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UNIDAD 6. CIRCUNFERENCIA

DEFINICIONES

CIRCUNFERENCIA: Dados un plano , un punto O

en dicho plano y un número real positivo r, (r > 0), se

llama “Circunferencia de centro O y radio r”, “C(O;

r)”, al conjunto formado por todos los puntos P del

plano , tales que OP = r.

RADIO: Segmento que une el centro con un punto

de la circunferencia, por ejemplo: OA , OB , OC ,

OD , OE y OF .

CUERDA: Segmento cuyos extremos son puntos

de la circunferencia, por ejemplo: AB , CD .

DIÁMETRO: Cuerda que pasa por el centro de la

circunferencia, por ejemplo: CD .

ÁNGULO CENTRAL: Ángulo cuyo vértice es el

centro de la circunferencia, por ejemplo: EOF .

ARCO: Subconjunto de la circunferencia limitado

por dos puntos de ella, por ejemplo: AB . Si son

extremos de un diámetro, los arcos se llaman

semicircunferencias, por ejemplo: CAD y CED .

CIRCUNFERENCIAS CONCÉNTRICAS: Las que

tienen el mismo centro.

TEOREMA: En una circunferencia, todos los

radios son congruentes; todos los diámetros son

congruentes; el diámetro es el doble del radio y el

diámetro es la mayor cuerda.

POSICIÓN RELATIVA ENTRE UN PUNTO

Y UNA CIRCUNFERENCIA

En un plano, dada una C(O; r) y un punto P:

1. P es INTERIOR a C(O; r), si OP < r.

2. P está SOBRE la C(O; r), si OP = r.

3. P es EXTERIOR a C(O; r), si OP > r.

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA

CIRCUNFERENCIA

TEOREMA: Dada una circunferencia C(O; r) y

dado un punto P en su plano, entonces los extremos

del diámetro AB , contenido en la recta OP , son

los puntos de la circunferencia que están a la menor

y a la mayor distancia del punto dado.

La distancia del punto P a la C(O; r) es la distancia

entre P y el extremo de dicho diámetro que esté

más próximo a P, en la gráfica por ejemplo es PB.

TEOREMA: (L.G. ra)

Dada una C(O; r) y dada una distancia a, (0 < a < r),

el lugar geométrico de los puntos situados a una

distancia a de la C(O; r) está formado por las

circunferencias C(O; r a).

Unidad seis circunferencia, Página 1 de 60

CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR UN

PUNTO DADO

TEOREMA: Por un punto

dado A pasan infinitas

circunferencias.

Para cada real positivo r,

el lugar geométrico de los

centros de éstas es la

C(A; r).

CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR DOS

PUNTOS DADOS

TEOREMA: Por dos puntos

dados A y B, pasan infinitas

circunferencias.

El lugar geométrico de los

centros de éstas es la mediatriz

del segmento AB y el radio

mínimo es AB/2.

TEOREMA: Por tres puntos colineales no pasa

ninguna circunferencia.

COROLARIO: Tres puntos de una circunferencia

no pueden ser colineales. Intuitivamente “la

circunferencia no tiene ningún tramo rectilíneo”.

CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR

TRES PUNTOS NO ALINEADOS DADOS

TEOREMA: Por tres

puntos A, B y C no alineados,

pasa una y sólo una

circunferencia que tiene por

centro el circuncentro del

ABC.

POSICIÓN RELATIVA ENTRE UNA RECTA

Y UNA CIRCUNFERENCIA

1. Una recta es EXTERIOR a una circunferencia

si no tiene puntos comunes con ella. 2. Una recta es TANGENTE a una circunferencia

si tiene exactamente un punto común con ella,

llamado punto de tangencia. 3. Una recta es SECANTE a una circunferencia si

tiene exactamente dos puntos comunes con ella.

TEOREMA: Si una recta es tangente a una

circunferencia entonces es perpendicular al radio

que llega al punto de tangencia.

TEOREMA: Dadas una

recta y una circunferencia

de radio r, si d es la

distancia del centro a la

recta, entonces:

1. La recta es secante a la circunferencia si y sólo

si d < r. 2. La recta es tangente a la circunferencia si y

sólo si d = r. 3. La recta es exterior a la circunferencia si y

sólo si d > r.


POSICIÓN RELATIVA ENTRE DOS

CIRCUNFERENCIAS

Dos circunferencias son :

1. EXTERIORES: Si todos los puntos de cada una

de ellas son exteriores a la otra. 2. TANGENTES EXTERIORES: Si tienen un

punto común y los demás puntos de cada una de

ellas son exteriores a la otra. 3. SECANTES: Si tienen exactamente dos

puntos comunes. 4. TANGENTES INTERIORES: Si tienen un

punto común y los demás puntos de una de ellas

son interiores a la otra, entonces la primera es

tangente interior a la segunda. 5. INTERIORES: Si no tienen puntos comunes y

todo los puntos de una de ellas son interiores a

la otra, entonces la primera es interior a la

segunda.

TEOREMA: Si dos circunferencias no

concéntricas tienen un punto común exterior a la

recta de los centros entonces son secantes y

recíprocamente.

TEOREMA: Si dos circunferencias son secantes

entonces la línea de sus centros es la mediatriz de

su cuerda común y es la bisectriz de los ángulos

centrales subtendidos por la cuerda.

TEOREMA: Si dos circunferencias son tangentes

entonces los centros y su punto de tangencia son

colineales y recíprocamente.

TEOREMA: Dadas dos circunferencias C(O; r) y

C(O’; r’), entonces ellas son:

1. Exteriores OO’ > r + r’

2. Tangentes exteriores OO’ = r + r’

3. Secantes r r ’< OO’ < r + r’

4. Tangentes interiores OO’ = r r’

5. Interiores OO’ < r r ’


ARCOS Y CUERDAS

CIRCUNFERENCIAS CONGRUENTES: Dos

circunferencias son congruentes si sus radios tienen

igual medida.

ARCOS CONGRUENTES: Dos arcos de una misma

circunferencia o de circunferencias congruentes

son congruentes si subtienden ángulos centrales

congruentes.

ARCOS DESIGUALES: Dos arcos de una misma

circunferencia o de circunferencias congruentes

son desiguales si subtienden ángulos centrales

desiguales y será mayor el que subtienda mayor

ángulo central.

MEDIDA ANGULAR DE UN ARCO: La medida

angular de un arco es la medida del ángulo central

que subtiende.

TEOREMA: En una misma circunferencia o en

circunferencias congruentes:

1. Dos ángulos centrales son congruentes sii

subtienden cuerdas congruentes.

2. Dos cuerdas son congruentes sii subtienden

arcos congruentes.

3. La menor de dos cuerdas desiguales subtiende

un arco menor y un ángulo central menor y

recíprocamente.

4. Dos cuerdas congruentes equidistan del centro

y recíprocamente.

5. La mayor de dos cuerdas desiguales está más

próxima al centro y recíprocamente.

PROPIEDADES DE UN DIÁMETRO

PERPENDICULAR A UNA CUERDA

TEOREMA: Dada una cuerda, si otra cuerda

secante a ella cumple dos de las siguientes

propiedades entonces las cumple todas:

1. Es diámetro.

2. Es perpendicular a la cuerda.

3. Pasa por el punto medio de la cuerda.

4. Pasa por el punto medio del arco menor.

5. Pasa por el punto medio del arco mayor.

6. Es bisectriz del ángulo central que la cuerda

subtiende.

ARCOS Y PARALELAS

TEOREMA: Dos arcos o dos cuerdas comprendidos

entre dos rectas paralelas son congruentes. TEOREMA: (Criterio de paralelismo): Si en una

circunferencia dos cuerdas o dos arcos son

congruentes entonces sus extremos determinan un

par de rectas paralelas.


ÁNGULOS RELACIONADOS CON LA

CIRCUNFERENCIA

1. ÁNGULO INSCRITO: El vértice es un

punto de la circunferencia y sus lados son dos

semirrectas secantes a la circunferencia, por

ejemplo el ABC . 2. ÁNGULO SEMIINSCRITO: El vértice es un

punto de la circunferencia y sus lados son dos

semirrectas una tangente y la otra secante a la

circunferencia, por ejemplo el DEF . 3. ÁNGULO INTERIOR: El vértice es

punto interior a la circunferencia y sus lados

son dos semirrectas secantes a la

circunferencia, por ejemplo el GHK . 4. ÁNGULO EXTERIOR: El vértice es

punto exterior a la circunferencia y sus lados

son semirrectas tangentes y/o secantes a la

circunferencia, por ejemplo el LMR , el

LMN y el NMP ,

TEOREMA: En una circunferencia, en medidas

angulares: 1. Un ángulo inscrito mide la mitad del arco

comprendido entre sus lados, por ejemplo

(INSCRITO)ABC AC 2 .

2. Un ángulo semiinscrito mide la mitad del arco

comprendido entre sus lados, por ejemplo

(SEMIINSCRITO)DEF DE 2 .

3. Un ángulo interior mide la semisuma del arco

comprendido entre sus lados y el arco

comprendido entre las prolongaciones de ellos,

por ejemplo (INTERIOR)GHK (GK K'G') 2 .

4. Un ángulo exterior mide la semidiferencia de

los arcos mayor y menor comprendidos entre

sus lados, por ejemplo :

(EXTERIOR)LMR (LNR LN'R) 2 ,

(EXTERIOR)LMN (LN LN') 2 ,

(EXTERIOR)NMP (NP N'P') 2

COROLARIOS:

1. Todos los ángulos inscritos que subtienden el

mismo arco son congruentes.

2. Todos los ángulos inscritos en una

semicircunferencia son rectos.

ARCO CAPAZ (LG)

TEOREMA: Dado un segmento AB y dado un

ángulo , 0° < < 180°, entonces existen dos arcos

de extremos A y B, (sobre circunferencias

congruentes y simétricas con respecto a la recta

AB), tales que la unión de dichos arcos, excepto los

puntos A y B, forman el lugar geométrico de los

puntos P del plano, para los cuales APB= .


ARCO CAPAZ: Dado un segmento AB y dado un

, 0° < < 180°, el “Arco capaz del segmento

AB bajo el ”, es cada uno de los arcos a los que

se refiere el teorema anterior.

TEOREMA: El arco capaz de un segmento, bajo

90° es la semicircunferencia que le tiene por

diámetro

PROPIEDADES DE LAS RECTAS

TANGENTES DESDE UN PUNTO

EXTERIOR

TEOREMA: Sean PA y PB los segmentos

tangentes a una circunferencia trazados desde un

punto P exterior a ella, (A y B puntos de tangencia)

entonces:

1. Las tangentes son congruentes PA = PB.

2. OP es bisectriz del AOB y del APB.

3. AOB=Pexterior del cuadrilátero PAOB.

CONSTRUCCIÓN DE RECTAS TANGENTES

TEOREMA: Las rectas tangentes a una C(O; r)

trazadas desde un punto P exterior a ella, pasan por

los puntos de intersección entre ella y la

circunferencia de diámetro OP.

TEOREMA: Las rectas tangentes comunes a dos

circunferencias de distinto radio, no tangentes

interiores y no interiores, son paralelas a las rectas

tangentes trazadas desde el centro de la menor, a

la circunferencia concéntrica con la mayor y de

radio igual a la diferencia o a la suma de los radios.

CUADRILÁTEROS INSCRITOS Y

CIRCUNSCRITOS

TEOREMA: Si un cuadrilátero convexo está

inscrito en una circunferencia entonces sus ángulos

opuestos son suplementarios y recíprocamente si un

cuadrilátero convexo tiene un par de ángulos

opuestos suplementarios entonces es inscriptible en

una circunferencia.

TEOREMA: Si un cuadrilátero convexo está

circunscrito a una circunferencia entonces las

sumas de las medidas de sus lados opuestos son

iguales y recíprocamente si en un cuadrilátero

convexo las sumas de las medidas de sus lados

opuestos son iguales entonces es circunscriptible a

una circunferencia.


CRUCIRAMA CIRCUNFERENCIA

(Elaboró: Carlos Alberto Ríos Villa)

1 2

3 4

5

6

7

8 9

10

11

12

13 14

15

16

17 18 19

20

21

22

23 24 25

26 27

28 29

30

31

32


HORIZONTALES 1 CON ESTE TEOREMA PODEMOS SACAR MUCHAS CONCLUSIONES CON

MUY POCA INFORMACIÓN, POR EJEMPLO LA RESPUESTA ANTERIOR 3 PORCIÓN DE CIRCUNFERENCIA 5 SOLO CON TENER CUATRO LADOS Y QUE LA SUMA DE LOS OPUESTOS

SEA IGUAL, ESTE POLÍGONO LO SERÁ 6 CORRESPONDE CON LA MEDIDA DEL ARCO 7 TODO EL QUE TENGA CUATRO LADOS Y SU ÁNGULOS OPUESTOS SEAN

COMPLEMENTARIOS, PODRÁ SERLO 8 MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR 11 LOS SEGMENTOS TANGENTES TRAZADOS DESDE UN PUNTO

EXPERIOR DE LA CIRCUNFERENCIA RESULTAN SER ASÍ 12 ESTA FORMADO POR UNA TANGENTE Y UNA SECANTE Y SU VÉRTICE

ES UN PUNTO DE LA CIRCUNFERENCIA 13 RECTA QUE CORTA A LA CIRCUNFERENCIA EN DOS PUNTOS 14 LA MITAD DE UNA CIRCUNFERENCIA 15 LA DEFINICIÓN DE BISECTRIZ COMO LUGAR GEOMETRICO JUSTIFICA

PORQUE ESTE PUNTO ESTA A LA MISMA DISTANCIA DE LOS LADOS DEL TRIÁNGULO Y POR ESO HACIENDO CENTRO EN ÉL SE PUEDE TRAZAR UNA CIRCUNFERENCIA TANGENTE A LOS TRES LADOS EL TRIÁNGULO

16 SU MEDIDA SE CALCULA COMO LA SEMIDIFERENCIA DE LOS ARCOS QUE INTERCEPTA

17 MEDIDA DEL ÁNGULO SEMIINSCRITO O INSCRITO 19 SI TRAZAMOS CUERDAS POR LOS EXTREMOS DE DOS ARCOS IGUALES,

TERMINARAN SIENDO.......... 21 ESTE LUGAR GEOMETRICO RESULTA PORQUE LOS ANGULOS

INSCRITOS EN ÁNGULOS IGUALES SON IGUALES. 22 ESTÁ FORMADO POR DOS CUERDAS SECANTES EN UN PUNTO

INTERIOR DE LA CIRCUNFERENCIA 25 ESTE ÁNGULO TIENE VÉRTICE EN EL CENTRO DE LA CIRCUNFERENCIA

Y EL ARCO QUE INTERCEPTA TIENE SU MISMA MEDIDA 26 CIRCUNFERENCIAS CON EL MISMO CENTRO 27 ASÍ SON LOS ÁNGULOS INSCRITOS O SEMIINSCRITOS EN EL MISMO

ARCO O EN ARCOS CONGRUENTES 28 ESTAN A LA MISMA DISTANCIA DEL CENTRO DE LA CIRCUNFERENCIA 29 EN UNA CIRCUNFERENCIA O EN CIRCUNFERENCIAS CONGRUENTES A

CUERDAS IGUALES ............ 30 LA DEFINICIÓN DE MEDIATRIZ COMO LUGAR GEOMETRICO JUSTIFICA

PORQUE ESTE PUNTO ESTA A LA MISMA DISTANCIA DE LOS VERTICES DEL TRIÁNGULO Y POR ESO HACIENDO CENTRO EN ÉL SE PUEDE TRAZAR UNA CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR ELLOS

31 NUMERO DE CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR TRES PUNTOS NO COLINEALES

32 SI SE TIENE UNA CUERDA QUE NO ES DIAMETRO Y UN DIAMETRO QUE PASA POR EL PUNTO MEDIO DE DICHA CUERDA, ENTONCES EL DIAMETRO ES .............. DE LA CUERDA

VERTICALES 1 TOCA A LA CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO 2 ASÍ SE PUEDE CALCULAR LA MEDIDA DE UN

ÁNGULO EXTERIOR 4 SEMENTO QUE UNE DOS PUNTOS DE UNA

CIRCUNFERENCIA 9 SEGMENTO QUE VA DEL CENTRO A UN

PUNTO CUALQUIERA DE LA CIRCUNFERENCIA

10 LA MAYOR DE LAS CUERDAS, ADEMÁS EQUIVALE A DOS RADIOS

15 ESTAS PORCIONES DE CIRCUNFERENCIAS LO SON SI ESTAN FORMADOS POR CUERDAS PARALELAS

18 ESTE ANGULO ÁNGULO TIENE VÉRTICE EN UN PUNTO DE LA CIRCUNFERENCIA Y SUS LADOS SON DOS SECANTES

20 EL SEGMENTO QUE UNE LOS CENTROS RESULTA SERLO PARA EL QUE UNE LOS PUNTOS DONDE SON SECANTES DOS CIRCUNFERENCIAS, SILO SON.

23 ASÍ ES TODO RADIO TRAZADO AL PUNTO DE TANGENCIA ENTRE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA

24 A MAYOR DISTANCIA DEL CENTRO ............


TOMADO DE : http://www.sectormatematica.cl/Novedades/Circunferencia_y_Circulos.pdf Profesor Guillermo Camacho


http://www.sectormatematica.cl/Novedades/Circunferencia_y_Circulos.pdf

UNIDAD 6

CIRCUNFERENCIA

Para afrontar la solución de los ejercicios correspondientes a esta unidad debes

tener presente los diferentes elementos presentes en la circunferencia como centro,

radio, diámetro, cuerda, arco, ángulos en la circunferencia. En la solución de los

ejercicios es necesario recordar los siguientes aspectos:

1. circunferencia y sus elementos

2. posiciones relativas entre la circunferencia y una recta

3. posiciones relativas entre dos circunferencias

4. propiedades del diámetro perpendicular a una cuerda

5. Teoremas y corolarios sobre la relación entre cuerdas, arcos y ángulos centrales

6. Teoremas y corolarios sobre los ángulos en la circunferencia

7. Teoremas sobre el arco capaz

8. teoremas sobre cuadriláteros inscritos y circunscritos

Se hace recomendable la realización de un resumen sobre dicho tema.


1. En una C(O; r) se trazan un diámetro y un radio perpendicular a ; se prolonga

a cada lado y en el exterior de la circunferencia en longitudes iguales AE=BD; se trazan y

que cortan a la circunferencia en F y G. Probar que: OFC=OGC.

GRAFICA 65

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4 ( )

5

6

7

8

9 =

10

11 =

12

13

14

AB OC AB AB

CE

CD


2. Desde el vértice A de un ABC equilátero, se traza el arco menor de la circunferencia que pasa

por B y C; se toma sobre este arco el punto D y se trazan y . Demostrar que la recta

que une el punto medio del radio con el punto medio de es perpendicular a la recta que

une el punto medio con el punto medio de .

GRAFICA 66

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4

5

6

7

8

9

DB DC

AB DC

AC DB


3. Considerar una C(O; r) y una C(O'; r') tangentes en un punto A; se trazan en la C(O; r) una

cuerda y en la C(O';r') la cuerda . Probar que .

GRAFICA 67

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12 +2

13

14

15

16

AM AN AM OM O'N


4. Por el punto medio O de un segmento se traza una recta cualquiera ; se toma B'

simétrico de B con respecto a y se traza con el punto N sobre . Probar

que es tangente a la circunferencia de diámetro .

GRAFICA 68

,

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

5. Se traza una cuerda que corta a dos circunferencias concéntricas, a la menor en A y B y a la

mayor en C y D. Demostrar que = y = .

GRAFICA 69

AB XY

XY B'N OB' XY

NB AB

AC BD AD BC


AFIRMACION RAZON

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

6. En una C(O; r) se trazan dos radios y y una cuerda perpendicular a la bisectriz

del AOB; corta a en F y a en G. Demostrar que: MF=NG y FA=GB.

GRAFICA 70

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

OA OB MN

MN OA OB


7. Dos circunferencias C(O; r) y C(O'; r') se cortan en A; se une A con el punto medio M de

y se traza la perpendicular a en A que corta a la C(O; r) en B y a la C(O'; r') en C.

Demostrar que AB=AC.

GRAFICA 71

Determina la hipótesis y la tesis

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4

5

6

7

8

8. Probar que la cuerda más pequeña que pasa por un punto interior a una circunferencia es

perpendicular al diámetro que pasa por dicho punto.

GRAFICA 72


OO'

AM


Tracemos pasando por P, ya que por P pasa una única cuerda perpendicular en dicho

punto, Tracemos cualquier otra cuerda que pase por P en este caso . Desde O podemos

trazar donde se estara formando el ∆ rectángulo ∆ OMP donde es decir

que la cuerda esta mas cerca al centro que a la cuerda por lo tanto por corolario

sabemos que la mayor de dos cuerdas desiguales es la más próxima al centro y

recíprocamente. Por lo tanto

Ahora realízalo utilizando afirmación - razón.

9. En una C(O; r) se trazan dos radios perpendiculares y y en el mismo sentido con

respecto a los radios se trazan dos cuerdas iguales AM=BN. Demostrar que ellas son

perpendiculares.

GRAFICA 73


Observemos que al prolongar los segmentos se cortan en un punto P por lo tanto

es un ángulo exterior cuya medida es la semidiferencia entre los arcos y ,

sabemos que radios y además luego tenemos dos triángulos

congruentes por el teorema LLL, . Continuando tenemos que

lo que implica que con donde

⋀ por ser ángulos centrales; por lo tanto:

por resta de arcos

Operaciones entre reales

Propiedad asociativa

Por lo tanto

OA OB


10. Probar que todo trapecio inscrito en una circunferencia es isósceles.

GRAFICA 74

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4

11. En una C(O;r) se tienen dos cuerdas y perpendiculares a un diámetro ; se trazan

y . Probar que la recta que une los puntos medios de y es perpendicular al

diámetro .

GRAFICA 75

AFIRMACION RAZON

1 CC'

2 CC'D'D es trapecio

3 base media

4

CC' DD' AB

CD C'D' CD C'D'

AB


5

6

7

8

12. En un ABC acutángulo se traza las alturas y . Probar que la circunferencia de

diámetro pasa por los pies D y E de las alturas. Si el BAC=64°, calcular el ADE.

GRAFICA 76

determina la tesis

Si tomamos como diámetro entonces la circunferencia de diámetro es todos los

puntos que forman un ángulo de 90° tomando como extremos A y B por arco capaz; por lo

tanto E a dicha circunferencia y por lo tanto D a dicha circunferencia ya

que .

Realiza la segunda parte

13. Hallar el lugar geométrico del centro de un rombo si uno de sus lados está fijo en alguna

posición.

GRAFICA 77

determina la hipótesis y la tesis

Si dejamos como lado fijo el segmento podemos trazar la semi-circunferencia con

AD BE

AB


diámetro que pasara por I. si desplazamos I hasta el puntoI′ sobre la circunferencia

AI B=90 por lo tanto si prolongamos AI′ y BI′ hasta C′ y D′ respectivamente tal que

AI′=C′I y BI′=I′D′ se forma siempre un rombo de lados iguales . De acuerdo a lo anterior

el lugar geométrico estará siempre en la semicircunferencia de radio AB

14. Dos circunferencias son tangentes exteriores en un punto A. Se trazan las secantes y

. Probar que .

GRAFICA 78

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

BAC

B'AC' BB' CC'


15. Sea I el centro de la circunferencia inscrita en un ABC, rectángulo en A. Probar que es

el lado del cuadrado que se puede inscribir en la circunferencia que pasa por los tres puntos B,

I y C.

GRAFICA 79

1. Determina la hipótesis y la tesis

2. Argumenta las afirmaciones

Si es el lado del cuadrado inscrito entonces el ángulo desde el centro de la

circunferencia ( ) tendría que medir 90 CIB=180 -( donde (2 ∆ABC

inscrito

16. Por un extremo A de un diámetro de una C(O; r) se traza una cuerda ; y por el extremo

B se traza la tangente a la circunferencia. Se traza la bisectriz del CAB que corta a la

cuerda en F, a la circunferencia en H y a la tangente en D. Demostrar que BD=BF y

FH=HD.

GRAFICA 80

BC

AB AC

BC


AFIRMACION RAZON

1

inscrito

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

)

12

17. Encontrar los ángulos de un cuadrilátero inscriptible ABCD, si la diagonal hace con los

lados y ángulos de 45° y con la diagonal un ángulo de 70°.

GRAFICA 81

AFIRMACION RAZON

AB AD BD

AC


18. Se tiene un cuadrilátero MNPR inscrito en una circunferencia, y el cuadrilátero circunscrito

ABCD, cuyos lados , , y , son tangentes a la circunferencia respectivamente en N, P, R y M.

Demostrar que AD+BC=DC+AB.

GRAFICA 82


Sabemos que los segmentos tangentes desde un mismo punto exterior son congruentes es

decir :

por suma de segmentos tenemos:

( ) ( )

si tenemos presente el primer paso y sustituimos obtenemos:

=

Si agrupamos.

+ ( ) )

Obtenemos


EJERCICIOS UNIDAD 6- CIRCUNFERENCIA

1. Un ABC está inscrito en una C(O; r); sus alturas se cortan en H. Demostrar que la recta que

une el punto medio N de con el punto medio P de es paralela a la recta que une O con

el punto medio Q de . Demostrar que OPNQ es un paralelogramo.

Grafica 68

1. De acuerdo a la gráfica y al

enunciado del problema determina la

hipótesis y la tesis

2. Dada la siguiente explicación al problema

organizarla de tal forma que se determine

claramente la afirmación y su

correspondiente razón.

AFIRMACION RAZON

01 En ΔAHB tenemos

02 En ΔAHC tenemos

03 O es el ortocentro del ΔABC y son parte de la mediat.

04 ⊥ y ⊥ por ③

05 y dos líneas perpendiculares a una misma recta

06 QOPN es paralelogramo por ⑤

AH AB

AC


2. En una C(O;r) un diámetro y una cuerda forman un ángulo de 30°; se traza la tangente

en el punto C que corta al diámetro prolongado en el punto D. Demostrar que el ACD es

isósceles.

Grafica 69

1.De acuerdo a la gráfica y al

enunciado del problema

determina la hipótesis y la

tesis

2. Dada las afirmaciones

determina la razón de cada

paso.

AFIRMACION RAZON

01 Trazamos OC=OA=R

02 ΔAOC isósceles

03 ∢OAC= ∢OCA=30°

04 ∢OCD 90°

05 ∢COD 60°

06 ∢OCD+∢COD+∢ODC 90°

07 ∢ODC 90°-∢OCD-∢COD 30°

08 ΔACD isósceles

AB AC


3. En una semicircunferencia de radio dado R inscribir una circunferencia de radio dado r. ¿ Cuál

condición deben cumplir los radios R y r para que exista una única solución?, ¿Para dos

soluciones?.

Grafica 70

Observa la gráfica y argumenta tu

respuesta

Grafica 71

Observa la gráfica y argumenta tu

respuesta

4. En una C(O;r) se trazan por los extremos de un diámetro dos cuerdas paralelas y

. Probar que ACO=BDO.

Grafica 72

1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado del

problema determina la hipótesis y la tesis

2. Dada las afirmaciones determina la razón

de cada paso.

AFIRMACION RAZON

01 ∢CAO ∢OBD

02 OA=OB=OC=OD=R

03 ΔOAC, ΔOBD isósceles

04 ∢CAO ∢ACO

∢OBD ∢ODB

05 ∢ACO ∢ ODB

AB AC BD


5. Por el punto de contacto A de dos circunferencias tangentes exteriores se traza una cuerda

. Demostrar que las tangentes en B y en C son paralelas.

Grafica 73

1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado

del problema determina la hipótesis y la

tesis

2. Dada las afirmaciones determina la

razón de cada paso.

AFIRMACION RAZON

01 O-A-O’ colineales

02 B-A-C colineales

03 O A OC R

04 ΔAOC isósceles

05 ∢O’AC ∢O’CA

06 OA=OB=R

07 ΔOAB isósceles

08 ∢OAB ∢OBA

09 ∢OAB ∢O’AC

10 ∢OBA ∢O’CA

11 OB ⊥ O C ⊥ m

12 ∢OBP ∢O’CQ 90°

13 ∢OBP- ∢OBA ∢O’CQ-∢O’CA

14 ∢PBA ∢ACQ

15 ∢PBA ∢ACQ A.I

16 m

BAC


6. Dos circunferencias C(O; r) y C(O'; r') son secantes en A y B; por A se trazan los diámetros

y . Demostrar que C, B y D están alineados.

Grafica 74






paso.

AFIRMACION RAZON

01 AC AD diámetros

02 ∢ABC 90°

03 ∢ABD =90°

04 ∢CBA+∢DBA 180°

05 ∢CBD 180°

06 C-B-D

AC AD


7. En una C(O;r) se traza una cuerda y se toman los puntos medios M del arco mayor y N del arco

menor . Se trazan las bisectrices de los ángulos MAB y MBA que se cortan en I y cortan a la

circunferencia en D y F; se traza que corta a en H. Demostrar que:

a. El punto I está sobre la recta .

b. DH=HF.

Grafica 75






paso.

AFIRMACION RAZON

01 A B

AB menor

02 A B

AB mayor

03 A + A B + B 180°

04 diámetro

05 biseca AB

06 biseca AB ⊥ AB

07 Δ PA Δ PB

08 AM=BM

09 Δ AB isósceles

10 ∢ AB ∢MBA

11 ∢ AD ∢DAB ∢ABF ∢FB ∢

∢ AB

∢ BA

12 1

2 D

1

2DB

1

2AF

1

2F

1

4 B

1

4 A

13 D DB AF F

1

2 D

1

2 A

14 biseca FD

15 biseca FD ⊥ FD

16 P altura Δ AB

17 P bisectriz

18 Es incentro

19 I


8. Se trazan dos circunferencias concéntricas. Demostrar que todas las cuerdas de la mayor que

son tangentes a la menor son iguales.

Grafica 76





AFIRMACION RAZON

01 OP ⊥ AB QD ⊥ CD

02 OP =OQ R’

03 AO=BO=CO=DO=R

04 ΔAOP ΔBOP ΔCOQ ΔDOQ

05 AP=BP=CQ=DQ

06 AP + PB = CQ + DQ

07 AB CD


9. En una C(O;r) se tienen un diámetro y una cuerda cualquiera ; De A se traza la cuerda

perpendicular a la dirección de y de B se traza la cuerda perpendicular a ;

y prolongados cortan a o a sus prolongaciones en G y H. Demostrar que: EG=BH

y HC=DG.

Grafica 77



tesis

2. Dada las afirmaciones determina

la razón de cada paso.

AFIRMACION RAZON

01 AG ⊥ GH FH ⊥GH

02

03 180°

04

05

06

07 ∢AEB recto

08 ∢BEF 90°

09 EGHB rectángulo

10

AB CD

AE CD BF CD

AE BF CD


10. Considerar un cuarto de circunferencia AOB. Desde los puntos A y B se trazan cuerdas iguales

AM=BN; estas cuerdas se cortan en el punto C. Demostrar que .

Grafica 78



tesis



AFIRMACION RAZON

01 AO=OB=R

02 A A

03 A A

04 AB A AB A

05 B A

06 ∢ AB

B ∢ BA=

A

07 ∢ AB ∢ BA

08 ΔACB isósceles

09 AC=CB

10 ΔCAO ΔCOB

11 ∢AOC ∢BOC

12 CO bisectriz

13 CO altura

14 CO ⊥AB

OC AB


11. Dados dos puntos A y B sobre una C(O; r) se trazan dos cuerdas cualesquiera y ;

después las cuerdas y . Demostrar que .

Grafica 79






paso.

AFIRMACION RAZON

01 A B A B A + B ’+ ’

02 A B + A + ’B

03 A + + + A B + + + B

04 A + A B +B

05

06

AM AN

BM' AM BN' AN MN' M'N


12. Se hace pasar una circunferencia por los puntos medios de los tres lados de un triángulo

rectángulo. Demostrar que el arco exterior a la hipotenusa es la diferencia de los arcos

exteriores a los catetos.

1. De acuerdo a la gráfica y al enunciado del problema determina la hipótesis y la tesis

2. Dada la siguiente explicación al problema organizarla de tal forma que se determine claramente

la afirmación y su correspondiente razón.

Grafica 80

Observemos cuidadosamente la gráfica, si C y A son puntos medios CA RP, si A y F son

puntos medios AF CR y como ∢R=90° entonces RFAC es un rectángulo por lo tanto O

equidista de A y R ya que la circunferencia pasa por los vértices del rectángulo, por lo tanto

D=E=F

Grafica 81

BA CF CB AF CA EF CD AF CF diámetro CD + DF CB + BA + AF

CD + DF CB AF AB DF CB AB


13. En una semicircunferencia de diámetro se traza una cuerda tal que el BAC=20° y se

traza la tangente Calcular el valor del ADX y el del BDY.

Grafica 82





AFIRMACION RAZON

01 ∢ADB=90°

02 BC=40°

03 AD + DC=140°

04 AD DC=70°

05

0° =35°

06

(110°)=55°

AB AC

XDY AC


14. Construir un triángulo rectángulo si se conocen la hipotenusa y un cateto.

Grafica 83

1. De acuerdo a la gráfica y al enunciado del


2. Dada la siguiente explicación al problema

organizarla de tal forma que se determine

claramente la afirmación y su correspondiente

razón.

Para realizarlo trazamos dos circunferencias

01 C(O,R) donde R=

AB=

hipotenusa

02 C(B,R’) donde R’= longitud del cateto

03 ∢ADB=90° en C(O,R)


15. En un ABC inscrito en una circunferencia se trazan las bisectrices de los ángulos A y B que

se cortan en I y cortan a la circunferencia en D y F. Demostrar que DI=DB.

Grafica 84





AFIRMACION RAZON

01 1

2(DB + AF)

1

2 FC + CD

02 1

2DB

1

2CD 2 DB CD

03 1

2AF

1

2FC 2 AF FC

04 1

2 2 + 2 +

05 1

2 2 + 2 +

06

07 ΔIDB isósceles

08 ID=DB


16. En un ABC inscrito en una circunferencia se trazan las alturas y que se cortan en H;

se prolonga hasta que corte a la circunferencia en M. Demostrar que HD=DM.

Grafica 85




de cada paso.

AFIRMACION RAZON

01 ∢B A ∢BCA

AB

02 ∢ BC ∢ AC

C

03 + 90°

04 + 90°

05

06 BD lado común

07 ∢ADB ∢BD 90°

08 ΔBDH ΔBD

09 DH D

AD BF

AD


17. Sobre una circunferencia se toman consecutivos y en un mismo sentido de rotación los puntos

A, B, C, D y E, tales que los arcos , , y midan respectivamente 90°, 60°, 45° y

105°. Encontrar:

a. La medida del arco .

b. El valor de los ángulos ABC, BCD, CDE, DEA, EAB.

c. El valor de los ángulos que se forman en el punto H, intersección de las cuerdas y .

d. El valor de los ángulos que se forman en el punto I, intersección de las cuerdas y .

e. El valor de los ángulos que se forman en el punto B, al trazar la recta tangente .

Grafica 86




de cada paso.

a AB BC CD DE EA 360°

b Aplicar ∢ inscrito

c Aplicar ∢ interior

d Aplicar ∢exterior

e Aplicar ∢semi-inscrito

AB BC CD DE

EA

EB AD

ED BC

FBT


GEOMETRÍA C.A.V.A

COMPLEMENTO A LOS EJERCICIOS DE CIRCUNFERENCIA (extraídos del texto geometría euclidiana de Rodolfo Londoño U. de A. por Carlos A. Ríos)

Para cada uno de los gráficos siguientes encuentre los ángulos y arcos pedidos.

1.

2.

3.

4.

5.

EJERCICIOS SOBRE CIRCUNFERENCIAS


GEOMETRÍA C.A.V.A

6.

7.

8.

9.

10.

11.



GEOMETRÍA C.A.V.A

12.

13.

14.

15.

16.



Circunferencia

1. Si se sabe que α = 35º y β = 45º, ¿cuál es la medida del ángulo x de la figura?

2. El arco AC de la figura mide 94º y el arco BC mide 108º. ¿Cuál es la medida del ángulo ACB?

3. Los segmentos AP y BP son tangentes a la circunferencia en A y B respectivamente, y el ángulo APB = 40º. ¿Cuánto mide el ángulo AOB?

4. Si el arco AC = 86º y el arco BD mide 144º, ¿cuánto mide el ángulo APD?

5. ¿Cuáles son los valores de x e y en la figura?

BD y DA, están en la razón 1:2:3, respectivamente. ¿Cuál es el valor de x?

7. En la figura, AB es diámetro de la circunferencia y α = 58º. ¿Cuál es el valor de x?

8. En la figura, AD es diámetro de la circunferencia y los arcos AB, BC, CD y DE son congruentes. ¿Cuál es la medida del ángulo BAE?

9. En la figura, AB es diámetro de la circunferencia y es paralela a CD. El arco CD mide 106º. ¿Cuánto mide el ángulo BAD?

10. La recta PQ es tangente a la circunferencia de centro O en el punto A y el

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11. La recta PT es tangente a la circunferencia en el punto T, y las cuerdas AT y BT son congruentes. ¿Cuál es la medida del arco AT?

12. ¿Cuál es la medida del ángulo PAC de la figura si la recta PQ es tangente a la circunferencia en el punto A, el ángulo ACB mide 65º y el arco CB mide 30º?

13. Los arcos AC y DB de la figura miden 144º y 76º, respectivamente. ¿Cuál es la medida del ángulo APC?

14. Los arcos AC y DB de la figura miden 108º y 62º, respectivamente. ¿Cuáles son los valores de x e y?

16. La recta PC es tangente a la circunferencia de centro O en el punto C. El ángulo AOB mide 126º y AC congruente con BC. ¿Cuál es la medida del ángulo ACP?

17. El ángulo APD de la figura mide 75º y el arco BD mide 95º. ¿Cuál es la medida del arco AC?

18. El ángulo ADC de la figura mide 64º y el ángulo APC mide 34º. ¿Cuánto mide el arco BD?

19. El cuadrilátero ABCD está inscrito en la circunferencia. ¿Cuánto mide el ángulo ADC?

20. En la figura, el arco AB mide 150º y el

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21. ¿Cuál es la medida del ángulo ACB de la figura?

22. ¿Cuál es el valor de x en la figura?

23. Los arcos AB y CD de la figura miden 124º y 66º, respectivamente. ¿Cuál es la medida del ángulo AQB?

24. En la figura, determinar la medida del arco AB y el valor de β.

26. Según los datos de la figura, ¿cuál es el valor de α?

27. El ángulo APC mide 38º y el arco AC mide 145º. ¿Cuál es la medida del arco BD?

28. La cuerda CD es diámetro de la circunferencia. El arco AB mide 115º y el arco BD mide 12º. Determinar la medida del arco AC y del ángulo BPD.

29. La cuerda AB es diámetro de la circunferencia. El arco AC mide 128º. ¿Cuál es el valor de x?

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circunferencia en A. ¿Cuánto miden los arcos AC y CB respectivamente?

31. En la figura, PA y PB son tangentes a la circunferencia en los puntos A y B, respectivamente. Si el arco ACB mide 210º, ¿cuánto mide el ángulo APB?

32. En la figura, las cuerdas AD y BC se interceptan en el punto P; los arcos AC y DB miden 200º y 104º, respectivamente. ¿Cuánto mide el ángulo APB?

33. En la figura, la recta PB es tangente a la circunferencia en el punto B, y el ángulo ABP mide 84º. ¿Cuánto mide el arco ACB?

34. Las cuerdas AB y CD se interceptan en el punto P. El ángulo APD mide 115º y el arco AC mide 82º. ¿Cuánto mide el arco BD?

35. En la figura, la recta PB es tangente a la circunferencia en el punto B y el ángulo ACB mide 76º. ¿Cuánto mide el ángulo PBC si el triángulo ABC es isósceles de base AB?

36. La cuerda AB es diámetro de la circunferencia. Si el arco BD mide 78º y el ángulo DPB mide 56º, ¿cuánto mide el arco BC?

37. En la figura, la recta PB es tangente a la circunferencia en el punto B y el arco ACB mide el doble que el arco AB. ¿Cuánto mide el ángulo ABP?

38. Según los lados de la figura, ¿cuáles son los valores de x e y?

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39. Según los datos de la figura, ¿cuál es el valor de x?

40. Según los datos de la figura, ¿cuáles son los valores de x e y?

41. Según los datos de la figura, ¿cuánto mide el arco AB?


43. En la figura, AB es paralela con CD, el ángulo APB mide 115º y el arco DB mide 78º. ¿Cuánto mide el ángulo ADC?

44. En la figura, el ángulo CPD mide 41º y el ángulo ADC mide 63º. ¿Cuánto mide el arco CD?

45. En la figura, PA y PB son tangentes a la circunferencia en A y B, respectivamente. Si el ángulo ACB mide 70º, ¿cuánto mide el ángulo BPA?

46. En la figura, el arco AB mide 132º y el ángulo APB mide 21º. ¿Cuál es la medida del ángulo CAD?

47. En la figura, la cuerda AD es diámetro de la circunferencia y el ángulo BCD mide33º. ¿Cuánto mide el ángulo PAB?

48. En la figura, AB es diámetro de la circunferencia y M es punto medio de CD. Si el ángulo ABD mide 31º, ¿cuánto mide el arco BC?

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50. Según los datos de la figura, ¿cuánto mide el arco AB?

51. Si T es punto de tangencia, según los datos de la figura, ¿cuáles son los valores de α y β respectivamente?

52. Según los datos de la figura, si O es centro de la circunferencia, ¿cuál es el valor de x?

53. Las cuerdas AB y CD son paralelas y el arco BD mide 88º. ¿Cuál es el valor de x?

54. Según los datos de la figura, ¿cuánto miden x e y, respectivamente?

55. En la figura, AB es diámetro de la circunferencia. Si el ángulo BDC mide 53º, ¿cuánto mide el arco AC?

56. En la figura. la recta PS es tangente a la circunferencia en S, ¿cuál es el valor de x?

57. Las rectas PA y QB son tangentes a la circunferencia en A y B, respectivamente. El ángulo PAC mide 60º y el arco BC mide 110º. ¿Cuánto mide el ángulo ABQ?

58. En la figura, los arcos AB, BC y CA son tales que se cumple que los arcos AB, BC y CA, están en razón 1:2:3. Si AP y BP son tangentes a la circunferencia en A y B, respectivamente, ¿Cuánto mide el ángulo APB?

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GEOMETRÍA C.A.V.A

EJERCICIOS SOBRE CIRCUNFERENCIA

1. En una C(O; r) se trazan un diámetro AB

y un radio OC perpendicular a AB ; se

prolonga AB a cada lado y en el exterior

de la circunferencia en longitudes iguales

AE=BD; se trazan CE y CD que cortan a

la circunferencia en F y G. Probar que:

OFC=OGC.

2. Un ABC está inscrito en una C(O; r); sus

alturas se cortan en H. Demostrar que la

recta que une el punto medio N de AH con

el punto medio P de AB es paralela a la

recta que une O con el punto medio Q de

AC . Demostrar que OPNQ es un

paralelogramo.

3. Desde el vértice A de un ABC equilátero,

se traza el arco menor de la

circunferencia que pasa por B y C; se

toma sobre este arco el punto D y se

trazan DB y DC . Demostrar que la recta

que une el punto medio del radio AB con el

punto medio de DC es perpendicular a la

recta que une el punto medio AC con el

punto medio de DB .

4. En una C(O;r) un diámetro AB y una

cuerda AC forman un ángulo de 30°; se

traza la tangente en el punto C que corta

al diámetro prolongado en el punto D.

Demostrar que el ACD es isósceles.

5. En una semicircunferencia de radio dado R

inscribir una circunferencia de radio dado

r. ¿ Cuál condición deben cumplir los

radios R y r para que exista una única

solución?, ¿Para dos soluciones?.

6. En una C(O;r) se trazan por los extremos

de un diámetro AB dos cuerdas paralelas

AC y BD . Probar que ACO=BDO.

7. Por el punto medio O de un segmento AB

se traza una recta cualquiera XY

; se toma

B' simétrico de B con respecto a XY

y se

traza B'N OB' con el punto N sobre

XY

. Probar que NB es tangente a la

circunferencia de diámetro AB .

8. Por el punto de contacto A de dos

circunferencias tangentes exteriores se

traza una cuerda BAC . Demostrar que las

tangentes en B y en C son paralelas.

9. Considerar una C(O; r) y una C(O'; r')

tangentes en un punto A; se trazan en la

C(O; r) una cuerda AM y en la C(O';r') la

cuerda AN AM . Probar que OM O'N .

10. Dos circunferencias C(O; r) y C(O'; r') son

secantes en A y B; por A se trazan los

diámetros AC y AD . Demostrar que C,

B y D están alineados.

11. Se traza una cuerda que corta a dos

circunferencias concéntricas, a la menor

en A y B y a la mayor en C y D. Demostrar

que AC =BD y AD =BC .

12. En una C(O;r) se traza una cuerda AB y se

toman los puntos medios M del arco mayor AB y N del arco menor AB . Se trazan las

bisectrices de los ángulos MAB y MBA que

se cortan en I y cortan a la circunferencia

en D y F; se traza DF que corta a MN en

H. Demostrar que:

a. El punto I está sobre la recta MN

.

b. DH=HF.

13. En una C(O; r) se trazan dos radios OA y

OB y una cuerda MN perpendicular a la

bisectriz del AOB; MN corta a OA en F

y a OB en G. Demostrar que: MF=NG y

FA=GB.


GEOMETRÍA C.A.V.A

14. Se trazan dos circunferencias

concéntricas. Demostrar que todas las

cuerdas de la mayor que son tangentes a la

menor son iguales.

15. Dos circunferencias C(O; r) y C(O'; r') se

cortan en A; se une A con el punto medio

M de OO' y se traza la perpendicular a

AM en A que corta a la C(O; r) en B y a la

C(O'; r') en C. Demostrar que AB=AC.

16. En una C(O;r) se tienen un diámetro AB y

una cuerda cualquiera CD ; De A se traza

la cuerda AE perpendicular a la dirección

de CD y de B se traza la cuerda BF

perpendicular a CD ; AE y BF

prolongados cortan a CD o a sus

prolongaciones en G y H. Demostrar que:

EG=BH y HC=DG.

17. Probar que la cuerda más pequeña que pasa

por un punto interior a una circunferencia

es perpendicular al diámetro que pasa por

dicho punto.

18. Considerar un cuarto de circunferencia

AOB. Desde los puntos A y B se trazan

cuerdas iguales AM=BN; estas cuerdas se

cortan en el punto C. Demostrar que

OC AB .

19. En una C(O; r) se trazan dos radios

perpendiculares OA y OB y en el mismo

sentido con respecto a los radios se trazan

dos cuerdas iguales AM=BN. Demostrar

que ellas son perpendiculares.

20. En una C(O; r) se traza una cuerda AB

sobre la que se toma un punto D que se une

con un punto cualquiera C de la

circunferencia. Por los puntos medios de

AD y CD se levantan perpendiculares que

se cortan en M. Demostrar que OM AC .

21. Probar que todo trapecio inscrito en una

circunferencia es isósceles.

22. Dados dos puntos A y B sobre una C(O; r)

se trazan dos cuerdas cualesquiera AM y

AN ; después las cuerdas BM' AM y

BN' AN . Demostrar que MN' M'N .

23. En una C(O;r) se tienen dos cuerdas CC' y

DD' perpendiculares a un diámetro AB ;

se trazan CD y C'D' . Probar que la recta

que une los puntos medios de CD y C'D'

es perpendicular al diámetro AB .

24. Se hace pasar una circunferencia por los

puntos medios de los tres lados de un

triángulo rectángulo. Demostrar que el

arco exterior a la hipotenusa es la

diferencia de los arcos exteriores a los

catetos.

25. En un ABC acutángulo se traza las alturas

AD y BE . Probar que la circunferencia

de diámetro AB pasa por los pies D y E de

las alturas. Si el BAC=64°, calcular el

ADE.

26. En una semicircunferencia de diámetro

AB se traza una cuerda AC tal que el

BAC=20° y se traza la tangente

XDY AC Calcular el valor del ADX y el

del BDY.

27. Dos circunferencias son tangentes

exteriores en un punto A. Se trazan las

secantes BAC y B'AC' . Probar que

BB' CC' .

28. Construir un triángulo rectángulo si se

conocen la hipotenusa y un cateto.

29. Hallar el lugar geométrico del centro de un

rombo si uno de sus lados está fijo en

alguna posición.

30. En un ABC inscrito en una circunferencia

se trazan las bisectrices de los ángulos A

y B que se cortan en I y cortan a la

circunferencia en D y F. Demostrar que

DI=DB.



GEOMETRÍA C.A.V.A

31. Sea I el centro de la circunferencia

inscrita en un ABC, rectángulo en A.

Probar que BC es el lado del cuadrado que

se puede inscribir en la circunferencia que

pasa por los tres puntos B, I y C.

32. En un ABC inscrito en una circunferencia

se trazan las alturas AD y BF que se

cortan en H; se prolonga AD hasta que

corte a la circunferencia en M. Demostrar

que HD=DM.

33. Por un extremo A de un diámetro AB de

una C(O; r) se traza una cuerda AC ; y por

el extremo B se traza la tangente a la

circunferencia. Se traza la bisectriz del

CAB que corta a la cuerda BC en F, a la

circunferencia en H y a la tangente en D.

Demostrar que BD=BF y FH=HD.

34. Sobre una circunferencia se toman

consecutivos y en un mismo sentido de

rotación los puntos A, B, C, D y E, tales

que los arcos AB , BC , CD y DE midan

respectivamente 90°, 60°, 45° y 105°.

Encontrar:

a. La medida del arco EA .

b. El valor de los ángulos ABC, BCD,

CDE, DEA, EAB.

c. El valor de los ángulos que se forman

en el punto H, intersección de las

cuerdas EB y AD .

d. El valor de los ángulos que se forman

en el punto I, intersección de las

cuerdas ED y BC .

e. El valor de los ángulos que se forman

en el punto B, al trazar la recta

tangente FBT .

35. Encontrar los ángulos de un cuadrilátero

inscriptible ABCD, si la diagonal AC hace

con los lados AB y AD ángulos de 45° y

con la diagonal BD un ángulo de 70°.

36. Construir un triángulo equilátero

conociendo el radio del círculo:

a. Inscrito.

b. Circunscrito.

37. Se tiene un cuadrilátero MNPR inscrito en

una circunferencia, y el cuadrilátero

circunscrito ABCD, cuyos lados AB , BC ,

CD y DA , son tangentes a la

circunferencia respectivamente en N, P, R

y M.

a. Demostrar que AD+BC=DC+AB.

b. Si los arcos MN , MR miden 110° y

120° y el MIN=95°, siendo I el

punto donde concurren las diagonales

del MNPR, calcular los ángulos de los

dos cuadriláteros.



TALLER N°7- CIRCUNFERENCIA

01 Hallar el valor de los ángulos en la siguiente grafica sabiendo que

AB=BD, AE pasa por el centro de la circunferencia

02 Hallar el valor de los ángulos en la siguiente grafica sabiendo que EG=GB

y CD=CB

03 Hallar el valor de los ángulos en la siguiente grafica sabiendo que CE=EF

y BC//GF y BF diámetro


04

Hallar el valor de los ángulos en la siguiente grafica sabiendo que

BD=GD con BE diámetro

05 Se tiene una circunferencia se traza el diámetro , se traza la cuerda

la cual se prolonga hasta cortar en el punto tal que y

– – . Demostrar que .

06 Considerar un cuarto de circunferencia . Desde los puntos y se trazan

las cuerdas iguales ; estas cuerdas se cortan en . Demostrar que el

segmento es perpendicular a el segmento

07 Por el punto de contacto de dos circunferencias tangentes exteriores se

trazan las cuerdas y a cada una de las circunferencias, siendo

(colineales). Demostrar que las tangentes en y en son paralelas.

SUGERENCIA: Trace la recta tangente a las circunferencias en el punto de

contacto

08 En una semicircunferencia de diámetro se traza una cuerda tal que el

y se traza la tangente Calcular el valor del y el del

.

09 En una se tiene un diámetro AB y una cuerda cualquiera CD. De A se traza

la cuerda AE perpendicular a la dirección de CD y de B se traza la cuerda BF

perpendicular a CD; AE y BF prolongados intersectan a CD o a sus prolongaciones

en G y H. Demostrar que EG=BH y HC=DG.

10 Dos circunferencias y son secantes en y ; por se trazan

los diámetros y . Demostrar que , y están alineados.

11 Se traza una cuerda que corta a dos circunferencias concéntricas, a la menor en


y y a la mayor en y . Demostrar que = y = .

12 En una se trazan por los extremos de un diámetro dos cuerdas paralelas

y . Probar que .

13 En una un diámetro y una cuerda forman un ángulo de 30°; se traza

la tangente en el punto que corta al diámetro prolongado en el punto .

Demostrar que el es isósceles.

14 En una se traza una cuerda AB sobre la cual se toma un punto D que se une

con un punto cualquiera C de la circunferencia. Se trazan las mediatrices de AD y

CD que se interceptan en M. demostrar que OM es perpendicular a AC.

15 En una se trazan un diámetro y un radio perpendicular a ; se

prolonga a cada lado y en el exterior de la circunferencia en longitudes iguales

; se trazan y que cortan a la circunferencia en y . Probar que:

16 En un inscrito en una circunferencia se trazan las bisectrices de los ángulos

y que se cortan en y cortan a la circunferencia en y . Demostrar

es isósceles.

17 Dadas, ,

( , ) y ( , )C O r C O r tangentes exteriores en A , se traza DB tangente

común a ellas con D sobre la ( , )C O r y B sobre la , ,

( , )C O r . Demostrar

que . (Sugerencia: trace una tangente común por ).

18 Demostrar que el radio de la circunferencia inscrita en un triángulo equilátero es

un tercio de la altura del triángulo.

19 Probar que la suma de las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo es

igual a la suma de las medidas de la hipotenusa y el diámetro de la circunferencia

inscrita.

20 Se tienen dos circunferencias tangentes interiores en A, demostrar que si se

traza en la mayor una cuerda BC tangente a la menor en D, la recta AD es

bisectriz del .

AC BD AD BC


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