CAPITULO 1

LA LINEA RECTA

Llamamos línea recta al lugar geométrico de los puntos tales que tomados dos puntos

diferentes cualesquiera P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) del lugar, el valor de la pendiente m

calculado por medio de la formula resulta siempre constante.

m= y 1− y 2x 1−x2

, x1≠x 2

Ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada.

Geométricamente, una recta queda perfectamente

determinada por uno de sus puntos y su dirección.

Analíticamente, la ecuación de una recta puede estar

perfectamente determinada si se conocen las

coordenadas de uno de sus puntos y su ángulo de

inclinación (y, por tanto, su pendiente).

TEOREMA 1. La recta que pasa por el punto dado P1 (X1, Y1) y tiene la pendiente

dada m, tiene por ecuación

y− y1=m( x−x1) Ecuación (1)

DEMOSTRACION. Sea P (x, y) un punto cualquiera de la recta, diferente del punto

dado P1 (x1, y1). Por la definición de recta, las coordenadas del punto P (x, y) satisfacen la

ecuación de la cual obtenemos, inmediatamente, quitando de nominadores la ecuación (1)

m= y− y 1x−x 1

Fig.1

TEOREMA 2. La recta cuya pendiente es m y cuya ordenada en el origen es b tiene

por ecuación.

y=mx+b

DEMOSTRACION.

Ecuación de la recta dada su pendiente y su

ordenada en el origen. Consideremos una recta 1

(fig. 3) cuya pendiente es m y cuya ordenada en el

origen, es decir, su intercepción con el eje Y, es b.

Como se conoce b, el punto cuyas coordenadas son

(0, b) está sobre la recta. Por tanto, el problema se

reduce a hallar la ecuación de la recta que pasa por un punto (0, b) y tiene una pendiente

dada. Según el teorema 1 la ecuación buscada es

y−b=m(x−0) , o sea y=mx+b

TEOREMA 3. La recta que pasa por dos puntos dados P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2)

tiene por ecuación

y− y1= y 1− y 2x 1−x 2

( x−x 1 ) , x1≠ x2.

DEMOSTRACION.

Sea la recta P1P2 de la figura. Como se conocen

dos de sus puntos, su pendiente está dada por el

teorema 1. Por tanto, con esta pendiente y el punto

P1 (x1, y1), el problema se reduce a hallar la

ecuación de una recta que pasa por un punto y

Fig.2

Fig.3

tiene una pendiente dada. En consecuencia, sustituyendo este valor de la pendiente en la

ecuación (1) del Teorema, obtenemos la forma (1).

m= y 1− y 2x 1−x2

, x1≠x 2

TEOREMA 4. La recta cuyas intercepciones con los ejes X y Y son a≠0 y b≠0,

respectivamente, tiene por ecuación

xa+ yb=1

DEMOSTRACION.

Ecuación simétrica de la recta. Sean a≠0 y b≠0 los

segmentos que una recta determina sobre los ejes X y Y

(fig. 38), es decir, sus intercepciones. Entonces (a, 0) y

(0, b) son dos puntos de la recta. Por tanto, el problema

de obtener la ecuación de una recta cuando se conocen

los segmentos que determina sobre los ejes se reduce a hallar la ecuación de la recta que pasa

por dos puntos, y tenemos, por el teorema 3

y−0=0−ba−0

(x−a) , de donde ay=−bx+ab

Transponiendo –bx al primer miembro y dividiendo por ab, obtenemos (2), esta

ecuación es la llamada ecuación simétrica de la recta.

xa+ yb=1 Ecuación (2)

Forma general de la ecuación de una recta

Ax+By+C=0 (1)

Fig.4

CASO 1. B = 0. Si B = 0, entonces A ≠ 0, y la ecuación (1) se reduce a la forma

x=−CA

(2)

Pero (2) es la forma x=k que es la ecuación de una recta paralela al eje Y

CASO 2. B ≠ 0. Si B ≠ 0, podemos dividir la ecuación (1) por B, y entonces por

trasposición se reduce a la forma

y=−AB

x−CB

(3)

Pero (3). Está en la forma y=mx+b por lo tanto es la ecuación de una recta cuya

pendiente es −AB

y cuya ordenada en el origen es −CB

Ejercicios

1) Trazar la línea recta y = 2x - 5.

SOLUCIÓN.

La ecuación común de la línea recta y la ecuación dada son

Ax+By+C=0

Entonces

2 x− y−5=0

Procedemos a encontrar los puntos en X y Y

x=−CA

; x=−−5

2=2.5

y=−CB

; y=−51

=5

Encontrando ya podemos graficar X y Y

Fig.5

2) Determinar la ecuación normal de la recta cuya ecuación es: 6x+8y+33=0

En este caso se tiene que: A = 6; B = 8 y C = 33

Por lo que

√A2+B2 = √82+62 = 10

Tomando signo contrario al que tiene C, dividimos la ecuación dada entre -10 y queda:

−610

x− 810

y−3310

=0

CAPITULO 2

LA CIRCUNFERENCIA

DEFINICION. Circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un

plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese

plano. El punto fijo se llama centro de la circunferencia, y la distancia constante se llama

radio.

Ecuación de la circunferencia

TEOREMA 1. La circunferencia cuyo centro es el punto (h, k) y cuyo radio es la constante r,

tiene por ecuación

(x−h)2+( y−k )2=r 2 (1)

DEMOSTRACION. Sea P(x, y) (fig. 53) un punto cualquiera de la circunferencia de centro C

(h, k) y radio r. Entonces, por definición de circunferencia, el punto P debe satisfacer la

condición geométrica

CP=r

Esto está expresado analíticamente por la ecuación

Recíprocamente, sea PI (x1, y1) un punto cualquiera cuyas coordenadas satisfacen la

ecuación (1), de manera que se verifica la igualdad

(x−h)2+( y−k )2=r 2

Por tanto, demostrados los teoremas directo y reciproco, resulta que (1) es la ecuación

buscada.

Para el caso particular en que el centro C está en el origen, h =

k = 0 (fig.6), y tenemos.

COROLARIO. La circunferencia de centro en el origen y radio

r tiene por ecuación

x2+ y2=r2

3.3 Ecuación general de la circunferencia. Si desarrollamos la ecuación ordinaria

(x−h)2+( y−k )2=c2 (1)

Obtenemos: x2+ y2−2hx−2ky+h2 +k2−r2=0

Lo cual se puede escribir de la siguiente manera:

x2+ y2+Dx+Ey+F=0 (2)

En donde D=−2h , E=−2k y F=h2+k2−c2

Ejercicios

1) Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en (5,2) y radio igual a 4.

SOLUCIÓN.

De acuerdo con los datos tenemos: h = 5, k = 2 y c = 4.

Fig.6

Sustituyendo en la ecuación (1) estos valores, se tiene que

(x−h)2+( y−k )2=c2

(x−5)2+( y−2)2=42

2) Encontrar el centro y el radio de la circunferencia dada por la ecuación: 4 x2 + 4 y2 + 4 x +

4 y - 2 = 0. Trazar la circunferencia.

SOLUCIÓN

4 x2+4 y2+4 x+4 y−2=0

Dividimos la ecuación para 2

2 x2+2 y2+2 x+2 y−1=0

Agrupamos y sacamos factor común

2 (x2+x )+2 ( y2+ y )−1=0

Completamos el trinomio

2(x2+x+ 14−1

4 )+2( y2+ y+ 14−1

4 )−1=0

Resolvemos

2(x+ 12

2)2

+2( y+ 12

2)2

=2

Dividimos la ecuación para 2 y encontramos la

ecuación de la circunferencia

(x+ 12 )

2

+( y+ 12 )

2

=1

Donde

C=(−12

−12 ) y c=1; h=1

2; y k=1

2

LA PARABOLA

DEFINCION. La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que

participan de la propiedad de equidistar de un punto fijo llamado foco y de una recta fija, que

no pasa por el punto, llamada directriz.

ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA. (fig.8) Foco, es el punto fijo F; Directriz, es la recta

fija Y; Parámetro, a la distancia entre el foco y la directriz de una parábola se le llama

parámetro P; Vértice, es el punto medio entre el foco y la directriz. También se puede ver

como el punto de intersección del eje con la parábola; Radio vector, es el segmento que une

un punto cualquiera de la parábola con el foco.

Ecuación de la parábola de vértice en el origen y eje un eje coordenado. Consideremos la

parábola cuyo vértice está en el origen (fig.8) y cuyo

eje coincide A con el eje X. Entonces el foco F esta

sobre el eje X; sean (p, 0) sus coordenadas. Por

definición de parábola, la ecuaci6n de la directriz l es

x= -p. Sea P(x, y) un punto cualquiera de la parábola.

Por P tracemos el segmento PA perpendicular a l.

Entonces, por la definición de parábola, el punto P

debe satisfacer la condición geométrica.

FP = PA (1)

La condición geométrica (1) está expresada, analíticamente, por la ecuación

Fig. 8

Fig.7

√(x−p)2+ y2= x+pSi elevamos al cuadrado la ecuación y simplificamos obtenemos

y2=4 px (2)

Recíprocamente, sea Pl(x1, yl) un punto cualquiera cuyas coordenadas satisfagan (2).

y=±2√ px (3)

x2=4 py (4)

Las ecuaciones (2) y (4) se llaman a veces la primera ecuación ordinaria de la parábola.

Como son las ecuaciones más simples de la parábola, nos referimos a ellas como a las formas

canónicas

TEOREMA 1. La ecuación de una parábola de vértice en el origen y eje el eje X, es

y2=4 px

En donde el foco es el punto (p, 0) y la ecuación de la directriz es x = - p. Si p > 0, la

parábola se abre hacia la derecha; si p < 0, la parábola se abre hacia la izquierda. Si el eje de

una parábola coincide con el eje Y, y el vértice está en el origen, su ecuación es

x2=4 py

En donde el foco es el punto (0, p), y la ecuación de la directriz es y = - p. Si p > 0, la

parábola se abre hacia arriba; si p < 0, la parábola se abre hacia abajo.

En cada caso, la longitud del lado recto está dada por el valor absoluto de 4p, que es el

coeficiente del término de primer grado.

Ecuación de la parábola horizontal con vértice fuera del origen. Las ecuaciones de la

parábola vistas anteriormente, son válidas solamente en el caso de que el vértice esté en el

origen y que el eje de simetría de la parábola sea el eje x o el eje y. Veamos el caso en que el

vértice está en un punto cualquiera que no es el origen y que el eje de simetría de la parábola

es paralelo al eje x tenemos esta ecuación.

( y−k )2=4 p (x−h ) (2)

Análogamente, la parábola cuyo vértice es el punto (h, k) y cuyo eje es paralelo al eje Y tiene

por ecuación.

( x−k )2=4 p ( y−h ) (3)

Las ecuaciones (2) y (3) se llaman generalmente, segunda ecuación ordinaria de la parábola.

TEOREMA 2. La ecuación de una parábola de vértice (h, k) y eje paralelo al eje X, es de la

forma

( y−k )2=4 p (x−h )

Siendo p la longitud del segmento del eje comprendido entre el foco y el vértice.

TEOREMA 3. Una ecuación de segundo grado en las variables x y y que carezca del termino

en xy puede escribirse en la forma

A x2+Cy2+Dx+Ey+F=0

Ecuación de la tangente a una parábola.

TEOREMA 4. La tangente a la parábola y2 = 4px en cualquier punto P1 (x1, y1) de la curva

tiene por ecuación.

y1 y=2 p (x+x1 )

TEOREMA 5. La tangente de pendiente m a la parábola y2 = 4px tiene por ecuación

y=mx+ pm,m≠0

La función cuadrática. Tiene la forma

a x2+bx+c (1)

En donde, a, b y c son constantes y a≠0, se llama función cuadrática de x, o trinomio de

segundo grado, y puede ser investigada por medio de la relación.

y=a x2+bx+c (2)

Si reducimos la ecuación (2) a la segunda forma ordinaria de la ecuación de la parábola,

completando el cuadrado en x, obtenernos

(x+ b2a )

2

=1a ( y+ b2

4 a−c )

Ejercicios

1) Determinar los puntos donde la recta 2 y - x = 4 corta a la parábola 2 y – x2 + 2 = 0.

Encontrar los puntos donde la parábola corta a los ejes de coordenadas. Comprobar los

resultados construyendo una gráfica.

SOLUCIÓN

a < 0a > 0

Fig.9

De las ecuaciones dada

2 y−x−4=0 (1)

2 y−x2+2=0 (2)

Restando (2) de (1) tenemos:

x2−x−6=0

Resolviendo la ecuación anterior, se tiene que las raíces son

( x−3 ) (x+2)x1=3 ; x2=−2

Despejamos y de (1)

y= x+42

Remplazamos x1 y x2 en y

y1=3+4

2; y1=

−2+42

y1=72; y2=1

Obtenemos los puntos de

intersección de la recta y la

parábola son

A(3 ,72 ); B(−2,1)

Reemplazamos y=0 en (2)

0−x2=−2

x1=√2; x2=−√2 Fig.10

Por lo tanto las intersecciones de la parábola con el eje de las x son

C=(√2 ,0 ) ;D=(−√2 ,0)

Cuando x=0 en (2)

2 y−02=−2

y=−1

Por lo tanto el vértice es V= (0 ,−1 )

LA ELIPSE

DEFINCION. Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal

manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una

constante, mayor que la distancia entre los dos puntos

Donde F y F´ son los focos, V y V´ los vértices, l y l´

son denominados el eje normal mientras que A y A´

son el eje menor. El segmento BB´ une 2 puntos

cualesquiera de la elipse se llama cuerda, la cuerda

DD´ que pasa por C es el diámetro, PF´ y PF se encuentran uniendo los focos con P se

denominan radio vectores de P.

ECUACIÓN DE LA ELIPSE HORIZONTAL CON CENTRO EN EL ORIGEN.

Consideremos el siguiente sistema de ejes orto normado:

como eje (Ox) la recta focal (FF’) y como eje (Oy) la

mediatriz del segmento FF’; sean c y −c las abscisas de

los puntos F y F’ respectivamente, y 2a el valor constante

Fig.11

Fig.12

de la suma MF + MF’. Si M(x; y) es un punto cualquiera del plano podemos escribir: M(x; y)

está en la elipse si y sólo si MF + MF′ = 2a. es decir

√(x+c )2+ y2+√(x−c )2+ y2=2a (1)

Para simplificar la ecuación (1), pasamos el segundo radical al segundo miembro, elevamos

al cuadrado, simplificamos y agrupamos los términos semejantes. Esto nos da

a2+cx=a√ ( x+c )2+ y2

Elevando al cuadrado ambos miembros y simplificando se llega a

a4+2a2 cx+c2 x2=a2 x2−2a2cx+a2c2+a2 y2

(a¿¿2−c2)x2+a2 y2=a2(a2−c2)¿ (2)

Como 2a > 2c es a2 > c2 y a2 - c2 es un numero positivo que puede ser reemplazado por el

numero positivo b2, es decir

b2=a2−c2 (3)

Si en (2) reemplazamos b2 (3) tenemos

b2 x2+a2 y2=a2b2

Y dividiendo todo para a2b2 se obtiene

x2

a2 + y2

b2 =1 (4)

Previamente despejaremos las dos variables x, y de (4) tenemos

y=±ba

√b2−x2 (5)

x=±ab√b2− y2

(6)

Lado recto. El llamado Ancho Focal de la elipse es la magnitud del segmento de recta

perpendicular al eje mayor que pasa por los focos, se deduce simultaneando la ecuación x = c,

con la ecuación (5) de la curva

y=±ba

√b2−c2=±ba

√b2=b2

a

Entonces, donde y es el ancho focal o lado recto

y=b2

a

Excentricidad de la elipse. Es un concepto del cual depende la mayor o menor deformación

que pueda experimentar una circunferencia para producir una elipse.

e= ca=√a2−b2

a<1

Ejercicios

1) Demostrar que la ecuación 9 x2 + 4 y2 + 36 x - 24 y + 36 = 0 representa una elipse y

determinar todos sus elementos

SOLUCIÓN

Es suficiente observar que los coeficientes de x2 y y2 son desiguales y del mismo signo y que

no hay término rectangular, para asegurar que la ecuación sí representa una elipse, con ejes

de simetría paralelos a los de coordenadas.

Completando a trinomios cuadrados perfectos en x y y en la ecuación dada

9 x2+4 y2+36 x−24 y+36=0

Completando a trinomios cuadrados perfectos en x y y en la ecuación dada

9 (x2+4 x+4−4 )+4 ( y2−6 y+9−8)=0

9 ( x+2 )2+4 ( y−3 )2=36

Dividimos todo para 36

( x+2 )2

4+

( y−3 )2

9=1

De la ecuación encontramos que a2 = 9 y b2 = 4. Por tanto, a = 3 y b = 2. Las coordenadas del

centro son C (-2,3). Entonces encontramos los ejes

Eje mayor = 2a = 6; Eje menor = 2b = 4

Despejando a c de la expresión a2 – c2 = b2

c=±√a2−b2 = c=±√5=±2.23

Distancia focal 2c=4.46

Excentricidad e=ca=0.74

Ancho focal 2b2

a=2.66Vértices A1= (−2,0 ) ; A2(−2,6)

Focos F1=(−2,0.74 ); A2(−2,5.6)

Hipérbola

DEFINICION. Una hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano

de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del

plano, una hipérbola de focos F y F´, puntos fijos del plano, es el conjunto de puntos cuya

diferencia de distancia a los focos es igual a una constante.

Si la constante se representa por 2a y los focos se colocan

en puntos del eje OX simétricos respecto del origen, F(c, 0)

y F´ (-c, 0).

Fig.13

Fig.14

El punto X=(x, y) del plano permanecerá a la hipérbola si verifica d(X, F) –d(X, F´)=2a, es

decir, si √¿¿¿.

Realizando las operaciones x2

a2 −y2

c2−a2=1 (1)

Remplazando b2=c2−a2 en (1), encontramos la ecuación de la hipérbola

x2

a2 −y2

b2 =1

Ejercicio

1) Determínese la ecuación de la hipérbola que pasa por el punto P (3,4) y cuyas asíntotas son

las rectas: y = x - 1, x = 2

SOLUCIÓN

La distancia de un punto a una recta está dada por d=y−mx−b

√1+m2 , entonces:

QM= y−x+1

√2

RM=− x+2

√1

Sabemos que QM RM=constante=q (1)

Sustituyendo en (1)

q=( y−x+1

√2 )( x−2 )

Las coordenadas de P satisfacen esta ecuación

( 4−3+1

√2 )(3−2 )=q

2

√2=q

Entonces la ecuación es

( y−x+1

√2 ) ( x−2 )= 2

√2

Operamos

( y−x+1 ) ( x−2 )=2

xy−x2+x−2 y+2 x−2−2=0

x2−xy−3 x+2 y+4=0

Fig.15