Apuntes de Teoría de Circuitos (I)

IntroducciónAutor: Fernando Gago Rodríguez

Ingeniero Industrial

Universidad de La Laguna – Tenerife – España

www.ull.es

Definiciones básicas• Intensidad o corriente (intensity or current).

•I = dQ/dt. La unidad de carga se recuerda que es el Culombio (C)

•La unidad de intensidad es el Amperio (A). 1A = 1C / s

•Por razones históricas se considera siempre que se mueven cargas positivas aunque, en realidad, en la mayoría de las ocasiones son las cargas negativas (electrones) las que se mueven en sentido contrario al de las supuestas cargas positivas

•Diferencia de potencial (de tensión o de voltaje) entre 2 puntos A y B (voltage difference):La diferencia de potencial VA-VB es el trabajo necesario para llevar la unidad de carga positiva desde B hasta A. Se mide en voltios (V). 1V = 1J / C

Por tanto llevar una carga Q desde B hasta A cuesta un trabajo Q(VA-VB )

•Potencia (power). P = dE / dt, siendo E energía. Es la energía por unidad de tiempo. Se mide en vatios (W). 1W = 1J / s•Se dice que un elemento de un circuito consume potencia eléctrica si las cargas pierden energía al pasar por él (energía que se lleva el elemento, por ejemplo en forma de calor o luz en una bombilla).

•Un elemento produce o genera potencia eléctrica si las cargas ganan energía al pasar por él (por ejemplo, en un pila; las cargas ganan energía en ella, energía que en este caso viene de la energía química acumulada en la pila)

Convenio de signos y símbolos (I)•Diferencia de tensión: V = VA-VB

Por tanto, si V > 0 � VA > VB y viceversa

•Corriente: I es la corriente que va de A a B. Por tanto:•Si I es positiva, significa que se mueven cargas positivas de A a B (o electrones de B a A).

•Si I es negativa significa que se mueven cargas positivas de B a A (o electrones de A a B).

•El punto que arbitrariamente se considera que tiene potencial (tensión o voltaje) 0 en un circuito se llama masa (ground, GND). El potencial del resto de los puntos del circuito no será más que la diferencia de potencial de esos puntos respecto a la masa. Su símbolo es

•La Tierra se comporta en mucha ocasiones como un conductor (aunque no muy bueno) y, por tanto, tiene un cierto potencial respecto a los puntos que la rodean. El potencial de la tierra se denomina tierra (Earth). En muchos circuitos la masa se une físicamente a la tierra por un cable, con lo que sus potenciales son prácticamente iguales. Pero no siempre es así. Por ejemplo, la masa de un circuito de un avión estará aislada de la tierra con lo que podrán existir diferencias de potencial entre la masa de ese circuito y la tierra.

Convenio de signos y símbolos (II)•En este circuito (V e I pintadas enfrentadas), el producto VI representa la potencia instantánea consumida por el elemento

•En este circuito (V e I pintadas hacia el mismo lado), el producto VI representa la potencia instantánea generada por el elemento

• En el caso de potencia consumida las flechas, tal y como están dibujadas, representan que I es la cantidad de carga por unidad de tiempo que va desde el punto A (de mayor potencial) al B (de menor potencial). Por tanto, VI representa la cantidad de energía por unidad de tiempo que pierden las cargas al atravesar el elemento, es decir, la potencia consumida en dicho elemento

•En el caso de potencia consumida las flechas, tal y como están dibujadas, representan que I es la cantidad de carga por unidad de tiempo que va desde el punto A (de menor potencial) al B (de mayor potencial). Por tanto, VI representa la cantidad de energía por unidad de tiempo que ganan las cargas al atravesar el elemento, es decir, la potencia generada en dicho elemento

•Fijarse que hay coherencia de unidades. P=VI � 1V*1A = 1J/C * 1C/s = 1J/s = 1W

Valor medio y eficaz (I)Sea una función f(t)

•Se define el valor medio de la función entre los instantes t1 y t2 como:

fo = (1/(t2-t1)) * �t1t2 f(t)dt

•Se define el valor eficaz fef de la función entre los instantes t1 y t2 como el valor fef tal que:

(fef )2

= (1/ /(t2-t1)) * �t1t2 f2(t)dt

Valor medio y eficaz (II)Por ejemplo, la potencia media consumida por un elemento entre t1= 1s y t2 = 2s será Po dada por

Po = (1/(2-1)) * �12

v(t)*i(t)dt

que no es más que la energía total consumida entre 1 y 2 (lo representado por la integral) dividida entre el tiempo que tardóen consumirse esa energía

v e i estarán enfrentados para que vi sea potencia consumida

Funciones periódicas (I)•La función se repite cada cierto tiempo T, denominado período

•Por tanto, f(t+T) = f(t)

•El inverso del período se llama frecuencia f=1/T

•La frecuencia se mide en s-1 o Hercios (Hz). 1 Hz = 1/s

Ejemplo: Función triangular periódica

Funciones periódicas (II)Funciones senoidales•Caso particular de función periódica muy utilizada en la práctica

•La forma general es: F(t) = Asen(wt + fi) donde:

•A se denomina amplitud y es el mayor valor que puede tener la función

•w se denomina pulsación angular y se mide en rad/s en el sistema internacional

•fi se denomina fase y se mide en radianes (rad) en el sistema internacional

•Se puede demostrar que w = 2pi*f = 2pi / T, donde f es la frecuencia y T el período

•El valor medio en un período de una función senoidal es 0

•El valor eficaz de una función senoidal en un período es A / sqrt(2), donde sqrt(2) es raíz cuadrada de 2

•Fijarse que cuando transcurre un tiempo igual al período T el ángulo que está dentro del seno (es decir, el valor wt + fi) varía 2pi radianes, razón por la cual la función se repite

•Es decir, un período son T segundos ó 2pi radianes

Función cosenoidal:•Semejantes propiedades a la senoidal. F(t) = Acos(wt + fi)

•De hecho, Acos(wt + fi) = Asen(wt + fi + pi/2)

Funciones periódicas (III)

•Ambas funciones senoidales tienen un período de 1s, una frecuencia de 1Hz y una w = 2pi rad/s

•La función en azul es 10sen(wt). Pasa por 0 en t = 0s.

•La función en verde es 10sen(wt + 1). Pasa por 0 cuando sen(wt+1) = 0 � t = -1/w = -0.1592s

•Se dice que la función verde está adelantada 0.1592 s respecto a la azul (lo que sucede en la verde se repite en la azul 0.1592 s, ó 1 radián, después)

•Fijarse que también se podría decir que la función verde está retrasada respecto a la azul una cantidad de (T-0.1592) segundos, donde T es el período, ó un ángulo de (2pi –1) radianes

Funciones periódicas (IV)

•Cuando en las funciones periódicas se calculan valores medios, eficaces... se suelen calcular en un período

•Algunas funciones periódicas típicas son:

•Cuadradas (square)

•Senoidales / cosenoidales (sine / cosine)

•Triangulares (triangular)

• Diente de sierra (sawtooth)

Régimen transitorio y permanente•Si todas las entradas de un circuito eléctrico son periódicas (o constantes) � todas las salidas al cabo de un cierto tiempo serán señales periódicas o constantes. Cuando se llegue a la situación en que las salidas tienen una forma determinada que se repite o un valor ya constante se dice que se ha llegado al régimen permanente

•El período que transcurre desde que en un circuito cambia alguna circunstancia (se cierra un interruptor, se pone una nueva carga...) hasta que se llega al régimen permanente se llama régimen transitorio. Su duración dependerá de las características del circuito

•En muchos casos veremos que no interesa saber lo que sucede en el régimen transitorio por ser despreciable en tiempo respecto a la duración del permanente y no producirse durante el transitorio efectos que merezca la pena tener en cuenta. En ese caso bastará estudiar el régimen permanente, lo cual permite simplificar mucho los cálculos, ya que en la mayor parte de los casos existen métodos alternativos para evitar tener que resolver las ecuaciones diferenciales que relacionan las variables del circuito entre sí (corrientes y tensiones)

•En otros casos, sin embargo, (muy a menudo en electrónica) lo que sucede durante el transitorio es vital por lo que habrá que resolver las ecuaciones diferenciales directamente, aunque algunos métodos matemáticos (como la transformada de Laplace) se podrán aplicar a veces para hacer más llevadera la tarea.

Sistemas lineales (I)•Sea un sistema con una única entrada y una única salida

•Supongamos que:

•Cuando la entrada vale u1, la salida vale y1

•Cuando la entrada vale u2, la salida vale y2

•Entonces el sistema será lineal si se cumple que:

•Para una entrada de valor au1, la salida vale ay1, siendo a una constante

•Para una entrada de valor (u1 + u2 ) la salida vale (y1 + y2 )

•Ejemplo de sistemas lineales:

•y = 2*u

• y=2*u + 5*du/dt;

•y = k0*u + k1*du/dt + k2*d2u/dt + ...., donde k0, k1, k2... son constantes

•Ejemplo de sistema no lineal:

• y = 2*u +4 ; y = abs (u), donde abs representa el valor absoluto de u

Sistemas lineales (II)•La definición de sistema lineal se puede generalizar a sistemas con varias entradas (u1,u2...) y varias salidas (y1,y2,y3...). El número de entradas no ha de ser igual a las salidas

•Para ello, definimos el vector entrada u como la matriz (u1,u2...) y el vector salida y como (y1,y2...)

•Supongamos que:

•Cuando las entradas están representadas por el vector u1, las salidas están representadas por el vector y1

•Cuando las entradas están representadas por el vector u2, las salidas están representadas por el vector y2

•Entonces el sistema será lineal si se cumple que:

•Para un vector entrada de valor au1, el vector salida vale ay1 siendo a una constante

•Para un vector entrada de valor (u1 + u2 ) la salida vale (y1 + y2 )

•Ejemplo.

• Sea un sistema con un vector entrada u = (u1, u2, u3) y un vector salida y = (y1,y2). Es decir, es un sistema con 3 entrada y 2 salidas

•Sea y = A*u, donde A es una matriz de tamaño (2*3). Si los coeficientes de A son constantes el sistema será lineal (se puede demostrar que cumple las propiedades mencionadas arriba)

•Esto coherente con el hecho de que las matrices representan aplicaciones de las denominadas lineales, tal y como se estudia en matemáticas

Sistemas lineales (III)•Propiedades de los sistemas lineales:

•Se puede aplicar el principio de superposición a los sistemas lineales, es decir, la salida debida a la suma de 2 entradas es igual a la suma de las salidas que se obtendrían con cada una de las 2 entradas independientemente. Esto es así por la propia definición de sistema lineal

•Si todas las entradas de un sistema lineal son señales senoidales de una misma frecuencia f, todas las salidas (en régimen permanente) serán también señales senoidales de frecuencia f. Esto incluye el caso de señales constantes (frecuencia 0)

•Utilidad de los sistemas lineales:•Muchos sistemas existentes en la naturaleza se pueden modelar sin apenas errores como sistemas lineales

•Muchos sistemas que son no lineales se pueden simplificar bajo ciertas condiciones como sistemas lineales

•El análisis de sistemas lineales es mucho más simple que el de los sistemas no lineales. De ahí el empeño en reducir los no lineales a lineales, aunque sólo sea válido con ciertas restricciones

•Los circuitos eléctricos que veremos en este curso serán circuitos lineales, dado que las ecuaciones entre entradas y salida serán de la forma y = k0*u + k1*du/dt + k2*d2u/dt..., que vimos antes es una ecuación lineal

•Los circuitos electrónicos no son, en general, lineales y sólo se podrán considerar como tales en ciertas circunstancias

Cargas• Estudiaremos las siguientes cargas básicas en Teoría de Circuitos

•Resistencia (resistor)

•Inductancia (inductor)

•Condensador (capacitor)

•Veremos primero las cargas consideradas como elementos ideales, es decir, veremos las resistencias, inductancias y condensadoresideales

•Las cargas reales se modelarán como una de las anteriores o una combinación de ellas. Por ejemplo:

•Una bombilla será una resistencia en los circuitos

•Un motor vendrá representado por un circuito equivalente conteniendo resistencias e inductancias

•Un relé podrá modelarse por una resistencia en serie con una inductancia

Resistencia (resistor) (I)

•2 símbolos usados habitualmente, tendiendo a usarse cada vez más el primero (el rectángulo)

• En una resistencia ideal se cumple V = RI � Ley de Ohm. El valor R se denomina resistencia (resistance) y se mide en ohmios (letra griega omega, �) .En inglés el elemento se llama resistor y la resistencia que tiene, resistance.

•Las resistencias siempre consumen potencia, que se disipa en forma de calor

•La potencia consumida será P = VI. Aplicando la ley de Ohm se llega a P = I2R = V2 / R �Ley de Joule

Resistencia (resistor) (II)•En un conductor real su resistencia se puede calcular como R = ro*L/S, siendo ro la resistividad (resistivity) del material, L su longitud y S su sección transversal

•El tamaño de una resistencia dependerá de la potencia que sea capaz de disipar sin quemarse y no de su valor en ohmios. Por ejemplo, una resistencia de ¼ W de 1 Mohm será físicamente mucho menor que una resistencia de sólo 10ohm pero diseñada para ser capaz de disipar hasta 50 W sin quemarse•Existen distintas tecnologías de fabricación de resistencias:

• De composición de carbón

•De hilo bobinado

•De película (metálica o de carbón)

•Las resistencias reales tendrán un comportamiento algo más complejo que simplemente la relación V = RI, comportamiento que se modelará considerando que la resistencia es en realidad una combinación de resistencias, condensadores e inductancias ideales. Cada tipo tendrá un modelo algo distinto y ciertas características de ruido que habrá que considerar en circuitos de muy bajo ruido

Inductancia (inductor)• V = L*dI/dt en una inductancia ideal ����

i(t) = i(t0) + 1/L* �tot V(t)dt

•El elemento se llama inductancia (inductor) y el valor L también se denomina inductancia (inductance) y se mide en henrios (H)

•La inductancia de un elemento es la magnitud que relaciona el flujo magnético que atraviesa dicho elemento con la corriente que circula por él (y que causa el campo magnético). L = Ø/I, siendo Ø el flujo magnético (medido en webers, Wb)

•Físicamente son bobinas arrolladas entorno a un material magnético en el caso más típico y sencillo

•Las inductancias almacenan energía en forma de campo magnético. Pueden consumir energía (aumentando su energía magnética) o producirla (disminuyendo su energía magnética)

•Se puede demostrar que la energía magnética almacena por una inductancia es E = ½ LI2

•En una inductancia no se debe cambiar bruscamente la corriente porque ello implicaría una sobretensión muy elevada

Condensador (capacitor) (I)•I = C*dV/dt en un condensador ideal ����

v(t) = v(t0) + 1/C* �tot I(t)dt

•El elemento se llama condensador (capacitor) y el valor C se denomina capacidad (capacitance) y se mide en faradios (F)

•El Faradio es una unidad de capacidad muy elevada y se suelen usar unidades derivadas de menor valor, como mF (10-3 F), �F (10-6 F), nF (10-9 F) y pF (10-12 F)

•La capacidad de un condensador es la magnitud que relaciona la carga Q que almacena con la diferencia de tensión V que aparece en sus bornes debida a dicha carga. C = Q/V, siendo Q la carga medida en culombios

•Los condensadores almacenan energía en forma de campo eléctrico. Pueden consumir energía (aumentando su energía eléctrica) o producirla (disminuyendo su energía eléctrica)

•Se puede demostrar que la energía eléctrica almacena por un condensador es E = ½ CV2

•En un condensador no se debe cambiar bruscamente la tensión porque ello implicaría una corriente instantánea muy elevada

Condensador (capacitor) (II)•Los condensadores de más capacidad suelen ser físicamente mayores

•Los condensadores reales no se comportan como condensadores ideales, variando mucho su comportamiento dependiendo de la frecuencia de las señales del circuito en que se encuentren. Este comportamiento dependerá mucho de la tecnología de fabricación

•Para capacidades iguales o menores de unos pocos microfaradios existen condensadores cerámicos (ceramic). Estos condensadores son típicos de circuitos electrónicos

•Para capacidades mayores, el proceso de fabricación hace que los condensadores sean polarizados (excepto los diseñados específicamente para corriente alterna), es decir, que haya que asegurar durante su funcionamiento que uno de los bornes siempre tiene más potencial que otro (si no se hace así, se estropean, reventando en muchas ocasiones, lo que puede resultar peligroso al comportarse como pequeñas bombas, especialmente para condensadores de cierto tamaño). Dentro de los polarizados hay 2 tipos básicos:

•De tántalo (tantalum). Para capacidades del orden de uno o varios microfaradios. Se usan en electrónica

•Electrolíticos (electrolitic). Para mayores capacidades. Se usan sobre todo en electrotecnia. Su explosión por mal conexionado puede resultar muy peligrosa

•Si un condensador cargado se deja con los terminales al aire, mantendrá su carga (la carga no tiene por dónde escaparse). Si en estas condiciones lo cogemos con las manos, se descargará a través de nuestro cuerpo, produciéndonos una desagradable sensación si el condensador es de baja capacidad, siendo peligroso en el caso de condensadores industriales de alta capacidad. Por ello los condensadores de alta capacidad han de dejarse siempre descargados si pueden ser tocados por personas

•Al escoger un condensador en la práctica ha de considerarse la máxima tensión que es capaz de soportar, ya que si se supera dicha tensión se estropeará

Inductancias acopladas magnéticamente (I)

• 2 bobinas están acopladas magnéticamente si el flujo que atraviesa cada bobina no sólo depende de la corriente que circula por ella sino también de la corriente que pasa por la otra bobina. Es decir, ambas bobinas comparten un circuito magnético común

•Si Ø es flujo e I corriente, tenemos que:

•Para la bobina 1 � Ø1 = L1I1 +/- M12*I2 donde Ø1 es el flujo que atraviesa la primera bobina, L1 la inductancia propia de la primera bobina, I1 la corriente que pasa por la primera bobina, I2 la corriente que pasa por la segunda y M12 la inductancia mutua entre ambas bobinas

•De igual forma, para la bobina 2 � Ø2 = L2I2 +/- M21*I1

• Se cumple que M12 = M21 por lo que se hace M12 = M21 =M, siendo M, simplemente, la inductancia mutua

•El signo + ó – delante de la M aparece según los sentidos de las corrientes y la forma en que estén acopladas magnéticamente las bobinas

Inductancias acopladas magnéticamente (II)

•La forma en que se acoplan magnéticamente los circuitos se representa por un punto en uno u otro lado de las bobinas. Para simplificar el convenio de signos en las fórmulas, se hace entrar la corriente en cada bobina por su punto y se pinta la tensión de cada bobina enfrentada a su corriente. De esta forma se pueden aplicar las fórmulas:

•V1 = L1*dI1/dt + M*dI2/dt y V2 = L2*dI2/dt + M*dI1/dt

•Esto se puede ver en los siguientes ejemplos, donde las barras paralelas entre los símbolos de cada bobina representan que hay acoplamiento magnético

Asociación de cargas•2 ó más elementos están en paralelo cuando tienen la misma diferencia de tensión entre sus bornes

•2 ó más elementos están en serie cuando los atraviesa la misma corriente

•Varias cargas en serie o en paralelo pueden ser sustituidas por una única carga equivalente, en el sentido de que el comportamiento del resto del circuito es el mismo si tenemos lascargas originales que si tenemos la única carga equivalente

Asociación de resistencias

Serie: Req = R1 + R2 + ... + Rn

Paralelo: 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + ... + 1/Rn

•Nota: El inverso de la resistencia (1/R) se denomina conductancia, se mide en Siemens (S) y se suele representar por G. Lógicamente, 1S = (1ohm)-1

Asociación de inductanciasSerie: Leq = L1 + L2 + ... + Ln

Paralelo: 1/Leq = 1/L1 + 1/L2 + ... + 1/Ln

Asociación de condensadores

Serie: 1/Ceq = 1/C1 + 1/C2 + ... + 1/Cn

Paralelo: Ceq = C1 + C2 + ... + Cn

Fuentes ideales (I)•Fuente de tensión: Una fuente de tensión ideal hace que la diferencia de tensión entre sus bornes tenga una forma determinada (constante, senoidal...), sea cual sea el valor de la corriente que la atraviese

Este símbolo significa V+ - V- = V(t)

En el caso particular de fuente de tensión constante (V(t) = constante) se utiliza también el siguiente símbolo, donde el valor de la constante es igual a la tensión del punto donde se encuentra la raya larga menos la del punto donde se encuentra la raya corta. Por ejemplo, en el dibujo es VA-VB = 5 voltios

5V

A

B

Si V(t) depende de alguna variable del circuito (de una corriente, de una tensión...) se dice que la fuente es dependiente. En caso contrario, es independiente. Las fuentes de tensión suelen ser independientes usándose las dependientes como forma de modelar ciertos elementos en los circuitos (por ejemplo, para modelar un transistor en electrónica). Como ejemplos:

• V(t) = 10*sen (10t) es una fuente independiente

• V(t) = 4*I2(t), siendo I2 (t) una determinada corriente del circuito, es una fuente dependiente

Fuentes ideales (II)•Fuente de corriente: Una fuente de corriente ideal asegura que la corriente que circula por la rama donde está colocada la fuente sea igual al valor (o función) indicado junto a ella, con el sentido dado por la flecha

A B

I(t)

El dibujo significa que la corriente que va de A a B es I(t)

Si I(t) depende de alguna variable del circuito (de una corriente, de una tensión...) se dice que la fuente es dependiente. En caso contrario, es independiente. Las fuentes de corriente suelen ser independientes usándose las dependientes como forma de modelar ciertos elementos en los circuitos (por ejemplo, para modelar un transistor en electrónica). Como ejemplos:

• I(t) = 10*cos(40t) es una fuente independiente

• I(t) = 4*I2(t), siendo I2 (t) una determinada corriente del circuito, es una fuente dependiente

Fuentes reales•Por una fuente ideal de tensión puede circular cualquier valor de corriente

•La diferencia de tensión entre los bornes de una fuente de corriente ideal puede tener cualquier valor

•Una fuente ideal puede consumir o generar potencia, sea cual sea su valor

•En las fuentes reales:

•Por las fuentes de tensión sólo podrá circular corriente dentro de unos ciertos límites y tendrán una potencia limitada

•En bornes de una fuente de corriente la diferencia de tensión estará limitada a ciertos valores, al igual que lo estará la potencia de la fuente

•Algunas fuentes reales sólo pueden generar potencia (por ejemplo, pila no recargable). Otras, sin embargo, también pueden consumir (como una batería recargable)

•Las fuentes reales se modelarán en los circuitos como una combinación de distintos elementos ideales (fuentes ideales, resistencias ideales...)

Asociación de fuentes•2 fuentes de tensión en serie equivalen a una única fuente con una tensión igual a la suma de las 2. Es una forma de conseguir una fuente equivalente de diferente tensión

•2 fuentes de tensión sólo se pueden poner en paralelo si tienen el mismo valor y polaridad. Al final se tiene una fuente equivalente de igual tensión. En el caso de fuentes reales esto puede ser útil ya que la fuente equivalente tendrá igual tensión pero más capacidad de dar corriente y potencia (en el caso de fuentes ideales, recordemos que se consideraba ilimitada la capacidad de dar corriente)

•2 fuentes de corriente sólo se pueden poner en serie si tienen el mismo valor y polaridad. Al final se tiene una fuente equivalente de igual corriente. En el caso de fuentes reales esto puede ser útil ya que la fuente equivalente tendrá igual corriente pero más capacidad de dar tensión y potencia (en el caso de fuentes ideales, recordemos que se consideraba ilimitada la capacidad de dar tensión)

•2 fuentes de corriente en paralelo equivalen a una única fuente con una corriente igual a la suma de las 2

•Lo anterior es aplicable si en lugar de 2 son más las fuentes que se conectan entre sí

Leyes de Kirchoff (I)•Primera ley de Kirchoff: Al recorrer una trayectoria cerrada cualquiera en un circuito eléctrico la suma neta total de las diferencias de potencial ha de ser nula.

Dicho de otro modo, lo que se gana en potencial en ciertas partes del trayecto ha de perderse en otras para que la ganancianeta total de potencial sea 0

•Segunda ley de Kirchoff: En cualquier punto de un circuito donde confluyen varios conductores (este punto se llama nudo) la suma de corrientes netas que entran o salen al punto es 0 ó, dicho de otro modo, la corriente que entra es igual a la que sale

•Aplicando las leyes de Kirchoff y las ecuaciones que relacionan corriente con tensión en los distintos elementos, podremos resolver un circuito eléctrico, es decir, podremos hallar la tensión y corriente en los diferentes puntos

Leyes de Kirchoff (II). Ejemplo

•En este circuito (donde V1, V2, R1, R2 y L1 son datos) debería verse que:

•La primera ley de Kirchoff aplicada a la trayectoria ABCA nos lleva a:

V1-R1*I1 – R2*I2 = 0

•La primera ley de Kirchoff aplicada a la trayectoria ADCA nos lleva a:

V2-L1*dI3/dt – R2*I2 = 0

•La segunda ley de Kirchoff aplicada al nudo A nos lleva a: I2 = I1+I3

•Por tanto, tenemos 3 ecuaciones y 3 incógnitas y podemos resolver

•Veremos métodos (método de las mallas y método de los nudos) para plantear las ecuaciones de manera ordenada en circuito más complejos

Problema ejemplo sobre convenio de signos y resolución de un circuito básico

Sea el circuito de la figura:

1. Simbología Entendamos primero qué significan los distintos símbolos:

o El punto A tiene una tensión (potencial o voltaje) igual a 0 voltios, ya que se ha escogido voluntariamente como punto de referencia del circuito o masa (ground en inglés). Podría haberse escogido cualquier otro punto del circuito como punto de potencial nulo pero en este caso se ha escogido el A. Por tanto, VA = 0V.

o La fuente F1, de valor 9V, indica que el potencial del punto B es 9V mayor que

el potencial del punto A. Es decir, VB-VA = 9V.

o V1, tal y como está representada la flecha, significa V1 = VB-VC. Esta representación es la más habitual (si bien hay sitios en que se usa justo al revés) y es la que vamos a utilizar a lo largo de este curso.

o La fuente F2, de valor 6V, indica que el potencial del punto C es 6V mayor que

el potencial del punto D. Es decir, VC-VD = 6V.

o V2, tal y como está representada la flecha, significa V2 = VD-VA.

o I, tal y como está representada, será positiva si las cargas circulan en el sentido indicado por la flecha (de A a B, por ejemplo) y negativa en sentido contrario. Recordemos que, por razones históricas, se define la corriente o intensidad como el desplazamiento de cargas positivas, aunque normalmente los portadores de carga sean los electrones que, en el caso de los conductores, son lo que realmente se mueven. Por tanto, I será positiva en nuestro ejemplo cuando los electrones vayan de B a A, que equivale a decir que se mueven cargas positivas de A a B.

El objetivo del problema consiste en calcular la corriente I y los potenciales de los diferentes puntos A, B, C y D. Recordemos que los cables ideales se considera que tienen resistencia nula y, por tanto, no habrá caída de potencial en ellos.

2. Relación diferencia de potencial / corriente en las resistencias

En una resistencia conectada entre 2 puntos A y B se cumple la relación (ley de Ohm): VA-VB = R* IdeAaB

Es decir, que si la corriente realmente va de A a B (IdeAaB positiva), será porque el potencial es mayor en A que en B. Si la corriente fuera de B a A (IdeAaB negativa), VA-VB saldría negativo, es decir, el potencial sería mayor en B que en A. Esto es lógico ya que una resistencia disipa energía (en forma de calor), con lo que las cargas positivas han de ir de más a menos potencial, es decir, han de perder energía potencial. La expresión VA-VB = R* IdeAaB

Se representa normalmente simplificada gráficamente como:

Por tanto, en la figura anterior ha de entenderse que: V = VA-VB

I = IdeAaB

con lo que se puede decir, de forma más compacta, que V = RI. Esa es la razón por la que hemos dibujado en nuestro circuito las flechas de tensión (V) y corriente (I) opuestas, para poder aplicar más adelante la fórmula V = RI. Debemos fijarnos en que si hubiéramos pintado las flechas V e I en el mismo sentido, la ecuación que las relacionaría sería V = -RI. Para evitar trabajar unas veces con unos signos y otras con otros, para cada elemento se dará una relación ente V e I con las flechas pintadas de una determinada manera. Si en un circuito necesitamos posteriormente aplicar estas relaciones entre V e I debemos cuidarnos de respetar los sentidos de las flechas con los que se nos han dado las ecuaciones para poder aplicarlas sin modificaciones. En el caso de la resistencia, para poder aplicar V = RI debemos asegurarnos de que V e I están pintadas en sentido contrario.

Normalmente no sabemos a priori si la corriente va a ir de A a B o viceversa, ni qué punto tendrá más potencial. Hacemos una suposición (la que queramos) y si luego nos sale un valor positivo, es que hemos acertado; si sale negativo, es que la corriente (o tensión) realmente eran en sentido contrario, pero ello no supone mayor problema.

3. Resolución del circuito

Tensiones (potenciales) y corrientes (intensidades) o Aplicaremos la primera ley de Kirchoff, que no es más que la ley de

conservación de la energía. En un circuito eléctrico, la ganancia o pérdida neta de potencial en una trayectoria cerrada ha de ser 0.

o Para ello, primero asignamos un sentido arbitrario para la corriente. En este caso, hemos supuesto que va en el sentido de las agujas del reloj.

o Las diferencias de potencial en las resistencias, que de momento son desconocidas (V1 y V2) las pintamos contrarias a la corriente, más que nada para poder más tarde aplicar la fórmula entre V e I directamente, sin poner signos negativos.

o Recorremos una trayectoria cerrada en nuestro circuito. Por ejemplo, vamos a hacer el recorrido A,B,C,D,A aplicando la primera ley de Kirchoff.

o De A a B ganamos 9 V. o De B a C perdemos V1 voltios (ya que V1, tal y como está pintado,

significa V1 = VB-VC). Es decir, ganamos –V1 voltios. o De C a D perdemos 6V, es decir, ganamos –6 voltios. o De D a A perdemos V2 voltios, es decir, ganamos –V2 voltios. o Por tanto, ganamos en total: 9 – V1 –6 – V2, que ha de ser 0.

o 9-V1-6-V2 = 0 � 3 – V1 – V2 = 0 � 3 – R1*I – R2 * I = 0 (aplicamos

la ley de Ohm a las resistencias) � 3 – 1*I – 2*I = 0 � I = 1A

o V1 = R1 * I = 1 V � VB – VC = 1 V. Como VB = 9 V � VC = 8V. o VC- VD = 6 V � VD = 2 V. o VD-VA = R2 * I = 2 V � VA= 0 V, como ya sabíamos.

o Si el recorrido cerrado escogido hubiera sido A,D,C,B,A, la aplicación de la ley de Kirchoff habría sido:

o De A a D ganamos V2.

o De D a C ganamos 6 voltios.

o De C a B ganamos V1.

o De B a A perdemos 9 voltios, es decir, ganamos – 9 voltios.

o Por tanto: V2 + 6 + V1 – 9 = 0 � 9-V1-6-V2 = 0, que es la misma

ecuación de antes, como era de esperar. Es decir, en principio podemos escoger cualquier trayectoria cerrada para hallar nuestras ecuaciones

(más adelante en el curso se verán métodos para escoger trayectorias que nos simplifican el trabajo cuando el circuito es complicado).

Potencias En un elemento situado entre 2 puntos A y B y que es atravesado por una corriente dada:

o La potencia que consume ese elemento es la potencia que pierden las cargas que lo atraviesan. Por tanto, se puede poner como:

o Pconsumida = (VA-VB) * IdeA a B

que es lo mismo que decir:

o Pconsumida = (VB-VA) * IdeB a A o La potencia que genera (produce) ese elemento es la potencia que ganan las

cargas que lo atraviesan. Por tanto, se puede poner como:

o Pgenerada = (VB-VA) * IdeA a B

que es lo mismo que decir:

o Pgenerada = (VA-VB) * IdeB a A Todo lo anterior se resume a nivel práctico en que:

o Si V e I se pintan en sentido contrario, VI representa la potencia consumida por

el elemento o Si V e I se pintan en el mismo sentido, VI representa la potencia generada o

producida por el elemento

o Recuérdese lo que significan las flechas. Por ejemplo, en la primera figura del dibujo (potencia consumida) V = VA-VB y en la segunda (potencia generada) V = VB-VA.

o Lógicamente, consumir una potencia P equivale a generar –P y viceversa. o A priori no siempre se sabe si un elemento va a consumir o generar. Las cargas

normalmente consumen (aunque no siempre; las resistencias sí consumen siempre) y las fuentes generan (no siempre; por ejemplo la batería de un móvil genera mientras hablamos por teléfono pero consume mientras se recarga). Tampoco es necesario saberlo. Nosotros pondremos en cada elemento la V y la I como queramos, lo único que tenemos que ser coherentes y saber interpretar si el producto VI que nos salga (que puede resultar negativo) es potencia consumida o generada. En las cargas lo normal es poner V e I enfrentadas no sólo porque normalmente consumen sino porque, tal y como se comentó antes, la ecuación que relaciona V e I se suele dar para V e I enfrentadas con lo que se pueden aplicar directamente las fórmulas sin tener que incluir signos negativos.

En el circuito de la figura debería verse claro, a partir de todo lo comentado con anterioridad, que:

o F1 genera 9* I = 9W (consume –9 W) o R1 consume V1 * I = 1W (genera –1W) o F2 genera –6*I = -6 W (ó consume +6 W) o R2 consume V2*I = 2W (genera –2W) o La suma de potencias generadas es igual a la suma de potencias

consumidas (conservación de la energía): 9 = 1+6+2

ó bien

o La suma total de las potencias generadas (considerando los consumos como generaciones negativas) es 0 � 9-1-6-2 = 0

o ó bien

o La suma total de las potencias consumidas (considerando las

generaciones como consumos negativos) es 0 � -9+1+6+2 = 0

Unidades

o Se recuerda que la potencia se define como la derivada de la energía respecto al tiempo y, por tanto, se mide en J/s (julios/segundo), que son vatios (W)

o La unidad de carga es el culombio (C). 1 electrón tiene una carga de -1.6*10-19 C

o El potencial se mide en voltios (V) que representan energía por unidad de carga. Por tanto 1V = 1J/C.

o La corriente o intensidad se mide en amperios (A) que son culombios divididos por segundos. 1A = 1C/s.

o Como hemos visto más arriba VI representa potencia. Esto es coherente con las unidades. 1V*1A = 1J/C * 1C/s = 1J/1s = 1W

o Como ejemplo, si un electrón pasa de un punto A de potencial 3V a otro B de potencial 5V habrá ganado una energía de (VB-VA)*carga = (5-3)*(-1.6*10-19)= -3.2*10-19 J. Es decir, ha perdido energía, que se habrá transformado en otro tipo (por ejemplo, calorífica).

o Fijarse que un electrón yendo de A a B equivale a una carga positiva

yendo de B a A, con lo que la diferencia de energía sería (3-5)*(+1.6*10-

19) = -3.2*10-19 J. La carga positiva (y, por tanto, la corriente) ha ido de más a menos potencial, lo que implica que el elemento que atraviesa es un elemento que consume, haciendo perder energía a la carga, tal y como indica el signo menos que nos ha salido.

4. Planteamiento alternativo Para comprobar que se ha entendido bien el problema sería interesante que el alumno intentara resolverlo de nuevo dibujando la corriente I en sentido antihorario. Deberá comprobar como I le sale –1A en esta ocasión (que es lo mismo que 1A en sentido horario), y que los potenciales de los diferentes puntos y las potencias consumidas y generadas por los diferentes elementos son las mismas que antes.