circunferencia ok
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Se conoce como circunferencia de los nueve puntos a la circunferencia asociada a cada
triángulo. Su nombre deriva del hecho que la circunferencia pasa por nueve puntos notables, seis de ellos sobre el mismo triángulo (salvo que
el triángulo sea obtusángulo). Estos son:el punto medio de cada lado del triángulo,
los pies de las alturas, ylos puntos medios de los segmentos determinados por el ortocentro y los vértices del triángulo.Al círculo de los nueve puntos se le conoce
también entre otros como círculo de Feuerbach, círculo de Euler, círculo de los seis puntos o
círculo medio inscrito
Circunferencia de las 9 puntas
MOTIVACION :
Historia de la
circunferencia de los
nueve puntos
Generalmente,[1] se adjudica a Karl Wilhelm Feuerbach el descubrimiento de la circunferencia de los nueve puntos; sin embargo, lo que Feuerbach descubrió fue la circunferencia
de los seis puntos, reconociendo que sobre ella se encuentran los puntos medios de los lados de un triángulo y los pies de las alturas del triángulo (en la figura, los puntos: M N P y E
G J).Anteriormente, Charles Brianchon y Jean-Victor Poncelethabían demostrado su existencia. Poco tiempo después de
Feuerbach, Olry Terquem también demostró la existencia del círculo y reconoció además que los puntos medios de los
segmentos determinados por los vértices del triángulo y el ortocentro, también están contenidos en la circunferencia
(en la figura, los puntos: D F H).
LECTURA :
CIRCUNFERENCIA.- Es un lugar geométrico
de un conjunto de infinitos puntos que
equidistan de un punto situado en el centro.
Elementos
Puntos y rectas en una circunferencia
Posiciones relativas a
dos circunferencias
El número PI
Longitud de la circunferencia
Elementos de la circunferencia
centro
ELEMENTOS DE LA
CIRCUNFERENCIA
1:Centro.- el punto interior equidistante
de todos los puntos
de la
circunferencia;
2:Radio.- el segmento que une
el centro con un
punto cualquiera de
la circunferencia;
3:Diámetro.-, el mayor segmento
que une dos puntos
de la circunferencia
(necesariamente
pasa por el centro);
7:Cuerda.-segmento que
une dos puntos
de la
circunferencia; (
cuerda máxima
el diámetro)
6:Recta
secante.- la que corta a la
circunferencia
en dos puntos;
5.Punto de
tangencia, el de contacto de la
recta tangente
con la
circunferencia;
4:Recta tangente.-, la que toca a la
circunferencia en
un sólo punto
8:Fecha o sagita: segmento
perpendicular
entre la cuerda y
su arco
10:
Semicircunferencia, cada uno de los
dos arcos
delimitados por los
extremos de un diámetro
9:Arco.-, el segmento
curvilíneo de
puntos
pertenecientes a
la circunferencia
ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA
A B
Recta
tangente
Recta
secante
Flecha o
sagita
Diámetro
AB( )
Centro
T
Punto de tangencia
Q
P
Radio
Arco BQ
Cuerda PQ
PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
01.-Radio trazado al punto de tangencia es
perpendicular a la recta tangente.
LR
02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda
la biseca (divide en dos segmentos congruentes).
P
Q
MQ PM PQ R
03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes
entre las paralelas.
A B
C D
mBDmAC CD // AB :Si
04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia
les corresponden arcos congruentes.
A
B
C
D
Cuerdas congruentesArcos congruentes
Las cuerdas
equidistan del
centro
mCD mAB CD AB:Si
POSICIONES RELATIVAS DE DOS
CIRCUNFERENCIAS
01.- CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICAS.- Tienen el mismo centro.
r
d = Cero ; d : distancia
Distancia entre
los centros (d)
02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en común.
d > R + r
R r
d = R + r
03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Un
punto común que es la de tangencia.
R r
Punto de tangencia
Distancia entre
los centros (d)
d
d = R - r
04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen un
punto en común que es la de tangencia.
d: Distancia entre los centros
R
r
Punto de
tangencia
05.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunes
que son las intersecciones.
( R – r ) < d < ( R + r )
Distancia entre
los centros (d)
06.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios son
perpendiculares en el punto de intersección.
d2 = R2 + r2
Distancia entre
los centros (d)
06.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos comunes.
d
d < R - r d: Distancia entre los centros
1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede
trazar dos rayos tangentes que determinan dos
segmentos congruentes.
PROPIEDADES DE LAS TANGENTES
AP = PB
A
B
P
R
R
2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son congruentes
AB = CD
A
B
R
R
r
r P
3.- TANGENTES COMUNES INTERIORES.- Son congruentes.
AB = CD
A
B
C
D
M
TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo rectángulo, la suma
de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa
mas el doble del inradio.
a + b = c + 2r
a
b
c
r
Inradio
TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero circunscrito a una
circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados
opuestos son iguales.
a + c = b + d
d
a
b
c
Cuadrilátero circunscrito
El Teorema de Steiner :
En todo cuadrilátero ex-inscrito la diferencia de dos lados opuestos
es igual a la diferencia de los otros dos.
a - c = b - d
Regresar
a
bc
d
r
a - c = b - d
El círculo
SemicírculoCírculo
1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.- Es igual a la
medida del arco que se opone.
A
B
C
r
r
= mAB
A
C
B
D
2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a la
semisuma de las medidas de los arcos
opuestos
2
mCDmAB
A
B
C
3.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.- Es la mitad de la medida
del arco opuesto.
2
mAB
4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO.- Es igual al medida
del arco opuesto.
A
B
C
2
mAB
A
BC
2
mABC
1.- MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO.- Es igual a la mitad de
la medida del arco ABC.
A
B
C O
6.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos:
a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es
igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos
opuestos.
+ mAB = 180°
2
mAB - mACB
A
B
C
O
D
b.- Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a la
semidiferencia de la medida de los arcos opuestos.
2
mCD-mAB
A
B
C
O
c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra
secante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los
arcos opuestos.
2
mBC - mAB
50°70º+x
XR
S
Q
140°
2X
X + (X+70) + 50° = 180°
X = 30°
Por ángulo semi-inscrito PQS
Problema Nº 01
RESOLUCIÓN
P
xº702
x2º140PQSm
Reemplazando:
En el triángulo PQS:
Resolviendo la ecuación:
PSQ = x
Se traza la cuerda SQ 2
mQRSPQSm
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se
trazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco RS
mide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule la
medida del ángulo PSQ.
20°
70°
X
X = 40°R
Q
En el triángulo rectángulo RHS
140° Es propiedad, que:
140° + X = 180°
Por ángulo inscrito
Problema Nº 02
RESOLUCIÓN
P
S
m S = 70º
Resolviendo:
PSQ = x
2
mQRº70 mQR = 140°
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se
trazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arco
QR se ubica un punto “S”, se traza RH perpendicular
a la cuerda QS, si m HRS=20º; calcule la m QPR.
x
130°
A
C
B
DX = 40°
2
50 130X50°
Problema Nº 03
RESOLUCIÓN
PResolviendo:
APD = xMedida del ángulo interior
Medida del ángulo exterior
902
mBC130mBC = 50°
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se
trazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas AC
y BD sean perpendiculares entre sí; calcule la medida
del ángulo APD, si el arco AD mide 130º.
x
X = 18°
2
X 54X
M
N
54°
xx
Problema Nº 04
RESOLUCIÓN
PAB
APN = xSe traza el radio OM:
o
Dato: OM(radio) = PM
Luego triángulo PMO es isósceles
Ángulo central igual al arco
Medida del ángulo exterior
Resolviendo:
En una circunferencia, el diámetro AB se prolonga
hasta un punto “P”, desde el cual se traza un rayo
secante PMN tal que la longitud de PM sea igual al
radio, si el arco AN mide 54º. Calcule la m APN.
x
70°
Medida del ángulo inscrito:
X = 55°
2
110X
A
B
C
PQ
R
110°
Problema Nº 05
RESOLUCIÓN
PRQ = x
Por la propiedad del ángulo exterior
formado por dos tangentes:
Resolviendo:
70° + mPQ = 180° mPQ = 110°
En un triángulo ABC se inscribe una circunferencia
tangente a los lados AB, BC y AC en los puntos “P”,
“Q” y “R” respectivamente, si el ángulo ABC mide
70º. Calcule la m PRQ.
Calcule la medida del ángulo “X”.
Problema Nº 06
70°
B
A
X P
Resolución
RESOLUCIÓN
Por la propiedad del ángulo exterior
formado por dos tangentes:
Medida del ángulo inscrito:
70°
B
A
X P
C140º
140º + x = 180º Resolviendo: X = 40º
2
mABº70 mAB=140º
Calcular la medida del ángulo “x”
Problema Nº 07
B
A
X P130º
Resolución
RESOLUCIÓN
B
A
X P130º C
Medida del ángulo inscrito:
En la circunferencia:
260º
Por la propiedad del ángulo exterior
formado por dos tangentes:X = 80º
2
mABº130 mAB = 260º
mACB = 100º
mACB + x = 100º
260º + mACB = 360º
X
PLANTEAMIENTO
Q
R
S
80º Pa
a
Problema Nº 08
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS de modo que los arcos SQ y SR sean congruentes. Si el arco QR mide 80º, calcular m QPR .
Resolución
2a + 80º = 360º
a = 140º
Medida del ángulo exterior:
Xa 80
2
140 80
2
º º ºX = 30º
En la circunferencia:
RESOLUCIÓN
X
Q
R
S
80º Pa
a
Calcule el perímetro del triángulo ABC.
Problema Nº 09
2
5 5
A
B
C
Resolución
Teorema de Poncelet: a + b = 10 + 2(2)
Luego el perímetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10
(2p) = 24
RESOLUCIÓN
2
5 5A
B
C
a b
a + b = 14 (1)
(2)
Reemplazando (1) en (2) (2p) = 14 + 10
P
Q
R
S
2
3
PLANTEAMIENTO
Problema Nº 10
En un cuadrilátero ABCD m Q = m S = 90º se traza
la diagonal PR. Los inradios de los triángulos PQR y
PRS miden 3cm y 2cm respectivamente. Si el
perímetro del cuadrilátero PQRS es 22cm. Calcule la
longitud de PR
Resolución
Teorema de Poncelet:
a b
c
d
PQR a + b = PR+2(3) +
a +b + c + d = 2PR + 10
PR = 6cm
Dato:
a + b + c + d = 22cm
PSR c + d = PR+2(2)
22 = 2PR + 10
RESOLUCIÓN
P
Q
R
S
2
3