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RESUMEN CAPÍTULO 2

CIRCUNFERENCIA

DEFINICIÓN: Circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve en

un plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un

punto fijo de ese plano.

El punto fijo se llama centro de la circunferencia, y la distancia constante se llama

radio.

ECUACIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA: La circunferencia cuyo centro es el punto

(h, k) y cuyo radio es la constante r, tiene por ecuación:

( x−h )2+ ( y−k )2=r2 forma ordinaria

La circunferencia de centro en el origen y radio r tiene por ecuación:

x2+ y2=r2 forma canónica

FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA:

x2+ y2+Dx+Ey+F=0

SiD2+E2−4 F>0

representa una circunferencia de centro: (−D2 ,−E2 ) y radio igual a:

r=√D2+E2−4 F2

S iD2+E2−4 F=0 representa un punto de coordenadas: (−D2 ,−E2 )

SiD2+E2−4 F<0 no representa un lugar geométrico.

Analíticamente la ecuación de una circunferencia se determina completamente por

tres condiciones independientes.

La ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos dados no colineales :

P1 ( x1 , y1 ) ,P2 (x2 , y2 ) ,P3 (x3 , y3) viene dada por el determinante:

| x2+ y2 x y 1

x12+ y1

2 x1 y1 1

x22+ y2

2 x2 y2 1

x32+ y3

2 x3 y3 1|=0

Esta forma es útil para determinar si cuatro puntos dados están o no sobre una

circunferencia. Tales puntos se denominan concíclicos.

Ing. Abel Troya Z.

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Familias de circunferencias:

La siguiente ecuación representa la familia de curvas que pasan por las dos

intersecciones de las circunferencias C1 y C2 :

x2+ y2+D 1 x+E1 y+F1+k (x2+ y2+D2 x+E2 y+F2)=0

Donde:

C1: x2+ y2+D1 x+E1 y+F1

C2: x2+ y2+D2 x+E2 y+F2

La ecuación anterior (∙) es particularmente útil para obtener la ecuación de una

curva que pasa por las intersecciones de las circunferencias dadas, ya que no es

necesario determinar las coordenadas de los puntos de intersección.

RECTA DE LOS CENTROS: es la recta que pasa por los centros de dos

circunferencias no concéntricas. Todas las circunferencias de la familia:

x2+ y2+D 1 x+E1 y+F1+k (x2+ y2+D2 x+E2 y+F2)=0

Tienen su centro en la recta de los centros de C1 y C2. Los centros de C1 y C2 son:

C1(−D1

2,−E1

2 ) yC2(−D2

2,−E2

2 )Y la ecuación de la recta que contiene a estos dos puntos es:

2 (E1−E2 )−2 (D1−D2 ) y+D2E1−D1E2=0 por tanto:

Si las ecuaciones de dos circunferencias dadas cualesquiera C1 y C2 son:

C1: x2+ y2+D1 x+E1 y+F1

C2: x2+ y2+D2 x+E2 y+F2

La ecuación:

x2+ y2+D 1 x+E1 y+F1+k (x2+ y2+D2 x+E2 y+F2)=0

Representa una familia de circunferencias todas las cuales tienen sus centros en la

recta de los centros de C1 y C2.

Si C1 y C2 se cortan en dos puntos diferentes, la ecuación representa, para

todos los valores de k diferentes de -1, todas las circunferencias que pasan

por los dos puntos de intersección C1 y C2 , con la única excepción de C2

misma.

Si C1 y C2 son tangentes entre si, la ecuación representa, para todos los

valores de k diferentes de -1, todas las circunferencias que son tangentes a

C1 y C2 , en su punto común, con la única excepción de C2 misma.

Ing. Abel Troya Z.

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Si C1 y C2 no tienen ningún punto común, la ecuación representa una

circunferencia para cada valor de k diferente de -1, siempre que la ecuación

resultante tenga coeficientes que satisfagan las condiciones especificadas.

Ningún par de circunferencias de la familia tiene un punto común con

ninguna de las dos circunferencias C1 y C2 .

EJE RADICAL:

Si las ecuaciones de dos circunferencias no concéntricas C1 y C2 son:

C1: x2+ y2+D1 x+E1 y+F1

C2: x2+ y2+D2 x+E2 y+F2

La eliminación de x2 y y2 entre estas dos ecuaciones da la ecuación lineal:

(D1−D2) x+(E1−E2 ) y+F1−F2=0

que es la ecuación del eje radical de C1 y C2 .

Si C1 y C2 se cortan en dos puntos diferentes, su eje radical coincide con su

cuerda común; si C1 y C2 son tangentes entre si, su eje radical es su tangente

común, y si C1 y C2 no tienen ningún punto común, su eje radical no tiene

ningún punto común con ninguno de ellos.

El eje radical de C1 y C2 es perpendicular a la recta de los centros; es también el

lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que las longitudes

de las tangentes trazadas por él a C1 y C2 son iguales.

Si t es la longitud de la tangente trazada del punto exterior P1 ( x1 , y1 ) a la

circunferencia ( x−h )2+ ( y−k )2=r2 , entonces:

t=√ (x1−h )2+( y1−k )2−r2

Si m es la pendiente de una curva plana continua C es el punto P1 ( x1 , y1 ) , entonces para el punto P1 tenemos las siguientes ecuaciones y fórmulas:

Ecuación de la tangente a C: y− y1=m (x−x1 )

Ecuación de las normal a C: y− y1=−1m

(x−x1 ),m≠0

Longitud de la tangente: y1

m√1+m2 ,m≠0

Longitud de la normal: y1 √1+m2

Longitud de la subtangente: y1

m,m≠0

Longitud de la subnormal: m y1

Ing. Abel Troya Z.

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Se llama ángulo de dos curvas en uno de sus puntos de intersección, a

cualquiera de los dos ángulos suplementarios formados por las dos

tangentes a las curvas en dicho punto.

TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA:

La tangente a una circunferencia es perpendicular al radio trazado al punto de

contacto.

La ecuación de la tangente a una circunferencia dada está determinada cuando se

conocen su pendiente y el punto de contacto.

Considerar tres tipos de problemas:

1. Hallar la ecuación de la tangente a una circunferencia dada en un punto

dado de contacto.

2. Hallar la ecuación de la tangente a una circunferencia dada y que tiene una

pendiente dada.

3. Hallar la ecuación de la tangente a una circunferencia dada y que pasa por

un punto exterior dado.

Ing. Abel Troya Z.