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PP
TC
ES
021M
T22
-A15
V1
Clase
Generalidades y ángulos en la circunferencia
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Aprendizajes esperados
• Identificar los elementos de una circunferencia y un círculo.
• Calcular áreas y perímetros del círculo, del sector circular y delsegmento circular.
• Identificar y clasificar ángulos en la circunferencia, aplicando suspropiedades y teoremas.
• Resolver ejercicios que involucren teoremas de ángulos en lacircunferencia.
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1. Elementos de la circunferencia y del círculo
2. Área y perímetro
3. Propiedades de ángulos
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1.1 Definición
•O
Circunferencia
1. Elementos de la circunferencia y del círculo
Línea curva, cerrada y plana,cuyos puntos equidistan(igual distancia) de un puntofijo llamado centro.
Región del plano limitadapor una circunferencia
Circunferencia
Círculo
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1.2 Radio (r) y diámetro (d)
O: centro de la circunferencia
OB: radio = r
Segmento que une el centro de lacircunferencia con cualquier punto de ella.
1. Elementos de la circunferencia y del círculo
A Br
r
d
O•
r
d
AB: diámetro = d = 2r
El diámetro divide a la circunferencia en 2 semicircunferencias, es decir,Arco AB = Arco BA
Es la línea recta que pasa por el centro y une dos puntos opuestos de lacircunferencia.
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1.3 Cuerda y secante
Segmento que une dos puntos distintos de lacircunferencia.
AB: Cuerda
A
1. Elementos de la circunferencia y del círculo
B
AB: Secante
El diámetro es la cuerda que pasa por elcentro de la circunferencia y tiene lamayor longitud.
Recta que intersecta a la circunferencia en 2 puntos, formando una cuerda.
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1.4 Tangente
1. Elementos de la circunferencia y del círculo
Recta que intersecta en un solo punto a la circunferencia. Este punto es llamado“punto de tangencia” o “punto tangencial”.
O: centro de la circunferencia
A: Punto de tangencia
OA ┴ L
OA: radio
LA
r
O
L: Tangente
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1.5 Arco de circunferencia
1. Elementos de la circunferencia y del círculo
Corresponde a una parte de la circunferencia. Su lectura es en sentidoanti-horario (contrario a los punteros del reloj).
B • AB : arco de circunferencia
A•
Los puntos A y B de la circunferencia, determinan el arco AB.
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1.6 Sector y segmento circular
1. Elementos de la circunferencia y del círculo
Es una fracción del área del círculodeterminada por dos radios y un arco.
O: centro de la circunferencia
r : radio
AB : arco de circunferencia
Sector circularA
B•
•
•O r
r
a
determinada por dos radios y un arco.
O : centro de la circunferencia
AB : cuerda
A
B•
•
•O r
r
Segmento circular
AB : arco de circunferencia
Es una fracción del área del círculo,determinada por una cuerda y un arco.
circularA•
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2.1 Área del círculo
2. Área y perímetro
Área círculo = p ∙ r2
Si r es el radio, entonces:
Ejemplo: Determinar el área del círculo cuyo diámetro mide 20 cm.Ejemplo: Determinar el área del círculo cuyo diámetro mide 20 cm.
Si el diámetro mide 20 cm, entonces el radio mide 10 cm.Luego, el área del círculo es:
A = p ∙ 102 A = 100p cm2
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2.2 Perímetro de la circunferencia
2. Áreas y perímetros
Perímetro = 2 p ∙r Perímetro = p ∙ d
Si r es el radio y d el diámetro, entonces:
Ejemplo:
ó
Determinar el perímetro de una circunferencia cuyo radio Ejemplo: Determinar el perímetro de una circunferencia cuyo radio mide 15 cm.
P = 2 p ∙15 P = 30 p cm.
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Ejemplo
Determinar el área y perímetro de la zona achurada de la figura.O: centro de la circunferencia.
B•
O3
60º
60 ∙ p ∙ 32
360Asector =
1 ∙ p ∙ 9Asector =
A
6Asector =
3 p2
Asector =2p ∙ 3 ∙ 60
360Psector = + 2 ∙ 3
pPsector = + 6
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3. Ángulos en la circunferencia
3.1 Ángulo del centro y ángulo inscrito
A. Ángulo del centro:Tiene el vértice en el centro de la circunferencia y mide lo mismo que elarco que subtiende.
Ejemplo:
Si el arco AB = 45º, entonces a = 45ºSi el arco AB = 45º, entonces a = 45º
O: centro de la circunferencia
A
B•
•
•O
45°
45ºa
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3.1 Ángulo del centro y ángulo inscrito
B. Ángulo inscrito: Tiene el vértice en la circunferencia y mide la mitad del arco que subtiende.
Ejemplo:
Si el arco AB = 50º, entonces a = 25º
3. Ángulos en la circunferencia
a
A
B•
•50°
•
25°
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Ejemplo
En la figura, si el ángulo del centro AOB mide 70°, entonces el ánguloinscrito ACB mide 35°.
•O
35º
70º
C
AB
70º
O: centro de la circunferencia
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3.1 Ángulo del centro y ángulo inscrito
Corolario:“Si un ángulo inscrito y un ángulo del centrosubtienden el mismo arco, entonces el ángulodel centro es el doble del ángulo inscrito”.
Además, se cumple que:
B•
•
•O
a
2a
3. Ángulos en la circunferencia
O: centro de la circunferencia
Además, se cumple que:
a = g + d A•
2a
•O
a
2a
g
d
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3.2 Igualdad de ángulos inscritos
Si dos o más ángulos inscritos subtienden el mismo arco, entonces miden lo mismo.
ab
g
3. Ángulos en la circunferencia
a = b = g
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3.3 Triángulo inscrito en una semicircunferencia
Todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es rectángulo conhipotenusa igual al diámetro.
.
3. Ángulos en la circunferencia
O: centro de la circunferencia
180°
O.
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92º110º
3.4 Cuadrilátero inscrito en una circunferencia
En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestosson suplementarios.
Ejemplo:
ab
3. Ángulos en la circunferencia
70º 88º
a + δ = 180°
g + β = 180°
g d
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Teorema del ángulo exterior
Si a es ángulo exterior de la circunferencia, entonces:
A
aD
3. Ángulos en la circunferencia
AB
Teorema del ángulo interior
Si a es ángulo interior de la circunferencia, entonces:
B
C
2a =
AB – CD
aD
C
2a =
AB + CD
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Ángulo semi-inscrito es aquel que tiene el vértice en la circunferencia, y sus lados son una cuerda y una tangente a la circunferencia.La medida del ángulo semi-inscrito es igual al ángulo inscrito cuyo arco sostiene.
EJEMPLO:
ÁNGULO SEMI-INSCRITO