80m/s. Despus de cuntos segundos la

pelota golpea en el suelo, si: h=16t2+Vot?

04. En un tringulo de 90cm2 de rea, su altura mide 8cm ms que su base. Halle la medida de su altura.

05. Un avin vol desde Nueva York a los ngeles, una distancia de 4200 km. La velocidad para el viaje de regreso fue de 100km/h ms rapido que la velocidad de ida. Si el viaje total dura 13 horas. Cul es la velocidad del avin de NuevaYork a los ngeles?

Matemtica I


Ecuaciones con Radicales y con Valor Absoluto

1. SabereS PrevioSA. ejercicios desArrollAdos

01. Una_________________ es un enunciado que iguala dos expresiones algebraica.

02. Hay dos tipos de igualdades, ____________ y ___________

03. Una ecuacin lineal en una variable es la que se puede escribir en la forma estndar ____________

04. Cuando se resuelve una ecuacin, es posible introducir una solucin __________, que es una valor que no satisface la ecuacin original.

05. Una ecuacin de la forma ax2+bx+c=0, a0 es una _________ _________, o ecuacin polinomial de segundo grado, en x.

06. Los cuatro mtodos que se pueden emplear para reoslver una ecuacin cuadrtica son _________, ____________, ________ y la ___________

2. ecuacioNeS que coNtieNeN radicaleS Operaciones como elevar al cuadrado cada lado de una ecuacin, elevar cada lado a una potencial racional o multiplicar

cada lado por una cantidad variable pueden introducir SOLUCIONES EXTRAAS. As, cuando se emplea cualqueira de estas operaciones, la verificacin de las soluciones es necesaria.

A. ejercicios resueltos

Ejemplo 1: Resolver: 2x 7 x 2+ =Solucin:

2

2

2x 7 x 2

2x 7 x 2

2x 7 x 4x 4

0 x 2x 30 (x 3)(x 1))0 (x 3)(x 1)

x 3 0 x 3x 1 0 x 1

+ =

+ = +

+ = + +

= + = + = +

+ = = = =

Ecuacin original

Despeje el radical

Eleve el cuadrado cada lado

Escriba en forma general

Factorice

Iguale a cero el primer factor

Iguale a cero el segundo factor

Verfician estos valores:

Prueba matemtica:

2x 7 x 2

2( 3) 7 ( 3) 2

6 7 3 2

1 3 21 3 2

4 2

+ =

+ =

+ + =

+ =+ =

= (absurdo)

x = 3

Semana 03


Matemtica I

Prueba matemtica:

(cumple)

x = 1 2x 7 x 2

2(1) 7 1 2

9 1 23 1 2

2 2

+ =

+ =

= =

=

Luego, la nica solucin es x=1 C.S.= {1}

b. ejercicios propuestos:

01. Resuelva la ecuacin 2x 1 2 x= Solucin:

2x 1 2 x2x 1

2 x0

(4x 1)( ) 0x x

= =

=

=+ =

= =

Ecuacin original

Despeje el radical

Eleve al cuadrado cada lado


Factorice

Igualando a cero cada factor

Comprobando las soluciones vemos que:

x = es una solucin, pero x= no lo es. Entonces la nica solucin es x=

02. Resolver:

2x 5 x 3 1

2x 52x 5

x 3 2 x 3

0( )( ) 0x x

=

= =

=

=

==

= =

Ecuacin original

Despeje

Eleve al cuadrado cada lado

Combine trminos semejantes

Eleve al cuadrado cada lados


Factorice


2x 5

Comprobando las soluciones vemos que:

Recuerde:Cuando una ecuacin contiene dos radicales, tal vez no sea posible despejarlos. En esos casos, hay que elevar cada lado a una potencia en dos pasos distintos como se muestra en el ejemplo anterior.

3. ecuacioNeS coN valoreS abSolutoS Para resolver una ecuacin que incluya un valor absoluto recuerde que la expresin dentro, del signo, puede ser positivo o

negativo. Esto conduce a dos ecuaciones que se deben resolver.

Matemtica I


A. ejercicios resueltos:01. Resolver: |x2|=3

Solucin:

| x 2 | 3 =

positivo negativo

x 2 3x 5

==

(x 2) 3x 2 3

x 1

= =

=

Ejercicio de la forma:

|ax+b|=c

Entonces la ecuacin tiene dos soluciones: x=5 y x=1

Verificacin:

Cuando: x=5 |52|=3 Cuando: x=1 |12|=3

|3|=3 |3|=3

3=3 (cumple) 3=3 (cumple)

b. ejercicios propuestos:01. Resuelva la ecuacin |2x5|=3

Solucin: De acuerdo con la definicin de valor absoluto, |2x5|=3

equivale a:

=3 o bien =3

Las soluciones son x= , x=

02. Resuelva: 2|x 3x| 4x 6 = + Solucin:

Como la expresin variable dentro del signo de valor absoluto puede ser positiva o negativa, se deben resolver las dos ecuaciones siguientes.

Primera Ecuacin:

2

2

x 3x 4x 6

x x 6 0(x 3)(x 2) 0x 3 x 2

= +

+ =

+ =

= =

Use la expresin positiva


Factorice.


Segunda Ecuacin:

Use la expresin negativa


Factorice.


2(x 3x) 4x 600

x 3 x 2

= +

==

= =

Verificacin:

2x 3 |( 3) 3(3)| 4( 3) 618 18 (es correcto)

= = +

=

2x 2 |(2) 3(2)| 4(2) 62 2 (no es correcto)

= = +=


Matemtica I

2x |( ) 3( )| 4( ) 6(es ___________)

= = +=

2x |( ) 3( )| 4( ) 6(es ___________)

= = +=

Las soluciones son x=3 y x=

3. aPlicacioNeSA. ejercicios resueltos

01. Una aerolnea ofrece vuelos diarios entre Chicago y Denver. El costo mensual, C (en millones de dlares), de los vuelos es C 0.2x 1= + , donde x es el nmero de pasajeros (en miles). El costo total para el mes de junio es de 2.5 millones de dlares. Cuntos pasajeros volaron en Junio?

Solucin:

Dado: C=2.5

Reemplazando en:

2

C 0.2x 1

2.5 0.2x 1

(2.5) 0.2x 16.25 0.2x 15.25 0.2x

5.25x

0.2x

= +

= +

= += +=

=

= miles de pasajeros

Respuesta: En Junio volaron pasajeros

02. La ecuacin de la demanda para una televisin de alta definicin est modelada por:

p 800 0.01x 1= +

donde "x" es el nmero de unidades demandadas por mes y "p" es el precio por unidad. Aproxime la demanda si el precio es de 750 dlares.

Solucin:

Dato: p=750

reemplazando en: p 800 0.01x 1

750 800 0.01x 1

= +

= + Resolviendo:

x=

Respuesta: Aproximando la demanda es unidades.

b. ejercicios propuestosEncuentre todas las soluciones de la ecuacin. Compruebe en la ecuacin original.

01. 2x 10 0 =

02. x 10 4 0 =

03. 3 2x 5 3 0+ + =

04. 26 11x 4 x + =

Matemtica I


05. x 1 3x 1+ = +

06. |2x 1| = 5

07. |8x+7|=1

08. |x| = x2+x3

09. |x+1|=x25

10. Considere una ecuacin de la forma x+|xa|=b donde a y b son constantes. Encuentre a y b si la solucin de la ecuacin es x=9 (Hay varias respuestas correctas)

11. La ecuacin de la demanda para un juego de video est modelada por p 40 0.01x 1= + , donde "x" es el nmero de unidades demandadas por da y "p" es el precio por unidad. Apxoxime la demanda si el precio es de 37.55 dlares

12. Un mtodo para determinar la profundidad de un pozo es arrojar una piedra hacia dentro y medir el tiempo

que toma hasta que se escucha el choque contra el agua. Si "d" es la profundiad del pozo en pies y t1 el tiempo

en segundos que requiere la piedra para llagar al agua, entonces 1d

t4

=

Luego, si t2 es el tiempo que tarda el sonido en viajar, entonces d=1090t2 porque la velocidad del sonido es

1090 pies/s. Entonces 2d

t1090

= . Por lo tanto, el tiempo total transcrurrido entre que se arroja la piedra y

escuchar que choca el agua es: 1 2

d dt t

4 1090+ = +

Qu tan profundo es el pozo si el tiempo es 3 segundos?

Inecuaciones Lineales1. SabereS PrevioS

A. ejercicios desArrollAdosEn los ejercicios del 1 al 5 graficar en la recta numrica las siguientes desigualdades:

01. x 5

Solucin:

5],5 intervalo no acotado

02. x 2

03. x < 3

04. 2 < x < 2

05. 0 < x 6

b. ejercicios propuestosEn los ejercicios utilice la notacin de desigualdad para describir el conjunto.

01. Todas las x en el intervalo ]2,4 Solucin:

2 < x 4 intervalo acotado

02. Todas las y en el intervalo 6,003. t es al menos 10 y, a lo ms , 22

04. K es menor que 5 pero no menos que 3.

05. Se espera que la tasa anual de inflacin r, sea al menos, 2.5% pero no mayor que 5%.

2. iNecuacioNeS o deSigualdadeS liNealeSdefinicin:

Resolver una inecuacin consiste en hallar el conjunto de todos los nmeros reales que satisfacen dicha inecuacin. Tal conjunto es llamado el CONJUNTO SOLUCIN (C.S) de la inecuacin.


Matemtica I

Ejemplo 1: Resuelve la inecuacin: 4x + 5 > 6x 13

Solucin:

4x 5 6x 134x 5 6x 5 6x 13 6x 5

2x 182x 18

1 1(2x) (18)

2 2x 9 ,9

+ >

+ >

>

cax + b < cax + b cax + b c


01. Resuelva: 5x 7 > 3x + 9

Solucin:

5x 7 > 3x + 9 Escriba la desigualdad original

2x 7 > 9 Reste 3x en cada lado

2x > 16 Sume 7 en cada lado

x > 8 Divida cada lado entre 2

En conjunto de solucin: C.S.: x 8, Graficando:

876 9 10x

Matemtica I


02. Resuelva la desigualdad: 3x

1 x 42

Solucin:

3x1 x 4

2

Multiplique cada lado por 2

Reste 2x en cada lado

Reste 2 en cada lado

Divide cada lado entre 5

C.S.: x

Graficando:

b. bloque ii01. Resolucin de una desigualdad doble.

Resuelve la desigualdad doble 3 6x 1 < 3

Solucin:

3 6x 1 33 1 6x 1 1 3 1

2 6x 42 6x 46 6 61 2

x3 3

+ + =

>

2x x 2 0 analizamos por ladiscriminante:

2( 1) 4(1)( 2)9

=

= es mayor que CERO y es cuadrado perfecto

por lo tanto:

2(x 7) 0

2(x 7) 0x

tambin: =( 2) 4(1)( 7) 2

=32 es mayor que CERO no es cuadrado perfecto

por lo tanto 2x 2x 7 esfactorizable en

Se representa as:

( ; ; ; )> <

INECUACIONES CUADRTICAS


01. Resuelve:

a) 2014(x + 8)2 > 0 : ................................................

b) 21

333 x 07

+

: ................................................

c) 21 1

3x 0999 8

>

: ................................................

d) 5 + 77(4x + 1)2 5 : .................................................


Matemtica I

02. La desigualdad cuadrtica x22x+7 0

Resolucin: Igualamos a cero el primer miembro: x2x12=0

Factorizando y tenemos los valores de x:

(x 4)(x 3) 0x 4 0 x 3 0

x 4 x 3

+ = = + =

= =

Ubicamos en la recta real:

3 4FT

IntervaloA

IntervaloB

IntervaloC

T

De cada intervalo escojemos un valor, y reemplazamos en la desigualdad y estos son: 5; 0; 5

2

2

x x 12 0

( 5) ( 5) 12 025 5 12 0

18 0

>

>+ >

> donde este es verdadero

2

2

x x 12 0

0 0 12 012 0

>

> > donde este es falso.

Y para x=5 es verdadero. Finalmente tenemos:

3 40

Rpta: x ; 3 4; +

04. Resuelve: 2x 3x 2 0 + Resolucin:

Resulta a=1

Matemtica I


Se observa que el intervalo negativo es la solucin por:

(x 2)(x 1).......0 OjO: es menor o igual que

por lo tanto: x.................................................

Importante:

>

0

Resolucin:

21x 5x 6 0 ; 0 + > >

siempre

Es cuadrado perfecto (>0)entonces x 5x+6 es2factorizable en Q

>0

El trinomio tiene las dos races x1=2; x2=3. Como a=1>0, el trinomio es negativo en el intervalo y positivo

en ;2 3; + . Las soluciones de la inecuacin son entonces todos los puntos de ;2 3; +

mejor asi:

x ;2 3; + .

por puntos crticos (P.C.)

i) factorizamos el polinomio por aspa simple:

2x 5x 6 0x 3x 2

+ >

Tenemos: (x3)(x2)>0

ii) Igualamos a cero cada factor: x 3 0 ; x 2 0x 3 ; x 2

= == =

puntos crticos

iii) Los puntos crticos se ubican en la recta numrica:

2 3 +

++

Se observa que los intervalos positivos es la solucin por (x3)(x2)>0

Por lo tanto: x ;2 3; +02. Resuelve: 2x 2x 9 0 Resolucin: Veamos por 2( 2) 4(1)( 9)

40 0 =

= >No es cuadrado perfecto


Matemtica I

Por lo tanto x22x9 es factorizable en .

Por puntos crticos (P.C.)

i) Factorizamos: x22x(1)+1210 dando forma a un T.C.P. en una parte o completando cuadrado, entonces: 22(x 2) 10 0

diferencia de cuadrados: ...................... 0

ii) Igualamos a cero cada factor: x 2 10 0 ; x 2 10 0x ................ ; x ..................

+ = == =

Puntos crticos iii) Los (P.C) ubicamos en la recta real:

+ 2 10 2 10+

( )

Se observa que intervalo es la solucin por:

(x 2 10)(x 2 10).....0 +

OjO: es mayor o igual que

Por lo tanto: x .................................................................

03. Resuelve: 2

88777 x 8 99 997 1

+ +

+ >

OjO

Finalmente: 2

88x 8 0 + >

Observamos que cumple cualquier valor real, menos el 888

entonces:

x x ........... {..........} ..................

Cositas:

Resuelve:

1. x2 3x 28 2. x2 x + 56 > 0

3. x2 4x 1 0 4. 29 (x 8) 7 78

+ >

04. Halle el mnimo valor de A para el cual la inecuacin: 26x x A Se cumpla para cualquier valor real de x.

Resolucin: 26x x A 0 Simpre

Multiplicamos por( 1)

2x 6x A 00

+

Propiedad importante

Por lo tanto: (6)2 4(1)(A) 0

36 4A 0 4A 36

Tenemos finalmente: A 9

Amn.=9

Matemtica I


c. bloque iii01. Altura de un proyectil. Se dispara un proyectil hacia arriba desde el nivel del piso con una velocidad inicial

de 128 pies por segundo, de manera que su altura en cualquier tiempo t es dada por: h=16t2+128t.

Donde la altura "h" se mide en pies y el tiempo "t" en segundos. Durante qu intervalo la altura del proyectil exceder 240 pies?

Resolucin:

Por dato: h>240

Mejor: h=16t2+128t > 240 16t2 128t + 240 < 0

Simplificando y factorizando: (t3)(t5) >

>

+ Si x representa el anchoentonces x>7

2x

x

03. Distancia de frenado. Para un cierto modelo de automvil la distancia d que requiere para detenerse si est viajando a un velocidad millas/h se encuentra mediante la frmula.

2

d20

= +

donde d se mide en pies. Kerry desea que su distancia de frenado no exceda 240 pies. Entre qu rango de velocidad debe viajar?

240 pies

Resolucin: de la condicin: d 240.

Adems se sabe que: 2

d20

= + reemplazamos en la condicin, tenemos 2

24020

+

Reduciendo tenemos: 2 20 4800 0 + factorizando el primer miembro se tiene: .................... 0 luego por puntos crticos finalmente se obtiene:

80 x 60 de donde se tendr entre 0 y 60 millas.

04. Un polgono es una figura cerrada que se forma uniendo segmentos de lnea. Por ejemplo, un tringulo es un polgono de tres lados. En la figura se ve un polgono con ocho lados, que se llama octgono. Una diagonal de un polgono se define como un segmento de recta que une dos vrtices no adyacentes cualquiera. La

cantidad "d" de diagonales de un polgono con n lados es 1d (n 1)n n2

= . Para qu polgonos la cantidad de diagonales es mayor que 35?


Matemtica I

vrtice

vrtice

n=8

Resolucin: por dato: d > 35

1(n 1)n n 35 ....................

2 >

donde tenemos: n2 3n 70 > 0 .....................

n ; 7 10;

slo : n 10

+

>


01. Resuelve: 21

7x 03

>

Rpta: ____________________________________

02. Resuelve: x2 x 6 0

Rpta: ____________________________________

03. Resuelve: x2 13

Rpta: ____________________________________

04. Resuelve: x2 + 2x + 5 9x + 9

02. Calcula "" entero si la ecuacin:

x2 2(1)x + 47 = 0

Tiene races complejas.

03. La edad de PACOLO est dado por la suma de valores reales de "" que permiten que el conjunto solucin de la inecuacin cuadrtica en "x".

x2 + (1)x 8 < 0

Sea { } / {0} , Indica la edad de PACOLO.

04. Resuelve:

21 5x 2 1 2x 1 1 3 x 2 (x 2)

5 3 3 3 + > + +

05. Resuelve: 5 3 33

x x (2x 5)(x 3)2 2 4

+ + >

Luego indica la suma de los valores enteros de "x"

Matemtica I


c. bloque iii

01. Resuelve: abx2 (a2 + b2)x + ab < 0

Si se sabe que: 0 < a < b

02. Rendimiento de combustible. El nmero de millas M, que cierto auto compacto puede viajar con 1 galn de gasolina, est relacionado con su velocidad v (en millas/h) por:

21 5M30 2

= + para 0 70<

es equivalente a x > 2x 6 ....... ( )

b) La inecuacin x 3 1x 2

b) Determine: T(2); T(3) y T(5)

c) Qu representa las respuestas.?

04. De acuerdo con la teora de la relatividad, la longitud L de un objeto es una funcin de su velocidad V con respecto a un observador. Para un objeto cuya longitud en reposo es 10m, la funcin esta dada por:

2

2V

L(V) 10 1C

=

Donde C es la velocidad de la luz.

a) Determine L(0,5C); L(0,75C) y L(0,9C)

b) Cmo cambia la longitud de un objeto cuando se incrementa su velocidad?

05. En cierto estado la velociidad mxima permitida en las autipistas es 65 km/h y la mnima es 40 km/h, La multa F por violar estos lmites es 15 soles por cada kilmetro arriba del mximo o abajo del mnimo.

a) Completa las expresiones en la siguiente funcin definida por partes, donde x es la velocidad a la que conduce una persona.

; si 0 x 40F(x) ; si 40 x 65

; si x 65

<

b) Determine F(30), F(5= y F(75)

c) Qu representan las respuestas del inciso b?


Matemtica I

Dominio de una Funcin1. SabereS PrevioS

A. ejercicios desArrollAdos

01. Que valores enteros admite "x" en la siguiente funcin: f(x) x 1= ? Solucin:

f(x) x 1=

puede ser {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; ...+

valores que admite x

02. Que valores enteros admite "x" en la siguientes funcin: f(x)=x2+3.?

Solucin:

f(x)=x +32

para cualquier valor entero existe un f(x)

x f x( )32101

127434

03. Hallar los valores de a y b para que el conjunto de pares ordenados sea una funcin_

A={(2; 5), (1; 3), (2; 2ab), (1; ba), (a+b2; a)}

Solucin:

5=2a b3= a+b 2 = a1 = b

04. Si f es una funcin definida por:

f(x)=2

1 x ; x 5; 1f(x)

4x x ; x [0,4]

Hallar f(3) y f(2)

Solucin:

2

2

f(3) 4x x

4(3) (3)3

=

= =

f( 2) 1 x1 ( 2)3

= = =

05. Dada las funciones F y G definidas en los diagramas:

1

f

23

2

13

3

g

12

5

23

Matemtica I


Hallar:

F(1) G(3)E

F(G(1)) F(G(2))+

=+

Solucin:

2 2E

F(5) F(3)4

E 13 1

+=

+

= =+

b. ejercicios propuestos01. Qu valores enteros admite "x" en la siguiente funcin: f(x) 1 x= ?

02. Qu valores enteros admite "x" en la siguiente funcin: 2x 2x 1

f(x)x

+ += ?

03. Encontrar una funcin lineal f(x) al que: f(2)=3; f(3)=2f(4)

04. Si g es una funcin definida por:

2x 4; 3 x 0g(x)

2x 6; 2 x

< = < + Determinar g(0); g(8)

05. Dada las funciones F definida en el diagrama.

4

f

56

1

83

Determina: F(4) F(6)

MF(5) F(4)

+=

+2. domiNio de uNa FuNciN:

definicin de funcin: Sea f: AB una funcin de A en B, llamaremos dominio de la funcin f, al conjunto de todas sus primeras componentes al

cual denotaremos por:

Dom f:

{ }Domf x A / y B (x,y) f=

Dom f:

x

f

y

A B

cAso:

1. Si f(x)=2x2+x x solo numerador Domf:

2. Si f(x)=2x2+x ]

restriccin

b x a Domf : b;a<


Matemtica I

3. Si x b 01

f(x) Dom f : {b}x bx b

=

4. Si f(x) b b 0=

5. Si nf(x) b si n impar Dom f := = ; nf(x) b si n impar Dom f := =

6. Si 1

f(x) b 0b

= >


01. Sea f={(1;2), (3; 4), (5;6), (7;8)}

Dom f = { , , , }

Solucin: x y f={(1;2), (3; 4), (5;6), (7;8)} Dom f = {1, 3, 5, 7}

02. Se da la siguiente funcin f(x)=x24x+7; x[2,3]. Qu representa x[2,3]?

Solucin:

La expresin x[2, 3] representa los valores que asume x por lo tanto ser el dominio.

2

f

3

x

Dom f: [2, 3]

03. Encuentre el dominio de la funcin f(x)=2x

Solucin:

1012

f(x)=2xx y

2023

x existe un "y" Dom f: .

04. Encuentre el dominio de la funcin f(x)=2x; 1 x 5.

Solucin:

Dominio

f(x) 2x 1 x 5

x [ 1;5]

=

Dom f: [1;5].

Matemtica I


b. bloque ii01. Encuentre el dominio:

1f(x)

x 3=

Solucin:

x 3 01f(x) Dom f : { 1}

x 1x 3

=

x 3 0Domf : {3}

x 3

02. Encuentre el dominio:

2

x 2f(x)

x 1+

=

Solucin:

x 2f(x) x 1 x 1 Domf : { 1}

(x 1(x 1)+

+

03. Encuentre el dominio de la funcin: f(x) x 5= Solucin:

x 5 0f(x) x 5 Dom f : 5;

x 5

= +

0 5

04. Encuentre el dominio de la funcin: 3f(x) x 1= Solucin:

3 como la raz es imparf(x) x 1 Dom f :existe todas las raices

=

x f(x)2

12

11,441,25

01

c. bloque iii

01. Encuentre el dominio de la funcin 2 x

g(x)3 x

+=

Solucin:

2 xg(x) 2 x 0 3 x 0 Dom f : 2; {3}

3 xx 2 x 3

+= + +

02. Encuentre el dominio de la funcin: 4 2g(x) x 6x= Solucin:


Matemtica I

]4 2 2g(x) x 6x x 6x 0 Dom f : ;0 6;x(x 6) 0x 0;x 6

= +

= = +

+ +

60

]x ;0 6; +03. Encuentre el dominio de la funcin:

3f(x)

x 4=

Solucin:

x r 03f(x) Dom f : 4;

x 4x 4

>= +

>x 4 0

Domf : 4;x 4 >

+>

4

04. Encuentre el dominio de la funcin:

2(x 1)f(x)

2x 1+

=

Solucin:

2(x 1) 1f(x) 2x 1 0 Dom f : ;

22x 11

x2

+= > +

>

1/2


01. En el producto cartesiano se define: A x B = {(a,b)} de este par cual sera el dominio y por qu?

02. En una grfica (x) vs (y) Cul ser su dominio? y Por qu?

Matemtica I


6

5

2

2

x

y

03. Encuentre el dominio de la funcin: f(x)=x2+1

04. Encuentre el dominio de la funcin: f(x)=x2+1, 0 x 5.

05. Encuentre el dominio de la funcin: 1

f(x)3x 6

=

b. bloque iiEncuentre el dominio de la funcin:

01.

4

2

xf(x)

x x 6=

+

02. 4f(x) x 9= +

03. f(x) 7 3x=

04. 2f(x) x 9=

05. 2x

f(x)2x x 1

=+

c. bloque iiiEncuentre el dominio de la funcin:

01. 2g(x) x 2x 8=

02. 2x

f(x)6 x

=

03. 4 2

xf(x)

9 x=

04. 2 2f(x) (9 x )= 05. La grfica muestra la cantidad de gasolina en le tanque del automvil en un perodo de 30 das. Determine el

dominio de la grfica.

5 10 15 20 25 30

10

can

tidad

de

gaso

lina

en g

alon

es


Matemtica I

Grfica de Funciones1. SabereS PrevioS

A. ejercicios desArrollAdos

a) Cul de las siguientes curvas representa con ms fidelidad la funcin x ?

b) Argumenta en cada uno de los otros casos para descartarlo como representacin de x .

b. ejercicios propuestosGrafica las siguientes funciones:

a) f(x) x 2= b) g(x) x 2= +

c) h(x) 5x= d) k(x) 4x 3=

Define en cada caso el dominio y el rango de la funcin.

Semana 06

Matemtica I


2. grFicaS de FuNcioNeS: La forma ms importante de representar una funcin es por medio de su grfica. En esta seccin se investiga con mas detalle

el concepto de graficar funciones.

Graficacin de funciones:

1 2 xx

0

(x,f(x))

f(x)f(2)

f(1)

Figura 1: La altura de la grfica arriba del punto x es el valor de f(x)

lA GrAficA de unA funcin Si f es una funcin con dominio A, entonces la grfica de f es el conjunto de pares ordenados.

{ }(x, f(x)) / x A En otras palabras, la grafica de f es el conjunto de puntos (x,y) tales que y=f(x); es decir, la grfica de f es la grfica de la

ecuacin y=f(x).

La grfica de una funcin f da un cuadro del comportamiento o Historia de vida de la funcin. Se puede leer el valor de f(x) de la grfica como la altura de la grfica arriba del punto x (vase figura 1)

Una funcin f de la forma f(x) = mx + b se llama funcin lineal porque su grfica es la de la ecuacin y =mx + b, que representa una recta con pendiente m e y la ordenada al origen b. Un caso especial de una funcin lineal se presenta cuando la pendiente es m = 0. La funcin f(x) = b, donde b es un determinado nmero, se llama funcin constante porque todos sus valores son el mismo nmero, a saber, b.

Su grfica es la recta horizontal y = b. En la figura 2 se muestran las grficas de la funcin constante f(x) = 3 y la funcin lneal f(x) = 2x + 1.

Figura 2:

2 4x

0 62

2

4

y=3

y

x0

y=2x+1

y

1

1

La funcin constante f(x)=3 La funcin lineal f(x)=2x+1 Figura 3:

2 4x

0 62

2

4

y=3

y

x0

y=2x+1

y

1

1

La funcin constante f(x)=3 La funcin lineal f(x)=2x+1

pruebA de lA lneA verticAl La grfica de una funcin es una curva en el plano xy. Pero surge la pregunta: Qu curvas en el plano xy son grficas de

funciones? Esto se contesta mediante la prueba siguiente.


Matemtica I

pruebA de lA lneA verticAl Una curva en el plano coordenado es la grfica de una funcin si y slo si ninguna lnea vertical corta la curva ms de una

vez.

Se puede ver las figura 3 y 4 por qu es cierta la prueba de la lnea vertical. Si cada lnea vertical x = a corta una curva slo una vez en (a, b), entonces f(a) = b define exactamente un valor funcional. Pero si una lnea x = a corta dos veces en (a, b) y en (a, c), entonces la curva no puede representar una funcin porque una funcin no puede asignar dos valores diferentes para a.

Figura 4:

x

(a,b)

y

x=a

a0x

(a,b)

y

x=a

a0

(a,c)

Grfica de una funcin Grfica de una funcin Figura 5:

x

(a,b)

y

x=a

a0x

(a,b)

y

x=a

a0

(a,c)

Grfica de una funcin Grfica de una funcin

Prueba de la lnea vertical

uso de lA pruebA de lA lneA verticAl Con la prueba de la lnea vertical, se ve que las curvas de los incisos b) y c) de la figura 5 representan funciones, no as para

el caso de los incisos a) y d).

Figura N 6

y

x0

(a)

y

x0

(b)

y

x0

(c)

y

x0

(d)

Matemtica I


Ejemplo (1)

Graficacin de funciones

Trace las grficas de las siguientes funciones.

a) 2f(x) x= b) 3g(x) x= c) h(x) x= Solucin: Primero se construye una tabla de valores. Luego se grafican los puntos expresados en la tabla y se unen

mediante una curva lisa para obtener la grfica. Las grficas se bosquejan en la figura.

x0 3

3 (2,4)

y

( 2,4)

( 1,1) (1,1)

1 1,

2 4

1 1,

2 4

y=x2

x0

2

(2,8)

y

( 1, 1)

(1,1)

y=x3

1

( 2, 8)

0 1

(4,2)

y

1 (1,1)

(2, 2)

y x=

y f(x)=x2

3

0

12

1

2

3

0

14

1

4

9

y g(x)=x3

0 0

1

8

12

1

12

2

1

2

12

18

1

8

y f(x)=x2

0 0

11

2

3

4

5

2

2

5

2a) f(x) x= 3b) g(x) x= b) h(x) x=

En la tabla siguiente se muestran las grficas de algunas funciones que se vern con frecuencia en este libro. Una forma conveniente de graficar una funcin es usar una calculadora de graficacin, como en el ejemplo siguiente.


Matemtica I

b

x

f(x)=b

y

b

x

f(x)=mx+b

y

Funciones linealesf(x)=mx=b

x

f(x)=x2

y

b x

f(x)=x3

y

x

f(x)=x4

y

x

f(x)=x5

y

Funciones exponencialesf(x)=x

n

x

y

x

y

Funciones recprocas

nf(x) x=

f(x) x= 3f(x) x=

x x

4f(x) x= 5f(x) x=

x

y

x

y

Funciones de raz

1f(x)

x= 2

1f(x)

x=

n

1f(x)

x=

x

f(x)=|x|

y

Funcin valor absolutof(x)=|x|

x

y

Funcin valor mximo entero

f(x) x=

f(x) x=1

1

Algunas funciones y sus grficas

Matemtica I



Trace la grfica de la funcin construyendo primero una tabla de valores.

01. f(x) x 3, 3 x 3= + 02. g(x) x 4= +

f(x)

f(x)

03. 1

F(x)x 4

=+

04. H(x) |x 1|= +

f(x)

f(x)

b. bloque ii Funcin cuadrtica

La funcin cuadrtica es de segundo grado y es de forma 2f(x) ax bx c= + + con a 0 , su grfica describe una parbola, como a continuacin se muestran en los siguientes ejemplos.

01. Graficar la funcin 2T(x) x 4x 1= + + ; obtener el dominio y el rango Se utiliza una tabla para determinar la grfica de la funcin

x 2T(x) x 4x 1= + + -4 1 -3 -2 -2 -3 -1 -2 0 1 1 6

- 2T( 4) ( 4) 4( 4) 1 1 = + + =

- 2T( 3) ( 3) 4( 3) 1 2 = + + =

- 2T( 2) ( 2) 4( 2) 1 3 = + + =

- 2T( 1) ( 1) 4( 1) 1 2 = + + =

- 2T(0) (0) 4(0) 1 1= + + =

- 2T(1) (1) 4(1) 1 6= + + =


Matemtica I

Su grfica es:

T(x)

x2112345 1

2

3

1

2

3

4

5

6

Dom=< ; >

Rango=[ 3;+ >

02. Graficar la funcin 2H(x) x 3= + ; encontrar el dominio y el rango. Se sustituyen los valores en la funcin para encontrar los puntos.

x 2H(x) x 3= + -2 -1 -1 2 0 3 1 2 2 -1

- 2H( 2) (2) 3 1 = + =

- 2H( 1) (1) 3 2 = + =

- 2H(0) (0) 3 3= + =

- 2H(1) (1) 3 2= + =

- 2H(2) (2) 3 1= + =

Su grfico es:

H(x)

x211234 1

23

1

2

3

4

Dom=< ; >

Rango=< ;3]3

4

5

Funcin cbica

La funcin cbica es una funcin polinomial de tercer grado, es de la forma f(x)=ax3+bx2+cx+d con a0

Para conocer su grfica se requiere ejemplificar.

03. Graficar la funcin 3 2D(x) x 6x 12x 6= + ; obtener el dominio y el rango.

Se utiliza una tabla para determinar la grfica de la funcin.

Matemtica I


x 3 2D(x) x 6x 12x 6= + 0.5 -1.375 1 1

1.5 1.875 2 2

2.5 2.125 3 3

3.5 5.375

- 2 2D(0.5) (0.5) 6(0.5) 12(0.5) 6 1.375= + =

- 2 2D(1) (1) 6(1) 12(1) 6 1= + = - 2 2D(1.5) (1.5) 6(1.5) 12(1.5) 6 1.875= + = - 2 2D(2) (2) 6(2) 12(2) 6 2= + = - 2 2D(2.5) (2.5) 6(2.5) 12(2.5) 6 2.125= + = - 2 2D(3) (3) 6(3) 12(3) 6 3= + = - 2 2D(3.5) (3.5) 6(3.5) 12(3.5) 6 5.375= + =

Su grfica es:

P(x)

x2112 1

2

3

1

2

3

4

5

6

Dom=< ; >

Rango=< ; >

3 4 5

4

04. Graficar la funcin L(x) 2 4 x 3= + , as como determinar su dominio y su rango Para resolver este ejemplo se utiliza una tabla para encontrar las coordenadas de los puntos.

x L(x) 2 4 x 3= + -2 -1.9 -1 -1.5 0 -1 1 -0.5 2 0.2 3 1 4 3 5 No es nmero real

L( 2) 2 4 ( 2) 3 2 6 3 1.9 = + = + =

L( 1) 2 4 ( 1) 3 2 5 3 1.5 = + = + =

L(0) 2 4 (0) 3 2 4 3 1= + = + =

L(1) 2 4 (1) 3 2 3 3 0.5= + = + =

L(2) 2 4 (2) 3 2 2 3 0.2= + = + =

L(3) 2 4 (3) 3 2 1 3 1= + = + =

L(4) 2 4 (4) 3 2 0 3 3= + = + =

L(5) 2 4 (5) 3 2 0 1 3= + = + = no es nmero real


Matemtica I

Al ubicar los puntos en el plano cartesiano se obtiene.

L(x)

x21234

23

1

2

3

4

3

4

5

4 5

De acuerdo al comportamiento de la funcin, los valores que hacen que sea verdadera son para x menores o iguales de 44(x 4) , por lo tanto se grfica a partir (4, 3) a la izquierda y hacia abajo, quedando la grfica de la funcin como sigue:

L(x)

x21234

23

1

2

3

4

3

4

5

4 5

Dom=< ;4 >

Rango=< ;3]

c. bloque iii01. Relacione la funcin con las caractersticas dadas.

3(i)y 3x 3x=

2(ii)y (x 3)= +

(iii)y 3x 3= 3(iv)y x=

2(v)y 3x 3= + (vi)y x 3= +

(a) Simtrica respecto al eje y

(b) Tres intersecciones con el eje x

(c) Simtrica respecto al eje x

(d) (-2, 1) es un punto sobre la grfica

(e) Simtrica respecto al origen

(f) La grfica pasa por el origen

RESPUESTA

i

ii

iii

iv

v

vi

Matemtica I


02. DEPRECIACIN. Un hospital compra una nueva mquina para imgenes de resonancia magntica en $500 000 dlares. El valor depreciado y (valor reducido) despus de t aos est dado por y =500 000-40 000t 0 t 8. Trace la grfica de la funcin.

03. CONSUMISMO. Una persona compra un vehculo para todo terreno (ATV) en$8000. El valor depreciado y despus de "t" aos est dado por y=8000-900t, 0 t 6. Trace la grfica de la funcin.

04. GEOMETRA un campo de juego reglamentario de la NFI. (incluidas las zonas de extremo) de longitud x y

ancho y tiene un permetro de 2

3463

; o sea, 1040

3 yardas.

(a) Trace un rectngulo que d una representacin visual del problema. Use las variables especificadas para marcar los lados del rectngulo.

(b) Demuestre que el ancho del rectngulo es 520

y x3

= y su rea es 520A x x3

=

(c) Use una calculadora de grficas para graficar la ecuacin del rea. Asegrese de ajustar la imagen en la pantalla de la calculadora.

(d) De la grfica del inciso


Matemtica I

4. ejercicioS ProPueStoS.A. bloque i

01. Se da la grfica de una funcin h.

a. Determine h(2), h(0). h(2) y h(3) b. Halle el dominio y el rango de h.

y

x

3

03 3

h

02. Se dan las grficas de las funciones f y g.

a. Cul es ms grande . f(0) o g(0)? b. Cul es ms grande f(-3)og(-3)?

c. Para qu valores de x es f(x) = g(x)?

y

x02 2

g

2

2

f

03. Se da la grfica de una funcin g.

a. Determine g(-4), g(-2), g(0), g(2) y g(4). b. Halle el dominio y el rango de g.

y

x

3

03 3

g

04. Se da una familia de funciones. En los incisos a) y b) grafique los miembros dados de la familia en el rectngulo de visin indicado. En el enciso c) exprese las conclusiones que pueda deducir de sus grficas.

A. 2f(x) x c= +

a. [ ] [ ]c 0,2,4,6; 5,5 por 10,10=

b. [ ] [ ]c 0, 2, 4, 6; 5,5 por 10,10= c. Cmo afecta la grfica el valor de c?

Matemtica I


B. 2f(x) (x c)=

a. [ ] [ ]c 0,1,2,3; 5,5 por 10,10=


C. 3f(x) (x c)=

a. [ ] [ ]c 0,2,4,6; 10,10 por 10,10=



Matemtica I

b. bloque iiEn los ejercicios 1-9, relacione cada funcin con su nombre.

01. f(x) x= 02. f(x) = x 03. f(x) = 1/x

04. 2f(x) x= 05. f(x) x= 06. f(x) c=

07. f(x) x= 08. 3f(x) x= 09. f(x) ax b= +

(a) funcin cuadrtica (b) funcin raz cuadrada (c) funcin cbica

(d) funcin lineal (e) funcin constante (f) funcin valor absoluto

(g) funcin mayor entero (h) funcin recproca (j) funcin identidad

RESPUESTAS

1 5

2 6

3 7

4 8

10. Toque final. Use la grfica de la funcin para contestar (a)-(e).

8

6

4

2

2 4 624

y=f(x)

(a) Encuentre el dominio y rango de f.

(b) Encuentre el cero(s) de f.

(c) Determine los intervalos en los que f es creciente, decreciente o constante.

(d) Calcule valores mnimo o mximo relativos de f.

(e) f es par, impar o ninguna de stas?

Matemtica I


c. bloque iii01. Presin bajo el agua De acuerdo con la frmula p = kd + 1 (k constante), la presin p que experimenta un

buzo bajo el agua esta relacionada con la profundidad d a la que se encuentra, la presin es de 1 atmsfera en la superficie; a 100 metros es, aproximadamente, 10.94 atmsferas. Determine la presin a 50 metros.

02. Reflexin de la luz un rayo de luz viaja a lo largo de la recta x+y=1 desde el segundo cuadrante, y se refleja sobre el eje x (vea la siguiente figura). El ngulo de incidencia es igual al ngulo de reflexin. Escriba la ecuacin de la recta por la que viaja la luz.

ngulo deincidencia

ngulo dereflexin

x+y=1

y

x0 1

1

La trayectoria del rayo de luz del ejercicio. Los ngulos de incidencia y de reflexin se miden desde la perpendicular.

03. Grados Fahrenheit y grados Celsius Trace la grfica de la ecuacin.

5C (F 32)

9=

En el plano FC, que relaciona las temperaturas de grados Fahrenheit y Celsius. Trace en el mismo plano la grfica de la recta C=F. Hay alguna temperatura en la que el termmetro Celsius de la misma lectura numrica que el termmetro Fahrenheit? Si la respuesta es afirmativa, determnela.


Matemtica I

4. Via frrea los ingenieros civiles calculan la pendiente del firme para una va frrea como la razn de la distancia que se sube o baja entre la distancia horizontal que se recorre. Los especialistas denominan esta razn inclinacin del firme de la va, y casi siempre la escriben como porcentaje. A lo largo de la costa, la inclinacin de las vas comerciales suele ser inferior a 2%. En las montaas puede llegar hasta 4%. Las inclinaciones de las autopistas son, por lo general, menores que 5%.

La parte ms empinada de la va frrea metropolitana. Washington Cog, en New Hampshire, tiene una inclinacin excepcional, de 37.1%. a lo largo de esta parte del trayecto, los asientos delanteros de los vagones del tren estn 14 pies arriba de los traseros. Qu tan apartadas estn las filas de asientos delanteros y traseros?

05. Funcin peso La grfica da el peso de cierta persona como una funcin de la edad. Describa en palabras cmo el peso de esta persona ha variado con el tiempo. Qu cree que sucedi cuando esta persona tena 30 aos de edad?

0 10 20 30 40 50 60 70

50

100

150

200

Edad (aos)

Peso

(lib

ras)

Matemtica I


06. Carrera con obstculos Tres corredores compiten en una carrera de 100 metros con obstculos. En la grfica se ilustra la distancia como una funcin del tiempo para cada corredor. Describa en palabras lo que indica la grfica acerca de esta competencia. Quen gan esta carrera? Cada corredor termina la carrera? Qu cree que le sucedi al corredor B?

0 20 r(s)

100

y(m)

CBA

07. Terremoto en la grfica se muestra la aceleracin vertical del suelo desde el terremoto de Northridge en 1994 en Los ngeles, medida mediante un sismgrafo. (Aqu t representa el tiempo en segundos.)

a. En qu tiempo t el terremoto produjo primero movimientos notables de la tierra?

b. En qu tiempo t al parecer termin el terremoto?

c. En qu tiempo t el terremoto alcanz la mxima intensidad?


Matemtica I

0 5 25 30

50

100

(cm/s )2

a

t(s)

08. Consumo de energa En la figura se muestra el consumo de energa en San francisco para el 19 de setiembre de 1996 (p se mide en megawatts; t se mide en horas comenzandoa la medianoche).

a. Cul fue el consumo de energa a las 6 A.M.? a las 6 P.M.?

b. Cundo fue mnimo el consumo de energa?

c. Cundo fue mximo el consumo de energa?

0 3 6 9 12 15 18 21

200

400

600

800

P(MW)

t(h)

Matemtica I


Grfica de Funciones Definidas por Partes1. SabereS PrevioS Contesta lo que se pide en cada seccin:

Observa las siguientes grficas y escribe en las lneas la palabra:

Funcin Relacin

Segn sea el caso, justifica tu respuesta.

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6123456

Justificacin:

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6123456

Justificacin:

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6123456

Justificacin:


Matemtica I

Bosqueje la grfica d la funcin definida por partes.

01. {0six 21six 1f(x) =

03. {3six 2x 1six 2f(x)

Matemtica I


2. grFica de FuNcioNeS deFiNidaS Por ParteS Una funcin por partes se define mediante frmula distintas en diferentes partes de su dominio. Como se podra esperar, la

grfica de tal funcin consiste en trozos separados.

Ejemplo 1

Grfica de una funcin definida por partes

Bosqueje la grfica de la funcin

{ 2x six 12x 1six 1f(x) + >= Solucin Si x1, entonces f(x)=x2, as que la parte de la grfica a la izquierda de x = 1 coincide con la grfica de y=x2. Si

x > 1, entonces f(x) = 2x + 1, de modo que la parte de la grfica a la derecha de x=1 coincide con la recta y=2x+1. Esto permite trazar la grfica en la figura 8.

El punto slido en (1,1) indica que este punto esta incluido en la grfica; el punto abiertoen (1, 3) indica que este punto est excluido de la grfica.

1

1

f(x)=2x 1si: x>1

f(x)=x2

si: x 1

Ejemplo 2 grafica de la funcin valor absoluto

Trace la grfica de la funcin valor absoluto f(x) x=

Solucin recuerde que: x si x 0

xx si x 0

=


Matemtica I


Grafique las siguientes funciones.

01. { 2 3 13 1( ) x si xx si xf x +

03.

1 1

( ) 1 1

1 1

si x

f x x si x

si x

< = >

04. 2

2 1( )

1

si xf x

x si x

= >

Matemtica I


b. bloque iiGrafique las siguientes funciones

01. 2

2

1 2( )

2

x si xf x

x si x

=

> 02.

0 2( )

3 2

si xf x

si x

= >

03.

2 1( )

1 2

x si xf x

si x

= >

04. 2

4 2

( ) 2 2

6 2

si x

f x x si x

x si x

< = + >

c. bloque iii Se da la grfica de la funcin definida por partes. Determine una frmula para la funcin en la forma indicada.

01.

y

x

2

02

2

( ) 2 2

2

si x

f x si x

si x

< = >


Matemtica I

02.

y

x

2

01

1

( ) 1 2

2

= < >

si x

f x si x

si x

3. Tarifas elctricas Westside Energy cobra a sus clientes una tarifa base de 56.00 por mes, ms 10 centavos por

kilowatt-hora (kWh) por los primeros 300kWh empleados y 6 centavos por kWh para todo consumo mayor de

300kWh. Suponga que un cliente utiliza x kWh de electricidad en un mes.

a) Exprese el costo mensual E como una funcin de x.

b) Grafique la funcin E para 0 600x

4. ejercicioS ProPueStoSA. bloque i

Evalu la funcin definida por partes en los valores indicados.

01.

2 0( )

1 0

x si xf x

x si x

si xf x

x si x

( 2), ( 1), (0), (1), (2) f f f f f ( 3), (0), (2), (3), (5)f f f f f

Matemtica I

Pg. 100 Calid

matemática i - copia

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