Cintica de las partculas: Compilacin de mtodos.Estrategias para la solucin de problemas

Si se toma en cuenta que tanto los mtodos de la energa como los de la cantidad de movimiento, disponibles para la solucin de problemas en cintica de las partculas, fueron obtenidos a partir de la segunda ley de Newton del movimiento, se concluye que puede existir ms de una manera de resolver un problema particular. En este captulo se repasan y comparan los diferentes mtodos y se analiza el procedimiento para la seleccin del mejor mtodo para resolver un problema particular.

GENERALIDADES

En los tres captulos previos todos los problemas al final de una seccin fueron resueltos utilizando el mtodo presentado en esa seccin. En este captulo los problemas que requieren la utilizacin de diferentes mtodos aparecen sin orden determinado a travs del captulo, de tal manera que el estudiante obtenga un criterio para seleccionar el mtodo ms eficiente. Muchos problemas comprenden diferentes pasos para los cuales slo un mtodo de solucin es el correcto. Entender la mejor estrategia para la solucin de estos problemas es importante en el desarrollo de ingenieros calificados.

OBJETIVOS DEL ESTUDIORESUMEN DEL ANLISIS DE LA CINTICA DE PARTCULAS

Segunda Ley de Newton

El principio fundamental de la cintica es la segunda ley de Newton del movimiento. Para una partcula;

La segunda ley de Newton se utiliza en todos los problemas donde se requiera el anlisis de las aceleraciones. Otros mtodos estn basados en esta ecuacin y son desarrollados por conveniencia en la solucin de problemas en los cuales otras variables como la velocidad, el desplazamiento y el tiempo son el punto principal de inters.

Mtodos de la energa

Los mtodos de la energa son empleados cuando el problema requiere un anlisis de las fuerzas relacionadas con cambios de velocidades y desplazamientos, sin una evaluacin de las aceleraciones. El principio del trabajo y la energa debe ser utilizado cuando el problema incluye fuerzas no conservativas tal como la friccin. La ecuacin de la conservacin de la energa es utilizada frecuentemente cuando las fuerzas que intervienen son debidas a la gravedad o a resortes.

Mtodos de la cantidad de movimiento

Cuando un problema implica un cambio en velocidad debido a la aplicacin de fuerzas externas sobre una masa durante un intervalo de tiempo, la ecuacin del principio del impulso y la cantidad de movimiento es frecuentemente la ms eficiente. Si ninguna fuerza externa acta sobre la partcula, o si la nica fuerza que acta sobre dos partculas es una fuerza mutua entre ellas, la ecuacin de la conservacin de la cantidad de movimiento lineal es utilizada. La conservacin de la cantidad de movimiento lineal, conjuntamente con la ecuacin del coeficiente de restitucin, es el nico mtodo prctico para emplearse en problemas de impacto en los que interviene una colisin entre dos cuerpos.

Cuando las nicas fuerzas que actan sobre una partcula intersec-tan un eje o son paralelas a ese eje, la ecuacin de la conservacin de la cantidad de movimiento angular con respecto a ese eje es utilizada. En problemas de movimiento en un plano, el eje es un punto alrededor de! cual se conserva la cantidad de movimiento angular. El movimiento baje la accin de una fuerza central, tal como es el movimiento de los satlites y planetas en rbita, se analiza ms efectivamente utilizando el principie de la conservacin de la cantidad de movimiento angular. En la figura 16-1 se resumen los diferentes mtodos.

FIGURA 16-1 Tabla de ecuaciones para os mtodos de cintica

La rampa de una torre para competencias de esqu tiene la forma de un arco circular como se muestra en la figura 16-2. Los competidores inician su movimiento desde el reposo en e! punto A y se lanzan al aire en el punto B. Calcule la velocidad del salto v si r = 60 m y 6 = 40 para un competidor de peso W. Suponga que en la rampa no hay friccin.

MTODOS DE SOLUCIN

La cantidad desconocida en este problema es la velocidad, y las cantidades conocidas son la fuerza de la gravedad y la distancia recorrida. Para la solucin dos mtodos estn disponibles: (1) la velocidad puede calcularse integrando la aceleracin tangencial obtenida por medio de un anlisis cintico, y (2) la velocidad puede calcularse directamente por el mtodo del trabajo y la energa. A continuacin se describen los dos mtodos para fines de comparacin.

SOLUCIN POR EL MTODO DE CINTICA Y CINEMTICA

El diagrama de cuerpo libre del competidor se muestra en la figura 16-2b. Sumando fuerzas en la direccin tangencial para una posicin general se obtiene:

Ntese que esta aceleracin es independiente del peso del competidor. Utilizando la ecuacin 12-12 se obtiene:

Separando variables, resulta:

Un problema surge aqu debido a que no se conoce cmo 6 vara con el tiempo, de tal manera que la ecuacin no puede ser integrada. Sin embargo, ya que la trayectoria es circular, las direcciones tangencial y transversa] son iguales. Utilizando componentes transversales de la ecuacin 12-22 se obtiene:

Para tomar en cuenta la separacin de las variables se aplica la regla de la cadena al lado derecho de esta ecuacin, esto es:

Integrando, resulta:

Las condiciones iniciales requieren que w = O para 6 = 0. Por lo tanto:

De la ecuacin 12-14 se obtiene:

SOLUCIN POR EL MTODO DEL TRABAJO Y LA ENERGA

Utilizando la figura 16-2c y la ecuacin 14-15, /12 = T2 - 7\. Puesto que el competidor inicia su movimiento desde el reposo, T\ = jmv] = 0. El trabajo hecho sobre el competidor es el trabajo efectuado por la gravedad, U12 = Wh = mgh, el cual es positivo de acuerdo con el diagrama de cuerpo libre de la figura 14-4. La energa cintica final es T2 - \mo\. Por lo tanto:

que concuerda con el resultado anterior. Ntese que la ecuacin 14-15 permiti una solucin mucho ms rpida.

CONSIDERACIN DE LOS MTODOS Y SUGERENCIAS

Es obvio del anlisis anterior que el mtodo del trabajo y la energa es el ms eficiente. Cuando los problemas incluyen un cambio en velocidad, fuerzas y desplazamientos, el mtodo del trabajo y la energa deber siempre utilizarse primero. Sin embargo, en casos donde la fuerza no es constante o no es funcin del desplazamiento, el mtodo de la cintica y la cinemtica debe ser utilizado. En general, uno debe empezar leyendo cuidadosamente el enunciado del problema buscando indicios de estas circunstancias.

EJEMPLO 16-2

Un automvil de peso W desliza hacia abajo en una pendiente, llegando al reposo en el punto B (Fig. 16-3a). La velocidad del automvil en el punto A es rfl y el coeficiente de friccin cintica n es constante en toda la distancia recorrida. Calcule: (a) el tiempo is requerido para que el automvil deslice hasta el reposo, y (b) la distancia D recorrida por el automvil antes de detener su movimiento. (Grficas basadas en esta ecuacin para la distancia D son tiles para la polica en la investigacin de un accidente).

(a) SOLUCIN POR EL MTODO DE CINTICA Y CINEMTICA: El diagrama de cuerpo libre del automvil se muestra en la figura 16-3b. Utilizando la ecuacin 13-5b se obtiene:

MTODO DEL IMPULSO Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO: Puesto que est problema comprende velocidad, fuerzas y tiempo, el mtodo del impulso y la can tidad de movimiento es tambin vlido. Utilizando el diagrama de cuerpo libre d la figura 16-3b y la ecuacin 15-23 para la componente de la velocidad normal a 1 pendiente, se obtiene:

Ntese que la ecuacin Fy = m = O con la que se obtuvo la ecuacin (a), pe dra haber sido utilizada aqu tambin. Esto implica que en casos especiales como ste, uno puede mezclar los mtodos para simplificar la solucin. Para la componente de la velocidadparalela a la pendiente se obtiene:

Puesto que el integrando es constante:

Por lo tanto:

FIGURA 16-3Anlisis del movimiento de un automvil utilizando mtodos alternos

Ntese que ts es independiente de W, y que ts es mayor para el deslizamiento hasta el reposo hacia abajo (sen > 0) que para el desplazamiento hacia arriba (sen < 0).

(b) SOLUCON POR EL MTODO DE CINTICA Y CINEMTICA: cuando el automvil se detiene en t = ts = D. Puesto que x = v dt + C2 :

Sustituyendo la ecuacin (d) para t, en la ecuacin (e), resulta:

Solucin alterna: El enunciado de la parte (b) busca una relacin entre "cambio en posicin" y "cambio en velocidad" para la cual la forma a = v(dv/dx) es frecuentemente preferible a la relacin a - dv/d. Esta ltima es ms adecuada para relacionar un "cambio en velocidad" con el tiempo. Utilizando la ecuacin (c) anterior se obtiene:

Ntese que D es tambin independiente del peso W, y que para una velocidad inicial dada vo el deslizamiento es mayor hacia abajo (sen > 0) que hacia arriba (sen < 0), como se poda esperar por experiencia propia.

MTODO DEL TRABAJO Y LA ENERGA: Desde A hasta B el trabajo es realizado por el peso W y por la friccin F = uN. La fuerza normal N no realiza trabajo debido a que es perpendicular al desplazamiento. Utilizando la ecuacin 14-15 se obtiene.

Resolviendo para D se obtiene:

Ntese que la solucin por el mtodo del trabajo y la energa es muy similar a la "solucin alterna" anterior en la cual se utiliz a = u (dv/dx) en la integracin. Esto no es casualidad puesto que el mtodo del trabajo y la energa se obtuvo separando variables de una manera muy similar.

CONSIDERACIN DE LOS MTODOS

Ninguna de las partes de este problema requiri la determinacin de la aceleracin, y por esto el mtodo del trabajo y la energa y el de la cantidad de movimiento son ms directos. Puesto que el enunciado de la parte (a) del problema claramente pide relacionar un cambio en velocidad con un intervalo de tiempo, el mtodo del trabajo y la energa no sera adecuado, mientras que el mtodo del impulso y la cantidad de movimiento es el ms fcil de utilizar. De igual manera, el enunciado de la parte (b) pide relacionar un cambio en velocidad con un cambio en posicin, situacin en la cual el mtodo del trabajo y la energa es ideal. Ntese una vez ms que, leyendo cuidadosamente el enunciado del problema, uno puede rpidamente seleccionar el mtodo de solucin ms eficiente.

EJEMPLO 16-3

Un competidor de esqu de peso W inicia su movimiento desde el reposo en la cima de una colina y desliza con friccin despreciable hacia abajo (Fig. 16-4a). La forma de la parte superior de la colina desde A hasta Ces circular con un radio R (de 8 = 0 a 8 = 60). El competidor deja de hacer contacto con la colina en el punto B y se estrella en el suelo en el punto D. Despreciando la friccin y la resistencia del aire calcule: (a) la velocidad del competidor en una posicin general 9 antes de alcanzar el punto 5; (b) el ngulo 6B en el cual el competidor deja de tener contacto con la colina (punto B), y (c) la velocidad con la cual el competidor se estrella en el suelo en el punto D para una altura h - 60 ft.

SOLUCION

Las partes (a) y (c) de este problema piden que se determine la velocidad para un peso y desplazamiento dados, en consecuencia la seleccin ms lgica es el mtodo del trabajo y la energa. Del diagrama de cuerpo libre de la figura 16-4b, la fuerza normal no realiza trabajo y por lo tanto el principio de la conservacin de la energa rige. Sin embargo, la parte (b) requiere determinar el punto donde la fuerza normal vale cero. Puesto que la fuerza normal no est incluida en el anlisis del trabajo y la energa, en esta parte se deber utilizar la segunda ley de New-ton, donde la suma de fuerzas ms conveniente ser en la direccin normal al movimiento circular descrito. El anlisis del trabajo y la energa se acopla bien a una suma de fuerzas en la direccin normal, debido a que la aceleracin normal es funcin de la velocidad (la cual es comn a los dos mtodos).(a) Sea P la posicin genrica para un ngulo S dado. De la ecuacin 14-29, con la referencia en el punto A, se obtiene:

FIGURA 16-4

V = 2gR (1 COS ) para una posicin genrica

(b) Utilizando !a ecuacin 13-6a con el diagrama de cuerpo libre de la figura 16-4b, se obtiene:

Sustituyendo la ecuacin para v2 obtenida en la parte (a), resulta una expresin general de la magnitud de la fuerza normal N para cualquier posicin , esto es:

En la posicin S = 6B el competidor se lanza al aire, cesando el contacto de ste a colina, lo cual se representa con N = O, es decir:

(c) El principio de la conservacin de la energa tambin puede aplicarse desde el punto A hasta el punto D, esto es:

SUGERENCIA" 1Ntese que el principio de la conservacin de la energa podra haberse aplicado primero desde A hasta B para calcular la velocidad en B, y segundo, desde B hasta D para calcular la velocidad en D. Sin embargo requiere menos clculos s se trabaja con una sola etapa, como se hizo aqu, desde A hasta D.

SUGERENCIA* 2Ntese que en la parte (b) la fuerza normal se iguala a cero para obtener la solucin de la posicin lmite del contacto entre el competidor y la colina. En problemas de dinmica frecuentemente se encuentran casos de situaciones lmite como sta.

EJEMPLO 16-4

Una bala de masa igual a 0.07 kg se dispara a una velocidad n sobre una bolsa con arena de 10 kg (Fig. 16-5a). La bala se incrusta en la arena de la bolsa la cual est suspendida por medio de una cuerda sin masa. Para medir la velocidad de la bala se utiliza la mxima altura alcanzada hmf. Calcule la velocidad inicial v de la bala si el ngulo mximo de recorrido de la bolsa es = 25.

FIGURA 16-5

SOLUCIN

Considere este problema en dos fases:

FASE I: Durante el tiempo del impacto (medido desde el instante en que la bala golpea la bolsa hasta que se aloja en la arena) la conservacin de la cantidad de movimiento lineal es aplicable en la direccin horizontal, debido a que en esta direccin no existen fuerzas externas que acten sobre el "sistema" (Fig. 16-5b). Las fuerzas de impacto entre A y B son internas al sistema y son iguales y opuestas, por lo tanto:

En la ecuacin (a), vA2 = vB2 debido a que e = O (impacto perfectamente plstico para el cual la "velocidad relativa de separacin" es cero, pues la bala se queda alojada en la arena). De la ecuacin (a) se obtiene:

FASE II: Despus del impacto, el sistema, compuesto de la masa de la bolsa con arena ms la masa de la bala (Fig. 16-5b), inicia su movimiento de oscilacin con una velocidad vB2 hasta llegar al reposo en una posicin angular = 25 recorriendo un arco circular de 2 m de radio. El principio del trabajo y la energa es ideal para relacionar este "cambio en velocidad" con un "cambio en posicin". El nico trabajo realizado es el de los pesos movindose verticalmente hacia arriba una distancia hmx = 2 (1 cos 25). Utilizando la ecuacin 14-15 se obtiene:

Sustituyendo este resultado en la ecuacin (b) resulta:

SUGERENCIANtese que en la fase I de este problema, no slo se conserv la cantidad de movimiento lineal, sino que tambin se conserv la cantidad de movimiento angular alrededor del punto O. La cantidad de movimiento angular alrededor del punto O no se conserva en la fase II, debido a que el peso de la bala y la bolsa crea un momento alrededor del punto O.

EJEMPLO 16-5

El martillo A de un sistema de forja pesa 1000 Ib y se deja caer, estando inicial-mente en reposo, desde una altura de 2 ft sobre un yunque B que pesa 8000 Ib (Fig. 16-6a). El yunque B est soportado por un sistema de resortes con una rigidez combinada k = 20,000 Ib/ft. El coeficiente de restitucin entre el martillo y el yunque es e = 0.5. Calcule la altura h a la cual el martillo A rebota despus del impacto con el yunque B y la mxima deflexin y de los resortes.

SOLUCIN

Como este problema comprende un impacto entre dos cuerpos, el nico mtodo prctico para resolverlo es el del impulso y la cantidad de movimiento, conjuntamente con la ecuacin del coeficiente de restitucin. Durante la colisin se pierde energa debido a ondas elsticas y sonoras y al calor generado. Sin embargo, para los movimientos previo y posterior al impacto, nicamente estn en juego las fuerzas de la gravedad y de los resortes, y slo se necesita calcular velocidades, de tal manera que es ideal utilizar el mtodo del trabajo y la energa con la ecuacin de la conservacin de la energa. Este problema se analiza ms fcilmente si se identifican tres fases del movimiento: (I) antes del impacto, (II) durante el impacto, y (III) despus del impacto, esto es:

FIGURA 16-6

FASE I: Utilizando T1 + V1 = T2 + V2 durante la cada libre del martillo A, es decir:

FASE II: Utilice (a) la conservacin de la cantidad de movimiento lineal durante el tiempo de impacto t, con (b) la definicin del coeficiente de restitucin, esto es:

Resolviendo las ecuaciones (a) y (b) se obtiene:

FASE III: Utilice T1 + V1 = T2 + V2 para calcular la altura h del rebote de A y la mxima compresin y que ejerce el yunque B sobre los resortes despus del impacto, es decir:

EJEMPLO 16-6

El acrbata de circo de 96.6 Ib mostrado est colgado de sus tobillos en el extremo de una cuerda que est soportada por un eslabn giratorio (puede girar alrededor del eje vertical y) en el punto O. Inicialmente el acrbata se mueve en una trayectoria circular de 5 ft de radio y la longitud de la cuerda es de 30 ft medida desde el punto O, con una velocidad inicial i;, como se muestra en la figura 16-7a. Cuando esto est sucediendo, el ayudante del acrbata tira de la parte de la cuerda OP muy gradualmente provocando que el ngulo aumente desde el valor 1 hasta un nuevo valor igual a 30, de tal manera que el acrbata se mueve en una nueva trayectoria circular de radio r2, a una velocidad v2 con un ngulo de la cuerda de 30. Calcule: (a) la velocidad v1 y la tensin de la cuerda T1 para el movimiento inicial, y (b) el radio r2, la velocidad v2 y la tensin de la cuerda T2 para la trayectoria circular final del acrbata.

SOLUCIN

Por inspeccin del diagrama de cuerpo libre de la figura 16-7b, las fuerzas sobre el acrbata o intersectan o son paralelas al eje y. Por lo tanto, en todo el movimiento, la cantidad de movimiento angular del acrbata alrededor del eje y se conserva. Para la configuracin 1 y la configuracin 2 se obtiene:

FIGURA 16-7Acrbata de circoEn esta ecuacin se tienen tres incgnitas, por lo tanto se requieren dos ecuaciones ms para poder obtener la solucin. Puesto que se puede suponer que el acrbata se mueve en un movimiento circular en cada configuracin, una suma de fuerzas en la direccin normal al movimiento involucrar tambin el radio r y la velocidad v (es decir, no se aaden ms incgnitas). Del diagrama de cuerpo libre de la figura 16-7b se obtiene:

SUGERENCIA

Esle ejemplo es tpico de los problemas de pndulos cnicos (movimiento circular en un plano horizontal) para los cuales se conserva la cantidad de movimiento angular. Ntese que para calcular las fuerzas en tales problemas, se requiere establecer sumas de fuerzas en las direcciones normal y vertical.PROBLEMAS

16.1 En el diseo del juego mecnico de la figura, el ingeniero quiere que la altura h sea lo suficientemente grande para que el carro ejerza una fuerza hacia arriba sobre los rieles de 5000 N cuando se encuentre en el punto B en el extremo superior del bucle. Despreciando la friccin, calcule la altura h requerida si e radio del bucle es r = 10 m y la masa del carro y los pasajeros es de 500 kg. El carro inicia su movimiento desde el reposo en el punto A.

16.2 Las cajas A y B pesan cada una 64.4 Ib y el coeficiente de restitucin entre ellas es e = 0.6, La caja B est en reposo y en contacto con el resorte mostrado, el cual no est deformado inicial-mente. La constante del resorte es k = 600 Ib/ft. La caja A inicia su movimiento desde el reposo y desliza bajando por la rampa sin friccin hasta golpear la caja B. Calcule la mxima deformacin del resorte inmediatamente despus del impacto.

16.3 Un dispositivo sencillo para medir la velocidad de lanzamiento de pelotas u otros proyectiles se conoce como un pndulo balstico. Este dispositivo captura a pelota u objeto lanzado estando colgado y en reposo, y oscila junto con la pelota como se muestra. La masa del pndulo es de 30 kg y la masa de la pelota es de 0.5 kg. Calcule la velocidad inicial de la pelota si el pndulo oscila con sta hasta una altura h = 0.15 m. El peso de la barra es despreciable.

16.4 Se utiliza un sistema de masa y resorte para triturar el material en C por una carga de impacto en B. El peso de 161 Ib se libera desde el reposo en el punto A y es tirado por el resorte de rigidez k = 100 Ib/ft. La longitud sin deformacin del resorte es de 8 ft. Despreciando la friccin, calcule la fuerza normal ejercida sobre la flecha AB en el punto B justo antes del impacto.

16.5 Para reducir los costos de construccin, un ingeniero civil decide limpiar el terreno en la cima de una montaa (para evitar accidentes en la autopista de la figura) empujando las rocas para que caigan por os lados de la montaa. La mquina niveladora {bulldozer) que pesa 6440 Ib inicia su movimiento desde el reposo empujando una roca que pesa 644 Ib una distancia d desde el punto O hasta el punto A. En el punto A la mquina niveladora se detiene abruptamente y la roca contina su movimiento deslizando una distancia de 5 ft desde A hasta B. La mquina niveladora genera con el suelo una fuerza de traccin constante de 4000 Ib cuando est empujando la roca. Para la roca que desliza desde O hasta B el coeficiente de friccin es /t = 0.5. Calcule: (a) la distancia d que la roca debe ser empujada, y (b) la magnitud de la fuerza F ejercida por la mquina niveladora sobre la roca segn la mquina acelera desde O hasta A, para que la roca libre la autopista en el punto C.

16.6 Un gimnasta de 70 kg que efecta ejercicios en las argollas puede representarse como una partcula P. En = 60, l = 6 m y P no tiene velocidad. Suponga que en 6 = O el gimnasta aplica una gran fuerza para que repentinamente la longitud cambie a l = 5.5 m. Calcule la velocidad final de P en = 0.

16.7 En la clasificacin de esferas metlicas para rodamientos la altura de rebote h y la distancia horizontal d de la figura se miden electrnicamente. Calcule h y d para la colocacin aproximada de los sensores si la plancha de impacto est fija y el coeficiente de restitucin es e=0.75.

16.8 Un fabricante de pelotas de tenis las clasifica de acuerdo con sus caractersticas de rebote, como se muestra. Calcule la distancia del recorrido horizontal d si el coeficiente de restitucin con la raqueta fija es e = 0.5. Desprecie la friccin.

16.9 Resuelva el problema 16-8 utilizando e = 0.4, 0.5 y 0.6. Grafique d como funcin de e y explique la tendencia general observada.

16.10 En un parque de diversiones la gente puede saltar en paracadas el cual es guiado hasta el suelo por medio de unos cables verticales. Las personas aterrizan a una velocidad de 6 ft/s sobre una plataforma soportada por cuatro resortes. La rigidez de cada resorte es k = 7.5 Ib/in y la plataforma pesa 50 Ib. Cunto espacio deber permitirse para el desplazamiento vertical de la plataforma suponiendo que una persona de 250 Ib puede aterrizar sobre ella?

16.11 En un dispositivo mecnico de un parque de diversiones las personas viajan sentadas en compartimientos montados sobre brazos de longitud constante r = 6.5 m. Los brazos giran libremente a una velocidad angular uz = 2 rad/s cuando