cap 1 - magnitudes fisicas y vectores

Introducción a la Física Universitaria Cantidades físicas

1

Unas breves palabras

Bienvenidos al curso de Introducción a la Física Universitaria, o IFU, como es conocido entre

ustedes los alumnos.

En este curso vamos a revisar los conceptos fundamentales de la Física que se deben ver en el

colegio: posición, velocidad, aceleración, fuerza, trabajo y energía. Salvo los dos últimos, todos los

conceptos son magnitudes de carácter vectorial por lo que también dedicaremos un tiempo al

estudio de los vectores.

Si no has llevado un buen curso de Física en el colegio, no te preocupes. Tu profesor te va a guiar

gradualmente en el descubrimiento de los conceptos, y en su aplicación a situaciones reales.

La Física está fuertemente ligada con la Matemática. Para este curso necesitas tener las siguientes

habilidades matemáticas: solución de ecuaciones algebraicas de primer y segundo grado; solución

de dos o tres ecuaciones lineales simultáneas; y funciones trigonométricas. Si no te acuerdas alguno

de estos temas ve repasando desde ahora.

La Física y la medición

La Física se ocupa de las leyes de la Naturaleza. Hace

muchos años hubiéramos definido esta proposición

diciendo que la Física estudia las leyes de la naturaleza

que gobiernan el comportamiento de las cosas

inanimadas, pero esto en la actualidad ya no es cierto.

Los físicos trabajan activamente en problemas

biológicos y de otros tipos en las ciencias de la vida. Se

requiere conocer las leyes físicas que influyen en el

comportamiento de los átomos y de las moléculas para

entender los enormes agregados de moléculas que

forman una minúscula célula. Por supuesto, los átomos

de las moléculas y de las células dentro de los cuerpos

vivos deben obedecer las mismas leyes físicas que se

aplican a las cosas inertes. Aún no se responde la

pregunta acerca de cómo pueden aplicarse estas leyes

para explicar el comportamiento de los seres vivos, esto será tarea de los científicos del futuro, y

serán temas de tanto interés como los grandes logros científicos del pasado.

El campo de la Física está en continua expansión, de la misma manera que aumentan los intereses y

conocimientos de los físicos. Cada nuevo descubrimiento en Física revela algo más que una faceta

de la naturaleza hasta ahora desconocida: permite al físico entrar a un nuevo territorio no explorado

de la ciencia. Como ejemplos, el origen de la energía procedente del calor del sol, no se pudo

entender hasta que se descubrió la posibilidad de intercambio entre materia y energía que llamamos

fusión nuclear. Tampoco pudo comprenderse la acción de los músculos en el cuerpo antes de tener

suficientes conocimientos acerca del hule o caucho, de los plásticos y de los sistemas macro

celulares en general. Los descubrimientos realizados por los científicos abren nuevos caminos en el

desarrollo de la técnica y la tecnología y en algunos casos hasta nuevos campos de investigación. A

su vez el avance de la técnica y la tecnología permite que nuevos descubrimientos científicos sean

realizados, contribuyendo al conocimiento humano y al desarrollo de la ciencia.

No sabemos cuál será el futuro de la Física, pero sí que será productivo responder muchas preguntas

en las cuales actualmente se encuentran trabajando los físicos. Algunos creen que la Física, la

Espectroscopia laser para determinación de materiales en muestras arqueológicas.

Muestra del Grupo de Óptica de la PUCP


2

Química y la Biología llegarán a ser próximamente una sola ciencia. Esperamos, y creemos

firmemente, que la Física del futuro seguirá siendo una búsqueda emocionante, y que quedan

pendientes descubrimientos de maravillas del Universo aún desconocidas.

Medición

Una observación científica por lo general está incompleta sino se expresa de manera cuantitativa,

así para obtener tal información debe hacerse la medición de una cantidad física. La medición es

básica en todas las ciencias, mediante ella los científicos intercambian sus observaciones y las

comunican al mundo.

William Thomson (1824-1907), uno de los más famosos sabios británicos de su época y honrado

con el título nobiliario de Lord Kelvin, decía que nuestro conocimiento es satisfactorio solo después

de expresarlo en números. De muy joven fue contratado como ingeniero consultor por una

compañía que tenía a su cargo la construcción del primer cable telefónico en el Atlántico.

Thomson hizo muchas mediciones eléctricas de precisión. A menudo utilizó instrumentos que el

mismo tuvo que inventar. Sus consejos fundados en sus propios experimentos, no se tomaron en

cuenta, sobre todo porque los principios fundamentales no eran comprendidos con claridad o no

eran aceptados por los funcionarios de la compañía. Los fracasos subsecuentes en esa obra

condujeron más tarde a un análisis más cuidadoso de los puntos de vista de Thomson. Su adopción

condujo a terminar con éxito el cable en 1858. Quizá esta experiencia condujo a formular su punto

de vista, comentado inicialmente y que a menudo se cita:

“Con frecuencia digo que al medir usted aquello de lo que está hablando, y expresarlo en números,

usted sabe algo acerca de ello, pero cuando no puede expresarlo en números, su conocimiento es

pobre y de una calidad poco satisfactoria; puede ser el principio del conocimiento, pero en el

fondo, casi no se puede decir que haya usted penetrado a la etapa de la ciencia, cualquiera que sea

el asunto que se trate”

Aunque esta afirmación parezca exagerada, expresa una filosofía de investigación que el físico debe

tener siempre presente. Pero la expresión numérica de una propiedad física no es suficiente: los

físicos siempre buscan las relaciones que hay entre las magnitudes que miden cuando investigan un

fenómeno o un proceso en particular. Estas relaciones se expresan por lo general mediante fórmulas

y ecuaciones. Pueden efectuarse mediciones solo si se tienen instrumentos apropiados y unidades.

Supongamos por ejemplo que, al desear medir la altura del salón en que se encuentran leyendo, no

se dispone de una regla para medir.

Podría apreciar la altura y expresar su respuesta en términos de alguna unidad de longitud

convencional, quizás el metro o la pulgada, pero supongamos que usted se encuentra en Alemania y

ha usado el sistema métrico exclusivamente, y que la persona a la cual desea comunicar la altura

conoce únicamente el sistema inglés; es evidente que no solo se requiere un instrumento para llevar

a cabo la medición, sino que también se requiere una unidad de medición común.

Sería conveniente que todos nos pusiéramos de acuerdo sobre unas cuantas unidades básicas para

describir nuestras mediciones. La mayoría de la gente del mundo hace uso del sistema métrico de

unidades en forma amplia. Es por tanto, bastante probable que en estos países finalmente prevalezca

el sistema métrico.


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1 CANTIDADES FÍSICAS

En términos generales podemos señalar que la Física es la ciencia que pretende averiguar cómo

funciona el universo y para responder a esta vasta pregunta se ha empleado la observación y la

medición; la descripción de los fenómenos físicos, la formulación de una teoría que explique dichos

fenómenos estudiados y pueda a su vez predecir otros fenómenos y, por último, de un conjunto de

pruebas experimentales que comprueben y apoyen a esta teoría.

El proceso descrito anteriormente implica que el físico realice mediciones de las cantidades que

observa y esto lleva a que la Física sea conocida como "la ciencia que mide", pero ¿qué mide?, ¿qué

significa medir?

1.1 MAGNITUDES FUNDAMENTALES Y DERIVADAS

Magnitud

Es una propiedad que se abstrae de la naturaleza, que se

puede distinguir cualitativamente y que se puede

cuantificar usando un proceso llamado medición.

Unidad

Es la elección de una magnitud física particular, que se

toma como referencia o patrón para compararla con otras

magnitudes de la misma especie.

Medir

Es averiguar cuántas veces está contenida la unidad de

medida (patrón) en la magnitud física que se esté

midiendo.

Magnitudes fundamentales

Son aquellas elegidas como base para fijar las unidades y en función de las cuales se expresan las

demás magnitudes. Por ejemplo, las unidades para la velocidad se expresan en función de una

unidad de longitud y otra de tiempo. Muchas de las magnitudes que se estudiarán en el curso se

pueden expresar en términos de tres magnitudes fundamentales: longitud, masa y tiempo. Algunas

veces se emplea la fuerza como magnitud fundamental en vez de la masa. La selección de las

unidades patrón para estas magnitudes fundamentales determina un sistema de unidades.

El sistema más extensamente utilizado es el Sistema Internacional (SI). En este sistema, la unidad

de longitud es el metro, la unidad de masa es el kilogramo y la unidad de tiempo es el segundo.

Magnitud Unidad (en S.I.)

Longitud

Masa

Tiempo

metro (m)

kilogramo (kg)

segundo (s)

Magnitudes derivadas

Son aquellas que se expresan en función de las magnitudes fundamentales mediante relaciones

matemáticas, por ejemplo, la velocidad, la aceleración, la fuerza, etc.

Medición del grosor de un alambre de plomo usando un Pie de Rey.

Laboratorio de Física de la PUCP


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1.2 SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES

En 1960, la Conferencia General de Pesas y Medidas adopta

el Sistema Internacional (SI). Este sistema es la versión

moderna del Sistema Métrico Decimal.

Longitud

La unidad de longitud es el metro. El metro es la longitud

de trayecto recorrido en el vacío por la luz durante un

tiempo de 1/299 792 458 de segundo.

Masa

La unidad de masa es el kilogramo y se define como la masa

de cilindro de aleación de platino e iridio guardado en la

Oficina Internacional de Pesos y Medidas en Sèvres,

Francia.

Tiempo La unidad de tiempo es el segundo. El segundo es la duración de 9 192 631 770 periodos de la

radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles del estado fundamental del átomo de

cesio 133.

Magnitudes fundamentales

Magnitud Nombre de la

unidad Símbolo

Longitud Metro m

Masa Kilogramo kg

Tiempo Segundo s

Intensidad de corriente eléctrica Ampere A

Temperatura termodinámica Kelvin K

Cantidad de sustancia Mol mol

Intensidad luminosa Candela cd

Algunas magnitudes derivadas

Magnitud Nombre de la unidad Símbolo

Superficie metro cuadrado m2

Volumen metro cúbico m3

Velocidad metro por segundo m/s

Aceleración metro por segundo

cuadrado m/s

2

Velocidad angular radián por segundo rad/s

Magnitudes derivadas adimensionales

Magnitud Unidad Símbolo

Ángulo plano radián rad

Ángulo sólido estereorradián sr

Calibración de una balanza usando un juego de pesas tomadas como patrón.

Laboratorio de Física de la PUCP


5

En el último cuadro se definen las unidades en las que se expresan las medidas angulares. Estas

unidades no tienen dimensiones físicas propiamente. Se definen como:

Radián (rad)

Es la medida de un ángulo plano central, comprendido entre dos radios, que abarcan

un arco de longitud igual al radio con el que ha sido trazado.

Estereorradián (sr)

Es el ángulo sólido (porción de espacio) que, con vértice en el centro de una

esfera, abarca un área de la superficie esférica igual a la de un cuadrado que

tiene por lado el radio de la esfera.

Notación científica

En la ciencia a menudo nos encontramos con números muy grandes o muy

pequeños. En estos casos es muy conveniente utilizar la notación científica.

La idea es expresar números en función de potencias de 10 como sería 2,58×1010

. Si tuviéramos

que escribir este número, escribiríamos 25800000000. Es mucho más compacto y cómodo escribir

en notación científica, sobre todo si nos podemos equivocar en el número de ceros que debemos

colocar.

El número que va a ser multiplicado por la potencia de 10 debe ser mayor o igual a uno y menor

que diez. En otras palabras el número mínimo es 1 y el máximo es 9,99999999999999….

La práctica de escribir números grandes y pequeños nos ha llevado a utilizar ciertos valores con

frecuencia y se les ha dado un nombre especial. En vez de escribir 109 Watts podemos escribir

simplemente 1 GW o un gigawatt. En este caso 109 es equivalente al prefijo giga (G). A

continuación se da una tabla con los prefijos para múltiplos y submúltiplos más usados.

Factor Prefijo Símbolo Factor Prefijo Símbolo

1012 tera T 10

-1 deci d

109 giga G 10

-2 centi c

106 mega M 10

-3 mili m

103 kilo K 10

-6 micro μ

102 hecto H 10

-9 nano n

R

R

R2


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1.3 CONVERSIÓN DE UNIDADES

La conversión de unidades es la manera cómo podemos intercambiar información personas que

usan sistemas de unidades diferentes. Esto es muy importante porque en un mundo globalizado se

utiliza equipo diseñado en distintas partes del mundo. El equipo que se adquiere debe de ser

compatible con el equipo que la empresa o institución ya posee. Es muy conocido el caso de la

NASA de los Estados Unidos que perdió una sonda en Marte porque la compañía que lo había

diseñado usó el sistema inglés y la NASA asumió que estaba en el sistema internacional.

La conversión de unidades parte de una equivalencia, por ejemplo 1 m = 100 cm. Observen que el

lado izquierdo de la igualdad tiene unidades de longitud, al igual que el lado derecho. Si dividimos

ambos miembros de esta equivalencia por 100 cm tenemos:

1cm100

cm100

cm100

m1

Observen que al dividir 100 cm entre 100 cm se cancelan las unidades y nos queda un uno SIN

DIMENSIONES FÍSICAS. Entonces la fracción 1 m / 100 cm o su inversa no tienen unidades. Si

deseo convertir 1200 cm a m lo que debo hacer es multiplicar 1200 cm por este factor

adimensional:

1200 cm ×cm100

m1= 12 m.

Observa que las unidades de cm se cancelan.

Ejemplos

1. Si el valor de la aceleración de la gravedad es 9,8 m/s2

y se sabe que 1 pie = 0,3048 m, ¿cuál

será su valor en pies/s2

?

SOLUCIÓN

Tenemos el valor de la aceleración de la gravedad en m/s2

g = 9,8 2s

m

Este valor quedará inalterado si lo multiplicamos por la unidad:

a = 9,82s

m × (1)

pero, 1 = m

pie

3048,0

1 y reemplazándolo en la expresión anterior:

a = 9,8 2s

m×

m

pie

3048,0

1=

3048,0

8,9

2s

pies

a = 32,2 2s

pies


7

2. La velocidad del sonido es 340 m/s. Hallar dicha velocidad en km/h.

SOLUCIÓN

Tenemos la velocidad del sonido en m/s: vs = 340 m/s

Si multiplicamos este valor dos veces por la unidad, no va a cambiar:

vs = 340 m/s × (1) × (1)

pero, podemos escribir la unidad como el cociente de dos magnitudes equivalentes:

1 = m

km

0001

1 y 1 =

h

s

1

6003

Reemplazando estos valores en la expresión anterior tenemos:

vs = 340 s

m ×

m

km

1000

1 ×

h

s

1

6003=

340 3 600

1 000

h

km

vs = 1 224 h

km

3. La superficie de un rectángulo mide 10 m2. Expresar dicha superficie en cm

2.

SOLUCIÓN

Primero notemos lo siguiente: “Si alguna de las unidades que se va a cambiar está elevada a

cierto exponente, el factor que incluye a dicha unidad también debe estar elevado al mismo

exponente”. Luego:

1 m = 100 cm

(1m)2 = (100 cm)

2

1m2 = 10 000 cm

2

La superficie de dicho rectángulo será 10 m2 o equivalentemente 100 000 cm

2.

1.4 MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES

1.4.1 Magnitudes Escalares

Son aquellas que para quedar completamente determinadas necesitan solo de un número y una

unidad adecuada.

Ejemplos

La masa: 3 kg

La longitud: 2,5 m

El tiempo: 5 h

La temperatura: 23°C


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1.4.2 Magnitudes Vectoriales

Son aquellas cantidades que para quedar completamente determinadas aparte del número y su

unidad, necesitan adicionalmente de una dirección y un sentido. Para designar un vector usaremos

una letra en negrita o una letra con una raya arriba, por ejemplo A y A representan el vector A.

Ejemplos

1. La velocidad

No basta decir que un auto se mueve a 90 km/h para tener una idea completa de la forma del

movimiento, se necesita saber además la dirección de dicha velocidad (por ejemplo: norte – sur)

y su sentido (de sur a norte).

2. La fuerza

Se necesita no solo especificar su magnitud (intensidad de la fuerza o módulo) sino además: su

dirección (si actúa en forma horizontal, vertical o inclinada) y su sentido (si actúa de derecha a

izquierda, o de abajo hacia arriba, etc.)

Representación gráfica

Cada cantidad vectorial se puede representar por un segmento de recta dirigido (flecha), que le

damos el nombre de "vector".

donde el módulo es el tamaño o magnitud del vector, la dirección queda definida por la recta que

contiene al vector y el sentido es hacia donde apunta la flecha. Si designamos el vector por A, el

módulo se representa usando dos barras: A o simplemente usando la misma letra sin negritas: A.

1.4.3 Adición de vectores

Método Gráfico

Regla del Paralelogramo

Se usa para sumar sólo dos vectores. Se trazan los vectores de manera que coincidan sus orígenes.

Luego, se traza un paralelogramo que tenga a los vectores como lados. La resultante será el vector

que está en la diagonal de este paralelogramo partiendo del origen común de los dos vectores. En la

siguiente figura se muestra la suma o resultante R de dos vectores A y B:

Dirección

Sentido

Módulo

A

R = A + B

B


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Regla del Polígono

Se usa para sumar dos o más de dos vectores. Respetando la dirección y sentido de cada vector se

ubican los vectores uno a continuación del otro, luego se traza el vector resultante que parte de la

cola del primer vector hasta la cabeza del último vector.

Ejemplos

1. En la siguiente figura se muestra la suma o resultante R de dos vectores A y B:

2. En la siguiente figura se muestra la suma o resultante R de tres vectores A, B y C:

Método Analítico

Método de descomposición rectangular

Todo vector puede ser formado por la suma de un vector horizontal

más un vector vertical. Decimos que estos dos vectores son las

proyecciones del vector original sobre los ejes coordenados.

Definimos la componente Ax del vector A como un número cuyo valor coincide con el módulo del

vector Ax y su signo es positivo si el vector Ax apunta hacia el eje x positivo, y es negativo si apunta

en sentido contrario. Análogamente definimos la componente Ay del vector A.

Es importante recordar que las componentes de un vector son cantidades escalares. Además el

vector A y sus vectores componentes forman un triángulo rectángulo.

A

R = A + B B

A Ay

Ax

Y

X

Ax

Ay A

A

R = A + B + C B

C


10

En este triángulo los módulos de los vectores cumplen:

a) El módulo del vector 22|| yx AAA

b) Las componentes del vector A son: cosAAx ; senAAy

c) tan /y xA A

d) Todo vector A puede representarse de la siguiente manera: A = (Ax; Ay), donde las

componentes Ax y Ay deben ir con sus respectivos signos.

Ejemplos

1. Componentes de un vector en el primer cuadrante:

Ax = 4 cos 30° = 2 3

Ay = 4 sen 30° = 2

A = (2 3 ; 2)

2. Componentes de un vector en el segundo cuadrante:

Bx = – 10 cos 30° = – 5 3

By = 10 sen 30° = 5

B = (– 5 3 ; 5)

Usando ésta representación se puede sumar vectores fácilmente

de la siguiente manera: Para hallar la resultante de varios

vectores se suman los vectores componente por componente.

Es decir, la componente "x" de la resultante es la suma de las

componentes "x" de los vectores, y la componente "y" de la

resultante es la suma de las componentes "y" de cada vector.

Del gráfico notamos que );( yx AAA y );( yx BBB , luego el

vector resultante es:

);();( yyxxyx BABARRR

Método Trigonométrico:

Cuando se suman dos vectores usando el método del polígono, estos dos vectores y la resultante

forman un triángulo. Las longitudes de los lados de este triángulo corresponden a los módulos de

cada uno de los vectores, y cumplen las relaciones métricas de un triángulo:

Ley de cosenos

cos222 ABBARR

Ley de senos

sin sin sin

R B A

Y

A = 4 A

30° X

B

30°

B = 10

Y

X

R

B

A

Y

X Ax

Ay

A

Bx

By

B R

α


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1.4.4 Vector Opuesto

El vector opuesto de un vector A es un vector de igual magnitud y dirección pero de sentido

contrario.

1.4.5 Resta de Vectores

La resta de dos vectores se define en términos de la suma de vectores y el opuesto de un vector. La

regla es simple: “para restar dos vectores, se suma al vector minuendo el opuesto del vector

sustraendo”. Simbolicamente:

A B A B

En la siguiente figura se muestra paso a paso como construir la diferencia A - B de dos vectores

dados A y B.

Si la operación vectorial involucra varias restas se procede de manera similar. La operación

vectorial se reduce a una suma que involucra los opuestos de los vectores sustraendo, por ejemplo:

A B C D A B C D

1.4.6 Multiplicación de un Vector por un Escalar

El producto de un vector por un escalar es un nuevo vector que tiene la

misma dirección que el vector original, su módulo es igual a la

longitud del vector inicial multiplicado por el valor absoluto del

escalar, y su sentido es el mismo que el vector original si el escalar es

positivo y opuesto al vector original si el escalar es negativo.

Si un vector se da en términos de sus componentes, entonces el producto de un escalar por este

vector se realiza multiplicando el escalar a cada una de las componentes, simbólicamente:

( ; ) ( ; )x y x ycA c A A cA cA

En el siguiente ejemplo se combinan las operaciones de suma, resta y multiplicación por un escalar:

2(3;-4) – (-2;3) + (6;-3)/3 = (6;-8) + (4;-6) + (2;-1) = (12;-15)

Vector

opuesto

– A

A

−B

A

B

A

−B

A

A +(−B)

A

−B A−B

(a) (b) (c) (d)

A

2

A

-2A


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PROBLEMAS RESUELTOS

1. En la siguiente figura se muestra un paralelogramo formado por

los vectores: 1V ; 2V ; 3V y 4V , de tal manera que cumplen con

la siguiente condición:

1V = 3V y 2V = 4V

¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas?

a) 1V + 2V + 3V + 4V = 0

b) 1V + 2V = 3V + 4V

c) 4V + 1V = 2V + 3V

SOLUCIÓN:

a) Si analizamos la figura se observa que:

1V = – 3V

2V = – 4V

por ser vectores de igual magnitud y dirección pero sentido opuesto. Estos se pueden escribir

nuevamente como:

1V + 3V = 0

2V + 4V = 0

y si sumamos estas dos expresiones: 1V + 2V + 3V + 4V = 0 (verdadera)

De manera práctica, cuando los vectores están dibujados uno a continuación de otro, y forman

una figura cerrada, la suma de estos vectores es nula.

b) Si hallamos gráficamente la resultante de ( 1V + 2V ), tenemos que:

Por otro lado si hallamos la resultante de ( 3V + 4V ), tenemos que:

Observemos que ( 1V + 2V ) y ( 3V + 4V ) poseen sentidos opuestos, por lo tanto son diferentes,

y la proposición (II) es falsa.

c) Dibujemos en la figura mostrada los vectores ( 4V + 1V ) y ( 2V + 3V ):

21 VV

1V

2V

3V

4V

3V + 4V

1V

2V

3V

4V


13

Se observa que estos vectores tienen sentidos opuestos, pero corresponden a la misma diagonal

del paralelogramo por lo que:

4V + 1V = 2V + 3V (verdadera)

2. Hallar el módulo de la resultante de la suma de los vectores A y B , si los módulos de cada uno

de ellos son: A = 10 y B = 20.

SOLUCIÓN I

Utilizamos el método de los componentes. Para esto, colocamos un par de ejes cartesianos

apropiados, tal como se muestra en la figura:

Vector Componente x Componente y

A 10 cos 60° = 5 10 sen 60° = 5 3

B 20 0

R Rx = 25 Ry = 5 3

710700)35(25|| 2222 yx RRR

60°

B

A

60°

B

A

Y

X

2V + 3V

2V

3V

4V + 1V 1V

4V


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SOLUCIÓN II

Utilizando la ley de cosenos:

R 2 = A 2 + B 2 – 2 A B cos 120°

R = )2/1)(20)(10(2400100

710700|| R

3. El vector A tiene 2 cm. de longitud y forma con el eje x un ángulo de 60° en el primer

cuadrante. El vector B tiene 2 cm. de longitud y forma un ángulo de 60° con el eje x, en el

cuarto cuadrante. Encontrar gráficamente y analíticamente:

a) El vector suma A + B

b) Los vectores diferencia A – B y B – A .

SOLUCIÓN

a) Suma A + B

I. Para encontrar gráficamente la suma A + B de los dos vectores utilizamos el

método del paralelogramo, trazando los segmentos QR y PR paralelos a A y B ,

respectivamente. La resultante será la diagonal OR, la cual es un vector de 2 cm y

coincide con el eje x, como se muestra en la siguiente figura:

B

A

120°

R

60

60

O

Y

A

B

X

P

2 cm

B+A

Q

R O

Y

A

B

X

2 cm

60°


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II. Para resolver el problema en forma analítica, observamos que el triángulo formado

OPR es un triángulo equilátero, por lo tanto la longitud del lado OR es de 2 cm.

cmBAR )0;2(

III. Otro método analítico es por medio de las componentes de los vectores A y B , así:


A 160cos2 xA 3602 senAy

B 160cos2 xB 3602 senBy

R 211 xR 033 yR

cmR )0;2(

En la siguiente figura se muestra la resultante gráficamente:

b) Diferencia A – B y B – A .

I. Para encontrar gráficamente el vector diferencia A – B , hacemos lo siguiente,

trazamos el vector – B , entonces tenemos los vectores A y – B , cuya resultante se

obtiene gráficamente por el método del paralelogramo:

S

La diagonal OR resultará ser la resultante A – B que tiene una longitud de 3,46 cm.

cmS )46,3;0(

Y

R

X

O

Y

X

R

A

3,46 cm

60°

– B

BAS


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En forma similar obtenemos el vector B – A . En

este caso trazamos el vector – A , por lo que

tenemos los vectores B y – A , cuya resultante es

B – A , este vector tiene por longitud también

3,46 cm.

cmT )46,3;0(

II. Para resolver el problema analíticamente, observamos

que se ha formado un triángulo isósceles OPR, de lados

OP y PR iguales a 2 cm y ángulos iguales de 30°, por lo

tanto el OPR es igual a 120°.

Aplicando la ley de cosenos, el vector resultante c

tendrá por módulo:

c 2 = a 2 + b 2 – 2ab cos 120°

c 2 = 2 2 + 2 2 – 2(2)(2)(– 0,5)

c 2 = 12

c= 2 3 = 3,46 cm

luego: cmC )46,3;0( . Para el otro caso, se obtiene el vector opuesto a C.

III. Trabajando por medio de los componentes para hallar el vector A – B utilizamos

los resultados de la tabla de componentes obtenida anteriormente:


A xA = 1 yA = 3

B – xB = – 1 – yB = 3

R

cmR )46,3;0(

En la siguiente figura se muestra la resultante gráficamente:

Análogamente obtenemos cmAB )46,3;0(

B

R

O

P 120°

A

C

xR = 0 yR = 2 3 = 3,46 cm.

R

60°

P

O

Y

A

B

X

A

T ABT

X

R

Y


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4. Los vectores U y V son las componentes del vector AC de tal manera que éstos son paralelos

a los lados del hexágono AB y AE, respectivamente, tal como se muestra en la siguiente figura:

HEXÁGONO ABCDEF DE LADO L

¿Cuáles son los módulos de U y V ?

SOLUCIÓN

Analicemos primeramente los ángulos que forma el vector AC con los lados AB y AE que nos

darán la dirección de los vectores U y V , respectivamente, teniendo en cuenta que el ángulo

interno de un hexágono inscrito en una circunferencia es 120°:

Los ángulos BAC y FAE son 30° por pertenecer a un triángulo isósceles cuyo ángulo desigual es

120°. De esta manera se encuentra que el ángulo comprendido entre los vectores AB y AE es

90°, dicho de otra manera el ángulo comprendido entre U y V es 90°, como lo mostramos en la

siguiente figura:

U = AC sen 60° ........()

V = AC cos 60° ........()

E

B

A

F

C

D

E

B

A

F

C

D 120°

120°

60°

30°

30 A

V

E

60 C

U


18

La longitud del lado AC se puede hallar fácilmente observando el triángulo ABC de la figura:

Reemplazando en y :

U = L 3 . 2

3 = 2

L3

V = L 3 . 2

1 = 2

L 3

5. Juan camina 5 km hacia el este. A continuación gira 60° en sentido antihorario y avanza 2 km.

Luego gira 25° en sentido horario y avanza 3 km.

a. ¿A qué distancia se encuentra Juan del punto de partida? ¿Qué ángulo forma el vector

que va del origen de coordenadas a la ubicación final de Juan con el este?

b. ¿Qué ángulo debe de girar en sentido antihorario para volver al punto de partida?

SOLUCIÓN

Un gráfico del movimiento de Juan nos

ayuda bastante a plantear la solución del

ejercicio. Consideremos que el eje X es el

este y el eje Y es el norte.

El vector del primer tramo (rojo) es:

(5 ; 0) km

El vector del segundo tramo (verde) es:

(2cos 60° ; 2 sen 60°) km

El vector del tercer tramo (azul) es: (3 cos 35° ; 3 sen 35°) km

La suma de los tres vectores es (8,46 ; 3,45) km y el módulo de este vector es 9,14 km. Por lo

tanto Juan se encuentra a 9,14 km del punto de partida. El vector que va del origen de

coordenadas a la ubicación final de Juan es el vector resultante. Luego, el ángulo que forma el

vector resultante con el este es 22,2°.

Si Juan desea regresar al punto de partida, el vector que debe seguir debe ser (-8,46; -3,45) km.

El vector para regresar forma un ángulo de 180º + 22,2° con el este. Como actualmente Juan

forma un ángulo de 35° con el este, el ángulo que debe de girar para regresar al punto de partida

es 180° + 22,2° - 35° = 167,21° en sentido antihorario.

5 km

2 km

3 km

60 °

25 °

N

E

B

L L

A C 30 30

AC = 2L cos 30° = L 3


19

Preguntas Conceptuales

Responde las siguientes preguntas justificando tus respuestas.

1. Si se convierte el valor de una magnitud física, de un sistema de unidades a otro, ¿qué

dimensiones debe tener el factor de conversión usado? De un ejemplo.

2. Dados dos vectores A y B. ¿Es posible que el módulo de la suma de dichos vectores sea menor

que el módulo de cualquiera de ellos? De un ejemplo.

3. Dados dos vectores A y B. ¿Es posible que el módulo de la suma de dichos vectores sea mayor

que el módulo de cualquiera de ellos? De un ejemplo.

4. Dados dos vectores A y B. ¿En qué caso se cumple que el módulo de la resultante es igual a la

suma de los módulos de cada uno de los vectores?

5. ¿Es posible encontrar un vector de módulo cero cuyas componentes en el plano cartesiano sean

distintas de cero?

6. ¿El módulo de un vector puede ser menor que la magnitud de sus componentes en el plano

cartesiano? ¿Puede ser mayor?

7. Considere dos ejes X e Y que forman un ángulo α, y un vector A que parte del origen y se

orienta a lo largo de la bisectriz del ángulo entre los ejes, ¿es posible determinar dos vectores, a

lo largo de cada eje, cuya suma sea el vector A? Justifique su respuesta gráficamente.

Ejercicios

1. La casa de las pastas vende una pizza de 8 pulgadas de diámetro a 20 soles. Si escoges un sector

de ella que vale 5 soles, ¿cuánto mide la superficie del pedazo de pizza que escogiste? De su

respuesta en cm2. (Dato: 1pulgada = 2,54 cm)

2. Un leopardo en carrera puede alcanzar una velocidad de 100 km/h. En contraste, un caracol

puede alcanzar una velocidad de 1,8 mm/s. ¿Qué fracción de la velocidad del leopardo es la

velocidad del caracol?

3. ¿Cuánto debe medir el radio en (m) de una esfera que alberga una masa de 0,0060kg de

Neptunio? La densidad del Neptunio es 19,5 g/cm3 (densidad = masa/volumen y volumen =

4πradio3/3).

4. Un documento de texto en formato PDF, de unas 500 páginas, ocupa en promedio unos 5 Mb de

memoria en el disco duro de una computadora. En supercomputadoras modernas es posible

disponer de medios de almacenamiento que llegan a los 100 Tb de información (1 Tb = 1012

b).

¿Cuántas páginas de texto se podrían almacenar en estos dispositivos?

5. En las áreas científicas, es común trabajar con números muy grandes o muy pequeños, que se

escriben en la forma na 10 , donde a es un decimal tal que 101 a y n es un entero. A esta

representación se le denomina notación científica. Determine cuántos segundos hay en 60 días,

y escribe tu respuesta usando la notación científica.


20

6. Dados los vectores )6;2(A

, )3;2( B

, )2;4(C

y )4;3( D

a) Ubique los vectores en un mismo plano cartesiano.

b) Halle la resultante de los vectores.

c) Determine |432| DCBA

7. En la siguiente figura indique cuál de los siguientes grupos de vectores (I, II o III) tiene

resultante nula. Justifique adecuadamente.

8. Considerando el grupo de vectores de la siguiente figura se pide:

a) Halle la resultante usando el método gráfico.

b) Halle la resultante usando el método analítico.

c) ¿Cuánto vale el módulo de la resultante?

9. Hallar el módulo de la resultante del conjunto de vectores mostrados en la siguiente figura.

Datos: MO = OP , NO a y B = 0,5a.

10. Hallar el módulo de la resultante del conjunto de vectores mostrados en la siguiente figura.

Datos: MQ QN b y PR RN a .

A

B

C

Q

N P

M

R

P M

C B

A

O

N

I. II. III.

a

a

a a a


21

11. En la figura se muestran tres vectores, cuyos módulos son 300|| A

, 400|| B

y 500|| C

.

Además, los ángulos son 45 , 60 y 30 .

a) Determinar las componentes x e y de cada vector.

b) Hallar la resultante de los tres vectores.

c) Hallar el módulo de la resultante.

d) Hallar el ángulo que forma la resultante con el eje x positivo.

12. Calcular el vector resultante del siguiente sistema de vectores. 4a , 10b y 3c

13. En un cuadrado de lado L están representados los vectores A , B , C y D . Determinar el

módulo de cada una de las siguientes operaciones vectoriales:

a) BA

b) CA B

c) DCA B

d) DCA B

e) DCA B

14. Para el siguiente sistema de vectores, determinar cuáles de las siguientes proposiciones son

verdaderas

a) ggedcba 4

b) ade

c) 0 deg

d) bdc 2

e) agdeb

30°

75°

120°

X

Y

a

b

c

D

A

B

C

a

b

c d e

g


22

Problemas

1. El volumen de sangre del cuerpo humano varía con la edad, tamaño y sexo de la persona. En

promedio, el volumen es de unos 5,0 litros. Un valor representativo para la concentración de

glóbulos rojos (eritrocitos) es de 5 000 000 por mm3, y el número de glóbulos blancos

(leucocitos) es de 10 000 células por mm3. (Dato: 1 litro = 10

3 cm

3)

a) Estime el número de glóbulos rojos que hay en la sangre de un cuerpo humano promedio.

b) Estime el número de glóbulos blancos que hay en la sangre de un cuerpo humano promedio.

2. La energía cinética de una masa en movimiento está definida como mv2/2, donde m es la masa y

v es la velocidad. Si la masa se mide en kg y la velocidad en m/s, la energía resulta en joule (J).

El meteorito que exterminó a los dinosaurios hace 65 millones de años tenía 2,62×1015

kg de

masa y se estrelló contra la Tierra a una velocidad de 11,2 km/s. Actualmente, el arma de

destrucción más poderosa que hay en la Tierra son las bombas de hidrógeno de 100 megatones.

Un megatón es la energía de 1 millón de toneladas de dinamita, equivalente a 4,184×1015

J.

a) Determine la energía cinética del meteorito que exterminó los dinosaurios.

b) Halle cuántas bombas de hidrógeno son necesarias para producir la misma cantidad de

energía.

3. Un año luz es una unidad de longitud empleada en astronomía. Un año luz es la distancia que

recorre la luz en un año. Se sabe que la luz se mueve a una velocidad de 299 792 kilómetros por

segundo (esto significa que por cada segundo que pasa la luz recorre 299 792 km). Considere

que el año tiene 365 días de 24 horas.

a) La distancia entre el Sol y la estrella más próxima es de 4,22 años luz. Expresa esta distancia

en kilómetros.

b) En la serie de ciencia ficción Viaje a las estrellas, las naves espaciales pueden ir a una

velocidad que llaman Warp 8. Dicha velocidad equivale a recorrer 22000 años luz en un

año. Encuentre cuántos kilómetros se pueden recorrer a Warp 8 en una hora.

4. Cierta localidad, en la que habitan unas 400000 personas, es abastecida de agua por un lago que

tiene una extensión superficial de 50 km2 y una profundidad de 1,5 km. Cada familia de esta

localidad cuenta en promedio con cuatro personas quienes usan aproximadamente unos 300

galones de agua por día. Se sabe además que un galón equivale a unos 4 litros, y que 1 litro

equivale a 1000 cm3. Asumiendo que el lago no pierde agua por evaporación y otros factores, y

que un año tiene 365 días, determinar:

a) El volumen de agua (en m3) que se consume anualmente en dicha localidad.

b) La profundidad (en cm) que perderá el lago anualmente.

c) El número de años que el lago podrá abastecer la población. Asuma que es posible extraer

solamente un 85% del volumen total de agua del lago.

5. El reloj de cuarzo, es un reloj electrónico que se caracteriza por poseer una pieza de cuarzo que

realiza cierta cantidad de vibraciones a intervalos regulares de tiempo. Por ejemplo en un

segundo el cuarzo realiza 32 768 vibraciones. Se define la frecuencia como el número de

vibraciones por segundo y su unidad es el hertz. El cuarzo tiene una frecuencia de 32 768 hertz.

Si en vez del cuarzo utilizamos un máser de hidrógeno para medir el tiempo, el reloj se atrasaría

un segundo cada 100 000 años. La frecuencia del máser de hidrógeno es de 1,42041 ×109

hertz.

Contestar las siguientes preguntas para un reloj controlado por un máser de hidrógeno:

a) ¿Cuánto tiempo tarda en realizar una vibración?

b) ¿Cuántas vibraciones ocurren en una hora?

c) ¿Cuántas vibraciones habría realizado durante la edad estimada de la tierra: 4,6 ×109

años?

d) ¿Cuánto tiempo (en horas) se habría atrasado en 4,6 ×109

años


23

6. Indiana Jones parte de la ciudad A y se debe dirigir al suroeste hacia la ciudad perdida B. Luego

de recorrer 5,0 km en línea recta se percata que ha seguido una dirección incorrecta (desviada

un ángulo desconocido hacia el sur) y que para llegar a B debe girar 53º y viajar 1,0 km en línea

recta directamente hacia el oeste. Determinar:

a) La distancia separa las ciudades A y B.

b) El ángulo de desviación entre la dirección correcta y la equivocada.

7. Un maratonista debe realizar la trayectoria de una competencia en cinco tramos rectos. Primero,

debe dirigirse 3,0 km hacia el norte, luego debe girar 30° en sentido horario y recorrer 4,0 km.

A continuación, girar 70° en sentido horario y recorrer 8,0 km. Finalmente, girar 25° en sentido

antihorario y recorrer 10 km. Si la meta se encuentra a 25 km al este del punto de partida,

determinar

a) La distancia que debe recorrer en el último tramo.

b) El ángulo que debe girar, y su sentido respectivo (horario o antihorario), para pasar del

cuarto al quinto tramo.

8. Hallar la magnitud de la resultante R = a + b + c + d , si a = 5 m y ABCDEF son los

puntos del hexágono regular mostrado.

9. Un niño explorador parte del punto J y camina

3,5 km hasta llegar al punto K. Luego, camina

3 km y llega al punto L. Finalmente, camina

1,5 km y llega al punto M, donde se detiene.

En la figura, las letras A, B, C y S representan

vectores. Si el vector A es perpendicular al

vector C, Determina:

a) Las componentes x e y del vector S.

b) El módulo del vector S.

c) El ángulo .

10. En la figura se muestra la fuerza aplicada por cada una de

tres personas A, B y C que se disputan un cofre lleno de

oro. La persona A aplica una fuerza de módulo 80,0 N

mientras que la persona B aplica una fuerza de módulo

40,0 N. Se sabe además, que la fuerza resultante aplicada

por las tres personas es nula.

a) Esboce un gráfico en la que muestre la suma de los tres

vectores.

b) Usando la ley de cósenos, determine el módulo de la

fuerza aplicada por C.

c) Usando la ley de senos, determine el ángulo α.

Y

X

A

B

50º

10º

C

E

B

A

F

C

D

a b

c d

J

K

L

M

A

B

C

S

= 45°


24

11. En la figura, hallar el valor de y || A de manera que la resultante de los tres vectores

mostrados sea cero. Datos: || B = 20 y || C = 40. (Sugerencia: utilizar el método gráfico)

12. Durante unas maniobras navales, un submarino ubicado en el punto P avista una fragata ubicada

en el punto Q. Se determina que la distancia entre las naves es de 10 km. La fragata para escapar

del submarino navega 30 km en dirección Este y se detiene en el punto R. Desde el submarino

inmóvil se detecta la nueva posición de la fragata y se calcula que la dirección PR forma 15°

con el anterior avistamiento, dirección PQ. Determina la nueva distancia que media entre las dos

naves.

13. Un ciclista se encuentra en el punto O (origen de

coordenadas) y realiza el recorrido mostrado en la

figura. Del punto O al punto P hay una distancia de

37 km, del punto P al punto Q hay una distancia de

65 km, del punto Q al punto R hay una distancia de

106 km y del punto R al punto S hay una distancia

de 40 km. Determina:

a) ¿qué distancia hay del punto S al punto O?

b) ¿qué dirección (indica el ángulo respecto al eje

x positivo) debe seguir el ciclista para ir del

punto S al punto O?

A B

C

Y

X

20º

20º

N

E

S

O

Submarino

P

Q Fragata

10 km

50° 63°

45° 60°

x

y

O

P

Q

R

S


25

14. El gráfico muestra el recorrido seguido por un

automóvil a través del centro de una ciudad. El

auto parte de una cochera situada en el origen de

coordenadas y luego se desplaza a lo largo de tres

avenidas, pasando por el supermercado (S), el

Ministerio de Trabajo (M) y la Plaza de Armas de

la ciudad (P). Si la distancia que hay entre la

cochera y el supermercado es de 8,0 km y es igual

a la distancia que hay entre la cochera y la Plaza

de Armas, determinar:

a) La distancia entre el supermercado y el

Ministerio.

b) La distancia entre el Ministerio y la Plaza de

Armas.

c) El ángulo que hacen las avenidas SM y MP.

15. En la figura adjunta se muestra las maniobras que

realiza un barco detectadas por medio de un radar.

Inicialmente el barco se encontraba junto al radar.

Luego se mueve una distancia de 5,0 km siguiendo

una dirección de 40° con el Este. En seguida cambia

su dirección 85° con respecto a la anterior y se

mueve una distancia de 2,0 km. A continuación,

vuelve a cambiar su dirección 75° con respecto a la

anterior y se desplaza una distancia de 4,0 km.

Finalmente, cambia su dirección 80° con la

dirección anterior y se desplaza una distancia de 3,0

km. Usando el método analítico determine la

distancia final que hay entre el radar y el barco y la

dirección que debe seguir el barco (ángulo con

respecto al Este) para retornar al punto de partida.

E

N

15º

75º

X

Y

O P

M

S


26

Respuestas a los ejercicios

1. 81,07 cm2

2. 6,48×10-5

3. 0,0042 m

4. 1010

5. 610184,5 s

6. )1;1( ; 46,87

7. II y III

8.

a) ---

b) R = (–3a; 3a);

c) 4,24a

9. 2

5a

10. 22 49 ba

11.

a) )45300;45cos300( senA

)60cos400;60400( senB

)30500;30cos500( senC

b) ),;,( 1316229567

c) 590

d) 164,05°

12. (–6,5 ; 8,3)

13.

a) L2

b) L c) 0

d) L22

e) 0

14. b y e

Respuestas a los problemas

1.

a) Glóbulos rojos: 2,5×1013

b) Glóbulos blancos: 5,0×1010

2.

a) 1,64×1023

J

b) 392750

3.

a) 3,99 1013

km

b) 2,37 1013

km

4.

a) 4,38 107

m3

b) 87,6 cm

c) 1455 años

5.


27

a) 7,04 10-10

s

b) 5,11 1012

c) 2,06 1026

d) 12,8 h

6.

a) 5,66 km

b) 8,1º

7.

a) 9,41 km

b) 69,5º en sentido horario

8. 20 m

9.

a) Sx = 5,62 km

Sy = 0,62 km

b) 5,65 km

c) 6,3°

10. a) ---

b) 105,8 N

c) 30,89º

11. = 10° ; 64,34A

12. 39,55 km

13.

a) | | 30.31OS km

b) 70,9º

14. a) 15,46 km

b) 17,40 km

c) 57,4º

15. a) 3,24 km

b) 182,4º

cap 1 - magnitudes fisicas y vectores

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