estadistica - compilacion vitutor
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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
La Estadística trata del recuento, ordenación y clasificación de los datos
obtenidos por las observaciones, para poder hacer comparaciones y sacar conclusiones.
Un estudio estadístico consta de las siguientes fases:
Recogida de datos.
Organización y representación de datos.
Análisis de datos.
Obtención de conclusiones.
Conceptos de Estadística
Población
Una población es el conjunto de todos los elementos a los que se somete a un
estudio estadístico.
Individuo
Un individuo o unidad estadística es cada uno de los elementos que componen
la población.
Muestra
Una muestra es un conjunto representativo de la población de referencia, el
número de individuos de una muestra es menor que el de la población.
Muestreo
El muestreo es la reunión de datos que se desea estudiar, obtenidos de una
proporción reducida y representativa de la población.
Valor
Un valor es cada uno de los distintos resultados que se pueden obtener en un
estudio estadístico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos dos valores:
cara y cruz.
Dato
Un dato es cada uno de los valores que se ha obtenido al realizar un estudio
estadístico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos 5 datos: cara, cara,
cruz, cara, cruz.
Variables estadísticas
Una variable estadística es cada una de las características o cualidades que
poseen los individuos de una población .
Tipos de variable estadísticas
Variable cualitativa
Las variables cualitativas se refieren a características o
cualidades que no pueden ser medidas con números. Podemos distinguir dos tipos:
Variable cualitativa nominal
Una variable cualitativa nominal presenta modalidades no
numéricas que no admiten un criterio de orden . Por ejemplo:
El estado civil, con las siguientes modalidades: soltero, casado, separado,
divorciado y viudo.
Variable cualitativa ordinal o variable cuasicuantitativa
Una variable cualitativa ordinal presenta modalidades no númericas , en las
que existe un orden . Por ejemplo:
La nota en un examen: suspenso, aprobado, notable, sobresaliente.
Puesto conseguido en una prueba deportiva: 1º, 2º, 3º, ...
Medallas de una prueba deportiva: oro, plata, bronce.
Variable cuantitativa
Una variable cuantitativa es la que se expresa mediante un número, por tanto
se pueden realizar operaciones aritméticas con ella. Podemos distinguir dos tipos:
Variable discreta
Una variable discreta es aquella que toma valores aislados , es
decir no admite valores intermedios entre dos valores específicos. Por ejemplo:
El número de hermanos de 5 amigos: 2, 1, 0, 1, 3.
Variable continua
Una variable continua es aquella que puede tomar valores comprendidos
entre dos números . Por ejemplo:
La altura de los 5 amigos: 1.73, 1.82, 1.77, 1.69, 1.75.
En la práctica medimos la altura con dos decimales, pero también se podría dar
con tres decimales.
Distribución de frecuencias
Una distribución de frecuencias o tabla de frecuencias es
una ordenación en forma de tabla de los datos estadísticos , asignando a
cada dato su frecuencia correspondiente .
Tipos de frecuencia
Frecuencia absoluta
La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un
determinado valor en un estudio estadístico.
Se representa por f i.
La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, que
se representa por N.
Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la letra griega Σ (sigma
mayúscula) que se lee suma o sumatoria.
Frecuencia relativa
La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un
determinado valor y el número total de datos .
Se puede expresar en tantos por ciento y se representa por n i.
La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.
Frecuencia acumulada
La frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de todos
los valores inferiores o iguales al valor considerado.
Se representa por F i.
Frecuencia relativa acumulada
La frecuencia relativa acumulada es el cociente entre la frecuencia
acumulada de un determinado valor y el número total de datos . Se puede expresar
en tantos por ciento.
Ejemplo
Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes
temperaturas máximas:
32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29,
30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29.
En la primera columna de la tabla colocamos la variable ordenada de menor a
mayor, en la segunda hacemos el recuento y en la tercera anotamos la frecuencia
absoluta.
x i Recuento f i F i n i N i
27 I 1 1 0.032 0.032
28 II 2 3 0.065 0.097
29 6 9 0.194 0.290
30 7 16 0.226 0.516
31 8 24 0.258 0.774
32 III 3 27 0.097 0.871
33 III 3 30 0.097 0.968
34 I 1 31 0.032 1
31 1
Este tipo de tablas de frecuencias se utiliza con variables discretas .
Distribución de frecuencias agrupadas
La distribución de frecuencias agrupadas o tabla con datos agrupados se
emplea si las variables toman un número grande de valores o la variable es
continua .
Se agrupan los valores en intervalos que tengan la misma
amplitud denominados clases . A cada clase se le asigna su frecuencia
correspondiente .
Límites de la clase
Cada clase está delimitada por el límite inferior de la clase y el límite
superior de la clase .
Amplitud de la clase
La amplitud de la clase es la diferencia entre el límite superior e
inferior de la clase.
Marca de clase
La marca de clase es el punto medio de cada intervalo y es el valor que
representa a todo el intervalo para el cálculo de algunosparámetros .
Construcción de una tabla de datos agrupados
3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 43, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26,
20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.
1º se localizan los valores menor y mayor de la distribución. En este caso son 3 y
48.
2º Se restan y se busca un número entero un poco mayor que la diferencia y que
sea divisible por el número de intervalos de queramos poner.
Es conveniente que el número de intervalos oscile entre 6 y 15.
En este caso, 48 - 3 = 45, incrementamos el número hasta 50 : 5 = 10 intervalos.
Se forman los intervalos teniendo presente que el límite inferior de una clase
pertenece al intervalo, pero el límite superior no pertenece intervalo, se cuenta en el
siguiente intervalo.
c i f i F i n i N i
[0, 5) 2.5 1 1 0.025 0.025
[5, 10) 7.5 1 2 0.025 0.050
[10, 15) 12.5 3 5 0.075 0.125
[15, 20) 17.5 3 8 0.075 0.200
[20, 25) 22.5 3 11 0.075 0.2775
[25, 30) 27.5 6 17 0.150 0.425
[30, 35) 32.5 7 24 0.175 0.600
[35, 40) 37.5 10 34 0.250 0.850
[40, 45) 42.5 4 38 0.100 0.950
[45, 50) 47.5 2 40 0.050 1
40 1
Gráficas de estadística
Diagrama de sectores
Un diagrama de sectores se puede utilizar para todo tipo de variables, pero se
usa frecuentemente para las variables cualitativas .
Los datos se representan en un círculo , de modo que el ángulo de
cada sector es proporcional a la frecuencia absolutacorrespondiente.
El diagrama circular se construye con la ayuda de un transportador de ángulos.
Ejemplo
En una clase de 30 alumnos, 12 juegan a baloncesto, 3 practican la natación, 4
juegan al fútbol y el resto no practica ningún deporte.
Alumnos Ángulo
Baloncesto 12 144°
Natación 3 36°
Fútbol 9 108°
Sin deporte 6 72°
Total 30 360°
Diagrama de barras
Un diagrama de barras se utiliza para de presentar datos
cualitativos o datos cuantitativos de tipo discreto .
Se representan sobre unos ejes de coordenadas, en el eje de abscisas se
colocan los valores de la variable , y sobre el eje de ordenadas las frecuencias
absolutas o relativas o acumuladas .
Los datos se representan mediante barras de una altura proporcional a
la frecuencia .
Ejemplo
Un estudio hecho al conjunto de los 20 alumnos de una clase para determinar su
grupo sanguíneo ha dado el siguiente resultado:
Grupo sanguíneo
fi
A 6
B 4
AB 1
0 9
20
Histograma
Un histograma es una representación gráfica de una variable en forma
de barras.
Se utilizan para variables continuas o para variables discretas , con un gran
número de datos, y que se han agrupado en clases .
En el eje abscisas se construyen unos rectángulos que tienen por base la
amplitud del intervalo , y por altura, la frecuencia absoluta de cada intervalo .
La superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de
los valores representados.
Ejemplo
El peso de 65 personas adultas viene dado por la siguiente tabla:
c i f i F i
[50, 60) 55 8 8
[60, 70) 65 10 18
[70, 80) 75 16 34
[80, 90) 85 14 48
[90, 100) 95 10 58
[100, 110) 110 5 63
[110, 120) 115 2 65
65
Histograma de frecuencias acumuladas
Si se representan las frecuencias acumuladas de una tabla de datos
agrupados se obtiene el histograma de frecuencias acumuladas .
Histogramas con intervalos de amplitud diferente
Para costruir un histogramas con intervalo de amplitud diferente tenemos
que calcular las alturas de los rectángulos del histograma .
h i es la altura del intervalo
f i es la frecuencia del intervalo
a i es la amplitud del intervalo
Ejemplo
En la siguiente tabla se muestra las calificaciones (suspenso, aprobado, notable y
sobresaliente) obtenidas pr un grupo de 50 alumnos.
f i h i
[0, 5) 15 3
[5, 7) 20 10
[7, 9) 12 6
[9, 10) 3 3
50
Polígonos de frecuencia
Un polígono de frecuencias se forma uniendo los extremos de las barras de
un diagrama de barras mediante segmentos .
También se puede realizar trazando los puntos que representan
las frecuencias y uniéndolos mediante segmentos .
Ejemplo
Las temperaturas en un día de otoño de una ciudad han sufrido las siguientes
variaciones:
Hora Temperatura
6 7º
9 12°
12 14°
15 11°
18 12°
21 10°
24 8°
Polígonos de frecuencia para datos agrupados
Para construir el polígono de frecuencia se toma la marca de clase que
coincide con el punto medio de cada rectángulo de unhistograma .
Ejemplo
El peso de 65 personas adultas viene dado por la siguiente tabla:
c i f i F i
[50, 60) 55 8 8
[60, 70) 65 10 18
[70, 80) 75 16 34
[80, 90) 85 14 48
[90, 100) 95 10 58
[100, 110) 110 5 63
[110, 120) 115 2 65
65
Polígono de frecuencias acumuladas
Si se representan las frecuencias acumuladas de una tabla de datos
agrupados se obtiene el histograma de frecuencias acumuladas o su
correspondiente polígono .
Moda, mediana y media
La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta .
Se representa por Mo .
Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas .
Hallar la moda de la distribución:
2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 Mo= 4
Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa
frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal omultimodal , es decir,
tiene varias modas .
1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9Mo= 1, 5, 9
Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma
frecuencia , no hay moda.
2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9
Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima , la moda es
el promedio de las dos puntuaciones adyacentes.
0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8Mo = 4
Cálculo de la moda para datos agrupados
1º Todos los intervalos tienen la misma amplitud.
L i -1 es el límite inferior de la clase modal.
f i es la frecuencia absoluta de la clase modal.
f i - -1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la en clase modal.
f i -+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal.
a i es la amplitud de la clase.
También se utiliza otra fórmula de la moda que da un valor aproximado de
ésta:
Ejemplo
Calcular la moda de una distribución estadística que viene dada por la siguiente
tabla:
f i
[60, 63) 5
[63, 66) 18
[66, 69) 42
[69, 72) 27
[72, 75) 8
100
2º Los intervalos tienen amplitudes distintas.
En primer lugar tenemos que hallar las alturas.
La clase modal es la que tiene mayor altura.
La fórmula de la moda aproximada cuando existen distintas amplitudes es:
Mediana
Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos
están ordenados de menor a mayor .
La mediana se representa por Me .
La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas .
Cálculo de la mediana
1 Ordenamos los datos de menor a mayor .
2 Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación
central de la misma.
2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6Me= 5
3 Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es
la media entre las dos puntuaciones centrales .
7, 8, 9, 10, 11, 12Me= 9.5
Cálculo de la mediana para datos agrupados
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada l lega
hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas .
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre .
L i -1 es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
es la semisuma de las frecuencias absolutas.
F i -1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
a i es la amplitud de la clase.
La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos .
Ejemplo
Calcular la mediana de una distribución estadística que viene dada por la
siguiente tabla:
f i F i
[60, 63) 5 5
[63, 66) 18 23
[66, 69) 42 65
[69, 72) 27 92
[72, 75) 8 100
100
100 / 2 = 50
Clase modal: [66, 69)
Media aritmética
La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el
resultado entre el número total de datos.
es el símbolo de la media aritmética .
Ejemplo
Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.
Media aritmética para datos agrupados
Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de
la media es:
Ejercicio de media aritmética
En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones
que muestra la tabla. Calcula la puntuación media .
x i f i x i · f i
[10, 20) 15 1 15
[20, 30) 25 8 200
[30,40) 35 10 350
[40, 50) 45 9 405
[50, 60 55 8 440
[60,70) 65 4 260
[70, 80) 75 2 150
42 1 820
Propiedades de la media aritmética
1 La suma de las desviaciones de todas las puntuaciones de una distribución
respecto a la media de la misma igual a cero.
Las suma de las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12, 10 de su media
aritmética 7.6 es igual a 0:
8 − 7.6 + 3 − 7.6 + 5 − 7.6 + 12 − 7.6 + 10 − 7.6 =
= 0. 4 − 4.6 − 2.6 + 4. 4 + 2. 4 = 0
2 La media aritmética de los cuadrados de las desviaciones de los valores de
la variable con respecto a un número cualquiera se hace mínima cuando
dicho número coincide con la media aritmética .
3 Si a todos los valores de la variable se les suma un mismo número, la media
aritmética queda aumentada en dicho número.
4 Si todos los valores de la variable se multiplican por un
mismo número la media aritmética queda multiplicada por dichonúmero.
Observaciones sobre la media aritmética
1 La media se puede hallar sólo para variables cuantitativas .
2 La media es independiente de las amplitudes de los intervalos .
3 La media es muy sensible a las puntuaciones extremas . Si tenemos una
distribución con los siguientes pesos:
65 kg, 69kg , 65 kg, 72 kg, 66 kg, 75 kg, 70 kg, 110 kg.
La media es igual a 74 kg, que es una medida de centralización poco
representativa de la distribución.
4 La media no se puede calcular si hay un intervalo con una amplitud
indeterminada .
Cuartiles, deciles y percentiles
Cuartiles
Los cuartiles son los tres valores de la variable que dividen a
un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales .
Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al
75% de los datos.
Q2 coincide con la mediana .
Cálculo de los cuartiles
1 Ordenamos los datos de menor a mayor .
2 Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la
expresión .
Número impar de datos
2, 5, 3, 6, 7, 4, 9
Número par de datos
2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 9
Cálculo de los cuartiles para datos agrupados
En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en
la tabla de las frecuencias acumuladas .
Ejercicio de cuartiles
Calcular los cuartiles de la distribución de la tabla:
f i F i
[50, 60) 8 8
[60, 70) 10 18
[70, 80) 16 34
[80, 90) 14 48
[90, 100) 10 58
[100, 110) 5 63
[110, 120) 2 65
65
Cálculo del primer cuartil
Cálculo del segundo cuartil
Cálculo del tercer cuartil
Deciles
Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez
partes iguales .
Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%... y al 90% de los
datos.
D5 coincide con la mediana .
Cálculo de los deciles
En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en
la tabla de las frecuencias acumuladas.
Ejercicio de deciles
Calcular los deciles de la distribución de la tabla:
f i F i
[50, 60) 8 8
[60, 70) 10 18
[70, 80) 16 34
[80, 90) 14 48
[90, 100) 10 58
[100, 110) 5 63
[110, 120) 2 65
65
Cálculo del primer decil
Cálculo del segundo decil
Cálculo del tercer decil
Cálculo del cuarto decil
Cálculo del quinto decil
Cálculo del sexto decil
Cálculo del séptimo decil
Cálculo del octavo decil
Cálculo del noveno decil
Percentiles
Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100
partes iguales .
Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%... y al 99% de los
datos.
P50 coincide con la mediana .
Cálculo de los percentiles
En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra ,
en la tabla de las frecuencias acumuladas.
Ejercicio de percentiles
Calcular el percentil 35 y 60 de la distribución de la tabla:
f i F i
[50, 60) 8 8
[60, 70) 10 18
[70, 80) 16 34
[80, 90) 14 48
[90, 100) 10 58
[100, 110) 5 63
[110, 120) 2 65
65
Percentil 35
Percentil 60
Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión nos informan sobre cuánto se alejan del centro los
valores de la distribución.
Las medidas de dispersión son:
Rango o recorrido
El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una
distribución estadística.
Desviación media
La desviación respecto a la media es la diferencia entre cada valor de la
variable estadística y la media aritmética .
D i = x - x
La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las
desviaciones respecto a la media .
La desviación media se representa por
Ejemplo
Calcular la desviación media de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
Desviación media para datos agrupados
Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias , la expresión de
la desviación media es:
Ejemplo
Calcular la desviación media de la distribución:
x i f i x i · f i |x - x| |x - x| · f i
[10, 15) 12.5 3 37.5 9.286 27.858
[15, 20) 17.5 5 87.5 4.286 21.43
[20, 25) 22.5 7 157.5 0.714 4.998
[25, 30) 27.5 4 110 5.714 22.856
[30, 35) 32.5 2 65 10.174 21.428
21 457.5 98.57
Varianza
La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones
respecto a la media de una distribución estadística.
La varianza se representa por .
Varianza para datos agrupados
Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes
expresiones que son equivalentes a las anteriores.
Varianza para datos agrupados
Ejercicios de varianza
Calcular la varianza de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
Calcular la varianza de la distribución de la tabla:
x i f i x i · f i x i2 · f i
[10, 20) 15 1 15 225
[20, 30) 25 8 200 5000
[30,40) 35 10 350 12 250
[40, 50) 45 9 405 18 225
[50, 60 55 8 440 24 200
[60,70) 65 4 260 16 900
[70, 80) 75 2 150 11 250
42 1 820 88 050
Propiedades de la varianza
1 La varianza será siempre un valor positivo o cero , en el caso de que las
puntuaciones sean iguales.
2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la varianza no
varía.
3 Si todos los valores de la variable se multiplican por
un número la varianza queda multiplicada por el cuadrado de dichonúmero.
4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus
respectivas varianzas se puede calcular la varianza total .
Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:
Si las muestras tienen distinto tamaño:
Observaciones sobre la varianza
1 La varianza , al igual que la media, es un índice muy sensible a las
puntuaciones extremas.
2 En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar
la varianza .
3 La varianza no viene expresada en las mismas unidades que los datos, ya que
las desviaciones están elevadas al cuadrado.
Desviación típica
La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza .
Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de
desviación.
La desviación típica se representa por σ.
Desviación típica para datos agrupados
Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son
equivalentes a las anteriores.
Desviación típica para datos agrupados
Ejercicios de desviación típica
Calcular la desviación típica de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
Calcular la desviación típica de la distribución de la tabla:
x i f i x i · f i x i2 · f i
[10, 20) 15 1 15 225
[20, 30) 25 8 200 5000
[30,40) 35 10 350 12 250
[40, 50) 45 9 405 18 225
[50, 60) 55 8 440 24 200
[60,70) 65 4 260 16 900
[70, 80) 75 2 150 11 250
42 1 820 88 050
Propiedades de la desviación típica
1 La desviación típica será siempre un valor positivo o cero , en el caso de
que las puntuaciones sean iguales.
2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación
típica no varía .
3 Si todos los valores de la variable se multiplican por
un número la desviación típica queda multiplicada por dicho número.
4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus
respectivas desviaciones típicas se puede calcular ladesviación típica total .
Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:
Si las muestras tienen distinto tamaño:
Observaciones sobre la desviación típica
1 La desviación típica , al igual que la media y la varianza, es un índice muy
sensible a las puntuaciones extremas.
2 En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar
la desviación típica .
3 Cuanta más pequeña sea la desviación típica mayor será la concentración
de datos alrededor de la media.
Coeficiente de variación y puntuaciones típicas
Coeficiente de variación
El coeficiente de variación es la relación entre la desviación típica de una
muestra y su media.
El coeficiente de variación se suele expresar en porcentajes:
El coeficiente de variación permite comparar las dispersiones de dos
distribuciones distintas, siempre que sus medias sean positivas .
Se calcula para cada una de las distribuciones y los valores que se obtienen se
comparan entre sí.
La mayor dispersión corresponderá al valor del coeficiente de variación
mayor.
Ejercicio
Una distribución tiene x = 140 y σ = 28.28 y otra x = 150 y σ = 25. ¿Cuál de las
dos presenta mayor dispersión?
La primera distribución presenta mayor dispersión.
Puntuaciones típicasPuntuaciones diferenciales
Las puntuaciones diferenciales resultan de restarles a las puntuaciones
directas la media aritmética .
x i = X i − X
Puntuaciones típicas
Las puntuaciones típicas son el resultado de dividir las puntuaciones
diferenciales entre la desviación típica . Este proceso se llamatipificación .
Las puntuaciones típicas se representan por z.
Observaciones sobre puntuaciones típicas
La media aritmética de las puntuaciones típicas es 0.
La desviación típica de las puntuaciones típicas es 1.
Las puntuaciones típicas son adimensionales , es decir, son independientes de
las unidades utilizadas.
Las puntuaciones típicas se utilizan
para comparar las puntuaciones obtenidas en distintas distribuciones.
Ejemplo
En una clase hay 15 alumnos y 20 alumnas. El peso medio de los alumnos es 58.2
kg y el de las alumnas y 54.4 kg. Las desviaciones típicas de los dos grupos son,
respectivamente, 3.1 kg y 5.1 kg. El peso de José es de 70 kg y el de Ana es 65 kg.
¿Cuál de ellos puede, dentro del grupo de alumnos de su sexo, considerarse más
grueso?
José es más grueso respecto de su grupo el Pilar respecto al suyo.
DISTRIBUCIONES BIDEMENSIONALES
Covarianza
La covarianza se representa por sxy o σxy y viene dada por las expresiones.
Ejercicios
Cinco niños de 2, 3, 5, 7 y 8 años de edad pesan, respectivamente, 14, 20, 32, 42
y 44 kilos.
Hallar la covarianza .
x i y i x i ·y i x i2 y i
2
2 14 4 196 28
3 20 9 400 60
5 32 25 1 024 160
7 42 49 1 764 294
8 44 64 1 936 352
25 152 151 5 320 894
Se ha solicitado a un grupo de 50 individuos información sobre el número de
horas que dedican diariamente a dormir y ver la televisión. La clasificación de las
respuestas ha permitido elaborar la siente tabla:
Nº de horas dormidas (X) 6 7 8 9 10
Nº de horas de televisión (Y) 4 3 3 2 1
Frecuencias absolutas (f i) 3 16 20 10 1
Calcular la covarianza
x i y i f i x i · f i x i2 · f i y i · f i y i
2 · f i x i · y i · f i
6 4 3 18 108 12 48 72
7 3 16 112 784 48 144 336
8 3 20 160 1280 60 180 480
9 2 10 90 810 20 40 180
10 1 1 10 100 1 1 10
50 390 3082 141 413 1078
Correlación
La correlación trata de establecer la relación o dependencia que existe entre las
dos variables que intervienen en una distribución bidimensional .
Es decir, determinar si los cambios en una de las variables influyen en los
cambios de la otra. En caso de que suceda, diremos que las variables están
correlacionadas o que hay correlación entre ellas.
Coeficiente de correlación lineal
El coeficiente de correlación lineal se expresa mediante la letra r.
Propiedades
1. El coeficiente de correlación no varía al hacerlo la escala de medición.
Es decir, si expresamos la altura en metros o en centímetros el coeficiente de
correlación no varía.
2. El signo del coeficiente de correlación es el mismo que el de
la covarianza .
Si la covarianza es positiva, la correlación es directa.
Si la covarianza es negativa, la correlación es inversa.
Si la covarianza es nula, no existe correlación.
3. El coeficiente de correlación lineal es un número real comprendido entre
menos −1 y 1.
−1 ≤ r ≤ 1
4. Si el coeficiente de correlación lineal toma valores cercanos a −1 la
correlación es fuerte e inversa , y será tanto más fuerte cuanto más se aproxime r a
−1.
5. Si el coeficiente de correlación lineal toma valores cercanos a 1 la
correlación es fuerte y directa , y será tanto más fuerte cuanto más se aproxime r a 1.
6. Si el coeficiente de correlación lineal toma valores cercanos a 0, la
correlación es débil.
7. Si r = 1 ó −1, los puntos de la nube están sobre la recta creciente o
decreciente. Entre ambas variables hay dependencia funcional .
Ejercicios
Las estaturas y pesos de 10 jugadores de baloncesto de un equipo son:
Estatura (X) 186 189 190 192 193 193 198 201 203 205
Pesos (Y) 85 85 86 90 87 91 93 103 100 101
Calcular el coeficiente de correlación .
x i y i x i2 y i
2 x i ·y i
186 8534
596
7
225
15
810
189 8535
721
7
225
16
065
190 86 36 7 16
100 396 340
192 9036
864
8
100
17
280
193 8737
249
7
569
16
791
193 9137
249
8
28117563
198 9339
204
8
649
18
414
201 10340
401
10
609
20
703
203 10041
209
10
000
20
300
205 10142
025
10
201
20
705
1
950921
380
618
85
255
179
971
Correlación positiva muy fuerte .
Los valores de dos variables X e Y se distribuyen según la tabla siguiente:
Y/X 100 50 25
14 1 1 0
18 2 3 0
22 0 1 2
Obtener e interpretar el coeficiente de correlación lineal .
Convertimos la tabla de doble entrada en una tabla simple.
x i y i f i x i · f i x i2 · f i y i · f i y i
2 · f i
x i · y i ·
f i
100 14 1 10010
00014 196 1 400
100 18 2 20020
00036 648 3 600
50 14 1 50 2 500 14 196 700
50 18 3 150 7 500 54 972 2 700
50 22 1 50 2 500 22 484 1 100
25 22 2 50 1 250 44 968 1 100
10 60043
750184
3
46410 600
Es una correlación negativa débil .
Diagrama de dispersión
En las distribuciones bidimensionales a cada individuo le corresponden los
valores de dos variables, las representamos por el par (x i, y i).
Si representamos cada par de valores como las coordenadas de un punto, el
conjunto de todos ellos se llama nube de puntos odiagrama de dispersión .
Sobre la nube de puntos puede trazarse una recta que se ajuste a ellos lo mejor
posible, llamada recta de regresión .
Ejemplo
Las notas de 12 alumnos de una clase en Matemáticas y Física son las siguientes:
Matemáticas 2 3 4 4 5 6 6 7 7 8 10 10
Física 1 3 2 4 4 4 6 4 6 7 9 10
Diagrama de dispersión
1º Correlación directa
La recta correspondiente a la nube de puntos de la distribución es una recta
creciente.
2º Correlación inversa
La recta correspondiente a la nube de puntos de la distribución es una recta
decreciente.
3º Correlación nula
En este caso se dice que las variables son incorreladas y la nube de puntos tiene
una forma redondeada.
Grado de correlación
El grado de correlación indica la proximidad que hay entre los puntos de la
nube de puntos. Se pueden dar tres tipos:
1. Correlación fuerte
La correlación será fuerte cuanto más cerca estén los puntos de la recta.
2. Correlación débil
La correlación será débil cuanto más separados estén los puntos de la recta.
3. Correlación nula
Regresión lineal
Una recta de regresión es la que mejor se ajusta a la nube de puntos .
La recta de regresión pasa por el punto llamado centro de gravedad .
Recta de regresión de Y sobre X
La recta de regresión de Y sobre X se utiliza para estimar los valores de la Y a
partir de los de la X.
La pendiente de la recta es el cociente entre la covarianza y la varianza de la
variable X.
Recta de regresión de X sobre Y
La recta de regresión de X sobre Y se utiliza para estimar los valores de la X a
partir de los de la Y.
La pendiente de la recta es el cociente entre la covarianza y la varianza de la
variable Y.
Si la correlación es nula, r = 0, las rectas de regresión son perpendiculares entre
sí, y sus eucaciones son:
y =
x =
Ejemplo
Las notas de 12 alumnos de una clase en Matemáticas y Física son las siguientes:
Matemáticas 2 3 4 4 5 6 6 7 7 8 10 10
Física 1 3 2 4 4 4 6 4 6 7 9 10
Hallar las rectas de regresión y representarlas.
x i y i x i ·y i x i2 y i
2
2 1 2 4 1
3 3 9 9 9
4 2 8 16 4
4 4 16 16 16
5 4 20 25 16
6 4 24 36 16
6 6 36 36 36
7 4 28 49 16
7 6 42 49 36
8 7 56 64 49
10 9 90 100 81
10 10 100 100 100
72 60 431 504 380
1º Hallamos las medias ariméticas .
2º Calculamos la covarianza .
3º Calculamos las varianzas .
4ºRecta de regresión de Y sobre X.
4ºRecta de regresión de X sobre Y.
INFERENCIA ESTADÍSTICA
La Inferencia estadística estudia cómo sacar conclusiones generales para toda
la población a partir del estudio de una muestra, y el grado de fiabilidad o significación
de los resultados obtenidos.
Muestreo probabilístico
Consiste en elegir una muestra de una población al azar. Podemos distinguir
varios tipos de muestreo :
Muestreo aleatorio simple
Para obtener una muestra, se numeran los elementos de la población y se
seleccionan al azar los n elementos que contiene la muestra.
Muestreo aleatorio sistemático
Se elige un individuo al azar y a partir de él, a intervalos constantes, se eligen
los demás hasta completar la muestra.
Por ejemplo si tenemos una población formada por 100 elementos y queremos
extraer una muestra de 25 elementos, en primer lugar debemos establecer el intervalo
de selección que será igual a 100/25 = 4. A continuación elegimos el elemento de
arranque, tomando aleatoriamente un número entre el 1 y el 4, y a partir de él
obtenemos los restantes elementos de la muestra.
2, 6, 10, 14,..., 98
Muestreo aleatorio estratificado
Se divide la población en clases o estratos y se escoge, aleatoriamente, un
número de individuos de cada estrato proporcional al número de componentes de cada
estrato.
Ejemplo
En una fábrica que consta de 600 trabajadores queremos tomar una muestra de
20. Sabemos que hay 200 trabajadores en la sección A, 150 en la B, 150 en la C y 100
en la D.
Un muestreo puede hacerse con o sin reposición, y la población de partida puede
ser infinita o finita.
En todo nuestro estudio vamos a limitarnos a una población de partida
infinita o a muestreo con reposición .
Si consideremos todas las posibles muestras de tamaño n en una población, para
cada muestra podemos calcular un estadístico (media, desviación típica,
proporción, ...) que variará de una a otra.
Así obtenemos una distribución del estadístico que se llama distribución
muestral .
Intervalos característicos
P[Μ - K < X < Μ + K] = P
Hallar el intervalo característico de una distribución normal N(0, 1)
correspondiente a la probabilidad p = 0.9.
El nivel de confianza (p) se designa mediante 1 - α.
El nivel de significación se designa mediante α.
El valor crítico (k) como z α /2 .
P(Z>z α /2) = α/2 P[-z α/2 < z < z α /2] = 1- α
Valores críticos
1 - α α/2 z α /2
0.90 0.05 1.645
0.95 0.025 1.96
0.99 0.005 2.575
En una distribución N(μ, σ ) el intervalo característico correspondiente a una
probabilidad p = 1 - α es:
(μ - z α /2 · σ , μ + z α /2 · σ )
1 - α α/2 z α /2 Intervalos característicos
0.90 0.05 1.645 (μ - 1.645 · σ , μ + 1.645 · σ)
0.95 0.025 1.96 (μ - 1.96 · σ , μ + 1.96 · σ )
0.99 0.005 2.575 (μ - 2.575 · σ , μ + 2.575 · σ )
Teorema central del límite
Si una población tiene media μ y desviación típica σ, y tomamos muestras de
tamaño n (n>30, ó cualquier tamaño si la población es "normal"), las medias de estas
muestras siguen aproximadamente la distribución:
Consecuencias:
1.Permite averiguar la probabilidad de que la media de una muestra concreta
esté en un cierto intervalo.
2.Permite calcular la probabilidad de que la suma de los elementos de una
muestra esté, a priori, en un cierto intervalo.
3. Inferir la media de la población a partir de una muestra.
Ejemplo
Las bolsas de sal envasadas por una máquina tienen μ = 500 g y σ = 35 g. Las
bolsas se empaquetaron en cajas de 100 unidades.
1.Calcular la probabilidad de que la media de los pesos de las bolsas de un
paquete sea menor que 495 g.
2.Calcular la probabilidad de que una caja 100 de bolsas pese más de 51 kg.
Estimación estadística
Estimación de parámetros
Es el procedimiento utilizado para conocer las características de un parámetro
poblacional, a partir del conocimiento de la muestra.
Con una muestra aleatoria, de tamaño n, podemos efectuar una estimación de un
valor de un parámetro de la población; pero también necesitamos precisar un:
Intervalo de confianza
Se llama así a un intervalo en el que sabemos que está un parámetro, con un
nivel de confianza específico.
Nivel de confianza
Probabilidad de que el parámetro a estimar se encuentre en el intervalo de
confianza.
Error de estimación admisible
Que estará relacionado con el radio del intervalo de confianza.
Estimación de la media de una población
El intervalo de confianza , para la media de una población, con un nivel de
confianza de 1 − α , siendo x la media de una muestra de tamaño n y σ la desviación
típica de la población, es:
El error máximo de estimación es:
Cuanto mayor sea el tamaño de la muestra, n, menor es el error .
Cuanto mayor sea el nivel de confianza , 1-α, mayor es el error .
Tamaño de la muestra
Si aumentamos el nivel de confianza , aumenta el tamaño de la muestra .
Si disminuimos el error , tenemos que aumentar el tamaño de la muestra .
El tiempo que tardan las cajeras de un supermercado en cobrar a los clientes
sigue una ley normal con media desconocida y desviación típica 0,5 minutos. Para una
muestra aleatoria de 25 clientes se obtuvo un tiempo medio de 5,2 minutos.
1.Calcula el intervalo de confianza al nivel del 95% para el tiempo medio que se
tarda en cobrar a los clientes.
2. Indica el tamaño muestral necesario para estimar dicho tiempo medio con un
el error de ± 0,5 minutos y un nivel de confianza del 95%.
n ≥ 4
Estimación de una proporción
Si en una población , una determinada característica se presenta en una
proporción p, la proporción p' , de individuos con dicha característica en
las muestras de tamaño n, se distribuirán según:
Intervalo de confianza para una proporción
El error máximo de estimación es:
En una fábrica de componentes electrónicos, la proporción de componentes
finales defectuosos era del 20%. Tras una serie de operaciones e inversiones
destinadas a mejorar el rendimiento se analizó una muestra aleatoria de 500
componentes, encontrándose que 90 de ellos eran defectuosos. ¿Qué nivel de confianza
debe adoptarse para aceptar que el rendimiento no ha sufrido variaciones?
p = 0.2 q = 1 - p =0.8 p'= 90/ 500 = 0.18
E = 0.2 - 0.18 = 0.02
P (1 - zα /2 <1.12) = 0.86861 - 0.8686 = 0.1314
0.8686 - 0.1314 = 0.737
Nivel de confianza: 73.72%
Prueba de hipótesis
Un test estadístico es un procedimiento para, a partir de una muestra aleatoria
y significativa, extraer conclusiones que permitanaceptar o rechazar una
hipótesis previamente emitida sobre el valor de un parámetro desconocido de una
población.
La hipótesis emitida se designa por H0 y se llama HIPÓTESIS NULA.
La hipótesis contraria se designa por H1 y se llama HIPÓTESIS ALTERNATIVA .
Contrastes de hipótesis
1. Enunciar la hipótesis nula H0 y la alternativa H1.
Bilateral H0=k H1 ≠ k
Unilateral
H0≥ k H1 < k
H0 ≤k H1> k
2. A partir de un nivel de confianza 1 − α o el de significación α .
Determinar:
El valor zα/2 (bilaterales), o bien zα (unilaterales)
La zona de aceptación del parámetro muestral (x o p').
3. Calcular: x o p', a partir de la muestra.
4. Si el valor del parámetro muestral está dentro de la zona de la
aceptación, se acepta la hipótesis con un nivel de significación α. Si no, se
rechaza.
Contraste bilateral
Se presenta cuando la hipótesis nula es del tipo H0: μ = k (o bien H0: p = k) y la
hipótesis alternativa, por tanto, es del tipo H1: μ≠ k(o bien H1: p≠ k).
El nivel de significación α se concentra en dos partes (o colas) simétricas
respecto de la media.
La región de aceptación en este caso no es más que el correspondiente
intervalo de probabilidad para x o p', es decir:
o bien:
Se sabe que la desviación típica de las notas de cierto examen de Matemáticas
es 2,4. Para una muestra de 36 estudiantes se obtuvo una nota media de 5,6. ¿Sirven
estos datos para confirmar la hipótesis de que la nota media del examen fue de 6, con
un nivel de confianza del 95%?
1. Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:
H0 : μ = 6 La nota media no ha variado.
H1 : μ ≠ 6 La nota media ha variado.
2. Zona de aceptación
Para α = 0.05 , le corresponde un valor crítico: zα/2 = 1.96.
Determinamos el intervalo de confianza para la media:
(6-1,96 · 0,4 ; 6+1,96 · 0,4) = (5,22 ; 6,78)
3. Verificación.
Valor obtenido de la media de la muestra: 5,6 .
4. Decisión
Aceptamos la hipótesis nula H 0, con un nivel de significación del 5%.
Contraste unilateral
Caso 1
La hipótesis nula es del tipo H0: μ ≥ k (o bien H0: p ≥ k).
La hipótesis alternativa , por tanto, es del tipo H1: μ < k (o bien H1: p < k).
Valores críticos
1 − α α z α
0.90 0.10 1.28
0.95 0.05 1.645
0.99 0.01 2.33
El nivel de significación α se concentra en una parte o cola.
La región de aceptación en este caso será:
o bien:
Un sociólogo ha pronosticado, que en una determinada ciudad, el nivel de
abstención en las próximas elecciones será del 40% como mínimo. Se elige al azar una
muestra aleatoria de 200 individuos, con derecho a voto, 75 de los cuales estarían
dispuestos a votar. Determinar con un nivel de significación del 1%, si se puede admitir
el pronóstico.
1. Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:
H0 : μ ≥ 0.40 La abstención será como mínimo del 40%.
H1 : μ < 0.40 La abstención será como máximo del 40%;
2. Zona de aceptación
Para α = 0.01 , le corresponde un valor crítico: zα = 2.33.
Determinamos el intervalo de confianza para la media:
3.Verificación.
4.Decisión
Aceptamos la hipótesis nula H0. Podemos afirmar, con un nivel de significación
del 1%, que la La abstención será como mínimo del 40%.
Caso 2
La hipótesis nula es del tipo H0: μ ≤ k (o bien H0: p ≤ k).
La hipótesis alternativa, por tanto, es del tipo H1: μ > k (o bien H1: p > k).
El nivel de significación α se concentra en la otra parte o cola.
La región de aceptación en este caso será:
o bien:
Un informe indica que el precio medio del billete de avión entre Canarias y
Madrid es, como máximo, de 120 € con una desviación típica de 40 €. Se toma una
muestra de 100 viajeros y se obtiene que la media de los precios de sus billetes es de
128 €.
¿Se puede aceptar, con un nivel de significación igual a 0,1, la afirmación de
partida?
1. Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:
H0 : μ ≤ 120
H1 : μ > 120
2.Zona de aceptación
Para α = 0.1 , le corresponde un valor crítico: zα = 1.28 .
Determinamos el intervalo de confianza:
3. Verificación.
Valor obtenido de la media de la muestra: 128 € .
4. Decisión
No aceptamos la hipótesis nula H0. Con un nivel de significación del 10%.
Errores de tipo I y tipo II
Error de tipo I . Se comete cuando la hipótesis nula es verdadera y, como
consecuencia del contraste, se rechaza .
Error de tipo II. Se comete cuando la hipótesis nula es falsa y, como
consecuencia del contraste se acepta .
H0 Verdadera
Aceptar
Decisón correcta
Probabilidad = 1 − α
Rechazar
ERROR DE TIPO I
Probabilidad = α
La probabilidad de cometer Error de tipo I es el nivel de significación α.
La probabilidad de cometer Error de tipo II depende del verdadero valor del
parámetro. Se hace tanto menor cuanto mayor sea n .
PROBABILIDAD
Combinatoria
Factorial
Variaciones ordinarias
Las variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) son
los distintos grupos formados por n elementos de forma que:
No entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
Variaciones con repetición
Las variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n son los
distintos grupos formados por n elementos de manera que:
No entran todos los elementos si m > n. Sí pueden entrar todos los elementos si
m ≤ n
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
Permutaciones
Laspermutaciones de m elementos (m = n) son las diferentes agrupaciones
de esos m elementos de forma que:
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
Permutaciones circulares
Permutaciones con repetición
Permutaciones con repetición de m elementos donde el primer elemento se
repite a veces , el segundo b veces , el tercero cveces, ...(m = a + b + c + ... = n )
son los distintos grupos que pueden formarse con esos m elementos de forma que :
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
Combinaciones
Las combinaciones de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) son todas
las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que:
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
Combinaciones con repetición
Las combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n (m ≥
n), son los distintos grupos formados por n elementos de manera que:
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
Números combinatorios
Propiedades de los números combinatorios
1.
2.
3.
Ejercicios
¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de
butacas?
Sí entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.
¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos
de tres en tres?
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ?
m = 6 n = 3
Tenemos que separar el número en dos bloques:
El primer bloque, de un número, lo puede ocupar sólo uno de 5 dígitos porque un
número no comienza por cero (excepto los de las matriculas, los de la lotería y otros
casos particulares),
m = 5 n = 1
El segundo bloque, de dos números, lo puede ocupar cualquier dígito.
m = 6 n = 2
En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas
se pueden elegir cuatro botellas?
No entran todos los elementos. Sólo elije 4..
No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de
ron y 2 de anís.
Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo.
Con las cifras 1, 2 y 3, ¿cuántos números de cinco cifras pueden formarse?
¿Cuántos son pares?
Sí entran todos los elementos: 3 < 5
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
Si el número es par tan sólo puede terminar en 2.
Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 5
hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si:
1. Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.
2. Una mujer determinada debe pertenecer al comité.
3. Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.
Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se
pueden formar?
m = 9 a = 3 b = 4 c = 2 a + b + c = 9
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden
hacer que empiecen por vocal?
La palabra empieza por i u o seguida de las 4 letras restantes tomadas de 4 en 4.
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y dos diferentes
de química se colocan en un estante. De cuántas formas distintas es posible ordenarlos
si:
1. Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.
2.Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos.
Halla el número de capicúas de ocho cifras. ¿Cuántos capicúas hay de nueve
cifras?
Probabilidad
Ley de Laplace
Probabilidad de la unión de sucesos incompatibles
A B =
p(A B) = p(A) + p(B)
Probabilidad de la unión de sucesos compatibles
A B ≠
p(A B) = p(A) + p(B) − p(A B)
Probabilidad condicionada
Probabilidad de la intersección de sucesos independientes
p(A B) = p(A) · p(B)
Probabilidad de la intersección de sucesos dependientes
p(A B) = p(A) · p(B/A)
Probabilidad de la diferencia de sucesos
Teorema de la probabilidad total
p(B) = p(A1) · p(B/A1) + p(A2) · p(B/A2 ) + ... + p(An) · p(B/An )
Teorema de Bayes
0 ≤ p(A) ≤ 1
p(E) = 1
Ejercicios
Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un
número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.
Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide:
1La probabilidad de que salga el 7.
2La probabilidad de que el número obtenido sea par.
3La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres.
Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras,
¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? ¿Cuál es la probabilidad de
que no sea blanca?
Dos hermanos salen de casa. El primero mata un promedio de 2 piezas cada 5
disparos y el segundo una pieza cada 2 disparos. Si los dos disparan al mismo tiempo a
una misma pieza, ¿cuál es la probabilidad de que la maten?
La probabilidad de que un hombre viva 20 años es ¼ y la de que su mujer viva 20
años es 1/3. Se pide calcular la probabilidad:
1De que ambos vivan 20 años.
2De que el hombre viva 20 años y su mujer no.
3De que ambos mueran antes de los 20 años.
En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera
inglés o francés. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia inglés y el
resto francés. El 30% de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian
francés son chicos el 40%. El elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que
sea chica?
p(chica) = 0.9 · 0.7 + 0.1 · 0.6 = 0.69
De una baraja de 48 cartas se extrae simultáneamente dos de ellas. Calcular la
probabilidad de que:
1 Las dos sean copas.
2Al menos una sea copas.
3Una sea copa y la otra espada.
Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles
con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de
chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y
uno con problemas de chapa.
1 Hacer una tabla ordenando los datos anteriores.
2Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde.
3Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.
4Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda
por la mañana.
Un estudiante cuenta, para un examen con la ayuda de un despertador, el cual
consigue despertarlo en un 80% de los casos. Si oye el despertador, la probabilidad de
que realiza el examen es 0.9 y, en caso contrario, de 0.5.
1 Si va a realizar el examen, ¿cuál es la probabilidad de que haya oído el
despertador?
2Si no realiza el examen, ¿cuál es la probabilidad de que no haya oído el
despertador?
En una estantería hay 60 novelas y 20 libros de poesía. Una persona A elige un
libro al azar de la estantería y se lo lleva. A continuación otra persona B elige otro libro
al azar.
1 ¿Cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por B sea una novela?
2Si se sabe que B eligió una novela, ¿cuál es la probabilidad de que el libro
seleccionado por A sea de poesía?
Se supone que 25 de cada 100 hombres y 600 de cada 1000 mujeres usan gafas.
Si el número de mujeres es cuatro veces superior al de hombres, se pide la
probabilidad de encontrarnos:
1 Con una persona sin gafas.
2Con una mujer con gafas.
En una casa hay tres llaveros A, B y C; el primero con cinco llaves, el segundo
con siete y el tercero con ocho, de las que sólo una de cada llavero abre la puerta del
trastero. Se escoge a Lázaro llavero y, de él, una llave intenta abrir el trastero. Se
pide:
1 ¿Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave?
2¿Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el tercero y la llave no
abra?
3Y si la llave escogida es la correcta, ¿cuál será la probabilidad de que
pertenezca al primer llavero A?
Distribución binomial
Distribuciones discretasEsperanza matemática o media
Varianza
Desviación típica
0 ≤ p i ≤ 1
p1 + p2 + p3 + · · · + pn = Σ p i = 1
Distribución binomial
n es el número de pruebas.
k es el número de éxitos.
p es la probabilidad de éxito.
q es la probabilidad de fracaso.
El número combinatorio
Media
Varianza
Desviación típica
Ejercicios
La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el
80% de los lectores ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:
1. ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leido la novela 2 personas?
B(4, 0.8) p = 0.8 q = 0.2
2.¿Y cómo máximo 2?
Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que
disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una
persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de
que, transcurridos 30 años, vivan:
1. Las cinco personas.
B(5, 2/3) p = 2/3 q = 1/3
2.Al menos tres personas.
3.Exactamente dos personas.
Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco
está comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 números de
teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos?
B(10, 1/5)p = 1/5q = 4/5
La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10
veces ¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es
la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?
B(10, 1/4) p = 1/4q = 3/4
En unas pruebas de alcoholemia se ha observado que el 5% de los conductores
controlados dan positivo en la prueba y que el 10% de los conductores controlados no
llevan aprovechado el cinturón de seguridad. También se ha observado que las dos
infracciones son independientes.
Un guardia de tráfico para cinco conductores al azar. Si tenemos en cuenta que
el número de conductores es suficientemente importante como para estimar que la
proporción de infractores no varía al hacer la selección.
1. Determinar la probabilidad a de que exactamente tres conductores hayan
cometido alguna de las dos infracciones.
2. Determine la probabilidad de que al menos uno de los conductores
controlados haya cometido alguna de las dos infracciones.
La probabilidad de que un artículo producido por una fabrica sea defectuoso es p
= 0.02. Se envió un cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes. Hallar el
número esperado de artículos defectuosos, la varianza y la desviación típica.
En una urna hay 30 bolas, 10 rojas y el resto blancas. Se elige una bola al azar y
se anota si es roja; el proceso se repite, devolviendo la bola, 10 veces. Calcular la
media y la desviación típica.
B(10, 1/3) p = 1/3q = 2/3
Un laboratorio afirma que una droga causa de efectos secundarios en una
proporción de 3 de cada 100 pacientes. Para contrastar esta afirmación, otro
laboratorio elige al azar a 5 pacientes a los que aplica la droga. ¿Cuál es la
probabilidad de los siguientes sucesos?
1. Ningún paciente tenga efectos secundarios.
B(100, 0.03) p = 0.03 q = 0.97
2.Al menos dos tengan efectos secundarios.
3.¿Cuál es el número medio de pacientes que espera laboratorio que sufran
efectos secundarios si elige 100 pacientes al azar?
Distribución normal
Una distribución normal de media μ y desviación típica σ se designa
por N(μ, σ). Su gráfica es la campana de Gauss :
El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la
unidad.
Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a
la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha .
La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.
Distribución normal estándarN(0, 1)
La distribución normal estándar, o tipificada o reducida, es aquella que
tiene por media el valor cero, μ =0, y por desviación típica la unidad, σ =1 .
La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto
sombreado en la figura . Y para calcularla utilizaremos una tabla .
Tipificación de la variable
Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X que sigue una
distribución N(μ, σ) en otra variable Z que siga una distribución N(0, 1) .
Cálculo de probabiladades en distribuciones normales
La tabla nos da las probabilidades de P(z ≤ k) , siendo z la variable tipificada.
Estas probabilidades nos dan la función de distribución Φ(k).
Φ(k) = P(z ≤ k)
Búsqueda en la tabla de valor de k
Unidades y décimas en la columna de la izquierda.
Céntesimas en la fila de arriba.
P(Z ≤ a)
P(Z > a) = 1 - P(Z ≤ a)
P(Z ≤ −a) = 1 − P(Z ≤ a)
P(Z > −a) = P(Z ≤ a)
P(a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a)
P(−b < Z ≤ −a ) = P(a < Z ≤ b )
Nos encontramos con el caso inverso a los anteriores, conocemos el valor de la
probabilidad y se trata de hallar el valor de la abscisa. Ahora tenemos que buscar en la
tabla el valor que más se aproxime a K .
P(−a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − [ 1 − P(Z ≤ a)]
p = K
Para calcular la variable X nos vamos a la fórmula de la tipificación.
Aproximación de la binomial por la normal
Teorema de Moivre
Si:
n·p ≥ 0 y n·q ≥ 0.
La distribución binomial B(n, p) se puede aproximar mediante
una distribución norma l:
Ejercicios
En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio si una
distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días
del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°.
La media y los que de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la
desviación típica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar
cuántos estudiantes pesan:
1. Entre 60 kg y 75 kg.
2.Más de 90 kg.
3.Menos de 64 kg.
4.64 kg.
5.64 kg o menos.
Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con
media 78 y desviación típica 36. Se pide:
1. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen
obtenga una calificación superior a 72?
2.Calcular la proporción de estudiantes que tienen puntuaciones que exceden
por lo menos en cinco puntos de la puntuación que marca la frontera entre el Apto y el
No-Apto (son declarados No-Aptos el 25% de los estudiantes que obtuvieron las
puntuaciones más bajas).
3.Si se sabe que la calificación de un estudiante es mayor que 72 ¿cuál es la
prioridad de que su calificación sea, de hecho, superior a 84?
Tras un test de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen
una distribución una distribución N(65, 18). Se desea clasificar a los examinados en
tres grupos (de baja cultura general, de cultura general aceptable, de excelente cultura
general) de modo que hay en el primero un 20% la población, un 65% el segundo y un
15% en el tercero. ¿Cuáles han de ser las puntuaciones que marcan el paso de un
grupo al otro?
Baja cultura hasta 49 puntos.
Cultura aceptable entre 50 y 83.
Excelente cultura a partir de 84 puntos.
Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con
media 100 y desviación típica 15.
1. Determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y
110.
2. ¿Qué intervalo centrado en 100 contiene al 50% de la población?
3. En una población de 2500 individuos ¿cuántos individuos se esperan que
tengan un coeficiente superior a 125?
En una ciudad una de cada tres familias posee teléfono. Si se eligen al azar 90
familias, calcular la probabilidad de que entre ellas haya por lo menos 30 tipos se han
teléfono.
En un examen tipo test de 200 preguntas de elección múltiple, cada pregunta
tiene una respuesta correcta y una incorrecta. Se aprueba si se contesta a más de 110
respuestas correctas. Suponiendo que se contesta al azar, calcular la probabilidad de
aprobar el examen.
Un estudio ha mostrado que, en un cierto barrio, el 60% de los hogares tienen al
menos dos televisores Se elige al azar una muestra de 50 hogares en el citado barrio.
Se pide:
1. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 20 de los citados hogares tengan
cuando menos dos televisores?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 35 y 40 hogares tenga cuando menos
dos televisores?
Tabla de la distribución normal
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,
0
0,500
0
0,504
0
0,508
0
0,512
0
0,516
0
0,519
9
0,523
9
0,527
9
0,531
9
0,535
9
0,
1
0,539
8
0,543
8
0,547
8
0,551
7
0,555
7
0,559
6
0,563
6
0,567
5
0,571
4
0,575
3
0,
2
0,579
3
0,583
2
0,587
1
0,591
0
0,594
8
0,598
7
0,602
6
0,606
4
0,610
3
0,614
1
0,
3
0,617
9
0,621
7
0,625
5
0,629
3
0,633
1
0,636
8
0,640
6
0,644
3
0,648
0
0,651
7
0,
4
0,655
4
0,659
1
0,662
8
0,666
4
0,670
0
0,673
6
0,677
2
0,680
8
0,684
4
0,687
9
0,
5
0,691
5
0,695
0
0,698
5
0,701
9
0,705
4
0,708
8
0,712
3
0,715
7
0,719
0
0,722
4
0,
6
0,725
7
0,729
1
0,732
4
0,735
7
0,738
9
0,742
2
0,745
4
0,748
6
0,751
7
0,754
9
0,
7
0,758
0
0,761
1
0,764
2
0,767
3
0,770
4
0,773
4
0,776
4
0,779
4
0,782
3
0,785
2
0,
8
0,788
1
0,791
0
0,793
9
0,796
7
0,799
5
0,802
3
0,805
1
0,807
8
0,810
6
0,813
3
0,
9
0,815
9
0,818
6
0,821
2
0,823
8
0,826
4
0,828
9
0,831
5
0,834
0
0,836
5
0,838
9
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
1,
0
0,841
3
0,843
8
0,846
1
0,848
5
0,850
8
0,853
1
0,855
4
0,857
7
0,859
9
0,862
1
1,
1
0,864
3
0,866
5
0,868
6
0,870
8
0,872
9
0,874
9
0,877
0
0,879
0
0,881
0
0,883
0
1,
2
0,884
9
0,886
9
0,888
8
0,890
7
0,892
5
0,894
4
0,896
2
0,898
0
0,899
7
0,901
5
1,
3
0,903
2
0,904
9
0,906
6
0,908
2
0,909
9
0,911
5
0,913
1
0,914
7
0,916
2
0,917
7
1,
4
0,919
2
0,920
7
0,922
2
0,923
6
0,925
1
0,926
5
0,927
9
0,929
2
0,930
6
0,931
9
1,
5
0,933
2
0,934
5
0,935
7
0,937
0
0,938
2
0,939
4
0,940
6
0,941
8
0,942
9
0,944
1
1,
6
0,945
2
0,946
3
0,947
4
0,948
4
0,949
5
0,950
5
0,951
5
0,952
5
0,953
5
0,954
5
1,
7
0,955
4
0,956
4
0,957
3
0,958
2
0,959
1
0,959
9
0,960
8
0,961
6
0,962
5
0,963
3
1,
8
0,964
1
0,964
9
0,965
6
0,966
4
0,967
1
0,967
8
0,968
6
0,969
3
0,969
9
0,970
6
1,
9
0,971
3
0,971
9
0,972
6
0,973
2
0,973
8
0,974
4
0,975
0
0,975
6
0,976
1
0,976
7
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
2,
0
0,977
2
0,977
8
0,978
3
0,978
8
0,979
3
0,979
8
0,980
3
0,980
8
0,981
2
0,981
7
2,
1
0,982
1
0,982
6
0,983
0
0,983
4
0,983
8
0,984
2
0,984
6
0,985
0
0,985
4
0,985
7
2,
2
0,986
1
0,986
4
0,986
8
0,987
1
0,987
5
0,987
8
0,988
1
0,988
4
0,988
7
0,989
0
2,
3
0,989
3
0,989
6
0,989
8
0,990
1
0,990
4
0,990
6
0,990
9
0,991
1
0,991
3
0,991
6
2,
4
0,991
8
0,992
0
0,992
2
0,992
5
0,992
7
0,992
9
0,993
1
0,993
2
0,993
4
0,993
6
2,
5
0,993
8
0,994
0
0,994
1
0,994
3
0,994
5
0,994
6
0,994
8
0,994
9
0,995
1
0,995
2
2,
6
0,995
3
0,995
5
0,995
6
0,995
7
0,995
9
0,996
0
0,996
1
0,996
2
0,996
3
0,996
4
2,
7
0,996
5
0,996
6
0,996
7
0,996
8
0,996
9
0,997
0
0,997
1
0,997
2
0,997
3
0,997
4
2,
8
0,997
4
0,997
5
0,997
6
0,997
7
0,997
7
0,997
8
0,997
9
0,997
9
0,998
0
0,998
1
2,
9
0,998
1
0,998
2
0,998
2
0,998
3
0,998
4
0,998
4
0,998
5
0,998
5
0,998
6
0,998
6
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
30,998
7
0,998
7
0,998
7
0,998
8
0,998
8
0,998
9
0,998
9
0,998
9
0,999
0
0,999
0
3,
1
0,999
0
0,999
1
0,999
1
0,999
1
0,999
2
0,999
2
0,999
2
0,999
2
0,999
3
0,999
3
3,
2
0,999
3
0,999
3
0,999
4
0,999
4
0,999
4
0,999
4
0,999
4
0,999
5
0,999
5
0,999
5
3,
3
0,999
5
0,999
5
0,999
5
0,999
6
0,999
6
0,999
6
0,999
6
0,999
6
0,999
6
0,999
7
3,
4
0,999
7
0,999
7
0,999
7
0,999
7
0,999
7
0,999
7
0,999
7
0,999
7
0,999
7
0,999
8
3,
5
0,999
8
0,999
8
0,999
8
0,999
8
0,999
8
0,999
8
0,999
8
0,999
8
0,999
8
0,999
8
3,
6
0,999
8
0,999
8
0,999
9
0,999
9
0,999
9
0,999
9
0,999
9
0,999
9
0,999
9
0,999
9
3,
7
0,999
9
0,999
9
0,999
9
0,999
9
0,999
9
0,999
9
0,999
9
0,999
9
0,999
9
0,999
9
3,
8
0,999
9
0,999
9
0,999
9
0,999
9
0,999
9
0,999
9
0,999
9
0,999
9
0,999
9
0,999
9
3,
9
1,000
0
1,000
0
1,000
0
1,000
0
1,000
0
1,000
0
1,000
0
1,000
0
1,000
0
1,000
0
RESUMEN FÓRMULAS DE ESTADÍSTICA
Moda
La moda, Mo, es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta .
1º Todos los intervalos tienen la misma amplitud.
L i -1 es el límite inferior de la clase modal.
f i es la frecuencia absoluta de la clase modal.
f i - -1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la en clase modal.
f i -+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal.
a i es la amplitud de la clase.
También se utiliza otra fórmula de la moda que da un valor aproximado de
ésta:
2º Los intervalos tienen amplitudes distintas.
En primer lugar tenemos que hallar las alturas.
La clase modal es la que tiene mayor altura.
La fórmula de la moda aproximada cuando existen distintas amplitudes es:
Mediana
Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos
están ordenados de menor a mayor .
1 Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación
central de la misma.
2 Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es
la media entre las dos puntuaciones centrales .
Mediana para datos agrupados
es la semisuma de las frecuencias absolutas.
L i -1 es el límite inferior de la clase donde se encuentra .
F i -1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
a i es la amplitud de la clase.
Media aritmética
La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el
resultado entre el número total de datos.
Cuartiles
Los cuartiles son los tres valores de la variable dividen a
un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales .
Cálculo de los cuartiles
1 Ordenamos los datos de menor a mayor .
2 Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la
expresión .
Cálculo de los cuartiles para datos agrupados
En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en
la tabla de las frecuencias acumuladas .
Deciles
Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez
partes iguales .
Cálculo de deciles
Ordenamos los datos de menor a mayor .
Buscamos la puntuación, en la serie, o la clase, en la tabla de las frecuencias
acumuladas, donde se encuentra , .
Percentiles
Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100
partes iguales .
Cálculo de percentiles
Ordenamos los datos de menor a mayor .
Buscamos la puntuación, en la serie, o la clase, en la tabla de las frecuencias
acumuladas, donde se encuentra ,.
Desviación media
La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las
desviaciones respecto a la media .
Desviación media para datos agrupados
Varianza
La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones
respecto a la media de una distribución estadística.
Varianza para datos agrupados
Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes
expresiones que son equivalentes a las anteriores.
Varianza para datos agrupados
Desviación típica
La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza .
Desviación típica para datos agrupados
Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son
equivalentes a las anteriores.
Desviación típica para datos agrupados
Coeficiente de variación
El coeficiente de variación es la relación entre la desviación típica de una
muestra y su media.
Coeficiente de variación en tanto por ciento
Puntuaciones diferenciales
Las puntuaciones diferenciales resultan de restarles a las puntuaciones
directas la media aritmética .
x i = X i − X
Puntuaciones típicas
Las puntuaciones típicas son el resultado de dividir las puntuaciones
diferenciales entre la desviación típica . Este proceso se llamatipificación .
Distribuciones bidimensionalesCovarianza
Coeficiente de correlación lineal
Recta de regresión de Y sobre X
Recta de regresión de X sobre Y
Fórmulas de inferencia estadística
Intervalos característicos
El nivel de confianza (p) se designa mediante 1 - α.
El nivel de significación se designa mediante α.
El valor crítico (k) como z α /2 .
En una distribución N(μ, σ) el intervalo característico correspondiente a una
probabilidad p = 1 - α es:
(μ - z α /2 · σ , μ + z α /2 · σ )
1 - α α/2 z α /2 Intervalos característicos
0.90 0.05 1.645 (μ - 1.645 · σ , μ + 1.645 · σ)
0.95 0.025 1.96 (μ - 1.96 · σ , μ + 1.96 · σ )
0.99 0.005 2.575 (μ - 2.575 · σ , μ + 2.575 · σ )
Teorema central del límite
μ media de la población
σ desviación típica de la población
n Tamaño de la muestra (n>30, ó cualquier tamaño si la población
es "normal")
Las medias de las muestras siguen aproximadamente la distribución:
Estimación de la media de una población
Intervalo de confianza para la media
Error máximo de estimación
Tamaño de la muestra
Estimación de una proporción
Intervalo de confianza para una proporción
El error máximo de estimación es:
Contrastes de hipótesis
1. Enunciar la hipótesis nula H0 y la alternativa H1.
Bilateral H0=k H1 ≠ k
Unilateral
H0≥ k H1 < k
H0 ≤k H1> k
2. A partir de un nivel de confianza 1 - α o el de significación α .
Determinar:
El valor zα/2 (bilaterales), o bien zα (unilaterales)
La zona de aceptación del parámetro muestral (x o p').
3. Calcular: x o p', a partir de la muestra.
4. Si el valor del parámetro muestral está dentro de la zona de la
aceptación, se acepta la hipótesis con un nivel de significación α. Si no, se
rechaza.
Contraste Bilateral
H0: μ = k (o bien H0: p = k)
H1: μ≠ k (o bien H1: p≠ k).
o bien:
Contraste unilateral
Caso 1
H0: μ ≥ k (o bien H0: p ≥ k).
H1: μ < k (o bien H1: p < k).
Valores críticos
1 - α α z α
0.90 0.10 1.28
0.95 0.05 1.645
0.99 0.01 2.33
o bien:
Caso 2
H0: μ ≤ k (o bien H0: p ≤ k).
H1: μ > k (o bien H1: p > k).
o bien:
Errores
H0 Verdadera Falsa
Aceptar
Decisón correcta
Probabilidad = 1 - α
Decisión incorrecta:
ERROR DE TIPO II
Rechazar
ERROR DE TIPO I
Probabilidad = α
Decisión
correcta