teoría microeconómica-apuntes de estudio_jovani turco quinto.pdf

CEICE: TEORÍA MICROECONÓMICA

1

1

1 Alumno de la UNCP y la PUCP; y miembro del Departamento de Estudios Económicos del

BCRP-Sucursal Huancayo.

Esta es una versión preliminar escrita para el curso de Microeconomía dictado en el curso de

nivelación y preparación del Circulo de Estudios e Investigación en Ciencias Económicas “CEICE”,

cualquier sugerencia por favor escribir al correo [email protected] o a

[email protected].

Teoría Microeconómica J. Jovani Turco Quinto1

CEICE

Febrero del 2012

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]


2

Contenido

INTRODUCCIÓN

A. La economía como ciencia social

B. El método alfa-beta en la ciencia económica

C. Matemáticas de la optimización

D. El mercado

PARTE UNO: LA TOMA DE DECISIONES INDIVIDUALES

I. La teoría del consumidor

1. La restricción presupuestaria

2. Las preferencias

3. La utilidad

4. La elección

5. La demanda

6. Las preferencias reveladas

7. La ecuación de Slutsky

8. La compra y la venta

9. La elección intertemporal

10. El excedente del consumidor

11. La demanda del mercado

12. El equilibrio

13. Las subastas*2

II. La teoría de la firma

14. La tecnología

15. La maximización del beneficio

16. La minimización de los costes

17. Las curvas de costes

*2 opcional


3

18. La oferta de la empresa

19. La oferta de la industria

PARTE DOS: EQUILIBRIO DE MERCADO Y EQUILIBRIO

GENERAL

III. Equilibrio de mercado

20. El modelo de equilibrio parcial competitivo

21. Análisis competitivo aplicado

IV. Equilibrio general

22. El intercambio

23. La producción

24. El modelo de equilibrio general competitivo

25. EL bienestar

PARTE TRES: TEORÍA DE LA ORGANIZACIÓN

INDUSTRIAL

26. Modelos de monopolio

27. Modelos tradicionales de competencia imperfecta

PARTE CUATRO: TÓPICOS EN MICROECONOMÍA*3

28. La incertidumbre y el mercado de activos

29. La Teoría de juegos y el equilibrio estratégico

30. Fijación de precios en los mercados de factores

31. Fallas de mercado

3 * Opcional


4

Bibliografía recomendada

Básicas

[1] Varian, Hal (2006). “Microeconomía Intermedia”. Antoni Bosch. 7ma

edición.

[2] Nicholson, Walter (2004). “Teoría Microeconómica, Principios Básicos y

Aplicación”. McGraw–Hill, 8va edición.

[3] Kafka, Folke (1985). “Teoría Económica”. 3era edición. CIUP.

[4] Parkin, Michael (1995). “Microeconomía”. Addison –Wesley.

[5] Jorge Fernandez Baca (2000). “Microeconomía: Teoría y

Aplicaciones”.CIUP.

Opcionales

[6] Mas Colell, A., M. Whinston y J. Green (1995). “Microeconomic Theory”.

Oxford.

[7] Varian H. (1998). “Análisis Microeconómico”. Antoni Bosch. 3ra edición.

[8] Henderson y Quandt (1973). “Teoría Microeconómica”, Ariel, 2da edición.

Complementarias

[9] Figueroa, Adolfo (2008). Nuestro mundo social: introducción a la ciencia

económica. Fondo editorial de la PUCP. Lima.

[10] Figueroa, Adolfo (2003). “La sociedad sigma: Una teoría del desarrollo

económico”. Lima y México: Coedición de Fondo Editorial de la PUCP y

Fondo de Cultura Económica.


5

A mi mamá Haydee y a mi

hermana Midori, por

enseñarme que solo en las

ecuaciones del amor existe una

razón verdadera.


6

Introducción

El objetivo de la presenta nota de clase es complementar los aspectos teóricos

relacionados a la teoría microeconómica, dictado en el curso de Microeconomía del

Circulo de Estudios e Investigación en Ciencias Económicas. CEICE. En esta nota

se describe aspectos básicos, pero importantes de la teoría microeconómica.

Los apuntes de clase se dividen en cuatro partes. La primera parte, titulado la

toma de decisiones individuales, está conformado por la teoría del consumidor y la

teoría de la firma (productor). La segunda parte, titulado equilibrio de mercado y

equilibrio general, trata modelos de equilibrio parcial y equilibrio general. En la

tercera parte, llamado teoría de la organización industrial, se desarrollaran modelos

referidos a los mercados de competencia perfecta. Por último, en la parte cuatro, se

desarrollan temas adicionales en microeconomía, como la incertidumbre y el

mercado de activos, la teoría de juegos, los mercados de factores y fallas de

mercado.

Las matemáticas son útiles para traducir los argumentos verbales en formas

concisas y consistentes. Sin embargo, hacen algo más que esto. Las matemáticas

proporcionan al economista una serie de instrumentos a menudo más poderosos que

el lenguaje ordinario porque incorporan conceptos y permiten operaciones para las

que no existen equivalentes verbales manejables. El uso de las matemáticas

aumenta el instrumental del economista y dilata el alcance de las inferencias

posibles a partir de los supuestos iniciales.

Los principales instrumentos matemáticos utilizados en el presente son el cálculo

y algunos conceptos de ecuaciones diferenciales y de ecuaciones en diferencia. Es

por ello que la condición necesaria para entender la presente nota de estudio es

tener conocimientos del cálculo matemático, y la ó es tener el

interés de aprender a explicar el mundo económico con los diferentes modelos de la

teoría microeconómica.

Este documento no contiene desarrollos originales, que no estén ya planteados o

desarrollados en los libros referenciados. Solamente pretende ser una ayuda para

que el lector pueda enfrentarse a los textos de microeconomía con mayor seguridad

y una guía para los actuales estudiantes del curso. Esperamos que ellos lo

encuentren de utilidad, y comprendan que todos los errores que seguramente

seguirán encontrando por ahí, son muy probables nuestros, no de Varian ni de Mas

Colell.


7

A. La economía como ciencia social4

Sabemos que los humanos necesitamos bienes para satisfacer nuestras necesidades.

También sabemos que algunos bienes son libres, pero que otros deben ser

producidos. Entonces ¿Cómo se organizan las sociedades humanas para producir los

bienes y para distribuirlos entre los diferentes grupos?

La ciencia económica tiene por objeto estudiar el proceso de producción y

distribución de bienes, llamado el proceso económico. Se interesa por explicar cómo

y por qué, en dicho proceso, los miembros de la sociedad entran en relaciones,

interactúan entre ellos, y por qué lo hacen en diferentes grados y de diferentes

maneras, jugando diferentes roles. Es por eso que la economía es una ciencia social.

Las ciencias pueden estar referidas a relaciones entre objetos reales o mentales.

En el primer caso, las ciencias que hacen referencia a la realidad son llamadas

ciencias fácticas, mientras que en el segundo, las ciencias, en donde sus

proposiciones son pensamientos que hacen referencia a otros pensamientos, son

llamadas ciencias formales. Debido a que la economía tiene por estudio del proceso

económico en sociedades concretas, sus proposiciones tienen que hacer referencia a

la realidad. Entonces, claramente la economía es una ciencia fáctica.

Una ciencia es teórica cuando sus proposiciones son validas para toda la realidad

(deben tener proposiciones universales). La ciencia Física es teórica, ya que sus

proposiciones son casi validas para toda la realidad, por ejemplo, la ley de la

gravedad se aplica en cualquier parte del mundo. Al contrario de esta ciencia, en

Economía existen proposiciones específicas para cada realidad, como también

existen proposiciones genéricas que son validas para todas las realidades. Entonces

claramente la economía no es una ciencia teórica, pero aunque no tenga

proposiciones (fundamentales) que no son universales, satisface exigencias para ser

clasificada como ciencia teórica, dado que hay un ordenamiento lógico en sus

proposiciones. Se podría decir, ante este hecho, que la economía es una ciencia

cuasi-teórica.

A partir de lo mencionado, podemos definir a la Economía de la forma siguiente:

“La economía es una ciencia social, fáctica y cuasi-teórica, que estudia la mejor

asignación de los recursos escasos entre usos ilimitados y competitivos.”

4 Para mayor profundidad del tema se puede consultar a Figueroa (2008), cap. 1 y Figueroa (2003),

cap. 1.


8

B. La metodología alfa-beta en la ciencia económica

Según Georgesu-Roegen (1971), la ciencia es un conjunto de proposiciones alfa y

beta, tal que las proposiciones beta son derivadas lógicamente de las proposiciones

alfa, y ninguna proposición alfa puede ser derivada de otra proposición alfa. Así los

fundamentos de la ciencia vienen dado por sus proposiciones alfa.

El conjunto de proposiciones alfa constituye la teoría, es el conjunto de

supuestos o axiomas que se establecen para comprender la realidad. Estos se

construyen como axiomas que, no necesitan justificación. Explicar la realidad

requiere teoría o abstracción, y eso implica simplificación de la realidad.

Las proposiciones beta se obtienen de las alfa por inferencia lógica (se usa el

método matemático, para asegurar que la derivación sea lógicamente correcta). Las

proposiciones beta muestran las relaciones entre las variables exógenas y

endógenas, y por lo tanto muestran las relaciones causa efecto. Las proposiciones

beta tienen contenido empírico, predicen relaciones empíricas particulares entre

variables exógenas y las endógenas. En consecuencia, las proposiciones beta, son el

medio por el cual se pone a prueba si la teoría es o no consistente con la realidad.

Las proposiciones alfa son muy genéricas. Para analizar una economía concreta,

se necesitan hacer supuestos adicionales que le permitan al economista un mayor

grado de aproximación a la realidad. Esta mayor concreción se conoce como el

“modelo” de la teoría. Entonces, cada economista puede hacer diferentes supuestos

adicionales para una misma teoría, y por lo tanto, se puede obtener diferentes

modelos para una misma teoría. Con respecto a la teoría Keynesiana, se puede

encontrar varios modelos que se derivan de esta, por ejemplo, el modelo de la curva

de Phillips, el modelo IS-LM, solo por mencionar algunos.

La teoría, que se suponía a priori como verdadera, se verá confrontada con la

realidad mediante las proposiciones beta, utilizando métodos estadísticos-

econométricos. Es decir, las proposiciones alfa son falseadas mediante la verificación

indirecta mediante las proposiciones beta. Si las proposiciones beta se ajustan bien

a los datos empíricos, puede decirse que la teoría es consistente con la realidad. No

podemos decir que la teoría es verdadera, porque las mismas proposiciones beta

pueden derivarse de otra teoría. Si los datos no coinciden con las proposiciones

beta, la teoría es simplemente falsa. Una teoría puede ser consistente con la

realidad hoy, pero mañana no, es por tal motivo que la verificación empírica debe

ser continua para poder usarlo en la formulación de las políticas económicas.

En conclusión, la metodología alfa-beta permite que una teoría pueda ser

falseada por la observación empírica. Según esta metodología, una teoría necesita


9

ser empíricamente refutable, una teoría debe ser mortal. Si una teoría no es

susceptible de generar proposiciones refutables, no puede convertirse en teoría. Este

es el llamado principio de falsación, principio que constituye la línea demarcatoria

entre ciencia y no ciencia.

Metodología alfa-beta

FASE (1): SUPUESTOS ADICIONALES, estos dependen del arte y de la

capacidad abstracción de quien esta formulando el modelo teórico.

FASE (2): MÉTODO MATEMÁTICO, para asegurar que las derivaciones de las

predicciones sean lógicamente correctas

FASE (3): CONFRONTACIÓN CON LA REALIDAD, mediante métodos

estadísticos y econométricos.

TEORÍA

α

Modelo 1

α1'

. . .

Modelo 2

α2'

Modelo n

αn'

FASE (1) FASE (2)

PREDICCIONES

β'

REALIDAD ECONÓMICA

β*

FASE (3)


10

C. Matemáticas de la optimización

Maximización de una función con una variable

Derivadas

Sea la función , la derivada de sobre , se escribe formalmente como

0 0

o de forma simplificada como

pero la derivada de sobre el punto , se escribe formalmente como

0 0

00 0

o de forma simplificada como

0

0

Condición de primer orden para un punto optimo5

Hablar de un punto óptimo en matemáticas y en economía es encontrar el nivel

mínimo o máximo de una función. En este sentido, para encontrar el punto máximo

y mínimo se debe cumplir que

0 ,

En ese punto óptimo, por ejemplo , se tiene que cumplir que

0 ,

Entonces, podemos decir que en el punto existe un punto óptimo (mínimo o

máximo). La condición de segundo orden nos asegurará de que tipo de optimo de

trata.

5 A veces a esta condición suele llamarse condición necesaria


11

Debemos tener en cuenta que con esta condición hallamos es punto que

maximiza o minimiza la función, para obtener el valor máximo, debemos remplazar

este punto en la función inicial.

Condición de segundo orden para un punto óptimo6

Para saber si el punto hallado es un punto máximo o mínimo, tenemos que

recurrir a la condición de segundo orden. Las condiciones para un máximo y un

mínimo son las siguientes.

Si

2

20 , entonces en existe un máximo de ;

Si

2

20 , entonces en existe un mínimo de ;

Si

2

20 , entonces en puede existir un máximo, un mínimo o

nada.

Maximización de funciones de varias variables

Cuando una función depende de varias variables, las condiciones de primer y

segundo orden cambian.

Condición de primer orden para un punto óptimo

Sea : nf R R , o sea , y sea la derivada parcial con respecto a

una variable sobre el punto 1

0 0 0definida como

0 0 0 0 0 0

1 10 0

10

Y la derivada total definida como

1 2 1 1 2 2

1 2

La condición de primer orden para un óptimo es que

6 A esta condición se reconoce también como condición suficiente.


12

0

Y la única manera que se cumpla esta condición es que

1 2 0

Esta es la condición de primer orden para encontrar el punto óptimo o puede

escribirse como

1 2

0

Condición de segundo orden para un punto óptimo

Sea la matriz hessiana de la función y el punto optimo

1 1 encontrado con las condiciones de primer orden, igual a

11 1

1 1

1

Las condiciones de segundo orden para un punto máximo y mínimo son las

siguientes:

Será un máximo si: 2 0 (definida negativa) o sea si 1 2 30 0 0

Será un mínimo si: 2 0 (definida positiva) o sea si 1 2 30 0 0

Si los menores de la matriz hessiana toman diferentes valores a los presentados,

puede decirse que no existe un valor óptimo en ese punto.

Funciones implícitas

Sea una función . La función implícita de esta función está

definida por

1 0

Entonces la derivada total de la función implícita será igual a

1 1 2 20 0

Si tiene la diferencial total


13

1 1 2 2

Uniendo estas dos últimas, tenemos

1 1 1 2 2 2 0

Para que se cumpla esta igualdad, entonces los valores del paréntesis deben

anular, es decir deben ser igual a cero

A este resultado se le conoce como el teorema de la función implícita.

Optimización con restricciones de igualdad

El problema formal

Supongamos que queremos calcular los valores de que optimizan la

función sujeta a una restricción que solo permite utilizar

determinados valores de las . Una forma general de escribir esta restricción es

1 0 , por lo tanto podemos escribir el problema de optimización de la

siguiente forma

Max o Min

Sujeto a ,

0

Para resolver el problema de programación no lineal con restricciones de igualdad,

existen dos métodos: el de sustitución y el lagrangiano. El método que se usará, en

este documento, será el método lagrangiano que a continuación la describimos.

Condiciones de primer orden

El método del multiplicador lagrangiano parte de la siguiente formulación de la

expresión

1 1 1L o

L

Donde es el multiplicador de Lagrange. Las condiciones de primer orden para

alcanzar un óptimo (punto crítico) son las siguientes


14

1 1

1

2 2

2

1

0

0

0

0

g

g

g

g

L

L

L

L

Después de resolver este sistema de ecuaciones se obtendrá el punto crítico 7

1 1 y que maximice o minimice la función objetivo.

Condiciones de segundo orden

Las condiciones de segundo orden para un óptimo parten de la hessiana

aumentada8 (“bordeada”).

1 2

1 11 11 11

1 1 2 11 11 11

11 11 11

0 g g g

g

g

g

Las condiciones de segundo orden para un punto máximo y mínimo son las

siguientes:

Será un máximo si: 2 0 (definida negativa), es decir

2 3 40 0 0

Será un mínimo si: 2 0 (definida positiva), es decir 2 3 4 0

Si los menores de la matriz hessiana toman diferentes valores a los presentados,

puede decirse que no existe un valor óptimo en ese punto.

7 Llamado también punto estacionario. 8 Conocido también como hessiano orlado.


15

Optimización con restricciones de desigualdad (condiciones

Kuhn-Tucker

El problema formal

Queremos resolver ahora el siguiente problema con restricciones de desigualdad:

Max

Sujeto a ,

1 0

0

Al igual que antes, se define el lagrangiano como

1

1

L

Sea 1 un máximo de L . Las restricciones pueden satisfacerse de

dos maneras: con la igualdad, y entonces decimos que la restricción esta activa, o

con la desigualdad estricta, y decimos que esta inactiva. En este caso, unas

condiciones necesarias para que 1 sea máximo son las llamadas

condiciones Kuhn-Tucker (CKT):

0

0

0

0

L

La última condición es conocida como condiciones de holgura complementaria y

nos dicen que si 0 , entonces 0 (la restriccion esta activa) y

0=

cuando 0 (la restricción no está activa).


16

El Teorema de la Envolvente

Envolvente para un óptimo sin restricciones

Sea una función que depende también del parámetro . Para

calcular un punto optimo, se debe cumplir que

0 1

Una vez que obtenemos el óptimo 1 1, cada punto óptimo dependerá

del parámetro

Remplazando en la función inicial se obtiene

Diferenciando totalmente esta expresión con respecto a , se obtiene

1 2

1 2

De las condiciones de primer orden, esta expresión se convierte en

Esta es conocida como el teorema de la envolvente.

Envolvente para un óptimo con restricciones

En muchas situaciones, las funciones a maximizar y las restricciones dependen de

parámetros 1 . Sea el valor máximo del problema de

optimización. Sea el punto que resuelva el problema

Max

1 1

2 2


17

Sujeto a ,

1 0

0

Entonces se define la función de valor como = . Entonces

tenemos el siguiente teorema.

TEOREMA: Sea el punto que maximiza el problema de optimización con

parámetros y supongamos que todas las restricciones están activas.

Si L es el lagrangiano en el óptimo, entonces se cumplen

a) =L ,

b)

=L

D. El mercado

A continuación se hace una introducción de los conceptos más básicos de un

mercado, más adelante en posteriores capítulos, cuando contemos con instrumentos

mas poderosos, se expondrá de una manera más rigurosa este punto.

Precio de reserva. Cantidad máxima que una persona está dispuesta a pagar (la

máxima disposición a pagar) para adquirir un bien o servicio. Es aquel precio que le

da exactamente comprar un bien que no comprarla.

Curva de demanda. Es la relación entre la cantidad demandada y el precio del

mercado.

=

Construcción de una curva de demanda

Para construir una curva de demanda, se tiene que elegir un precio y preguntar

cuantos estarían dispuestos a comprar a ese precio (comprarán los consumidores

que tengan un precio de reserva mayor o igual al precio determinado).


18

Construcción de una curva de oferta

Al igual que la curva de la demanda, elijamos un precio y preguntamos cuantos

bienes se ofrecerían a un nivel de precios. Pero la respuesta dependerá en cierta

medida del plazo de tiempo que analicemos. Para el mercado de apartamentos, en

el corto plazo la cantidad ofertada es casi fija (es decir se alquilará el mismo

número de apartamentos sea el precio que se cobre).

Equilibrio de mercado competitivo

El equilibrio de mercado es aquel punto al que cada consumidor, que esta

dispuesto a pagar como mínimo, puede comprar un bien y cada productor puede

alquilar el suyo al precio del mercado vigente

Precio de

reserva

Número de apartamentos

Oferta

S


19

El monopolio discriminador

Un monopolista discriminador es aquel que cobra precios diferentes a distintos

consumidores para apropiarse de todo el excedente del consumidor, y así, obtener

mejores ganancias.

Monopolista ordinario

Un monopolista ordinario cobra un solo precio a comparación de un monopolista

discriminador. Cobra un precio mayor al de un mercado competitivo para

maximizar su beneficio.

La existencia del control de alquileres

Si el estado decide fijar el alquiler máximo que va a cobrarse (generalmente

menor al precio de un mercado competitivo). En esta situación se genera un exceso

de demanda y causa distorsiones en quienes adquieren el producto.

¿Cuál es la mejor forma?

Para evaluar cuál de estas cuatro instituciones es la que mejor asigna los

recursos escasos, es necesario utilizar un criterio útil llamado

o simplemente eficiencia económica.

Eficiencia en el sentido de Pareto (eficiencia económica). Es cuando no es

posible mejorar el bienestar de alguna persona sin empeorar la de otras.

Mejora en el sentido de Pareto. Es cuando se puede encontrar la forma de

mejorar el bienestar de alguna persona sin empeorar el de ninguna. Si una

asignación es mejorable, se dice que es .

Por tanto, existirá eficiencia económica tanto en el mercado competitivo y el

mercado donde gobierna un monopolista discriminador, pero hay ineficiencia

económica en los mercados donde existe monopolio ordinario y control de

alquileres.


20

Algunas definiciones importantes

Racionalidad. Capacidad que tiene una persona para evaluar diferentes

alternativas y elegir aquella que maximiza su satisfacción.

Coste de oportunidad. Es desechar la mejor alternativa por elegir otra opción (no

se puede hacer todo lo que uno quiere).

Costo en dólares. Es una medida convencional. Los dólares que se gastan en

un libro no están disponibles para gastarlos en un disco compacto. En

realidad el costo de oportunidad del libro no son los dólares que gastaron en

él, sino en el disco compacto que nos privamos.

Coste en tiempo. El coste de oportunidad de un bien incluye el valor del

tiempo. Si tardar una hora en ir con su dentista, el valor debe añadirse en la

cantidad que usted pago por consulta.

Coste externo. Coste que imponen costes de oportunidad a otras personas.

Si se consume una gaseosa del refrigerador, parte del costo de oportunidad

que los demás pagan lo constituye el bióxido de carbono en la atmosfera.

Externalidades. Es cuando las acciones de un agente afecta de forma positiva o

negativa a otro agente (puede ser un consumidor o un productor). Si escuchas

música alto volumen, ésta puede disgustar a los vecinos cercanos quienes no

disfrutan del tipo de música que disfrutas.


21


22

Capitulo 1

La restricción presupuestaria

Los economistas suponen que los consumidores eligen la mejor cesta de bienes

que pueden adquirir. A continuación estudiaremos lo que significa “poder elegir”

Se denota al conjunto de cestas existentes en la economía como +, esto es,

el consumidor tiene para escoger su nivel de consumo entre combinaciones de n

bienes existentes, donde, es la cantidad consumida del bien 1= , se verá,

que la elección del conjunto de cestas del consumidor puede ser reducida por

restricciones físicas, institucionales y económicas.

Entonces el conjunto de cestas existentes en la economía se reduce a un conjunto

de posibilidades de consumo dado las restricciones físicas e institucionales. Un

ejemplo de restricción física es cuando el bien es no divisibles, es decir, el individuo

sólo puede consumir cantidades enteras del bien, por ejemplo: una entrada al

teatro. En la gráfica, para n=2 se observa que el bien 1 es no divisible y el bien 2

es divisible.

Restricción Presupuestaria Para un Bien No Divisible


23

Para seguir con la notación inicial del conjunto de cestas de consumo + se

va a suponer que no hay restricciones de estos tipos, entonces, se define el

como el siguiente conjunto convexo:

0 1+ += : =para

La elección del consumo del individuo también se enfrenta a una restricción

económica, si consideramos el vector de precios de los bienes como (el valor en

dólares, no negativo, del bien ), que es impuesto por el mercado. Y además, que el

individuo tiene un ingreso , entonces, el conjunto de cestas es asequible si el

costo es menor e igual que el ingreso del consumidor, así:

1 1 2 2

1=

= = + + +

Con este resultado, se puede definir el

como todas las cestas de consumo factibles para el consumidor, dado, el precio de

mercado y el ingreso del individuo. Y lo denotamos por

+= :

en la figura siguiente, para 2= , sería toda el área sombreada. La línea

1 1 2 2+ = es llamada la .

Restricción Presupuestaria Estándar

9 Conocido también como área de posibilidades de consumo 10 Llamada también ecuación de balance.


24

La pendiente de la recta presupuestaria como coste de

oportunidad

Análisis para dos bienes

A menudo la pendiente de la recta presupuestaria se interpreta como

.

La pendientes es igual a

2 2 1

1 1 2

= = -

Si esta es igual a -2, significa que, para obtener una unidad adicional del bien 1

es necesario sacrificar 2 unidades del bien 2. O también puede interpretarse con el

enfoque de que el bien 1 cuesta el doble del bien

2, o que se puede

comprar dos unidades del bien 2 con una unidad del bien

1.

Análisis para n bienes

Si tenemos la siguiente restricción presupuestaria

1 1 2 2+ + + =

Convirtiendo esta ecuación en una función implícita

1 1 2 2

1 2

+ + + - = 0

, = 0

Podemos diferenciar totalmente y obtenemos

1 2

1 2

0 = + + + +

1 1 2 20 = + + +

Por tanto en general el costo de oportunidad del bien con respecto al bien

es igual a

= -

El numerario

El numerario es el bien de quien se supone que el precio es igual a 1. Cuando

suponemos que uno de los precios es 1, entonces este es el precio del bien

numerario, o sea el precio en relación con el cual medimos otro precio de la

restricción presupuestaria.


25

Por ejemplo en la siguiente restricción presupuestaria 1 1 2+ = , el bien

numerario será el bien 2 debido a que el

2 1= .

A veces resulta útil considerar que uno de los bienes es un bien numerario, ya

que de esa forma hay un precio menos de que preocuparse.

Los impuestos y las subvenciones

Impuesto a la cantidad. Cantidad de dinero que se paga a un gobierno por cada

unidad que se compra: un ejemplo seria el impuesto por cada litro de gasolina.

Si se grava un impuesto a la cantidad de 1, entonces el impuesto total que

debemos pagar al estado es 1= , por lo tanto la nueva restricción

presupuestaria se convertirá en:

1 1 2 2+ + =

Impuesto sobre el valor (impuesto ad valoren). Es un impuesto sobre el precio

del bien (porcentaje del precio). Un ejemplo es el IGV.

Si se grava un impuesto sobre el valor al precio del bien 1, entonces el impuesto

total que debemos pagar al estado es 1= , por lo tanto la nueva restricción

presupuestaria se convertirá en:

1 1 2 21+ + =

Impuesto fijo. Significa que el estado se lleva una cantidad fija de dinero,

independientemente de la conducta del individuo. Por tanto esta tasa fija desplaza

la recta presupuestaria hacia adentro debido a que disminuye su renta monetaria.

Si se grava un impuesto fijo T al consumidor, entonces el impuesto total que

debemos pagar al estado es , por lo tanto la nueva restricción presupuestaria se

convertirá en:

1 1 2 2+ = -

Subvención. Es lo contrario a un impuesto. Cantidad de dinero que el gobierno

otorga al consumidor cuando este consume un bien. Al igual que los impuestos,

existen también subvenciones a la cantidad, al valor y subvenciones fijas.


26

Capitulo 2

Las preferencias

Relaciones de preferencia

En el enfoque basado en las preferencias, los objetivos de la toma de decisiones

se resumen en una , que se denota por % . Técnicamente, es

una relación binaria sobre el conjunto de alternativas (conjunto de consumo11),

permitiendo la comparación de pares de alternativas . Cuando escribimos

% , queremos decir que “ , ,

”. De % , podemos derivar dos relaciones importantes sobre :

i. La relación de , , definido por:

si solo si % pero no %

y se lee “ ”o“

”

ii. La relación de , ∼, definido por:

∼ si solo si % y a la vez %

y se lee “ ”

En la teoría microeconómica, las preferencias individuales son asumidas como

racionales. La hipótesis de racionalidad, está incorporado en dos supuestos básicos

(axiomas) sobre la relación de preferencias: completas y transitivas.

11 En este documento, suponemos que es orlante no negativa de , pero pueden utilizarse conjuntos

más específicos, por ejemplo, pueden incluirse solamente cestas que, al menos, permitan al

consumidor subsistir. Siempre suponemos que es un conjunto cerrado y convexo.


27

Definición. La relación de preferencia es racional si este posee dos propiedades.

i. Completas : para todo , suponemos que % o % ( o

ambos)

ii. Transitivas: para todo ; si % y % , entonces % .

Proposición. Si % es racional, entonces:

i. es a la vez ( nunca sucede) y (si y

, entonces )

ii. ∼ es ( ∼ para todo ), ( si ∼ y ∼

entonces ∼ ) y (si ∼ , entonces ∼ )

iii. Si , % entonces

Una forma de dividir los axiomas de preferencia

(axiomas adicionales)

Axiomas de orden

a) Completitud. Significa que el individuo ha de ser capaz de comparar dos cestas

% o % o ∼

De esta última, se derivan las siguientes posibilidades lógicas del axioma.

% %¬

% %¬

% % ∼

% %¬ ¬: prohibido

b) Reflexiva. Significa que toda cesta es al menos tan preferida así misma

%: también : ∼

c) Transitividad.

; si % y % , entonces %

El cumplimiento de estos tres axiomas de orden convierte a la relación binaria,%en una relación de orden débil. , porque permite efectuar una ordenación

de las cestas de, y porque admite indiferencia entre ellas.

De esta forma, ahora es posible particionar el espacio de elección en

subconjuntos llamados .


28

Definimos a una como un conjunto de cestas de bienes

indiferentes entre sí:

, se define = : ∼

El , es un conjunto de cestas al menos tan

preferidas a una dada:

, se define %= :

El , o conjunto de todas las cestas tales que una

dada resulta, al menos, tan preferidas a ellas es un conjunto de cestas al menos tan

preferidas a una dada:

, se define %= :

Axiomas de regularidad

d) Continuidad. Cualquiera que sea perteneciente a , los conjuntos

%: y -: son conjuntos cerrados. Por lo tanto : y

: son conjuntos abiertos.

En el análisis económico suele resultar útil resumir la conducta del consumidor

por medio de una , es decir, una función : tal que si

solo si . Puede demostrarse que si la ordenación de las

preferencias es completa, reflexiva, transitiva y continua, puede representarse por

medio de una función de utilidad continua.

Axiomas de deseabilidad

e) No saturación (insaciabilidad global). Siempre es posible encontrar una

combinación alternativa que permita tener mayor satisfacción que la

actualmente. Es decir, prohíbe puntos de saturación absoluta (bliss points) en el

consumo.

:

f) Insaciabilidad local. Dada una cesta cualquiera perteneciente a y un

cualquiera, tal que 0 , existe una cesta perteneciente a tal que

‖ - ‖ 12, las que . Es decir es posible mejorar, incluso aunque solo se

introduzcan pequeñas variaciones en la cesta de consumo. La insaciabilidad local

excluye la posibilidad de que las curvas de indiferencia sean de .

12 ‖ - ‖ es la llamada distancia euclidiana


29

g) Monotonicidad débil. Si, entonces % . Una cesta que contenga como

mínimo la cantidad de bienes que otra, es como mínimo igual de buena como

esta.

h) Monotonicidad fuerte. Si y , entonces . Si una cesta contiene

como mínimo la misma cantidad de todos los bienes que otra y más de alguno de

ellos, es estrictamente mejor que esta. Esto significa simplemente suponer que los

bienes son .

Axiomas de convexidad

i) Convexidad. Dados pertenecientes a tal que % y % , entonces

1 %+ cualquiera que sea tal que 0 1. El conjunto de todas las

cestas situadas en una curva de indiferencia o por encima de ellas se denomina

conjuntos de puntos del contorno superior.

j) Convexidad estricta. Dados y pertenecientes a , si % e % ,

entonces 1+ cualquiera que sea tal que 0 1.

El supuesto de convexidad implica que un agente prefiere los puntos medios a

los extremos, pero, por lo demás, apenas tiene contenido económico.

Las curvas de indiferencia

La ordenación de las preferencias suelen representarse gráficamente. El conjunto

de todas las cestas de consumo de indiferentes entre si se denominan curva de

indiferencia

Curva de indiferencia. Una curva de indiferencia (o con muchas dimensiones, una

superficie de indiferencia), nos muestra las cestas que el individuo considera

indiferentes, pero no muestra cuales son mejores y cuales son peores.

Curva de Indiferencia


30

Las curvas de indiferencia constituyen un instrumento para describir las

preferencias. Puede representar casi todas las preferencias que puedan imaginarse.

El truco consiste en aprender que forma tienen las curvas de indiferencias a cada

tipo de preferencias.

Mapa de curvas de indiferencia. Puede considerarse que las curvas de indiferencia

son conjuntos de nivel de una función de utilidad.

Mapa de curvas de Indiferencia

Ejemplos de preferencias

Sustitutos perfectos

Dos bienes son sustitutos prefectos si el consumidor está dispuesto a sustituir

una por otro a una tasa constante.

Sustitutos Perfectos


31

Complementarios perfectos (proporciones fijas-Leontief)

Los complementarios perfectos son bienes que siempre se consumen juntos en

proporciones fijas.

Complementos Perfectos

Neutrales

Un bien es neutral si al consumidor le da igual consumir más de ese bien

Curvas de Indiferencia cuando X1 es un Bien Neutral

Males

Un mal es una mercancía que no gusta al consumidor.

Curva de indiferencia de un Bien y un Mal (desbien)

X1

X2

U0

U1

U2

X1

X2

U0

U1

U2

X1 (Bien)

X2 (Mal)U0

U1

U2


32

Saciedad

Mapa de Indiferencia para un caso de una

Superficie de Preferencias en Particular

Bienes discretos

Un bien es discreto cuando solo se encuentra en cantidades enteras

Mapa de Indiferencias para u Bien Discreto

(x1) y Conjunto Preferido Débilmente

X1

X2

A CB D

Bien (X1)-Mal (X2) Mal (X1)-Mal (X2)

Bien (X1)-Bien (X2) Mal (X1)-Bien (X2)

X10 X1

1 X12 X1

3

Punto de saciedad

( punto de máxima felicidad

o colina del placer)

X20

X1

X2

0 1 2 3 4

X2

Cestas preferidas Debilmentea la (1, X2)


33

Bienes disponibles e indispensables y los bienes necesarios

Bien indispensable. Si no existe la posibilidad de tener utilidad positiva sin

consumir algo de dicho bien.

Mapa de Indiferencia cuando ambos

Bienes son Indispensables

Bien dispensable. Si el consumidor puede dejar de consumir el bien en cuestión,

este se convierte en un bien dispensable.

Mapa de Indiferencia cuando el Bien X2

es Dispensable

Bienes necesarios. Es cuando requiere ser consumido en, al menos, una cantidad

mínima superior a cero, para que el individuo sobreviva.

Mapa de Indiferencia cuando el Bien X2

es Dispensable

X1

X2

U2

U1

U0

X1

X2

U0

U1

X1

X2

U1

U0


34

Preferencias onduladas

Es un caso más inusual, no tiene mucho fundamento económico.

Mapa de Indiferencia Preferencias

Onduladas

Preferencias lexicográficas

Sean dos cestas y . Supongamos que la relación de preferencia, están

definidas de la siguiente manera: si 1 1 , o si 1 1 pero 2 2

. Esta

viene hacer una relación lexicográfica, nombre que tiene origen en la manera como

está organizado un diccionario: el bien 1 tiene la prioridad más alta para

determinar el ordenamiento de preferencias, del mismo modo que la primera letra

de una palabra tiene la primera prioridad para su ordenamiento dentro del

diccionario. Solo cuando las canastas contienen la misma cantidad del primer bien

(o sea 1 1) es que el segundo bien ( 2 2

) entra a tallar para determinar las

preferencias del consumidor. El lector puede verificar que el ordenamiento

lexicográfico es completo, transitivo, fuertemente monótono y estrictamente

convexo. Sin embargo, se puede demostrar que no existe ninguna función de

utilidad para representar este ordenamiento de las preferencias.

Preferencias Lexicográficas (se debe satisfacer

primero el deseo o necesidad de un bien, luego otro)

En las preferencias lexicográficas no existen cestas que sean indiferentes entre sí.

No se cumple el teorema de Debreu. Las curvas de indiferencias son conjuntos

unitarios (cada punto dentro del mapa de indiferencia).

X1

X2

U0U1

X1

X2

Relojes

A

Lechef


35

Las preferencias regulares

Para que las preferencias sean regulares, deben cumplirse los siguientes

supuestos: preferencias monótonas y convexas

Supuesto 1 (preferencias monótonas). Cuanto más tenemos de algo es mejor; es

decir, que hablamos de bienes normales. Más concretamente, si tiene al menos la

misma cantidad de bienes que y más de uno de ellos, entonces . Este

supuesto a veces se denomina preferencias monótonas.

Preferencias Monótonas

Supuesto 2 (preferencias convexas). Cuando las preferencias son convexas

estrictamente, se supone que las cestas medias se prefieren a los extremos. Cuando

las preferencias son regulares, no existe .

Preferencias Convexas

Preferencias No Convexas Preferencias Cóncavas

Mejorescestas

X1

X2

Peorescestas

(X1, X2)

Cestamedia

X1

X2

(X1, X2)

(Y1, Y2)

X1

X2

U

Cestamedia

(X1, X2)

(Y1, Y2)

Cestamedia

X1

X2

(X1, X2)

(Y1, Y2)

Cestamedia

X1

X2

(X1, X2)

(Y1, Y2)


36

Relación marginal de sustitución

La Relación Marginal de Sustitución (RMS)13 es la pendiente de la curva de

indiferencia ( ). Mide la relación con que el consumidor está dispuesto a sustituir

un bien por otro.

En un modelo de 2 bienes, la relación marginal de sustitución del bien 2 por el

bien 1, es decir cuánto estará dispuesto a sustituir el bien 2 por el bien 1, se define

como:

2 21

1

En un modelo de bienes, la relación marginal de sustitución del bien j por el

bien i, es decir cuánto estará dispuesto a sustituir el bien j por el bien i, se define

como:

Otra interpretación de la RMS. La RMS también mide la

.

Si las preferencias son convexas, la RMS es decreciente, o sea

1 2

1

0

La Relación Marginal de Sustitución decreciente para dos bienes

13 Conocida también como “Tasa Marginal de Sustitución” (TMS), “Tasa Subjetiva de

Cambio”(TSC) o “Relación de sustitución entre bienes” (RSB).

RMS= Tg (α)

X1

X2

(X1, X2)

α U


37

Capitulo 3

La utilidad

Los economistas han abandonado la antigua idea de la utilidad como medida de

la felicidad y han reformulado totalmente la teoría de la conducta del consumidor

en función, ahora, de sus . Se considera que la utilidad no es más que

una forma de describirlas.

Los economistas se han dado cuenta gradualmente de que lo único importante de

la utilidad, es lo que a elección se refiere, es decir si una cesta tiene mayor utilidad

que otra y no el grado en que una utilidad es mayor que otro.

Las preferencias del consumidor son la descripción fundamental para analizar la

elección y la utilidad no es más que una forma de describirlas.

Función de utilidad

La función de utilidad es un instrumento para asignar un número a todas las

cestas de consumo posibles, de tal forma que las que se prefieren tengan un número

más alto que las que no se prefieren. Es decir la cesta 1 2 se prefiere a la

1 2 si solo si la utilidad de la primera es mayor que la utilidad de la segunda,

en símbolos, si 1 2 1 2, si solo si 1 2 1 2

.

Diferentes formas de asignar utilidades

cesta U1 U2 U3

3 17 -1 2 10 -2

1 0.002 -3


38

La única propiedad importante de una asignación de utilidad es la forma en que

ordena las cestas de bienes. Este tipo de utilidad se denomina utilidad ordinal,

debido a que se pone énfasis la ordenación de bienes.

Casi todos los tipos de preferencia, pero no todos, pueden representarse mediante

una función de utilidad.

La existencia de una función de utilidad (Teorema de Debreu, 1959)

Supongamos que las preferencias son completas, reflexivas, transitivas y

continuas y monótonas en sentido fuerte. En ese caso, existe una función de

utilidad continua +: ( 1 2= ) que representa esas

preferencias.

Transformación monótona14

La transformación monótona es una serie de números en otra de tal manera que

se mantengan el orden de estas. Es decir si 1 1 2 2 1 2 implica que la

transformación monótona 1 1 2 2 1 2 . Es decir, una

transformación monótona representa las mismas preferencias que una función de

utilidad inicial.

Ejemplos de transformación monótona son la multiplicación a la función de

utilidad por un número positivo (por ejemplo 17 ), la suma de cualquier

número (por ejemplo 3 ), la elevación de una potencia (por ejemplo

3 ), etc.

La utilidad marginal

Dado una función de utilidad 1 2= , la utilidad marginal de cada bien

nos dice cuanto se incrementa la utilidad del consumidor, en promedio, cada vez

que el consumo de dicho bien aumenta en una unidad, manteniéndose constante el

consumo del otro bien.

Por ejemplo, la utilidad marginal del bien 1 se expresa:

1 1 2 1 2

1

1 1

14 Lo que se llama “transformación monótona” se denomina, estrictamente hablando,

“transformación monótonamente creciente”, para diferenciarla de “transformación monótona

decreciente” que es aquella que invierte el orden de los números.


39

Y cuando la variación del bien 1 tiende a cero, entonces:

1

1 1 2 1 2 1 2

10

1 1

1 2

1 1

1

También esto se cumple para la utilidad marginal del bien 2

1 2

2 2

2

Cuando existe bienes, la función de utilidad será igual a 1 2= ,

entonces la utilidad marginal con respecto al bien será:

1 2

La utilidad marginal (UM) y la relación marginal de

sustitución (RMS)

Sea 1 2 una función de utilidad, supongamos que

aumentamos la cantidad del bien , ¿Qué cambios ha de introducir el consumidor

en el consumo del bien para mantener constante la utilidad? Por hipótesis la

variación de la utilidad debe ser cero.

0

Despejando tenemos:


40

Sea una transformación monótona de la función de utilidad

1 2 , la relación marginal de sustitución no cambia respecto a

la función de utilidad inicial, como se demuestra a continuación.

Sea 1 2 , entonces

Algunos ejemplo de función de utilidad

Sustitutos perfectos

Es cuando consumidor siempre está dispuesto a renunciar unidades del bien

2 por unidades del bien 1 , entonces la función de utilidad para dos bienes

será:

1 2 1 2

y miden el valor que tiene los bienes para el consumidor, para bienes la

función será:

1 2 1 1 2 2

Complementarios perfectos

La función de utilidad para bienes que son complementarios perfectos se

representa de la siguiente forma:

1 2 1 2

y son números positivos que indican la proporción que se consume de cada

bien.


41

Esta función quiere decir que, dado que un exceso de alguno de ellos no

incrementa la utilidad, por lo tanto no habrá un exceso de ninguno de los bienes.

Un ejemplo es lo siguiente

1 2 16 8 8

La función de utilidad para bienes es

1 2 1 1 2

Preferencias cuasilineales

Las funciones de utilidad para preferencias cuasilineales para dos bienes se

representa de la siguiente forma.

1 2 1 2

Es decir, esta función es lineal en 2 pero no en el bien 1 , de ahí el nombre de

utilidad cuasilineal.

Preferencias Cuasilineales

(Cuando 2 es cuasilineal, pero 1 no lo es)

Ejemplos de estos tipos de función son las siguientes (lineales en 2 )

1 2 1 2

1 2 1 2

Preferencias Coob-Douglas

X1

X2


42

Las funciones de utilidad para las preferencias Coob-Douglas para dos bienes se

representan de la siguiente forma

1 2 1 2= , donde 0 0

Para bienes seria de la siguiente forma:

1 2

1 2 1 2=

Estos tipos de funciones de utilidad representan curvas de indiferencia regulares.

También se puede representar en su forma de transformación monótona de la

siguiente forma:

1 2 1 2=

Preferencias con elasticidad de sustitución constante (ESC o

CES)

Las tres funciones de utilidad específicas (sustitutos perfectos, complementarios

perfectos y Coob-Douglas) que se han mostrado, son casos especiales de una

función más general con elasticidad de sustitución constante (CES), esta se

representa de la forma siguiente:

1 21 2

donde 0 , y

1 2 1 2 cuando 0

Esta función de utilidad será:

Sustituto perfecto, 1 2 1 2 cuando 1

Coob-Douglas, 1 2 1 2 cuando 0

Y complementaros perfectos, 1 2 1 2 cuando

Convexidad y la RMS decreciente

La convexidad estricta, como se dijo anteriormente, atribuye una RMS

decreciente. Si las preferencias son convexas, entonces la RMS será decreciente.

Esto significa que:


43

2

1 1 2

1

0

Propiedades especiales de las funciones de utilidad

Aditividad

Una función de utilidad es (fuertemente) aditiva si la utilidad marginal del bien

solo depende de la cantidad de dicho bien.

2

0

Separabilidad

Si una función de utilidad es (fuertemente) separable, si la RMS entre dos bienes

y solo dependen de la cantidad consumida de dichos bienes, esto es si

, entonces

0

Homogeneidad

Dado una función de utilidad 1 2 , la función será homogénea de

grado si se cumple que:

1 2 1 2

Si es una función homogénea de grado , su RMS es homogénea de grado cero

Homotecia (preferencias homotéticas)

Una función es homotética si se cumple que

1 2 1 2 1 2 1 2

Es decir, la relación marginal de sustitución dependerá únicamente del cociente

de las cantidades de los bienes, y no de las cantidades totales.


44

Ejemplo si 1 2 1 2= , entonces su 2 21

1

dependerá del cociente

2

1

.

La importancia de las funciones homotéticas es que, en esta situación, una curva

de indiferencia es igual que otra, las pendientes solo dependen del cociente 2

1

y

no de lo lejos que este el origen.

Por otro lado, por ejemplo si tenemos la siguiente función 1 2 1 2 ,

su 2

1 2 disminuye a medida que se reduce la cantidad elegida de 2 , pero

es independiente de la cantidad consumida de 1 . Si una función de utilidad es

homogénea, entonces será homotética, pero no ocurre lo contrario (si es homotética

no necesariamente será homogéneo).


45

Capitulo 4

La elección

(La conducta del consumidor)

En esta sección se unirá el conjunto presupuestario y la teoría de las preferencias

para examinar la elección óptima de los consumidores. Según el modelo de la

elección económica del consumidor, los individuos la cesta que pueden

adquirir. Es decir este modelo supone que los individuos, restringidos por rentas

limitadas, se comportarán como si utilizarán su poder adquisitivo de tal manera

que obtienen “”. O sea, se supone que los individuos se

comportan como si maximizaran la utilidad sujeta a una restricción presupuestaria.

La elección óptima

El caso de dos bienes

Análisis grafico

Supongamos que el consumidor tiene un conjunto presupuestario

1 1 2 2 +


46

Y las preferencias representadas por algunas curvas de indiferencia

El objetivo es encontrar la curva de indiferencia mas alta, y consecuentemente la

cesta que genera tal nivel de utilidad, dado que las preferencias son regulares

(monótonas y convexas).

Condiciones de primer orden para un máximo (tangencia)

Al unir los dos gráficos anteriores, tenemos lo siguiente

Como se muestra en la figura, la única forma para que el consumidor alcance la

máxima utilidad, es gastando todo su ingreso (renta) e igualando la pendiente de la

recta presupuestaria

Conjuntopresupuestario

X1

X2

X1

X2

U0

U1

U2

X1

X2

U0

U1

U2

X2*

Elecciónóptima(X1

*, X2*)


47

Pendiente de la recta presupuestaria= 2 1

1 2

a la pendiente de la curva de indiferencia

Pendiente de la curva de indiferencia= 2 11

1 2

2

,

es decir

1 1

2 2

O de otra forma

2 11

2

Ésta es la condición de primer orden para que el consumidor maximice su

utilidad. ¿Tiene que cumplirse realmente esta condición de tangencia? No se

cumple en todos los casos, pero si en los más interesantes.

Ejemplos en donde no se cumple que la tangencia para que se alcance un

máximo son las siguientes

Preferencias con vértice

Un punto optimo del consumidor en el que

la curva de indiferencia no tiene tangente.

X1

X2

RP

Elecciónóptima

U0

U1

U2

X2*

X1*


48

Preferencias con solución de esquina

El consumo óptimo implica

consumir 0 unidades del bien 1 .

Preferencias onduladas

Solo un punto es óptimo, por lo que la tangencia es

necesaria pero no suficiente para obtener un máximo.

Condiciones de segundo orden o suficiente (preferencias convexas)

La condición de segundo orden o suficiente para obtener un máximo es que las

preferencias deben ser convexas (las curvas de indiferencias deben ser convexas). Es

decir que la RMS debe ser decreciente a medida que aumenta en una unidad el bien

1 .

2

1 1 2

1

0

Análisis matemático

Consideremos el problema de maximización del consumidor condicionada de la

utilidad, que se denomina :

X1

X2

Elecciónóptima

RP

X1

X2

RP

U1

U0

U2

Cestasóptimas

Cesta no óptima


49

1 2

s.a 1 1 2 2 +

1

2

0

0

O simplemente

1 2

s.a 1 1 2 2 +

1

2

0

0

1er método de solución (sustitución)

Para maximizar la función de utilidad condicionada a la restricción

presupuestaria (ecuación de balance), el consumidor debe encontrar las

combinaciones de bienes que satisfagan la restricción presupuestaria y al mismo

tiempo la función de utilidad. Transformando la restricción presupuestaria y

despejando 2 en función de 1 .

12 1

2 2

Y luego ésta la sustituimos en la función de utilidad, entonces el problema se

transforma en:

11 2 1 1 1 1

2 2

La condición necesaria (condición e primer orden) para el problema sin

restricciones es:

1

1

0

Entonces

1 2 1 2

1 1 2 1

0

1 2 1 11 2

1 2

0


50

Transformando el segundo término de esta última ecuación de la derecha

tenemos la condición de primer orden:

1 1

2 2

, que es igual a 1 1

2 2

O simplemente

1

2

La condición de segundo orden para alcanzar un máximo es:

2

1

2

1

0

Que es lo mismo que

2

1 1 2

1

0

2do método de solución (multiplicadores de lagrange o método lagrangiano)

La segunda forma de resolver estos problemas consisten utilizar multiplicadores

de lagrange. Sea la función de utilidad sujeta a la restricción presupuestaria.

1 2

s.a 1 1 2 2 +

1

2

0

0

Este método este método comienza definiendo una función auxiliar conocida

como lagrangiano.

1 2 1 2 1 1 2 2L , ó

1 2 1 2 1 1 2 2L

Donde es el multiplicador lagrangiano.


El teorema de lagrange dice que una elección óptima debe cumplir las siguientes

condiciones de primer orden.


51

1 2 1 2

1

1 1

1 2 1 2

2

2 2

1 2

1 1 2 2

0

0

0

L

L

L

Tenemos tres incógnitas ( 1 , 2y ) con tres ecuaciones, entonces cabe esperar

que estas tres están en función de 1 , 2 y . Entonces de las dos primeras

ecuaciones tenemos que

1 2

1 2

Si esta última remplazamos en al restricción presupuestaria, obtenemos las

llamadas curvas ordinarias de demanda (demandas marshalianas15)

1 1 1 2

2 2 1 2

Condiciones de segundo orden

Las condiciones de segundo orden para un máximo condicionado es que los

menores del hessiano

1 2

1 2 1 11 12

2 21 22

0

g g

g

g

L LL L

sean 2 3 40 0 0

Interpretación del multiplicador lagrangiano (utilidad

marginal del ingreso)

De las condiciones de primer orden

1 2 1 1 2 2 1 2

1 2

15 Curva de demandas normales


52

1 2

1 2

Esta ecuación afirma que en el punto de optimización cada bien debe ofrecer la

misma utilidad marginal por dólar gastado en este bien. Por tanto cada bien debe

tener el mismo cociente de beneficio (marginal) respecto al coste (marginal).

Es decir, las últimas ecuaciones nos dice que un dólar adicional debería ofrecer la

misma utilidad adicional independientemente en que se gaste. El valor común de

esta utilidad adicional viene dado por el multiplicador lagrangiano de la restricción

presupuestaria del consumidor (es decir por ), por tanto, se puede considerar

como la utilidad marginal del dólar adicional que gasta en consumo

().

Para ver esto de forma técnica, tenemos que

1 1

2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

Por otro lado

1 1 2 2

Dividiendo las dos ultimas ecuaciones o remplazando la ultima en al penúltima,

tenemos

La demanda del consumidor

La elección optima de los bienes 1 y 2, dado un conjunto de precios y renta

determinados, se denomina “cestas de demanda” por el consumo. Cuando varía los

precios y la renta también varían la elección óptima del consumidor.

La , es aquella que relaciona, en la elección

óptima, las cantidades demandadas con los diferentes valores de los precios y la

renta.


53

1 1 1 2

2 2 1 2

La función de utilidad indirecta

Si las funciones de demanda individuales las sustituimos en la función de

utilidad inicial, tenemos:

Utilidad máxima= 1 2 1 1 2 2 1 2

1 2 1 2

En otras palabras, dado que el deseo de maximizar la utilidad de un consumidor,

el nivel de utilidad optimo alcanzable indirectamente de los precios de los bienes

que compra y la renta del individuo. Entonces la está

representado por:

1 2

La minimización del gasto ()

Consideremos el problema de minimización del gasto del consumidor

condicionada a un nivel de utilidad, que se denomina del

consumidor:

1 2 1 1 2 2 +

s.a 1 2

1

2

0

0

Para resolver este problema podemos utilizar los multiplicadores de lagrange. La

función lagrangiana será

1 2 1 1 2 2 1 2L , ó

1 2 1 1 2 2 1 2L


El teorema de lagrange dice que una elección óptima debe cumplir las siguientes

condiciones de primer orden.


54

1 2 1 2

1

1 1

1 2 1 2

2

2 2

1 2

1 2

0

0

0

L

L

L

Tenemos tres incógnitas ( 1 , 2y ) con tres ecuaciones, entonces cabe esperar

que estas tres estaran en función de 1 , 2 y . Entonces, análogamente al

problema de maximización, de las dos primeras ecuaciones tenemos que

1 2

1 2

Si esta última remplazamos en la tercera ecuación, obtenemos las llamadas

curvas compensadas de demanda (demandas Hicksianas)

1 1 1 2

2 2 1 2

La Función de Gasto del Consumidor

Si las funciones de demanda individuales Hicksianas las sustituimos en la función

a minimizar inicial, tenemos:

Gasto mínimo = 1 2 1 1 2 2

+

1 2 1 1 1 2 2 2 1 2

+

1 2 1 2

En otras palabras, dado el deseo de minimizar el gasto del individuo, sujeto a un

nivel de utilidad a alcanzar, el nivel de gasto óptimo estará en función de los

precios y del nivel de utilidad a alcanzar. Entonces la está

representado por:

min 1 2


55

Un ejemplo muy útil

Dado el problema dual: 1 1 2 2

s.a 1 2

Formulando el lagrangiano

1 2 1 1 2 2 1 2L

Las condiciones de primer orden serán:

1

1 1 2

1

1

2 1 2

2

1 2

0

0

0

L

L

L

Resolviendo tenemos

1 2

1 1

1 2 1 2

1 2

2 1

12 1

2

Remplazamos esta última ecuación en la tercera de las condiciones de primer

orden, obtenemos

11 1

2

11

2

Resolviendo para 1 y 2 obtenemos las demandas compensadas o Hicksianas

1

21

1


56

1

12

2

Si tenemos la función de gasto mínimo

1 1 2 2

+

Remplazando las funciones de demanda en la función de gasto inicial tenemos

1 1

2 11 2 1 2

1 2

+

Entonces agrupamos y factorizamos

1 11 1

1 2 1 2

2 2

11

1 11 2 1 2

2 2

11

1 2 2

2

+

+

2

1

11 2 2

2

1

1 2 1 2

+

Finalmente obtenemos la resumida del consumidor

1

1 2 1 2

1

1 2 1 2


57

Teoría de la firma

Ejercicio importante16

1. Dada la siguiente función de producción de matamoscas

2 2 3 3600

Suponemos que en el corto plazo el capital es constante ( 10 ), entonces

tenemos que

2 360000 1000

a) Hallar la productividad marginal del trabajo ( ) y graficarla.

Solución

i) Hallamos la función de producto marginal del trabajo

2

2

120000 3000

120000 3000

Para graficar tenemos que hallar los puntos óptimos, los puntos de inflexión, los

intervalos de concavidad y convexidad, etc.

ii) Hallando los puntos óptimos ( 0 )

120000 6000 0 20

Determinamos si es mínimo o máximo con la condición de segundo orden (la

segunda derivada, 2

2)

2

26000 0 , como es menor a cero, existe un valor máximo de la

productividad marginal en 20 .

16

A continuación se presenta algunos ejercicios que servirá de mucho, en la teoría de la firma

(empresa), a los estudiantes de Economía. No se pretende ser aburrido con la solución paso a paso,

sino que, el estudiante que recién empieza a introducirse en este tipo de ejercicios, comprenda

claramente que algoritmo debe seguir para resolverlos. Los estudiantes avanzados pueden omitir los

detalles del ejercicio y resolverlos como mejor le convenga.


58

Hallamos el punto máximo de la productividad marginal ( ) remplazando

20 en la función de productividad marginal

20 120000 20 3000 20

20 1200000

Entonces el punto máximo estará en 20 1200000

iii) Hallamos el punto de inflexión ( 0 )

2

26000 0 , por lo tanto no existen puntos de inflexión.

iv) Si no hay punto de inflexión, entonces hallamos los intervalos en donde crece

y decrece la función. Para obtener estos, primero ubicamos el punto del nivel de

trabajo dentro de la recta de números reales, en donde la productividad marginal

es la máxima ( 20).

Este punto ( 20) divide en dos intervalos la recta, entonces para determinar

si la función es creciente o decreciente, tenemos que remplazar algún punto, de

cada uno de los intervalos, en la derivada de la productividad marginal del

trabajo (en 120000 6000 ). En este caso elegimos los puntos 0 y

30 para el primer y segundo intervalo, respectivamente (ver grafico).

Si

0

0 120000 6000 0 120000 0

Si

30

30 120000 6000 30 60000 0

Entonces, tenemos lo siguiente:

20 30 0

0

0


59

0 (la productividad marginal creciente) en 20

0 (la productividad marginal decreciente) en 20

v) Hallamos los interceptos con el eje L, para esto la productividad marginal debe

ser igual a cero.

2

1 2

0

120000 3000 0

40 0

0 40

vi) Por lo tanto el grafico será:

b) Hallar la productividad media del trabajo ( ) y graficarla.

Solución17

i) Hallamos la función de producto medio del trabajo

2 3

2

60000 1000

60000 1000



17

Como se dará cuenta el lector, el procedimiento es el mismo que la pregunta a), dado que para

graficar una función en un plano bidimensional, se sigue el mismo procedimiento.

(L)

1200000

20

(20,1200000)

0 40

0 0


60


60000 2000 0 30


segunda derivada, 2

2)

2

22000 0 , como es menor a cero, existe un valor máximo de la

productividad media en 30 .

Hallamos el punto máximo de la productividad marginal ( ) remplazando

30 en la función de productividad media

230 60000 30 1000 30

30 900000



2

26000 0 , por lo tanto no existen puntos de inflexión.

iv) Si no hay punto de inflexión, entonces hallamos los intervalos en donde crece

y decrece la función. Para obtener estos, primero ubicamos el punto del nivel de

trabajo dentro de la recta de números reales, en donde la producción media es la

máxima ( 30).


si la función es creciente o decreciente, tenemos que remplazar algún punto, de

cada uno de los intervalos, en la derivada de la productividad marginal del

30 40 0

0 0


61

trabajo (en 60000 2000 ). En este caso elegimos los puntos 0 y

40 para el primer y segundo intervalo, respectivamente (ver grafico

anterior).

Si

0

0 60000 2000 0 60000 0

Si

40

40 60000 2000 40 20000 0


0 (la productividad media creciente) en 30

0 (la productividad media decreciente) en 30

v) Hallamos los interceptos con el eje L, para esto la productividad medio debe ser

igual a cero.

2

1 2

0

60000 1000 0

60 0

0 60

vi) Por lo tanto el grafico será:

(L)

900 000

30

(30,900 000)

0 60

0

0


62

c) Encontrar cuanto vale cuando el producto marginal es igual al

producto medio ( ), ¿Cuánto será el valor del producto

marginal y el producto medio en ese punto?

Solución

Igualando las dos funciones que anteriormente obtuvimos

2 2

2

1

2

120000 3000 60000 1000

60000 2000 0

30 0

0 0 0 0

30 30 30 900000

Entonces el producto marginal y el producto medio se igualaran en dos puntos,

en el punto L=0 y L= 30; y el valor para ambos serán 0 y 900 000,

respectivamente.

d) Encontrar cuanto vale (la cantidad de trabajo) cuando el producto

marginal es igual a cero ( 0 ).

Esta pregunta ya lo desarrollamos en la parte a. iv)

2

1 2

0

120000 3000 0

40 0

0 40

Cuando 0 , el trabajo tomara valores de 1 20 40

e) Encontrar cuanto vale cuando el producto medio es igual a cero ( 0 ).

Esto ya lo desarrollamos en la parte b. iv)

2

1 2

0

60000 1000 0

60 0

0 60


63

Cuando 0 , el trabajo tomara valores de 1 20 60

f) Dibujar la función de producción en el plano , la productividad

marginal y la productividad media (ambos) en otro gráfico.

Solución

Ya tenemos los gráficos de la productividad media y marginal, ahora solo nos

falta el grafico de la función de producción. Para desarrollar este punto

seguiremos el mismo algoritmo que usamos para la productividad media y

marginal.

i) Tenemos la función de producción

2 360000 1000




2

1

2

120000 3000 0

0

40


segunda derivada, 2

2)

2

2120000 6000

Remplazamos el primer punto óptimo en esta función ( 1 0 )

2

2

0

120000 6000 0 120000 0 , es decir existe un valor mínimo en

1 0

Hallando el valor mínimo

2 3

0 60000 0 1000 0 0


64

Entonces el punto mínimo estará en 0 0

Ahora, remplazamos el otro punto óptimo ( 2 40) en la segunda derivada

2

2

40

120000 6000 40 120000 0 , es decir existe un valor mínimo en el

punto 2 40 .

Hallando el valor mínimo

2 3

40 60000 40 1000 40 32000000



2

2120000 6000 0 20

Remplazando este punto en la función de producción, tenemos

2 3

20 60000 20 1000 20 16000000

Por lo tanto el punto de inflexión estará en el punto (20,16000000)

iv) Hallamos los intervalos de concavidad y convexidad. Para obtener estos,

primero ubicamos el punto del nivel de trabajo en donde se encuentra el punto

de inflexión ( 20).


si la función es concava o convexa, tenemos que remplazar algún punto, de cada

uno de los intervalos, en la segunda derivada de la función de producción (en

20 30 0

2

20

2

20


65

2

2120000 6000 ). En este caso elegimos los puntos 0 y 30 para el

primer y segundo intervalo, respectivamente (ver grafico anterior).

Si

2

2

0

0 120000 6000 0 120000 0

Si

2

2

30

30 120000 6000 30 60000 0


0 (la productividad media creciente) en 30

0 (la productividad media decreciente) en 30

v) Hallamos los interceptos con el eje L, para esto la producción debe ser igual a

cero.

2 3

2

1 2 3

0

60000 1000 0

60 0

0 0 60

vi) Por lo tanto los intervalos de las fases de producción serán los siguientes (ver

gráfico).

La I fase será de 0 30 , o sea 0 30

La II fase será de 30 40 , o sea 30 40

La III fase será de 0 , o sea 40

g) ¿A partir de que punto se produce la ley de los rendimientos físicos

marginales decrecientes ( 0 )?

Los rendimientos físicos marginales decrecientes, como se ve en el gráfico, se

produce a partir del punto 20


66

1 200 000

20

0 40

(L)

30 60

(L)

16 000 000

32 000 000

900 000

20 30 40 60

27 000 000

(L)

0

teoría microeconómica-apuntes de estudio_jovani turco quinto.pdf

Documents