Carlos Rojas Q.

Sergio Serván L.

Cap. 2, Monetary Theory and Policy, Walsh

Topicos

IntroducciónEl modelo basido de DFU (MIU)La restricción presupuestariaLa función de valorOptimizaciónLa Condición de Transversalidad Interpretación de CPOsConclusiones

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Introducción

Modelo de crecimiento neoclásico: un modelo de economíano-monetaria, sin medio de cambio – no hay dinero – quees usado para facilitar transacciones.

Modelo de crecimiento de Solow: una función producción quepermite una sustitución suave entre mano de obra y capital, unproceso de acumulación de capital y un proceso de oferta de trabajo.Tal economía convergería a una senda de crecimiento de estado-estable.

Modelos de ciclo de negocios estocásticos dinámicos: familiasque anticipan el futur0 - forward looking – eligen ahorro y ofertalaboral para maximizar su utilidad a lo largo de la vida.

3

…continuación Un tema fundamental en teoría monetaria y modelación es: ¿cómo

debemos modelar la demanda de dinero? ¿cómo difieren las economíasArrow-Debreau (trueque) en modos que dan lugar a valores positivos dedinero?

Hay 3 modelos generales para incorporar dinero en los modelos decrecimiento:

1. Asumir que el dinero brinda utilidad (Sidrauski, 1967)2. Imposicion de costos de transacción:

Costos al intercambio de assets (modelos a la Baumol-Tobin) El dinero como medio requerido para transacciones de ciertos bienes

(modelos de cash-in-advance; i.e., Clower, 1967) Dinero y tiempo se combinan para producir servicios de transacción para

compras de bienes (Brock, 1974) El trueque directo es costoso (modelos de búesqueda; i.e., Kiyotaki and

Wright, 1989)

3. Dinero como activo utilizado para transferir recursos intertemporalmente (Samuelson 1958; modelos de OLG con dinero).

4

El Modelo Básico

Para el modelo básico (modelo de agente representativo),ignoramos la incertidumbre y cualquier elección de ocio deltrabajador, enfocándonos en las implicaciones del modelo dedemanda de dinero, el valor del dinero y los costos de inflación.

Supongamos que la función de utilidad de la familia representativoes:

donde zt es el flujo de servicios provistos por las tenencias dedinero y ct es el consumo per-cápita en el momento t. Ut escreciente tanto respecto a tenencias de dinero cuanto de consumo,estrictamente cóncava y continuamente diferenciable.

5

),( ttt zcuU

…continuación ¿Cómo explicar que zt entre al modelo?

Con el supuesto de agentes económicos racionales, lo que debe importares el comando sobre bienes que son representados por esos soles mantenidos en lugar del número de soles; en términos per-cápita:

Notar: la utilidad marginal del dinero posteriormente llegará a ser negativapara suficientemente altos saldos monetarios.

6

t

t

tt m

PN

Mz

…continued La utilidad total de la familia representativa es :

donde 0 < β < 1 es una tasa subjetiva de descuento.

Problema de decisión: la familia representativa elige las sendastemporales de consumo y saldos monetarios reales sujetas a la restricciónpresupuestaria.

La ecuación (2.1) implica que si se mantiene constante la senda deconsumo real para todo t, la utilidad individual se incrementa con elaumento de tenencias de dinero.

Recordar: usualmente pensamos que la demanda por dinero esinstrumental porque mantenemos dinero para comprar bienes y serviciosque son los que en realidad rinden utilidad. Añadir dinero a la función deutilidad es solo un atajo útil para asegurar que hay demanda de dinero.

77

La Restricción Presupuestaria Para completar la modelación, necesitamos especificar la restricción

presupuestaria.

¿Que recursos tenemos?: ingreso corriente (producto), transferenciasrecibidas desde el gobierno (τ) y tenencias de stock de capital, activos(bonos) y dinero, medidos a fin de período anterior.

¿En qué se asignan?: consumo, inversión (capital físico), bonos y tenencias de dinero

La restricción presupuestaria de la economía agregada la el sector familias es:

donde δ es la tasa de depreciación y Nt el empleo total.

…continuación

En el modelo MIU se asume que las tenencias de dinero delas familias que rinden utilidad son las mantenidas a fin deperiodo, Mt/Pt, después de haber adquirido los bienes deconsumo.

Carlstrom and Fuerst (2001) argumentan que son lastenencias de saldos monetarios antes de comprar bieneslos que rinden utilidad.

99

…continuación Se asume que función producción agregada Yt = F(Kt-1, Nt) es linealmente

homogénea con retornos constantes a escala, por tanto se puede demostrarque el produco per-cápita en el momento t será una función del stock decapital per-cápita:

donde n es la tasa de crecimiento de la población (asumida constante). Lafunción producción (yt) se asume continuamente diferenciable y satisface lascondiciones Inada usuales

fk≥0; fkk≤0; lim fk(k) k→0 =∞; lim fk(k) k→∞=0

Por la misma razón, podemos re-escribir la restricción presupuestaria (2.2) en

versión per-cápita (2.4):

10

)1

( 1

n

kfy t

t

tttt

t

ttttt

tt bmkc

n

mbik

nn

kf

)1)(1(

)1()

1

1()

1( 111

11

2.3

2.4

La Función de Valor

El problema de la familia es escoger sendas temporales para ct, kt, bt

and mt y maximizar la función de utilidad (2.1) sujeta a la restricciónpresupuestaria (2.4).

El problema de optimización (programación dinámica) permiteobtener la función de valor.

La función de valor provee el valor de utilidad máximizado que lasfamilias pueden alcanzar al comportarse óptimamente, dado suestado actual.

La variable de estado es la de los recursos iniciales de la familia ωt

1111

12

Optimización

El problema de la familia es elegir las sendas temporales de ct, kt, bt

y mt para maximizar la función de valor, dada por :

basado en:

se usa ωt+1 dado que necesitamos sea optimizado en t:

)}(),(max{)( 1 tttt VmcuV 2.5

13

…continuación

Usando kt = ωt –ct – mt – bt y la definición de ωt+1, (2.5) puedeser escrita como:

El problema de maximización ahora es uno no restringido sobrect, bt, mt. ¿Cómo derivamos ahora las sendas óptimas?

𝑉(𝜔𝑡) = 𝑚𝑎𝑥 𝑢 𝑐𝑡 ,𝑚𝑡

+ 𝛽𝑉 𝑓(𝜔𝑡 − 𝑐𝑡 −𝑚𝑡 − 𝑏𝑡)

1 + 𝑛+ 𝜏𝑡+1 +

1 − 𝛿

1 + 𝑛 𝜔𝑡 − 𝑐𝑡 −𝑚𝑡 − 𝑏𝑡

+ 1 + 𝑖𝑡 𝑏𝑡 +𝑚𝑡

1 + 𝜋𝑡+1 1 + 𝑛

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…continuación Las condiciones necesarias de primer orden de este problema son c.r.a ct, bt, mt

son:

La condición de transversalidad:

donde λt es la utilidad marginal del consumo en el periodo t y (2.9) significa que el valor descontado de las tenencias de activos deben ser cero en el tiempoinfinito.

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Condición de Transversalidad

En general, la condición de transversalidad especifica lo que sucedecuando pasamos a un tiempo fuera del horizonte de planeamientotemporal.

Intuicion: desde que λt es la utilidad marginal del periodo t deconsumo, si se tiene completa flexibilidad en elegir consumo en eltiempo infinito, uno quisiera escoger aquel nivel de manera que suvalor marginal es cero.

Si hay cualquier flexibilidad al final del horizonte de tiempo, entoncesel beneficio marginal de tomar ventaja de esa flexibilidad debe sercero.

Interpretaciones económicas de las CPOs

El teorema de la envolvente implica

Intuición: la derivada total de V(wt) es igual a laderivada de uc(ct,mt) cuando la primera está valuadaen c y m óptimos.

)(),( twttct wVmcu (2.10)

…continuación 2.10 adelantado un periodo usado en 2.8

Usando 2.6

Intuición: el beneficio marginal de añadir tenencias de dineroen el momento t debe igualar la utilidad marginal delconsumo en el momento t, a través de dos componentes:

El dinero rinde utilidad directamente (um) Los saldos monetarios reales en el momento t añaden

(1/(1+π)(1+n) a los recursos reales per-cápita en el momento t+1;esta adición a wt+1 tiene un valor Vw(wt+1) en t+1, o βVw(wt+1) enel momento t.

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0)1)(1(

)()(

1

1)(),(

1

11

n

wVwV

n

kfmcu

t

twtw

tkttm

),()1)(1(

),(),(

1

11ttc

t

ttcttm mcu

n

mcumcu

(2.11)

…continuación Ahora, desde 2.6, 2.7 y 2.11, reordenando 2.11

de 2.7

Intuición: la expresión es el retorno del capital

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1),(

1.

)1)(1(

),(

),(

),(

1

11

ttct

ttc

ttc

ttm

mcun

mcu

mcu

mcu

),(

),(.

)1)(1(

11

),(

),( 11

1 ttc

ttc

tttc

ttm

mcu

mcu

nmcu

mcu

ri

kft

tk

11

11)(

1

(2.11’)

…continuación En 2.6

Usando 1+r y el teorema de la envolvente

En 2.11’

19

0)(1

1

1),( 1

1

tw

t

tttc wV

i

nmcu

0),(.11

),( 11

ttcttc mcurn

mcu

r

n

nmcu

mcu

tttc

ttm

1

1.

)1)(1(

11

),(

),(

1

r

n

mcu

mcu

ttc

ttc

1

1

),(

),( 11

…continuación

20

simplificando

)1)(1(

11

1 rt

)1)(1(

1)1)(1(

1

1

t

t

r

r

t

t

t

t

t

i

i

i

i

11

1)1((2.12)

…continuaciónIntuición de 2.12: en la situación de optimización estática deu(x,z) con restricción presupuestaria x + pz=y, se obtiene porCPO uz/ux=p,

2.12 muestra que Г tiene la interpretación del precio relativode los saldos monetarios reales en términos de bienes deconsumo

La tasa marginal de sustitución entre dinero y consumo esigual al precio, o el costo de oportunidad de mantener dinero.

El costo de oportunidad de mantener dinero estádirectamente relacionado a la tasa nominal de interés, i. Lafamilia podría mantener una unidad menos de dinero,adquiriendo es su lugar bonos que rindan una tasa de retorno.

El valor real de este pago es i/(1+π), y desde que es recibido enel periodo t+1, su valor presente es i/(1+r)(1+π)=i/(1+i)

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…continuación Debido a que el dinero se asume que no paga tasa de

interés, el costo de oportunidad de mantener dineroqueda afectado tanto por el retorno real del capitalcuanto por la tasa de inflación.

Si π=0, entonces las ganancias perdidas de mantenerdinero en vez de capital son determinadas por elretorno real del capital

Si π>0, esto causa que el valor real del dinero decline,añadiéndose al costo de oportunidad de mantenerdinero.

22

…continuación

23

…continuaciónIntuición de 2.7: vincula la tasa nominal de retorno de los bonos, la inflación y la tasa de retorno real del capital

es la ecuación de Fisher.

24

01

1)(

)1)(1(

1

1

n

kf

n

i tk

t

t

n

nri tt

1

)1)(1)(1(1 1

)1)(1(1 )1 ttt ri

Conclusiones

Las ecuaciones 2.6 a la 2.8, juntas con la restricciónpresupuestaria 2.4, caracterizan la elección de lasfamilias de consumo y tenencias de dinero, bonos y capital en cada momento en el tiempo.

El equilibrio también requiere que la demanda nominal de dinero iguale a la oferta nominal de dinero (asumidaexógena).

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