guia de magnitudes y vectores...pdf

7/25/2019 GUIA DE MAGNITUDES Y VECTORES...pdf

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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL

FRANCISCO DE MIRANDA

AREA DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE FISICA Y MATEMATICA

UNIDAD CURRICULAR: FISICA I

IINNTTRROODDUUCCCCIINNAALLAASSCCIIEENNCCIIAASSFFSSIICCAASS..UUNNIIDDAADDII..MMAAGGNNIITTUUDDEESSFFSSIICCAASS..

VVEECCTTOORREESS..

GUIA ELABORADA POR:

PROF. LEXIMARTH VALLES

PROF. FRANCYS SAAVEDRA

Octubre; 2015


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Tema 1.Introduccin a la Fsica

La Fsicaes la ciencia fundamental de la naturaleza, que estudia las propiedades de la materia, la energa, eltiempo, el espacio, y sus interacciones (fuerza).

Para poder desarrollar su trabajo, la fsica usa diferentes auxiliares que podemos llamar HERRAMIENTAS:

El pensamiento; que le permite observar, razonar y relacionar.

Los sentidos y los instrumentos; para la observacin y medicin.

El lenguaje; tanto hablado como escrito.

Las matemticas son el lenguaje cientfico por excelencia debido a sus cualidades de ser preciso, sinttico,sencillo y universal. En fsica, se relaciona una cantidad que es medida con el fin de cuantificarla, y es llamadamagnitud fsica.

Magnitudes fsicas: Se denomina magnitud fsica a cualquier concepto fsico que pueda ser cuantificado, y portanto, es susceptible de aumentar o disminuir.

Las magnitudes fsicas pueden clasificarse en:

Magnitudes fundamentales.

Magnitudes derivadas

Magnitudes fundamentales

Son aquellasmagnitudes fsicas que, gracias a su combinacin, dan origen a lasmagnitudes derivadas.Tres delas magnitudes fundamentales ms importantes son lamasa, lalongitud y eltiempo, pero en ocasionesenfsica tambin resulta importante agregar a la temperatura,laintensidad luminosa,lacantidad de sustancia y

laintensidad de corriente (esta ltima, estudiada en Fsica II ). Actualmente, son siete, las magnitudes

fundamentales:

Longitud:metro (m). El metro es la distancia recorrida por la luz en el vaco en 1/299 792 458 segundos.

Tiempo:segundo (s). El segundo es la duracin de 9 192 631 770 perodos de la radiacin correspondientea la transicin entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del cesio-133.

Masa:kilogramo (kg). El kilogramo es la masa de un cilindro de aleacin de Platino-Iridio depositado enlaOficina Internacional de Pesas y Medidas.

Intensidad de corriente elctrica:amperio (A). El amperio o ampere es la intensidad de una corrienteconstante que, mantenindose en dos conductores paralelos, rectilneos, de longitud infinita, de seccincircular despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro, en el vaco, producira una fuerzaigual a 210-7newton por metro de longitud.

Temperatura:kelvin (K). El kelvin es la fraccin 1/273,16 de la temperatura del punto triple del agua. Cantidad de sustancia:mol (mol). El mol es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas

entidades elementales como tomos hay en 12 gramos decarbono-12.

Intensidad luminosa:candela (cd). La candela es la unidad luminosa, en una direccin dada, de una fuenteque emite una radiacin monocromtica de frecuencia 5401012Hz y cuya intensidad energtica en dichadireccin es 1/683vatios porestereorradin.
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Magnitudes derivadas

Son aquellas que en la combinacin de lasmagnitudes fundamentales se derivan y que se pueden determinar apartir de ellas utilizando las expresiones adecuadas.

Todas las magnitudes fsicas derivadas se definen como combinacin de las magnitudes fsicas fundamentales.

A (rea)= L2 a (Aceleracin)= L/T2

V (Volumen)= L3 F (Fuerza)= ML/T2

D (Densidad)= M/L3 E (Energa)= ML2/T2

Una vez definidas las magnitudes que se consideran bsicas, las dems resultan derivadas y se puedenexpresar como combinacin de las primeras.

Sistemas de unidades

Un sistema de unidades es un conjunto consistente deunidades de medida. Definen un conjunto bsico deunidades de medida a partir del cual se derivan el resto. Existen varios sistemas de unidades, entre los ms

usados son:

Sistema Internacional de Unidadeso SI: es el sistema ms utilizado. Sus unidades bsicas son: elmetro,elkilogramo, elsegundo, elampere, el kelvin, lacandela y elmol. Las dems unidades sonderivadas delSistema Internacional.

Sistema cegesimalo CGS: denominado as porque sus unidades bsicas son elcentmetro, elgramo yelsegundo.

Sistema tcnico de unidades:derivado del sistema mtrico con unidades del anterior. Este sistema est endesuso.

Sistema Ingls de unidades: La mayora de los pases del mundo utilizan el metro como unidad de longitud.Sin embargo, algunas naciones de habla inglesa, usan otras medidas que no pertenecen a nuestro sistemadecimal de pesas y medidas. Esas medidas se llaman inglesas y tienen nombres y valores distintos de los que

nosotros usamos. Las unidades del sistema ingls de medidas de longitud son: la milla (mi), la yarda(yd),elpie(ft) y lapulgada (in).

Factores de conversin

Es la relacin adimensional entre la magnitud de una propiedad fsica expresada en diferentes sistemas deunidades.

(Diferente patrn de referencia para las dimensiones bsicas)

Ejemplos:

Masa 1 lb = 0,453 kg

Longitud 1 in = 2,54 cm

Presin 14,7 psi = 1 atm

Temperatura 1 DK = 1,8 DR

Fuerza 1 lbf = 4,448 N
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Conversin de Unidades

Es la transformacin de una cantidad, expresada en launidad de medida,en otra equivalente, que puede ser delmismo sistema de unidades o no. Para ello se utilizan losfactores de conversin, los cuales se encuentran enlastablas de conversin(ver tablas anexas).

Frecuentemente basta multiplicar por unafraccin (factor de conversin) y el resultado es otra medidaequivalente, en la que han cambiado las unidades.

Por ejemplo, si se desea realizar la conversin de 1000km/hora a millas/seg.

1. Se ubica el factor de conversin de cada magnitud fsica a transformar;

1milla = 1,609km y1hr=3600seg.

2. Se multiplica la cantidad por una fraccin del factor de conversin, tomando en cuenta que lamultiplicacin anule la unidad que se desea transformar.

=0,17

Anlisis Dimensional

Cuando hablamos de dimensiones de una cantidad, nos referimos al tipo de unidad o cantidades bsicas que laconstituyen. Por ejemplo, las dimensiones de un rea son siempre una longitud al cuadrado [L2]. Usando uncorchete y una abreviatura especifica, por lo general la abreviatura en mayscula.

El ANAL ISIS DIMENSIONAL: es un procedimiento til para verificar si una ecuacin es correcta o no. Esteprocedimiento aprovecha el hecho que las dimensiones pueden tratarse como cantidades algebraicas.Entendindose por dimensin: naturaleza fsica de una cantidad.

Para su aplicacin, se debe tener en cuenta las siguientes consideraciones:

No se debe confundir la dimensin de una cantidad con las unidades en las cuales se mide.

Los smbolos utilizados para denotar las dimensiones son trminos relacionados con las magnitudesfundamentales y derivadas, entre algunas se tienen:

Fundamentales Longitud [L]; masa [M]; tiempo [T]

Derivadas velocidad [L/T]; aceleracin [L/T2]; fuerza [M.L/T2]

Pueden sumarse o restarse cantidades algebraicas que tengan la misma dimensin. Ejemplo: M + M = M

Cuando se utiliza este anlisis las cantidades numricas y trigonomtricas, son adimensionales (notienen dimensin). Ejemplo: Si aes un numero o constante, entonces [a] = 1, lo cual expresa que a notiene dimensiones. Si F(y) es una funcin trigonomtrica entonces [ F(y)] =1 y, adems [y] = 1

Una ecuacin es Dimensionalmente Homognea cuando los trminos satisfacen la igualdad en base ala misma cantidad.
http://es.wikipedia.org/wiki/Unidad_de_medidahttp://es.wikipedia.org/wiki/Factores_de_conversi%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tablas_de_conversi%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tablas_de_conversi%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Factores_de_conversi%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Unidad_de_medida


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Tema 3. Vectores

Con el fin de poder describir estas cantidades fsicas, llamaremos a las magnitudes que solo se describen con

un numero magnitudes escalaresy aquellas que se deben especificar su valor y su direccin las llamaremos

magnitudes vectoriales

Magnitudes Escalares: son las que quedan correctamente expresadas por medio de un nmero y lacorrespondiente unidad. Ejemplo de ello son: Masa, Temperatura, Presin y tiempo.

Magnitudes vectori ales: son magnitudes que para estar determinadas precisan de un valor numrico, unadireccin, un sentido y un punto de aplicacin. Ejemplo de ello son: velocidad, aceleracin y fuerza.

Vector: es una magnitud fsica, representada por un segmento de recta dirigido y orientado, que tiene un valorde magnitud, direccin y sentido. Cada vector posee estas caractersticas:

Origen:tambin denominado Punto de aplicacin. Es el punto exacto sobre el que acta el vector. Mdulo: Es la longitud o tamao del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del

vector, pues para saber cul es el mdulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo. Direccin: Viene dada por la orientacin en el espacio o en el plano de la recta que lo contiene, es decir,

el ngulo es quien representa la direccin de un vector. Sentido: Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qu

lado de la lnea de accin se dirige el vector.

Notacin:Los vectores se denotaran con letra mayscula o minscula colocndole una flecha sobre la letra:

Aa;

Cuando se refiere al modulo del vector se emplea la notacin A

Tipos de vectores

Vectores iguales cuando tienen el mismo mdulo y la mismadireccin

Vectores opuestos Tienen mismo modulo y direccin, pero sentidosopuestos

Vector libre Queda caracterizado por su mdulo, direccin ysentido. El vector libre es independiente del lugaren el que se encuentra y no tiene un punto deaplicacin especfico, es decir, no se encuentra enun sistema de referencia dado.

Vector fijo Cuando este se encuentra sobre un punto deaplicacin, y para su estudio se representa sobreun sistema de referencias dado.


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y

Vector deslizante su punto de aplicacin puede trasladarse a lo largode su lnea de accin, es decir, siguiendo la mismadireccin y sentido

Vectores coplanarios Vectores cuyas lneas de accin estn situadas en

un mismo plano.

Vectoresconcurrentes

Son aquellos cuyas lneas de accin concurren enun punto propio de aplicacin o coinciden en unmismo punto.

Vectores unitarios Son aquellos que tienen por modulo la unidad. modulo=1

En este caso, haremos uso de los vectores fijos, ya que estos tienen un punto de aplicacin en cualquiersistema de referencia para su estudio y descripcin, siendo as ms exactos los resultados que se deseenobtener. Existen dos sistemas de coordenadas cartesianas en los cuales se pueden representar los vectores, eneste caso haremos referencia, y representaremos los vectores en el plano.

Vectores en el plano

Para poder representar cada vector en un sistema de coordenadas cartesianas, haremos uso de dos vectoresunitarios. Estos vectores unitarios, son unidimensionales, es decir, tienen mdulo la unidad (1), sonperpendiculares entre s y correspondern a cada uno de los ejes del sistema de referencia.

Por ello, al eje de las X, le dejaremos corresponder el vector unitario .

Del mismo modo, al eje Y, le corresponder el vector unitario .

Clculo del mdulo y direccin de un vector en el plano.

Sea V(x,y) el vector, del que se conocen sus coordenadas x e y. El mdulo se calcula aplicando el teorema dePitgoras.

x

yactan

22 yxV

Lnea de accin

Punto deaplicacin

x

Modulo o magnitud de un vector

Direccin de un vector


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xV

Operaciones con vectores. Suma y resta

La suma de dos vectores libres o fijos se determina mediante la aplicacin de varios mtodos, existiendo paraello, los mtodos analticos y grficos:

Entre los mtodos analticos, se tienen:

Mtodo de descomposicin de las componentes rectangulares. Mtodo de identidades trigonomtricas: aplicacin de la ley del seno y del coseno.

Los mtodos grficos a utilizar son:

Mtodo del paralelogramo. Mtodo del triangulo. Mtodo del polgono.

Al vector que se obtiene al sumar o restar varios vectores se le denomina vector resultante R

.

Mtodo de descom po sicin de un vector en sus comp onentes rectangulares.

Con el fin de obtener la magnitud de un vector, se emplea el mtod o de las compon entes, el cual consiste entrazar una proyeccin a cada eje desde el extremo del vector y el punto donde coincida esta proyeccin con eleje ser otro vector componente de ese eje. Realizando lo mismo para cada eje (x, y, z).

En el siguiente diagrama, se pueden observar las componentes de un vector

Y

xV

X

- yV

V

Por lo tanto;

sen.VyV

cos.VxV

Proyeccin desde el

extremo, hasta el eje x

Dichas componentes, se pueden

calcular por trigonometra, si sabemos que:

Hip

AC.cos

;Hip

OCsen

.

V

Vx

cos Hip

Vysen

;

V

V


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Mtodo de identidades trigonomtricas

Ley del coseno:es una generalizacin delteorema de Pitgoras en los tringulos no rectngulos que se utilizanormalmente para encontrar un lado desconocido del triangulo.

El teorema relaciona un lado de un tringulo con los otros dos y con elcoseno delngulo formado por estos doslados.

Ley del seno: es una relacin deproporcionalidad entre las longitudes de los lados de untringulo y lossenosde los ngulos respectivamente opuestos. Si en un tringulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los

ngulos , y son respectivamente a, b, c, entonces:

Esta ley se utiliza para obtener la magnitud de uno de los lados del triangulo despejndolo de la ecuacin dada.

Mtod o del par alelo gr amo

Consiste en trasladar paralelamente los vectores hasta unirlos por el origen, y luego trazar un paralelogramo,desde el origen de los dos vectores hasta el punto donde se unen las rectas paralelas de cada vector. Siendo elresultado de la suma, la diagonal de ese paralelogramo, como se observa en el siguiente dibujo:

Dado el tringulo ABC,siendo , , ,los ngulos y

a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos

ngulos entonces:

.
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1gorashttp://es.wikipedia.org/wiki/Cosenohttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Proporcionalidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Seno_(matem%C3%A1ticas)http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulohttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/01/Vectoren_optellen.svghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Ley_de_los_senos.svghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Triangle_with_notations_2.svghttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Seno_(matem%C3%A1ticas)http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Proporcionalidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Cosenohttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras


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Mtodo d el t ringulo

Consiste en dibujar un vector a continuacin de otro; es decir, el origen de uno de los vectores se lleva sobre elextremo del otro. Y luego se obtiene el vector resultante al unir el origen del primer vector con el extremo delsegundo.

C

Mtodo del Polgono.

Otra manera de expresar la suma de manera grfica, es cuando se tienen ms de dos vectores comenzandodesde el origen del primer vector hacindolo coincidir con el origen del sistema de coordenadas cartesianas y

sobre el extremo de este primer vector dibujar el origen del segundo vector, haciendo lo mismo para los vectoressucesivos. Hasta que se une el origen del primer vector con el extremo del ltimo, para obtener as el vectorresultante.

Producto de un vector por un escalar

El resultado de multiplicar un escalar kpor un vector v, expresado analticamente por k.v, es otro vector con lassiguientes caractersticas:

1.- Tiene la misma direccin que v.2.- Su sentido coincide con el de v, si kes un nmero positivo y es el opuesto si kes un nmero negativo.

3.- El mdulo es kveces la longitud que representa el mdulo de v. (Si kes 0 el resultado es un vector nulo).

Analticamente, tenemos que multiplicar el escalar por cada una de las coordenadas del vector.

Ejemplo: Dado el vector vde componentes : vxi + vyj + vzk,

El producto de 3 v = 3 ( vxi + vyj + vzk)
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8a/Vectoren_optellen_2.svg


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Entonces 3 v = 3.vxi + 3 vyj + 3 vzk

El producto de un vector por un escalar cumple las siguientes propiedades:

1.- Conmutativa: k v= v k2.- Distributiva: k(v+ u) = (k v) + (k u)

3.- Elemento Neutro: 1 v= v4.- Elemento Simtrico: -1 v= -v

Producto escalar de dos vectores

El producto escalar de dosvectores en unespacio eucldeo se define como el producto de susmdulos porelcoseno del ngulo que forman.

cos.v.ucos.v.uv.u

En los espacios eucldeos, la notacin usual de producto escalar es

Esta definicin de carcter geomtrico es independiente del sistema de coordenadas elegido y por lo tanto delabase del espacio vectorial escogida.

Hemos estudiado que el producto escalar de dos vectores:

Podemos hacerlo

De donde obtenemos:

Por otra parte, podemos calcular el producto de dos vectores conociendo el ngulo que forman dichos vectores:

cos.v.uv.u

Calculamos:

Sustituimos los valores hallados en la frmula (I):
http://es.wikipedia.org/wiki/Vectorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_eucl%C3%ADdeohttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_(vector)http://es.wikipedia.org/wiki/Cosenohttp://es.wikipedia.org/wiki/Vector_(espacio_eucl%C3%ADdeo)http://es.wikipedia.org/wiki/Vector_(espacio_eucl%C3%ADdeo)http://es.wikipedia.org/wiki/Cosenohttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_(vector)http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_eucl%C3%ADdeohttp://es.wikipedia.org/wiki/Vector


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Producto Vectorial o Producto Cruz:

El producto vectorial es una multiplicacin entre vectores que da como resultado otro vector ortogonal a ambos.Dado que el resultado es otro vector, se define su mdulo, direccin y sentido.

Elmdulose calcula como el producto de los mdulos de los vectores multiplicado por el seno del ngulo quelos separa.

La direccines sobre la recta ortogonal a ambos vectores, es decir que forma 90 grados con los mismos.

La magnitud del producto vectorial se representa de la forma:

La direccines dada por laregla de la mano derecha.Si los vectores se expresan por medio de sus vectoresunitarios i, j, y k en las direcciones x, y, y z, entonces el producto vectorial, se puede desarrollar a travs deldeterminante de matriz 3x3, la cual se expresa de esta forma:

Entonces el producto vectorial de dos vectores A y B, se expresa de la siguiente forma:
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/vvec.html#vvc5http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/vvec.html#vvc5


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