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ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALESY

ANÁLISIS FUNCIONAL

Apuntes de la Asignatura

Curso: 2010/11

José D. Martín Gómez y José Real Anguas

Índice general

1. LAS ECUACIONES DEL CALOR Y DE ONDAS UNIDIMENSIONALES 41.1. Definiciones y motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Las ecuaciones de Laplace, del calor y de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. Problemas de valores iniciales, de contorno, y mixtos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4. Descripción del método de separación de variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5. Resultados de convergencia para desarrollos en serie de Fourier. . . . . . . . . . . . . . 131.6. Aplicación del método de separación de variables a la ecuación del calor unidimensional. 181.7. Solución clásica de los problemas de Cauchy y de Cauchy-Dirichlet para la ecuación de

ondas unidimensional homogénea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.8. El Principio de Duhamel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2. EL PROBLEMA DE DIRICHLET PARA LAS ECUACIONES DE LAPLACE YDE POISSON 322.1. Definiciones y motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2. Identidades de Green. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3. Principio del máximo débil. Consecuencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4. Solución fundamental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5. La fórmula de representación de Green: función de Green. . . . . . . . . . . . . . . . . 352.6. Resolución del problema (PDL) en una bola. La fórmula integral de Poisson. . . . . . 382.7. El problema de Dirichlet para la EDP de Poisson: potencial newtoniano. . . . . . . . . 42

3. FORMULACIÓN VARIACIONAL DEL PROBLEMA DE DIRICHLET PARA ELLAPLACIANO 453.1. Operadores lineales continuos en espacios de Hilbert. Operadores adjuntos. . . . . . . . 453.2. Teoremas de la Proyección y de Lax-Milgram. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3. Algunos espacios de funciones. Distribuciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.4. Los espacios de Sobolev H1(Ω), H1

0 (Ω) y H−1(Ω). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.5. Solución débil del problema de Dirichlet para el Laplaciano. . . . . . . . . . . . . . . . 63

4. TEORÍA ESPECTRAL DE OPERADORES COMPACTOS 674.1. Relaciones de ortogonalidad entre rango y núcleo de un operador y su adjunto . . . . . 674.2. Compacidad y operadores compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.3. Teorema de alternativa de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.4. Espectro de un operador compacto en espacio de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.5. Teorema de Hilbert-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.6. Aplicación del Teorema de Hilbert-Schmidt al espectro del laplaciano . . . . . . . . . . 78

2

Ecuaciones en Derivadas Parciales y Análisis Funcional 3

A. Algunos Resultados de Convergencia 83A.1. Convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83A.2. Convergencia uniforme de las series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

B. Problemas de Sturm-Liouville 87B.1. Soluciones de las EDO lineales de segundo órden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87B.2. Función de Green para el problema de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88B.3. Autovalores y autofunciones del problema de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . 89B.4. Otras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91B.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

C. Problema de Cauchy para la ecuación de ondas 93C.1. Fórmula de Green-Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93C.2. Existencia del problema de Cauchy para la ecuación de ondas . . . . . . . . . . . . . . 93

D. Integral de Superficie. 95D.1. Coordenadas esféricas en RN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95D.2. Dominios regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96D.3. Integral de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

E. Complementos sobre Regularización de funciones 100E.1. Particiones de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100E.2. Convolución de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102E.3. Regularización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Capítulo 1

LAS ECUACIONES DEL CALOR Y DEONDAS UNIDIMENSIONALES

1.1. Definiciones y motivación

Uno de los objetivos de este Curso es realizar una introducción al estudio de las Ecuaciones enDerivadas Parciales (EDP) de segundo orden, y más concretamente de las EDP lineales de segundoorden, centrándonos en los representantes canónicos de estas últimas EDP: las ecuaciones de Laplacey de Poisson, de ondas, y del calor.

De manera imprecisa, una EDP es una ecuación en la que la incógnita es una función de dos omás variables independientes, y tal que en dicha ecuación aparecen derivadas parciales, respecto delas variables independientes, de la función incógnita. Se denomina orden de una EDP al mayor de losórdenes de las derivadas parciales que aparecen en la misma. Así, por ejemplo, si u = u(x1, x2) es unafunción incógnita de las dos variables independientes x1 y x2, y F : R 7→ R es una función dada no

constante, entonces la ecuación F

(u +

∂4u

∂x41

)= 0 es una EDP de cuarto orden. Nosotros, como ya se

ha dicho, nos vamos a centrar en las EDP de segundo orden.

Definición 1.1.1 Sea N un entero mayor que 1. Una EDP de segundo orden en las N variablesindependientes x1, x2, ..., xN y en la función incógnita u = u(x1, x2, ..., xN ), es una expresión de laforma

(1.1) F

(x1, x2, ..., xN , u,

∂u

∂x1,

∂u

∂x2, ...,

∂u

∂xN,∂2u

∂x21

, ...,∂2u

∂xi∂xj, ...,

∂2u

∂x2N

)= 0,

donde, por fijar ideas, F : U 7→ R, con U ⊂ RN2+2N+1 abierto, es una función continua dada, es decir,con la notación habitual, F ∈ C0(U).

Observación 1.1.2 En la definición precedente, para simplificar la notación, es costumbre denotar

x = (x1, x2, ..., xN ), u = u(x), ∇u = Du =(

∂u

∂x1,

∂u

∂x2, ...,

∂u

∂xN

),

el vector gradiente de u, y

D2u =(

∂2u

∂x21

, ...,∂2u

∂xi∂xj, ...,

∂2u

∂x2N

),

la matriz hessiana de u, y con esta notación escribir la EDP (1.1) como

(1.2) F (x, u,Du, D2u) = 0.

4


A diferencia de lo que sucede con las ecuaciones diferenciales ordinarias, no existe una teoría general delas EDP, ni de las EDP de segundo orden. Lo que se puede desarrollar son teorías generales de “tipos”de EDP.

El concepto de solución de una EDP resulta de capital importancia. El análisis de dicho concepto,que a primera vista puede parecer evidente, ha dado lugar al desarrollo de nociones de gran importanciaen la actualidad, tales como las Distribuciones, los espacios de Sobolev, etc. Algunas de estas nocionesserán analizadas en la segunda parte de este Curso. Un estudio más profundo se llevará a cabo en lasasignaturas optativas Ampliación de Ecuaciones en Derivadas Parciales y Ecuaciones en DerivadasParciales de Evolución.

Por el momento, nos limitamos a introducir el concepto siguiente:

Definición 1.1.3 Una solución clásica de (1.2) es cualquier pareja (U, u) tal que

1. U ⊂ RN es un abierto no vacío,

2. u ∈ C2(U),

3. (x, u(x), Du(x), D2u(x)) ∈ U ∀x ∈ U,

4. F (x, u(x), Du(x), D2u(x)) = 0 ∀x ∈ U .

Se dice entonces, que u es solución de (1.2) en el abierto U .

Como ya ha sido dicho, no existe una teoría general para las EDP de segundo orden. Además, notodas estas últimas resultan tener el mismo interés; las hay que tienen tan sólo un interés puramenteacadémico, mientras que hay otras cuyo interés reside en tener su origen en problemas de la Física, deotra Ciencia de la Naturaleza, o en las Matemáticas mismas. Nosotros nos vamos a interesar por lasmás clásicas e importantes de este último tipo de EDP de segundo orden.

A continuación, introducimos un caso particular muy importante de la EDP (1.2).

Definición 1.1.4 Una EDP lineal de segundo orden en las variables independientes x = (x1, ..., xN )y en la incógnita u, es una EDP de la forma

(1.3)N∑

i,j=1

aij(x)∂2u

∂xi∂xj+

N∑

i=1

bi(x)∂u

∂xi+ c(x)u = f(x)

donde aij, bi, c y f son funciones dadas en C0(Ω), con Ω un abierto de RN . A las funciones aij, bi

y c se las denominan los coeficientes de (1.3), mientras que la función f es denominada el términoindependiente de la ecuación.

Si f ≡ 0, se dice que (1.3) es homogénea. Si las funciones aij, bi y c son todas constantes, se diceque (1.3) es una EDP lineal de segundo orden con coeficientes constantes.

Observación 1.1.5 En (1.3) siempre supondremos, lo cuál no es restrictivo, que aij ≡ aji.Evidentemente, una solución clásica de (1.3) es cualquier par (U, u) tal que U ⊂ Ω sea un abierto

no vacío, u ∈ C2(U), y

N∑

i,j=1

aij(x)∂2u(x)∂xi∂xj

+N∑

i=1

bi(x)∂u(x)∂xi

+ c(x)u(x) = f(x) ∀x ∈ U.

En el caso en que f ≡ 0, el conjunto de todas las soluciones clásicas de (1.3) definidas en un mismoabierto U ⊂ Ω es, evidentemente, un subespacio vectorial de C2(U), i.e. si u1, u2, · · · , uk y c1, c2, · · · , ck

son soluciones entonces∑k

i=1 ciui también es solución (Principio de superposición).

6 Ecuaciones en Derivadas Parciales y Análisis Funcional

Observación 1.1.6 Otras dos clases muy importantes de EDP de segundo orden son las semilineales,que son las de la forma

(1.4)N∑

i,j=1

aij(x)∂2u

∂xi∂xj= f(x, u,Du),

y las EDPs cuasilineales, cuya forma general es

(1.5)N∑

i,j=1

aij(x, u, Du)∂2u

∂xi∂xj= f(x, u, Du).

De todas maneras, como ya hemos dicho, nuestro estudio se va a centrar en las ecuaciones de Laplace,del calor y de ondas, que, como veremos, son tres EDP lineales de segundo orden de coeficientesconstantes.

Al igual que sucede con las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, los problemas que en la práctica seplantean para las EDP suelen consistir en añadir a la ecuación una o varias condiciones adicionales quehan de ser satisfechas por la solución. Como vamos ahora a ver, ya en el caso de las EDP lineales desegundo orden con coeficientes constantes el comportamiento frente a unas mismas condiciones varíade una ecuación a otra.

Supongamos fijada una función ϕ ∈ C1(R), y consideremos los problemas

(a)

∂2u

∂x1∂x2= 0 en R2,

u(x1, 0) = 0 en R,∂u

∂x2(x1, 0) = ϕ(x1) en R,

(b)

∂2u

∂x21

− ∂u

∂x2= 0 en R2,

u(x1, 0) = 0 en R,∂u

∂x2(x1, 0) = ϕ(x1) en R,

(c)

∂2u

∂x21

+∂2u

∂x22

= 0 en R2,

u(x1, 0) = 0 en R,∂u

∂x2(x1, 0) = ϕ(x1) en R,

(d)

∂2u

∂x21

− ∂2u

∂x22

= 0 en R2,

u(x1, 0) = 0 en R,∂u

∂x2(x1, 0) = ϕ(x1) en R.

En los cuatro problemas nos planteamos hallar una solución clásica global, es decir, una función u ∈C2(R2) tal que satisfaga las condiciones (denominadas iniciales) u(x1, 0) = 0 y

∂u

∂x2(x1, 0) = ϕ(x1)

para todo x1 ∈ R, y también satisfaga la EDP correspondiente en todo R2. Analicemos qué sucede encada uno de los cuatro problemas.

Problema (a).- Si u es solución de (a), entonces es inmediato concluir que se ha de tener queϕ′(x1) = 0 para todo x1 ∈ R. Es decir, para que el problema (a) posea solución clásica global, esnecesario que ϕ sea constante, esta condición es lo que se denomina una condición de compatibilidadpara el problema (a).

Por otra parte, si ϕ ≡ c, entonces el problema (a) posee una infinidad de soluciones; así, porejemplo, todas las funciones de la forma u(x1, x2) = cx2 + ax2

2, con a ∈ R arbitrario, son soluciones de(a).

En resumen, para el problema (a), en caso de existir solución existen infinitas.

Problema (b).- Si u es solución de (b), entonces en particular∂2u

∂x21

(x1, 0) =∂u

∂x2(x1, 0), pero

u(x1, 0) = 0 ∀x1 ∈ R =⇒ ∂2u

∂x21

(x1, 0) = 0 ∀x1 ∈ R,


con lo que, como se ha satisfacer∂u

∂x2(x1, 0) = ϕ(x1), obtenemos que ha de ser ϕ ≡ 0.

Es decir, el problema (b) posee solución si y sólo si ϕ es idénticamente nula. Obsérvese que laconclusión en este caso parece natural si se piensa que la EDP en (b) es de primer orden en la variablex2, mientras que se están imponiendo dos condiciones en x2 = 0.

Problema (c).- Si u es solución de (c), entonces la función v(x1, x2) definida por

v(x1, x2) =∫ x1

0

∂u

∂x2(s, 0) ds−

∫ x2

0

∂u

∂x1(x1, t) dt ∀ (x1, x2) ∈ R2,

pertenece evidentemente a C1(R2), satisface∂v

∂x2≡ − ∂u

∂x1en R2, y para todo (x1, x2) ∈ R2,

∂v

∂x1(x1, x2) =

∂u

∂x2(x1, 0)−

∫ x2

0

∂2u

∂x21

(x1, t) dt =

=∂u

∂x2(x1, 0) +

∫ x2

0

∂2u

∂x22

(x1, t) dt =∂u

∂x2(x1, x2).

Así pues, la pareja de funciones u y v satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en todo R2, loque en particular implica que u es una función analítica en R2, y por tanto ϕ ha de ser una funciónanalítica en R. En consecuencia, si ϕ no es una función analítica el problema (c) no posee soluciónclásica.

Otra forma de ver que ϕ es una función analítica en R, consiste en introducir las funciones w1 =∂u

∂x1

y w2 =∂u

∂x2. Evidentemente, w1 y w2 pertenecen a C1(R); además, por la igualdad de las derivadas

cruzadas de u, se tiene que∂w1

∂x2=

∂w2

∂x1, en todo R, y por satisfacer u la EDP en (c),

∂w1

∂x1= −∂w2

∂x2,

en todo R. Es decir, la pareja de funciones w1 y w2 satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann entodo R2, lo que implica que w2 es una función analítica en R2, y por tanto, como ϕ(x1) = w2(x1, 0),en todo R, se deduce que ϕ ha de ser una función analítica en R.

Problema (d).- Es sencillo comprobar que u(x1, x2) =12

∫ x1+x2

x1−x2

ϕ(s) ds es una solución del

problema (d). Más adelante, en este mismo Capítulo, demostraremos que de hecho la solución asíobtenida es la única. Así pues, para cualquier ϕ ∈ C1(R2) el problema (d) posee una y sólo unasolución clásica global.

Observación 1.1.7 Las ecuaciones que aparecen en los problemas (a) y (d) son esencialmente equi-valentes, en el sentido de que una puede ser obtenida de la otra mediante un cambio global de variablesindependientes. En efecto, si se definen las nuevas variables y1 e y2 mediante las igualdades y1 = x1+x2

e y2 = x1 − x2, es inmediato comprobar que, en las nuevas variables, la EDP∂2u

∂x21

− ∂2u

∂x22

= 0 se

transforma en 4∂2u

∂y1∂y2= 0. El hecho de que, no obstante, los problemas (a) y (d) se porten de manera

diferente, radica en el lugar, la recta x2 = 0, en que se han tomado los datos iniciales.

Hemos visto el comportamiento distinto ante unas mismas condiciones iniciales de los problemas (b), (c)y (d). De hecho, se puede demostrar que toda EDP lineal, y más generalmente semilineal, de segundoorden en dos variables independientes, y con los coeficientes aij constantes, puede ser transformadamediante un cambio de variables en una EDP íntimamente relacionada con una de las tres ecuacionesque aparecen en los problemas (b), (c) y (d).


1.2. Las ecuaciones de Laplace, del calor y de ondas

Consideremos las tres EDP siguientes:

(1.6) −∆u(x) = f(x),

(1.7)∂2u

∂t2(x, t)− c2∆u(x, t) = f(x, t),

(1.8)∂u

∂t(x, t)−∆u(x, t) = f(x, t),

donde ∆u es el laplaciano de u en las variables x = (x1, ..., xN ), y viene dado por ∆u =N∑

i=1

∂2u

∂x2i

,

siendo N ≥ 1, y c en (1.7) es una constante positiva dada.A (1.6) se le denomina le ecuación de Poisson, y en el caso particular en que f ≡ 0, es conocida

como ecuación de Laplace. A la ecuación (1.7) se le denomina la ecuación de ondas, y a (1.8) se ledenomina le ecuación del calor. Las tres ecuaciones, al estudio de las cuáles va a estar dedicada laprimera parte del Curso, pueden ser consideradas representantes canónicos de un gran número de EDPlineales de segundo orden con coeficientes constantes. Además, lo que es mucho más importante, lastres ecuaciones aparecen en problemas fundamentales de la Física.

Así, la ecuación de Poisson aparece en Teoría de Campos (electrostáticos, gravitatorios, etc). Laecuación de Laplace, cuando N = 2, aparece también en la teoría de funciones de variable compleja.La ecuación (1.8), para N ≤ 3, describe, bajo hipótesis físicas adecuadas, y tras renormalización, laevolución de la temperatura u(x, t), en cada instante t y en cada punto x ∈ RN , de un cuerpo sometidoa una fuente de calor determinada por f(x, t).

Por otra parte, la ecuación (1.7) describe en el caso N = 1, y bajo hipótesis físicas adecuadas, laspequeñas vibraciones de una cuerda elástica. De hecho, en este caso el origen histórico de la ecuaciónreside en el estudio de las vibraciones de la cuerda de un violín. Finalmente, si N = 2 ó 3, la ecuación(1.7) describe la propagación de ondas acústicas o electromagnéticas en el vacío.

Las ecuaciones de Laplace y de Poisson son denominadas EDP estacionarias, es decir, que nodependen de la variable tiempo, mientras que de las ecuaciones de ondas y del calor se dice que sonEDP de evolución.

Aparte de las tres antes citadas, hay muchas otras EDP que aparecen en la Física. Así, por ejemplo,si se estudian fenómenos de propagación de ondas en un medio físico no vacío, aparece una EDP queresulta de añadir en el primer término de la ecuación (1.7) un término de rozamiento, obteniéndose deesta forma la ecuación

(1.9)∂2u

∂t2− c2∆u +

∂u

∂t= f(x, t),

que se conoce con el nombre de ecuación del telegrafista, y que aproxima bien, por ejemplo, a lapropagación de ondas de radio en la atmósfera.

Para otros ejemplos de EDP que aparecen en las aplicaciones, se pueden consultar los libros de R.Dautray y J.L. Lions [3], L.C. Evans [5] y de I. Peral Alonso [13].


1.3. Problemas de valores iniciales, de contorno, y mixtos.

A partir de ahora, usaremos con frecuencia la notación ut y utt para designar respectivamente a∂u

∂ty a

∂2u

∂t2. El mismo convenio notacional se usará con ux y uxx cuando x sea unidimensional.

Planteamos a continuación varios de los tipos de problemas que aparecen en las aplicaciones paralas tres EDP (1.6)-(1.8), algunos de los cuáles serán estudiados en este Curso.

En primer lugar, citemos los problemas de valores iniciales (o problemas de Cauchy) para las EDPdel calor y de ondas.

a) El problema de valores iniciales para la EDP del calor puede ser formulado como elproblema de hallar una función u : RN × [0, +∞) 7→ R tal que,

(PCC)

ut −∆u = f en RN × (0, +∞),

u(x, 0) = u0(x) ∀x ∈ RN ,

donde f : RN × (0, +∞) 7→ R y u0 : RN 7→ R, son funciones dadas.b) El problema de valores iniciales para la EDP de ondas se formula como el problema de

hallar una función u : RN × [0,+∞) 7→ R tal que,

(PCO)

utt − c2∆u = f en RN × (0, +∞),

u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = u1(x) ∀x ∈ RN ,

donde f : RN × (0, +∞) 7→ R, u0 : RN 7→ R y u1 : RN 7→ R, son funciones dadas.Desde el punto de vista de las aplicaciones, más que los problemas de valores iniciales, resultan

de gran interés un tipo diferente de problemas. Restringiéndonos a las tres ecuaciones modelo (lasecuaciones de Poisson, del calor y de ondas), los problemas por los que vamos a interesarnos primor-dialmente, son los de contorno (en el caso de la ecuación de Poisson) y los mixtos, es decir de contornoy valores iniciales ( en el caso de las ecuaciones del calor y de ondas). Como vamos a ver en algunosejemplos, la diferencia entre los dos tipos de problemas viene determinada por la presencia de la variable“tiempo” en la ecuación.

Ejemplos básicos de estos tipos de problemas son los tres siguientes:c) El problema de Dirichlet para la ecuación de Poisson.En términos imprecisos, este problema puede formularse como sigue. Dados Ω ⊂ RN conjunto

abierto acotado de frontera ∂Ω, f : Ω 7→ R y g : ∂Ω 7→ R, hallar una función u : Ω 7→ R tal que

(PDP )

−∆u = f en Ω,

u = g sobre ∂Ω.

Precisando más, y suponiendo f ∈ C0(Ω) y g ∈ C0(∂Ω), se define una solución (clásica) de (PDP )como cualquier función u ∈ C2(Ω) ∩ C0(Ω) tal que −∆u(x) = f(x) ∀x ∈ Ω y u(x) = g(x) ∀x ∈ ∂Ω.

Con esta noción de solución, el problema (PDP ) será analizado en el tema 2 de este Curso, peroadelantemos ya que es posible introducir otro concepto más débil de solución; el estudio de (PDP )con dicho concepto será iniciado en la segunda parte de esta asignatura.

d) El problema mixto de Cauchy-Dirichlet para la ecuación del calor..También en términos imprecisos, este problema se formula como sigue. Dados Ω ⊂ RN conjunto

abierto acotado, T ∈ (0, +∞], f : Ω × (0, T ) 7→ R, g : ∂Ω × (0, T ) 7→ R y u0 : Ω 7→ R, hallar una


función u : Ω× [0, T ] 7→ R tal que

(PCDC)

ut −∆u = f en Ω× (0, T ),

u = g sobre ∂Ω× (0, T ),

u(x, 0) = u0(x) en Ω.

Existen varias nociones de solución para el problema (PCDC), y por el momento no introducimosninguna de ellas. En este Curso vamos a analizar el caso particular de (PCDC) cuando N = 1 y Ω ⊂ Res un intervalo de la forma (0, l). En este caso, dado que ∂(0, l) = 0, l, el problema (PCDC) sueleescribirse como

(PCDC)

ut − uxx = f en (0, l)× (0, T ),

u(x, 0) = u0(x) en (0, l),

u(0, t) = α(t), u(l, t) = β(t), t ∈ (0, T ).

Siendo f : (0, l)× (0, T ) 7→ R, u0 : (0, l) 7→ R, α : (0, T ) 7→ R y β : (0, T ) 7→ R funciones dadas.e) El problema mixto de Cauchy-Dirichlet para la ecuación de ondas.El problema consiste en, dados los datos Ω, T , f , g y u0 como en el problema (PCDC), más

u1 : Ω 7→ R, y c > 0, hallar una función u : Ω× [0, T ] 7→ R tal que

(PCDO)

utt − c2∆u = f en Ω× (0, T ),

u = g sobre ∂Ω× (0, T ),

u(x, 0) = u0(x) ut(x, 0) = u1(x) en Ω.

Como en el caso anterior, existen varios conceptos posibles de solución del problema (PCDO), aunquepor ahora no especifiquemos ninguno. En este Curso vamos a analizar el caso particular de (PCDO)cuando N = 1 y Ω ⊂ R es un intervalo de la forma (0, l). En cuyo caso, el problema (PCDO) sueleescribirse como

(PCDO)

utt − c2uxx = f en (0, l)× (0, T ),

u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = u1(x) en (0, l),

u(0, t) = α(t), u(l, t) = β(t), en (0, T ).

Siendo f : (0, l)× (0, T ) 7→ R, u0 : (0, l) 7→ R, u1 : (0, l) 7→ R, α : (0, T ) 7→ R y β : (0, T ) 7→ R funcionesdadas.

Recalquemos que el punto clave en el análisis de los problemas anteriores es el concepto de solución,cosa que esperemos que quede clarificada a lo largo del Curso.

Una vez establecido el concepto de solución, el análisis de cualquiera de estos problemas pasaen primera instancia por establecer resultados de existencia y/o unicidad de solución, “dependenciacontinua” respecto de los datos, etc.

Naturalmente, otro punto importante consiste en establecer métodos de cálculo de las soluciones.Un método importante de este tipo lo constituye el denominado método de separación de variables,que pasamos a describir y aplicar sobre ejemplos sencillos.

1.4. Descripción del método de separación de variables.

El método de separación de variables es, en principio, aplicable a EDP lineales de segundo ordenen dos variables independientes x e y de la forma

a1(x)uxx + a2(x)ux + a3(x)u + b1(y)uyy + b2(y)uy + b3(y)u = 0.


La idea consiste en buscar soluciones de la EDP de la forma X(x)Y (y), es decir, con las variablesseparadas, y de tal forma que satisfagan parte de las condiciones (las homogéneas de contorno) queaparezcan junto con la EDP. De esa forma, se suele obtener una sucesión de funciones un(x, y) =Xn(x)Yn(y), y a partir de ellas se busca la solución u del problema como una serie de las un. Enese proceso se obtiene una solución formal para la que, a posteriori, hay que estudiar en qué sentidoconverge, y en qué sentido define una solución del problema de que se trate.

Precisemos algo más el sentido del método sobre un ejemplo sencillo. En concreto, consideremos elsiguiente problema de Cauchy-Dirichlet para la ecuación de ondas unidimensional:

(1.10)

utt − uxx = 0 en (0, 1)× (0, +∞),

u(x, 0) = u0(x) ut(x, 0) = 0 en (0, 1),

u(0, t) = u(1, t) = 0 en t > 0,

con u0 : (0, 1) 7→ R dada.La idea del método de separación de variables para resolver (1.10) consiste en buscar, en primer

lugar, soluciones u ∈ C2([0, 1]× [0, +∞)) no idénticamente nulas del problema auxiliar

(1.11)

utt − uxx = 0 en (0, 1)× (0, +∞),

u(0, t) = u(1, t) = 0 en t > 0.

Obsérvese que el conjunto de todas las soluciones u ∈ C2([0, 1] × [0,+∞)) de (1.11) constituye unsubespacio vectorial de C2([0, 1] × [0, +∞)). En consecuencia, cualquier combinación lineal finita desoluciones de (1.11) es también solución de (1.11).

Para buscar soluciones no nulas de (1.11), se separan las variables, y se buscan que sean de la formau(x, t) = X(x)T (t), con X ∈ C2([0, 1]) y T ∈ C2([0, +∞)) no nulas.

Si exigimos que u satisfaga la EDP, obtenemos X ′′T = XT , así que para ello basta que

X ′′

X=

T

T= λ,

con λ constante.Para que se satisfaga u(0, t) = u(1, t) = 0, basta exigir X(0) = X(1) = 0. En consecuencia, se

plantea el problema de autovalores

(1.12)

X ′′ = λX, en (0, 1),

X(0) = X(1) = 0.

Es decir, buscamos los valores λ ∈ R para los que (1.12) tiene solución X no idénticamente nula. Esinmediato comprobar que este es el caso si y sólo si λ = −n2π2 con n = 1, 2, ..., y para λ = −n2π2

cualquier solución de (1.12) es un múltiplo de Xn(x) = sennπx.Por otra parte, para λ = −n2π2, la ecuación diferencial ordinaria Tn = −n2π2Tn tiene por solución

general Tn(t) = An cosnπt + Bn sen nπt.Recordemos que cualquier combinación lineal finita de soluciones de (1.11) es también solución de

(1.11). En consecuencia, para todo entero m ≥ 1, la función

um(x, t) =m∑

n=1

(An cosnπt + Bn sennπt) sen nπx,


con An y Bn constantes arbitrarias, es solución de (1.11). Por ello, se busca una solución de (1.10) dela forma

u(x, t) =∞∑

n=1

(An cosnπt + Bn sen nπt) sennπx,

a la que se imponen las condiciones u(x, 0) = u0(x) y ut(x, 0) = 0. En primer lugar, derivando demanera formal término a término en la serie precedente, se obtiene

ut(x, t) =∞∑

n=1

(−nπAn sen nπt + nπBn cosnπt) sen nπx,

con lo que imponiendo la condición ut(x, 0) = 0, e identificando coeficientes, se obtiene

Bn = 0 ∀n ≥ 1.

En consecuencia, se obtiene como solución (en principio formal)

(1.13) u(x, t) =∞∑

n=1

An cosnπt sen nπx,

a la que ahora imponemos la condición u(x, 0) = u0(x), es decir,

(1.14) u0(x) =∞∑

n=1

An sen nπx, x ∈ (0, 1).

Si u0 es una combinación lineal finita de funciones sen nπx, es decir, si u0 es de la forma

u0(x) =m∑

n=1

γn sen nπx,

con γn ∈ R constantes dadas, la condición (1.14) conduce a An = γn, si 1 ≤ n ≤ m, y An = 0, sin > m, y en consecuencia, en este caso, la solución formal dada por (1.13) pasa a ser

u(x, t) =m∑

n=1

γn cosnπt sen nπx,

función que resulta inmediato comprobar que es una solución (clásica) de (1.10), en el sentido de quepertenece a C2([0, 1] × [0,+∞)), satisface la ecuación de ondas en todo punto de [0, 1] × [0,+∞), ysatisface u(x, 0) = u0(x) y ut(x, 0) = 0 ∀x ∈ [0, 1], y u(0, t) = u(1, t) = 0 ∀ t ∈ [0,+∞).

La situación no es siempre tan favorable. Si u0 no es una combinación lineal finita de funcionessen nπx, pero pertenece a L2(0, 1), entonces, como veremos más adelante, es desarrollable en serie deFourier de senos en el intervalo [0, 1], es decir, si denotamos

(1.15) A∗n = 2∫ 1

0u0(x) sennπx dx, n ≥ 1,

entonces

u0(x) =∞∑

n=1

A∗n sennπx,

con la serie convergiendo a u0 en L2(0, 1). En consecuencia, (1.13) y (1.14) nos conducen a que An = A∗npara todo n ≥ 1, y por tanto obtenemos como solución formal de (1.10),

(1.16) u(x, t) =∞∑

n=1

A∗n cosnπt sen nπx,


con los A∗n dados por (1.15).Como ejemplo, consideremos el problema (1.10) en el caso en que u0(x) = x(1 − x). En tal caso,

calculando los coeficientes A∗n dados por (1.15), obtenemos como solución formal de (1.10)

(1.17) u(x, t) =4π3

∞∑

n=1

1− (−1)n

n3sen nπx cosnπt.

Es inmediato comprobar aplicando el criterio M de Weierstrass que la serie que aparece en (1.17)converge absoluta y uniformemente en R2, y que de hecho la función u definida por (1.17) pertenecea C1(R2). Pero u no puede ser solución de (1.10) en el sentido de pertenecer a C2([0, 1]× [0,+∞)) ysatisfacer la EDP, las condiciones iniciales y las condiciones de contorno de (1.10), ya que en tal caso,en particular se habría de satisfacer uxx(0, 0) = utt(0, 0); pero si u(x, 0) = x(1−x) para todo x ∈ [0, 1]y u(0, t) = 0 para todo t ≥ 0, entonces uxx(0, 0) = −2 y utt(0, 0) = 0.

De hecho, la función u definida por (1.17) tampoco pertenece a C2((0, 1) × (0, +∞)). En efecto,consideremos la función v(y) dada por

(1.18) v(y) =4π3

∞∑

n=1

1− (−1)n

n3sennπy ∀ y ∈ R.

Es inmediato que v ∈ C1(R), es impar, es decir, v(−y) = −v(y) para todo y ∈ R, y es 2-periódica, esdecir, v(y + 2) = v(y) para todo y ∈ R. Además, de los resultados del próximo apartado sobre seriesde Fourier, v(y) = y(1− y) para todo y ∈ [0, 1].

De la identidadsen nπ(x + t) + sennπ(x− t) = 2 sen nπx cosnπt,

es inmediato que la función u definida por (1.17) viene dada por

(1.19) u(x, t) =12

(v(x + t) + v(x− t)) ∀ (x, t) ∈ R2.

Es sencillo comprobar que la función v(y) es C∞ salvo en los puntos y = m con m entero, en los cualesla derivada segunda de v tiene un salto de valor absoluto cuatro. En consecuencia, podemos afirmarque la función u es de clase C2 (de hecho C∞) salvo en los puntos (x, t) de las rectas x + t = m yx − t = m, con m entero, puntos en los que uxx y utt no existen. Ahora bien, en los restantes puntosdel plano u satisface la ecuación utt − uxx = 0, es decir u satisface la ecuación de ondas bidimensionalhomogénea salvo en un conjunto de medida Lebesgue en R2 nula. Además, es evidente que u satisfacelas condiciones iniciales y de contorno del correspondiente problema (1.10). En resumen, la función u

definida por (1.17) es solución del problema (1.10) con dato inicial u0(x) = x(1 − x), en un sentidogeneralizado.

1.5. Resultados de convergencia para desarrollos en serie de Fourier.

Como paso previo a la aplicación del método de separación de variables a la ecuación del calorunidimensional, recordamos algunos resultados referentes a las series de Fourier. Estas series, aunqueya fueron utilizadas por J. Bernoulli y L. Euler para el análisis del problema de la cuerda vibrante,deben su nombre a J. Fourier, que en su “Théorie Analytique de la Chaleur” (1822) las introdujo parael estudio de problemas de difusión del calor.

En primer lugar, recordamos que el conjunto de funciones

(1.20)

1√2π

,1√π

cosnx,1√π

sennx, n ≥ 1


constituye una base ortonormal de L2(−π, π), y en consecuencia, dada f ∈ L2(−π, π), si denotamos

(1.21) an =1π

∫ π

−πf(t) cos nt dt ∀n ≥ 0,

(1.22) bn =1π

∫ π

−πf(t) sen nt dt ∀n ≥ 1,

entonces la serie

(1.23)a0

2+

∞∑

n=1

(an cosnx + bn sen nx) ,

que denominaremos serie de Fourier de f respecto de la base dada por (1.20), converge a f en L2(−π, π),es decir, si para cada entero m ≥ 1 denotamos por sm a la función

sm(x) =a0

2+

m∑

n=1

(an cosnx + bn sennx) ,

se satisfacelím

m→∞

∫ π

−π|f(x)− sm(x)|2 dx = 0.

Dado ahora un intervalo cerrado y acotado [a, b] ⊂ R, mediante el cambio de variables

x =2π(s− a)

b− a− π,

que transforma de manera biyectiva [a, b] en [−π, π], es posible obtener una base ortonormal numerablede L2(a, b) a partir de (1.20). En concreto, si denotamos

(1.24)

ϕn(s) = cos(

n

(2π(s− a)

b− a− π

))∀n ≥ 0,

ψn(s) = sen(

n

(2π(s− a)

b− a− π

))∀n ≥ 1.

entonces para cada f ∈ L2(a, b) la serie

(1.25)A0

2+

∞∑

n=1

(Anϕn(s) + Bnψn(s)) ,

con

(1.26)

An =2

b− a

∫ b

af(σ)ϕn(σ) dσ ∀n ≥ 0,

Bn =2

b− a

∫ b

af(σ)ψn(σ) dσ ∀n ≥ 1,

converge a f en L2(a, b).Recordemos que si f ∈ L2(a, b), y An y Bn vienen dadas por (1.26), entonces se satisface la identidad

de Parseval

(1.27)2

b− a

∫ b

af2(s) ds =

A20

2+

∞∑

n=1

(A2

n + B2n

),

en consecuencia∞∑

n=1

(A2

n + B2n

)< +∞, y en particular lím

n→∞An = límn→∞Bn = 0.


Observación 1.5.1 En el caso particular en que [a, b] = [−l, l] con l > 0, las expresiones (1.25) y(1.26) adoptan la forma

(1.28)A0

2+

∞∑

n=1

(An cos

(nπs

l

)+ Bn sen

(nπs

l

)),

y

(1.29)

An =1l

∫ l

−lf(σ) cos

(nπσ

l

)dσ ∀n ≥ 0,

Bn =1l

∫ l

−lf(σ) sen

(nπσ

l

)dσ ∀n ≥ 1,

con la serie (1.28) convergente a f en L2(−l, l).Si f ∈ L2(−l, l) es una función par, es decir, si f(−s) = f(s) c.p.d. en (−l, l), entonces Bn = 0

para todo n ≥ 1. Análogamente, si f ∈ L2(−l, l) es una función impar, es decir, si f(−s) = −f(s)c.p.d. en (−l, l), entonces An = 0 para todo n ≥ 0. En consecuencia, dada una función f ∈ L2(0, l),considerando fimpar, la prolongación impar de f a (−l, l), y fpar, la prolongación par de f a (−l, l),podemos hablar de desarrollos en senos o en cosenos de f . Es decir, si f ∈ L2(0, l) y denotamos

(1.30)

A∗n =2l

∫ l

0f(σ) cos

(nπσ

l

)dσ ∀n ≥ 0,

B∗n =

2l

∫ l

0f(σ) sen

(nπσ

l

)dσ ∀n ≥ 1,

entonces las series

(1.31)A∗02

+∞∑

n=1

A∗n cos(nπs

l

)

y

(1.32)∞∑

n=1

B∗n sen

(nπs

l

)

convergen ambas a f en L2(0, l), ya que la serie definida por (1.31) converge a fp, y la serie definidapor (1.32) converge a fimp, en ambos casos en L2(−l, l).

Volviendo al caso general de un intervalo [a, b] ⊂ R, exponemos a continuación un criterio sencilloque garantiza la convergencia absoluta y uniforme, en todo [a, b], de la serie (1.25) a f .

Teorema 1.5.2 Sea f ∈ C0[a, b] tal que f(a) = f(b), y supongamos que existe una función g pertenecientea L2(a, b) tal que

(1.33) f(s) = f(a) +∫ s

ag(σ) dσ ∀s ∈ [a, b].

Bajo estas condiciones, la serie de Fourier dada por (1.25) converge absoluta y uniformemente a f enel intervalo [a, b].


Demostración.- Sea f en las condiciones del teorema. Basta demostrar que la serie (1.25) convergeabsoluta y uniformemente en el intervalo [a, b], ya que en tal caso (5,6) converge en C0[a, b] a unafunción f , pero como la convergencia de sucesiones en C0[a, b] implica la convergencia en L2(a, b),forzosamente f ≡ f .

Para demostrar que la serie (1.25) converge absoluta y uniformemente en el intervalo [a, b], deacuerdo con el criterio M de Weierstrass, y teniendo en cuenta que para todo n ≥ 1 se satisface que|Anϕn(s) + Bnψ(s)| ≤ |An|+ |Bn|, basta demostrar que

(1.34)∞∑

n=1

(|An|+ |Bn|) < +∞,

con An y Bn dadas por (1.26).Para comprobar (1.34), denotemos por A′n y B′

n los coeficientes del desarrollo (1.25) correspondientea la función g que aparece en la hipótesis (1.33), es decir:

(1.35)

A′n =2

b− a

∫ b

ag(σ)ϕn(σ) dσ ∀n ≥ 0

B′n =

2b− a

∫ b

ag(σ)ψn(σ) dσ ∀n ≥ 1.

Por la identidad de Parseval, en particular se tiene

(1.36)∞∑

n=1

(|A′n|2 + |B′n|2

)< +∞,

Como f(a) = f(b), obviamente se satisface

(1.37)∫ b

ag(σ) dσ = 0.

Para cada n ≥ 1 se tiene

An =2

b− a

∫ b

af(σ)ϕn(σ) dσ =

2b− a

∫ b

a

(f(a) +

∫ σ

ag(τ) dτ

)ϕn(σ) dσ,

con lo que teniendo en cuenta que por la definición de ϕn dicha función tiene integral cero en [a, b], seobtiene

An =2

b− a

∫ b

a

(∫ σ

ag(τ) dτ

)ϕn(σ) dσ.

Aplicando el teorema de Fubini a esta última igualdad, se tiene

(1.38) An =2

b− a

∫ b

a

(∫ b

τϕn(σ) dσ

)g(τ) dτ.

Teniendo en cuenta que ∫ b

τϕn(σ) dσ =

[b− a

2πnψn(σ)

]σ=b

σ=τ

,

y ψn(b) = 0, es inmediato que de (1.38) se obtiene

(1.39) An = −b− a

2πnB′

n ∀n ≥ 1.


Análogamente, es fácil obtener que

(1.40) Bn =2

b− a

∫ b

a

(∫ b

τψn(σ) dσ

)g(τ) dτ.

Como ∫ b

τψn(σ) dσ =

[−b− a

2πnϕn(σ)

]σ=b

σ=τ

,

y teniendo en cuenta (1.37), de (1.40) se obtiene

(1.41) Bn =b− a

2πnA′n ∀n ≥ 1.

Como consecuencia de (1.39) y (1.41), se tiene para cada n ≥ 1

(1.42)

|An| = b− a

2π

1n|B′

n| ≤b− a

4π

(1n2

+ (B′n)2

)

|Bn| = b− a

2π

1n|A′n| ≤

b− a

4π

(1n2

+ (A′n)2)

con lo que (1.34) resulta evidente. ¥

Observación 1.5.3 Toda f ∈ C1[a, b], o más generalmente toda f de clase 1 a trozos en [a, b] (esdecir, tal que f ∈ C0[a, b] y existe una partición finita a = s0 < s1 < ... < sn = b del intervalo [a, b]tal que f ∈ C1[si−1, si] para todo i = 1, ..., n) satisface la hipótesis (1.33) del Teorema 1.5.2.

La función g en (1.33) es la derivada casi por doquier de f . La condición (1.33) impuesta sobref en el Teorema 1.5.2 se traduce, en el lenguaje de los espacios de Sobolev que se estudiarán en elCapítulo 3 de esta asignatura, en la pertenencia de f a lo que se denotará el espacio H1(a, b).

Es fácil obtener, como consecuencia del Teorema 1.5.2, el siguiente resultado:

Teorema 1.5.4 Sea f ∈ C0[0, l] tal que existe una función g ∈ L2(0, l) satisfaciendo

(1.43) f(s) = f(0) +∫ s

0g(σ) dσ ∀s ∈ [0, l].

Bajo estas condiciones, se tiene:

1. El desarrollo en cosenos de f determinado por (1.31) converge absoluta y uniformemente a f enel intervalo [0, l].

2. Si además f(0) = f(l) = 0, entonces el desarrollo en senos de f determinado por (1.32) tambiénconverge absoluta y uniformemente a f en el intervalo [0, l].

Demostración.- 1. Si consideramos fpar definida por fpar(s) = f(s) si s ∈ [0, l], y fpar(s) = f(−s) sis ∈ [−l, 0], la prolongación par de f a [−l, l], es inmediato que fpar ∈ C0[−l, l], y que fpar(−l) = fpar(l).Además, es sencillo comprobar a partir de (1.43), que para todo s ∈ [−l, l] se satisface

fpar(s) = fpar(−l) +∫ s

−lgimpar(τ) dτ,

con gimpar la prolongación impar de g a (−l, l), función que pertenece a L2(−l, l). En consecuencia, porel Teorema 1.5.2, el desarrollo en serie de Fourier de fpar en (−l, l) converge absoluta y uniformemente


a fpar en [−l, l], con lo que, en particular, el desarrollo en cosenos de f determinado por (1.31), convergeabsoluta y uniformemente a f en el intervalo [0, l].

2. Análogamente, si consideramos fimpar definida por fimpar(s) = f(s) si s ∈ [0, l], y fimpar(s) =−f(−s) si s ∈ [−l, 0], la prolongación impar de f a [−l, l], es inmediato que, si f(0) = 0, entoncesfimpar ∈ C0[−l, l], y que, si f(l) = 0, entonces fimpar(−l) = fimpar(l). Además, es sencillo comprobara partir de (1.43), que si f(0) = f(l) = 0, para todo s ∈ [−l, l] se satisface

fimpar(s) = fimpar(−l) +∫ s

−lgpar(τ) dτ,

con gpar la prolongación par de g a (−l, l), función que pertenece a L2(−l, l). En consecuencia, en esascircunstancias, por el Teorema 1.5.2, el desarrollo en serie de Fourier de fimpar en (−l, l), convergeabsoluta y uniformemente a fimpar en [−l, l], con lo que, en particular, el desarrollo en senos de f

determinado por (1.32), converge absoluta y uniformemente a f en el intervalo [0, l]. ¥

1.6. Aplicación del método de separación de variables a la ecuacióndel calor unidimensional.

Consideremos el problema mixto de Cauchy-Dirichlet para la ecuación del calor unidimensionalhomogénea

(1.44)

ut − uxx = 0 en (0, l)× (0, +∞),

u(x, 0) = u0(x) en (0, l),

u(0, t) = u(l, t) = 0 en t > 0,

donde l ∈ (0, +∞) y u0 : (0, l) 7→ R están dados.Aplicando separación de variables, se buscan en primer lugar soluciones no nulas de la ecuación

del calor homogénea que sean de la forma X(x)T (t), y tales que X(0) = X(l) = 0. Ello conduce a laecuación T = λT , y al problema de contorno

(1.45)

X ′′ = λX en (0, l),

X(0) = X(l) = 0.

Para que el problema de contorno posea solución no nula, es inmediato deducir que λ ha de ser de

la forma λn = −(nπ

l

)2, n = 1, 2, .., con Xn(x) = sen

(nπx

l

). Para cada uno de los λn, la solución

general de T = λnT viene dada por Tn(t) = cnexp

(−

(nπ

l

)2t

), y en consecuencia se busca una

solución de (1.44) de la forma

(1.46) u(x, t) =∞∑

n=1

cne−(nπ/l)2t sen(nπx

l

),

donde para la determinación de los cn, partiendo de la condición u(x, 0) = u0(x), y suponiendo u0 ∈L2(0, l), se tiene

(1.47) cn =2l

∫ l

0u0(s) sen

(nπs

l

)ds ∀n ≥ 1.

Es decir, los cn son los coeficientes del desarrollo en serie de senos en (0, l) de la función u0.De hecho, para el problema (1.44) se tiene el siguiente resultado:


Teorema 1.6.1 Si u0 ∈ L2(0, l), la igualdad (1.46), con los coeficientes cn dados por (1.47), defineuna función u = u(x, t) tal que

u ∈ C∞(R× (0,+∞)),

y es solución del problema (1.44) en el sentido de que satisface la ecuación ut−uxx = 0 en cada puntode [0, l]× (0,+∞), u(0, t) = u(l, t) = 0 para todo t > 0, y

(1.48) límt↓0‖u(·, t)− u0‖L2(0,l) = 0.

Además, si u0 ∈ C0([0, l]), u0(0) = u0(l) = 0, y existe v0 ∈ L2(0, l) tal que

u0(x) =∫ x

0v0(s) ds ∀x ∈ [0, l],

entonces

(1.49) u ∈ C0(R× [0, +∞)),

y, en particular, u(x, 0) = u0(x) para todo x ∈ [0, l].

Demostración.- Sea u0 ∈ L2(0, l). Fijado ε > 0, si t ≥ ε entonces∣∣∣cne−(nπ/l)2t sen

(nπx

l

)∣∣∣ ≤ |cn|e−(nπ/l)2ε ∀x ∈ R.

Como límn→∞ cn = 0, es inmediato de la desigualdad anterior que existe una constante C > 0 tal que

(1.50)∣∣∣cne−(nπ/l)2t sen

(nπx

l

)∣∣∣ ≤ Ce−(nπ/l)2ε ∀ (x, t) ∈ R× [ε,+∞) ∀n ≥ 1.

De manera análoga, se puede comprobar que cualquier derivada parcial de un término genérico de losque constituyen la serie que define a u admite una cota similar, en concreto, dado α = (α1, α2) ∈ Z2

+,existe una constante Cα > 0 tal que

(1.51)∣∣∣∣

∂α1+α2

∂xα1∂tα2

(cne−(nπ/l)2t sen

(nπx

l

))∣∣∣∣ ≤ Cαnα1+2α2e−(nπ/l)2ε ∀ (x, t) ∈ R× [ε, +∞) ∀n ≥ 1.

Estas desigualdades, junto con el criterio M de Weierstrass,implican, teniendo en cuenta que para todoε > 0 y todo (α1, α2) ∈ Z2

+ ∞∑

n=1

nα1+2α2e−(nπ/l)2ε < +∞,

que u ∈ C∞(R × [ε, +∞)) para todo ε > 0, y en consecuencia u ∈ C∞(R × (0, +∞)), y cualquierderivada de u en R× (0,+∞) se obtiene derivando término a término la serie que la define.

Con esto, por construcción, es inmediato que ut − uxx = 0 en R × (0,+∞), y u(0, t) = u(l, t) = 0para todo t > 0.

Para demostrar (1.48), denotemos para cada entero m ≥ 1 y cada t ≥ 0 por sm(t) a la función dela variable x definida por

sm(t)(x) =m∑

n=1


l

)

Por construcción,

límm→∞ ‖sm(0)− u0‖L2(0,l) = 0 y lím

m→∞ ‖sm(t)− u(·, t)‖L2(0,l) = 0 ∀ t > 0.


Consideremos fijado ε > 0. Tomemos un entero mε ≥ 1 tal que ‖smε(0)− u0‖L2(0,l) ≤ ε. De esta forma,tenemos

‖smε(0)− u0‖2L2(0,l) =

∥∥∥∥∥∞∑

n=mε+1

cn sen(nπx

l

)∥∥∥∥∥2

L2(0,l)

=l

2

∞∑

n=mε+1

c2n ≤ ε2,

y por tanto,

‖smε(t)− u(·, t)‖2L2(0,l) =

∥∥∥∥∥∞∑

n=mε+1


l

)∥∥∥∥∥2

L2(0,l)

=

=l

2

∞∑

n=mε+1

c2ne−2(nπ/l)2t ≤ ε2 ∀ t > 0.

En consecuencia, obtenemos

(1.52) ‖u(·, t)− u0‖L2(0,l) ≤ 2ε + ‖smε(t)− smε(0)‖L2(0,l) ∀ t > 0.

Pero

‖smε(t)− smε(0)‖2L2(0,l) =

mε∑

n=1

∥∥∥cn

(e−(nπ/l)2t − 1

)sen

(nπx

l

)∥∥∥2

L2(0,l)=

=l

2

mε∑

n=1

c2n

(e−(nπ/l)2t − 1

)2∀ t > 0,

con lo que, denotando d =∞∑

n=1

c2n < +∞, resulta

(1.53) ‖smε(t)− smε(0)‖2L2(0,l) ≤

dl

2

mε∑

n=1

(e−(nπ/l)2t − 1

)2∀ t > 0.

De las desigualdades (1.52) y (1.53), haciendo t ↓ 0, se obtiene

(1.54) lım supt↓0

‖u(·, t)− u0‖L2(0,l) ≤ 2ε.

Basta ahora tener en cuenta que el ε > 0 en la desigualdad (1.54) es arbitrario, con lo que se obtiene(1.48).

Finalmente, si u0 ∈ C0([0, l]), u0(0) = u0(l) = 0, y existe v0 ∈ L2(0, l) tal que

u0(x) =∫ x

0v0(s) ds ∀x ∈ [0, l],

entonces sabemos que los cn vienen dados por

cn =2

nπ

∫ l

0v0(s) cos

(nπs

l

)ds,

y en consecuencia

(1.55) |cn| ≤ 1π

(1n2

+(∫ l

0v0(s) cos

(nπs

l

)ds

)2)

∀n ≥ 1.

Dado que ∣∣∣cne−(nπ/l)2t sen(nπx

l

)∣∣∣ ≤ |cn| ∀ t ≥ 0,

de (1.55) se obtiene de manera inmediata (1.49). ¥


Observación 1.6.2 Es fácil comprobar que si u0 ∈ C2([0, l]), u0(0) = u0(l) = u′′0(0) = u′′0(l) = 0, yexiste v0 ∈ L2(0, l) tal que

u′′0(x) =∫ x

0v0(s) ds ∀x ∈ [0, l],

entonces la solución u del problema (1.44) definida por (1.46) y (1.47) satisface

(6,12) ut, uxx ∈ C0(R× [0, +∞)).

¥

Observación 1.6.3 Aunque el dato inicial u0 sea irregular, la solución u del problema (1.44) definidapor (1.46) y (1.47) pertenece a C∞(R × (0,+∞)). En este sentido, se dice que la ecuación del calorposee un “efecto regularizante”. Tal efecto diferencia a la ecuación del calor de la de ondas; de hecho,la primera describe fenómenos irreversibles en tiempo, mientras que en la ecuación de ondas el cambiot por −t no altera la ecuación.

Obsérvese también que, de la expresión de u, si t > ε > 0 entonces

|u(t, x)| ≤√

d∞∑

n=1

e−(nπ/l)2t =√

de−(π/l)2t∞∑

n=1

e(π/l)2(1−n2)t ≤

≤√

de−(π/l)2t∞∑

n=1

e(π/l)2(1−n2)ε ≤ Cεe−(π/l)2t,

y por consiguiente, |u(t, x)| decae a cero cuando t → +∞ de manera exponencial uniformemente enla variable x. Es decir, el calor se difunde y la temperatura decae exponencialmente a cero cuando eltiempo tiende al infinito.

Observación 1.6.4 Junto al resultado de existencia de solución para el problema (1.44) que suponeel Teorema 1.6.1, también se puede obtener el siguiente resultado de unicidad:

Teorema 1.6.5 Sea u ∈ C0([0, l] × (0, +∞)) tal que existen las derivadas parciales ut, ux y uxx ytambién pertenecen a C0([0, l]× (0, +∞)). Supongamos que ut ≡ uxx en [0, l]× (0, +∞), que u(0, t) =u(l, t) = 0 para todo t > 0, y que lím

t↓0‖u(·, t)‖L2(0,l) = 0. Bajo las condiciones precedentes, forzosamente

u ≡ 0 en [0, l]× (0, +∞).

Demostración.- Basta considerar la función E(t) definida por

E(t) =12

∫ l

0u2(x, t) dx ∀ t > 0.

Derivando E(t) se puede ver que dicha función es no creciente, y concluir que es idénticamente nula.Los detalles se dejan como ejercicio. ¥

Observación 1.6.6 Es posible analizar también por el método de separación de variables un problemade Cauchy-Dirichlet para la ecuación del calor unidimensional no homogénea de la forma

(1.56)

ut − uxx = f(x, t) en (0, l)× (0, T ),

u(x, 0) = u0(x) en (0, l),

u(0, t) = u(l, t) = 0 en (0, T ).


En este caso, se busca solución de la forma

u(x, t) =∞∑

n=1

an(t) sen(nπx

l

)

(véase [2] para los detalles).En los ejercicios estudiaremos ejemplos de éste y otros problemas de tipo mixto para la ecuación

del calor unidimensional.En particular, si se pretende resolver un problema con condiciones no homogéneas de la forma

(1.57)

ut − uxx = 0 en (0, l)× (0, T ),

u(x, 0) = u0(x) en (0, l),

u(0, t) = α(t), u(l, t) = β(t) en (0, T ),

basta hacer el cambio de función incógnita

v(x, t) = u(x, t)− α(t)− x

l(β(t)− α(t)),

para obtener un problema de la forma (1.56) en la incógnita v. ¥

Observación 1.6.7 En los ejercicios haremos uso del método de separación de variables para la res-olución de algunos problemas de contorno o mixtos referentes a, entre otras, las ecuaciones de Laplacebidimensional y de ondas unidimensional. Para un estudio más teórico de estos temas, se pueden con-sultar [2] y [3].

1.7. Solución clásica de los problemas de Cauchy y de Cauchy-Dirichletpara la ecuación de ondas unidimensional homogénea.

Hasta ahora, hemos hecho uso del método de separación de variables para analizar un ejemplo deproblema de Cauchy-Dirichlet para la ecuación de ondas unidimensional. En dicho ejemplo, obteníamosuna solución que no era C2 en todo el dominio de definición del problema. Ahora, en este parágrafo,nos vamos a restringir al estudio de la existencia y unicidad de soluciones clásicas de los problemas, esdecir C2 en todo el dominio de definición del problema.

En primer lugar, consideramos el problema de Cauchy (o de valores iniciales) para la ecuación deondas unidimensional homogénea:

(PCOh)

utt − c2uxx = 0, (x, t) ∈ R2,

(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x), x ∈ R,

donde c > 0, f : R→ R y g : R→ R son datos del problema (a partir de ahora, cambiamos la notaciónque hemos empleado, sustituyendo u0 por f , y u1 por g).

Definición 1.7.1 Una solución clásica de (PCOh) es cualquier función u ∈ C2(R2) tal que utt(x, t) =c2uxx(x, t) ∀ (x, t) ∈ R2, u(x, 0) = f(x) ∀x ∈ R y ut(x, 0) = g(x) ∀x ∈ R.

Es evidente que para que exista solución clásica de (PCOh) es necesario que f ∈ C2(R) y g ∈ C1(R).De hecho, estas dos condiciones son también suficientes, ya que se tiene el siguiente resultado:


Teorema 1.7.2 Si f ∈ C2(R) y g ∈ C1(R), el problema (PCOh) posee una y sólo una solución clásicau, que viene determinada por

(1.58) u(x, t) =12

(f(x + ct) + f(x− ct)) +12c

∫ x+ct

x−ctg(s) ds ∀ (x, t) ∈ R2.

A la igualdad (1.58) se le denomina fórmula de d’Alembert.

Demostración.- Considerando el cambio de variables independientes determinado por ξ = x + ct yη = x − ct, es inmediato comprobar que u ∈ C2(R2) satisface utt − c2uxx = 0 en R2, si y sólo si, lafunción v = v(ξ, η), definida por

v(ξ, η) = u(ξ + η

2,ξ − η

2c),

satisface la ecuación vξη = 0 en todo R2. En consecuencia, u ∈ C2(R2) satisface utt − c2uxx = 0 en R2

si y sólo si es de la forma

(1.59) u(x, t) = F (x + ct) + G(x− ct) ∀ (x, t) ∈ R2,

con F y G funciones de C2(R).Evidentemente, la función u dada por (1.58) pertenece a C2(R2) y es de la forma (1.59). Además,

es inmediato comprobar que satisface las condiciones iniciales en todo punto x ∈ R. Para terminar conla demostración del teorema, basta comprobar que la función u dada por (1.58) es la única función dela forma (1.59) que satisface las condiciones iniciales en todo punto de R.

En efecto, si u es una función de la forma (1.59), con F y G funciones de C2(R), y u(x, 0) = f(x)y ut(x, 0) = g(x) en todo punto x de R, entonces

F (x) + G(x) = f(x) ∀x ∈ R,

F ′(x)−G′(x) =1cg(x) ∀x ∈ R.

Así pues, se ha de satisfacer

F ′(x) =12

(f ′(x) +

1cg(x)

)∀x ∈ R,

con lo que F ha de ser de la forma

F (x) =12f(x) +

12c

∫ x

0g(s) ds + k ∀x ∈ R,

con k ∈ R, y por tanto G ha de ser

G(x) = f(x)− F (x) =12f(x)− 1

2c

∫ x

0g(s) ds− k ∀x ∈ R.

Llevando a (1.59) las expresiones obtenidas para F y G, obtenemos (1.58). ¥

Observación 1.7.3 La fórmula de d’Alembert nos indica que la ecuación de ondas unidimensionalno mejora la regularidad de los datos iniciales f y g, es decir, no posee el efecto regularizante de laecuación del calor unidimensional. Lo único que se puede afirmar sobre la solución clásica de (PCOh)es que, para todo entero m ≥ 2, si f ∈ Cm(R) y g ∈ Cm−1(R), entonces u ∈ Cm(R2).


Observación 1.7.4 El problema (PCOh) posee la propiedad de dependencia continua, en el sentidode la convergencia uniforme sobre compactos, respecto de los datos iniciales.

En concreto, si f y f pertenecen a C2(R), g y g pertenecen a C1(R), y existe un intervalo cerradoy acotado [a, b] ⊂ R tal que f ≡ f y g ≡ g en R \ [a, b], entonces, si denotamos por u a la solución de(PCOh) correspondiente a los datos iniciales f y g, y por u a la solución de (PCOh) correspondientea los datos iniciales f y g, se satisface:

(1.60) |u(x, t)− u(x, t)| ≤ ‖f − f‖C0([a,b]) +b− a

2c‖g − g‖C0([a,b]) ∀ (x, t) ∈ R2.

Observación 1.7.5 Sea (x∗, t∗) un punto de R2 dado tal que, por fijar ideas, t∗ > 0. Teniendo encuenta la fórmula (7,1), podemos afirmar sobre la solución u de (PCOh):

1. El valor de u en el punto (x∗, t∗) depende, exclusivamente, del valor de f en los puntos x∗ + ct∗y x∗ − ct∗, y de los valores que toma g en los puntos del intervalo [x∗ − ct∗, x∗ + ct∗]. A dichointervalo se le denomina el intervalo de dependencia del punto (x∗, t∗) para t = 0.

2. Los valores de f y g en x∗ influyen en el instante t∗ únicamente en los valores de u en los puntos(x, t∗) con x ∈ [x∗ − ct∗, x∗ + ct∗]. Al intervalo traladado de éste último a t = t∗ se le denominael intervalo de influencia del punto (x∗, 0) en el instante t = t∗.

Pasamos ahora a estudiar el problema de Cauchy-Dirichlet para la ecuación de ondas unidimensionalhomogénea. En concreto, consideramos el problema

(PCDOh)

utt − c2uxx = 0 en [0, l]× [0,+∞),u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x) si x ∈ [0, l],

u(0, t) = α(t), u(l, t) = β(t) si t ∈ [0, +∞),

donde c > 0, f : [0, l] → R, g : [0, l] → R, α : [0, +∞) → R y β : [0,+∞) → R son datos del problema.El problema (PCDOh) se denomina también el problema de la cuerda vibrante. Para dicho pro-

blema, introducimos el siguiente concepto de solución:

Definición 1.7.6 Una solución clásica de (PCDOh) es cualquier función u = u(x, t) que pertenezca aC2([0, l]× [0, +∞)), y tal que utt(x, t) = c2uxx(x, t) ∀ (x, t) ∈ [0, l]× [0, +∞), u(x, 0) = f(x) ∀x ∈ [0, l],ut(x, 0) = g(x) ∀x ∈ [0, l], u(0, t) = α(t) ∀ t ≥ 0 y u(l, t) = β(t) ∀ t ≥ 0.

En primer lugar, es fácil establecer la unicidad de solución clásica para el problema (PCDOh).

Lema 1.7.7 Existe, a lo más, una solución clásica para el problema (PCDOh).

Demostración.- Basta ver que si u es solución clásica para el problema (PCDOh) con f ≡ g ≡ α ≡β ≡ 0, entonces u ≡ 0 en [0, l]× [0, +∞).

Para demostrar esto último, se considera la función E(t) definida por

(1.61) E(t) =12

∫ l

0

(c2(ux(x, t))2 + (ut(x, t))2

)dx ∀ t ≥ 0.

Es inmediato que E(0) = 0, y que E ∈ C1([0, +∞)) con derivada

E(t) =∫ l

0

(c2ux(x, t)uxt(x, t) + ut(x, t)utt(x, t)

)dx ∀ t ≥ 0,


con lo que

E(t) = c2

∫ l

0(uxut)x(x, t) dx = c2 [ux(x, t)ut(x, t)]x=l

x=0 = 0 ∀ t ≥ 0.

En consecuencia, E(t) = 0 para todo t ≥ 0, y por tanto u es constante en [0, l] × [0, +∞), con lo queforzosamente u = 0 en [0, l]× [0,+∞). ¥

Respecto de la existencia, resulta inmediato que, si existe solución clásica para el problema(PCDOh), entonces los datos iniciales y de contorno han de satisfacer f ∈ C2([0, l]), g ∈ C1([0, l]),α ∈ C2([0, +∞)) y β ∈ C2([0, +∞)). Además, es sencillo comprobar que se han de satisfacer lasrelaciones

(CC)

α(0) = f(0), α(0) = g(0), α(0) = c2f ′′(0),

β(0) = f(l), β(0) = g(l), β(0) = c2f ′′(l),

denominadas relaciones de compatibilidad para los datos del problema (PCDOh).De hecho, estas condiciones son también suficientes para la existencia de solución clásica del prob-

lema (PCDOh). En concreto, se satisface el siguiente resultado:

Teorema 1.7.8 Si f ∈ C2([0, l]), g ∈ C1([0, l]), α ∈ C2([0, +∞)), β ∈ C2([0,+∞)), y se satisfacenlas condiciones (CC), entonces existe una y sólo una solución clásica del problema (PCDOh).

Antes de demostrar el Teorema 1.7.8, hagamos algunos comentarios.En primer lugar, teniendo en cuenta el Lema 1.7.7, está claro que para probar el Teorema 1.7.8 lo

que hace falta es demostrar la existencia de solución.En el caso en que α y β son funciones afines, la demostración de la existencia de solución clásica del

problema (PCDOh) se puede llevar a cabo, de una forma relativamente sencilla, mediante el métodode separación de variables. En efecto, en el caso de condiciones de contorno afines α(t) ≡ α1 + α2t yβ(t) ≡ β1 + β2t, con αi y βi ∈ R, efectuando el cambio de función incógnita

v(x, t) = u(x, t)− α(t)− x

l(β(t)− α(t)),

la cuestión se reduce a demostrar la existencia de solución clásica del problema

(1.62)

vtt − c2vxx = 0 en [0, l]× [0,+∞),

v(x, 0) = f(x), vt(x, 0) = g(x) si x ∈ [0, l],

v(0, t) = v(l, t) = 0 si t ∈ [0, +∞),

dondef(x) = f(x)− α(0)− x

l(β(0)− α(0)),

yg(x) = g(x)− α(0)− x

l(β(0)− α(0)).

Supuestas satisfechas las condiciones (CC), es inmediato comprobar que f ∈ C2([0, l]), g ∈C1([0, l]), y satisfacen

f(0) = f(l) = f ′′(0) = f ′′(l) = g(0) = g(l) = 0.

En resumen, si α y β son funciones afines, para demostrar el Teorema 1.7.8 basta demostrarexistencia de solución clásica de los problemas

(1.63)

utt − c2uxx = 0 en [0, l]× [0,+∞),

u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = 0 si x ∈ [0, l],

u(0, t) = u(l, t) = 0 si t ∈ [0, +∞),


(1.64)

utt − c2uxx = 0 en [0, l]× [0,+∞),

u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = g(x) si x ∈ [0, l],

u(0, t) = u(l, t) = 0 si t ∈ [0, +∞),

donde en (1.63) f ∈ C2([0, l]) y satisface f(0) = f(l) = f ′′(0) = f ′′(l) = 0, y en (1.64) g ∈ C1([0, l]) ysatisface g(0) = g(l) = 0.

Para demostrar que (1.63) posee solución clásica, se procede por separación de variables, y seobtiene como solución formal

(1.65) u(x, t) =∞∑

n=1

cn cos(

nπct

l

)sen

(nπx

l

),

con

cn =2l

∫ l

0f(s) sen

(nπs

l

)ds ∀n ≥ 1.

Consideremos la función F : R→ R definida por

F (y) =∞∑

n=1

cn sen(nπy

l

)∀ y ∈ R.

La función F así definida no es más que la resultante de prolongar f de manera impar a [−l, l], y acontinuación considerar la prolongación de esta última a todo R por 2l-periodicidad, es decir, se tomaf definida en [−l, l] por

f(y) =

f(y) si y ∈ [0, l],

−f(−y) si y ∈ [−l, 0),

y se define F porF (y + 2kl) = f(y) ∀ y ∈ [−l, l] ∀ k ∈ Z.

Como f ∈ C2([0, l]) y satisface f(0) = f(l) = f ′′(0) = f ′′(l) = 0, es fácil comprobar que F ∈ C2(R).Basta ahora observar que

cos(

nπct

l

)sen

(nπx

l

)=

12

[sen

(nπ(x + ct)

l

)+ sen

(nπ(x− ct)

l

)],

para concluir que la función definida por (1.65) viene dada por

u(x, t) =12

(F (x + ct) + F (x− ct)) ∀ (x, t) ∈ R2,

con lo que es inmediato ver que u es solución clásica de (1.63).Para la existencia de solución clásica de (1.64), procediendo de nuevo por separación de variables,

se obtiene como solución formal

(1.66) u(x, t) =∞∑

n=1

cn sen(

nπct

l

)sen

(nπx

l

),

con

cn =2

nπc

∫ l

0g(s) sen

(nπs

l

)ds ∀n ≥ 1.


Así pues, de manera formal,

(1.67) ut(x, t) =∞∑

n=1

bn cos(

nπct

l

)sen

(nπx

l

),

con

bn =2l

∫ l

0g(s) sen

(nπs

l

)ds ∀n ≥ 1.

Como g ∈ C1([0, l]) y g(0) = g(l) = 0, la serie definida en (1.64) converge absoluta y uniformementeen R2.

Definamos

(1.68) G(y) =∞∑

n=1

bn sen(nπy

l

)∀ y ∈ R.

La función G definida por (1.68) no es más que la resultante de prolongar g de manera impar a [−l, l], ya continuación considerar la prolongación de esta última a todo R por 2l-periodicidad. En consecuencia,como g ∈ C1[0, l] con g(0) = g(l) = 0, es fácil ver que G ∈ C1(R).

La igualdad formal (1.67) puede ser escrita como

(1.69) ut(x, t) =12

[G(x + ct) + G(x− ct)] ,

que integrada con u(x, 0) = 0 produce

u(x, t) =12

∫ t

0G(x + cs) ds +

12

∫ t

0G(x− cs) ds,

o haciendo el cambio x + cs = τ en la primera integral y x− cs = τ en la segunda integral,

(1.70) u(x, t) =12c

∫ x+ct

x−ctG(τ) dτ ∀ (x, t) ∈ R2.

Es sencillo comprobar que la función u definida por (1.70) es solución clásica del problema (1.64).

Observación 1.7.9 De la discusión precedente, se deduce que para resolver el problema (PCDOh)en el caso de condiciones de contorno homogéneas, y supuestas satisfechas las condiciones (CC), loque hay que hacer, es considerar las prolongaciones impares y 2l-periódicas de f y g a todo R, y acontinuación resolver por la fórmula de d’Alembert el problema de Cauchy correspondiente.

Pasamos ahora a demostrar el Teorema 1.7.8 en el caso general.Demostración del Teorema 1.7.8 En primer lugar, es inmediato que toda función de la forma

(1.71) u(x, t) = F (x + ct) + G(x− ct), (x, t) ∈ [0, l]× [0, +∞),

con F ∈ C2([0, +∞)) y G ∈ C2((−∞, l]), es una función que pertenece a C2([0, l]× [0, +∞)) y satisfacela ecuación utt − c2uxx = 0 en todo punto de [0, l]× [0, +∞).

Lo que hay que comprobar, es que es posible hallar F ∈ C2([0, +∞)) y G ∈ C2((−∞, l]), tales quela función u determinada por (1.71) satisfaga las condiciones iniciales y de contorno en (PCDOh)

En primer lugar, para que u determinada por (1.71) satisfaga las condiciones iniciales en (PCDOh),es necesario y suficiente que F y G satisfagan

F (ξ) + G(ξ) = f(ξ) ∀ ξ ∈ [0, l],

F ′(ξ)−G′(ξ) =1cg(ξ) ∀ ξ ∈ [0, l].


Así pues, razonando como para la obtención de la fórmula de d’Alembert, es inmediato que para que u

determinada por (1.71) satisfaga las condiciones iniciales en (PCDOh), es suficiente que F y G vengandadas por

(1.72) F (ξ) =12f(ξ) +

12c

∫ ξ

0g(s) ds, ∀ ξ ∈ [0, l],

(1.73) G(ξ) =12f(ξ)− 1

2c

∫ ξ

0g(s) ds, ∀ ξ ∈ [0, l].

Por otra parte, la función u determinada por (1.71) satisface la condición de contorno u(0, t) = α(t),si y sólo si F y G satisfacen la relación

F (ct) + G(−ct) = α(t), ∀ t ≥ 0,

o lo que es lo mismo, si y sólo si

(1.74) G(ξ) = α(−ξ

c)− F (−ξ), ∀ ξ ≤ 0.

Finalmente, la función u determinada por (1.71) satisface la condición de contorno u(l, t) = β(t), si ysólo si F y G satisfacen la relación

F (l + ct) + G(l − ct) = β(t), ∀ t ≥ 0,

es decir, si y sólo si

(1.75) F (ξ) = β(ξ − l

c)−G(2l − ξ), ∀ ξ ≥ l.

Así pues, para terminar con la demostración del Teorema 1.7.8, basta comprobar que, supuestas satis-fechas las condiciones (CC), existen F ∈ C2([0, +∞)) y G ∈ C2((−∞, l]), satisfaciendo las condiciones(1.72)-(1.75). En primer lugar, es inmediato que, las cuatro relaciones (1.72)-(1.75) determinan unay sólo una pareja de funciones F : [0,+∞) 7→ R y G : (−∞, l] 7→ R. Además, como f ∈ C2([0, l]) yg ∈ C1([0, l]), es inmediato que F y G son de C2([0, l]).

Por otra parte, de (1.72)-(1.74), tenemos que

(1.76) G(ξ) =

12f(ξ)− 1

2c

∫ ξ

0g(s) ds ∀ ξ ∈ [0, l],

α(−ξ

c)− 1

2f(−ξ)− 1

2c

∫ −ξ

0g(s) ds, ∀ ξ ∈ [−l, 0].

También, de (1.72), (1.73) y (1.75), tenemos que

(1.77) F (ξ) =

12f(ξ) +

12c

∫ ξ

0g(s) ds ∀ ξ ∈ [0, l],

β(ξ − l

c)− 1

2f(2l − ξ) +

12c

∫ 2l−ξ

0g(s) ds, ∀ ξ ∈ [l, 2l].

Es fácil ahora comprobar que, por las relaciones (CC), la función G determinada por (1.76) pertenecea C2([−l, l]), y la función F determinada por (1.77) pertenece a C2([0, 2l]).


Para terminar con la demostración, procedamos por inducción. Supongamos que la pareja defunciones F y G determinadas por las relaciones (1.72)-(1.75) satisfacen F ∈ C2([0, (k + 1)l]) yG ∈ C2([−kl, l]), con k ≥ 1 entero. Vamos a demostrar que, entonces, las relaciones (1.74) y (1.74)implican que F ∈ C2([0, (k + 2)l]) y G ∈ C2([−(k + 1)l, l]).

En efecto si F ∈ C2([0, (k + 1)l]) con k ≥ 1, como α ∈ C2([0, +∞)), la relación (1.74) implica enparticular que G ∈ C2([−(k + 1)l, 0]), lo que, junto al hecho de que ya sabemos que G ∈ C2([−l, l]),implica que G ∈ C2([−(k + 1)l, l]).

Por otra parte, si G ∈ C2([−kl, l]) con k ≥ 1, como β ∈ C2([0, +∞)), la relación (1.75) implica queF ∈ C2([l, (k + 2)l]), y basta ahora tener en cuenta que ya sabemos que F ∈ C2([0, 2l]), para concluirque F ∈ C2([0, (k + 2)l]). ¥

Observación 1.7.10 El método que hemos seguido para demostrar el Teorema 1.7.8, que propor-ciona otro método distinto del de separación de variables para hallar la solución clásica del problema(PCDOh), aunque ha sido puramente analítico, permite una interpretación geométrica evidente. Dichainterpretación se puede generalizar al caso en que no se satisfacen las condiciones (CC). Para ello, sehace uso de la noción de solución generalizada de la ecuación de ondas unidimensional homogénea.

Definición 1.7.11 Sean Q ⊂ R2 un abierto no vacío y u : Q → R una función. Diremos que u es unasolución generalizada de la EDP utt − c2uxx = 0 en Q si para todo punto (x∗, t∗) ∈ Q y todo par ξ,η ∈ R tales que los puntos (x∗ + cξ, t∗ + ξ), (x∗ − cη, t∗ + η) y (x∗ + cξ − cη, t∗ + ξ + η) pertenezcan aQ, se satisface la igualdad

(1.78) u(x∗, t∗) + u(x∗ + cξ − cη, t∗ + ξ + η) = u(x∗ + cξ, t∗ + ξ) + u(x∗ − cη, t∗ + η).

La interpretación geométrica de la Definición 1.7.11 es inmediata. Fijado un punto A = (x∗, t∗) en Q,se toman dos puntos, B y D, en Q, que estén en cada una de las dos rectas características que pasanpor A (de ecuaciones x− ct = x∗ − ct∗ y x + ct = x∗ + ct∗ respectivamente). A continuación se tomacomo punto C aquél que junto con A, B y D determinen los vértices de un paralelogramo. Suponiendoque C pertenece también a Q, si u es solución generalizada de utt− c2uxx = 0 en Q, se ha de satisfacer

u(A) + u(C) = u(B) + u(D).

La relación del concepto de solución generalizada con el de solución clásica viene dada por elresultado siguiente:

Lema 1.7.12 Sean Q ⊂ R2 un abierto no vacío y u ∈ C2(Q). Bajo estas condiciones, se satisfacen:

1. Si utt − c2uxx ≡ 0 en Q, y Q es convexo, entonces u es solución generalizada de utt − c2uxx = 0en Q.

2. Si u es solución generalizada de utt − c2uxx = 0 en Q, entonces utt − c2uxx ≡ 0 en Q.

Demostración.-1. Sea u ∈ C2(Q), con Q es convexo, tal que utt − c2uxx ≡ 0 en Q.Fijados cuatro puntos A = (x∗, t∗), B = (x∗ + cξ, t∗ + ξ), C = (x∗ + cξ − cη, t∗ + ξ + η) y

D = (x∗ − cη, t∗ + η), todos en Q, denotemos por R el interior del paralelogramo de vértices A, B, C

y D.Como Q es convexo, la clausura de R está contenida en Q, así que podemos escribir

(1.79)∫∫

R(utt − c2uxx) dx dt = 0.


Para obtener (1.78), basta aplicar a (1.79) la fórmula de Green.2. Sea u ∈ C2(Q) solución generalizada de utt − c2uxx = 0 en Q.Fijemos un punto (x∗, t∗) ∈ Q. Como Q es abierto, existe ε > 0 tal que para todo ξ ∈ (0, ε) y todo

η ∈ (0, ε) los puntos (x∗ + cξ, t∗ + ξ), (x∗ + cξ − cη, t∗ + ξ + η) y (x∗ − cη, t∗ + η) están también todosen Q. En consecuencia, se satisface

(1.80) u(x∗ + cξ − cη, t∗ + ξ + η)− u(x∗ + cξ, t∗ + ξ) = u(x∗ − cη, t∗ + η)− u(x∗, t∗) ∀ ξ, η ∈ (0, ε).

Sumando y restando u(x∗ + cξ − cη, t∗ + ξ) en el primer miembro de la igualdad (1.80), y sumando yrestando u(x∗ − cη, t∗) en el segundo miembro de la igualdad (1.80), se obtiene, tras dividir por η ypasar al límite para η ↓ 0,

(1.81) ut(x∗ + cξ, t∗ + ξ)− cux(x∗ + cξ, t∗ + ξ) = ut(x∗, t∗)− cux(x∗, t∗) ∀ ξ ∈ (0, ε).

De (1.81) es inmediato que se tiene

(1.82)

ut(x∗ + cξ, t∗ + ξ)− ut(x∗ + cξ, t∗) + ut(x∗ + cξ, t∗)− ut(x∗, t∗) =

c [ux(x∗ + cξ, t∗ + ξ)− ux(x∗, t∗ + ξ) + ux(x∗, t∗ + ξ)− ux(x∗, t∗)] ∀ ξ ∈ (0, ε).

Dividiendo en (1.82) por ξ y haciendo ξ ↓ 0, se obtiene utt(x∗, t∗) = c2uxx(x∗, t∗). ¥Como consecuencia del Lema 1.7.12, podemos afirmar que para hallar solución clásica del prob-

lema (PCDOh) basta construir una función u : Q → R, con Q = (0, l) × (0,+∞), que sea solucióngeneralizada de la EDP utt − c2uxx = 0 en Q y satisfaga las condiciones iniciales y de contorno, y acontinuación comprobar que u ∈ C2(Q).

Para efectuar la construcción de la solución generalizada, se subdivide Q en subdominios mediantelas rectas características x + ct = kl y x− ct = −kl, con k ∈ Z+. De esta forma, se tiene que

Q = Q00 ∪∞⋃

i=1

(Qi−1,i ∪ Qi,i ∪ Qi,i+1),

conQ00 = (x, t) ∈ Q; x + ct ∈ (0, l), x− ct ∈ (0, l),

Q01 = (x, t) ∈ Q; x + ct ∈ (0, l), x− ct ∈ (−l, 0),

Q10 = (x, t) ∈ Q; x + ct ∈ (l, 2l), x− ct ∈ (0, l), etc.

A continuación, se va encontrando la solución generalizada por etapas, construyéndola en cadauno de los Di,j , comenzando por D00, a continuación D01 y D10, y así sucesivamente, como en lademostración del Teorema 1.7.8.

1.8. El Principio de Duhamel.

Consideramos en este parágrafo el problema de Cauchy para la ecuación de ondas unidimensionalno homogénea

(PCO)

utt − c2uxx = h(x, t) en R2,

u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x) si x ∈ R.


Está claro que para resolver (PCO), basta resolver el problema correspondiente para la ecuaciónhomogénea con datos iniciales f y g, cosa que sabemos ya hacer, y sumarle a la solución obtenida ladel problema

(1.83)

utt − c2uxx = h(x, t) en R2,

u(x, 0) = ut(x, 0) = 0 si x ∈ R.

Así pues, la única cuestión que se plantea es cómo resolver (1.83). Esto último puede ser llevado a cabomediante el denominado principio de Duhamel:

Teorema 1.8.1 (Principio de Duhamel) Sea h ∈ C1(R2). Para cada s ∈ R, consideremos el problema

(1.84)

vtt − c2vxx = 0 en R2,

v(x, 0) = 0, vt(x, 0) = h(x, s) si x ∈ R.

Denotemos por v(·, ·, s) a la única solución clásica de (1.84). Entonces, el problema (1.83) posee unay sólo una solución u ∈ C2(R2), que viene dada por la fórmula

(1.85) u(x, t) =∫ t

0v(x, t− s, s) ds ∀ (x, t) ∈ R2.

Demostración.- La unicidad es inmediata. Para la existencia, es fácil comprobar que la función u

dada por (1.85) está bien definida y pertenece a C2(R2). Además, evidentemente u(x, 0) = 0, y

(1.86) ut(x, t) =∫ t

0vt(x, t− s, s) ds + v(x, 0, t) =

∫ t

0vt(x, t− s, s) ds ∀ (x, t) ∈ R2.

De (1.86)se obtiene en particular que ut(x, 0) = 0, y derivando nuevamente respecto de t,

utt(x, t) =∫ t

0vtt(x, t− s, s) ds + vt(x, 0, t) =

∫ t

0c2vxx(x, t− s, s) ds + h(x, t) ∀ (x, t) ∈ R2,

es decir,

utt(x, t) = c2 ∂2

∂x2

(∫ t

0v(x, t− s, s) ds

)+ h(x, t) = c2uxx(x, t) + h(x, t) ∀ (x, t) ∈ R2.

¥

Observación 1.8.2 Es un ejercicio sencillo, a partir del principio de Duhamel, escribir de formaexplícita la fórmula que resuelve (1.83). En concreto, como solución u de (1.83), se tiene:

u(x, t) =12c

∫ t

0

(∫ x+c(t−s)

x−c(t−s)h(y, s) dy

)ds, ∀ (x, t) ∈ R2.

Capítulo 2

EL PROBLEMA DE DIRICHLET PARALAS ECUACIONES DE LAPLACE Y DEPOISSON

2.1. Definiciones y motivación

En todo este Capítulo, salvo mención en contra, designamos por Ω un abierto conexo y acotadono vacío de RN , con N entero mayor que 1. Denotamos por ∂Ω a la frontera de Ω, y por |x| la normaeuclídea de un punto x ∈ RN .

Vamos a obtener, en un marco clásico, varios resultados elementales referentes al problema deDirichlet para las ecuaciones de Laplace y de Poisson. Recordamos la formulación de estos problemas;en concreto, suponemos fijadas f ∈ C0(Ω) y g ∈ C0(∂Ω), y nos planteamos el problema de Dirichletpara la ecuación de Poisson:

(PDP )

−∆u = f en Ω,

u = g sobre ∂Ω

Para el mencionado problema, se introduce el concepto de solución clásica:

Definición 2.1.1 Una solución clásica de (PDP ) es cualquier función u ∈ C2(Ω) ∩ C0(Ω) tal que−∆u(x) = f(x) para todo x ∈ Ω, y u(x) = g(x) para todo x ∈ ∂Ω.

Observación 2.1.2 Denominaremos problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace, y lo deno-taremos (PDL), al problema (PDP ) en el caso en que f ≡ 0.

Como paso previo al estudio de los problemas (PDP ) y (PDL), recordamos las Identidades de Green.

2.2. Identidades de Green.

En este parágrafo, vamos a suponer que Ω satisface, además, que su frontera ∂Ω es suficientementeregular, en concreto suponemos que ∂Ω ∈ C0,1. Denotamos por σ a la medida de superficie inducidasobre ∂Ω por la medida de Lebesgue en RN , por ~n(x) al vector unitario normal exterior a Ω en x ∈ ∂Ω,y por ni(x) a la componente i-ésima de ~n(x) (para las definiciones, véase el Apéndice D).

Un resultado fundamental en el estudio de las EDP lo constituye el siguiente, cuya demostraciónse puede consultar, por ejemplo, en [5], [7]:

32


Teorema 2.2.1 (Fórmula de Green) Si ∂Ω ∈ C0,1 y f ∈ C1(Ω), entonces

(2.1)∫

Ω∂if(x) dx =

∫

∂Ωf(x)ni(x) dσ(x) ∀ i = 1, ..., N.

Como consecuencia inmediata de (2.1) se obtienen las siguientes relaciones (siempre con ∂Ω ∈ C0,1):a) Fórmula de integración por partes: Si u y v pertenecen a C1(Ω), entonces

(2.2)∫

Ωu(x)∂iv(x) dx = −

∫

Ωv(x)∂iu(x) dx +

∫

∂Ωu(x)v(x)ni(x) dσ(x) ∀ i = 1, ..., N.

b) Fórmula de Ostrogradski o teorema de la divergencia: Si ~f ∈ C1(Ω)N y denotamos la

divergencia de ~f por ∇ · ~f =N∑

i=1

∂ifi, entonces

(2.3)∫

Ω∇ · ~f(x) dx =

∫

∂Ω

~f(x) · ~n(x) dσ(x).

c) Primera identidad de Green: Si u ∈ C2(Ω) y v ∈ C1(Ω), entonces

(2.4)∫

Ω∇u(x) · ∇v(x) dx = −

∫

Ωv(x)∆u(x) dx +

∫

∂Ωv(x)∂~nu(x) dσ(x),

donde, por definición, ∂~nu(x) = ∇u(x) · ~n(x) en todos los puntos de ∂Ω en que esté definido ~n(x), esla derivada de u en la dirección de la normal unitaria exterior a Ω en el punto x.

d) Segunda identidad de Green: Si u y v pertenecen a C2(Ω), entonces

(2.5)∫

Ω(v(x)∆u(x)− u(x)∆v(x)) dx =

∫

∂Ω(v(x)∂~nu(x)− u(x)∂~nv(x)) dσ(x).

En particular, tomando v = u o v = 1 en (2.4), se obtiene para toda u ∈ C2(Ω)

(2.6)∫

Ω|∇u(x)|2 dx = −

∫

Ωu(x)∆u(x) dx +

∫

∂Ωu(x)∂~nu(x) dσ(x),

y

(2.7)∫

Ω∆u(x) dx =

∫

∂Ω∂~nu(x) dσ(x).

A (2.6) la denominaremos la identidad de la energía, y a (2.7) Ley de Gauss.

Observación 2.2.2 Si ∂Ω ∈ C0,1, entonces es inmediato obtener, como consecuencia de la identidadde la energía, que existe a lo más una solución clásica de (PDP ) en C2(Ω). En el siguiente parágrafovamos a ver que, de hecho, se puede obtener unicidad de solución clásica de (PDP ) sin exigir paraello regularidad a ∂Ω.

2.3. Principio del máximo débil. Consecuencias.

Un resultado importante, que en particular nos permite obtener la unicidad de solución clásica delproblema (PDP ), es el denominado principio del máximo débil. En concreto, se tiene:


Teorema 2.3.1 (Principio del máximo débil) Si Ω ⊂ RN es un abierto acotado no vacío, y u ∈C2(Ω) ∩ C0(Ω) es una función tal que −∆u ≤ 0 en Ω, entonces

(2.8) maxΩ

u = max∂Ω

u.

En particular,

(2.9) u ≤ 0 sobre ∂Ω =⇒ u ≤ 0 en Ω.

Demostración.- Supongamos en primer lugar que −∆u < 0 en Ω. En tal caso, si no se satisface (2.8),existe un x ∈ Ω tal que u(x) = max

Ωu > max

∂Ωu, y por la condición necesaria de extremo local, en

dicho punto ha de tenerse ∆u(x) ≤ 0, en contradicción con la suposición de partida. En resumen, si−∆u < 0 en Ω, entonces se satisface (2.8).

En el caso general, como −∆u ≤ 0 en Ω, si tomamos v(x) = |x|2, para cada ε > 0 se tiene que−∆(u + εv) < 0 en Ω. En consecuencia,

maxΩ

(u + εv) = max∂Ω

(u + εv) ∀ ε > 0,

y por tanto

(2.10) maxΩ

(u + εv) ≤ max∂Ω

u + ε max∂Ω

v ∀ ε > 0.

Por otra parte, como v es no negativa, siempre se satisface

(2.11) maxΩ

u ≤ maxΩ

(u + εv) ∀ ε > 0.

Basta hacer ε ↓ 0 en (2.10) y (2.11) para obtener maxΩ

u ≤ max∂Ω

u ¥Como consecuencias inmediatas del Teorema 2.3.1, se tienen:

Corolario 2.3.2 Si Ω ⊂ RN es un abierto acotado no vacío, y u ∈ C2(Ω) ∩C0(Ω) es una función talque −∆u = 0 en Ω, entonces

(2.12) mín∂Ω

u ≤ u(x) ≤ max∂Ω

u ∀x ∈ Ω.

¥

Corolario 2.3.3 (Unicidad de solución clásica de (PDP )) Para cada f ∈ C0(Ω) y g ∈ C0(∂Ω) dadas,el problema de Dirichlet para la ecuación de Poisson (PDP ) en un abierto acotado no vacío Ω ⊂ RN

posee, a lo más, una solución clásica. ¥

2.4. Solución fundamental.

En este apartado, nos planteamos la búsqueda de soluciones de la ecuación de Laplace en RN ,que tengan simetría esférica. En concreto, suponemos fijado ξ ∈ RN y nos planteamos hallar u ∈C2(RN \ ξ) de la forma u(x) = ϕ(|x− ξ|), con ϕ ∈ C2(0, +∞), y tal que −∆u(x) = 0 en RN \ ξ.Es inmediato comprobar que en tal caso ϕ = ϕ(r) ha de satisfacer la EDO

(2.13) ϕ′′ +N − 1

rϕ′ = 0 en (0,+∞).


La solución general de (2.13) viene dada por

(2.14) ϕ(r) =

− C1

(N − 2)rN−2+ C2 si N ≥ 3,

C1 log r + C2 si N = 2,

con C1 y C2 constantes arbitrarias. En consecuencia, toda función de la forma

u(x) = ϕ(|x− ξ|),

con ϕ dada por (2.14) y ξ ∈ RN fijado, es una función de C∞(RN \ ξ) que satisface −∆u(x) = 0 enRN \ ξ.

Por razones que van a quedar de manifiesto de inmediato, introducimos la definición siguiente:

Definición 2.4.1 Se denomina solución fundamental de la ecuación de Laplace en RN a la funciónK(x, ξ) definida en el conjunto

(2.15) A = (x, ξ) ∈ RN × RN ; x 6= ξ,

por

(2.16) K(x, ξ) =

− 1(N − 2)ωN |x− ξ|N−2

si N ≥ 3,

12π

log |x− ξ| si N = 2,

donde ωN es la medida superficial de la esfera unidad (respecto de la norma euclídea) de RN .

Observación 2.4.2 Es obvio que K ∈ C∞(A). Además, si denotamos por ∆ al laplaciano en lavariable x, o al laplaciano en la variable ξ, es inmediato que ∆K(x, ξ) = 0 para todo par (x, ξ) ∈ A.

Obsérvese también que, para cada ξ ∈ RN , la función K(·, ξ), que está bien definida en todo RN

salvo en el punto ξ, es localmente integrable en RN (es decir, es integrable en todo compacto de RN ).

2.5. La fórmula de representación de Green: función de Green.

Una propiedad importante de las soluciones fundamentales la proporciona el siguiente resultado:

Teorema 2.5.1 (Fórmula de representación de Green) Si ∂Ω ∈ C0,1, entonces para cada funciónu ∈ C2(Ω) se satisface,

(2.17) u(ξ) =∫

ΩK(x, ξ)∆u(x) dx +

∫

∂Ω(u(x)∂~nK(x, ξ)−K(x, ξ)∂~nu(x)) dσ(x) ∀ ξ ∈ Ω.

Demostración.- Fijemos ξ ∈ Ω y ρ0 > 0 tal que B(ξ, ρ0) ⊂ Ω. Para cada ρ ∈ (0, ρ0] denotemosΩρ = Ω \B(ξ, ρ).

Las funciones u y K(·, ξ) restringidas a Ωρ pertenecen a C2(Ωρ), con lo que, por la segunda identidadde Green, obtenemos

(2.18)

∫

Ωρ

K(x, ξ)∆u(x) dx =∫

∂Ω(K(x, ξ)∂~nu(x)− u(x)∂~nK(x, ξ)) dσ(x)+

+∫

∂B(ξ,ρ)(K(x, ξ)∂~nu(x)− u(x)∂~nK(x, ξ)) dσ(x).


La igualdad (2.18) se tiene para cada ρ ∈ (0, ρ0]. A continuación, hacemos decrecer ρ a 0 en (2.18).Es inmediato comprobar que

límρ↓0

∫

Ωρ

K(x, ξ)∆u(x) dx =∫

ΩK(x, ξ)∆u(x) dx.

Por otra parte, si denotamos por ϕ a la función definida por (2.14) con C1 =1

ωNy C2 = 0, tenemos

por la ley de Gauss (2.7):∫

∂B(ξ,ρ)K(x, ξ)∂~nu(x) dσ(x) = ϕ(ρ)

∫

∂B(ξ,ρ)∂~nu(x) dσ(x).

A partir de esta igualdad, teniendo en cuenta que∣∣∣∣∣∫

∂B(ξ,ρ)∂~nu(x) dσ(x)

∣∣∣∣∣ ≤ ρN−1 maxΩ|∇u|

∫

∂B(0,1)dy,

y que límρ↓0

ϕ(ρ)ρN−1 = 0, es inmediato que

(2.19) límρ↓0

∫

∂B(ξ,ρ)K(x, ξ)∂~nu(x) dσ(x) = 0.

Así pues, el teorema quedará demostrado si probamos que se satisface

(2.20) límρ↓0

∫

∂B(ξ,ρ)u(x)∂~nK(x, ξ) dσ(x) = −u(ξ).

Ahora bien, si observamos que la normal exterior a Ωρ en un punto de ∂B(ξ, ρ) viene dada por lanormal interior a B(ξ, ρ) en dicho punto, para todo x ∈ ∂B(ξ, ρ), la normal exterior unitaria a Ωρ enx viene dada por

~n(x) = − x− ξ

|x− ξ| ,

con lo que, como K(x, ξ) = ϕ(|x− ξ|) ∀x 6= ξ, y en consecuencia

∂iK(x, ξ) = ϕ′(|x− ξ|)xi − ξi

|x− ξ| ∀x 6= ξ,

donde ∂i denota la derivada respecto de xi, podemos afirmar que se satisface

(2.21)∫

∂B(ξ,ρ)u(x)∂~nK(x, ξ) dσ(x) = −ϕ′(ρ)

∫

∂B(ξ,ρ)u(x) dσ(x).

A partir de (2.21), haciendo el cambio de variables x = ξ + ρy, obtenemos∫

∂B(ξ,ρ)u(x)∂~nK(x, ξ) dσ(x) = −ϕ′(ρ)ρN−1

∫

∂B(0,1)u(ξ + ρy) dσ(y) = − 1

ωN

∫

∂B(0,1)u(ξ + ρy) dσ(y)

Para obtener (2.20), y en consecuencia tener demostrado el teorema, basta tener en cuenta la últimaigualdad y el hecho de que, como

∣∣∣∣∣∫

∂B(0,1)u(ξ + ρy) dσ(y)− ωNu(ξ)

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∫

∂B(0,1)(u(ξ + ρy)− u(ξ)) dσ(y)

∣∣∣∣∣ ≤


≤ ωN

(max

y∈∂B(0,1)|u(ξ + ρy)− u(ξ)|

),

por la continuidad de u es inmediato que

límρ↓0

∫

∂B(0,1)u(ξ + ρy) dσ(y) = ωNu(ξ).

¥

Observación 2.5.2 Como consecuencia inmediata del teorema precedente, obtenemos que si ∂Ω ∈C0,1 y u ∈ C2(Ω) es tal que −∆u(x) = 0 en Ω, entonces

(2.22) u(ξ) =∫

∂Ω(u(x)∂~nK(x, ξ)−K(x, ξ)∂~nu(x)) dσ(x) ∀ ξ ∈ Ω.

La fórmula (2.22), permite obtener

Corolario 2.5.3 Sea Ω ⊂ RN un abierto no vacío cualquiera. Si u ∈ C2(Ω) es tal que −∆u(x) = 0en Ω, entonces u ∈ C∞(Ω).

Demostración.- Fijado ξ0 ∈ Ω, se puede tomar un ρ0 > 0 tal que B(ξ0, ρ0) ⊂ Ω. Aplicando la fórmula(2.22) a u en B(ξ0, ρ0), obtenemos

(2.23) u(ξ) =∫

∂B(ξ0,ρ0)(u(x)∂~nK(x, ξ)−K(x, ξ)∂~nu(x)) dσ(x) ∀ ξ ∈ B(ξ0, ρ0).

Basta ahora tener en cuenta que la expresión que define K(x, ξ) tiene sentido y es C∞ para todo par(x, ξ) ∈ RN × RN tal que x 6= ξ. ¥

Observación 2.5.4 Admitamos el siguiente resultado (para la demostración se puede consultar [7]):

Proposición 2.5.5 Si O es un abierto no vacío de CN y U ∈ C1(O,C), entonces la función partereal de U es analítica real en O ∩ RN .

Razonando como en la demostración del Corolario 2.5.3, y teniendo en cuenta la Proposición 2.5.5, loque en realidad se puede obtener es que si u ∈ C2(Ω) es tal que −∆u(x) = 0 en Ω, entonces u ∈ Cω(Ω),es decir, u es analítica real en Ω.

Observación 2.5.6 Las igualdades (2.17) y (2.22) son fórmulas de representación. En teoría, per-miten conocer una función u ∈ C2(Ω), cuando ∂Ω ∈ C0,1, a partir de los valores de −∆u en Ω y delos de u y ∂~nu sobre ∂Ω.

Ahora bien, las citadas fórmulas no son totalmente satisfactorias, ya que, en general, dadas f , g

y h, no existe u ∈ C2(Ω) tal que −∆u = f en Ω, u = g sobre ∂Ω y ∂~nu = h sobre ∂Ω (pensar, porejemplo, en el caso f = g = 0 y h = 1).

El inconveniente puesto de manifiesto en la observación precedente, motiva la introducción del conceptode función de Green. El punto de partida para la noción de función de Green lo proporciona el siguienteresultado, que no es más que una reformulación del Teorema 2.5.1:


Proposición 2.5.7 Supongamos que ∂Ω ∈ C0,1. Sea w una función

w : (x, ξ) ∈ Ω× Ω → w(x, ξ) ∈ R,

tal quew(·, ξ) ∈ C2(Ω) y −∆xw(x, ξ) = 0 ∀ (x, ξ) ∈ Ω× Ω,

donde por ∆x denotamos el laplaciano en la variable x.Denotemos G = K + w. Entonces, si u ∈ C2(Ω),

(2.24) u(ξ) =∫

ΩG(x, ξ)∆u(x) dx +

∫

∂Ω(u(x)∂~nG(x, ξ)−G(x, ξ)∂~nu(x)) dσ(x) ∀ ξ ∈ Ω.

Demostración.- La fórmula (2.24) es consecuencia inmediata de (2.17) y de la segunda identidad deGreen aplicada a la pareja u y w(·, ξ). ¥

Definición 2.5.8 Sea Ω ⊂ RN un abierto no vacío. Denotemos

A(Ω) = (Ω× Ω) ∩ A = (x, ξ) ∈ Ω× Ω; x 6= ξ.

Se denomina función de Green en Ω (para el problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace) a unafunción G : A(Ω) → R que sea de la forma G = K + w, con w satisfaciendo las condiciones de laProposición 2.5.7, y tal que

G(x, ξ) = 0 ∀ (x, ξ) ∈ ∂Ω× Ω.

Es inmediato comprobar, teniendo en cuenta el Corolario 2.3.3, que si Ω es un abierto acotado entoncesla función de Green en Ω para el problema (PDL), caso de existir, es única.

Por otra parte, es evidente que si G es la función de Green en Ω, entonces si u ∈ C2(Ω) es solucióndel problema (PDL) para una g ∈ C0(∂Ω) dada, y ∂Ω ∈ C0,1, forzosamente se tiene

(2.25) u(ξ) =∫

∂Ωg(x)∂~nG(x, ξ) dσ(x) ∀ ξ ∈ Ω.

El problema radica en encontrar G. Ello puede lograrse, de manera explícita, para determinadas formasparticulares de Ω. En concreto, en el caso particular de una bola, vamos a construir la función de Greenen el próximo parágrafo.

2.6. Resolución del problema (PDL) en una bola. La fórmula integralde Poisson.

En el caso en que Ω = B(0, R), la bola abierta de centro el origen y radio R para la norma euclídeade RN , es posible construir una función de Green mediante el denominado método de reflexión.

Para cada ξ ∈ B(0, R) \ 0 denotemos

ξ∗ =R2

|ξ|2 ξ.

Obtenemos así una aplicación

ξ ∈ B(0, R) \ 0 → ξ∗ =R2

|ξ|2 ξ ∈ RN \B(0, R)


para la que es fácil comprobar, utilizando el desarrollo de |x− ξ∗|2 y teniendo en cuenta que |x|2 = R2

para todo x ∈ ∂B(0, R), que se satisface la relación fundamental

(2.26)|x− ξ∗||x− ξ| =

R

|ξ| ∀ (x, ξ) ∈ ∂B(0, R)× (B(0, R) \ 0).

Recordemos que K(x, ξ) = ϕ(|x− ξ|) para x 6= ξ, con

(2.27) ϕ(r) =

− 1ωN (N − 2)rN−2

si N ≥ 3,

12π

log r si N = 2.

Como consecuencia de (2.26) se tiene:

ϕ(|x− ξ|) = ϕ

( |ξ|R|x− ξ∗|

)∀ (x, ξ) ∈ ∂B(0, R)× (B(0, R) \ 0),

ϕ(|x|) = ϕ(R)∀x ∈ ∂B(0, R).

Así pues, si tomamos w(x, ξ) definida por:

w(x, ξ) =

−ϕ

( |ξ|R|x− ξ∗|

)∀ (x, ξ) ∈ B(0, R)× (B(0, R) \ 0),

−ϕ(R)∀ (x, ξ) ∈ B(0, R)× 0,entonces w satisface las condiciones de la Proposición 2.5.7, y por construcción G = K + w, es decir,

(2.28) G(x, ξ) =

ϕ(|x− ξ|)− ϕ

( |ξ|R|x− ξ∗|

)∀ (x, ξ) ∈ A(B(0, R)) con ξ 6= 0,

ϕ(|x|)− ϕ(R) ∀ (x, ξ) ∈ A(B(0, R)) con ξ = 0,

es la función de Green en B(0, R). Sustituyendo la expresión de ϕ(r) en esta última fórmula, obtenemos:

a) Si N ≥ 3,

G(x, ξ)=

− 1(N − 2)ωN

[1

|x− ξ|N−2−

(R

|ξ||x− ξ∗|)N−2

]∀ (x, ξ) ∈ A(B(0, R)), ξ 6= 0

− 1(N − 2)ωN

[1

|x|N−2− 1

RN−2

]∀ (x, ξ) ∈ A(B(0, R)), ξ = 0

b) Si N = 2,

G(x, ξ) =

12π

log[

R|x− ξ||ξ||x− ξ∗|

]∀ (x, ξ) ∈ A(B(0, R)) con ξ 6= 0,

12π

log|x|R

∀ (x, ξ) ∈ A(B(0, R)) con ξ = 0.

Podemos ahora, demostrar el siguiente resultado:

Proposición 2.6.1 (Fórmula integral de Poisson) Si u ∈ C2(B(0, R)), y satisface −∆u = 0 enB(0, R), entonces

(2.29) u(ξ) =R2 − |ξ|2

ωNR

∫

∂B(0,R)

u(x)|x− ξ|N dσ(x) ∀ ξ ∈ B(0, R).


Demostración.- Ya sabemos que

u(ξ) =∫

∂B(0,R)u(x)∂~nG(x, ξ) dσ(x) ∀ ξ ∈ B(0, R),

con G dada por (2.28).Pero, en todo punto x ∈ ∂B(0, R), la normal unitaria exterior viene dada por ~n(x) = x/R, y en

consecuencia

∂~nG(x, ξ) =N∑

i=1

∂iG(x, ξ)xi

R∀ (x, ξ) ∈ ∂B(0, R)×B(0, R).

Un sencillo cálculo de las derivadas ∂iG(x, ξ) a partir de (2.28), conduce a

∂~nG(x, ξ) =R2 − |ξ|2

ωNR|x− ξ|N ∀ (x, ξ) ∈ ∂B(0, R)×B(0, R).

¥

Definición 2.6.2 Se denomina núcleo de Poisson en B(0, R), a la función H(x, ξ) definida por

(2.30) H(x, ξ) =R2 − |ξ|2

ωNR|x− ξ|N ∀ (x, ξ) ∈ A(B(0, R)).

Las propiedades del núcleo de Poisson que nos van a resultar de interés, vienen dadas por el siguienteresultado:

Proposición 2.6.3 El núcleo de Poisson H(x, ξ) definido por (2.30) satisface:

1. H ∈ C∞(A(B(0, R))) (de hecho, H es analítico real en A(B(0, R))).

2. H(x, ξ) > 0 ∀ (x, ξ) ∈ A(B(0, R)).

3. −∆ξH(x, ξ) = 0 ∀ (x, ξ) ∈ ∂B(0, R)×B(0, R).

4.∫

∂B(0,R)H(x, ξ) dσ(x) = 1 ∀ ξ ∈ B(0, R).

5. Si ξ0 ∈ ∂B(0, R) y δ > 0 están fijados, entonces

límξ→ξ0

H(x, ξ) = 0 uniformemente en x ∈ B(0, R) \B(ξ0, δ).

Demostración.- Las propiedades 1. y 2. son inmediatas. La igualdad en 3. se comprueba por uncálculo directo a partir de (2.30), y la igualdad en 4. no es más que (2.29) aplicado a u ≡ 1.

Finalmente, dados ξ0 ∈ ∂B(0, R) y δ > 0, si ξ ∈ B(0, R) satisface |ξ − ξ0| ≤ δ/2, y x ∈ B(0, R)satisface |x− ξ0| ≥ δ, entonces

(2.31) H(x, ξ) ≤ R2 − |ξ|2ωNR(|x− ξ0| − |ξ − ξ0|)N

≤ R2 − |ξ|2ωNR(δ/2)N

,

y evidentemente esto implica 5. ¥Estamos ahora en condiciones de demostrar el siguiente resultado:


Teorema 2.6.4 Dada g ∈ C0(∂B(0, R)), la función u : B(0, R) → R definida por

(2.32) u(ξ) =

∫

∂B(0,R)H(x, ξ)g(x) dσ(x) si ξ ∈ B(0, R),

g(ξ) si |ξ| = R,

pertenece a Cω(B(0, R)) ∩ C0(B(0, R)), y es la única solución clásica del problema de Dirichlet

(PDL)

−∆u = 0 en B(0, R),

u = g sobre ∂B(0, R).

Demostración.- Teniendo en cuenta los resultados precedentes, es inmediato comprobar todas laspropiedades de u que se afirman en el teorema, salvo el carácter C0(B(0, R)). En concreto, lo que hacefalta demostrar es que fijados ξ0 ∈ ∂B(0, R) y ε > 0, existe un δ(ε) > 0 tal que

(2.33)

∣∣∣∣∣∫

∂B(0,R)H(x, ξ)g(x) dσ(x)− g(ξ0)

∣∣∣∣∣ ≤ ε

para todo ξ ∈ B(0, R) tal que |ξ − ξ0| ≤ δ(ε).Fijemos ξ0 ∈ ∂B(0, R) y ε > 0. Como g ∈ C0(∂B(0, R)), existe un δ1 > 0 tal que

(2.34) |g(x)− g(ξ0)| ≤ ε/2 ∀x ∈ ∂B(0, R) tal que |x− ξ0| ≤ δ1.

Fijado este δ1, y denotando M = max∂B(0,R)

|g|, de acuerdo con la propiedad 5. de la Proposición 2.6.3,

podemos afirmar que existe un δ2 > 0 tal que para todo ξ ∈ B(0, R) con |ξ − ξ0| ≤ δ2, y para todox ∈ B(0, R) \B(ξ0, δ1) se satisface

(2.35) 0 < H(x, ξ) ≤ ε

4MωNRN−1.

En consecuencia, teniendo en cuenta que si ξ ∈ B(0, R)∫

∂B(0,R)H(x, ξ)g(x) dσ(x)− g(ξ0) =

∫

∂B(0,R)H(x, ξ)(g(x)− g(ξ0)) dσ(x) =

=∫

∂B(0,R)∩|x−ξ0|<δ1H(x, ξ)(g(x)− g(ξ0)) dσ(x) +

∫

∂B(0,R)∩|x−ξ0|≥δ1H(x, ξ)(g(x)− g(ξ0)) dσ(x),

es inmediato obtener (2.33) a partir de (2.34) y (2.35) si tomamos δ(ε) = δ2. ¥

Observación 2.6.5 Es inmediato demostrar que si g ∈ C0(∂B(x0, R)), la única solución clásica delproblema de Dirichlet

(PDL)

−∆u = 0 en B(0, R),

u = g sobre ∂B(0, R).

viene dada por

u(ξ) =

∫

∂B(x0,R)H(x− x0, ξ − x0)g(x) dσ(x) si ξ ∈ B(x0, R),

g(ξ) si |ξ − x0| = R.

Como una consecuencia sencilla de la Proposición 2.6.1, se tiene el siguiente resultado:


Proposición 2.6.6 Si u ∈ C2(Ω) y −∆u = 0 en Ω, entonces para todo ξ ∈ Ω y todo ρ > 0 tal queB(ξ, ρ) ⊂ Ω se satisface

(2.36) u(ξ) = Mu(ξ, ρ),

dondeMu(ξ, ρ) =

1ωNρN−1

∫

∂B(ξ,ρ)u(x) dσ(x),

es la media esférica de u sobre ∂B(ξ, ρ).

Demostración.- Fijados ξ ∈ Ω y ρ > 0 tal que B(ξ, ρ) ⊂ Ω, la función v(y) = u(ξ + y), definidapara y ∈ B(0, ρ), pertenece a C2(B(0, ρ)), y satisface −∆yv = 0 en B(0, ρ). En consecuencia, por laProposición 2.6.1,

v(η) =ρ2 − |η|2

ωNρ

∫

∂B(0,ρ)

v(y)|y − η|N dσ(y) ∀ η ∈ B(0, ρ).

En particular, tomando en esta igualdad η = 0, obtenemos (2.36). ¥La propiedad (2.36), puesta de manifiesto en la proposición precedente, se expresa diciendo que u

satisface la ley de Gauss de la media aritmética en Ω. Ello motiva la definición siguiente:

Definición 2.6.7 Una función armónica en Ω es, por definición, cualquier función u ∈ C2(Ω) tal que−∆u = 0 en Ω.

Observación 2.6.8 De acuerdo con los resultados que hemos obtenido, si u es una función armónicaen Ω, entonces u ∈ Cω(Ω), y satisface la ley de Gauss de la media aritmética en Ω. Se demostrará enel Curso Ampliación de Ecuaciones en Derivadas Parciales que, de manera recíproca, si u ∈ C0(Ω) ysatisface la ley de Gauss de la media aritmética en Ω, entonces u es armónica en Ω.

Observación 2.6.9 El Teorema 2.6.4 y la Observación 2.6.1, constituyen, en particular, un resultadode existencia y unicidad para el problema (PDL) en planteado en una bola abierta de RN . De maneramás general, se tiene el siguiente resultado, que es un caso particular de un teorema que será tambiendemostrado en la asignatura Ampliación de Ecuaciones en Derivadas Parciales:

Teorema 2.6.10 Si Ω ⊂ RN es un abierto acotado convexo no vacío, entonces, para cada funcióng ∈ C0(∂Ω) dada, existe una y sólo una solución del problema (PDL).

Demostración.- Se puede encontrar, por ejemplo, en el libro de F. John, o en el de D. Gilbarg y N.S.Trudinger. ¥

2.7. El problema de Dirichlet para la EDP de Poisson: potencial new-toniano.

En este parágrafo indicamos una manera de resolver, en un marco clásico, y bajo condiciones ade-cuadas, el problema (PDP ), partiendo para ello de la resolución previa del correspondiente problema(PDL).

Sea Ω un abierto acotado no vacío de RN (N entero mayor que 1). Suponemos fijadas f ∈ C0(Ω),no idénticamente nula, y g ∈ C0(∂Ω), y nos planteamos el problema:

(PDL)

−∆u = f en Ω,

u = g sobre ∂Ω,


Sobre dicho problema sabemos que, caso de poseer solución clásica, ésta es única. Además, si Ω es unabola, o, admitiendo el Teorema 2.6.10, si Ω es convexo, sabemos que el problema (PDL) asociado:

(PDL)

−∆u = 0 en Ω,

u = g sobre ∂Ω,

posee una y sólo una solución.En consecuencia, demostrar existencia y unicidad de solución de (PDP ), equivale a demostrarla

en el caso en que g ≡ 0. Ahora bien, en este último caso, incluso aunque Ω sea una bola, no siempreexiste solución clásica para el problema (PDP ). Así, por ejemplo, si se considera la función f definida

en la bola cerrada B(0,12) de RN por

f(x) =

x22 − x2

1

2|x|2√− log |x|

(N + 2− 1

2 log |x|)

si 0 < |x| ≤ 12,

0 si x = 0,

se puede comprobar que f es continua en B(0,12), y sin embargo, el problema

−∆u = f en B(0,12),

u = 0 sobre ∂B(0,12),

no posee solución clásica (para los detalles, se puede consultar el libro de I. Peral). Así pues, inde-pendientemente de la regularidad de Ω y de g, ni la hipótesis f ∈ C0(Ω) es suficiente para garantizarexistencia de solución clásica de (PDP ).

Si se quiere obtener existencia, se hace preciso considerar funciones f en una clase más restringidaque las continuas; dicha clase va a estar constituida por las funciones localmente α-holderianas en Ω.

Definición 2.7.1 Sean f : Ω → R y α ∈ (0, 1]. Diremos que f es α-holderiana en D ⊂ Ω si

supx,y∈D, x 6=y

|f(x)− f(y)||x− y|α < +∞.

Diremos que f es localmente α-holderiana en Ω si f es α-holderiana en todo compacto D ⊂ Ω.

Al conjunto de todas las funciones localmente α-holderianas en Ω lo denotaremos C0,αloc (Ω).

Observación 2.7.2 Es inmediato comprobar que C0,αloc (Ω) es un subespacio vectorial de C0(Ω), y que

C0,1loc (Ω) coincide con el espacio de las funciones localmente lipschitzianas en Ω.

Para la resolución del problema (PDP ) se introduce el concepto de potencial newtoniano asociado ala función f .

Definición 2.7.3 Dada f ∈ L∞(Ω), se define el potencial newtoniano asociado a la función f comola función wf : RN → R dada por

(2.37) wf (ξ) =∫

ΩK(x, ξ)f(x) dx ∀ ξ ∈ RN ,

donde por K(·, ·) denotamos a la solución fundamental de −∆ en RN .


Para el potencial newtoniano se satisfacen los dos resultados siguientes, cuyas demostraciones omitimos(ver [6] pp. 52-56):

Proposición 2.7.4 Si Ω ⊂ RN es un abierto acotado no vacío y f ∈ L∞(Ω), la función wf dada por(2.37) está bien definida y satisface wf ∈ C1(RN ), con

∇ξwf (ξ) =∫

Ω∇ξK(x, ξ)f(x) dx ∀ ξ ∈ RN .

Proposición 2.7.5 Si Ω ⊂ RN es un abierto acotado no vacío y f ∈ L∞(Ω) ∩ C0,αloc (Ω) para algún

α ∈ (0, 1], la función wf dada por (6,1) pertenece a C2(Ω) y satisface ∆wf ≡ f en Ω.

Como consecuencia de la proposición precedente y del Teorema 2.6.10, es inmediato concluir el resultadosiguiente:

Teorema 2.7.6 Sea Ω ⊂ RN un abierto acotado y convexo no vacío. Si f ∈ L∞(Ω) ∩ C0,αloc (Ω) para

algún α ∈ (0, 1], y g ∈ C0(∂Ω), entonces existe una y sólo una solución clásica del problema (PDP ).

Demostración.- Basta tomar como solución u = v − wf , con v la solución clásica del problema deDirichlet −∆v = 0 en Ω,

v = g + wf sobre ∂Ω.

Proposición 2.7.7 De hecho, bajo las condiciones del Teorema 2.7.6, la solución clásica u, ademásde pertenecer a C2(Ω)∩C0(Ω), satisface que todas todas sus derivadas segundas pertenecen a C0,α

loc (Ω)(esto se expresa por u ∈ C0(Ω) ∩ C2,α

loc (Ω)).

Capítulo 3

FORMULACIÓN VARIACIONAL DELPROBLEMA DE DIRICHLET PARA ELLAPLACIANO

3.1. Operadores lineales continuos en espacios de Hilbert. Operadoresadjuntos.

Sean X e Y dos espacios normados reales. Denotaremos por ‖ · ‖, de manera indistinta, a la normaen X y a la norma en Y .

Recordemos que un operador T : X 7→ Y lineal es continuo si y sólo si es acotado, es decir, existeuna constante M > 0 tal que ‖Tx‖ ≤ M‖x‖ para todo x ∈ X. Si T : X 7→ Y es lineal y continuo, sedefine

(3.1) ‖T‖L(X,Y ) = supx∈X,x6=0

‖Tx‖‖x‖ = sup

‖x‖≤1‖Tx‖ = sup

‖x‖=1‖Tx‖.

El conjunto de todos los operadores lineales continuos de X en Y , dotado de la suma y el productopor un número real usuales, constituye un espacio vectorial real, y la función ‖T‖L(X,Y ) definidapor (3.1) es una norma sobre dicho espacio vectorial. A partir de ahora, por simplicidad, notaremos‖T‖ = ‖T‖L(X,Y ). Se denota por L(X, Y ) al espacio normado de los operadores lineales continuos de X

en Y así construido, y en el caso particular en que X = Y , denotaremos al espacio L(X, X) por L(X).Se recuerda que si Y es un espacio de Banach, entonces L(X, Y ) es también un espacio de Banach.

En el caso particular en que Y = R, al espacio de Banach L(X,R) se le denota por X∗, y se ledenomina el dual topológico de X. A partir de ahora, omitiremos la palabra topológico, y designaremosa X∗ simplemente como el espacio dual de X (otra notación que se usa para designar al dual topológicode X es X ′).

Recordemos que si X = H es un espacio de Hilbert real, entonces H es identificable algebraica ytopológicamente con su espacio dual; ello es posible gracias al teorema de Riesz:

Teorema 3.1.1 (de representación de Riesz) Sean H un espacio de Hilbert real y f un elemento deH∗. Existe un y sólo un elemento xf ∈ H tal que

(3.2) f(y) = (xf , y) ∀ y ∈ H,

donde por (·, ·) denotamos al producto escalar en H.

45


En efecto, si para cada x ∈ H se denota por fx ∈ H∗ al elemento definido por

fx(y) = (x, y) ∀ y ∈ H,

entonces la aplicación x ∈ H 7→ fx ∈ H∗, es lineal y conserva las normas, y es por tanto inyecti-va, y además, por el Teorema 3.1.1, dicha aplicación es suprayectiva, obteniéndose de esta forma laidentificación de H con su dual. No obstante, interesa saber que esta identificación no siempre resultaconveniente en la práctica.

Sean H y G dos espacios de Hilbert reales. Denotaremos por (·, ·), de manera indistinta, al productoescalar en H o en G, y por ‖ · ‖ a la norma que en H o en G induce dicha producto escalar.

A continuación, definimos el concepto de operador adjunto de un operador T ∈ L(H, G), conceptoque generaliza al de matriz traspuesta de otra dada.

Definición 3.1.2 Sean H y G dos espacios de Hilbert reales, y T ∈ L(H,G). Se define el operadoradjunto de T como el único operador T ∗ ∈ L(G,H) tal que

(3.3) (Tx, y) = (x, T ∗y) ∀x ∈ H, ∀ y ∈ G.

Hemos de comprobar que la Definición 3.1.2 tiene sentido. En primer lugar, obsérvese que, dado y ∈ G

la aplicación Jy : H 7→ R definida por Jy(x) = (Tx, y) ∀x ∈ H pertenece al dual de H, y por tanto,por el teorema de representación de Riesz, existe un y sólo un elemento de H, que denotamos por T ∗ytal que (T ∗y, x) = Jy(x) para todo x ∈ H. Obtenemos así que para cada y ∈ G existe un y sólo unelemento T ∗y ∈ H que satisface (3.3). La misma igualdad (3.3) permite deducir de manera inmediataque el operador T ∗ : G 7→ H así definido es lineal. Además, en particular,

‖T ∗y‖2 = (T (T ∗y), y) ≤ ‖T‖‖T ∗y‖‖y‖ ∀ y ∈ G,

de donde es inmediato que T ∗ es continuo como operador de G en H, y que

(3.4) ‖T ∗‖ ≤ ‖T‖.De hecho, se tiene:

Proposición 3.1.3 Sean H y G dos espacios de Hilbert reales, T ∈ L(H, G), y denotemos por IH aloperador identidad de H sobre H. Se satisfacen las siguientes propiedades:

1. I∗H = IH .

2. ‖T ∗‖ = ‖T‖.3. T = (T ∗)∗.

4. Si S ∈ L(H,G) y α, β ∈ R, entonces (αT + βS)∗ = αT ∗ + βS∗.

5. Si S ∈ L(G,F ), siendo F otro espacio de Hilbert real, entonces (S T )∗ = T ∗ S∗.

6. Si T es biyectivo de H sobre G, entonces T ∗ es biyectivo de G sobre H y (T ∗)−1 = (T−1)∗.

Demostración.- Si x ∈ H, por (3.3),

‖Tx‖2 = (x, T ∗(Tx)) ≤ ‖x‖‖T ∗‖‖Tx‖,y por consiguiente ‖Tx‖ ≤ ‖T ∗‖‖x‖ para todo x ∈ H, con lo que ‖T‖ ≤ ‖T ∗‖. Esta desigualdad, juntocon (3.4), demuestra 2).

Las demostraciones de 1., 3., 4. y 5. son inmediatas a partir de (3.3). Asímismo, la demostraciónde 6. es fácil a partir de 1. y 3. ¥


Ejemplo 3.1.4 Sea K ∈ L2((a, b) × (a, b)) dada. Se denomina operador integral (de Fredholm) enL2(a, b) de núcleo integral K, al operador T : L2(a, b) 7→ L2(a, b) definido por

(3.5) (Tφ)(t) =∫ b

aK(t, s)φ(s) ds c.p.d. t ∈ (a, b), ∀φ ∈ L2(a, b).

Es sencillo comprobar que el operador integral T definido por (3.5) pertenece a L(L2(a, b)). Para ello,basta tener en cuenta que

∫ b

a

∣∣∣∣∫ b

aK(t, s)φ(s) ds

∣∣∣∣2

dt ≤(∫ b

a

∫ b

a|K(t, s)|2 ds dt

)(∫ b

a|φ(s)|2 ds

)∀φ ∈ L2(a, b).

Por otra parte, es inmediato obtener que el adjunto de T viene definido por

(3.6) (T ∗φ)(t) =∫ b

aK(s, t)φ(s) ds c.p.d. t ∈ (a, b), ∀φ ∈ L2(a, b).

Obsérvese en consecuencia, que para que T sea autoadjunto, es decir, T = T ∗, es necesario y suficienteque el núcleo K satisfaga la relación K(t, s) = K(s, t), c.p.d. s, t ∈ (a, b), en cuyo caso se dice que elnúcleo K es simétrico.

3.2. Teoremas de la Proyección y de Lax-Milgram.

Sean H un espacio de Hilbert real, y C ⊂ H un subconjunto no vacío. Recordemos que se define elortogonal de C como el conjunto

C⊥ = x ∈ H; (x, y) = 0 ∀ y ∈ C.

Es inmediato comprobar que C⊥ es un subespacio vectorial cerrado de H, y que

(C)⊥ = C⊥ y C⊥ ∩ C ⊂ 0.

Como primer resultado fundamental, se tiene:

Teorema 3.2.1 (Teorema de la Proyección sobre un convexo) Sean H un espacio de Hilbert real,C ⊂ H un convexo cerrado no vacío, y x0 ∈ H dado. Bajo estas condiciones existe un y sólo unelemento c ∈ C tal que

(3.7) ‖x0 − c‖ = infc∈C

‖x0 − c‖.

Dicho elemento c viene caracterizado por

(3.8)

c ∈ C,

(x0 − c, c− c) ≤ 0 ∀ c ∈ C.

Demostración.- La existencia y unicidad de c satisfaciendo (3.7) es conocida del estudiante.Para la demostración de la caracterización (3.8), supongamos en primer lugar que c ∈ C satisface

(3.7). En tal caso, fijado c ∈ C, como C es convexo, para todo t ∈ (0, 1)se satisface que tc + (1 − t)ctambién pertenece a C, y en consecuencia

‖x0 − c‖2 ≤ ‖x0 − tc− (1− t)c‖2 = ‖x0 − c‖2 − 2t(x0 − c, c− c) + t2‖c− c‖2,


con lo que2t(x0 − c, c− c) ≤ t2‖c− c‖2,

para todo t ∈ (0, 1). Basta dividir por t y hacer t ↓ 0, para obtener (3.8).Recíprocamente, si c ∈ C satisface (3.8), entonces, fijado c ∈ C, se tiene

‖x0 − c‖2 = (x0 − c, x0 − c + c− c) ≤ (x0 − c, x0 − c) ≤ ‖x0 − c‖‖x0 − c‖,

de donde dividiendo por ‖x0 − c‖, se obtiene que c satisface (3.7). ¥

Observación 3.2.2 La caracterización de c dada por (3.8) admite una interpretación geométrica sen-cilla si, por ejemplo, H = R2: el punto c que da la mínima distancia de x0 al convexo cerrado C es elúnico punto de C que tiene la propiedad de que para todo c ∈ C el coseno del ángulo que forman losvectores x0 − c y c− c es negativo. Al punto c se le denomina la proyección de x0 sobre C.

Obsérvese también que cabe interpretar el Teorema 3.2.1 como un resultado de existencia y unicidadde solución para la inecuación (3.8).

Como caso particular del Teorema 3.2.1, se tiene

Teorema 3.2.3 Sean H un espacio de Hilbert real, M ⊂ H un subespacio vectorial cerrado, y x0 ∈ H

dado. Bajo estas condiciones, existe un y sólo un elemento m ∈ M tal que

‖x0 − m‖ = infm∈M

‖x0 −m‖.

Dicho elemento m viene caracterizado por

(3.9) m ∈ M y x0 − m ∈ M⊥.

El Teorema 3.2.3 admite una reformulación, que es la que conoce el alumno, de la Asignatura AnálisisFuncional como Teorema de la Proyección:

Teorema 3.2.4 Sean H un espacio de Hilbert real y M ⊂ H un subespacio vectorial cerrado. Existeun único par de aplicaciones P y Q tales que P : H 7→ M , Q : H 7→ M⊥, y

x = Px + Qx ∀x ∈ H.

Dichas aplicaciones, tienen las propiedades siguientes:

1. x ∈ M ⇐⇒ Px = x, Qx = 0,

2. x ∈ M⊥ ⇐⇒ Px = 0, Qx = x,

3. ‖x− Px‖ = infm∈M

‖x−m‖ ∀x ∈ H,

4. P y Q son lineales, y ‖x‖2 = ‖Px‖2 + ‖Qx‖2 ∀x ∈ H, con lo que, en particular, P,Q ∈ L(H),con ‖P‖ = ‖Q‖ = 1.

Observación 3.2.5 Es un sencillo ejercicio comprobar que los operadores P y Q del Teorema 3.2.4satisfacen P P = P, P ∗ = P, Q Q = Q y Q∗ = Q, (i.e. P y Q son idempotentes y autoadjuntos)

Como consecuencias inmediatas de los resultados precedentes, se obtienen los siguientes:


Corolario 3.2.6 Si H es un espacio de Hilbert real y M ⊂ H es un subespacio vectorial, entonces H

se escribe como la suma directa de de M y M⊥ (se denota H = M⊕

M⊥), es decir,

H = M + M⊥ y M ∩M⊥ = 0.

Así pues, todo elemento de H se descompone de manera única como la suma de un elemento de M yotro de M⊥.

Corolario 3.2.7 Sean H un espacio de Hilbert y M ⊂ H un subespacio vectorial. En tal caso, M esdenso en H si y sólo si M⊥ = 0, es decir,

M = H ⇐⇒ Dado x ∈ H tal que (x, m) = 0 ∀m ∈ M, forzosamente x = 0.

Observación 3.2.8 Como consecuencia del Corolario 3.2.7, si H es un espacio de Hilbert y C ⊂ H unsubconjunto, para que el subespacio vectorial generado por C sea denso en H es necesario y suficienteque no haya vectores no nulos de H ortogonales a C.

Como consecuencia también del teorema de la proyección, vamos a obtener un resultado de extensiónpara operadores. En primer lugar, es fácil demostrar el siguiente resultado:

Teorema 3.2.9 (de prolongación por continuidad densidad) Sean X un espacio normado, Y un espa-cio de Banach, M ⊂ X un subespacio vectorial denso en X, y T ∈ L(M, Y ), es decir, T es un operadorlineal continuo de M en Y . Denotemos ‖T‖L(M,Y ) = sup

m∈M, ‖m‖≤1‖Tm‖.

Bajo estas condiciones, existe un único operador T ∈ L(X, Y ) tal que T |M ≡ T y ‖T‖L(X,Y ) =‖T‖L(M,Y ).

Demostración.- Es fácil comprobar que si x ∈ H,

T x = límk→∞

Tmk,

siendo mk cualquier sucesión de elementos de M que converja a x (se dejan los detalles comoejercicio). ¥

Podemos ahora demostrar:

Teorema 3.2.10 Sean H un espacio de Hilbert, Y un espacio de Banach, M ⊂ H un subespaciovectorial de H, y T ∈ L(M, Y ).

Bajo estas condiciones, existe un operador T ∈ L(H, Y ) tal que T |M ≡ T y ‖T‖L(H,Y ) = ‖T‖L(M,Y ).

Demostración.- El teorema de prolongación por continuidad densidad, permite prolongar T a M

conservando la norma. En consecuencia, podemos considerar que M es cerrado. Pero entonces, bastadefinir T = T P , siendo P el operador de proyección de H sobre M del Teorema 3.2.4. ¥

Observación 3.2.11 El teorema precedente, en el caso en que Y = R, puede ser también obtenidocomo una consecuencia del teorema de Hahn-Banach.

Como aplicación sencilla del teorema de representación de Riesz, vamos a obtener como resultadofinal en este parágrafo el denominado teorema (o lema) de Lax-Milgram. Este resultado resulta de unagran importancia en la formulación débil de los problemas de contorno para EDP elípticas.


Adoptamos ahora un cambio de notación respecto de la mantenida con anterioridad. Dicho cambioviene motivado por tener en la mente que vamos a aplicar el resultado que obtengamos a espacios defunciones como H1

0 (Ω) y H1(Ω), espacios que serán definidos en Sección 3.4.Consideremos dado un espacio de Hilbert real que denotaremos por V . Denotemos por u, v, etc.

los elementos de V , por ((·, ·)) el producto escalar y por ‖ · ‖ la norma en V .

Definición 3.2.12 Sea a(·, ·) : (u, v) ∈ V × V → a(u, v) ∈ R una forma bilineal sobre V .

1. Diremos que a(·, ·) es continua sobre V si lo es como aplicación de V × V con valores en R, esdecir, de manera equivalente, si existe M > 0 tal que

|a(u, v)| ≤ M‖u‖‖v‖ ∀u, v ∈ V.

2. Diremos que a(·, ·) es coerciva sobre V si existe α > 0 tal que

a(u, u) ≥ α‖u‖2 ∀u ∈ V.

Sea a(·, ·) una forma bilineal continua y coerciva sobre V . Asociado a dicha forma bilineal, se considerael operador A : V → V que a cada u ∈ V le hace corresponder Au ∈ V definido como el único elementode V tal que

((Au, v)) = a(u, v) ∀ v ∈ V.

Es sencillo comprobar, por el teorema de representación de Riesz, que A está bien definido, pertenecea L(V ) y satisface

((Au, u)) ≥ α‖u‖2 ∀u ∈ V,

con lo que, en particular,

(3.10) ‖Au‖ ≥ α‖u‖ ∀u ∈ V.

Teorema 3.2.13 (Lax-Milgram) Sean V un espacio de Hilbert real y a(·, ·) : V × V → R una formabilineal continua y coerciva sobre V . En tal caso, dado f ∈ V ∗, existe un y sólo un elemento u ∈ V talque

(3.11) a(u, v) = f(v) ∀ v ∈ V.

Si además la forma a(·, ·) es simétrica, entonces u está caracterizado por ser la única solución de

a(u, u)− 2f(u) = mínv∈V

(a(v, v)− 2f(v)) .

Demostración.- Sea f ∈ V ∗ dado, y denotemos por uf al único elemento de V asociado a f por elteorema de representación de Riesz. Evidentemente, (3.11) es equivalente a

(3.12) Au = uf

con A el operador de L(V ) asociado a la forma bilineal a(·, ·).Resulta evidente, por (3.10), que (3.12) posee, a lo más, una solución. Para demostrar la existencia

de solución de (3.12) basta demostrar que el rango de A, es decir el subespacio vectorial

R(A) = Au; u ∈ V ,


es a la vez cerrado y denso en V .Si v ∈ (R(A))⊥, entonces en particular ((Av, v)) = 0, con lo que α‖v‖2 ≤ ((Av, v)) = 0, y por

tanto v = 0. Esto demuestra que (R(A))⊥ = 0, y en consecuencia que R(A) es denso en V .Para demostrar que R(A) es cerrado en V , sea vn = Aun una sucesión en R(A) tal que vn → v en

V . Teniendo en cuenta (3.10), obtenemos

α‖un − um‖ ≤ ‖Aun −Aum‖ = ‖vn − vm‖,

y en consecuencia, la sucesión un es de Cauchy, por lo que existe u ∈ V tal que un → u. Así pues,como A ∈ L(V ), vn = Aun → Au, es decir, v = Au y por tanto v ∈ R(A).

Para obtener la caracterización de u cuando a(·, ·) es simétrica, se observa que en este caso se puedeconsiderar sobre V un nuevo producto escalar que denotaremos ((·, ·))a definido por

((u, v))a = a(u, v) ∀u, v ∈ V.

Dicho producto escalar induce sobre V una norma, que denotaremos ‖ · ‖a, equivalente a ‖ · ‖ y, enconsecuencia, V con dicha norma es también un espacio de Hilbert, y f también pertenece al dualtopológico de V cuando se considera a V dotado de la norma ‖ · ‖a. Así pues, por el teorema de Riesz,existe un y sólo un elemento uf ∈ V tal que

f(v) = ((uf , v))a ∀ v ∈ V.

Resolver el problema (3.11) equivale a resolver

((u, v))a = ((uf , v))a ∀ v ∈ V,

y en consecuencia la solución u de (3.11) está caracterizada por ser u = uf , es decir, por resolvermínv∈V

‖v − uf‖2a. Basta ahora observar que

mínv∈V

‖v − uf‖2a = mín

v∈V

(‖v‖2a − 2((uf , v))a + ‖uf‖2

a

)= ‖uf‖2

a + mínv∈V

(a(v, v)− 2f(v)) .

¥

Observación 3.2.14 En el caso simétrico podemos demostrar la caracterización de otra forma. Dehecho vamos a probar que:

(3.13)

u ∈ V

a(u, v) = f(v) ∀ v ∈ V,

es equivalente a

(3.14)

u ∈ V

a(u, u)− 2f(u) ≤ a(v, v)− 2f(v) ∀ v ∈ V.

Demostración.-a) (3.13)=⇒(3.14). Como a es simétrica y se tiene (3.13) entonces:

0 ≤ a(u− v, u− v) = a(u, u)− 2a(u, v) + a(v, v) = a(u, u)− 2f(v) + a(v, v),

luego

(3.15) −a(u, u) ≤ a(v, v)− 2f(v).


Como de (3.13) se tiene 2a(u, u) = 2f(u) i.e. a(u, u)− 2f(u) = −a(u, u), entonces de (3.14) se deduce(3.15).

b) (3.14)=⇒(3.13). Para todo t ∈ R y todo v ∈ V , reemplazando v por u + tv en (3.14) y teniendoen cuenta que a es simétrica, obtenemos:

a(u, u)− 2f(u) ≤ a(u + tv, u + tv)− 2f(u + tv) = a(u, u)− 2f(u) + 2ta(u, v)− 2tf(v) + t2a(v, v),

luego

(3.16) 2t (a(u, v)− f(v)) + t2a(v, v) ≥ 0 ∀ t ∈ R ∀ v ∈ V.

Dividiendo por t en (3.16) se obtiene:

2 (a(u, v)− f(v)) + ta(v, v) = 0 ∀ t ∈ R ∀ v ∈ V,

y haciendo t tender a cero se obtiene (3.13). ¥

Observación 3.2.15 En las condiciones del teorema de Lax-Milgram, es evidente que la igualdada(u, v) = f(v) ∀ v ∈ V , junto a la coercividad, implican en particular que

α‖u‖2 ≤ a(u, u) = f(u) ≤ ‖f‖‖u‖,

y en consecuencia se obtiene la “dependencia continua” de u respecto de f :

‖u‖ ≤ 1α‖f‖.

3.3. Algunos espacios de funciones. Distribuciones.

En todo lo que resta del Capítulo, Ω denota un abierto no vacío de RN (N entero mayor o igualque 1). Denotamos por |x| la norma euclídea de x ∈ RN , y por B(x0, r) la bola abierta (respecto dela norma euclídea) de centro x0 ∈ RN y radio r > 0.

Se recuerda que se denota por C0(Ω) al conjunto de las funciones continuas definidas sobre Ω convalores reales. Si k es un entero mayor o igual que 1, se denota por Ck(Ω) al conjunto de las funcionesϕ ∈ C0(Ω) tales que existen y pertenecen a C0(Ω) todas las derivadas parciales de ϕ de orden menoro igual que k. Finalmente, se define

C∞(Ω) =⋂

k≥1

Ck(Ω).

Los conjuntos precedentes, con la suma de funciones y el producto de un escalar real por una funciónusuales, son espacios vectoriales sobre R.

Definición 3.3.1 Dada ϕ ∈ C0(Ω), se define el soporte de ϕ como el conjunto

(3.17) sopϕ = x ∈ Ω; ϕ(x) 6= 0,

donde ... denota la clausura en RN .

En consecuencia sopϕ es un conjunto cerrado contenido en Ω. En el caso en que sopϕ es compacto yestá contenido en Ω, se dice que ϕ es de soporte compacto en Ω. Se definen los subconjuntos de C0(Ω)siguientes:

(3.18) C0c (Ω) = ϕ ∈ C0(Ω); ϕ es de soporte compacto en Ω,


(3.19) Ckc (Ω) = Ck(Ω) ∩ C0

c (Ω),

(3.20) D(Ω) = C∞c (Ω) = C∞(Ω) ∩ C0

c (Ω).

Es inmediato que todos los conjuntos definidos precedentemente son subespacios vectoriales deC0(Ω). A D(Ω), el espacio de las funciones de clase infinito y de soporte compacto en Ω, se le denominatambién el espacio de las funciones test.

El espacio D(Ω) es “rico” en funciones. En primer lugar, partiendo de la función de variable realψ(t) = e1/t1t<0, que pertenece a C∞(R), es posible construir funciones de D(Ω) distintas de laidénticamente nula. En concreto:

Lema 3.3.2 Dados x0 ∈ RN y r > 0, existe una función ϕ ∈ D(RN ) tal que ϕ > 0 en B(x0, r) ysop ϕ = B(x0, r).

Demostración.- Basta tomar ϕ(x) = ψ(|x− x0|2 − r2). ¥Es evidente que si x0 ∈ Ω, entonces tomando r > 0 suficientemente pequeño la ϕ del lema precedente

estará en D(Ω).A partir del Lema 3.3.2 se obtiene el siguiente resultado, para cuya demostración se puede consultar

el Apéndice E.

Proposición 3.3.3 Dado K ⊂ Ω, con K compacto, existe ϕ ∈ D(Ω) tal que 0 ≤ ϕ(x) ≤ 1 en Ω yϕ ≡ 1 en un entorno de K.

A continuación, recordamos las nociones básicas sobre los espacios Lp(Ω). Denotamos por M(Ω)al conjunto de las funciones definidas sobre Ω con valores reales que son medibles en el sentido deLebesgue. Es bien conocido que M(Ω) es un R-espacio vectorial con la suma y producto por escalarusuales.

Por L1(Ω) denotamos el subespacio vectorial deM(Ω) constituido por las funciones integrables enΩ respecto de la medida de Lebesgue. Si u ∈ L1(Ω), denotamos la integral de u en Ω respecto de la

medida de Lebesgue por∫

Ωu(x) dx =

∫

Ωu.

Resulta conveniente identificar las funciones medibles que son iguales casi por doquier (c.p.d) enΩ, esto es, que son iguales salvo en un subconjunto de Ω de medida Lebesgue cero. Esto se traduceen considerar en vez de M(Ω) el espacio cociente M(Ω)/N , donde N denota el subespacio vectorialde M(Ω) constituido por las funciones que valen cero c.p.d. en Ω. A este respecto se recuerda queC0(Ω) ⊂ M(Ω), y que si u y v son dos funciones de C0(Ω) tales que u = v c.p.d. en Ω, entoncesu(x) = v(x) para todo x ∈ Ω. En consecuencia, no existe ambigüedad en identificar una función deC0(Ω) con la clase de M(Ω)/N a la que pertenece, lo cual permite escribir C0(Ω) ⊂M(Ω)/N .

Se recuerda que si p ∈ [1, +∞), se define Lp(Ω) por

Lp(Ω) = u ∈M(Ω)/N ;∫

Ω|u(x)|p dx < +∞.

Lp(Ω) es un subespacio vectorial de M(Ω)/N . Sobre Lp(Ω) se define la norma

‖u‖Lp(Ω) =(∫

Ω|u(x)|p dx

)1/p

.

Con dicha norma, Lp(Ω) es un espacio de Banach. En particular, la norma en L2(Ω) está inducida porel producto escalar

(u, v)L2(Ω) =∫

Ωu(x)v(x) dx ∀u, v ∈ L2(Ω),


y en consecuencia, L2(Ω) es un espacio de Hilbert.Se define L∞(Ω) como el subespacio vectorial de M(Ω)/N constituido por las clases de funciones

que están acotadas c.p.d. en Ω. Sobre L∞(Ω) se considera la norma

‖u‖L∞(Ω) = infM > 0; |u(x)| ≤ M c.p.d. en Ω.

Con dicha norma L∞(Ω) es un espacio de Banach.Es inmediato comprobar que C0

c (Ω) ⊂ Lp(Ω) y C0(Ω) 6⊂ Lp(Ω) ∀ p ∈ [1, +∞].

Se suponen conocidos los siguientes resultados:

1. (Desigualdad de Hölder) Si u ∈ Lp(Ω) y v ∈ Lp′(Ω), con p ∈ [1, +∞] y p′ el exponente

conjugado de p, esto es, tal que1p

+1p′

= 1, entonces el producto uv ∈ L1(Ω) con

∫

Ω|u(x)v(x)| dx ≤ ‖u‖Lp(Ω)‖v‖Lp′ (Ω).

2. (Teorema de Convergencia dominada) Sea un una sucesión de funciones de Lp(Ω), conp ∈ [1, +∞), tal que:

i) Existe límn→∞un(x) = u(x) c.p.d. en Ω, y

ii) Existe v ∈ Lp(Ω) tal que para todo n |un(x)| ≤ v(x) c.p.d. en Ω.

Entonces u ∈ Lp(Ω) y límn→∞ ‖un − u‖Lp(Ω) = 0.

Suponemos también conocido que para todo p ∈ [1, +∞), el espacio C0c (RN ) es denso en Lp(RN ).

La demostración de este importante resultado puede consultarse en [8]. De manera más precisa, setiene:

Teorema 3.3.4 Para todo p ∈ [1, +∞) el espacio D(Ω) es denso en Lp(Ω).

Demostración.- Esbozamos la demostración, quedando los detalles para el Apéndice E.En primer lugar, sea u ∈ Lp(Ω) tal que u = 0 c.p.d. en Ω \ K, con K ⊂ Ω compacto. Sea

ψ(t) = e1/t1t<0, y denotemos ρ(x) = ψ(|x|2 − 1). Consideremos la sucesión de funciones, llamadasucesión regularizante, definida por

(3.21) ρn(x) =nNρ(nx)∫

RN

ρ(y) dy

∀x ∈ RN .

Es inmediato comprobar que (ρn)n≥1 ⊂ D(RN ), y que para todo n ≥ 1 se satisface que ρn ≥ 0 en RN ,

sop ρn ⊂ B(0,1n

), y∫

RN

ρn(x) dx = 1.

Para cada n ≥ 1, sea ϕn la función definida por

ϕn(x) =∫

Ωρn(x− y)u(y) dy ∀x ∈ RN .

De los resultados del Apéndice E, se obtiene que para cada n ≥ 1, la función ϕn está bien definida,

pertenece a C∞(RN ), el soporte de ϕn está contenido en K + B(0,1n

), y la sucesión ϕn converge a u


en Lp(RN ), donde u es la prolongación por cero de u a RN \ Ω. Con esto, es inmediato, que existe unn0 ≥ 1 tal que para todo n ≥ n0, ϕn ∈ D(Ω) y ϕn → u en Lp(Ω).

Ahora, sea u ∈ Lp(Ω) tal que no es cero c.p.d fuera de un compacto contenido en Ω. Definamospara cada entero n ≥ 1 el conjunto

Ωn = x ∈ Ω; d(x, RN \ Ω) >1n

, |x| < n.

Es fácil comprobar que los conjuntos Ωn así definidos son abiertos tales que Ωn es un compactocontenido en Ω, y se satisface

Ωn ⊂ Ωn+1 y⋃

n≥1

Ωn = Ω.

Denotemos un = u1Ωn , por el teorema de convergencia dominada de Lebesgue, es inmediato queun → u en Lp(Ω). Basta ahora observar que cada un es cero fuera de un compacto contenido en Ω. ¥

Como consecuencia inmediata del Teorema 3.3.4, se tiene:

Corolario 3.3.5 Si u ∈ L2(Ω) es tal que∫

Ωu(x)ϕ(x) dx = 0 para toda ϕ ∈ D(Ω), entonces u = 0

c.p.d. en Ω.

Demostración.- Por el Teorema 3.3.4, D(Ω) es un subespacio vectorial denso en el espacio de HilbertL2(Ω), así que su ortogonal se reduce al elemento nulo. ¥

Otra consecuencia del Teorema 3.3.4 viene dada por el siguiente resultado:

Proposición 3.3.6 Para todo p ∈ [1,+∞), el espacio Lp(Ω) es separable.

Demostración.- Basta tener en cuenta el Teorema 3.3.4, y el hecho de que dado K ⊂ Ω compacto,el conjunto de los polinomios en las variables x1, ..., xN con coeficientes racionales es denso en C0(K)(se dejan los detalles como ejercicio). ¥

Observación 3.3.7 El espacio L∞(Ω) no es separable (una demostración de esta afirmación se puedeencontrar en [1]).

Con una demostración similar a la del Teorema 3.3.4, se obtiene:

Teorema 3.3.8 Dada ϕ ∈ C1c (Ω), existe una sucesión ϕn ⊂ D(Ω) tal que para todo p ∈ [1, +∞]

‖ϕn − ϕ‖Lp(Ω) → 0, y ‖∂iϕn − ∂iϕ‖Lp(Ω) → 0 ∀ i = 1, ..., N.

Demostración.- Se toma la sucesión (ρn)n≥1 ⊂ D(RN ), definida por (3.21), que se construyó en lademostración del Teorema 3.3.4.

Sea ϕ ∈ C1c (Ω) dada. Para cada n ≥ 1, sea ϕn la función definida por

ϕn(x) =∫

Ωρn(x− y)ϕ(y) dy ∀x ∈ RN .

De los resultados del Apéndice E, se obtiene que para cada n ≥ 1, la función ϕn está bien definida,

pertenece a C∞(RN ), el soporte de ϕn está contenido en sopϕ + B(0,1n

), y la sucesión ϕn converge a

ϕ en Lp(RN ), y uniformemente en los compactos de RN , donde ϕ es la prolongación por cero de ϕ aRN \ Ω. También, por ser ϕ ∈ C1

c (RN ), se tiene que, para cada i = 1, ..., N , la sucesión ∂iϕn convergea ∂iϕ en Lp(RN ), y uniformemente en los compactos de RN . Con esto, es inmediato, que existe unn0 ≥ 1 tal que para todo n ≥ n0, ϕn ∈ D(Ω) y la sucesión ϕnn≥n0 satisface las conclusiones delteorema. ¥


Observación 3.3.9 Motivado, entre otras cosas, por el hecho de que C0(Ω) 6⊂ Lp(Ω), se introduce elespacio de las funciones localmente integrables en Ω:

Definición 3.3.10 Diremos que u es localmente integrable en Ω si u ∈ M(Ω)/N y para todo K

compacto contenido en Ω la función u1K pertenece a L1(Ω). Al conjunto de todas las (clases de)funciones localmente integrables en Ω lo denotaremos por L1

loc(Ω).

Es inmediato comprobar que L1loc(Ω) es un subespacio vectorial deM(Ω)/N , así como que se tienen

las inclusiones:C0(Ω) ⊂ L1

loc(Ω) y Lp(Ω) ⊂ L1loc(Ω) ∀ p ∈ [1,+∞].

Es importante el siguiente resultado, que generaliza al Corolario 3.3.5, y cuya demostración sepuede consultar en el Apéndice E:

Proposición 3.3.11 Si u ∈ L1loc(Ω) es tal que

∫

Ωu(x)ϕ(x) dx = 0 para toda ϕ ∈ D(Ω), entonces

u = 0 c.p.d. en Ω.

El espacio D(Ω) puede ser dotado de una topología, la denominada topología límite inductivo, queno proviene de una norma, pero que es compatible con la estructura de espacio vectorial del mismo.Nos contentamos con describir en qué se traduce la convergencia de sucesiones para esta topología.

Definición 3.3.12 Sean ϕnn≥1 una sucesión en D(Ω) y ϕ ∈ D(Ω). Diremos que ϕn converge a ϕ

en D(Ω), y escribiremos ϕn → ϕ en D(Ω), si

1. Existe un compacto K contenido en Ω tal que el sopϕn ⊂ K, ∀n, y

2. maxx∈Ω

|∂αϕn(x) − ∂αϕ(x)| → 0 cuando n tiende a infinito, para todo multiíndice α ∈ INN .

(naturalmente, ∂0 es la identidad).

Es inmediato comprobar la compatibilidad de la noción de convergencia anterior con la estructurade espacio vectorial de D(Ω), es decir, si ϕn converge a ϕ y φn converge a φ en D(Ω), y λn converge aλ en R, entonces ϕn +φn converge a ϕ+φ y λnϕn converge a λϕ en D(Ω). En particular, ϕn convergea ϕ en D(Ω) si y sólo si ϕn − ϕ converge a cero en D(Ω).

Como ya hemos dicho, es posible introducir en D(Ω) una topología para la que la noción deconvergencia de sucesiones coincide con la de la Definición 3.3.12. Al dual topológico de D(Ω), es deciral espacio vectorial de las formas lineales continuas sobre D(Ω), se le denota D′(Ω) y se le denominael espacio de las distribuciones sobre Ω.

Nos vamos a contentar con una definición equivalente de D′(Ω) que tan sólo utiliza la noción deconvergencia de sucesiones en D(Ω).

Definición 3.3.13 Una distribución sobre Ω es cualquier aplicación T : D(Ω) → IR tal que:

1. T es lineal,

2. T es (secuencialmente) continua, es decir, tal que

ϕn → ϕ en D(Ω) =⇒ T (ϕn) → T (ϕ) en IR.

Al conjunto de todas las distribuciones sobre Ω se le denota D′(Ω). ¥


A partir de ahora, si T ∈ D′(Ω), usaremos de manera indistinta las notaciones T (ϕ) y < T, ϕ >. Esinmediato comprobar que dada T : D(Ω) → IR lineal, T es una distribución sobre Ω si y sólo si

ϕn → 0 en D(Ω) =⇒< T, ϕn >→ 0 en IR.

El conjunto D′(Ω) dotado de las operaciones suma y producto por escalar definidos de maneranatural, es un espacio vectorial. El espacio D′(Ω) es muy rico en elementos, en particular toda funciónde L1

loc(Ω) es identificable con una distribución sobre Ω. En concreto se tiene:

Proposición 3.3.14 Para cada u ∈ L1loc(Ω) denotemos por Tu la aplicación definida sobre D(Ω) con

valores en IR dada por

(3.22) < Tu, ϕ >=∫

Ωu(x)ϕ(x) dx ∀ϕ ∈ D(Ω).

Entonces se tiene

1. Tu ∈ D′(Ω),

2. La aplicación u ∈ L1loc(Ω) → Tu ∈ D′(Ω) es lineal, inyectiva y no sobreyectiva.

Demostración.- Es inmediato, a partir de los resultados obtenidos hasta ahora, todo salvo que laaplicación dada por u ∈ L1

loc(Ω) → Tu ∈ D′(Ω) sea sobreyectiva. Un ejemplo de distribución sobre Ωque no es identificable mediante (3.22) con una función de L1

loc(Ω) lo constituye la delta de Dirac enun punto de Ω. Dado a ∈ Ω, se define δa (la delta de Dirac en a) como la aplicación

δa : ϕ ∈ D(Ω) 7→ ϕ(a) ∈ R.

Es inmediato comprobar que δa ∈ D′(Ω). Supongamos que existe u ∈ L1loc(Ω) tal que Tu = δa como

elementos de D′(Ω), es decir:∫

Ωu(x)ϕ(x) dx = ϕ(a) ∀ϕ ∈ D(Ω).

Entonces, en particular∫

Ωu(x)ϕ(x) dx = 0 ∀ϕ ∈ D(Ω \ a),

y en consecuencia, por la Proposición 3.3.11, u = 0 c.p.d. en Ω \ a, y por tanto también u = 0 c.p.d.en Ω. Así:

0 =∫

Ωu(x)ϕ(x) dx = ϕ(a) ∀ϕ ∈ D(Ω),

contra el hecho de que sabemos que existen funciones ϕ ∈ D(Ω) tales que ϕ(a) = 1. ¥

Observación 3.3.15 A partir de ahora, si u ∈ L1loc(Ω) identificamos, si no hay confusión, u con la

distribución Tu sobre Ω definida por (3.22) y se le llama distribución regular. Con esta identificación,teniendo en cuenta 2. de la proposición precedente, resulta que L1

loc(Ω) es un subespacio vectorial propiode D′(Ω).

Sobre el espacio D′(Ω) es posible definir una topología (a partir de la de D(Ω)) para la que la nociónde convergencia de sucesiones se traduce en la definición siguiente:


Definición 3.3.16 Dada una sucesión Tnn≥1 en D′(Ω), diremos que la sucesión converge a unelemento T ∈ D′(Ω), cuando n tiende a infinito, si para toda ϕ en D(Ω) se satisface:

(3.23) límn→∞ < Tn, ϕ >=< T, ϕ > .

Observación 3.3.17 Es fácil comprobar que el límite es único. También es fácil ver que si un → u

en Lp(Ω), entonces un → u en D′(Ω).

Vamos ahora a introducir un concepto de derivación en D′(Ω) de tal manera que toda distribuciónva a ser derivable de todos los órdenes. En particular, con este concepto, toda función de L1

loc(Ω) seráderivable en el sentido de D′(Ω).

Para motivar la definición consideremos dada una función u ∈ C0(Ω), tal que existe la derivadaparcial (en sentido clásico) ∂ku para algún 1 ≤ k ≤ N y ∂ku ∈ C0(Ω). En tal caso Tu y T∂ku pertenecena D′(Ω) y se puede uno plantear que relación existe entre Tu y T∂ku como distribuciones.

En primer lugar, para toda ϕ ∈ D(Ω) se tiene:

< T∂ku, ϕ >=∫

Ω∂ku(x)ϕ(x) dx =

∫

Ω∂k(uϕ)(x) dx−

∫

Ωu(x)∂kϕ(x) dx = − < Tu, ∂kϕ > .

En consecuencia se tiene:

(3.24) < T∂ku, ϕ >= − < Tu, ∂kϕ > ∀ϕ ∈ D(Ω).

Más generalmente se tiene que si u ∈ Ck(Ω) entonces:

(3.25) < T∂αu, ϕ >= (−1)|α| < Tu, ∂αϕ > ∀ϕ ∈ D(Ω) ∀ |α| ≤ k.

Es fácil comprobar que si T es un elemento cualquiera de D′(Ω) y α es un multíndice de derivacióncualquiera, la aplicación

ϕ ∈ D(Ω) →< T, ∂αϕ >∈ IR

define un elemento de D′(Ω). Queda, en consecuencia, motivada y con sentido la definición que sigue:

Definición 3.3.18 Dada T en D′(Ω), para cualquier multiíndice α se define ∂αT , la derivada α deT , como el elemento de D′(Ω) determinado de manera unívoca por la igualdad

(3.26) < ∂αT, ϕ >= (−1)|α| < T, ∂αϕ >, ∀ϕ ∈ D(Ω).

Con esta noción, toda distribución, y en particular toda función localmente integrable, es derivablede cualquier orden, y se tiene la independencia del orden en la derivación, es decir, para todo par α yβ de multiíndices de derivación y toda T ∈ D′(Ω), se tiene:

∂α(∂βT ) = ∂β(∂αT ) = ∂α+βT.

Es también fácil comprobar que la derivación es una operación lineal secuencialmente continua enD′(Ω), es decir, para todo multiíndice de derivación α la aplicación

T ∈ D′(Ω) 7→ ∂αT ∈ D′(Ω),

es lineal y tal queTn → T enD′(Ω) =⇒ ∂αTn → ∂αT enD′(Ω).


Observación 3.3.19 Naturalmente, existen funciones de L2(Ω) que no son derivables en sentido clási-co, pero sí poseen derivada en el sentido de D′(Ω). Así, por ejemplo, si tomamos Ω = (−1, 1)×(−1, 1) ⊂R2, y u : Ω 7→ R definida por

u(x1, x2) =

x1 si x1 ≥ 0,

0 si x1 < 0,

es un sencillo ejercicio comprobar que u ∈ L2(Ω), no posee derivada clásica respecto de x1 en todos lospuntos de la forma (0, x2) ∈ Ω, pero la función

v1(x1, x2) =

1 si x1 ≥ 0,

0 si x1 < 0,

pertenece a L2(Ω) y es la derivada en el sentido de D′(Ω) de primer orden de u respecto de x1.

3.4. Los espacios de Sobolev H1(Ω), H10(Ω) y H−1(Ω).

Como en la sección anterior Ω denota un abierto no vacío de RN (N ≥ 1).

Definición 3.4.1 Se define el espacio de Sobolev H1(Ω) como el conjunto de todas las (clases de)funciones de L2(Ω) tales que sus derivadas primeras en el sentido de D′(Ω) pertenecen a L2(Ω). Esdecir:

(3.27) H1(Ω) = u ∈ L2(Ω); ∂iu ∈ L2(Ω) ∀ 1 ≤ i ≤ N.Observación 3.4.2 Se observa que u ∈ H1(Ω) si y sólo si u ∈ L2(Ω) y existen vi ∈ L2(Ω), 1 ≤ i ≤ N ,tales que

(3.28)∫

Ωviϕdx = −

∫

Ωu∂iϕdx ∀ϕ ∈ D(Ω) ∀ 1 ≤ i ≤ N,

y en tal caso vi = ∂iu.

La Definición 3.4.1 tiene perfecto sentido, ya que la igualdad ∂iTu = Tvi , donde u y vi pertenecen aL1

loc(Ω), determina de manera unívoca, dada u, a vi.

Observación 3.4.3 Si u y vi ∈ L2(Ω) satisfacen la relación (3.28), entonces, por el Teorema 3.3.8,es inmediato que se satisface también

(3.29)∫

Ωviϕdx = −

∫

Ωu∂iϕ dx ∀ϕ ∈ C1

c (Ω),

y en consecuencia, (3.29) puede ser usada, sustituyendo a (3.28), como la definición de derivada deprimer orden de u respecto de xi en D′(Ω).

Es inmediato comprobar que H1(Ω) es un subespacio vectorial de L2(Ω) que contiene a C1c (Ω), y

que C1(Ω) 6⊂ H1(Ω). Si Ω es acotado, entonces C1(Ω) ⊂ H1(Ω).Sobre H1(Ω) se define el producto:

(3.30) (u, v)H1(Ω) = (u, v)L2(Ω) + (∇u,∇v)L2(Ω)N

donde

(3.31) (∇u,∇v)L2(Ω)N =∫

Ω∇u · ∇v dx =

N∑

i,j=1

∫

Ω∂iu∂iv dx.

Se tiene:


Teorema 3.4.4 La igualdad (3.30) define un producto escalar en H1(Ω). Dotado de dicho productoescalar, H1(Ω) es un espacio de Hilbert.

Demostración.- Es inmediato comprobar que (3.30) define en H1(Ω) un producto escalar.Por otra parte, sea un ⊂ H1(Ω) una sucesión de Cauchy para la norma inducida por (3.30). En

tal caso un y ∂iun son sucesiones de Cauchy en L2(Ω), con lo que existen u y vi pertenecientes aL2(Ω) tales que

(3.32) un → u y ∂iun → vi en L2(Ω).

Lo que queda por demostrar es que vi = ∂iu, en cuyo caso estará probado que u ∈ H1(Ω) y un

converge a u en H1(Ω). Para ello, basta tener en cuenta que (3.32) implica que

(3.33) un → u y ∂iun → vi en D′(Ω),

y que un → u en D′(Ω) implica que también ∂iun → ∂iu en D′(Ω). Esto último, junto a (3.33) implicaque vi = ∂iu, como queríamos. ¥

Observación 3.4.5 A partir de ahora consideramos siempre a H1(Ω) dotado del producto escalardefinido por (3.31). La norma inducida en H1(Ω) por dicho producto escalar viene dada por

(3.34) ‖u‖H1(Ω) =(‖u‖2

L2(Ω) + ‖∇u‖2L2(Ω)N

)1/2,

donde

(3.35) ‖∇u‖2L2(Ω)N =

N∑

i=1

‖∂iu‖2L2(Ω).

Observación 3.4.6 De la demostración del Teorema 3.4.4 se concluye que para probar que una suce-sión un ⊂ H1(Ω) es convergente en H1(Ω) basta comprobar que un y ∂iun, 1 ≤ i ≤ N , sonconvergentes en L2(Ω).

Teorema 3.4.7 El espacio de Hilbert H1(Ω) es separable.

Demostración.- Sea Y = L2(Ω)N+1, dotado del producto escalar

((u0, u1, ..., uN ), (v0, v1, ..., vN )) =N∑

i=0

(ui, vi)L2(Ω).

El espacio Y es separable por serlo L2(Ω). Denotemos por J a la aplicación

J : u ∈ H1(Ω) 7→ (u, ∂1u, ..., ∂Nu) ∈ Y.

El conjunto J(H1(Ω)) ⊂ Y es separable por serlo Y . Por otra parte, es inmediato que J es linealy conserva las normas, y en particular es inyectiva. En consecuencia J−1

(J(H1(Ω))

)(= H1(Ω)) es

separable. ¥

Observación 3.4.8 Evidentemente D(Ω) es un subespacio vectorial de H1(Ω). En general D(Ω) noes denso en H1(Ω), pero sí que se tiene la densidad en el caso Ω = RN , es decir, D(RN ) es densoen H1(RN ) (ver [1] para la demostración). Si Ω es un abierto conexo y acotado con ∂Ω ∈ C0, oΩ = RN

+ = x = (x′, xN ) ∈ RN ; xN > 0, entonces se puede demostrar que D(Ω) (el conjunto de lasrestricciones a Ω de las funciones de D(RN )) es denso en H1(Ω) (ver [2]).


Como en general D(Ω) no es denso en H1(Ω), se introduce la definición siguiente:

Definición 3.4.9 Se define el espacio H10 (Ω) como la clausura de D(Ω) en H1(Ω). En consecuencia,

H10 (Ω) es un subespacio vectorial cerrado de H1(Ω), y dotado del producto escalar de H1(Ω), el espacio

H10 (Ω) es un espacio de Hilbert separable.

Observación 3.4.10 Por la Observación 3.4.8, H10 (RN ) = H1(RN ), pero en general H1

0 (Ω) 6= H1(Ω).Se puede demostrar que si u ∈ H1(Ω) y existe K ⊂ Ω compacto tal que u = 0 c.p.d. en Ω\K, entoncesu ∈ H1

0 (Ω) (ver [1]). En [1] también puede encontrarse la demostración de que si u ∈ H1(Ω) ∩C0(Ω),y u|∂Ω = 0, entonces u ∈ H1

0 (Ω).Por otra parte, en [2] se puede consultar la demostración del siguiente resultado, que será estudiado

en la asignatura Ampliación de Ecuaciones en Derivadas Parciales, y que indica que la pertenencia deu a H1

0 (Ω) implica, en algún sentido, que u se anula sobre ∂Ω (obsérvese que a priori no tiene sentidohablar de los valores de una clase de funciones iguales casi por doquier sobre un conjunto, en generalde medida nula en RN , como ∂Ω):

Teorema 3.4.11 (de trazas) Sea Ω ⊂ RN un abierto conexo acotado de frontera de clase C0,1 (o seaΩ = RN

+ ). Bajo estas condiciones, existe una y sólo una aplicación γ ∈ L(H1(Ω); L2(∂Ω))tal que

(3.36) γ(ϕ) = ϕ|∂Ω ∀ϕ ∈ C1c (RN ).

A γ se le denomina la aplicación traza (de orden cero) sobre ∂Ω. A γ(u) se le denomina la traza deu sobre ∂Ω, y por abuso de notación se denota γ(u) = u|∂Ω (el “valor"de u sobre la frontera de Ω).

Además para dicha aplicación γ se satisface que el conjunto γ(H1(Ω)) está contenido estrictamente enL2(∂Ω), el núcleo de γ coincide con H1

0 (Ω), es decir,

H10 (Ω) = u ∈ H1(Ω); γ(u) = 0,

y

(3.37)∫

Ωu∂iv dx = −

∫

Ωv∂iu dx +

∫

∂Ωγ(u)γ(v)ni dσ ∀u, v ∈ H1(Ω).

A (3.37) se le denomina la fórmula de Green generalizada.

Hechas estas consideraciones, exponemos a continuación un resultado importante que en particularpermite, cuando Ω es acotado, cambiar de producto escalar en H1

0 (Ω) y obtener una norma equivalentea la de H1(Ω).

Teorema 3.4.12 (desigualdad de Poincaré) Si Ω es acotado en al menos una dirección entonces existeuna constante C > 0, que sólo depende de Ω, tal que

(3.38)∫

Ω|u(x)|2 dx ≤ C

N∑

i=1

∫

Ω|∂iu(x)|2 dx, ∀u ∈ H1

0 (Ω).

Demostración.- Por densidad, basta demostrar (3.38) en el caso en que u = ϕ ∈ D(Ω). Supongamos,por fijar ideas, que Ω es acotado en la dirección de x1. En tal caso, existe un M > 0, que fijamos, talque Ω ⊂ (−M, M)× RN−1.


Consideremos ϕ extendida por cero a RN \ Ω; así ϕ ∈ D(RN ) con

sopϕ ⊂ Ω ⊂ (−M, M)× RN−1.

Si (x1, x2, ..., xN ) ∈ (−M,M)× RN−1, entonces

ϕ(x1, x2, ..., xN ) =∫ x1

−M∂tϕ(t, x2, ..., xN ) dt

y

ϕ(x1, x2, ..., xN ) = −∫ M

x1

∂tϕ(t, x2, ..., xN ) dt,

con lo que tomando valores absolutos, sumando ambas igualdades, y aplicando la desigualdad deCauchy-Schwarz, obtenemos, tras elevar al cuadrado,

4|ϕ(x1, x2, ..., xN )|2 ≤ 2M

∫ M

−M|∂tϕ(t, x2, ..., xN )|2 dt.

Integrando esta última desigualdad se obtiene:

4∫

Ω|ϕ(x)|2 dx =

∫ M

−M

(∫

RN−1

4M2|ϕ(x1, x2, ..., xN )|2 dx2, ..., dxN

)dx1 ≤

≤ 4M2

∫

RN−1

(∫ M

−M|∂tϕ(t, x2, ..., xN )|2 dt

)dx2, ..., dxN ,

con lo que se concluye en particular (3.38). ¥

Definición 3.4.13 Si Ω es acotado en al menos una dirección, se define

(3.39) (u, v)H10 (Ω) = (∇u,∇v)L2(Ω)N =

N∑

i=1

∫

Ω∂iu∂iv dx ∀u, v ∈ H1

0 (Ω).

De la desigualdad de Poincaré se deduce que entonces (·, ·)H10 (Ω) es un producto escalar sobre H1

0 (Ω)que induce una norma equivalente a la de H1(Ω), dada por

(3.40) ‖u‖H10 (Ω) = ‖∇u‖L2(Ω)N .

A continuación, introducimos el espacio H−1(Ω).

Definición 3.4.14 Se define el espacio H−1(Ω) como el dual topológico de H10 (Ω).

Sobre la estructura de H−1(Ω) se tiene el resultado siguiente:

Teorema 3.4.15 Se tiene:

1. Si f0, f1,..., fN , son N + 1 funciones pertenecientes a L2(Ω), la aplicación F : H10 (Ω) 7→ R

definida por

(3.41) F (v) =∫

Ωf0v dx +

n∑

i=1

∫

Ωfi∂iv dx, ∀v ∈ H1

0 (Ω),

está bien definida, es lineal y satisface

|F (v)| ≤(

N∑

i=0

‖fi‖2L2(Ω)

)1/2

‖v‖H1(Ω) ∀ v ∈ H10 (Ω).

En consecuencia, F ∈ H−1(Ω).


2. Recíprocamente, si F ∈ H−1(Ω), entonces existen N + 1 funciones f0, f1,..., fN en L2(Ω) talesque se satisface (4,15), y

‖F‖H−1(Ω) =

(N∑

i=0

‖fi‖2L2(Ω)

)1/2

.

Además, si Ω es acotado en al menos una dirección, entonces se puede tomar f0 = 0.

Demostración.- La demostración de 1. es inmediata. En cuanto a 2., basta tener en cuenta el teoremade representación de Riesz aplicado al espacio de Hilbert H1

0 (Ω), por el que dado F ∈ H−1(Ω), existeun elemento uF ∈ H1

0 (Ω) tal que

F (v) = (uF , v)H1(Ω) ∀ v ∈ H10 (Ω), y ‖F‖H−1(Ω) = ‖uF ‖H1(Ω).

Basta entonces tomar f0 = uF , y fi = ∂iuF , i = 1, ..., N.

Cuando Ω es acotado en al menos una dirección, para la demostración de 2. se puede razonar igualpero considerando sobre H1

0 (Ω) el producto escalar (·, ·)H10 (Ω) definido por (3.39). ¥

Observación 3.4.16 A partir de ahora, siempre consideraremos L2(Ω) identificado con su dual topológi-co por el teorema de representación de Riesz, pero no identificaremos H1

0 (Ω) con H−1(Ω), sino queidentificaremos los elementos de H−1(Ω) por la fórmula (3.41). De esta forma, L2(Ω) queda identificadocon un subespacio de H−1(Ω), y obtenemos

H10 (Ω) ⊂ L2(Ω) ⊂ H−1(Ω).

Observación 3.4.17 Teniendo en cuenta la noción de derivada de primer orden respecto de xi enel sentido de las distribuciones en Ω, y la densidad de D(Ω) en H1

0 (Ω), el teorema precedente lo queafirma es que F ∈ H−1(Ω) si y sólo si existen N + 1 funciones f0, f1,..., fN en L2(Ω) tales que

F = f0 −N∑

i=1

∂ifi en el sentido de las distribuciones en Ω.

Observación 3.4.18 Utilizando la misma argumentación que en la demostración del Teorema 3.4.15,es fácil concluir que dado F ∈ (H1(Ω))∗ también existen N + 1 funciones f0, f1, ..., fN en L2(Ω) talesque se satisface (3.41) para toda v ∈ H1(Ω), y

‖F‖(H1(Ω))∗ =

(N∑

i=0

‖fi‖2L2(Ω)

)1/2

.

3.5. Solución débil del problema de Dirichlet para el Laplaciano.

En esta sección, analizamos un problema que contiene en particular a los problemas (PDL) y(PDP ) estudiados en el Capítulo 2. Para dicho problema, vamos a introducir el concepto de solucióndébil, y vamos a establecer la existencia y unicidad de este tipo de soluciones.

Consideremos en primer lugar el problema

(3.42)

−∆u = f en Ω,

u = 0 sobre ∂Ω.


Definición 3.5.1 Sea Ω ⊂ RN un abierto acotado, y f ∈ L2(Ω) dada. Se denomina solución débil delproblema (3.42) a cualquier función u que sea solución de

(3.43)

u ∈ H10 (Ω),

∫

Ω∇u · ∇v dx =

∫

Ωfv dx ∀v ∈ H1

0 (Ω).

Observación 3.5.2 Es inmediato comprobar, teniendo en cuenta la densidad de D(Ω) en H10 (Ω), que

el problema (3.43) es equivalente a

(3.44)

u ∈ H1

0 (Ω),

−∆u = f en D′(Ω).

En consecuencia, (3.44) puede ser tomada de manera equivalente como la definición de solución débildel problema (3.42). A la formulación (3.43) del concepto de solución débil se le denomina tambiénformulación variacional del problema (3.42).

Observación 3.5.3 El concepto de solución débil de (3.42) es una generalización del de soluciónclásica. En concreto, si suponemos que Ω ⊂ RN es un abierto acotado, f ∈ C0(Ω) ∩ L2(Ω), y u ∈C2(Ω) ∩ C0(Ω) es solución clásica de (3.42) tal que ∇u ∈ L2(Ω)N , entonces u es solución débil de(3.42). En efecto, en primer lugar observemos que −∆u(x) = f(x) en todo punto de Ω, implica que−∆u = f en D′(Ω). Por otra parte, evidentemente u ∈ H1(Ω)∩C0(Ω) y u = 0 sobre ∂Ω, y ello implica(ver [1]) que u ∈ H1

0 (Ω). Así pues, u es solución de (3.44), y por tanto de (3.43).

Es fácil obtener el siguiente resultado:

Proposición 3.5.4 Si Ω ⊂ RN es un abierto acotado, entonces para cada f ∈ L2(Ω) existe una y sólouna u solución débil de (3.42). Dicha u viene caracterizada por

(3.45)12

∫

Ω|∇u|2 dx−

∫

Ωfu dx = mín

v∈H10 (Ω)

(12

∫

Ω|∇v|2 dx−

∫

Ωfv dx

).

Además (dependencia continua respecto del dato f) existe una constante C > 0, que sólo depende deΩ, tal que

‖u‖H1(Ω) ≤ C‖f‖L2(Ω).

Demostración.- Es inmediata. Basta recordar el Teorema 3.4.12 de Poincaré y aplicar el Lema 3.2.13de Lax-Milgram en V = H1

0 (Ω), con ‖v‖ = ‖∇v‖L2(Ω)N ,

a(u, v) =N∑

i=1

∫

Ω∂iu∂iv dx y f(v) =

∫

Ωfv dx.

¥La noción de solución débil, y la existencia y unicidad de la misma, puede ser extendida a situaciones

más generales. Por ejemplo, consideremos dadas una función c ∈ L∞(Ω), N +1 funciones fi, 0 ≤ i ≤ N ,en L2(Ω), y una función g ∈ H1(Ω). Consideremos el problema

(3.46)

−∆u + c(x)u = f0 −N∑

i=1

∂ifi en Ω,

u = g sobre ∂Ω.D′(Ω).


Definición 3.5.5 Diremos que u es una solución débil de (3.46) si

(3.47)

u ∈ g + H10 (Ω),

∫

Ω∇u · ∇v dx +

∫

Ωc(x)uv dx =

∫

Ωf0v dx +

N∑

i=1

∫

Ωfi∂iv dx ∀v ∈ H1

0 (Ω).

Observación 3.5.6 Al igual que pasaba con el problema (3.42), es sencillo comprobar, teniendo encuenta la densidad de D(Ω) en H1

0 (Ω), que el problema (3.47) es equivalente a

u ∈ g + H10 (Ω),

−∆u + cu = f0 −N∑

i=1

∂ifi en D′(Ω).

Para el problema (3.46) tenemos el siguiente resultado:

Proposición 3.5.7 Sean Ω ⊂ RN abierto acotado, c ∈ L∞(Ω) tal que c ≥ 0 c.p.d. en Ω, fi, 0 ≤ i ≤ N ,N + 1 funciones en L2(Ω), y g ∈ H1(Ω) dadas. Entonces, existe una y sólo una función u solucióndébil de (3.46). Dicha solución débil viene caracterizada por

12

(∫

Ω|∇u|2 dx +

∫

Ωc(x)u2 dx

)−

∫

Ωf0u dx−

N∑

i=1

∫

Ωfi∂iu dx

(3.48) = mínv∈g+H1

0 (Ω)

[12

(∫

Ω|∇v|2 dx +

∫

Ωc(x)v2 dx

)−

∫

Ωf0v dx−

N∑

i=1

∫

Ωfi∂iv dx

].

Además (dependencia continua respecto de los datos ) existe una constante C > 0, que sólo depende deΩ y de ‖c‖L∞(Ω), tal que

(3.49) ‖u‖H1(Ω) ≤ C

(N∑

i=0

‖fi‖L2(Ω) + ‖g‖H1(Ω)

).

Demostración.- Sea V = H10 (Ω) con el producto escalar (u, v) = (∇u,∇v)L2(Ω)N . Consideremos

a(u, v) =∫

Ω∇u · ∇v dx +

∫

Ωc(x)uv dx,

forma bilineal simétrica continua en H1(Ω), y coerciva en el espacio V .Denotemos para v ∈ V,

f(v) =∫

Ωf0v dx +

N∑

i=1

∫

Ωfi∂iv dx,

yf(v) = f(v)− a(g, v).

Es inmediato que f ∈ H−1(Ω), y que u es solución débil de (3.46) si y sólo si

(3.50) u = g + u, con u ∈ H10 (Ω), y a(u, v) = f(v) ∀ v ∈ H1

0 (Ω).


Para obtener ahora la existencia y unicidad de solución débil de (3.46), así como la caracterización(3.48), basta aplicar el teorema de Lax-Milgram, y tener en cuenta que

mínv∈H1

0 (Ω)

(12a(v, v)− f(v)

)= mín

v∈H10 (Ω)

(12a(g + v, g + v)− f(g + v)

)− 1

2a(g, g) + f(g).

Finalmente, la obtención de la estimación (3.49) es consecuencia de que si u es solución débil de(3.46), entonces

‖u‖H1(Ω) ≤ ‖g‖H1(Ω) + ‖u‖H1(Ω),

con u dada por (3.50). Entonces, en particular,

‖u‖2H1

0 (Ω) ≤ a(u, u) = f(u)− a(g, u)

≤ (1 + ‖c‖L∞(Ω))

(N∑

i=0

‖fi‖L2(Ω) + ‖g‖H1(Ω)

)‖u‖H1(Ω).

Basta ahora tener en cuenta la equivalencia de las normas ‖ · ‖H1(Ω) y ‖ · ‖H10 (Ω) en H1

0 (Ω). ¥

Capítulo 4

TEORÍA ESPECTRAL DEOPERADORES COMPACTOS

4.1. Relaciones de ortogonalidad entre rango y núcleo de un operadory su adjunto

Sean H y G dos espacios de Hilbert reales. Denotaremos por ‖ · ‖, de manera indistinta, a la normaen H y a la norma en G, y por (·, ·) al producto escalar en H o en G que induce dicha norma.

Dado un operador T ∈ L(H, G), se denota por N(T ) al núcleo de T , y R(T ) al rango de T , definidosrespectivamente por

N(T ) = T−1(0) = x ∈ H; Tx = 0, R(T ) = T (H) = Tx; x ∈ H.

Se recuerda que N(T ) es un subespacio vectorial cerrado de H, y que R(T ) es un subespacio vectorial,no necesariamente cerrado, de G.

El núcleo y el rango de un operador lineal continuo entre dos espacios de Hilbert y su adjunto,satisfacen las siguientes relaciones:

Proposición 4.1.1 Para todo operador T ∈ L(H, G) se verifica:

1. N(T ) = R(T ∗)⊥.

2. N(T ∗) = R(T )⊥.

3. N(T )⊥ = R(T ∗).

4. N(T ∗)⊥ = R(T ).

Demostración.- En primer lugar, se tiene que

x ∈ N(T ) ⇐⇒ Tx = 0 ⇐⇒ (Tx, y) = 0 ∀y ∈ G

⇐⇒ (x, T ∗y) = 0 ∀y ∈ G ⇐⇒ x ∈ R(T ∗)⊥,

y por tanto, se satisface 1.Teniendo en cuenta que H = R(T ∗)⊕R(T ∗)⊥, la propiedad 3. es consecuencia inmediata de 1.Ahora, 2. y 3. son consecuencias directas de 1. y 3., y del hecho de que (T ∗)∗ = T. ¥

67


4.2. Compacidad y operadores compactos

Sean X y Y dos espacios de Banach reales, cuya norma denotamos por ‖ · ‖, de manera indistinta.Denotemos por BX a la bola unidad cerrada de X:

BX = x ∈ X; ‖x‖ ≤ 1.

Definición 4.2.1 Un operador T ∈ L(X, Y ) se dice que es compacto si el conjunto T (BX) es relati-vamente compacto en Y .

Observación 4.2.2 Recordemos que un conjunto C ⊂ Y se dice que es relativamente compacto en Y

si su clausura C es un compacto en Y , es decir, de todo recubrimiento del conjunto C por subconjuntosabiertos de Y , se puede extraer un subrecubrimiento finito de C.

De manera equivalente, si Y es un espacio métrico, C ⊂ Y es relativamente compacto en Y siy sólo si de toda sucesión de elementos de C se puede extraer una subsucesión convergente en Y .En consecuencia, es sencillo comprobar que un operador T ∈ L(X,Y ) es compacto si y sólo si detoda sucesión xn ⊂ X que sea acotada, se puede extraer una subsucesión xnk

tal que Txnk sea

convergente en Y . También, de manera equivalente, es fácil ver que T ∈ L(X, Y ) es compacto si y sólosi transforma subconjuntos acotados de X en subconjuntos relativamente compactos de Y .

Observación 4.2.3 Como Y es, en particular, un espacio métrico completo, dado un conjunto C ⊂ Y ,para determinar si es relativamente compacto en Y , basta comprobar que, para todo ε > 0, C puedeser recubierto por un número finito de bolas de Y de radio ε (ver [10]).

Observación 4.2.4 Es bien conocido el Teorema de Riesz, que nos indica que BX es compacta, si ysólo si X es un espacio vectorial de dimensión finita. En consecuencia, si denotamos por I al operadoridentidad de X sobre X, y suponemos que X no es de dimensión finita, I ∈ L(X), pero no es unoperador compacto.

Un primer ejemplo de operadores compactos lo constituye el subespacio de L(X,Y ) formado porlos operadores de rango finito.

Definición 4.2.5 Un operador T ∈ L(X,Y ) se dice que es de rango finito si la dimensión de R(T ) =Tx; x ∈ X es finita.

Observación 4.2.6 Como en todo espacio normado de dimensión finita un conjunto es relativamentecompacto si y sólo si es acotado, resulta evidente que todo operador T ∈ L(X, Y ) de rango finito escompacto.

Es sencillo comprobar que el conjunto de todos los operadores T ∈ L(X, Y ) compactos es unsubespacio vectorial de L(X, Y ). Más exactamente, se tiene:

Teorema 4.2.7 El conjunto de todos los operadores T ∈ L(X, Y ) compactos es un subespacio vectorialcerrado de L(X, Y ).

Demostración.- Como ya hemos dicho, es sencillo comprobar que toda combinación lineal de oper-adores de L(X, Y ) compactos es un operador compacto. Lo que queda por demostrar es que si Tn ⊂L(X, Y ) es una sucesión de operadores compactos, y T ∈ L(X, Y ) es tal que ‖Tn − T‖L(X,Y ) → 0,

entonces T es también compacto. Para ello, basta con demostrar que, fijado ε > 0, el conjunto T (BX)


puede ser recubierto por un número finito de bolas de Y de radio ε. Fijemos ε > 0, y tomemos un nε

tal que ‖Tnε −T‖L(X,Y ) <ε

2. Como Tnε(BX) es relativamente compacto, existe un número finito Iε de

elementos yii∈Iε ⊂ Y tales que Tnε(BX) ⊂⋃

i∈Iε

B(yi,ε

2). En consecuencia, T (BX) ⊂

⋃

i∈Iε

B(yi, ε). ¥

Como consecuencia del Teorema 4.2.7 y la Observación 4.2.6, resulta inmediato:

Corolario 4.2.8 Si Tn ⊂ L(X,Y ) es una sucesión de operadores rango finito, y T ∈ L(X, Y ) es talque ‖Tn − T‖L(X,Y ) → 0, entonces T es compacto.

Observación 4.2.9 Cuando X e Y son espacios de Hilbert, el recíproco del Corolario 4.2.8 es tambiéncierto, es decir, si H y G son dos espacios de Hilbert y T ∈ L(H,G) es compacto, entonces existe unasucesión Tn ⊂ L(H, G) de operadores de rango finito tal que ‖Tn − T‖L(H,G) → 0 (ver [1]).

Otro ejemplo de operadores compactos lo constituye la clase de los operadores integrales enC0([a, b])o en Lp(a, b), con p ∈ (1, 2] y a, b finitos. En concreto,

Definición 4.2.10 Sea K ∈ C0([a, b] × [a, b]) una función dada. Se denomina operador integral enC0([a, b]) de núcleo integral K, al operador T : C0([a, b]) 7→ C0([a, b]) definido por

(4.1) (Tφ)(t) =∫ b

aK(t, s)φ(s) ds ∀ t ∈ [a, b], ∀φ ∈ C0([a, b]).

Definición 4.2.11 Sean p ∈ (1, 2] y K ∈ Lq((a, b) × (a, b)), con1p

+1q

= 1, dados. Se denomina

operador integral en Lp(a, b) de núcleo integral K, al operador T : Lp(a, b) 7→ Lp(a, b) definido por

(4.2) (Tφ)(t) =∫ b

aK(t, s)φ(s) ds c.p.d. t ∈ (a, b), ∀φ ∈ Lp(a, b).

No es difícil demostrar el siguiente resultado:

Teorema 4.2.12 Se tiene:

1. Si K ∈ C0([a, b]× [a, b]), el operador integral T definido por (4.1) pertenece a L(C0([a, b])), y escompacto.

2. Si K ∈ Lq((a, b)× (a, b)), el operador integral T definido por (4.2) pertenece a L(Lp(a, b)), y escompacto.

Demostración.- 1. Es sencillo comprobar que si K ∈ C0([a, b] × [a, b]), T dado por (4.1) está biendefinido y pertenece a L(C0([a, b])). Además, en este caso si φn es una sucesión acotada en C0([a, b]),es fácil comprobar que Tφn es una sucesión acotada y equicontinua en C0([a, b]), con lo que, porel Teorema de Ascoli-Arzelà, existe una subsucesión de Tφn que es convergente en C0([a, b]), y portanto, si K ∈ C0([a, b]× [a, b]), el operador T definido por (2,1) es compacto en C0([a, b]).

2. También es fácil comprobar que si K ∈ Lq((a, b)× (a, b)), el operador T dado por (4.2) está biendefinido y pertenece a L(Lp(a, b)).

Para demostrar en este caso que T es compacto, se supone en primer lugar que K ∈ C0([a, b]×[a, b]).En tal caso, si φn es una sucesión acotada en Lp(a, b), es fácil comprobar que Tφn es una sucesiónacotada y equicontinua en C0[a, b], con lo que, por el Teorema de Ascoli-Arzelà, existe una subsucesiónde Tφn que es convergente en C0([a, b]), y por tanto también es convergente en Lp(a, b). Así pues,si K ∈ C0([a, b]× [a, b]), el operador T definido por (4.2) es compacto en Lp(a, b).


En el caso general, basta tener en cuenta el Teorema 4.2.7, y la densidad del espacio C0([a, b]×[a, b])en Lp((a, b)× (a, b)) (se dejan los detalles como ejercicio). ¥

Dos propiedades generales de interés de los operadores compactos vienen dadas por los siguientesresultados:

Proposición 4.2.13 Sean X, Y y Z tres espacios de Banach. Si S ∈ L(Y,Z), T ∈ L(X,Y ), y almenos uno de los dos es compacto, entonces S T es compacto.

Demostración.- Es inmediata. ¥

Observación 4.2.14 De la proposición precedente y la Observación 4.2.4, se deduce que si T ∈L(X, Y ) es compacto y X o Y no son de dimensión finita, entonces T no puede ser biyectivo.

Teorema 4.2.15 (de Schauder) Sean H y G dos espacios de Hilbert reales. Un operador T ∈ L(H, G)es compacto si y sólo si su adjunto T ∗ es también compacto.

Demostración.- Como T = (T ∗)∗, sólo hay que demostrar que si T es compacto, entonces T ∗ tambiénes compacto.

Supongamos por tanto que T ∈ L(H, G) es compacto. Sea yn ⊂ G una sucesión acotada. Loque hay que comprobar es que se puede extraer una subsucesión ynk

⊂ yn tal que T ∗ynk sea

convergente en H. Para ver esto último, denotemos por fn a la aplicación

fn : z ∈ T (BH) 7→ (z, yn) ∈ R.

Es inmediato comprobar que la sucesión F = fn constituye una familia acotada y equicontinua deC0(T (BH)). Teniendo en cuenta que T (BH), con la distancia inducida por la norma de G, es un espaciométrico compacto, por el Teorema de Ascoli (ver [10]), podemos afirmar que existe una subsucesiónfnk

⊂ fn que es convergente en C0(T (BH)). En particular, la sucesión fnk es de Cauchy en

C0(T (BH)), y por consiguiente, como

0 ≤ ‖T ∗ynk− T ∗ynl

‖ = sup‖x‖≤1

|(Tx, ynk)− (Tx, ynl

)| ≤ ‖fnk− fnl

‖C0(T (BH))

,

podemos afirmar que T ∗ynk es de Cauchy, y por tanto convergente, en H. ¥

4.3. Teorema de alternativa de Fredholm

De manera previa a la demostración del Teorema central de este parágrafo, recordemos el Lema deRiesz, que ha sido demostrado en la asignatura Análisis Funcional:

Lema 4.3.1 (de Riesz) Sean X un espacio normado, y X0 ⊂ X un subespacio vectorial cerrado de X

tal que X0 6= X. Entonces, para cada θ ∈ (0, 1) existe un elemento xθ ∈ X tal que

‖xθ‖ = 1 y d(xθ, X0) = infx∈X0

‖xθ − x‖ ≥ θ.

Observación 4.3.2 En el caso en que X un espacio de Hilbert, el Lema 4.3.1 es también válido paraθ = 1 (hágase como ejercicio).

Nuestro objetivo es demostrar el siguiente resultado:


Teorema 4.3.3 (de alternativa de Fredholm) Sean H un espacio de Hilbert real, T ∈ L(H) un operadorcompacto, y denotemos por I al operador identidad de H sobre H. Entonces, se satisfacen las siguientespropiedades:

1. N(I − T ) y N(I − T ∗) son de dimensión finita, y de hecho,

(4.3) dimN(I − T ) = dimN(I − T ∗).

2. R(I − T ) y R(I − T ∗) son cerrados, y por tanto,

(4.4) R(I − T ) = N(I − T ∗)⊥ y R(I − T ∗) = N(I − T )⊥.

3. N(I − T ) = 0 ⇔ R(I − T ) = H, y N(I − T ∗) = 0 ⇔ R(I − T ∗) = H.

Demostración.- Denotemos M = N(I−T ), que es un subespacio de Hilbert de H. Es inmediato queBM ⊂ T (BM ) ⊂ T (BH), y en consecuencia BM es compacto, con lo que M es de dimensión finita. Enresumen, N(I−T ) es de dimensión finita, y como T ∗ es también compacto, N(I−T ∗) es de dimensiónfinita.

Para demostrar 2., basta ver que R(I−T ) es cerrado. Es decir, basta ver que si yn = xn−Txn, conyn → y, entonces existe x ∈ H tal que y = x− Tx. En primer lugar, si y = 0, basta tomar x = 0. Porotra parte, si y 6= 0, podemos suponer que yn 6= 0, es decir xn 6∈ N(I − T ), para todo n. Denotemoscomo antes M = N(I − T ), subespacio vectorial cerrado de H, y por P al operador de proyecciónortogonal de H sobre M . Evidentemente, Pxn 6= xn y, como TPxn = Pxn,

(4.5) yn = xn − Pxn − T (xn − Pxn).

La sucesión xn − Pxn está acotada. En efecto, si dicha sucesión no estuviese acotada, habría unasubsucesión xnk

− Pxnktal que ‖xnk

− Pxnk‖ → ∞, y en tal caso, denotando

znk=

xnk− Pxnk

‖xnk− Pxnk

‖ ∈ M⊥,

por (4.5), obtenemos

(4.6) znk− Tznk

=ynk

‖xnk− Pxnk

‖ → 0.

Además, como ‖znk‖ = 1, extrayendo una subsucesión, que vamos a seguir denotando znk

, podemossuponer (ya que T es compacto) que existe z ∈ H tal que Tznk

→ z, con lo que, por (4.6), znk→ z, y

z ∈ M . Evidentemente, ‖z‖ = 1, y como znk∈ M⊥, z ∈ M⊥. En resumen, z ∈ M ∩M⊥, con lo que

z = 0, y sin embargo ‖z‖ = 1, lo cuál es un absurdo. Así pues, la sucesión xn − Pxn está acotada.En consecuencia, existen una subsucesión xnj − Pxnj y un w ∈ H, tales que T (xnj − Pxnj ) → w.

Entonces, por (4.5), xnj−Pxnj → w+y, y por tanto T (xnj−Pxnj ) → Tw+Ty. Así pues, w = Tw+Ty,con lo que y = y + w − T (y + w), es decir, y ∈ R(I − T ).

Para demostrar 3., basta comprobar que N(I −T ) = 0 ⇔ R(I −T ) = H. Para ello, supongamosen primer lugar que N(I−T ) = 0, y R(I−T ) 6= H. En tal caso, como R(I−T ) es cerrado, denotandoH1 = R(I − T ), obtenemos un subespacio de Hilbert de H, distinto de H. Además, T (H1) ⊂ H1, yT restringido a H1 es compacto. En consecuencia, H2 = (I − T )(H1) es un subespacio cerrado de H1,y como I − T es inyectivo, H2 está estrictamente contenido en H1. Definiendo Hn = (I − T )n(H),para n ≥ 1, obtenemos una sucesión estrictamente decreciente de subespacios de Hilbert de H. Por


el Lema de Riesz y la Observación 4.3.2, existe una sucesión xn tal que xn ∈ Hn, ‖xn‖ = 1, yd(xn,Hn+1) ≥ 1. Evidentemente, si n > m

Txn − Txm = xn − (xn − Txn) + (xm − Txm)− xm,

y, como Hn+1 ⊂ Hn ⊂ Hm+1,

xn − (xn − Txn) + (xm − Txm) ∈ Hm+1.

En consecuencia, si n > m, ‖Txn − Txm‖ ≥ 1, lo cuál es absurdo por ser T compacto. Así pues, siN(I − T ) = 0, entonces R(I − T ) = H.

Recíprocamente, si R(I − T ) = H, entonces N(I − T ∗) = R(I − T )⊥ = 0, con lo que, por ser T ∗

compacto, R(I − T ∗) = H, y por tanto N(I − T ) = R(I − T ∗)⊥ = 0.Para terminar con la demostración del teorema, sólo nos queda comprobar la igualdad (4.3). De

hecho, como (T ∗)∗ = T, basta comprobar que dimN(I − T ∗) ≤ dimN(I − T ).Procedamos por reducción al absurdo. Supongamos que dimN(I − T ∗) > dimN(I − T ). En tal

caso, como las dimensiones de ambos espacios vectoriales son finitas, existe una aplicación

Λ : N(I − T ) 7→ N(I − T ∗),

lineal continua para la norma de H, tal que es inyectiva pero no es suprayectiva. Sea P el operador deproyección ortogonal de H sobre N(I − T ), y definamos

S = T + (Λ P ).

Evidentemente, S ∈ L(H), y es compacto ya que T lo es por hipótesis, y (Λ P ) lo es por ser de rangofinito. Demostremos que N(I − S) = 0. Para ello, observemos que si

0 = x− Sx = (x− Tx)− (Λ P )x,

entonces como x− Tx ∈ R(I − T ) = N(I − T ∗)⊥, y (Λ P )x ∈ N(I − T ∗), resulta que x− Tx = 0 y(Λ P )x = 0, es decir, x ∈ N(I − T ), y Λx = 0, con lo que, por el carácter inyectivo de Λ, x = 0.

Como S es compacto y N(I−S) = 0, por c), R(I−S) = H. Pero esto último es absurdo, ya queexiste y ∈ N(I−T ∗) tal que y 6∈ R(Λ); y para este y, si x−Sx = y, entonces x−Tx−(ΛP )x = y, conlo que, como x−Tx ∈ R(I−T ) = N(I−T ∗)⊥, resulta que x−Tx = 0, y Λ(−x) = y, en contradiccióncon que y 6∈ R(Λ). Por consiguiente, hemos probado que dimN(I − T ∗) ≤ dimN(I − T ). ¥

Observación 4.3.4 El Teorema 4.3.3 es también válido para un operador T ∈ L(X), con X espaciode Banach, estando en este caso definida la ortogonalidad mediante el produto de dualidad (ver [1] paralos detalles).

Observación 4.3.5 El teorema precedente es denominado de alternativa por la razón siguiente. SiT ∈ L(H) es compacto, para la ecuación x− Tx = y podemos afirmar:

o bien la ecuación homogénea asociada x− Tx = 0 sólo posee la solución nula, y en ese caso paracada y ∈ H existe una y sólo una solución x ∈ H de x− Tx = y,

o bien el espacio vectorial de las soluciones de la ecuación homogénea asociada x − Tx = 0 esde dimensión finita n ≥ 1, y para y ∈ H dado la ecuación x − Tx = y posee solución si y sólo si y

satisface n condiciones de ortogonalidad (y ∈ N(I − T ∗)⊥), y en ese caso la ecuación admite infinitassoluciones.


Observación 4.3.6 La propiedad 3. de los operadores compactos puesta de manifiesto en el Teorema4.3.3 se satisface siempre en dimensión finita. Si la dimensión de H es finita, un operador lineal de H

en H es inyectivo si y sólo si es suprayectivo. Por contra, si la dimensión de H es infinita, un operadorT ∈ L(H) puede ser inyectivo sin ser suprayectivo, y recíprocamente. Por ejemplo, la aplicación

x = (x1, x2, x3, ....) ∈ l2 7→ (0, x1, x2, ....) ∈ l2,

es lineal continua e inyectiva, pero no es suprayectiva. Por el contrario, la aplicación

x = (x1, x2, x3, ....) ∈ l2 7→ (x2, x3, x4, ....) ∈ l2,

es lineal continua y suprayectiva, pero no es inyectiva.

4.4. Espectro de un operador compacto en espacio de Banach

En todo el parágrafo denotamos por X un espacio de Banach real de norma ‖ · ‖, por T a unoperador de L(X), y por I a la aplicación identidad de X sobre X.

Definición 4.4.1 Se denomina conjunto resolvente de T , y se denota ρ(T ), al conjunto

ρ(T ) = µ ∈ R; T − µI es biyectivo de X sobre X.

Al conjunto σ(T ) = R \ ρ(T ), complementario del conjunto resolvente de T , se le denomina el espectrode T .

Observación 4.4.2 Si µ ∈ ρ(T ), entonces, por el Teorema del inverso de Banach, (T−µI)−1 ∈ L(X).

Evidentemente, si µ ∈ σ(T ) entonces, o bien T − µI no es inyectivo, es decir N(T − µI) 6= 0, o bienT − µI no es suprayectivo (o ambas cosas a la vez).

Definición 4.4.3 Se dice que µ ∈ R es un valor propio o autovalor de T , si T − µI no es inyectivo,es decir si N(T − µI) 6= 0. En tal caso, al conjunto N(T − µI) se le denomina el subespacio propioo autoespacio asociado a µ, y a cualquier elemento x ∈ N(T − µI) tal que x 6= 0 se le denomina unvector propio o autovector asociado a µ.

Al conjunto de todos los autovalores de T se le denota V P (T ).

Observación 4.4.4 Es claro que V P (T ) ⊂ σ(T ), y en general la inclusión es estricta. Basta consid-erar la aplicación

T : x = (x1, x2, x3, ....) ∈ l2 7→ (0, x1, x2, ....) ∈ l2,

para la que, evidentemente, se tiene que 0 ∈ σ(T ) pero 0 6∈ V P (T ).

Proposición 4.4.5 Para todo operador T ∈ L(X) el espectro es un conjunto compacto de R tal que

(4.7) σ(T ) ⊂ [−‖T‖, ‖T‖],

y en consecuencia el conjunto resolvente es un subconjunto abierto no acotado de R.


Demostración.- En primer lugar, demostramos (4.7). Para ello, supongamos que µ ∈ R es tal que|µ| > ‖T‖, y demostremos que T − µI es biyectivo. En efecto, dado y ∈ X, la ecuación Tx − µx = y

es equivalente a la ecuación x =1µ

(Tx − y), pero esta última posee una y sólo una solución por el

teorema del punto fijo de Banach, ya que la aplicación x ∈ X 7→ 1µ

(Tx− y) ∈ X es contractiva por ser

|µ| > ‖T‖.Para terminar con la demostración, basta probar que ρ(T ) es un subconjunto abierto de R. Sea

µ0 ∈ ρ(T ), y demostremos que todo µ ∈ R suficientemente próximo a µ0 también pertenece a ρ(T ). Paraello hay que demostrar que para todo µ ∈ R suficientemente próximo a µ0, la ecuación Tx − µx = y

posee una y sólo una solución para cada y ∈ X dado. Ahora bien, dicha ecuación es equivalente aTx− µ0x = y + (µ− µ0)x, la cuál a su vez, por ser µ0 ∈ ρ(T ), es equivalente a

(4.8) x = (T − µ0I)−1(y + (µ− µ0)x).

Basta ahora observar que, por el teorema del punto fijo de Banach, la ecuación (4.8) posee una y sólouna solución para todo µ ∈ R tal que |µ− µ0|‖(T − µ0I)−1‖ < 1. ¥

Teorema 4.4.6 Sean X un espacio de Banach, y T ∈ L(X) compacto, entonces se tiene:

1. Si X no es de dimensión finita, 0 ∈ σ(T ).

2. σ(T ) \ 0 = V P (T ) \ 0.

3. Todos los puntos de σ(T ) \ 0 son aislados.

4. El conjunto σ(T ) \ 0 o es vacío, o es finito, o es infinito numerable y, en este último caso,puede ser ordenado formando una sucesión cuyos valores absolutos decrecen estrictamente a 0.

Demostración.-1. Si 0 6∈ σ(T ), entonces T es biyectivo, T−1 ∈ L(X), y por la Proposición 4.2.13 tenemos que

I = T T−1 es compacto, con lo que la dimensión de X es finita.2. Sea µ ∈ σ(T ) tal que µ 6= 0. Hemos de demostrar que entonces µ ∈ V P (T ). Para ello, procedamos

por reducción al absurdo, y supongamos que N(T−µI) = 0. Entonces, como N(T−µI) = N(I− 1µ

T )

y el operador1µ

T es compacto, por la propiedad 3. del Teorema de alternativa de Fredholm, teniendo

en cuenta la Observación 4.3.4, podemos afirmar que R(I − 1µ

T ) = X, con lo que,

R(T − µI) = −µR(I − 1µ

T ) = X.

Así pues, si µ ∈ σ(T ), con µ 6= 0 es tal que µ 6∈ V P (T ), entonces T − µI es biyectivo, y por tantoµ ∈ ρ(T ), lo cuál es un absurdo. c) Hemos de probar que todos los puntos de σ(T ) \ 0 son aislados.

Es decir, hemos de demostrar que si µnn≥1 ⊂ σ(T ) \ 0 es una sucesión de números reales todosdistintos tal que µn → µ, entonces µ = 0. Consideremos dada, por tanto, una sucesión µnn≥1 en lascondiciones precedentes. De acuerdo con b), sabemos que para todo n ≥ 1 µn ∈ V P (T ). Fijemos, paracada n ≥ 1 un elemento en ∈ N(T − µnI) tal que en 6= 0.


En primer lugar, podemos afirmar que el conjunto enn≥1 está formado por elementos linealmenteindependientes. En efecto, razonando por inducción, si para un n ≥ 1 es cierto que los e1, ...., en son

linealmente independientes, y en+1 =n∑

i=1

αiei, entonces, como Ten+1 = µn+1en+1,

T en+1 =n∑

i=1

αiµiei =n∑

i=1

αiµn+1ei,

y por consiguiente αi(µi − µn+1) = 0 para todo i = 1, ..., n, con lo que αi = 0 para todo i = 1, ..., n, loque es absurdo.

Denotemos para cada n ≥ 1 por Xn al subespacio vectorial de X generado por e1, ..., en. Comoel conjunto emm≥1 está formado por elementos linealmente independientes, obtenemos una sucesiónestrictamente creciente de subespacios vectoriales de dimensión finita, y por tanto cerrados, de X.

Aplicando el Lema 4.3.1 de Riesz, podemos construir una sucesión xnn≥2 en X tal que para todo

n ≥ 2, xn ∈ Xn, ‖xn‖ = 1, y d(xn, Xn−1) ≥ 12. Si 2 ≤ m < n, se tiene

Xm−1 ⊂ Xm ⊂ Xn−1,

y como, evidentemente, (T − µnI)Xn ⊂ Xn−1, tenemos que

(4.9)∥∥∥∥Txn

µn− Txm

µm

∥∥∥∥ =∥∥∥∥Txn − µnxn

µn− Txm − µmxm

µm+ xn − xm

∥∥∥∥ ≥ d(xn, Xn−1) ≥ 12,

para todo 2 ≤ m < n. Si µn → µ 6= 0, la desigualdad (4.9) es contradictoria con el hecho de que deTxn se puede extraer una subsucesión convergente.

4. Para todo entero n ≥ 1, el conjunto σ(T )∩µ ∈ R; |µ| ≥ 1n es vacío o finito, ya que si fuera un

conjunto infinito de puntos distintos, teniendo en cuenta que σ(T ) es compacto, dicho conjunto infinitocontendría un punto de acumulación que no sería el cero, y tendríamos contradicción con 3.

Así pues, como σ(T ) \ 0 = ∪n≥1(σ(T )∩ µ ∈ R; |µ| ≥ 1n), cuando σ(T ) \ 0 contiene infinitos

elementos distintos, éstos pueden ser ordenados en una sucesión cuyos valores absolutos decrecen a 0.¥

4.5. Teorema de Hilbert-Schmidt

Nos centramos ahora en el caso de los operadores lineales compactos y autoadjuntos en un espaciode Hilbert. Suponemos fijado un espacio de Hilbert real H. Denotamos por (·, ·) al producto escalar enH, y por ‖ · ‖ a la norma en H inducida por dicho producto escalar.

Proposición 4.5.1 Sea T ∈ L(H). Denotemos

m = inf‖x‖=1

(Tx, x) y M = sup‖x‖=1

(Tx, x).

Entonces,σ(T ) ⊂ [m,M ].

Si además T es un operador autoadjunto, entonces m ∈ σ(T ) y M ∈ σ(T ).


Demostración.- Por definición, (Tx, x) ≥ m‖x‖2 para todo x ∈ H, y por tanto, para todo µ ∈ R sesatisface

(4.10) (Tx− µx, x) ≥ (m− µ)‖x‖2 ∀x ∈ H.

Por (4.10), si µ < m la forma bilineal continua sobre H, definida por

(4.11) aµ(x, y) = (Tx− µx, y) ∀x, y ∈ H,

es también coerciva, con lo que, aplicando el teorema de Lax-Milgram, se concluye que µ ∈ ρ(T ). Siµ > M, entonces −µ < inf‖x‖=1(−Tx, x), con lo que −µ ∈ ρ(−T ), es decir, µ ∈ ρ(T ). Queda asíprobado que σ(T ) ⊂ [m,M ].

Si T es autoadjunto, entonces la forma bilineal am(x, y), definida por (4.11) para µ = m, es simétricay satisface am(x, x) ≥ 0 para todo x ∈ H. Así pues, aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz a laforma bilineal am(x, y), se obtiene

|(Tx−mx, y)| ≤ (Tx−mx, x)1/2(Ty −my, y)1/2 ∀x, y ∈ H,

de donde en particular, poniendo y = Tx−mx, se obtiene que existe una constante C > 0 tal que

(4.12) ‖Tx−mx‖ ≤ C(Tx−mx, x)1/2 ∀x ∈ H.

Sea xn ⊂ H una sucesión minimizante, i.e. tal que ‖xn‖ = 1 para todo n ≥ 1, y (Txn, xn) → m,tal sucesión existe por la definición de ínfimo. Por (4.12) se obtiene que Txn −mxn → 0, con lo quesi suponemos que m ∈ ρ(T ), entonces xn = (T −mI)−1(Txn −mxn) → 0, en contradicción con que‖xn‖ = 1 para todo n ≥ 1. Así pues, m ∈ σ(T ). Finalmente, que M ∈ σ(T ) se obtiene reemplazandoT por −T . ¥

Como consecuencia de la proposición precedente, se obtiene

Corolario 4.5.2 Si T ∈ L(H) es un operador autoadjunto tal que σ(T ) ⊂ 0, entonces σ(T ) = 0y T = 0.

Demostración.- Si T ∈ L(H) es un operador autoadjunto tal que σ(T ) ⊂ 0, como por la proposiciónprecedente sabemos que m y M pertenecen a σ(T ), podemos afirmar que σ(T ) es no vacío y

(Tx, x) = 0 ∀x ∈ H.

Entonces, como T es autoadjunto, resulta

2(Tx, y) = (T (x + y), x + y)− (Tx, x)− (Ty, y) = 0 ∀x, y ∈ H,

es decir, T = 0. ¥El objetivo ahora, es mostrar que si H es separable, todo operador T ∈ L(H) compacto y autoadjun-

to es “diagonalizable” en una base ortonormal de H convenientemente elegida. Para ello, introducimosalgunas consideraciones previas.

Definición 4.5.3 Sea Hnn≥0 una sucesión de subespacios vectoriales cerrados de H. Se dice que H

es suma de Hilbert de la sucesión Hnn≥0 si:

1. Los Hn son ortogonales dos a dos, es decir, si m 6= n,

(xm, xn) = 0 ∀xm ∈ Hm, ∀xn ∈ Hn,


2. El espacio vectorial generado por⋃

n≥0

Hn es denso en H.

El concepto precedente generaliza el concepto de base de Hilbert de H, ya que si enn≥1 es una basede Hilbert de H, y denotamos H0 = 0, y Hn al espacio vectorial generado por en, es obvio que H essuma de Hilbert de la sucesión Hnn≥0 así construida. De hecho, se tiene:

Teorema 4.5.4 Sea Hnn≥0 una sucesión de subespacios vectoriales cerrados de H tal que H es sumade Hilbert de dicha sucesión. Denotemos, para cada n ≥ 0 por Pn al operador de proyección ortogonalde H sobre Hn. Dado x ∈ H, denotemos xn = Pnx. Entonces, se satisface:

1. x =∞∑

n=0

xn, es decir, x = límk→∞

k∑

n=0

xn

2. ‖x‖2 =∞∑

n=0

‖xn‖2 (igualdad de Bessel-Parseval).

Recíprocamente, si xnn≥0 es una sucesión de elementos de H tal que xn ∈ Hn para todo n ≥ 0 y∞∑

n=0

‖xn‖2 < ∞, entonces la serie∞∑

n=0

xn es convergente a un elemento x ∈ H que verifica Pnx = xn

∀n ≥ 0.

Demostración.- Para cada entero k ≥ 0, denotemos Sk =k∑

n=0

Pn. Evidentemente, Sk ∈ L(H), y, por

ser los Hn ortogonales dos a dos, para todo x ∈ H se tiene

(4.13) ‖Skx‖2 =k∑

n=0

‖xn‖2.

Por otra parte, como (x− Pnx, y) = 0 para todo y ∈ Hn, en particular

(x, xn) = ‖xn‖2 ∀n ≥ 0,

y sumando, se obtiene‖Skx‖2 = (x, Skx),

de donde

(4.14) ‖Skx‖ ≤ ‖x‖ ∀x ∈ H, ∀ k ≥ 0.

Sea x ∈ H fijado. Denotemos por F al espacio vectorial generado por⋃

n≥0

Hn, que por hipótesis es

denso en H. Para ε > 0 fijado,existe yε ∈ F tal que ‖x − yε‖ ≤ ε. Como yε es combinación lineal deun número finito de elementos de

⋃

n≥0

Hn, existe un kε ≥ 0 tal que Skyε = yε para todo k ≥ kε. Por

consiguiente, teniendo en cuenta la desigualdad (4.14), obtenemos que ‖x−Skx‖ ≤ ε para todo k ≥ kε.

Así pues, límk→∞

Skx = x.

De (4.13) es inmediato ahora deducir 2.Recíprocamente, si xnn≥0 es una sucesión de elementos de H tal que xn ∈ Hn para todo n ≥ 0

y∞∑

n=0

‖xn‖2 < ∞, entonces es inmediato que para m > k ≥ 0

∥∥∥∥∥m∑

n=0

xn −k∑

n=0

xn

∥∥∥∥∥

2

=m∑

n=k+1

‖xn‖2 → 0 si k, m →∞,


y en consecuencia la serie∞∑

n=0

xn es convergente a un elemento x ∈ H. Que dicho elemento verifica

Pnx = xn ∀n ≥ 0, es evidente. ¥Podemos ahora demostrar el resultado fundamental:

Teorema 4.5.5 (Hilbert-Schmidt) Supongamos que H es un espacio de Hilbert real separable que noes de dimensión finita, y sea T ∈ L(H) un operador compacto y autoadjunto. Sea µnn≥1 la colección(vacía, finita o infinita numerable) de todos los autovalores distintos de T , exceptuado eventualmente0. Denotemos µ0 = 0, y Hn = N(T − µnI) para n ≥ 0, con el convenio de que si la colección µnn≥1

es vacía o finita con m ≥ 0 elementos, entonces Hn = 0 para todo n ≥ m + 1. Entonces, se tiene:

1. El espacio H es suma de Hilbert de la sucesión Hnn≥0.

2. El espacio H posee una base de Hilbert formada por autovectores de T .

Demostración.- Observemos que 0 ≤ dimH0 ≤ ∞, y que, como N(T − µnI) = N(I − 1µn

T ), para

todo n ≥ 1 se tiene que dimHn < ∞.

En primer lugar, demostremos que los Hn son ortogonales dos a dos. En efecto, si xn ∈ Hn yxm ∈ Hm, con m,n ≥ 0 y m 6= n, entonces Txn = µnxn y Txm = µmxm, con lo que

µn(xn, xm) = (Txn, xm) = (xn, Txm) = µm(xn, xm),

y en consecuencia (xn, xm) = 0.

Denotemos por F al espacio vectorial generado por⋃

n≥0

Hn. Hemos de probar que F es denso en

H, para lo cuál vamos a probar que F⊥ = 0.Para ver esto último, observemos que como, T (Hn) ⊂ Hn para todo n ≥ 0, es inmediato que T (F ) ⊂

F , pero esto implica que T (F⊥) ⊂ F⊥, ya que si x ∈ F⊥ e y ∈ F , entonces (Tx, y) = (x, Ty) = 0.Así pues, el operador T0 = T|F⊥ está bien definido como operador de L(F⊥), y es autoadjunto ycompacto. Además, no se olvide que F⊥ es cerrado en H, y por tanto es un subespacio de Hilbert deH. Finalmente, σ(T0) = 0, ya que si µ ∈ σ(T0) \ 0 = V P (T0) \ 0 (obsérvese que esta últimaigualdad se satisface para todo operador compacto, independientemente de la dimensión del espacio),entonces existe x ∈ F⊥, con x 6= 0, tal que T0x = µx, y por consiguiente, µ es un autovalor de T yx ∈ F. En resumen, si µ ∈ σ(T0) \ 0, entonces existe x ∈ F⊥ ∩ F con x 6= 0, lo cuál es un absurdo.

Así pues, por el Corolario 4.5.2, T0 = 0, es decir, F⊥ ⊂ N(T ) ⊂ F, con lo que tenemos garantizadoque F⊥ = 0.

Tenemos, pues, demostrado 1. Ahora, 2. es consecuencia inmediata de 1., ya que basta tomar encada Hn una base de Hilbert. Es inmediato comprobar que la unión de todas estas bases es una basede Hilbert de H. ¥

Observación 4.5.6 Bajo las condiciones del Teorema 4.5.5, si el operador T es además inyectivoentonces, teniendo en cuenta las afirmaciones i) de dicho teorema y d) del Teorema 4.4.6, obtenemosque la colección µnn≥1 de todos los autovalores distintos de T ordenados por orden de sus valoresabsolutos estrictamente decreciente, constituye una sucesión convergente a cero.

4.6. Aplicación del Teorema de Hilbert-Schmidt al espectro del lapla-ciano

Vamos a aplicar el Teorema de Hilbert-Schmidt al estudio del espectro del operador −∆ concondición de Dirichlet.


Definición 4.6.1 Sea Ω ⊂ RN un abierto acotado no vacío. Se dice que λ ∈ R es un autovalor deloperador −∆ en Ω con condición de Dirichlet, si el problema de Dirichlet

−∆u = λu en Ω,

u = 0 sobre ∂Ω,

posee una solución débil no nula; es decir, si existe una función u ∈ H10 (Ω), con u 6= 0, tal que

∫

Ω∇u(x) · ∇v(x) dx = λ

∫

Ωu(x)v(x) dx ∀ v ∈ H1

0 (Ω).

Se dice en tal caso que u es una autofunción asociada al autovalor λ.

Al conjunto de todos los autovalores del operador −∆ en Ω con condición de Dirichlet se le denominael espectro de −∆ en Ω con condición de Dirichlet.

El resultado que vamos a obtener sobre el espectro del operador −∆ con condición de Dirichlet, vaa ser consecuencia del siguiente teorema abstracto que es aplicable a otras muchas situaciones.

Teorema 4.6.2 Sean V y H dos espacios de Hilbert reales, cuyas normas denotamos respectivamentepor ‖ · ‖ y | · |. Denotemos por ((·, ·)) al producto escalar en V , y por (·, ·) al producto escalar en H.

Supongamos que V y H son separables, que V ⊂ H con inyección compacta, y que V es denso en H.Sea a : V ×V 7→ R una forma bilineal continua y simétrica, verificando la condición de coercividad

(4.15) ∃α > 0 tal que a(v, v) ≥ α‖v‖2 ∀ v ∈ V.

Entonces, existe una sucesión no decreciente de números reales positivos:

0 < λ1 ≤ λ2 ≤ ...λn ≤ ...,

con límn→∞λn = +∞, y existe una base de Hilbert de H: enn≥1, formada por elementos de V , tal que

(4.16) a(en, v) = λn(en, v) ∀ v ∈ V, ∀n ≥ 1.

Además, el conjunto en√λnn≥1 constituye una base de Hilbert de V si sobre este espacio se considera

el producto escalar inducido por la forma bilineal a(u, v).

Demostración.- En primer lugar, como la inyección de V en H es compacta, en particular es continua,y por tanto existe una constante c > 0 tal que

(4.17) |v| ≤ c‖v‖ ∀ v ∈ V.

Por el Lema 3.2.13 de Lax-Milgram, para cada f ∈ H dada, existe un y sólo un elemento uf tal que

(4.18) uf ∈ V, a(uf , v) = (f, v) ∀ v ∈ V.

Consideremos la aplicación T : f ∈ H 7→ uf ∈ H, con uf dado por (4.18). Evidentemente, el operadorT así construido es lineal. Por otra parte, se tiene de (4.18) que a(uf , uf ) = (f, uf ) ≤ |f ||uf |, con loque por (4.15) y (4.17) se obtiene

‖uf‖ ≤ c

α|f | ∀ f ∈ H,

y por consiguiente la aplicación S : f ∈ H 7→ uf ∈ V pertenece a L(H, V ). Como la inyección de V enH compacta, y T es la composición de S con la inyección de V en H, concluimos que T ∈ L(H) es unoperador compacto.


Como la forma bilineal a(u, v) es simétrica, es inmediato que el operador T es autoadjunto, ya que,para todo par f, g ∈ H

(Tf, g) = (g, Tf) = a(ug, uf ) = a(uf , ug) = (f, Tg).

Por otra parte, T es inyectivo, ya que si Tf = 0, entonces, por (4.18),

(f, v) = a(Tf, v) = a(0, v) = 0 ∀ v ∈ V,

con lo que, al ser V denso en H, se tiene que f = 0.Finalmente, todos los autovalores de T son positivos, y todos los autovectores pertenecen a V . En

efecto, si µ ∈ V P (T ) y f ∈ H \ 0 es tal que Tf = µf , entonces µ 6= 0, por tanto f ∈ V \ 0, y

µ(f, f) = (f, Tf) = a(Tf, Tf) ≥ α‖f‖2,

con lo que µ ≥ α‖Tf‖2

|f |2 > 0.

Así pues, por el Teorema 4.5.4 y la Observación 4.5.6, el conjunto µmm≥1 de todos los autovaloresde T constituye una sucesión de números positivos estrictamente decreciente a cero, y H es suma deHilbert de la sucesión N(T − µmI)m≥1. Además, si f ∈ N(T − µmI), entonces f ∈ V y

(4.19) µma(f, v) = a(Tf, v) = (f, v) ∀ v ∈ V.

Así pues, si consideramos la sucesión µnn≥1 construida a partir de la µmm≥1 contando cada µm

tantas veces como indique su multiplicidad, es decir, la dimensión de N(T −µmI), definimos λn =1µn

,

y tomamos una base de Hilbert de cada uno de los espacios N(T − µmI), obtenemos la sucesión nodecreciente de numeros reales positivos λnn≥1 convergente a +∞, y la base de Hilbert de H, enn≥1,de tal manera que se satisface (4.16).

Para terminar, falta comprobar que el conjunto en√λnn≥1 constituye una base de Hilbert de V si

sobre este espacio se considera el producto escalar inducido por la forma bilineal a(u, v).En primer lugar, como la forma bilineal a(u, v) es continua simétrica y coerciva, el producto

((u, v))a = a(u, v) ∀u, v ∈ V,

define un producto escalar en V que induce una norma equivalente a la norma ‖ · ‖ de V . Además,como

((en, em))a = a(en, em) = λn(en, em),

es claro que en√λnn≥1 constituye un sistema ortonormal de (V, ((·, ·))a). Para terminar, basta ver que

dicho sistema genera un subespacio denso de V , y para ello, basta comprobar que si f ∈ V es tal que((f, en))a = 0 para todo n ≥ 1, entonces f = 0.

Sea pues f ∈ V tal que ((f, en))a = 0 para todo n ≥ 1. Entonces, por (4.16),

λn(en, f) = a(en, f) = ((en, f))a = 0 ∀n ≥ 1,

y en consecuencia, como λn 6= 0 y enn≥1 es base de Hilbert de H, obtenemos que f = 0. ¥Admitamos el siguiente resultado, para cuya demostración se puede consultar [1].

Teorema 4.6.3 (de Rellich) Si Ω ⊂ RN es un abierto acotado no vacío, la inyección de H10 (Ω) en

L2(Ω) es compacta.


Observación 4.6.4 El Teorema 4.6.3, en el caso en que N = 1 y Ω = I es un intervalo acotado, hasido demostrado en los ejercicios del Capítulo 3. De hecho, en dicho ejercicio se obtiene el caráctercompacto de la inyección de H1(I) en L2(I). La extensión de este último resultado al caso N > 1 exigeque el abierto Ω sea acotado de frontera regular (ver [1]).

Como consecuencia de los Teoremas 4.6.2 y 4.6.3, se obtiene el siguiente resultado:

Teorema 4.6.5 Si Ω ⊂ RN es un abierto acotado no vacío, el espectro de −∆ en Ω con condición deDirichlet está constituido por una sucesión no decreciente λnn≥1 de números reales positivos, tal quelím

n→∞λn = +∞.

Además, existe una base de Hilbert enn≥1 de L2(Ω), formada por autofunciones asociadas a losautovalores λn. Por último en√

λnn≥1 constituye una base de Hilbert del espacio H1

0 (Ω) dotado del

producto escalar (·, ·)H10 (Ω), y en consecuencia, para toda f ∈ L2(Ω), la solución débil del problema de

Dirichlet

(4.20)

−∆u = f en Ω,

u = 0 sobre ∂Ω,

viene dada por

(4.21) u =∞∑

n=1

1λn

(f, en)L2(Ω)en,

siendo la serie en (4.21) convergente en H10 (Ω).

Demostración.- Es inmediata, basta tomar H = L2(Ω), V = H10 (Ω) con el producto escalar (·, ·)H1

0 (Ω),

ya(u, v) = (u, v)H1

0 (Ω), ∀ v ∈ H10 (Ω),

y tener en cuenta los Teoremas 4.6.2 y 4.6.3. ¥Terminamos el Capítulo con una aplicación del Teorema de alternativa de Fredholm al problema

de Dirichlet para −∆. Recordemos, que por la Definición 4.6.1, dado λ ∈ R, una solución débil delproblema de Dirichlet

(4.22)

−∆u− λu = f en Ω,

u = 0 sobre ∂Ω,

con f ∈ L2(Ω) dada, es cualquier solución del problema

(4.23)

u ∈ H10 (Ω),

∫

Ω∇u · ∇v dx− λ

∫

Ωuv dx =

∫

Ωfv dx ∀ v ∈ H1

0 (Ω).

De acuerdo con la Proposición 3.5.7, si λ ≤ 0, el Lema 3.2.13 de Lax-Milgram garantiza la existenciay unicidad de solución débil de (4.22). Para el resto de los valores de λ, la respuesta viene dada por elsiguiente resultado:

Teorema 4.6.6 (de alternativa) Sean Ω ⊂ RN abierto acotado no vacío, y λ ∈ R dado. Entonces:

1. Si λ no es un autovalor de −∆ en Ω con condición de Dirichlet, para cada f ∈ L2(Ω) dada existeuna y sólo una solución débil de (4.21).


2. Si λ es un autovalor de −∆ en Ω con condición de Dirichlet, para una f ∈ L2(Ω) dada existesolución débil de (4.22) si y sólo si (f, v)L2(Ω) = 0 para toda autofunción v asociada al autovalorλ y, en tal caso, la solución débil de (4.22) no es única, estando el conjunto de soluciones débilesde (4.22) formado por la suma de una solución particular más el subespacio de las autofuncionesasociadas al autovalor λ.

Demostración.- Basta considerar el operador S : f ∈ L2(Ω) 7→ uf ∈ L2(Ω), con uf solución débil delproblema

(4.24)

−∆u = f en Ω,

u = 0 sobre ∂Ω.

Teniendo en cuenta el Teorema 4.6.3, es inmediato que S ∈ L(L2(Ω)) es compacto. Es también sencillocomprobar que S es autoadjunto.

Sea λ > 0. Es inmediato que u es solución débil de (4.22) si y sólo si es solución de

(I − λS)u = Sf.

Resulta ahora fácil obtener las conclusiones del teorema por aplicación del Teorema de alternativa deFredholm al operador T = λS (se dejan los detalles como ejercicio). ¥

Apéndice A

Algunos Resultados de Convergencia

A.1. Convergencia uniforme

Teorema A.1.1 (Criterio de Mayoración de Weierstrass) Sea S un conjunto y fn : S −→ R o C unasucesión de funciones tales que existe una sucesión de números positivos Mn verificando:

1.|fn(x)| ≤ Mn, ∀x ∈ K

2. ∑

n≥1

Mn < ∞,

entonces la serie∑

n≥1 fn converge uniformemente en K, y para cada x ∈ K la serie∑

n≥1 fn(x)converge absolutamente.

Teorema A.1.2 Sea S ⊂ R y fn : S −→ R una sucesión de funciones continuamente derivables. Sesupone que

1. Existe un x ∈ S para el cual fn(x)n≥1 converge.

2. La sucesión de derivadas f ′nn≥1 converge uniformemente en S.

Entonces sucesión fnn≥1 converge uniformemente en S a una función f continuamente derivable yse tiene:

f ′(x) = lımn→∞ f ′n(x), ∀x ∈ S

Teorema A.1.3 (Teorema de Ascoli-Arzelà) Sea I = [a, b] un intervalo cerrado y acotado de R,fn : S −→ R o C una sucesión de funciones uniformemente acotadas y equicontinuas. Entonces lasucesión fnn≥1 contiene una subsucesión uniformemente convergente.

A.2. Convergencia uniforme de las series de Fourier

Vamos a estudiar la relación que existe entre la regularidad de una función y el decrecimientode sus coeficientes de Fourier (de hecho veremos que a mayor regularidad de la función correspondemayor decrecimiento de sus coeficientes de Fourier) y como consecuencia obtendremos la convergenciauniforme de la serie de Fourier asociada. Es interesante observar que la continuidad de una función

83


no implica la convergencia uniforme, en realidad ni siquiera la convergencia puntual, ya que dado unconjunto numerable J ⊂ [a, b] es posible construir una función continua en [a, b] tal que su serie deFourier no converja en los puntos de J y sí en [a, b] \ J .

Para no alargar la notación, consideramos el caso [a, b] = [−l, l], l > 0, y para una función f ∈L2(−l, l) denotamos an(f) = An, bn(f) = Bn, los coeficientes de Fourier de f dados por (1.28) y(1.29).

Lema A.2.1 Sea f ∈ C1[−l, l] (hipótesis de regularidad) y tal que f(−l) = f(l) (hipótesis de compati-bilidad). Entonces

(A.1)

an(f) = − l

nπbn(f ′) ∀n ≥ 1,

bn(f) = +l

nπan(f ′) ∀n ≥ 1.

Demostración.- Por las hipótesis de regularidad sobre f podemos integrar por partes y se tiene:

an(f) =1l

∫ l

−lf(σ) cos(

nπ

lσ) dσ =

1nπ

[f(σ) sen(

nπ

lσ)

]l

−l− 1

nπ

∫ l

−lf ′(σ) sen(

nπ

lσ) dσ,

de donde se deduce la primera igualdad de (A.1). Análogamente, con la condición de compatibilidad,se obtiene la segunda. ¥

Observación A.2.2 Si además de las hipótesis del lema, se supone que f ∈ C2[−l, l] y que f ′(−l) =f ′(l), entonces

(A.2)

an(f) = −(

l

nπ

)2

an(f ′′) ∀n ≥ 1,

bn(f) = −(

l

nπ

)2

bn(f ′′) ∀n ≥ 1.

Estas fórmulas, junto con la igualdad de Parseval, nos dicen como decrecen los coeficientes de Fourier,i.e. para cada k = 0, 1, 2 se tiene:

lımn→∞nkan(f) = 0, lım

n→∞nkbn(f) = 0

Se pueden deducir fórmulas análogas a las anteriores si f es más regular y verifica más condiciones decompatibilidad en los puntos −l y l.

La idea de integración por partes nos sugiere que podemos considerar funciones de L2(−l, l) talesque para ellas valga la fórmula de integración por partes cuando las multiplicamos por una funciónregular y 2l-periódica. Para ello introducimos el espacio C1

] = ϕ ∈ C1[a, b] / ϕ(a) = ϕ(b) y ladefinición (en la Sección 3.4 se verá una definición más general):

Definición A.2.3 Sea f ∈ L2(a, b) tal que f(a) = f(b). Se dice que una función g ∈ L2(a, b) es laderivada generalizada de f en [a, b] si

(A.3)∫ b

af(x)ϕ′(x) dx = −

∫ b

ag(x)ϕ(x) dx, ∀ϕ ∈ C1

]


Evidentemente para funciones f con derivada generalizada g se tiene:

(A.4)

an(f) = − l

nπbn(g) ∀n ≥ 1,

bn(f) = +l

nπan(g) ∀n ≥ 1.

Veamos ahora que la definición de derivada generalizada es consistente con el Teorema Fundamentaldel Cálculo, i.e. si una función f se obtiene integrando otra función g entonces g es la derivada de f .En sentido clásico esto es cierto si g es continua, sin embargo en sentido generalizado no es necesario.De heho se tiene:

Proposición A.2.4 Sea f ∈ L2(a, b) tal que f(a) = f(b). Si existe una función g ∈ L2(a, b) tal que

(A.5) f(x) = f(a) +∫ x

ag(σ) dσ ∀x ∈ [a, b],

entonces g es la derivada generalizada de f en [a, b].

Demostración.- Sea ϕ ∈ C1] entonces se tiene:

∫ b

af(x)ϕ′(x) dx =

∫ b

a

(f(a) +

∫ x

ag(σ) dσ

)ϕ′(x) dx =

= f(a)∫ b

aϕ′(x) dx +

∫ b

a

(∫ x

ag(σ) dσ

)ϕ′(x) dx

y aplicando el teorema de Fubini se obtiene

= f(a) (ϕ(b)− ϕ(a)) +∫ b

a

(∫ b

σϕ′(x) dx

)g(σ) dσ =

∫ b

a(ϕ(b)− ϕ(σ)) g(σ) dσ

= ϕ(b)∫ b

ag(σ) dσ −

∫ b

ag(σ)ϕ(σ) dσ = −

∫ b

ag(x)ϕ(x) dx

ya que∫ ba g(σ) dσ = 0 pues f(a) = f(b). ¥

Observación A.2.5 La Proposición A.2.4 tiene su recíproco, i.e. “Si una función g ∈ L2(a, b) es laderivada generalizada de otra función f ∈ L2(a, b) tal que f(a) = f(b) entonces se tiene (A.5). Lademostración la omitimos aunque lo utilizaremos. Además de (A.5) se deduce que las funciones conderivada generalizada son continuas en [a, b]. Ver ejercicios del Capítulo 3.

Las funciones con derivada generalizada son las que tienen un desarrollo en serie de Fourier queconverge uniformemente, para verlo probamos primero el siguiente teorema:

Teorema A.2.6 Sea f ∈ L2(−l, l) tal que f(−l) = f(l) con derivada generalizada, entonces se tiene:

(A.6)∑

n≥1

|an(f)|+ |bn(f)| < +∞.

Demostración.- Sea m ∈ N. Vamos obtener una cota, independiente de m, de

m∑

n=1

|an(f)|+ |bn(f)|.


Llamemos g a la derivada generalizada de f . De las fórmulas (A.4) se obtiene:

m∑

n=1

|an(f)|+ |bn(f)| = l

π

(m∑

n=1

|an(g)|n

+|bn(g)|

n

).

Por la desigualdad de Cauchy se obtiene

m∑

n=1

|an(g)|n

≤(

m∑

n=1

|an(g)|2)1/2 (

m∑

n=1

(1n

)2)1/2

m∑

n=1

|bn(g)|n

≤(

m∑

n=1

|bn(g)|2)1/2 (

m∑

n=1

(1n

)2)1/2

.

Comom∑

n=1

(1n

)2

≤∑

n≥1

(1n

)2

=π2

6<

(π

2

)2,

y como g ∈ L2(−l, l) se tiene

(m∑

n=1

|an(g)|2)1/2

≤∑

n≥1

|an(g)|2

1/2

≤ 1l||g||L2

(m∑

n=1

|bn(g)|2)1/2

≤∑

n≥1

|bn(g)|2

1/2

≤ 1l||g||L2

luego se obtiene la cota deseada:

m∑

n=1

|an(f)|+ |bn(f)| ≤ ||g||L2 , ∀m ≥ 1,

de donde se deduce el teorema. ¥Mediante el criterio mayoración de Weierestrass, de este teorema se deduce inmediatamente el

Corolario A.2.7 Sea f ∈ L2(−l, l) tal que f(−l) = f(l) con derivada generalizada en [−l, l], entoncessu serie de Fourier converge absolutamente y uniformemente a f en [−l, l]. ¥

También, mediante prolongaciones pares o impares, se tiene el

Corolario A.2.8 Sea f ∈ L2(0, l) con derivada generalizada en [0, l]. Entonces

1. El desarrolo en serie de cosenos de f converge absolutamente y uniformemente a f en [0, l].

2. Si además f(0) = f(l) = 0, el desarrolo en serie de senos de f converge absolutamente y uni-formemente a f en [0, l].

Observación A.2.9 De la Observación A.2.2 se puede deducir que si f es más regular y verifica máscondiciones de compatibilidad entonces la serie de Fourier derivada término a término converge a laderivada de f .

Apéndice B

Problemas de Sturm-Liouville

B.1. Soluciones de las EDO lineales de segundo órden

Se considera la ecuación diferencial ordinaria (brevemente EDO) lineal de segundo órden:

(B.1) a0y′′ + a1y

′ + a2y = b en I,

con I = [a, b] un intervalo cerrado y acotado de R, a0, a1, a2, b ∈ C0(I) y a0(x) 6= 0 ∀x ∈ I. Cuandob = 0 se tiene la EDO homogénea:

(B.2) a0y′′ + a1y

′ + a2y = 0 en I.

Se tiene el siguiente

Teorema B.1.1 Sea x0 ∈ I e y0, y1 ∈ R entonces existe una única solución del problema de Cauchy:

(PC)

a0y′′ + a1y

′ + a2y = b en I,

y(x0) = y0,

y′(x0) = y1.

Definición B.1.2 Sean ϕ1, ϕ2 ∈ C1(I), se llama wronskiano de ϕ1, ϕ2 y se denota por W (.) =W (ϕ1, ϕ2; .) la función:

W (x) = ϕ1(x)ϕ′2(x)− ϕ′1(x)ϕ2(x).

Se tienen las siguientes proposiciones:

Proposición B.1.3 Sean ϕ1, ϕ2 dos soluciones de (B.2). Entonces ϕ1, ϕ2 son linealmente dependi-entes en I si y sólo si su wronskiano es nulo para algún punto de I.

Proposición B.1.4 Sean ϕ1, ϕ2 dos soluciones de (B.2). Entonces ϕ1, ϕ2 son linealmente independi-entes en I si y sólo si su wronskiano es no nulo en I.

De las anteriores proposiciones se deducen los teoremas:

Teorema B.1.5 Existen dos soluciones ϕ1, ϕ2 linealmente independientes de (B.2) en I y cualquiersolución ϕ de (B.2) es una combinación lineal de ϕ1, ϕ2.

87


Teorema B.1.6 Sea ϕp una solución particular de (B.1) y ϕ1, ϕ2 soluciones linealmente independi-entes de (B.2) en I, entonces la solución general ϕ de (B.1) viene dada por:

ϕ(x) = ϕp(x) + C1ϕ1(x) + C2ϕ2(x) con C1, C2 constantes cualesquieras.

Observación B.1.7 Mediante el método de variación de constantes se tiene que

ϕp(x) = C1(x)ϕ1(x) + C2(x)ϕ2(x)

conC1(x) = −

∫ x

a

ϕ2(ξ)f(ξ)a0(ξ)W (ξ)

dξ; C2(x) =∫ x

a

ϕ1(ξ)f(ξ)a0(ξ)W (ξ)

dξ,

con W (ξ) = W (ϕ1, ϕ2; ξ).

Finalmente sobre los ceros de las soluciones de (B.2) se tiene:

Teorema B.1.8 Sea ϕ una solución no trivial de (B.2). Entonces los ceros de ϕ son simples, i.e.ϕ(x) = 0 =⇒ ϕ′(x) 6= 0. Además ϕ tiene solamente un número finito de ceros en I.

B.2. Función de Green para el problema de Sturm-Liouville

Una EDO lineal de segundo órden se dice que está en forma autoadjunta si se puede escribir dela forma:

(B.3) −(py′)′ + qy = f

donde p ∈ C1(I), p(x) > 0 ∀x ∈ I y q, f ∈ C0(I).La EDO (B.1) se transforma en (B.3) poniendo

p(x) = exp(∫ x

a

a1(ξ)a0(ξ)

dξ

), q(x) = −a2(x)p(x)

a0(x), f(x) = −af (x)p(x)

a0(x).

Al operador

(B.4) L(y) = −(py′)′ + qy,

se le llama operador autoadjunto de Sturm-Liouville de segundo órden.Asociado a la EDO (B.3) se consideran las condiciones de contorno homogéneas separadas:

(B.5)

Ba(y) = α1y(a) + β1y

′(a) = 0,

Bb(y) = α2y(b) + β2y′(b) = 0,

donde αi, βi, i = 1, 2 son números reales dados con α2i + β2

i 6= 0. Denotaremos por A al conjunto:

A(I) = (x, ξ) ∈ I × I / x 6= ξDefinición B.2.1 Se llama función de Green para el operador de Sturm-Liouville en I con condicionesde contorno (B.5), a una función G : (x, ξ) ∈ A(I) −→ R tal que, para cada ξ ∈ I fijada, verifica:

i) G ∈ C2(A(I)) ∩ C0(I × I))

ii) L(G) = 0 cuando x 6= ξ

iii) Ba(G) = Bb(G) = 0

iv)dG

dx

∣∣∣∣x=ξ+

− dG

dx

∣∣∣∣x=ξ−

= − 1p(ξ)

.


Se tiene el siguiente (ver [11])

Teorema B.2.2 Si el problema de Sturm-Liouville homogéneo L(y) = 0, Ba(G) = Bb(G) = 0 sólotiene la solución trivial entonces la función de Green existe y es única. Además la solución del problema(B.3),(B.5) viene dada por:

y(ξ) =∫

IG(x, ξ)f(x) dx ∀ξ ∈ I.

Observación B.2.3 La función de Green se puede construir de la siguiente forma: Sea y1 una soluciónde L(y) = 0, Ba(y) = 0 e y2 una solución de L(y) = 0, Bb(y) = 0 entonces la función de Green vienedada por:

(FG) G(x, ξ) =

−y1(x)y2(ξ)p(ξ)W (ξ)

si x ≤ ξ,

−y1(ξ)y2(x)p(ξ)W (ξ)

si x ≥ ξ.

Corolario B.2.4 La única solución del problema no homogéneo

L(y) = f, Ba(y) = α, Bb(y) = β

viene dada por

y(ξ) =∫

IG(x, ξ)f(x) dx +

β

Bb(y1)y1(x) +

β

Ba(y2)y2(x) ∀ξ ∈ I.

Finalmente se tiene:

Teorema B.2.5 Sea y0 una solución no trivial del problema homogéneo L(y) = 0, Ba(G) = Bb(G) =0 entonces el problema no homogéneo L(y) = f, Ba(y) = 0, Bb(y) = 0 tiene solución si y sólo si

∫

If(x)y0(x) dx = 0.

B.3. Autovalores y autofunciones del problema de Sturm-Liouville

Se considera el espacioV = ϕ ∈ C2(I) / Ba(ϕ) = Bb(ϕ) = 0.

Definición B.3.1 Se dice que λ es un autovalor del operador Sturm-Liouville L, respecto al peso ρ,

si existe una función no trivial ϕ ∈ V tal que

(B.6) L(ϕ) = λρϕ,

donde ρ ∈ C0(I) y ρ(x) > 0 ∀x ∈ I. A la función no nula ϕ se le llama autofunción asociada alautovalor λ.

Respecto a los autovalores y a las autofunciones del operador Sturm-Liouville se tiene el siguiente

Teorema B.3.2 (a) Todos los autovalores son reales.(b) Sean λ1, λ2 dos autovalores distintos y ϕ1, ϕ2 autofunciones asociadas respectivamente a λ1, λ2.

Entonces ϕ1, ϕ2 son ortogonales respecto al peso ρ, i.e.∫

Iρ(x)ϕ1(x)ϕ2(x) dx = 0.


(c) Las autofunciones son esencialmente reales (en el sentido que si hay una autofunción complejaentonces su parte real y su parte imaginaria son también autofunciones.)

(d) Todos los autovalores son simples, i.e. existe una única, salvo constante multiplicativa, auto-función asociada a cada autovalor.

Se tiene el siguiente

Teorema B.3.3 Si λ = 0 no es autovalor entonces las autofunciones de

(PSL)

L(ϕ) = λϕ,

Ba(ϕ) = Bb(ϕ) = 0,

forman un sistema ortogonal completo del espacio C0(I), respecto al producto escalar:

(B.7) (ϕ1, ϕ2) =∫

Iϕ1(x)ϕ2(x) dx.

Observación B.3.4 (a) El teorema anterior sigue siendo válido si λ = 0 es un autovalor de (PSL).En este caso se elige una constante c tal que

L1(y) = L(y)− c y = 0, Ba(ϕ) = Bb(ϕ) = 0,

tenga soluciones distintas de la trivial. El correspondiente problema de autovalores

(B.8)

L1(ϕ) = µϕ,

Ba(ϕ) = Bb(ϕ) = 0,

tiene las mismas propiedades de los autovalores y las autofunciones que el problema (PSL). Además, µ

es autovalor de (B.8) si y sólo si λ = µ+c es autovalor de (PSL) y las correspondientes autofuncionesson las mismas.

(b) Los anteriores resultados son también aplicables al caso

(B.9)

L(ϕ) = λρϕ,

Ba(ϕ) = Bb(ϕ) = 0,

con el producto escalar

(B.10) (ϕ1, ϕ2)ρ =∫

Iρ(x)ϕ1(x)ϕ2(x) dx.

Consideremos ahora el problema de Sturm-Liouville con condiciones de Dirichlet:

(PSLD)

L(ϕ) = λρϕ,

ϕ(a) = ϕ(b) = 0,

y con la hipótesis adicional: q(x) ≥ 0, ∀x ∈ I.

El problema (PSLD) tiene todas las propiedades desarrolladas anteriormente y además:


Teorema B.3.5 (a) Todos los autovalores son positivos.(b) Los autovalores se pueden ordenar tal que

0 < λ1 < λ2 < · · · < λk < λk+1 < · · · ,

con λk −→ +∞ cuando k −→ +∞.

(c) Las autofunciones asociadas ϕkk≥1 forman un sistema ortogonal completo respecto al productoescalar dado por (B.10). En particular si ϕ ∈ C2(I) y ϕ(a) = ϕ(b) = 0 entonces

ϕ(x) =∑

k≥1

Ckϕk(x),

uniformemente en I, con

Ck =∫

Iρ(x)ϕ(x)ϕk(x) dx.

B.4. Otras propiedades

Se tiene la siguiente caracterización de los autovalores y las autofunciones:

Teorema B.4.1 El enésimo autovalor del problema de Sturm-Liouville (PSLD) es el valor mínimodel funcional (llamado cociente de Rayleich):

R(y) =

∫I [p(y′)2 + qy2] dx∫

I ρy2 dx

entre todas las funciones continuas y regulares a trozos y verificando y(a) = y(b) = 0 y (y, ϕi)ρ =0, i = 1, 2, · · · , n − 1, donde ϕi, i = 1, 2, · · · , n − 1 son las n − 1 primeras autofunciones. La enésimaautofunción es la correspondiente función que minimiza el funcional.

Teorema B.4.2 (Teorema de monotonía) Sea λn(p, q, ρ, I) el enésimo autovalor del problema deSturm-Liouville (PSLD). Entonces

λn(p, q, ρ, I) ≤ λn(p, q, ρ, I)

si se tiene alguna de las condiciones:

(a) p ≤ p, (b) q ≤ q, (c) ρ ≥ ρ, o (d) I ⊇ I .

Finalmente se tiene

Teorema B.4.3 (Teorema de separación) Sea y(c) solución no trivial de

L(y) + c(x)y = 0

donde c ∈ C0(I). Sea c(x) > c(x) ∀x ∈ I y a, b dos ceros consecutivos de y(c), entonces existe al menosun cero de y(c) en (a, b).

Corolario B.4.4 Sean λ1, λ2 dos autovalores del problema (PSLD) y ϕ1, ϕ2 las autofunciones asoci-adas. Si λ1 < λ2 entonces entre dos ceros consecutivos de ϕ1 hay al menos un cero de ϕ2.


B.5. Ejercicios

1. Hallar los autovalores y las autofunciones del problema

y′′ + λy = 0 en (0, 1)

y(0) + y′(0) = 0,

y(1) = 0.


y′′ + λy = 0 en (0, π)

y(0) = y′(0),

y(π) = y′(π).


y′′ + 2y + (1− λ)y = 0 en (0, 1)

y(0) = y′(1) = 0.


(xy′)′ + λx−1y = 0 en (1, e)

y(1) = y′(e) = 0.

5. Se considera el problema:

y′′ + λy = 0 en (0, 1)

αy(0) + y′(0) = 0,

y(1) = 0.

donde α es una constante dada.

a) Hallar los autovalores positivos para cad valor de α.

b) Probar que si λ = 0 es un autovalor si y sólo si α = 1.

c) Si α < 1, probar que todos los autovalores son positivos.

d) Si α > 1, probar que existe uhn único autovalor negativo.

Apéndice C

Problema de Cauchy para la ecuación deondas

C.1. Fórmula de Green-Ostrogradski

Vamos a recordar la fórmula de Green-Ostrogradski que se utiliza frecuentemente:

Teorema C.1.1 Sea Γ un curva cerrada simple regular a trozos que encierra una región acotada Ω.

Sean P, Q ∈ C1(Ω) ∩ C0(Ω) dos funciones dadas. Se tiene la fórmula de Green-Ostrogradski:

(C.1)∫

ΓP (x, t) dx + Q(x, t) dt =

∫ ∫

Ω(Qx(x, t)− Pt(x, t)) dx dt,

donde la integral de línea a lo largo de Γ se toma en el sentido contrario a las agujas del reloj.

C.2. Existencia del problema de Cauchy para la ecuación de ondas

Consideramos el problema de Cauchy (o de valores iniciales) para la ecuación de ondas unidimen-sional no homogénea:

(PCO)

utt − c2uxx = h, en R× R+,

u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x), x ∈ R,

donde c > 0, f : R→ R, g : R→ R y h : R× R+ → R son datos del problema.Si u ∈ C2(R × [0,+∞)) es solución del problema (PCO) entonces se tiene que f ∈ C2(R), g ∈

C1(R), h ∈ C0(R× R+). Recíprocamente se tiene el siguiente

Teorema C.2.1 Sea f ∈ C2(R), g ∈ C1(R), h ∈ C0(R × R+) entonces la solución del problema(PCO) viene dada por:

(C.2) u(x, t) =12(f(x+ct)+f(x−ct))+

12c

∫ x+ct

x−ctg(s) ds+

12c

∫ t

0

∫ x+cτ

x−cτh(ξ, τ) dx dt∀(x, t) ∈ R×R+.

Demostración Sea u ∈ C2(R × [0, +∞)) solución del problema (PCO). Sea (ξ, τ) ∈ R × R+ yformemos el cono de dependencia de vértice (ξ, τ). Denotemos por

Γ− = (x, t) / x− ct = ξ − cτ, ξ − cτ ≤ x ≤ ξ

93


Γ0 = (x, t) / t = 0, ξ − cτ ≤ x ≤ ξ + cτΓ+ = (x, t) / x + ct = ξ + cτ, ξ ≤ x ≤ ξ + cτ

y pongamos Γ = Γ− ∪ Γ0 ∪ Γ+. Entonces Γ es una curva cerrada simple regular a trozos que encierrael cono acotado, (que es un triángulo)

Ω = (x, t) / 0 ≤ τ ≤ t, ξ − cτ ≤ x ≤ ξ + cτ.

Como u ∈ C2(R × R+) entonces Q = c2ux ∈ C1(R × R+) y P = ut ∈ C1(R × R+) y por tantoP,Q ∈ C1(Ω) ∩ C0(Ω). Se está en las condiciones del teorema de Green y por tanto integrando en laEDP podemos utilizarlo y se tiene:

∫ ∫

Ωh(x, t) dx dt =

∫ ∫

Ω(utt − c2uxx) dx dt = −

∫

Γut dx + c2ux dt

Ahora bien, en cada uno de los lados del triángulo se tiene:

En Γ− se tiene: dx− c dt = 0 =⇒ dx = c dt,

En Γ0 se tiene: dt = 0 =⇒ dx = c dt,

En Γ+ se tiene: dx + c dt = 0 =⇒ dx = −c dt,

por tanto∫

Γut dx + c2ux dt =

∫

Γ−ut (c dt) + c2ux (

dx

c) +

∫

Γ0

ut dx + c2ux · 0 +∫

Γ+

ut (−c dt) + c2ux (−dx

c) =

= c

∫

Γ−ut dt + ux dx− c

∫

Γ+

ut dt + ux dx +∫

Γ0

ut dx = c

∫

Γ−du− c

∫

Γ+

du +∫

Γ0

ut dx =

= c[u(ξ − cτ, 0)− u(ξ, τ)]− c[u(ξ, τ)− u(ξ + cτ, 0)] +∫

Γ0

ut dx =

= −2cu(ξ, τ) + cu(ξ + cτ, 0) + cu(ξ − cτ, 0) +∫

Γ0

ut dx.

Así pues ∫ ∫

Ωh(x, t) dx dt = 2cu(ξ, τ)− cu(ξ + cτ, 0)− cu(ξ − cτ, 0)−

∫

Γ0

ut dx,

cambiando de variables obtenemos:

u(x, t) =12(u(x + ct, 0) + u(x− ct, 0)) +

12c

∫ x+ct

x−ctux(ξ, 0) dξ +

12c

∫ ∫

Ωh(ξ, τ) dx dt,

y usando las condiciones iniciales obtenemos la fórmula (C.2).Recíprocamente si f ∈ C2(R), g ∈ C1(R), h ∈ C0(R×R+) entonces fácilmente se prueba que (C.2)

es solución del problema. ¥

Apéndice D

Integral de Superficie.

D.1. Coordenadas esféricas en RN

La transformación de coordenadas cartesianas a coordenadas esféricas en RN viene dada por:

x :∈ RN \ 0 −→ (r, θ1, θ2, · · · , θN−1) ∈ (0,+∞)× (0, π)× (0, π) · · · × (0, 2π)

donde:

(D.1)

x1 = r cos θ1,

x2 = r sen θ1 cos θ2,

· · ·xN−1 = r sen θ1 sen θ2 · · · sen θN−2 cos θN−1,

xN = r sen θ1 sen θ2 · · · sen θN−2 sen θN−1.

El elemento diferencial de volumen viene dado por:

dx = rN−1(sen θ1)N−2(sen θ2)N−3 · · · (sen θN−2) dr dθ1 dθ2 · · · dθN−1.

El elemento diferencial de superficie de la bola de radio R viene dado por:

dσ = RN−1(sen θ1)N−2(sen θ2)N−3 · · · (sen θN−2) dθ1 dθ2 · · · dθN−1.

Abreviadamente se pone:x = rω con ω = (ω1, ω2, · · · , ωN )

definido obviamente por

(D.2)

ω1 = cos θ1,

ω2 = sen θ1 cos θ2,

· · ·ωN−1 = sen θ1 sen θ2 · · · sen θN−2 cos θN−1,

ωN = sen θ1 sen θ2 · · · sen θN−2 sen θN−1.

y se tiene |ω| = 1 luego cada punto definido por ω dado por (2) es un punto de la esfera unidad, i. e.

∂B1 = ω / con ω dado por (2) y (θ1, θ2, · · · , θN−1) ∈ (0, π)× (0, π) · · · × (0, 2π).

Con esta notación se tienedx = rN−1dr dω

95


y entonces dω es la medida superficial de la bola unidad, y por tanto la medida superficial de la bolade radio R es dσ = RN−1 dω.

Para una función f ∈ L1(IR) se tiene:∫

RN

f(x) dx =∫ +∞

0

∫

∂B1

f(rω)rN−1 dr dω.

D.2. Dominios regulares

Consideremos fijado Ω, un abierto conexo acotado no vacío de RN (N entero mayor o igual que2). Sobre RN consideramos fijado un sistema de coordenadas cartesianas respecto del cual cada puntode RN se escribe en la forma x = (x1, ..., xN ). A dicho sistema de coordenadas lo denominaremos elsistema de referencia.

Definición D.2.1 Sea k entero no negativo. Diremos que Ω es de clase Ck (o, de manera equivalente,que ∂Ω ∈ Ck) si (y sólo si) existen:

1. Un número natural m de sistemas de coordenadas cartesianas en RN tales que, si para cadar = 1, ..., m denotamos por

xr = (xr1 , ..., xrN−1 , xrN ) = (x′r, xrN ),

con x′r ∈ RN−1, a cualquier punto de RN escrito en el sistema de coordenadas r-ésimo, entoncesla transformación de coordenadas Ar del sistema de referencia al sistema de coordenadas r-ésimoviene dada por

xr = Ar(x) = Mrx + br,

con br vector de N componentes reales fijo y Mr matriz N ×N de coeficientes reales con deter-minante igual a +1 y ortogonal (es decir, tal que M ′

r = (Mr)−1).

2. Un número real α > 0 tal que si denotamos, para cada r = 1, ..., m,

∆r = x′r ∈ RN−1; |xrj | < α, j = 1, ..., N − 1,existen m funciones

ar ∈ Ck(∆r), r = 1, ..., m,

y un número real β > 0 tales que los conjuntos

Λr = A−1r

((x′r, xrN ); x′r ∈ ∆r, xrN = ar(x′r))

son subconjuntos de ∂Ω satisfaciendo

∂Ω =m⋃

r=1

Λr,

y los conjuntos

U+r = A−1

r

((x′r, xrN ); x′r ∈ ∆r, ar(x′r) < xrN < ar(x′r) + β)

yU−

r = A−1r

((x′r, xrN ); x′r ∈ ∆r, ar(x′r)− β < xrN < ar(x′r)),

satisfacenU+

r ⊂ Ω y U−r ⊂ RN \ Ω ∀ r = 1, ..., m.


Observación D.2.2

1. La definición precedente aparece en [9],[12],..., y describe dominios Ω acotados de RN cuya fron-tera es una variedad Ck-diferenciable, N − 1 dimensional, con Ω “localmente de un sólo lado desu frontera”.

2. Evidentemente, si Ω es de clase Ck y 0 ≤ j < k es un entero, entonces Ω es también de claseCj. Si Ω es de clase Ck para todo entero k no negativo se dice que Ω es de clase C∞.

3. Un ejemplo de dominio acotado de clase C∞ lo proporciona cualquier bola abierta respecto de lanorma euclídea de RN .

D.3. Integral de superficie

Definición D.3.1 Si Ω es de clase C1 y x ∈ ∂Ω es tal que, con la notación de la definición D.2.1,x ∈ Λr con

x = A−1r (x′r, ar(x′r)), x′r ∈ ∆r,

se define ~n(x), el vector unitario normal exterior a Ω en x, por

(D.3) ~n(x) = A−1r

(∂ar(x′r)

∂xr1

, ...,∂ar(x′r)∂xrN−1

,−1)

√√√√1 +N−1∑

j=1

(∂ar(x′r)

∂xrj

)2

Observación D.3.2 Se puede demostrar (ver [7]) que la definición de ~n(x) es independiente del sis-tema de elementos tomados en la definición A1 para describir la frontera de Ω, y se corresponde conla noción geométrica de normal unitaria dirigida hacia el exterior de Ω. Es fácil comprobar que laaplicación ~n : x → ~n(x) es tal que ~n ∈ C0(∂Ω)N .

Sea Ω de clase C1, y para cada r = 1, ..., m, denotemos por ψr la función de C0(∆r) definida por

(D.4) ψr(x′r) =

√√√√1 +N−1∑

j=1

(∂ar(x′r)

∂xrj

)2

∀ x′r ∈ ∆r

Si f ∈ C0(∂Ω), por congruencia con los conceptos elementales, es natural definir

(D.5)∫

Λr

f(x) dσ(x) =∫

∆r

f(A−1

r (x′r, ar(x′r)))ψr(x′r) dx′r

El problema al intentar extender esta definición a una integral sobre toda la frontera de Ω radica enque, en general, los Λr no son disjuntos dos a dos.

Para solventar esta dificultad, se procede de la manera siguiente. Con la notación de la definiciónA1, denotemos

(D.6) Ur = U+r ∪ Λr ∪ U−

r r = 1, ..., m.


Los Ur así definidos son abiertos acotados de RN y constituyen un recubrimiento de ∂Ω. En conse-cuencia, podemos considerar una partición de la unidad de ∂Ω subordinada a dicho recubrimiento, esdecir, consideramos fijadas m funciones ϕr(x) tales que

(D.7)

ϕr ∈ C∞(RN ), x ∈ RN ; ϕr(x) 6= 0 ⊂ Ur y,

0 ≤ ϕr(x) ≤ 1 ∀x ∈ RN ∀ r = 1, ..., m,

conm∑

r=1

ϕr(x) = 1 ∀x ∈ ∂Ω.

La existencia de m funciones satisfaciendo (D.7) será demostrada en un próximo tema.Con la notación precedente, se introduce el concepto de integral sobre ∂Ω.

Definición D.3.3 Sean Ω de clase C1 y f ∈ C0(∂Ω). Se define la integral de f sobre ∂Ω por

(D.8)∫

∂Ωf(x) dσ(x) =

m∑

r=1

∫

∆r

f(A−1

r (x′r, ar(x′r)))ϕr

(A−1

r (x′r, ar(x′r)))ψr(x′r) dx′r

Se puede demostrar ([7]) que la definición precedente es independiente de la partición de la unidadsatisfaciendo (D.7), así como de la representación de ∂Ω satisfaciendo las condiciones de la DefiniciónD.2.1, que se hayan tomado.

Las definiciones D.3.1 y D.3.3 pueden ser extendidas (con las modificaciones adecuadas) al caso dedominios acotados de frontera lipschitciana, clase a la que por ejemplo pertenecen, aparte de todos losdominios de clase C1, los abiertos delimitados por figuras poliédricas.

Definición D.3.4 Diremos que Ω es de clase C0,1 o, de manera equivalente, que es de frontera lips-chitciana (lo denotaremos también ∂Ω ∈ C0,1) si Ω es de clase C0 y las funciones ar de la definicónA1 son globalmente lipschitcianas en ∆r para cada r = 1, ..., m, es decir, si para cada r existe Lr > 0tal que

(D.9) |ar(x′r)− ar(y′r)| ≤ Lr|x′r − y′r| ∀x′r, y′r ∈ ∆r.

Que las definiciones D.3.1 y D.3.3 pueden ser extendidas al caso de dominios de clase C0,1, es conse-cuencia del siguiente resultado cuya demostración se puede consultar en [7]:

Teorema D.3.5 (de Rademacher) Si ar satisface (D.9), entonces existen las parciales primeras de ar

respecto de todas las variables xrj , j = 1, ..., N − 1, en todos los puntos de ∆r salvo, a lo más, en unconjunto de puntos de medida nula (para la medida de Lebesgue en RN−1). Además, ∇ar ∈ L∞(∆r)

N .

Como consecuencia del Teorema D.3.5, si ∂Ω ∈ C0,1, podemos considerar las funciones ψr definidaspor (D.4) casi por doquier en ∆r, obteniéndose ahora que ψr ∈ L∞(∆r), con lo que la DefiniciónD.3.3 sigue teniendo sentido en este caso, y en consecuencia a partir de ahora definimos la integral def ∈ C0(∂Ω) sobre ∂Ω ∈ C0,1 también por la fórmula (D.8).

Respecto de la normal unitaria exterior en x ∈ ∂Ω, si ∂Ω ∈ C0,1 y x = A−1r (x′r, ar(x′r)) con x′r ∈ ∆r

un punto en que existan todas las derivadas parciales primeras de ar, se define ~n(x) nuevamente porla fórmula (1). Con esta definición, es inmediato comprobar que, dada g ∈ C0(∂Ω), la fórmula (D.8)continúa teniendo sentido con f(x) = g(x)ni(x), siendo ni la componente i-ésima de ~n(x), y define enconsecuencia lo que llamaremos la integral de gni sobre ∂Ω.

La noción de integral de superficie que hemos introducido con anterioridad corresponde, en realidad,a la integración con respecto de una medida positiva finita σ definida sobre una sigma-álgebra Σ de


partes de ∂Ω. En efecto, supongamos que Γ ⊂ ∂Ω con Ω de clase C0,1. Si queremos definir la medidasuperficial de Γ siendo congruentes con la igualdad (D.8), tendremos

σ(Γ) =∫

∂ΩχΓ(x) dσ(x) =

m∑

r=1

∫

∆r

χΓ

(A−1


(A−1

r (x′r, ar(x′r)))ψr(x′r) dx′r.

Ahora bien, es inmediato que en cada una de las integrales que aparecen en el último sumatorio,

χΓ

(A−1

r (x′r, ar(x′r)))

= 1 si y sólo si x′r ∈ ∆r y (x′r, ar(x′r)) ∈ Ar(Γ).

En consecuencia, fijada Γ ⊂ ∂Ω, para cada r = 1, ..., m se denota

γr = x′r ∈ ∆r; (x′r, ar(x′r)) ∈ Ar(Γ),

y por definición se dice que Γ es σ-medible si todos los γr son medibles respecto de la medida deLebesgue en RN−1. Se denota por Σ a la familia de partes de ∂Ω que sean σ-medibles, y para cadaΓ ∈ Σ se define

σ(Γ) =m∑

r=1

∫

γr

ϕr

(A−1

r (x′r, ar(x′r)))ψr(x′r) dx′r.

Es fácil comprobar que Σ es una sigma-álgebra de partes de ∂Ω, y que σ es una medida positivafinita sobre Σ. Además (ver [6]) se demuestra que f : ∂Ω → R es integrable respecto de la medida σ

si y sólo si f(A−1


(A−1

r (x′r, ar(x′r)))es integrable sobre ∆r (respecto de la medida de

Lebesgue en RN−1) para todo r = 1, ..., m, y en tal caso la integral de f con respecto a la medida σ

coincide con la que proporciona la igualdad (D.8).Notemos para finalizar, que como consecuencia de lo que precede, los espacios Lp(∂Ω, Σ, σ), que

denotaremos de manera más breve Lp(∂Ω), están bien definidos para cada p ∈ [1,+∞], son todosespacios de Banach con la norma habitual, y en particular L2(∂Ω) es un espacio de Hilbert.

Apéndice E

Complementos sobre Regularización defunciones

E.1. Particiones de la unidad

Recogemos en este apéndice algunos resultados que han sido enunciados sin demostración en elCapítulo 3, así como algunas consideraciones sobre la convolución de funciones.

En todo el apéndice sea Ω un abierto no vacío de RN , con N entero mayor o igual que 1.En primer lugar, demostramos el siguiente resultado:

Proposición E.1.1 Dado K ⊂ Ω, con K compacto, existe ϕ ∈ D(Ω) tal que 0 ≤ ϕ(x) ≤ 1 en Ω yϕ ≡ 1 en un entorno de K.

Demostración.- Para cada número positivo α denotemos por Kα al conjunto

Kα = x ∈ RN ; d(x,K) < α,que constituye un entorno abierto de K. De la compacidad de K y el carácter abierto de Ω, podemosafirmar que existe un r > 0 tal que K4r ⊂ Ω. Fijado tal r pongamos por definición ϕ(x) = ψ(|x|2−r2),donde ψ(t) = e1/t1t<0.

Es obvio que existe un recubrimiento finito de K3r mediante bolas abiertas de centros en puntosde K3r y radio r, recubrimiento que denotamos B(yj1 , r); j1 ∈ J1 con J1 finito. A partir de dichorecubrimiento definimos

ϕ1(x) =∑

j1∈J1

ϕ(x− yj1),

con lo que, por construcción, ϕ1 ∈ C∞(RN ), sopϕ1 ⊂ K4r ⊂ Ω y ϕ1(x) > 0 ∀x ∈ K3r.Por otra parte, el cerrado RN \K2r admite un recubrimiento numerable localmente finito mediante

bolas de centro en puntos de RN \K2r y radio r. Denotemos a dicho recubrimiento por B(yj2 , r); j2 ∈J2, con J2 numerable. Por el carácter localmente finito del citado recubrimiento, podemos definir sinambiguedad

ϕ2(x) =∑

j2∈J2

ϕ(x− yj2),

que satisface ϕ2 ∈ C∞(RN ), ϕ2 > 0 en RN \K2r y ϕ2(x) = 0 ∀x ∈ Kr.Como ϕ1 + ϕ2 > 0 en RN , la función ϕ dada por

ϕ(x) =ϕ1(x)

ϕ1(x) + ϕ2(x)

100


está bien definida, pertenece a C∞(RN ), tiene su soporte contenido en el compacto K4r contenido enΩ y es idénticamente 1 en Kr. ¥

De manera más general, siguiendo una línea similar a la demostración precedente, se obtiene elsiguiente resultado (para los detalles, ver [2]):

Proposición E.1.2 (Partición de la unidad) Sean K un compacto de RN , y Ω1, Ω2,...,Ωk abiertos

de RN tales que K ⊂k⋃

i=1

Ωi. Entonces, existe una partición de la unidad subordinada al recubrimiento

precedente de K, es decir, existen k funciones ϕ1, ϕ2,...,ϕk tales que:

ϕi ∈ D(Ωi), 0 ≤ ϕi ≤ 1, para todo 1 ≤ i ≤ k, y

k∑

i=1

ϕi ≡ 1 en un entorno de K.

Es importante el siguiente resultado, que ya ha sido enunciado en la Proposición 3.3.11:

Proposición E.1.3 Si u ∈ L1loc(Ω) es tal que

∫

Ωu(x)ϕ(x) dx = 0 para toda ϕ ∈ D(Ω), entonces u = 0

c.p.d. en Ω

Demostración.- Se efectúa en dos etapas:a) Supongamos que además Ω es acotado y que u ∈ L1(Ω).Fijemos ε > 0. Por el Teorema 3.3.4, sabemos que existe ϕε ∈ D(Ω) tal que ‖u − ϕε‖L1(Ω) ≤ ε.

Tomando esta última función, y teniendo en cuenta que∫

Ωu(x)ϕ(x) dx = 0 para toda ϕ ∈ D(Ω),

obtenemos ∣∣∣∣∫

Ωϕε(x)ϕ(x) dx

∣∣∣∣ =∣∣∣∣∫

Ω(ϕε(x)− u(x))ϕ(x) dx

∣∣∣∣ ≤ ε‖ϕ‖L∞(Ω).

DenotemosK1 = x ∈ Ω; ϕε(x) ≥ ε y K2 = x ∈ Ω; ϕε(x) ≤ −ε.

Es inmediato comprobar que K1 y K2 son dos compactos disjuntos contenidos en Ω. Con esto, apartir de la Proposición A.1, es fácil obtener la existencia de una función ψε ∈ D(Ω) tal que −1 ≤ψε ≤ 1, ψε|K1

≡ 1 y ψε|K2≡ −1.

Denotando K = K1 ∪K2, se tiene:∫

K|ϕε(x)| dx =

∫

Kϕε(x)ψε(x) dx =

∫

Ωϕε(x)ψε(x) dx−

∫

Ω\Kϕε(x)ψε(x) dx ≤ ε +

∫

Ω\K|ϕε(x)| dx,

con lo que ∫

Ω|ϕε(x)| dx ≤ ε + 2ε|Ω|,

y en consecuencia ‖u‖L1(RN ) ≤ 2ε(1 + |Ω|). Como ε > 0 es arbitrario, obtenemos que ‖u‖L1(RN ) = 0,es decir, u = 0 c.p.d. en Ω.

b) En el caso general se consideran para cada entero n ≥ 1 los conjuntos

Ωn = x ∈ Ω; d(x, RN \ Ω) >1n

, |x| < n.

Es fácil comprobar que los conjuntos Ωn así definidos son abiertos tales que Ωn es un compactocontenido en Ω y se satisface

Ωn ⊂ Ωn+1 y⋃

n≥1

Ωn = Ω.

Resulta ahora fácil concluir a partir de a) que u = 0 c.p.d. en cada uno de los Ωn, con lo que u = 0c.p.d. en Ω. ¥


E.2. Convolución de funciones

Seguidamente, introducimos y estudiamos la convolución de dos funciones en el caso particular enque una de ellas pertenece a C0

c (RN ) y la otra a L1loc(RN ).

Sean ϕ ∈ C0c (RN ) y u ∈ L1

loc(RN ). Es inmediato comprobar que para cada x ∈ RN fijado la funcióny ∈ RN 7→ ϕ(x− y)u(y) pertenece a L1(RN ), con lo cual tiene sentido la definición siguiente:

Definición E.2.1 Dadas ϕ ∈ C0c (RN ) y u ∈ L1

loc(RN ), se define la convolución de ϕ con u, y sedenota ϕ ∗ u, a la función dada por:

(E.1) (ϕ ∗ u)(x) =∫

RN

ϕ(x− y)u(y) dy ∀x ∈ RN

Lo primero que es inmediato comprobar es que para todo x ∈ RN se tiene:

(ϕ ∗ u)(x) =∫

RN

ϕ(y)u(x− y) dy.

Por otra parte ϕ ∗ u es “regular”, en concreto:

Proposición E.2.2 Si ϕ ∈ C0c (RN ) y u ∈ L1

loc(RN ), entonces:

1. ϕ ∗ u ∈ C0(RN ).

2. Si K ⊂ RN es tal que u = 0 c.p.d. en RN \K, entonces

sop (ϕ ∗ u) ⊂ sopϕ + K.

3. Si ϕ ∈ Ckc (RN ), con k entero mayor que cero, entonces ϕ ∗ u ∈ Ck(RN ), y para todo multiíndice

α con |α| ≤ k se tiene:∂α(ϕ ∗ u)(x) = (∂αϕ ∗ u)(x) ∀x ∈ RN

Demostración.-1. Sea xn → x en RN y denotemos fn(y) = ϕ(xn − y)u(y) y f(y) = ϕ(x − y)u(y). Es evidente

que c.p.d. y ∈ RN se tiene que límn→∞ fn(y) = f(y). Por otra parte, como xn es convergente, existe un

compacto K ⊂ RN tal que xn − sopϕ ⊂ K para todo n. Así fn(y) = 0 para todo n y todo y 6∈ K, conlo que

|fn(y)| ≤ ‖ϕ‖L∞(RN )1K(y)u(y) ∈ L1(RN ),

y por convergencia dominada se obtiene que fn → f en L1(RN ), esto es:

límn→∞(ϕ ∗ u)(xn) = (ϕ ∗ u)(x).

2. Sea x ∈ RN \ (sopϕ + K). En tal caso:Si y ∈ K, entonces x− y 6∈ sopϕ, y en consecuencia ϕ(x− y)u(y) = 0.Por otra parte, c.p.d. y ∈ RN \K se tiene u(y) = 0. En consecuencia, c.p.d. en RN , ϕ(x−y)u(y) = 0,

con lo que (ϕ ∗ u)(x) = 0.3. Basta demostrar que si ϕ ∈ C1

c (RN ), entonces para todo x ∈ RN existe la derivada ∂1(ϕ ∗ u)(x)y vale ∂1(ϕ ∗ u)(x) = (∂1ϕ ∗ u)(x).


Sea pues ϕ ∈ C1c (RN ) y fijemos x ∈ RN . Denotemos e1 = (1, 0, ..., 0) ∈ RN y sea 0 < |ε| < 1. Como

∂1ϕ es uniformemente continua en RN , para cada y ∈ RN se tiene:

|ϕ(x + εe1 − y)− ϕ(x− y)− ε∂1ϕ(x− y)| =∣∣∣∣ε

∫ 1

0(∂1ϕ(x + sεe1 − y)− ∂1ϕ(x− y)) ds

∣∣∣∣ ≤ |ε|O(|ε|).

Si Kx es un compacto de RN tal que x + B(0, 1) − sopϕ ⊂ Kx, entonces para cada 0 < |ε| < 1 ycada y ∈ RN \Kx se tiene

ϕ(x + εe1 − y) = ϕ(x− y) = ∂1ϕ(x− y) = 0,

y en consecuencia, para todo 0 < |ε| < 1 y todo y ∈ RN

|ϕ(x + εe1 − y)− ϕ(x− y)− ε∂1ϕ(x− y)| ≤ |ε|O(|ε|)1Kx(y),

con lo que multiplicando por u(y) e integrando en y, se obtiene:

|(ϕ ∗ u)(x + εe1)− (ϕ ∗ u)(x)− ε(∂1ϕ ∗ u)(x)| ≤ |ε|O(|ε|)∫

RN

1Kx(y)|u(y)| dy.

¥Otro resultado de interés lo constituye el siguiente:

Proposición E.2.3 Si ϕ ∈ C0c (RN ) y u ∈ Lp(RN ) con p ∈ [1, +∞], entonces ϕ ∗ u ∈ Lp(RN ) y

satisface:‖ϕ ∗ u‖Lp(RN ) ≤ ‖ϕ‖L1(RN )‖u‖Lp(RN ).

Demostración.-a) Si p = +∞, entonces para cada x ∈ RN se tiene:

|(ϕ ∗ u)(x)| =∣∣∣∣∫

RN

ϕ(x− y)u(y) dy

∣∣∣∣ ≤ ‖u‖L∞(RN )

∫

RN

|ϕ(x− y)| dy = ‖u‖L∞(RN )

∫

RN

|ϕ(y)| dy.

b) Si p = 1, denotando f(x, y) = ϕ(x− y)u(y), se tiene:∫

RN

|f(x, y)| dx = |u(y)|∫

RN

|ϕ(x− y)| dx = ‖ϕ‖L1(RN )|u(y)|,

con lo que ∫

RN

(∫

RN

|f(x, y)| dx

)dy = ‖ϕ‖L1(RN )‖u‖L1(RN ) < +∞,

así que, por Fubini-Tonelli, f ∈ L1(RN × RN ) y∫

RN

(∫

RN

|f(x, y)| dy

)dx =

∫

RN

(∫

RN

|f(x, y)| dx

)dy = ‖ϕ‖L1(RN )‖u‖L1(RN ),

lo que, en particular, implica que ϕ∗u ∈ L1(RN ) con norma en L1(RN ) menor o igual que ‖ϕ‖L1(RN )‖u‖L1(RN ).c) Si p ∈ (1, +∞), para todo x fijado en RN la función y 7→ |ϕ(x− y)||u(y)|p pertenece a L1(RN )

y, denotando por p′ el exponente conjugado de p, se tiene

|(ϕ ∗ u)(x)| ≤∫

RN

|ϕ(x− y)||u(y)| dy =∫

RN

|ϕ(x− y)| 1p |u(y)||ϕ(x− y)| 1p′ dy ≤

≤(∫

RN

|ϕ(x− y)||u(y)|p dy

) 1p

(∫

RN

|ϕ(x− y)| dy

) 1p′

,


esto es,

|(ϕ ∗ u)(x)| ≤ ((|ϕ| ∗ |u|p)(x))1p ‖ϕ‖

1p′L1(RN )

.

Elevando a p esta última desigualdad e integrando en x se obtiene∫

RN

|(ϕ ∗ u)(x)|p dx ≤ ‖ϕ‖pp′L1(RN )

‖|ϕ| ∗ |u|p‖L1(RN ) ≤

(por el caso b))

≤ ‖ϕ‖pp′L1(RN )

‖ϕ‖L1(RN )‖|u|p‖L1(RN ) = ‖ϕ‖pL1(RN )

‖u‖pLp(RN )

.

¥

E.3. Regularización

Resulta de interés fundamental la técnica de regularización, debida a Leray y Schauder, consistenteen convolucionar con una sucesión regularizante.

Definición E.3.1 Una sucesión regularizante en RN es cualquier sucesión ρnn≥1 ⊂ D(RN ) tal que

para todo n ≥ 1 se satisfaga ρn ≥ 0 en RN , sop ρn ⊂ B(0,1n

) y∫

RN

ρn(x) dx = 1.

Lo primero que es fácil de demostrar es la existencia de sucesiones regularizantes; basta para ellotomar ρ(x) = ψ(|x|2 − 1) y considerar la sucesión definida por

ρn(x) =nNρ(nx)∫

RN

ρ(y) dy

Es también inmediato comprobar a partir de los resultados precedentes que si ρn≥1 es una suce-sión regularizante, y u ∈ L1

loc(RN ) entonces ρn ∗ u ∈ C∞(RN ); si, además, u es cero c.p.d. en elcomplementario de un compacto entonces ρn ∗ u ∈ D(RN ).

El interés de la convolución por una sucesión regularizante radica en las propiedades de aproxima-ción que posee.

Proposición E.3.2 Sea ρnn≥1 una sucesión regularizante. Se tiene:

1. Si u ∈ C0(RN ), entonces ρn ∗ u converge a u, cuando n tiende a ∞, uniformemente sobre loscompactos de RN .

2. Si u ∈ Lp(RN ) con p ∈ [1,+∞), entonces ρn∗u converge a u, cuando n tiende a +∞, en Lp(RN ).

Demostración.-1. Sean u ∈ C0(RN ), K un compacto de RN y ε > 0 fijados. Hemos de demostrar que existe un

n0 ≥ 1 tal que|(ρn ∗ u)(x)− u(x)| ≤ ε ∀x ∈ K ∀n ≥ n0.

Como u es uniformemente continua en los compactos de RN , existe un δ > 0 tal que

|u(x− y)− u(x)| ≤ ε ∀x ∈ K ∀ |y| ≤ δ.


Fijado un tal δ, basta tomar n0 entero tal que n0 ≥ 1δ. Con esta elección, si n ≥ n0 entonces sop ρn ⊂

B(0,1n

) ⊂ B(0, δ), con lo que para todo x ∈ K se tiene:

|(ρn ∗ u)(x)− u(x)| =∣∣∣∣∫

RN

(u(x− y)− u(x))ρn(y) dy

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∫

B(0, 1n

)(u(x− y)− u(x))ρn(y) dy

∣∣∣∣∣ ≤ ε.

2. Sea u ∈ Lp(RN ) con p ∈ [1, +∞). Sabemos por la Proposición E.2.3 que en tal caso ρn ∗ u ∈Lp(RN ), para todo n ≥ 1.

Fijemos ε > 0 y ϕ ∈ C0c (RN ) tal que ‖u− ϕ‖Lp(RN ) ≤ ε. Ya sabemos que ρn∗ϕ converge a ϕ, cuando

n tiende a∞, uniformemente sobre los compactos de RN ; en particular, como sop ϕ y sop (ρn∗ϕ) estáncontenidos en el compacto fijo sop ϕ + B(0, 1), es inmediato que ρn ∗ϕ converge a ϕ, cuando n tiendea ∞, en Lp(RN ). En consecuencia:

‖ρn ∗ u− u‖Lp(RN ) ≤ ‖ρn ∗ (u− ϕ)‖Lp(RN ) + ‖ρn ∗ ϕ− ϕ‖Lp(RN ) + ‖ϕ− u‖Lp(RN ) ≤

2‖ϕ− u‖Lp(RN ) + ‖ρn ∗ ϕ− ϕ‖Lp(RN ) ≤ 2ε + ‖ρn ∗ ϕ− ϕ‖Lp(RN ),

y en consecuencia lım supn→∞

‖ρn ∗ u− u‖Lp(RN ) ≤ 2ε.

Basta ahora tener en cuenta que ε > 0 es arbitrario. ¥Como aplicación de la técnica de regularización por convolución, obtenemos el siguiente resultado

que liga los conceptos de derivada clásica y de derivada generalizada.

Proposición E.3.3 Sean u y v dos funciones pertenecientes a C0(Ω) tales que para algún entero i

con 1 ≤ i ≤ N se satisface∫

Ωv(x)ϕ(x) dx = −

∫

Ωu(x)∂iϕ(x) dx ∀ϕ ∈ D(Ω).

Entonces u es derivable en sentido clásico respecto de xi en Ω, con derivada igual a v.

Demostración.- Sea x0 ∈ Ω fijado, tomemos δ > 0 tal que B(x0, 2δ) ⊂ Ω y ψ ∈ D(Ω) tal que ψ ≡ 1en B(x0, 2δ).

Las funciones uψ y vψ pertenecen a C0c (Ω), con lo que prolongadas por cero al complementario de Ω

pueden ser consideradas en C0c (RN ). De esta manera, si consideramos fijada una sucesión regularizante

ρn en RN entonces, de los resultados anteriores, sabemos que si n →∞:

ρn ∗ (uψ) → uψ = u y ρn ∗ (vψ) → vψ = v,

uniformemente en B(x0, 2δ). Además, en particular, ρn ∗ (uψ) ∈ C1(RN ). Basta, para terminar, de-mostrar que para todo n suficientemente grande

∂i(ρn ∗ (uψ)) ≡ ρn ∗ (vψ) enB(x0, δ).

Sabemos que para todo x ∈ RN y para todo n se satisface:

(E.2) (∂i(ρn ∗ (uψ))) (x) = (∂iρn ∗ (uψ)) (x) =∫

B(x, 1n

)(∂iρn(x− y))u(y)ψ(y) dy.

Fijemos x ∈ B(x0, δ) y n tal que1n≤ δ.


Entonces si y ∈ B(x,1n

) queda claro que y ∈ B(x0, 2δ), y en consecuencia ψ(y) = 1. Así, de (E.2),se tiene para el x y n fijados anteriormente:

(E.3) (∂i(ρn ∗ (uψ))) (x) =∫

B(x, 1n

)(∂iρn(x− y))u(y) dy.

Denotemos ϕn(y) = ρn(x − y). Evidentemente ϕn ∈ D(RN ) y sopϕn ⊂ B(x,1n

) ⊂ Ω, con lo queϕn|Ω ∈ D(Ω). Además,

∂iϕn(y) = −∂iρn(x− y),

con lo que, por (E.3), se obtiene:

(∂i(ρn ∗ (uψ))) (x) = −∫

Ω∂iϕn(y)u(y) dy = − < u, ∂iϕn >=

=< v, ϕn >=∫

Ωρn(x− y)v(y) dy = (ρn ∗ (vψ)) (x).

¥

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